Sistemas Automticos

Tema 5Lugar de las RacesContenido Respuesta dinmica de un sistema Respuesta dinmica de un sistema en bucle cerrado Definicin de Lugar de las Races (LR) Ecuacin Caracterstica Criterio del Argumento Criterio del Mdulo Reglas de Trazado del Lugar de las Races Ejemplo

El comportamiento dinmico de unsistema viene dado por los polos dela f.d.t. (races de la ecuacincaracterstica)

y(t)

Los ceros tambininfluyen a travs de loscoeficientes (pesos) delos modos transitorios

Respuesta Dinmica de un Sistema

Captador

+

-

U(s)C(s) (s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

H(s)

G(s)

Respuesta Dinmica de un Sistemaen Bucle Cerrado

La dinmica del sistemaviene dada principalmente porlas races de la ec. caracterstica

Problemas: Difcil si el orden de la

ec. caract. >=3 Habitualmente,

necesario recalcularlosen funcin de unparmetro (ej.: K)

Definicin de Lugar de las Races (LR)

Definicin:El L.R. es el lugar geomtrico en elplano complejo que ocupan las racesde la ecuacin caracterstica cuandovara el parmetro K

Captador

+

-

U(s)C(s) (s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

K=5 K=10 K=16 K=20

El mtodo del L.R. parte de la ecuacin caracterstica factorizada de lasiguiente forma:

Ecuacin Caracterstica

Criterio del Argumento

Criterio del Mdulo

s-

p

1

s-p4 s-p3 s-z1s-p2

p3p4 p2 p1z1

s

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

pi

Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicingeneral.

Ejemplo:

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

1 2

3

4

Ramas Independientes

Lugar en el eje real

Simetra respecto aleje real

Puntos decomienzo del LR

Puntosfinales del LR

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

pi

p2

z1p1

p1

p2

z1

Re

Im

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Reglas de Trazadodel Lugar de las Races

Captador

+

-

U(s)C(s) (s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Funcin de transferencia en bucle abierto:

-2-5-7-10-20

2

3

14

-2-5-7-10-20

-2-5-7-10-20

-2-5-7-10-20

Centroide, Asntotas y Punto de Dispersin

centroidec=10

Asntotas

Pto. dispersin

Lugar de las Races final

-2-5-7-20 -10

+j14.439

-j14.439

Lugares de las Racesbsicos

LR bsicos: 1 polo real

LR bsicos: 2 polos reales

LR bsicos: 2 polos complejos

LR bsicos: 3 polos reales

LR bsicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)

LR bsicos: 4 polos

LR bsicos: 1 polo + 1 cero

LR bsicos: 2 polos + 1 cero

LR bsicos: 3 polos + 2 ceros

LR bsicos: 3 polos + 1 cero

LR-i bsicos: 1 polo

LR-i bsicos: 2 polos reales

LR-i bsicos: 3 polos reales

LR-i bsicos: 1 polo real + 2 polos complejos

LR-i bsicos: 2 polos reales + 1 cero

LR-i bsicos: 3 polos reales + 1 cero

Captador

+

-

U(s)C(s)

(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funcinde la constante de tiempo, , del captador para K=1

Solucin:

La ecuacin caracterstica ser:

Reordenando trminos

El problema queda planteado en trminos de un LR:

El LR tiene 3 ceros

y dos polos

pequeas:comportamientooscilatorio

=0.688:polo dobleamort. crtico =1:

3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg

=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.

ConclusinVemos cmo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizndolo