Lugar Geometrico de Las Raices

Abril de 2015

M. en C. Rubén Velázquez Cuevas

TEORÍA DEL CONTROL II

Teoría del control II

1

INTRODUCCIÓN.

Desarrollado por Walter R. Evans, el método del lugar geométrico de las raíces (LGR) es un método gráfico que consiste en examinar las trayectorias que se generan a partir de los cambios de posición en los polos de lazo cerrado con respecto a la variación de un parámetro dentro de un sistema de control en lazo cerrado como el que se muestra en la figura 1. Éste parámetro suele ser una ganancia dentro de una retroalimentación y aunque tradicionalmente suele situarse en el lazo directo ( )G s , no es exclusivo

de éste, pudiendo darse el caso en que el parámetro que se modifica o respecto al cual se obtiene el LGR se encuentra en la retroalimentación.

Su propósito principal es determinar las condiciones de estabilidad dentro un sistema de control, caracterizadas en función del ajuste de un parámetro o ganancia. Es por ello que el LGR se relaciona estrechamente con la respuesta en el tiempo y con la respuesta en la frecuencia de un sistema.

En la práctica se utiliza como herramienta para el diseño y sintonización de algoritmos de control lineales que garanticen estabilidad y buen desempeño en un sistema controlado. Sea el sistema de control a lazo cerrado de la figura 1

Figura 1. Sistema de control en lazo cerrado

Donde ( ) ( ) ( )C PG s G s G s= contiene el producto de las funciones de transferencia del controlador

( )CG s y de la planta ( )PG s ; y ( )H s contiene la función de transferencia del sensor � transmisor. La

función de transferencia de lazo cerrado es:

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

Y s G s

R s G s H s=

+

De donde se sabe que la estabilidad del sistema en lazo cerrado depende del polinomio característico:

1 ( ) ( ) 0G s H s+ =

En general se sabe que el producto ( ) ( )G s H s se puede representar en la forma ZPK mediante:

( )( ) ( )

( )

q sG s H s K

p s=


2

Donde K es la ganancia del sistema de lazo abierto, ( )q s es el polinomio del numerador relacionado

con los ceros del sistema y ( )p s es el polinomio característico con los polos de lazo abierto.

Sustituyendo la forma ZPK de lazo abierto en el polinomio característico de lazo cerrado, se tiene:

( )1 0

( )

q sK

p s+ =

O bien: ( ) ( ) 0p s Kq s+ =

De donde se observa que:

Si 0;K → entonces ( ) ( ) ( )p s Kq s p s+ →

Si ;K → ∞ entonces ( ) ( ) ( )p s Kq s q s+ →

Es decir, conforme K varía de cero a infinito, la ubicación de los polos de lazo cerrado inicia en los polos de lazo abierto y termina en los ceros. Nótese que los ceros en lazo abierto o cerrado son los mismos, de modo que los únicos que cambian son los polos de lazo cerrado. En caso de que el sistema sea estrictamente propio (n m> ) el número de polos restantes de n m− tenderán a infinito. Cabe señalar que si se tiene el caso en que existe un polo complejo, esto implica que también debe existir su conjugado. En consecuencia, el LGR resultante es simétrico con respecto al eje real.

Finalmente, del polinomio característico de lazo cerrado se tiene que: ( ) ( ) 1 1 180 ;G s H s = − = ∠ − ° es

decir, que el LGR satisface las condiciones de magnitud 1GH = y de ángulo de fase 180GH∠ = − ° .

LGR DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Para el caso general de que ( ) ( )G s H s es un sistema de primer orden y de orden relativo cero (n m= )

se tiene que:

( ) ( ) ; s a

G s H s K a bs b

+= ≠+

De donde se obtiene el polinomio característico de lazo cerrado:

1 0s a

Ks b

++ =+

O bien: ( ) ( ) ( )1 0s b K s a K s Ka b+ + + = + + + =

Nótese que para 0K = el polo de lazo cerrado es el polo de lazo abierto s b= − y conforme K → ∞ se tiene:

1

Ka bs a

K

+= − → −+


3

Ejemplo 1. Determinar la ubicación de los polos de lazo cerrado para { }0, 0.5, 1, 5, 10K = si la

función de transferencia de lazo abierto es:

a) 1

( ) ( )2

sG s H s K

s

+=+

b) 2

( ) ( )1

sG s H s K

s

+=+

Solución:

a) El polinomio característico de lazo cerrado es:

( ) ( )1 2 0K s K+ + + =

En la figura 2 se muestra el mapa de polos y ceros para los diferentes valores de K

Figura 2. Mapa de polos y ceros para el inciso (a) del ejemplo 1

b) El polinomio característico de lazo cerrado es:

( ) ( )1 2 1 0K s K+ + + =

En la figura 3 se muestra el mapa de polos y ceros para los diferentes valores de K


4

Figura 2. Mapa de polos y ceros para el inciso (b) del ejemplo 1

Como se observa en ambos incisos del ejemplo anterior el polo de lazo cerrado se mueve desde su valor en lazo abierto hacia el cero conforme K aumenta su valor de forma positiva (acción directa). También se observa que aunque la trayectoria que sigue el polo lleva una dirección distinta en cada caso, el lugar geométrico de las raíces (LGR) siempre se encuentra entre el polo y el cero.

Cabe señalar que en teoría se tienen el mismo número de polos que de ceros, por lo que cuando no aparecen ceros explícitos en la función de transferencia, se dice que existen ceros al infinito y por lo tanto la trayectoria del polo tenderá al infinito siguiendo una trayectoria asintótica. Para el caso general de primer orden se tiene que:

( ) ( )1

KG s H s

sτ=

+

Donde el polinomio característico de lazo cerrado es:

1 0s Kτ + + =

Por lo tanto los polos de lazo cerrado estarán descritos por:

1 Ks

τ+= −

De donde se observa nuevamente que para 0K = el polo de lazo cerrado coincide con el polo de lazo

abierto 1

;sτ

= − mientras que cuando K → ∞ se tiene que ;s → −∞ es decir, a un cero en −∞ .


5

Ejemplo 2. Dibujar la trayectoria que sigue el polo de lazo cerrado para 0K > en un sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es:

( ) ( )1

KG s H s

s=

+

Solución:

Como el LGR comienza en la ubicación del polo en lazo abierto, entonces lo primero es dibujar el mapa de polos y ceros del sistema ( ) ( )G s H s como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Mapa de polos y cero del ejemplo 2

Posteriormente se observa que para 0K > el polo de lazo cerrado se aleje del origen conforme crece el valor de K .

( )1s K= − +

De ese modo, si K → ∞ entonces el polo tiende a −∞ , resultando la trayectoria o LRG que se muestra en la figura 5.

Figura 5. LGR del ejemplo 2


6

De los ejemplos anteriores, se observa que sea cual sea la configuración para 0K > , el LGR que se ubica sobre el eje real se establece a la izquierda de un número de polos y/o ceros impar. En otras palabras, cuando se desea saber si una sección de eje real pertenece o no al LGR, basta con tomar cualquier punto de dicha sección y verificar si a la derecha cuenta con un número impar de polos y/o ceros. En caso de ser afirmativo, se concluye que si pertenece al LGR. En caso contrario, en el que a la derecha de algún punto de prueba sobre el eje real se tengan un número par de polos y/o ceros, entonces esa sección no pertenece al LGR.

LGR DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Para estos sistemas se analizarán ejemplos donde se puedan tener distintas situaciones y conforme sean necesarias se proporcionarán algunas fórmulas para determinar de forma precisa los puntos más importantes para dibujar el LGR sin hacer demasiados cálculos. Los diferentes casos que se pudieran presentar para sistemas de 2º orden son:

1. Sistema de orden relativo cero:

• Polos reales y ceros en los extremos (o en medio)

• Polos reales y ceros a la izquierda (o a la derecha) 2. Sistema de orden relativo 1:

• Polos reales y cero a la derecha (o en el centro)

• Polos reales y cero a la izquierda 3. Sistema de orden relativo 2:

• Polos reales y diferentes (o repetidos) • Polos complejos conjugados

Ejemplo 3. Determinar el LGR para el sistema de segundo orden cuya función de transferencia de lazo abierto es:

a) ( ) ( )

( )( )1 4

2 3

K s sGH

s s

+ +=

+ +

b) ( ) ( )

( ) ( )2 3

1 4

K s sGH

s s

+ +=

+ +

c) ( )

( ) ( )1

2 3

K sGH

s s

+=

+ +

d) ( )

( )( )2

1 3

K sGH

s s

+=

+ +

e) ( ) ( )1 2

KGH

s s=

+ +

f) ( )2

1.5

KGH

s=

+

g) 2 3 3

KGH

s s=

+ +

h) ( ) ( )

( )( )1 2

3 4

K s sGH

s s

+ +=

+ +

i) ( )

2

3

6 11

K sGH

s s

+=

+ +

j) ( )2

2

4 5

2 2

K s sGH

s s

+ +=

+ +


7

Solución:

a) ( )( )

( )( )1 4

2 3

K s sGH

s s

+ +=

+ +

Para este caso, los polos de lazo abierto son { }2, 3s = − − mientras que los ceros son { }1, 4s = − − .

Una vez que se dibujan en el plano complejo, de acuerdo con los ejemplos anteriores, se ubica el LGR sobre el eje imaginario. Como ya se mencionó, si n m= entonces no hay ramificaciones al infinito y cada polo tiende a un cero. Posteriormente, se determinan los LGR sobre el eje real, considerando los sectores que tienen a su derecha un número impar de polos y/o ceros.

La figura 6 muestra el LGR de este sistema.

Figura 6. LGR del inciso (a) para el ejemplo 3

Como se observa en la figura, el LGR comienza en los polos de lazo abierto y termina en los ceros

[ )0, ; 0K K∀ ∈ ∞ > por lo que cada polo converge a un cero.

En conclusión, en este ejemplo el LGR solo se encuentra sobre el eje real.


8

b) ( ) ( )

( ) ( )2 3

1 4

K s sGH

s s

+ +=

+ +

Similar al caso anterior, se dibujan los polos y ceros de lazo abierto y se ubican los LGR sobre el eje real. La figura 7 muestra el LGR para este inciso. De los primeros dos incisos se observa que mientras el LGR se encuentre entre un polo y un cero, el LGR no sale del eje real.

Figura 7. LGR del inciso (b) para el ejemplo 3

c) ( )

( )( )1

2 3

K sGH

s s

+=

+ +

Para este caso, lo que cambia es que 1n m− = , lo que significa que existe un cero al infinito. Dicho de otra forma, el LGR tiene una ramificación que tiende a infinito con un ángulo de 180°. En general, se puede saber para casos de mayor complejidad las asíntotas de las ramificaciones calculando el centro y los ángulos de las ramificaciones mediante las fórmulas respectivas:

1 1

n m

i ii i

c

p z

n mσ = =

−= −

−

∑ ∑ ;

( )2 1 180l

n mβ

+ °=

−

Donde 0,1,2,3,l = … , ip− son los polos de lazo abierto y iz− son los ceros del sistema. La figura 8

muestra el LGR de este ejemplo.


9

Figura 8. LGR del inciso (c) para el ejemplo 3

d) ( )

( ) ( )2

1 3

K sGH

s s

+=

+ +

Obsérvese que los LGR sobre el eje real están entre polos y ceros (siendo uno de ellos un cero al infinito), por lo que el LGR no sale del eje real. En la figura 9 se muestra el LGR de este ejemplo

Figura 9. LGR del inciso (d) para el ejemplo 3


10

e) ( )( )1 2

KGH

s s=

+ +

En este caso, los polos de lazo abierto son { }1, 2s = − − por lo que se procede a dibujarlos en el plano

complejo. Posteriormente, se ubica el LGR sobre el eje real, dando como resultado la sección conformada entre los dos polos. Sin embargo, como ya se mencionó, los polos tienden a los ceros y dado que en este caso no hay seros entonces se tienen n m− ceros al infinito o bien n m− ramificaciones. En la figura 10 se muestra el LGR de este ejemplo.

Figura 10. LGR del inciso (e) para el ejemplo 3.

Como se observa, debido a que los polos de lazo cerrado convergen a los ceros al infinito, los polos se

separan en el punto en que son múltiples A este punto se le conoce como punto de ruptura bσ y se

calcula resolviendo la ecuación en fracciones parciales siguiente:

1 1

1 1n m

i ib i b ip zσ σ= =

=+ +∑ ∑

En este caso:

( )( ) ( ) ( )2 1 2 31 1

01 2 1 2 1 2

b b b

b b b b b b

σ σ σσ σ σ σ σ σ

+ + + ++ = = =+ + + + + +

Por lo tanto: 2 3 0 1.5b bσ σ+ = ⇒ = −


11

Posteriormente y como ya se había señalado en el inciso (c), se pueden calcular las asíntotas de las n m− ramificaciones mediante las fórmulas:

1 1 1 21.5

2 0

n m

i ii i

c

p z

n mσ = =

−+= − = − = −

− −

∑ ∑

( )( )

18090

2 1 180 2 02 1 180

2702 0

l

n mβ

° = °+ ° −= = + °− = ° −

Para 0,1l = .

Nótese que para este caso, el centro de las asíntotas cσ coincide con el punto de ruptura bσ pero esto

no necesariamente ocurre en el caso general.

f) ( )2

1.5

KGH

s=

+

En este ejemplo se tienen polos múltiples en 1.5s = − por lo que éste es también el punto de ruptura y el único punto del LGR que pertenece al eje real. Las asíntotas resultantes coinciden con las del ejemplo anterior. En la figura 11 se muestra el LGR de este ejemplo

Figura 11. LGR del inciso (f) para el ejemplo 3.


12

g) 2 3 3

KGH

s s=

+ +

Continuando con los ejemplos de 2n m− = , los polos convergen a los ceros al infinito mediante las mismas asíntotas calculadas en el inciso (e). La figura 12 muestra el LGR de este ejemplo.

Figura 12. LGR del inciso (g) para el ejemplo 3.

Nótese de manera importante que si los polos (y ceros en general) no se encuentran sobre el eje real, entonces el LGR no cruza ni pertenece al eje real para todo 0K ≥ .

h) ( )( )

( )( )1 2

3 4

K s sGH

s s

+ +=

+ +

Nuevamente se dibujan los polos y ceros de lazo abierto. Posteriormente, se determinan los LGR sobre el eje real. A continuación se observa que el LGR se encuentra ahora entre dos polos y entre dos ceros.

Por lo tanto, para que los polos tiendan a los ceros deben rodear de manera que invaden el plano complejo para pasar de una sección hacia la otra. En otras palabras, los polos se deben volver complejos y seguir una trayectoria simétrica con respecto al eje real hasta alcanzar nuevamente el eje real. En la figura 13 se muestra el LGR de este inciso.


13

Figura 13. LGR del inciso (h) para el ejemplo 3

Lo primero que se observa es que forma una circunferencia que permite pasar de un sector de LGR sobre el eje real hacia el otro. Como ya se mencionó, los puntos en que se juntan los polos para luego separarse se conocen como puntos de ruptura. Otro método para calcularlos es tomando la ecuación

característica ( ) ( ) 0p s Kq s+ = de modo que:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

p s dK p s q s q s p sK

q s ds q s

′ ′−= − ⇒ = −

Es decir, derivando K con respecto a s se obtiene un polinomio y las raíces de dicho polinomio

corresponden al punto de ruptura bσ siempre y cuando sean reales y pertenezcan al LGR.

Por lo tanto: ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

2 2

22

2 7 3 2 2 3 7 123 40

1 2 3 2

s s s s s ss sdK d

ds ds s s s s

+ + + − + + + + += − = − = + + + +

De donde se tiene: ( ) ( )3 2 3 2 22 13 25 14 2 17 45 36 4 20 22 0s s s s s s s s− + + + + + + + = + + =

Los puntos de ruptura se obtienen mediante:

{ }220 20 4(4)(22) 3

2.5 1.6340, 3.36602(4) 2bσ − ± −

= = − ± = − −

Como se observa, ambas raíces pertenecen al LGR y corresponden a los dos puntos de ruptura.


14

Para conocer las ganancias en que ocurren los puntos de ruptura se recurre a la condición de magnitud, la cual establece que:

( )1

( )bs

q sGH K

p sσ== =

Puesto que 0K > entonces: ( )

( )bs

p sK

q s σ=

=

Por lo tanto:

Para 1.6340bσ = − se tiene ( )( )( )( )

1.6340 3 1.6340 413.9282

1.6340 1 1.6340 2K

− + − += =

− + − +

Para 3.3660bσ = − se tiene ( )( )( )( )

3.3660 3 3.3660 40.0717

3.3660 1 3.3660 2K

− + − += =

− + − +

Del mismo modo es posible calcular el valor de ganancia K para cualquier ubicación dentro del LGR.

Por ejemplo, ya que el LGR forma una circunferencia con centro en 2.5− y radio 3

;2

por lo tanto, se

puede calcular el valor de K tal que los polos de lazo cerrado se ubican en 3

2.52

j− ± (tomando

cualquiera de las dos ubicaciones, ya que el LGR es simétrico). De ese modo:

32.5

2

3 32.5 3 2.5 4

2 2( )1

( ) 3 32.5 1 2.5 2

2 2s j

j jp s

Kq s

j j=− +

− + + − + + = = =

− + + − + +

i) ( ) ( )

( )( )2

3 3

6 11 3 2 3 2

K s K sGH

s s s j s j

+ += =

+ + + − + +

En este ejemplo se observa que los polos de lazo abierto son complejos conjugados. Sin embargo, como existe un cero real entonces el LGR si se encuentra localizado sobre el eje real. Por lo tanto uno de los polos convergerá hacia el cero explícito y el otro hacia el cero al infinito. En la figura 14 se muestra el LGR de este inciso.


15

Figura 14. LGR del inciso (i) para el ejemplo 3.

De este LGR se observa que es indispensable determinar tres características importantes: 1) el ángulo de partida de los polos, 2) el punto de ruptura y 3) el valor de ganancia en el punto de ruptura. El ángulo de partida de los polos se calcula mediante la fórmula:

180 'D GHθ = ° + ∠

Donde 'GH∠ es el ángulo de fase de GH calculado en el polo complejo pero sin considerar la

contribución de ese polo en particular. Para el caso del polo en 3 2s j= − + se tiene:

( )( )

( )( )

3 2

3 2 33 2 1'

22 23 2 3 2 3 2s j

js jGH

js j j j=− +

− + ++= = = =

+ + − + + +

0' arctan 0

0.5GH ∠ = =

Por lo tanto 180Dθ = ° . Nótese que para el otro polo resulta el mismo ángulo de partida.

A continuación para el punto de ruptura se tiene que:

( ) ( ) ( )( )

22

2

2 6 3 6 116 110

3 3

s s s sdK d s s

ds ds s s

+ + − + + + += − = − = + +


16

Es decir:

( ) ( )2 22 12 18 6 11 0s s s s− + + + + + =

2 6 7 0s s− − − =

{ }6 36 283 2 1.5858, 4.4142

2bσ − ± −= = − ± = − −

En este caso 4.4142bσ = − pertenece al LGR por lo que es el punto de ruptura. Finalmente, por

condición de magnitud se tiene que la ganancia donde se alcanza el punto de ruptura es:

2

4.4142 4.4142

( ) 6 112.8284

( ) 3s s

p s s sK

q s s=− =−

+ += = =+

j) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

2

4 5 2 2

2 2 1 1

K s s K s j s jGH

s s s j s j

+ + + + + −= =

+ + + + + −

En este caso se observa que no hay polos ni ceros sobre el eje real, lo que significa que el LGR no cruza ni se encuentra situado sobre el eje real. Finalmente, no se tienen ramificaciones al infinito, ya que 0n m− = . La figura 15 muestra el LGR para este inciso

Figura 15. LGR del inciso (j) para el ejemplo 3.


17

Lo restante es determinar los ángulos de partida de los polos y los ángulos de llegada en los ceros. Para ello se tienen las formulas respectivas:

180 'D GHθ = ° + ∠

180 ''A GHθ = ° − ∠

Donde 'GH∠ es el ángulo de fase de GH calculado en el polo complejo pero sin considerar la contribución de ese polo y ''GH∠ es el ángulo de fase de GH calculado en el cero complejo pero sin considerar la contribución de ese cero. De ese modo se tiene que:

Para 1s j= − + : ( )( )

( ) ( )1

1 2 1 2 1 2' arctan 2 90 26.5651

1 1 2s j

j j j j jGH

j j j=− +

− + + + − + + − += = ⇒ − ° = − °− + + +

180 26.5651 153.4349Dθ∴ = ° − ° = °

Para 1s j= − + : ( )( )

( ) ( )1

1 2 1 2 1 2' arctan 2 90 26.5651

1 1 2s j

j j j j jGH

j j j=− −

− − + + − − + − −= = ⇒ − + ° = °− − + − −

180 26.5651 206.5951 153.4349Dθ∴ = ° + ° = ° = − °

Para 2s j= − + : ( )

( )( ) ( )2

2 2 2'' 90 arctan 2 153.4349

2 1 2 1 1 2s j

j j jGH

j j j j j=− +

− + + += = ⇒ ° − − = °

− + + − − + + + −

180 153.4349 26.5651Aθ∴ = ° − ° = °

Para 2s j= − − : ( )

( )( ) ( )2

2 2 2'' 90 arctan 2 153.4349

2 1 2 1 1 2s j

j j jGH

j j j j j=− −

− − + − −= = ⇒ − ° − = − °− − + − − − + + +

180 153.4349 333.4349 26.5651Aθ∴ = ° + ° = ° = − °

Como se observa en los ejemplos anteriores, cuando se tienen sistemas de primer y segundo orden de fase mínima, el sistema de lazo cerrado siempre es estable. Sin embargo es posible que el comportamiento transitorio resultante sea oscilatorio. A continuación se verán algunos ejemplos donde el sistema de lazo abierto es estable pero en lazo cerrado se puede volver inestable; también el caso de sistemas de fase no mínima y sistemas con multiplicidad en los polos y ceros. Por último se verán ejemplos donde el LGR se determina a partir de un parámetro diferente a la ganancia en lazo directo y se comentará sobre el LGR complementario (para acción inversa).


18

LGR PARA SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

Para estos sistemas se puede dar el caso en que el LGR cruce el eje imaginario lo que significa que para algunos valores de ganancia K el sistema de control en lazo cerrado será inestable.

Ejemplo 4. Sea el sistema de control de lazo cerrado de la figura 1, donde la función de transferencia de lazo abierto es:

( ) ( )( 1)( 2)( 3)

KG s H s

s s s=

+ + +

Caracterizar el LGR mediante el cálculo de:

a) El LGR sobre el eje real

b) El centro cσ y los ángulos β de las asíntotas

c) El punto de ruptura bσ

d) El valor de ganancia K donde el LGR está sobre el punto de ruptura bσ

e) El valor de ganancia en que el sistema cruza el eje imaginario f) Los puntos sobre el eje imaginario donde toca el LGR

Solución:

(a) En la figura 16 se muestra el LGR sobre el eje real para este ejemplo.

Figura 16. LGR sobre el eje real para el ejemplo 4


19

(b) El sistema tiene 3n m− = ramificaciones que tienden a infinito. Por lo tanto se hace el cálculo para las tres asíntotas.

El centro de las asíntotas se determina mediante:

1 1 1 2 32

3 0

n m

i ii i

c

p z

n mσ = =

−+ += − = − = −

− −

∑ ∑

Mientras que los ángulos serán (para 0,1,2l = ):

( ) ( )

( )

18060

32 1 180 3 180

1803

5 180300

3

l

n mβ

° = °

+ ° °= = = °− °

= °

(c) El punto de ruptura se determina mediante:

( )3 2 26 11 6 3 12 11dK d

s s s s sds ds

= − + + + = − + +

De donde se tienen las raíces:

{ }12 144 1322.5774, 1.4226

6bs σ − ± −= = = − −

Como se observa de la figura 16, la raíz que corresponde al punto de ruptura es la que pertenece al

LGR que en este caso es: 1.4226bσ = −

(d) Por condición de magnitud, el valor de ganancia donde se alcanza el punto de ruptura es:

3 2

1.42261.4226

( )6 11 6 0.3849 0.3849

( ) ss

p sK s s s K

q s =−=−

= = + + + = − ⇒ =

(e) Para calcular el valor de ganancia en el que el LGR cruza el eje imaginario, se utiliza el análisis de Routh-Hurwitz:

3

2

1 11

6 6

66 6

61 6

s

s K

Ks

K

+− −

+


20

El LGR cruza el eje imaginario cuando en la columna de estabilidad aparece un cero. Es decir, cuando:

60 0 60K K− = ⇒ =

(f) Finamente, para determinar el LGR sobre el eje imaginario se sustituye el valor de K en el polinomio característico de lazo cerrado y se calculas las raíces:

( )( )3 2 26 11 66 6 11 0s s s s s+ + + = + + =

{ } { }6, 11, 11 6, 3.3166 , 3.3166s j j j j= − − = − −

También se pueden obtener mediante la segunda fila del arreglo de Routh-Hurwitz:

2 26 6 6 66 0s K s+ + = + =

11 11s j= ± − = ±

En la figura 17 se muestra el LGR resultante de este ejemplo.

Figura 17. LGR resultante del ejemplo 4

El siguiente ejemplo muestra el LGR para un sistema de cuarto orden peculiar por su distribución simétrica entre los polos.

1.4226bσ = −

2cσ = −


21

Ejemplo 5. Sea el sistema de control de lazo cerrado de la figura 1, donde la función de transferencia de lazo abierto es:

( ) ( )( 1)( 3)( 2 )( 2 )

KG s H s

s s s j s j=

+ + + − + +

Calcular las características necesarias para dibujar el LGR.

Solución:

La figura 18 muestra la ubicación de los polos de lazo cerrado, así como el LGR sobre el eje real.

Figura 18. Mapa de polos y ceros en lazo abierto y LGR sobre el eje real del ejemplo 5

El ángulo de partida del polo 2s j= − + :

2

1 1'

( 2 1)( 2 3)( 2 2 ) 4s jGH

j j j j j=− += =

− + + − + + − + + + −

4' atan 90

0GH

− ⇒ ∠ = − = °

180 90 270 90Dθ∴ = ° + ° = ° = − °

Por lo tanto, para el polo 2s j= − − es: 90Dθ = °


22

Por otro lado, existen 4n m− = ramificaciones del LGR que tienden a infinito. Por lo tanto:

1 3 2 2 82

4 4c

j jσ + + + + −= − = − = −

( ) ( )

18045

4540

1352 1 180 4 ; 0,1,2,3

9004225

41260

3154

llβ

= ° = °+ °

= = = = ° = °

Además, el LGR sobre el eje real entre dos polos significa que existe un punto de ruptura:

( )4 3 2 3 28 24 32 15 4 24 48 32 0dK d

s s s s s s sds ds

= − + + + + = − + + + =

( )33 26 12 8 2 0s s s s+ + + = + =

Por lo tanto 2bσ = −

El valor de ganancia en que se alcanza bσ sobre el LGR es:

4 3 2

22

( )8 24 32 15

( ) ss

p sK s s s s

q s =−=−

= = + + + +

16 64 96 64 15 127 128 1 1K = − + − + = − = − =

En la figura 19 se muestra el LGR resultante. Nótese que por geometría, los puntos sobre los cuales se cruza el eje imaginario son 2 j± . La ganancia en que esto ocurre es:

4 3 2

22

( )8 24 32 15

( ) s js j

p sK s s s s

q s ==

= = + + + +

16 64 96 64 15 65 65K j j= − − + + = − =


23

Figura 19. LGR resultante para el ejemplo 5

En reiteradas ocasiones se ha mencionado que el producto ( ) ( )G s H s determina la función de

transferencia de lazo abierto. En el siguiente ejemplo se visualiza la situación en que ( ) 1H s ≠ .

Ejemplo 6. Sea el sistema de control de la figura 1. Donde:

( ) ( )1

( ) ; ( )2 3

KG s H s

s s s= =

+ +

Determinar y calcular las características principales del LGR.

Solución:

El sistema de control en lazo cerrado resultante se muestra en la figura 20.

Figura 20. Sistema de control en lazo cerrado para el ejemplo 6


24

De donde se tiene que la función de transferencia de lazo cerrado es:

3 2( )

5 6

KsG s

s s s K=

+ + +

Por lo tanto, la ecuación característica está dada por:

3 25 6 0s s s K+ + + =

( )21 0

5 6

K

s s s+ =

+ +

1 ( ) ( ) 0G s H s+ =

De ese modo se observa que efectivamente, el lazo abierto para determinar el LGR está dado por el producto ( ) ( )G s H s . En la figura 21 se muestra el LGR resultante. Las características principales del

LGR son: centro y ángulos de las asíntotas, punto de ruptura, ganancia en el punto de ruptura, ganancia crítica y los puntos críticos sobre el eje imaginario.



25

• Para el centro y ángulos de las asíntotas se tiene:

0 2 3 1.66

3c cσ σ+ += − ⇒ = −

( ) ( ) { }2 1 180; para: 0,1,2 60 ,180 , 60

3

llβ β

+ °= = ⇒ = ° ° − °

• El punto de ruptura se calcula mediante:

1 1 1 ( 2)( 3) ( 3) ( 2)0

2 3 ( 2)( 3)

s s s s s s

s s s s s s

+ + + + + ++ + = =+ + + +

2 2 2 25 6 3 2 3 10 6 0s s s s s s s s+ + + + + + = + + =

{ }10 100 722.5486, 0.7847 0.7847

6b bσ σ− ± −= = − − ⇒ = −

• La ganancia en el punto de ruptura es:

3 2

0.78470.7847

( )5 6 2.1126

( ) ss

p sK s s s K

q s =−=−

= = + + ⇒ =

• La ganancia crítica se determina mediante:

3

2

1 6

5

30

51

s

s K

Ks

K

−

Por lo tanto: 30K =

• Finalmente, los puntos críticos sobre el eje imaginario (sustituyendo la ganancia crítica) son:

2 305 30 0

5s s+ = ⇒ = −

6 2.4495s j j∴ = ± = ±


26

LGR CUANDO EL PARÁMETRO VARIABLE NO APARECE EN EL L AZO DIRECTO

Como se mencionó al principio, el parámetro variable para obtener el LGR no necesariamente se encuentra en el lazo directo, ya que en general se obtiene para cualquier parámetro que se modifica dentro del lazo cerrado. En particular, otra de las opciones es determinar el LGR cuando el parámetro variable se encuentra en la retroalimentación como se muestra en el ejemplo 7.

Ejemplo 7. Sea el sistema de control de la figura 22. Determinar y calcular los parámetros del LGR.

Figura 22. Sistema de control en lazo cerrado con ganancia variable en retroalimentación.

Solución:

La función de transferencia de lazo cerrado está dada por:

( ) 3 22

( ) 5 5

( ) 3 2 5 53 2 5 5

Y s

R s s s s Kss s s K= =

+ + + ++ + + +

Por lo tanto, la ecuación característica es:

3 23 2 5 5 0s s s Ks+ + + + =

Para determinar el LGR, se separan de la ecuación característica los términos que no dependen de K:

( )3 23 2 5 5 0s s s Ks+ + + + =

A continuación, se dividen ambos lados de la igualdad entre el polinomio independiente de K:

3 2

51 1 0

3 2 5

KsGH

s s s+ = + =

+ + +

Por lo tanto, para este caso el nuevo lazo abierto está conformado por:

3 2

( ) 5

( ) 3 2 5

q s sGH K K

p s s s s= =

+ + +

De este modo, el problema se replantea para caracterizarlo del mismo modo que en los ejemplos anteriores. Por lo tanto:


27

( )( )( )5

2.9042 0.0479 1.3112 0.0479 1.3112

KsGH

s s j s j=

+ + − + +

La figura 23 muestra el mapa de polos y ceros en lazo abierto, así como el LGR sobre el eje real.

Figura 23. Mapa de polos y ceros en lazo abierto y LGR sobre el eje real del ejemplo 7

De donde se observa que 2n m− = , por lo que se tienen dos ramificaciones que tienden a infinito. En consecuencia, se calculan los ángulos y el centro de las n m− asíntotas:

2.9042 0.0479 1.3112 0.0479 1.3112 1.5

2c c

j jσ σ+ − + += − ⇒ = −

( ) ( ) { }2 1 180; para: 0,1 90 ,270

2

llβ β

+ °= = ⇒ = ° °

Si el polo sobre el eje real está lo suficiente lejos existe la posibilidad de que los polos complejos converjan al eje real en un punto de ruptura y posteriormente uno de ellos tienda al polo mientras que el otro tiende a otro punto de ruptura con el polo alejado sobre el eje real. Para este caso, un indicativo confiable es el ángulo de partida de los polos complejos conjugados. Si los ángulos tienden hacia el infinito (menor a 180°) entonces no habrá puntos de ruptura. Si los ángulos tienden hacia el eje real (mayor a 180°) entonces si se tendrán puntos de ruptura. Si el ángulo resultante es 180° es recomendable hacer el cálculo del punto de ruptura para tener la certidumbre de si existen o no puntos de ruptura. Por lo tanto, lo ángulos de partida se calculan mediante:

180 'D GHθ = ° + ∠


28

Para 0.0479 1.3112s j= − + se tiene:

( )( )0.0479 1.3112

5'

2.9042 0.0479 1.3112s j

sGH

s s j=− +

=+ + +

( )( ) ( )

5 0.0479 1.3112'

0.0479 1.3112 2.9042 0.0479 1.3112 0.0479 1.3112

jGH

j j j

− +=

− + + − + + +

( )( )( )

0.2396 6.5562 0.2396 6.5562'

2.8562 1.3112 2.6225 3.4387 7.4905

j jGH

j j j

− + − += =+ − +

6.5562 7.4905' arctan arctan 22.5657

0.2396 3.4387GH

∠ = − == − ° − −

Por lo tanto:

180 22.5657 157.4343Dθ = ° − ° = °

Es decir, los polos complejos conjugados en 0.0479 1.3112s j= − ± tienden a las asíntotas, por lo que

no hay puntos de ruptura sobre el eje real. En la figura 24 se muestra el LGR resultante con las asíntotas calculadas.



29

LGR COMPLEMENTARIO (DE ACCIÓN INVERSA)

En este caso, se determina el LGR para 0K ≤ en cuyo caso las reglas para obtener el LGR son diferentes. Además se le conoce como LGR complementario debido a que proporciona diferentes ubicaciones de los polos en lazo cerrado que geométricamente complementan las trayectorias sobre el plano complejo y el eje real. En las figuras 25(a), 25(b), 25(c), 25(d) y 25(e) se muestran algunos ejemplos del LGR ( 0K > ) con su LGR complementario ( 0K < ).

(a)

( )( )1 3

KGH

s s=

+ +

(b)

( )( )( )

2

1 1

K sGH

s j s j

+=

+ + + −


30

(c)

( )( ) ( )1 2 3

KGH

s s s=

+ + +

(d)

( )( )25 4

KsGH

s s=

+ +


31

(e)

( )( )( )

2

2

4 8

4 2 2

K s sGH

s s s

+ +=

+ + +

Figura 25. Ejemplos del LGR para K > 0 y el LGR complementario para K < 0

De los ejemplos se observa que sea cual sea el valor de K (positiva o negativa) los polos jamás repiten la trayectoria de otro polo. También se observa que para el caso de la acción inversa (K negativa), aunque el sentido de movimiento de los polos es opuesto, la trayectoria generada proporciona una continuidad geométrica. Finalmente, resulta evidente que el conjunto de reglas y algunas de las fórmulas para calcular las características del LGR complementario son diferentes. Una de las fórmulas que se mantienen igual es la del punto de ruptura ya que ahora se entiende porqué cuando se calcula para el LGR normal, aparecen dos valores, uno dentro del LGR y el otro corresponde al LGR complementario como se observa en los ejemplos de las figuras 25(b) y 25(c). El uso y aplicación de la acción inversa dependerá de las necesidades de diseño; o bien, del sistema de control ya que es posible que requiera de una acción inversa para obtener el LGR en forma habitual.


32

EJERCICIOS

I. Determinar el LGR para los siguientes sistemas.

Nota: Obtener también como apoyo el LGR mediante MATLAB o SCILAB utilizando el comando “RLOCUS” o “EVANS” respectivamente.

1. ( )2

3

1;

sGH K

s

+= 2. ( ) ( )

3;

1 5

sGH K

s s s

+=+ +

3. ( )2;

4 5

KGH

s s s=

+ +

4. ( )2

4

2 2;

1

s sGH K

s

+ +=+

5. ( )( )2

20;

5 4

sGH

s s=

+ + 6.

( )( )2

44

11 4

sGH

s s=

+ +

II. Determinar las características del LGR para el sistema de control por retroalimentación de la

figura 26, indicando la ubicación de los polos de lazo cerrado en { }0.1,0.2k = .

Figura 26. Sistema de control de un grado de libertad

Comprobar sus resultados utilizando MATLAB o SCILAB.

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