[1] Dado un sistema con funcin de transferencia de lazo abierto Para T=0.1s y k el parmetro variable. Se pide: a. Utilizando MATLAB obtener el lugar de las races del sistema b. Estudiar la estabilidad absoluta c. Analizar la estabilidad relativa d. Hallar el valor de k para que el sistema posea un =0.707. Solucin: Escribiendo la siguiente secuencia en MATLAB se obtuvo el lugar de las races del sistema dado >> G=tf([0.15 0.1118],[1 -1.4119 0.4119],[0.1]) Transfer function: 0.15 z + 0.1118 ---------------------z^2 - 1.412 z + 0.4119 Sampling time: 0.1 >> rlocus(G) >> zgrid El lugar de las races puede observarse en la siguiente figura.Root Loc us 1.5

1 0.7 T/T 0.5 0.8 T/T 0.9 T/T Im aginary Ax is 0 T/T T/T 0.9 T/T -0.5 0.8 T/T 0.7 T/T -1

T 0.6 T/T 0.5 /T 0.4 T/T

Sy s tem: G Gain: 0.693 0.1 T Pole: 0.651 + 0.248i 0.2 0.3 /T Damping: 0.705 0.3 0.4 T/T 0.2Ov ers hoot (% ): 4.41 0.5 Frequenc y (rad/s ec ): 5.12 0.6 0.7 0.8 0.1 T/T 0.9

0.1 T/T 0.2 T/T 0.3 T/T 0.6 T/T 0.5 T/T 0.4 T/T

-1.5

-2

-1.5

-1

-0.5 Real A x is

0

0.5

1

Posicionndonos sobre el lugar de las races podemos obtener una aproximacin del valor de k para que el sistema posea un =0.707, el cual es k=0.693.

Root Locus 1.5

1 0.7 T/T 0.5 0.8 T/T 0.9 T/T Imaginary Axis 0 T/T T/T 0.9 T/T -0.5 0.8 T/T 0.7 T/T -1

0.5 T 0.4 0.6 T/T /T T/T

0.1 0.3 0.2 T/T 0.3 0.4 0.2 T/T 0.5 0.6 0.7 0.8 0.1 T/T 0.9

0.1 T/T 0.2 T/T 0.3 T/T 0.6 T/T T/T T/T 0.5 0.4

-1.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 Real A xis

0

0.5

1

Aplicando la condicin de modulo tenemos:

Para el anlisis de la estabilidad absoluta y relativa utilizaremos el comando rltools(G), y variando el valor de k observamos lo siguiente Estabilidad Relativa a. Para valores de k entre 0 y 0.402 el sistema es sobre amortiguado ya que posee par de polos reales y diferentesRoot Loc us Editor f or O pen Loop 1 ( O L1) 1.51 0 .9

1

0 .8

0.5

A m p lit u d e

0 .7

0 .6

Im ag Ax is

0

0 .5

0 .4

- 0.50 .3

0 .2

-10 .1

- 1.5 - 2.5

0

-2

- 1.5

-1 Real A x is

- 0.5

0

0.5

1

0

0 .5

1

1 .5 Tim e ( s e c )

2

2 .5

3

3.5

b. Para k=0.402 el sistema es crticamente amortiguado ya que posee par de polos reales e iguales.Ro o t L o c u s Ed ito r f o r O p e n L o o p 1 ( O L 1 ) 1 .5 1 0 .9 1

0 .8

0 .5

A m p lit u d e

0 .7

0 .6

Im a g A x is

0

0 .5

0 .4 - 0 .5

0 .3

0 .2 -1 0 .1

- 1 .5 - 2 .5

0 -2 - 1 .5 -1 Re a l A x is - 0 .5 0 0 .5 1

0

0 .5

1 Tim e ( s e c )

1 .5

2

2 .5

c. Para valores de k mayores a 0.402 pero menores a 5.26 el sistema es sub amortiguado, esto se debe a la presencia de par de polos complejos conjugados.Root Locus Editor f or Open Loop 1 (OL1) 1.51 .4

1

1 .2

1 A m p litu d e

0.5

0 .8

Imag Axis

00 .6

-0.50 .4

-10 .2

-1.5 -2.5

-2

-1.5

-1 Real A xis

-0.5

0

0.5

1

0

0

0 .5

1 Tim e ( s e c )

1 .5

2

2 .5

Estabilidad Absoluta Para valores de k menores a 5.26 el sistemas es estable, se puede verificar en las graficas anteriores, para el valor de k=5.22 el sistema se encuentra al borde de estabilidad inestabilidad y para valores de k mayores a 5.26 el sistema se vuelve inestable. k=5.26Root Loc us Editor f or Open Loop 1 (OL1) 1.5 2 .5

1

2

Im ag Ax is

0

A m p litu d e -2 -1.5 -1 -0.5 Real A x is 0 0.5 1

0.5

1 .5

1

-0.5

0 .5

-1

0

-1.5 -2.5

- 0 .5

0

50

100 Tim e ( s e c )

150

200

250

k>5.26Root Loc us Editor f or Open Loop 1 (OL1) 1.54 x 106

3

12

A m p litu d e

0.5

1

Im ag Ax is

0

0

-1

-0.5-2

-1-3

-1.5 -2.5

-4

-2

-1.5

-1

-0.5 Real A x is

0

0.5

1

0

5

10 Tim e ( s e c )

15

20

25

[2] Si en el sistema anterior se cambia el periodo de muestreo a T=0.5s se obtiene la siguiente funcin de transferencia Escribiendo la siguiente secuencia en MATLAB se obtuvo el lugar de las races del sistema dado >> num=[0 1.7788 0.2051]; >> den=[1 -1.1089 0.1089]; >> G=tf(num,den,[0.5]) Transfer function:

1.779 z + 0.2051 ---------------------z^2 - 1.109 z + 0.1089 Sampling time: 0.5 >> rlocus(G) >> zgrid El lugar de las races puede observarse en la siguiente figura.Root Loc us 1 0.6 T/T 0.8 0.6 0.4 Im aginary Ax is 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5 0.8 T/T 0.7 T/T 0.6 T/T -1 -0.5 Real A x is 0.5 T/T 0 0.4 T/T 0.5 1 0.3 T/T 0.2 T/T 0.9 T/T T/T T/T 0.9 T/T 0.1 T/T 0.7 T/T 0.8 T/T 0.5 T/T 0.4 T/T 0.1 T/T 0.3 0.2 0.3 0.2 T/T 0.4 0.5 0.6 0.7 0.1 T/T 0.8 0.9

Para el anlisis de la estabilidad absoluta y relativa utilizaremos el comando rltool(G) Estabilidad Relativa a. Para k entre 0 y 0.19 tenemos que el sistema es sobre amortiguadoR o o t L o c u s Edito r f o r Ope n L o o p 1 (OL 1 ) 1

Ste p Re s po n s e 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 A m plitu de 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2 Im a g A x is

0

- 0 .2

- 0 .4

- 0 .6

- 0 .8

-1 - 1 .5

-1

- 0 .5 R e a l A x is

0

0 .5

1

0

2

4 Time ( s e c )

6

8

10

12

b. Para k=0.19 el sistema es crticamente amortiguadoRoot Loc us Editor f or Open Loop 1 (OL1) 1

Ste p Re s p o n s e 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 A m p litu d e 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0

0.8

0.6

0.4

0.2 Im ag A x is

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1 -1.5

-1

-0.5 Real A x is

0

0.5

1

0

2

4 Tim e ( s e c )

6

8

10

c. Para k entre 0.19 y 1.4092 el sistema es sobre amortiguadoRoot Loc us Editor f or Open Loop 1 (OL1) 1

Step Res pons e 2.5

0.8

0.6

2

0.4

0.2

1.5 Am plitude 1 0.5-1 -0.5 Real A x is 0 0.5 1

Im ag A x is

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1 -1.5

0

0

2

4 Time ( s ec )

6

8

10

12

Estabilidad Absoluta Para valores de k menores a 1.4092 el sistema es estable, para el valor de k=1.4092 el sistemas se encuentra en el borde de la estabilidad inestabilidad y para valores mayores a 1.4092 el sistema se vuelve completamente inestable. As el sistema mas estable en lazo cerrado ser el que presenta un periodo de muestreo T=0.1s debido a que los valores de ganancia que hacen que el sistema se vuelva inestable son mayores, adems el periodo de muestreo es menor, lo cual arroja una mayor exactitud con respecto a la respuesta del sistema.

Root Loc us 1 0.8 0.6 0.8 T/T 0.4 0.2 0 -0.2 0.9 T/T -0.4 -0.6 -0.8 -1 -2 0.8 T/T 0.7 T/T 0.6 T/T 0.4 T/T 0.5 T/T -1.5 -1 -0.5 Real A x is 0 0.5 1 1.5 0.2 T/T 0.3 T/T 0.1 T/T 0.9 T/T T/T T/T 0.5 T/T 0.6 T/T 0.4 T/T 0.7 T/T 0.1 0.3 T/T 0.2 0.3 0.2 T/T 0.4 0.5 0.6 0.7 0.1 T/T 0.8 0.9

Im aginary Ax is

[3] Para la funcin de transferencia dada en [1], dibujar el lugar de las races si al sistema se le agrega un retraso equivalente a un periodo de muestreo, se pide a. Escribir la nueva funcin de transferencia obtenida y graficar el lugar de las races. b. Analizar la estabilidad absoluta c. Para k01, dibujar las respuesta en el tiempo del sistema original y el sistema con retardo d. Qu valores tiene la magnitud de la salida para las 7 primeras muestras en cada caso (elabore una tabla) y comente acerca de las 2 primeras muestras? Al agregar un retardo en el tiempo tenemos que ft(t)=f(t+T). La transformada Z es la siguiente Ft(z)=z-1F(z). As la nueva funcin de transferencia es la siguiente:

Para obtener el lugar de las races hacemos la siguiente rutina >> numt=[0.15 0.1118]; >> dent=[1 -1.4119 0.4119 0]; >> gt=tf(numt,dent,[0.1]) Transfer function: 0.15 z + 0.1118 -------------------------z^3 - 1.412 z^2 + 0.4119 z >>Sampling time: 0.1 >> rlocus(gt) >> zgrid >> rlocus(gt) >> zgridRoot Loc us 1 0.6 T/T 0.8 0.6 0.4 Im aginar y Ax is 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 -1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0.8 T/T 0.7 T/T 0.6 T/T 0.5 T/T 0 Real A x is 0.4 T/T 0.3 T/T 0.2 T/T 0.9 T/T T/T T/T 0.9 T/T 0.1 T/T 0.7 T/T 0.8 T/T 0.5 T/T

0.4 T/T 0.10.3 T/T 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.2 T/T

0.1 T/T

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Para el anlisis de la estabilidad absoluta usaremos el comando rltool(gt) Para k menor a 1.7815 el sistema estableoot Lo u dito f o pen Loop 1 L1 5

0.

3

0.

2p litu d e

0.

i

I ag

0

-1

-2

-3

-4

-0.5

0 eal

0.5

1

1.5

0

1

2

3

4

5 e

i

i e

Para k= 1.7815 el sistema se encuentra al borde de la estabilidad-inestabilidadoot Lo u d ito f o pen Loop 1 L1 5

2 .5

4 2 3

2 p lit u d e

1 .5

i

I ag

0

-1 0 .5 -2

-3 0 -4

- 0 .5

0 eal

0 .5

1

1 .5

0

1

2

3

4

5 e

i

i e

Para k mayor a 1.7815 el sistema se vuelve completamente inestableoot Lo u d ito f o pen Loop 1 L1 2 10

1 0. 0. 1

0 .4 0 .2

i

p lit u d e

0

I ag

0 - 0 .2 - 0 .4 -0. -0.

-1

-2

-3

-1 -4 1 0 1 2 3 i e 4 5

-1

-0.

-0.

- 0 .4

- 0 .2

10

0 eal

0 .2 i

0 .4

0.

0.

e

%

%

$

$

#

#

"

"

-5 -1

4

1

!

!

1

1

- 0 .5

%

$

#

"

-5 -1

!

1

0.

0 .5

0 .4

0 .3

0 .2

0 .1

%

4

$

#

"

$

"

1 0 10 10

)

)

10

)(

)(

(

(

&

&

'

'

&

&

" $ " $ $ " 3 2 ! 3 2 !

La respuesta al escaln del sistema sin atraso y con atraso es la siguiente1.5 S is tem a s in atras o s is tem a c on atras o

res pues ta al es c alon u(k )

1

0.5

0

0

5

10

15

20

25 k

30

35

40

45

50

Considerando las 10 primeras muestras tenemos que el porcentaje de sobre impulso para estos sistemas son:1.5 Sistema sin atraso sistema con atraso 1.4714

Sistema sin atraso:1.1218 respuesta al escalon u(k) 1

Sistema con atraso:

0.5

0

0

1

2

3

4

5 k

6

7

8

9

10

Los valores de las 7 primeras muestras de cada sistema son Muestra Sistema sin atraso Sistema con atraso

1 2 3 4 5 6 7

0 0.1500 0.4511 0.7525 0.9753 1.0985 1.1373

0 0 0.1500 0.4736 0.8462 1.1738 1.3908

Se puede notar en las dos primeras muestras el retraso equivalente a un periodo de muestreo, el cual elimina una muestra de la seal o mejor dicho, la atrasa una unidad de tiempo. [4] Para un sistema con funcin de transferencia en lazo abierto:

Se pide, dibujar la grfica de Nyquist y el diagrama de bode y determinar para cada caso: a. La frecuencia de cruce de ganancia b. La frecuencia de cruce de fase c. El margen de fase d. El margen de ganancia e. El sistema es estable en lazo cerrado? Por qu? f. Determinar utilizando uno de los dos diagramas (Bode o Nyquist) el rango de k para que el sistema sea estable g. Estudiar la exactitud del sistema. El diagrama de bode y de Nyquist se pueden observar en las siguientes figuras

Diagrama de BodeB o d e Dia g r a m 80 M a g n itu d e ( d B ) 60 40 20 0 -20 -40 -90 Phas e (deg)

-135

-180 100

10

1

10 Fr e q u e n c y

2

10

3

10

4

( r a d /s e c )

Diagrama de Nyquist