Lugar de Las Raices

Lugar de las raices

Jorge Ivan Sofrony Esmeral

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

2013

Jorge Ivan Sofrony Esmeral Lugar de las raices

Caracterización del desempeño transitorio de sistemas

A pesar de la diversidad de señales de comando que pueden existiren un sistema, ha sido habitual caracterizar la respuesta transitoriade un sistema en términos de la respuesta a un paso. El cambiobrusco en T=0 permite juzgar propiedades que con otro tipo deseñales no serían ostensibles. Esta, es también, una vieja costumbreheredada de la Ingeniería Eléctrica.


Respuesta transitoria en sistemas


Donde asumimos las de�niciones:

yee : valor de y(t ) en estado estacionario

Ts : Tiempo de establecimiento del sistema, Es el tiempopara el cual la salida está en un franja de yee(1 ±0.02)

Tr : Tiempo de Subida.Tiempo para el cual la salidaalcanza el 90% de su valor �nal yeepor primera vez.

Td : Tiempo de Retardo. Tiempo para el cual la salidaalcanza el 10% de su valor �nal yee por primera vez.

SP: sobrepico, sobrepaso, (overshoot en inglés)


Polos dominantes y constante de tiempo

Supongamos que tenemos un sistema estable de elevado orden. Siexiste un polo o un par de polos complejos conjugados que estánmucho mas cerca del origen que los demás, decimos que sondominantes. Un polo será dominante si

|Re(polo dominante)| ≤ (5 10)| Re( pi ) Donde pi | , denota losdemás polos de T(s )

Es decir de 5 a 10 veces más cerca al origen que Los demás


Ejemplo


Simulamos la respuesta al paso de los dos sistemas, encontrandoque es buena aproximación el de primer orden.

El numerador lo elegimos de manera que los dos sistemas tengan lamisma respuesta de estado estable.


Puede darse el caso de que los polos dominantes sean los delsistema de segundo orden como en:


Simulamos para comparar la respuesta de los dos sistemas y seobtiene:

Y notamos el parecido en las dos respuestas.


Con la discusión precedente podemos ver que, sin considerar larespuesta debida a los ceros, para sistemas en los cuales existenpolos dominantes, es posible hacer una aproximación por el sistemaequivalente con solo los polos dominantes.

Si hay un polo dominante de primer orden aproximamos alsistema por un sistema de primer orden

Si hay un par de polos complejos conjugados dominantesaproximamos el sistema por uno de segundo orden.


La aproximación no es buena si no se cumple el criterio dedominancia de polos.

La aproximación no es buena si existen ceros cercanos a lospolos dominantes en la función de transferencia del sistema.

El poder aproximar un sistema por sus polos dominantes haceque una gran cantidad de sistemas se puedan caracterizarcomo si fueran de primer o segundo orden.


Sistema de primer orden


Sistema de segundo orden


Si asumimos

ξ < 1G(s) tiene polos en:

s1,2 = −σ ± jωd

s1,2 = −ξωn ± jωn

√1− ξ2

σ = ξωn

ωd = jωn

√1− ξ2

σ: factor de amortiguamiento

ωd : frecuencia natural amortiguada


Estas relaciones geométricas permiten establecer elcomportamiento de un sistema de segundo orden


La respuesta al paso del sistema esta dada por

y(t) = 1− ωn

ωd

e−σtsin(ωd t + θ)

A continuación enumeramos, sin demostración algunos resultadosde la respuesta transitoria en un sistema de segundo orden:


Además de la fórmula para el tiempo de subida obtenida porsimulación exhaustiva y aproximación polinomial

Tr =2.23ξ2 + 0.036ξ + 1.54

ωn, validaparaξ < 1∗∗∗

Esta última ecuación nos muestra que para disminuir Tr esnecesario aumentar ωn (la distancia de los polos al origen ) o hacerξ más pequeño.***LB


Constante de tiempo de un sistema

Simulamos la respuesta al paso de los dos sistemas, encontrandoque es buena aproximación el de primer orden.

Si se tiene un sistema de mayor que de segundo orden y suponemosque su respuesta está en su mayoría determinada por los polos de lafunción de transferencia, de�nimos la constante de tiempo delsistema como

τsistema =1

min|Re(polosdeG )|Jorge Ivan Sofrony Esmeral Lugar de las raices

Región de diseño

Con base en las fórmulas de respuesta transitoria enunciadasanteriormente es posible encontrar una región de diseño del planocomplejo, en la cual se pueden ubicar los polos de un sistema desegundo orden para que satisfagan simultáneamente condiciones desobrepico y de Tiempo de establecimiento y en ocasiones deTiempo de subida.


Región de sobrepico

Sabiendo que:

SP = e−πξ√1−ξ2 , ξ < 1

Supongamos que en un sistema determinado se tolera a lo sumo unsobrepico de SPmax .


De esta manera, invirtiendo la fórmula del sobrepico y teniendo queel sobrepico es decreciente con relación a x

ξ ≥ ξ =|ln(SPmax)|√π2 + ln2(SPmax)

Cualquier valor de ξ que satisfaga esto producirá un sobrepicomenor a SPmax , ahora relacionaremos esto Con el ángulo de lospolos.


Recordando que

De manera que:


=⇒θ ≤ θmax = cos(ξmin)


Las fórmulas de análisis y diseño


Ejemplo

Determinar la región de diseño donde se cumplirán:

SPmax ≤ 4%

Tsmax ≤ 18s

Trmax = 2s


=|ln(0.04)|√π2 + ln2(0.04)

= 0.715

θ ≤ θmax = cos−1(ξmin) = cos−10.715 = 44.3°

σ ≥ σmin =4.5

Tsmax⇒ σ ≥ σmin =

4.5

18= 0.25


Región de diseño del ejemplo


Métodos clásicos de diseño de Controladores

Método del Lugar de las raíces

Una de las técnicas mas referenciadas en los libros de texto control,es el método del lugar de las raíces o método de EVANS (1948). Eneste método se usa el grá�co del lugar de las raíces y lo estudiadosobre la región de diseño en sistemas de segundo orden, parasintetizar controladores.


Ventajas del lugar de las raíces

Se tiene información aproximada del desempeño transitorio delsistema.

Es intuitivo, directo y sirve como primera aproximación a unagran cantidad de problemas.

Da una idea de la estabilidad del sistema en lazo cerrado.


Desventajas del lugar de las raíces

No se visualiza el desempeño estacionario de un sistema

Se trabaja con la aproximación de sistemas de segundo orden,la no existencia de polos dominantes de segundo orden y deotra parte, los ceros, harán que esta aproximación no sea deltodo válida.

Da una idea muy vaga de la estabilidad robusta del sistema enlazo cerrado.


Un ejemplo introductorio

Consideremos el sistema:

G (s) =1

s(s + 4)

El cual representa la función de transferencia de un motor al cual sele pretende controlar la posición angular.


.Los requerimientos exigen diseñar un controlador que satisfaga lassiguientes especi�caciones:

ep = 0(yasecumple)

SP ≤ 5%

Ts ≤ 4.5s

Tr , lomasrapidoposible

El controlador más simple que se puede hacer es de tipoproporcional


Para este sistema:

T (s) =k

s2 + 4s + kL(s) = C (s)G (s) =

k

s2 + 4s

Las raíces de este polinomio estarán en:

s1, s2 = −2±√4− k

Demos algunos valores a k y calculemos los polos de T


El gra�co muestra la región de diseño y los polos de lazo cerradodel sistema


La tabla y el grá�co anterior nos llevan a la conclusión de que elmejor valor es k=8 .Un problema de este tipo se puede resolver como en el casoanterior por ensayo y error sobre diferentes valores de k. Sinembargo en un intento de hacer esto más sistemático se usa latécnica del lugar de las raíces.

Lugar de las raíces: grá�co que se forma al variar el parámetro kpara valores positivos.

0 < k <∞


Propiedades del lugar de las raíces

Los polos de T(s) estarán en:

DL(s) + kNL(s) = 0


Rescribiendo la ecuación anterior:

L(s) = −1

k

Tomando ángulo y magnitud en la última ecuación se obtienen lasimportantes:

Estas propiedades tienen una interpretación geométrica que permitehacer cálculos grá�cos importantes, como ilustraremos acontinuación


Sea

L(s) =q(s + a)

(s + b)(s + c)(s + d)

Supongamos que s ,es un punto en el lugar de las raíces Ademáspodemos representar cada cero y cada polo en su forma compleja

(s0 + a) = |s0 + a|e jθ

(s0 + b) = |s0 + b|e jθ1

(s0 + c) = |s0 + c|e jθ2

(s0 + d) = |s0 + d |e jθ3


De manera que:

L(s0) =q(s0 + a)

(s0 + b)(s0 + c)(s0 + d)

En notación compleja:

L(s0) =q|s0 + a|e jθ

|s0 + b||s0 + c ||s0 + d |e j(θ1+θ2+θ3)

Usando las condiciones de magnitud y ángulo

|L(s0)| =|q||s0 + a|

|s0 + b||s0 + c||s0 + d |=

1

k

]L(s0) = φ− (θ1 + θ2 + θ3)

φ− (θ1 + θ2 + θ3) = 180°+iX360


El gra�co muestra la región de diseño y los polos de lazo cerradodel sistema


¾Cómo calculo k grá�camente?

Invirtiendo la condición de magnitud se puede obtener la fórmulaque permite determinar grá�camente el valor de la ganancia apartir del lugar de las raíces.

k =1

|L(s0)|

k =|s0 + b||s0 + c ||s0 + d |

|q||s0 + a|Solo debemos medir las distancias a los polos y a los ceros ypodemos estimar k, esto es lo que queremos en diseño decontroladores


Construcción del Lugar de las Raíces

Realmente el lugar de las raíces de un sistema se obtiene hoy en díausando métodos computacionales, si por ejemplo usamos MATLABes fácil obtener el lugar de las raíces de un sistema usando elcomando RLOCUS.Ejemplo lugar de las raíces de:


Sin embargo estudiaremos algunas de las reglas básicas deconstrucción que nos pueden ayudar conceptualmente en el diseñode sistemas usando el lugar de las raíces, aunque para propósitosprácticos, estos lugares se realizarán con la ayuda de computador.Cabe anotar que ahora existen herramientas muy poderosas deanálisis y diseño de sistemas como el SISOTOOL con el cual sepueden abordar muchos de los problemas de control fácilmente.


Reglas básicas de Construcción del Lugar de las Raíces

Seanm→numero de ceros de L(s )n→numero de polos de L(s)Regla 0 .Como es el lugar de las raices?

El lugar de las raices en un gra�co simetrico respecto del eje real(pues los polos son reales o complejos conjugados) con n ramas,cada una correspondiente a la evolucion de cada polo con el cambiodel parametro k


Regla 1 ¾donde comienza el lugar?

El lugar de las raíces de un sistema siempre comienza en los polosde L(s).Puesto que

DL(s) + kNL(s) = 0

Sik → 0, setiene

DL(s) = 0, lospolosdeL(s)


Regla 2 ¾donde termina el L.R?

El lugar de las raíces de un sistema puede terminar para valoresgrandes de k en:

Los ceros de L(s)

esto puesto que:

DL(s) + kNL(s) = 0

1

kDL(s) + NL(s) = 0

Cuando k→∞ , en la ecuación anterior quedaN(s)=0, es decir los ceros de L ( s)


Regla 2 ¾donde termina el L.R?


Regla 3 ¾Qué puntos del eje real están en el L.R?

Un punto en el eje real está en el lugar de las raíces si el numerototal de polos y ceros a su derecha es impar


Regla 4 ¾Cómo se encuentran las asíntotas del LR?

Para k→∞ ,como deciamos el lugar de las raíces tiende aasíntotas.Estas tienen un centroide en:

CE =

∑polos −

∑ceros

n −m

Respecto del cual forman ángulos

]As =±(si + 1)x180

n −m, i = 0, 1, 2, 3......n −m − 1


Regla 5 ¾Cómo se encuentran los puntos de ruptura?

Los puntos de ruptura son sitios donde las ramas del lugar de lasraíces se abren saliendo del eje real ó donde las ramas se juntan,entrando hacia él


Para encontrar los puntos de ruptura en el lugar de Las raíces,calculamos donde:

d

ds[L(s)] = 0

d

ds[NL(s)

DL(s)] = 0

DL(s)NL'(s)− NL'(s)DL(s) = 0


Ejemplo 2

Hagamos un bosquejo rápido del lugar de las raíces para el sistema:

G (s) =s + 4

s(s − 2)

Usando las reglas anteriormente citadas.


R0-R1-R2:En primera instancia trazamos los polos y ceros de G(s)en los cuales comienza el lugar de las raíces. También sabemos queuna rama irá al cero y otra ira a una asíntota


R3: Trazamos ahora el lugar sobre el eje real


R4: calculamos las asíntotas que en este caso no son sinon-m=2-1=1

CE =

∑polos −

∑ceros

n −m=

0 + 2− (−4)

1= 6

]As =±(si + 1)x180

n −m= ±180, L = 1


R5: calculamos ahora los puntos de ruptura

DL(s)NL'(s)− NL'(s)DL(s) = 0

(2s − 2)(s + 4)− (1)(s2 − 2s) = 0

s2 + 8s − 8 = 0

soluciones:0.89, -8.89


Diseño con el lugar de las raíces

Seguimos estos pasos:1. Seleccionar una con�guración del controlador, con una gananciavariable k.2. Encontrar el rango de valores de ganancia [kmin, kmax ]quegarantizan la estabilidad.3. Escoger el valor de ganancia mínima k que garantiza elcumplimiento de la especi�cación estática. Si k/∈[kmin, kmax ], esnecesario seleccionar otro tipo de controlador (volver al paso 1).4. Traducir las especi�caciones dinámicas SP y Ts Tr en una regiónde diseño, donde deben estar los polos.


Seguimos los pasos (continuación)5. Construir el lugar geométrico para L(s), indicando la región dediseño y determinar los valores de la ganancia que garantizan queTODOS los polos están en RD (región de diseño). Si no hay valoresde ganancia que satisfagan esto, volver a 1.6. Escoger un valor de ganancia, que satisfaga todas las condicionesanteriores, de modo que permita satisfacer otras condiciones comoTr, etc.7. Simular la respuesta del sistema de lazo cerrado con elcontrolador diseñado, para garantizar que efectivamente se cumplentodas las especi�caciones.

Tomado del libro del profesor Hernando Díaz


Con base lo anterior ejemplo diseñe un controlador proporcionalpara la planta:

G (s) =s + 4

s(s − 2)

Que cumpla los siguientes requerimientos:

ev ≤ 10%

SP ≤ 20%

Ts ≤ 0.9s


T (s) =ks + 4k

s2 + (k − 2)s + 4k

La estabilidad del sistema se logra cuando k>2 Para el error develocidad:

ev = |k − k + 2

3k| = | 2

4k| ≤ 0.1

k ≥ 10


La región de diseño tendrá las fronteras:


=|ln(0.2)|√π2 + ln2(0.2)

= 0.45

θ ≤ θmax = cos−1(ξmin) = cos−10.7 = 62.8°

σ ≥ σmin =4.5

Tsmax⇒ σ ≥ σmin =

4.5

0.9= 5

El lugar de las raíces ya lo habíamos obtenido antes, trazamos sobreeste la región de diseño


Los valores de k mostrados producen polos en la región de diseño,que además cumplen con el error.


Para calcular las ganancias podemos usar dos métodos EnMATLAB.

Es claro que del grá�co de las raíces podemos obtener directamentela ganancia mirando la ubicación de los polos y usando la condiciónde magnitud.


Por ejemplo en donde el polo es:

s = −5 + 4.79j

k =1

|G (−5 + 4.79j)|=

1|−5+4.79j+4|

|−5+4.79j ||−5+4.79j−2|

= 12

y donde el polo es -8

k =1

|G (−8)|=

1|−8+4||−8||−8−2|

= 20


Simulamos la respuesta del sistema y obtenemos lo siguiente:


Efecto de polos y ceros en el lugar de las raíces

Coloquemos el sistema del ejemplo inicial

G (s) =1

s(s + 4)

Agreguemos un cero y después un polo al sistema y miremos suefecto en el lugar de las raices

G1(s) =s + 5

s(s + 4);G2(s) =

1

s(s + 5)(s + 4)


Otros diseños con lugar de las raíces

Supongamos que tenemos el sistema

G (s) =2

s(s + 1)(s + 4)

Supongamos adicionalmente que queremos lograr Los siguientesobjetivos:

SP ≤ 5%

Ts ≤ 3s

Tr , lomasr apido


La función de transferencia es

T (s) =2k

s3 + 5s2 + 4s + 2k

ep = 0

y la región de diseño tiene fronteras en

θ ≤ 45

σ ≥ 1.5


La estabilidad del sistema requiere k=10, adicionalmente esimposible lograr que el tiempo de establecimiento sea el adecuado.


En un caso como este es necesario insertar un cero en la función detransferencia del lazo.

El efecto de introducir un cero estable siempre será el de atraer ellugar de las raíces del sistema hacia la izquierda. Esto es un efectode la condición de ángulo. Esta función del compensador esimpropia y no puede ser realizada �sicamente, pero iniciemos ladiscusión, pensando en que se pudiera insertar un cero �puro�.


El esquema anterior es equivalente a tener un control PDProporcional derivativo

Las dos estructuras son idénticas, e introducir un control cero espor completo equivalente a un control PD


Miremos el efecto con varios valores del cero, en el Lugar de lasraíces del sistema.


En el gra�co anterior se muestra la progresión del lugar de lasraíces. Conforme el cero se va llevando hacia el origen su efecto seva haciendo más pronunciado. En la �gura (d) con z=1.5, casihemos logrado nuestro objetivo. Tomemos z=1.1 y lograremostodo.


Según esto hemos diseñado un compensador PD, con parámetros:

kd = kz = 2.3

kp = kzxz = 1.1x2.3 = 2.53

Sin embargo recordemos que no podemos implementar funciones detransferencia impropias y que en realidad el compensadorproporcional tiene la forma propia:


Donde N determina el ancho de banda efectivo del derivador, comoya habiamos vistoSea la funcion de transferencia del derivador real:

Kd skdNs + 1

=Kd s

τd s + 1

De manera que un controlador PD real tendrá como función detransferencia:

C (s) = Kp +Kd s

τd s + 1=

Kpτd s + kp + Kd s

τd s + 1=


En realidad esta última es una red de adelanto, en la cual ya notenemos el problema de las funciones de transferencia impropias.Una red de adelanto es un sistema conformado por un polo y uncero en el semiplano izquierdo. La característica central en el planocomplejo, es que el cero esta más cerca del origen que el polo.


En una red de adelanto lo que predomina es el comportamiento delcero, de hecho es una aproximación para un cero �puro�, su efectotiende a ser estabilizante y mejorar el tiempo de respuesta de unsistema. Aunque si el cero es muy cercano al origen produce efectosde sobrepico


Para el diseño hacemos lo siguiente:Ubicamos únicamente el cero, como hicimos en el ejemplo hasta, sies posible, lograr �encajar� el lugar de las raíces dentro de la regiónde diseño.Seguidamente, colocamos un polo a una distancia considerable delcero para que su efecto no sea sostensibleSuele ser un criterio de diseño inicial

p =10z

Pero hay que ajustarlo con iteraciones del rlocus:


Ejemplo

Encuentre un valor de p para que el efecto del cero no seaostensible en la respuesta del sistema para el ejemplo anterior. Conbase en esto encuentre todos los parámetros del compensador PD


Como vemos para p=11, criterio inicial el polo aún tiene un efectomarcado, con p=20, este efecto desaparece. Finalmente conk=42.5 todos los objetivos se cumplen.


C (s) = 42.5s + 1.1

2 + 20

Y ahora hacemos la simulación en el tiempo de este sistema juntocon el que tenia el controlador impropio con solo el cero paracomparar.

Como vemos son bastante similares, los objetivos se cumplierontotalmente.


Redes de atraso

Con la misma estructura que vimos anteriormente y si hacemos queel polo este más cerca al origen que el cero

Tendremos un compensador de atraso, la característica primordialpor la que se usa este compensador, es porque permite reducir elerror estacionario en entradas de tipo paso y rampa, comorevisaremos.


Recordemos que:

ep = | 1

1 + kp|

Kp = L(0) = C (0)G (0) =Kz

pxG (0)

Si, por ejemplo, G(0) es �nito, Kp se verá aumentada en el factorKz/p. Si hacemos que la relación polo cero sea grande lograremosreducir el error de posición


De manera similar para la constante de error De velocidad:

ev = | 1kv|

kv = sL(0) = sC (0)G (0)

Supongamos que G contenga un integrador, de lo contrario notendría error �nito

kv = sL(0) = sC (0)[G1(0)]

Donde hemos cancelado s con el polo de G

kv =kz

pG1(0)

si z � p ⇒ kv →∞⇒ ev → 0


Puede haber un caso particular, donde se combinen Los dosefectos, que es una red de adelanto-atraso

El controlador combinará los efectos deseables de cada red.


Caso particular: el control PI

Un caso muy usual que ya hemos revisado es el de control PI. Elcontrol PI se incluye para eliminar el error de estado estacionario.


Entonces, un control PI no es otra cosa que un tipo de red de

atraso. Desplazar el cero más hacia la el eje imaginario, tiene unefecto estabilizante, pero tiende a aumentar el sobrepico SP y eltiempo de respuestaEjemplo:Se tiene el sistema

G (s) =0.2

s3 + 2.05s2 + 1.25s + 0.2


Se quiere un sistema de control que satisfaga

Suponiendo un control proporcional

T (s) =4k

20s3 + 41s2 + 25s + 4k + 4

De aqui que

ep = |β0 − α0α0

| =4

4k + 4≤ 0.05


K ≥ 3.96

0.04= 99

Cuyo lugar de las raíces es:

Para valores de k mayores a 12.2 el sistema se torna Inestable, deaquí que sea imposible lograr el error de posición.


Intentaremos con un control PI

Hacemos inicialmenteZ=-1

Logramos 0 error estacionario y estabilidad pero aun no se logranlas otras especi�caciones.


Podemos hacer una cancelación polo cero estable del polo en -0.25puesto que este se encuentra en la región de diseño.

Con lo cual hemos ubicado todos los polos en la Región de diseño


Ahora presentamos la respuesta al paso del sistema dondeveri�camos que se cumplieron todos los objetivos del diseño.


Usando el siguiente código en MATLAB podemos revisar el error aestado estacionario que como se espera es nulo. Sin embargo,miremos también cual es el error a la rampa.

Una vez corrido este código arroja un valor como, 2.1867e-015, quees un cero en calculo numérico del computador.


Para calcular el error de velocidad hacemos lo siguiente:

El ev nos da 440% y ahora miramos la simulación ante una entradarampa


Controladores PID en el lugar de las raíces

La función de transferencia de un controlador PID con derivadorideal esta dada por:

C (s) = kp +Ki

s+ Kd s

Recordamos que derivadores ideales no pueden existir por lo cual

C (s) = kp +Ki

s+ Kd s, dondeτd =

kd

N



Esto nos conduce a:

C (s) =kps(τd s + 1) + Ki (τd s + 1) + Kd s

2

s(τd s + 1)

De�namos

pd =1

τd

De aquí que

C (s) =kps( s

pd+ 1) + Ki (

spd

+ 1) + Kd s2

s( spd

+ 1)



Expandiendo esta expresión y factorizando términos semejantesobtenemos la función del PID propio, el cual si puede realizarse.

C (s) =s2(kp + Kdpd ) + s(ki + Kppd ) + Kipd

s(s + pd )

Este lo podemos reescribir de la forma:

C (s) =as2 + bs + c

s(s + pd )


Donde tomamos las de�niciones:

c = kipd

b = kppd + ki

a = kp + kdpd

Que nos permiten despejar las constantes del PID Para su diseño:

Ki =c

pd

Kp =b − ki

pd;N = Kdpd

Kd =a − kp

pd



Con la expresión anterior como:

C (s) =as2 + bs + c

s(s + pd )=

K (s + zi )(s + z2)

s(s + pd )

Entonces el PID no es otra cosa que un controlador de segundoorden con un polo en el origen y otro polo estable lejano queaparece como consecuencia de la implementación real del derivador.Adicionalmente, el controlador PID tiene dos ceros (z1y z2 ), loscuales pueden ser reales o complejos.



Podemos diseñar un PID en el lugar de las raíces si ubicamos polosy ceros con estas distribuciones. El caso de usar ceros complejos esmás usual pues en muchos casos produce una mejor respuesta.


�Adicionalmente podemos notar que, en el caso de ceros reales, elPID no es sino un caso de una red de adelanto-atraso.�Los ceros complejos sea usan para neutralizar el efecto devibración, en sistemas mecánicos por ejemplo, que tienen polos concomponentes imaginarios elevados. Mediante cancelacion ocorrimiento



Pasos de diseño

1. Se hace el lugar de las raíces y la región de diseño de G(s). Seañaden el polo en s=0 y los ceros. Iterativamente los ceros se vanacercando al origen hasta lograr que el lugar de las raíces puedaubicarse en la región de diseño.2. Se ajusta la ganancia para ubicar todos los polos en la región dediseño3. Se coloca el polo lejano del derivador, eligiendo primero un valoralto y disminuyendolo progresivamente hasta que su efecto no sevea en la respuesta transitoria del sistema



Ejemplo

Se tiene el sistema con función de transferencia

G (s) =100000

(s + 100)(s + 20)(s + 5)(s + 1)

Diseñar un PID para lograr las siguientes especi�caciones

ep = 0

SP ≤ 10%

Ts ≤ 2s


Ejemplo

Dibujamos el lugar de las raices y agregamos el polo en cero.


Ejemplo

La inserción del polo en s=0 del integrador, ha producido un efectodesestabilizante como esperábamos, pero debemos recordar que elerro de posición sera nulo.

Para eliminar el efecto desestabilizante del integraodor ahoradebemos colocar el efecto estabilizante de los dos ceros del PID.


Con estos valor hemos logrado que el lugar de las raíces quede en laregión de diseño y los polos de lazo cerrado puedan estar dentro deella.


Por último elegimos un polo lejano que no cambie demasiado ellugar de las raíces ya encontrado, ni la respuesta transitoria.


Para todo esto se ha usado la herramienta SISOTOOL deMATLAB. Podemos exportar al espacio de trabajo de MATLAB elcontrolador C obtenido y usar las formulas obtenidas anteriormentepara encontrar el PID equivalente.


Lo convertimos a función de transferenciaC=tf(C)

C (s) =2.176s2 + 15.43s + 19.39

s2 + 40s

Y recordamos las fórmulas:

Ki =c

pd

Kp =b − ki

pd;N = Kdpd

Kd =a − kp

pd


Que calculamos directamente con este código


De donde:

ki = 0.4847

kp = 0.3735

kd = 0.0451

N = 1.8028

Para probar que hicimos las cosas bien simulamos en Simulink conel PID aproximado y estas constantes.


Simulación del PID

Con lo cual con�rmamos que nuestro PID, Quedó bien diseñado.


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