Prof. Víctor R. Flores Torres

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REGLAS PARA EL TRAZO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

TEORÍA DE CONTROL II

20/08/2013

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TEORÍA DE CONTROL IITema: Reglas para el trazo del Lugar de las Raíces

Reglas para el trazo del lugar de las raíces

Sin lugar a duda, el realizar el trazo del lugar de las raíces utilizando el polinomio característico, en función del parámetro, y calcular los polos de lazo cerrado; es una tarea demasiado lenta. Sin embargo, el trabajo se facilita utilizando tanto sólo seis reglas. Estas reglas son las siguientes:

1. El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real.

Esta simetría se comprueba al doblar por la mitad la figura, tomando como referencia el eje real, entonces se podrá observar como cada una de las curvas coinciden o se empalman.

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Figura 1

(a) (b)

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2. El lugar de las raíces inicia en los polos de la función de lazo abierto para K=0 y termina en los ceros de la función de lazo abierto para K=, incluyendo los ceros en el infinito.

En el caso de la Figura 1.a cuenta con tres polos y cero ceros en la función de lazo abierto (denominados ceros finitos), es decir, . Al no tener físicamente ceros la función se dice que se encuentran en el infinito. Como punto importante, siempre habrá la misma cantidad de polos finitos y ceros.

De la figura 1.b podemos deducir la siguiente función de lazo abierto.

La función tiene dos ceros finitos (visibles) y dos polos finitos.

En ambas figuras el lugar de las raíces inicia en los polos finitos y termina en los ceros finitos o en el infinito.

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Analicemos las figura 1.a, los polos finitos son 2, 4 y 6. Estos polos son el inicio del lugar de las raíces y termina en los ceros en el infinito. El polo localizado en 6, se dirige hacia la izquierda del eje real intentando localizar un cero en el infinito. Los polos localizados en 2 y 4 se mueven en sentido contrario sobre el eje real hasta el punto donde son iguales para después formar una parábola, en su intento de localizar los ceros en el infinito.

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Ahora analicemos la figura 1.b, los polos finitos son 1 y 2. Estos polos son el inicio del lugar de las raíces, al igual que el caso anterior intentan encontrar los ceros finitos que están 3 y 4. Inicialmente, la trayectoria que describen los polos es en sentido contrario, dentro del segmento 1 y 2. Después de que son iguales forman un círculo para de nuevo entrar sobre el segmento 3 y 4. Y finalmente, se dirigen hacia los ceros finitos 3 y 4.

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3. Si la función tiene ceros en el infinito ≥1, el lugar de las raíces se aproximará a las asíntotas cuando K →. Las asíntotas se localizan en los ángulosy las asíntotas se intersectan sobre el eje real en el punto

donde el símbolo # denota cantidad. Además,

Si analizamos la función de lazo abierto de la figura 1.a tiene tres polos finitos y cero ceros finitos, por lo tanto, tiene tres asíntotas de acuerdo a la ecuación 15.

Las asíntotas siempre nos van indicar hacia donde tienden a desplazarse los polos de lazo cerrado.

(13)

(14)

(15)

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Enseguida, se debe calcular los ángulos de las asíntotas y su punto de intersección en el eje real para poder ser trazadas. Como son tres asíntotas, escogemos tres valores impares para r, es decir, 1, 3 y 5.

y 60°; 180° y 300°.

Ahora calcularemos el punto de intersección (ecuación 14).

4 es el punto de intersección de las asíntotas. Más adelante con un ejemplo borraremos toda duda.

Con respecto a la figura 1.b, no tiene asíntotas. Aclaremos esto utilizando la ecuación 15. No hay nada que hacer.

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60°

60°

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4. El lugar de las raíces incluye a todos los puntos sobre el eje real a la izquierda de un contabilización impar de polos y ceros finitos.

La figura 1.a tiene dos segmentos que pertenecen al lugar de las raíces. El primer polo está del lado derecho en -2, como la contabilidad es impar entonces a su lado izquierdo es lugar de las raíces. El segundo polo está en -4, al contabilizarlo nos da

par; por lo tanto, a su izquierda no es lugar de las

raíces. El tercer polo está en -6, lo anexamos a

a la cuenta que resulta ser impar. Por lo tanto a la

izquierda de -6 es lugar de las raíces. Así que los

segmentos son y

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La figura 1.b tiene dos segmentos muy definidos. Siempre comenzaremos con el primer polo o cero finito que se encuentre más a la derecha. El primer polo está en -1, iniciamos la contabilidad que resulta ser impar, entonces a la izquierda -1 lugar de las raíces. El segundo es un polo en -2, a su izquierda no es lugar de las raíces. Tercer elemento contado es un cero en -3, a la izquierda -3 es lugar de las raíces. Finalmente la contabilidad termina con un cuarto elemento que es un cero en -4, por lo tanto, a la izquierda de -4 es lugar de las raíces. Definimos los segmentos sobre el eje real los marcamos en la gráfica como se muestra en la figura.

y

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5. Los puntos de ruptura en el lugar de las raíces se calculan de las raíces del polinomio que se obtiene de

o su equivalente,

donde N(s) y D(s) son los polinomios del numerador y denominador de G(s)H(s), respectivamente.

Figura 1.a tiene la siguiente función de lazo abierto

y sus respectivas derivadas son

y

(16)

(17)

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Empleando al ecuación17 se tiene

de este polinomio se obtiene las siguientes raíces: 5 y De acuerdo a la regla 4, solo uno pertenece al lugar de las raíces y es , por estar en el segmento [-2, -4]. Se le llama punto de ruptura de salida del eje real.

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La figura 1.b tiene la siguiente función de lazo abierto:

y sus respectivas derivadas son

y Donde

cuyas raíces son las siguientes:

y .

Estas raíces son puntos de ruptura de

salida y entrada, respectivamente.

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6. El lugar de salida desde un polo (llegada a un cero ) de la función de lazo abierto G(s)H(s) en un ángulo (), donde

donde r= y () representan los ángulos desde el polo (), respectivamente, a ().

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(19)

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En la figura 2, se muestra el uso de esta regla. Esta regla sólo es relevante cuando se tiene ceros y polos complejos, y es necesario saber cual el ángulo de partida o llegada.

Figura 2

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