Metodo Del Lugar Geometrico de Las Raices

CONTROL

AUTOMATICO

CAPITULO V

METODO DEL LUGAR

GEOMETRICO DE LAS RAICES

Juan F. del Pozo L.

Mtodo del Lugar Geomtrico de

las Races

Concepto del lugar de las races

Procedimiento del lugar geomtrico de las races

Ejemplos de anlisis y diseo

Diseo de parmetros mltiples

Ajuste del controlador P, PI, PID utilizando el

mtodo del lugar geomtrico de las races

29/11/2010 FIEC Juan F. del Pozo L. 2


Concepto del lugar de las racesLa estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema en red cerrada dependen de la ubicacin en el plano s de los polos de lazo cerrado; o dicho de otra manera, de las races de la ecuacin caracterstica.

Al variar uno o mas parmetros del sistema (generalmente la ganancia del controlador) se obtiene un grfico en el plano s al que denominaremos Lugar Geomtrico de las Races, LGR, de la ecuacin caracterstica.

En base a un bosquejo aproximado del lugar geomtrico es posible obtener informacin cualitativa referente a la estabilidad del sistema.

La Ecuacin Caracterstica resulta:


las Races

1 1

1

1

... ( ) ... ( ) ;

( ) ... ( ) ( ) ( )( )

( ) ... 1 ( ) ( ) ( ) ( )

n mn o m o

mm o c p

nn o c p

A s A s A C s B s B s B R s n m

C s B s B s B G s G s p sT s

R s A s A s A G s G s H s q s

( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) ( ) 0c p

q s C s

G s G s H s



las Races

Concepto del lugar de las racesEn base a un bosquejo aproximado del lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica es posible obtener informacin cualitativa referente a la estabilidad del sistema.

Del diagrama de bloques tenemos: Gc(s) Funcin de transferencia del controlador

Gp(s) Funcin de transferencia de la planta

H(s) Funcin de transferencia del sensor-transmisor

Generalmente el ajuste se realiza en la ganancia del controlador: K.F(s) Funcin de Transferencia de Lazo, o Lazo Abierto

( ) ; 0

( ) ( ) ( )

1 ( ) 0 ; ( ) 1

1( )

( ) 180 360 ; 0,1,2,..o o

Gc s K K

H s Gp s F s

K F s K F s

F sK

F s k k


Mtodo del Lugar

Geomtrico de las

Races

Concepto del lugar de las racesComo ilustracin tomemos el caso se un sistema de segundo orden

Su ecuacin caracterstica es:

2

( )( )

( )

2 ; 0

C s KT s

R s s as K

a K

2 2 2

22

1 2

1 2

( ) 2 0

, 12 4

0 0 2

1 1 1

2 1 1

n n

n n

q s s as K s

K

K s

j

s

s

a as s

j



las RacesConcepto del lugar de las races

Como ilustracin tomemos el caso se un sistema de segundo orden

Aplicando el Criterio de Angulo y de Magnitud a su Ecuacin Caracterstica a un valor de raz s1: tenemos:

El Criterio de Angulo y Magnitud se cumple tanto en el segmento entre 0 y a como tambin en la recta perpendicular que pasa por el punto a/2

1( ) 180 ...

( )

1 1 1

( )

oi i

s si

i is si

s s as s a

s s a s s a K


las Races

Grafico del Lugar Geomtrico usando la SpiruleThe Spirule (copyright 1951) es una herramienta mecnica simple diseada por Walter R. Evanz para facilitar una bsqueda grfica del lugar de las races.

http://www.nzeldes.com/HOC/images/SpiruleManual.pdf



Procedimiento del lugar geomtrico de las racesSea la Ecuacin Caracterstica del sistema:

NOTA: Observe que el parmetro que vara es el factor K o ganancia del controlador.

Investigando el comportamiento de la Ecuacin Caracterstica cuando la ganancia K vara:

Para K = 0:

Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los polos de F(s).

Para K =oo

Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los ceros de F(s).


las Races

1

1 1

1

1 ( ) 0 ; 0

( )1 0 ( ) ( ) 0

( )

mi n mi

j in j i

jj

K F s K

s zK s p K s z

s p

0psn

1jj )(

0zsm

1ii )(



las RacesProcedimiento del lugar geomtrico de las races

Investigando el comportamiento de la ecuacin caracterstica cuando la ganancia K vara:

Para K = 0: Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los polos de F(s)

Para K =oo Las races de la ecuacin caracterstica corresponden a los ceros de F(s)

Por lo tanto, el lugar geomtrico de las races principia en los polos y terminarn en los ceros de F(s).

Para el caso cuando (n>m), habr (n-m) trayectorias que terminen en ceros en el infinito.

El lugar geomtrico de las races en el eje real siempre est en una seccin del eje a la izquierda de un nmero impar de polos y ceros de F(s).

El nmero de lugares geomtricos separados es igual al nmero de polos de F(s).

Los lugares geomtricos de las races deben ser simtricos con respecto al eje real horizontal, debido a que las races complejas aparecen como pares complejas conjugadas.


las Races


Ejemplo para visualizar un punto de salida y uno de llegada sobre el eje real.

Analizaremos el siguiente ejemplo.

Segn el ejemplo hay un punto de salida y uno de llegada

0

61 ( ) 1

( 2)

K

sK F s K

s s


Mtodo del Lugar

Geomtrico de las Races


Los puntos de salida ocurren en un mximo y los de llegada en un mnimo de K en funcin de s

Graficamos la variacin de K en funcin a s

2

61 ( ) 1 ; 0

( 2)

; 0

2

6

sK F s K K

s s

s j j s

K

s s

s s

s


Mtodo del Lugar Geomtrico de las

Races


Los puntos de salida ocurren en un mximo y los de llegada en un mnimo de K en funcin de s

2

2

2

1 2

0

61 ( ) 1

( 2)

; 0 ;

2

6

12 120

( 6)

1.1 ; 10.89

e

e e

K

sK F s K

s s

s j j s

K

dK

ds s

s s

s s

s

s s

s s

s s


las Races

Puntos de salida o llegada

al eje realUn punto de salida ocurre

generalmente cuando hay varias

races iguales sobre el eje

horizontal.

Debido al criterio del ngulo, las

tangentes de los lugares de las

races en el punto de salida estn

igualmente espaciadas sobre

360.

A) -2 = - 360 ; = 180

B) -4 = - 360 ; = 90



las Races

Puntos de salida o llegada al eje realUn punto de salida ocurre generalmente cuando hay varias races iguales

sobre el eje horizontal.

En este caso de cuatro polos sobre el eje real, el ngulo de salida en una

regin cercana a los polos, se obtiene aplicando el criterio del ngulo.

Observe que las cuatro races estarn separadas 90 grados entre ellas.

No puede haber lugar geomtrico sobre el eje real.


180 90 135 180...

225 135



las Races

Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento

El centroide y sus asntotas

2 4 3 2

1 11 ( ) 1 1 0

( 2)( 4) 10 32 32

0

s sK F s K K

s s s s s s s

K

1 1 ( 2) 2( 4) ( 1)3

4 1

(2 1)180 ; 0,1,2,..., ( 1)

60 ,180 ,300

n m

j ij i

a

o

a

o o o

a

p z

n m

qq n m

n m

s



Races

Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el

procedimiento

El punto de salida del eje real.

21

1

4 3 2

; 0 ;

( ) ( 2)( 4)

1( )

3 24 62 64 32 | 0

; 3 2 ; 2.6

ni

j

mj

i

e

e

e a e e

s j j s

pK

z

dK

ds s

s s

s s

s s s s

ss

s s s ss

s s s s


Mtodo del Lugar



En forma grfica tambin se puede encontrar el punto de salida se

Graficando el comportamiento de K(s) entre dos polos en donde se produce un punto de salida

0.20.4

1

)4)(2()(

2

s

s

ssssK


Mtodo del Lugar

Geomtrico de las

Races

Tomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimientoEl Lugar geomtrico de las races utilizando MATLAB

rlocus(sys,K)

rlocfind(sys)



las RacesTomemos el caso del ejercicio 7.2 para ilustrar el procedimiento

El Lugar geomtrico de las races utilizando MATLAB

La ganancia crtica y frecuencia de oscilacin

Explorando el valor de las races de la Ecuacin Caracterstica en la cercana del cruce del eje imaginario





Explorando el valor de las races de la Ecuacin Caracterstica en la cercana del cruce del eje imaginario

En forma analtica evaluaremos el valor de Kcri y o, a partir de:

Puesto que K es un valor real positivo , pero el otro miembro es una expresin compleja, la parte imaginaria deber ser igual a cero.

4 3 2

2 2 2

1 10 32 32;

( ) 1

( 32) (10 32)

1

s s s sK s j

F s s

jK

j





Cuando el Lugar Geomtrico cruza el eje imaginario: = o, entonces

4 2

2

2 2 2 2

2

1 1Im 0 ; Re

( ) ( )

1Im 22 32 0

( )

22 22 4 32; 4.83

2

( 32) (10 32)1Re

( ) 1

202

o o

o o

o

o o

o o o o

o o

KcritF j F j

F j

KcritF j

Kcrit


las Races



Solucin utilizando Matlab. Wo = 4.83

Kcrit = 201.85




Races



El punto de cruce con el eje imaginario tambin se lo puede evaluar aplicando el criterio de Routh-Hurwitz

4 3 2

4

3

2

1

0

2

2

. . : 0 ; 10 32 (32 ) 0

288 (32 ) 100 ; 0

10

(288 )(32 ) 1000

288

156 9216 0 ; 45

1 32

10 32

.7 _ _ 201.7

_ : 0

_ :

crit

crit

E C K s s s K s K

s

s

s A K

Bs

Ks

K A K KA B

A

K K KB

K

K K K y K K

Rango est

K

abilidad K K

Ecuacin auxiliar

K

As

2288 100 ; 0 ;10 288

4.83 ; 4.83o

K KK s K s

K

s j


las Races

Lugar Geometrico para realimentacion positiva.Criterio de Magnitud y Angulo.

El lugar geomtrico de las races en el eje real siempre est en una

seccin del eje a la izquierda de un nmero par de polos y ceros de F(s).

Los ngulos de las asntotas son a


1 ( ) 0 ; ( ) 1

1( )

( ) 0 360 ; 0,1,2,..o o

K F s K F s

F sK

F s k k

1 1 0 2 42

3 0

360; 0,1,2,..., ( 1)

n m

j ij i

a

o

a

p z

n m

qq n m

n m

s


Mtodo del Lugar



El grfico del lugar geomtrico utilizando MATLAB

( ) 1 ; 0

11 ( ) 1

( 4)( 4 4)( 4 4)

H s K

KF s Ks s s j s j





Evaluemos:

Punto de salida entre: 4 < s < 0




Del grfico del lugar geomtrico se observa que la trayectoria parte de los polos complejos conjugados con un ngulo determinado, evaluando esos ngulos tenemos:

Aplicando el criterio del ngulo a un punto sj

muy cercano a uno de los polos complejos pj

Aplicando al polo: p3 = -4+j4

Para el otro polo complejo conjugado: p4 = -4-j4

NOTA: Habr tantos ngulos de salida como

polos complejos

_

1 1

180m n

o

j salida j i j k

i kk j

s z s p

_ 3 (90 90 135) 180 135j salida

_ 4 (270 270 225) 180 135j salida



las Races

Tomemos el caso del ejercicio 7.4 para ilustrar el

procedimiento

En forma general, podemos establecer que para los ceros se

observa que la trayectoria del lugar geomtrico llega a los ceros

complejos conjugados con un ngulo determinado, evaluando esos

ngulos tenemos:

Aplicando el criterio del ngulo a un punto sj

muy cercano a uno de los ceros complejos zj

NOTA: Habr tantos ngulos de llegada como

ceros complejos

_

1 1

180m n

o

j llegada j i j k

i ki j

s z s p





Valores de: Kcrit y o


Races



las Races


Dada la dominancia de segundo orden del par de races complejas conjugadas cercanas al eje imaginario, se puede ajustar el valor de K para que el sistema se comporte como de segundo orden con un Coeficiente de Amortiguamiento de:

0.707




Evaluar el comportamiento dinmico del sistema para un valor de K = 125 que ajust las races dominantes para que el sistema se comporte como un sistema de segundo orden con coeficiente de amortiguamiento 0.707

Un: 0.707, representa un Sobrenivel Porcentual de: S.P.= 5%




Dada la dominancia de segundo orden del par de races complejas conjugadas cercanas al eje imaginario, se puede ajustar el valor de K para que el sistema se comporte como de segundo orden con un Coeficiente de Amortiguamiento de: = 0.707

Por comparacin de coeficientes entre la Ecuacin Caracterstica del sistema con la Ecuacin Caracterstica generada por el par de races complejas conjugadas en donde un par es la dominante y en la que se ha fijado su Coeficiente de Amortiguamiento:

4 3 2

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

4 3 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

1 1 2 2

2

1

) ( 4)( 4 4)( 4 4) 0 ; 12 64 128 0

) ( 2 )( 2 ) 0

2( ) ( 4 ) 2( ) ( ) 0

12 2( )

64 (

n n n n

n n n n n n n n n n n n

n n

n

a s s s j s j K s s s s K

b s s s s

s s s s

21 1 2 2 22 2

1 1 2 2 2 1

2 2

1 2

4 )

128 2( )

( )

n n n

n n n n

n nK




Usaremos el mtodo de comparacin de coeficientes de la Ecuacin Caracterstica del sistema con la Ecuacin Caracterstica generada por el par de races complejas conjugadas en donde un par es la dominante en donde se ha fijado su Coeficiente de Amortiguamiento: 1= 0.707

Cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas:

1 1 2 2 2 2 1 1

2 2

1 1 1 2 2 2

2 2

1 1 2 2 2 1

2 2

1 2

2 2

1 1 1 1 1 2

2 2

1 1 2 1 1 1

2

2 1

1. 12 2( ); 6

2. 64 ( 4 )

3. 128 2( )

4. ( )

1 2. 64 ( 4 (6 ) )

1 3. 128 2( (6 ) )

2. 64 12(2

n n n n

n n n n

n n n n

n n

n n n n

n n n n

n

K

2 21 1 1 12

1 1 1

1

1 ,

2

2 2

) ( (2 ) )

2 3. 12 64(2 ) 128 0

0.707

; 5.65

5.96

(1.88) (5.96)

1.88

142

n n n

n n

n a b

n

K


Diseo de parmetros mltiplesComo se ha observado hasta aqu, el lugar geomtrico es la trayectoria que describen las races de la ecuacin caracterstica bajo la accin de la variacin de la ganancia K

Cuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes

Por ejemplo el ejercicio 7.5:


las Races

0

0

0ssssq 23)(



las Races

Diseo de parmetros mltiplesCuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes

a) Investigaremos primero la variaciones de

1

3 2

1

3 2 2

1

1 ( ) 0

0

0

( ) 0

1 11 1 0

( 1)

q s s s s

s s

K F s

s s s



las Races

Diseo de parmetros mltiplesCuando la ecuacin caracterstica tiene mas de un parmetro sujeto a variacin, se proceder de la misma manera pero haciendo variar un parmetro a la vez, manteniendo los otros constantes

b) Investigaremos ahora las variaciones de manteniendo constante

1 1

3 2

1

3 2

1

1 ( ) 0

; 0

0

( ) 0

1 0

q s s s s

s

s

K F s

s


Diseo de parmetros mltiplesEjemplo 7.5 a:

Mtodo del Lugar

Geomtrico de las

Races


Mtodo del Lugar Geomtrico

de las Races

Diseo de parmetros mltiplesEjemplo 7.5 b:

3 2

3 2

0

0

0

1 0

s s s

s

s s



Races

Diseo de parmetros mltiplesEjercicio 7.5:

3 2

2 2

3 2 2 2

2

2

0.7 ; 0.5

. ( ) 0

. ( )( 2 ) 0

(2 ) ( 2 ) 0

1. 1 2

2. 2

3.

0.175 ; 0.46

n

n n

n n n n

n

n n

n

a q s s s s

b s r s s

s r s r s r

r

r

r



RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races

Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje

Restablecer el nivel del voltaje de servicio Va(s) en su valor nominal despues que el sistema ha sido perturbado con una variacin de carga Ia(s) tipo escaln.

( ) ; ( )

( / ) ( )( ) ;

gt

f f

I P I I P IC P P P

P

KG s H s K

sL R

K sK K s K K s z KG s K K K z

s s s s K



Races

Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del

lugar geomtrico de las races


La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos el valor

del cero y variamos K:

Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar el

cero.

( ) ( )( ) 1 1 0

( ) ( )

t g

f f f f

t g

P

P

K K s sq s

s sL R

z zK K

K K

s sL R

K K


Mtodo del Lugar Geomtrico de las Races

Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


Ubicamos el cero: z = - 0.6

Ajustar la ganancia K de acuerdo al Coeficiente de Amortiguamiento 0.707

2

1( )

( ) ( )( )

( )

a

a f f ad

a f f t g t gP I

I ss

V s s R sL RT s

I s s KL Ks R K K K K


Mtodo del Lugar


Ajuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


Ubicamos el cero: z = - 0.6

Ajustar la ganancia K de acuerdo al Coeficiente de Amortiguamiento 0.707


Ajuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


Restablecer el nivel del voltaje de servicio Va(s) en su valor nominal despues que el sistema ha sido perturbado con una variacin de carga Ia(s) tipo escaln.

La funcin de transferencia del sistema, la ecuacin caracterstica y la funcin de transferencia del controlador PID:


las Races

( ); ( ) ( ) 0 ; ( )

( )( )1

a a If f t g C C P D

t g Ca

f f

V s R Kq s sL R K K G s G s K sK

K K G sI s s

sL R



las Races



La funcin de transferencia del controlador:

La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos los ceros y variamos KD:

Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar los dos ceros

21 2

1 2

1 2

( )( )( )

( )

( * )

I D P IC P D D

P D

I D

K s K sK K s z s zG s K sK K

s s s

K K z z

K K z z

1 2 1 2( )( ) ( )( )( ) 1 1 0

( ) ( )

t g

f f f f

t

D

D g

K K s s s sq s

s sL R s sL

z z z zK K

K K

R

K K


Mtodo del Lugar

Geomtrico de las

Races



Probaremos el sistema utilizando MATLAB:

2

1( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

a

a a f fd

a f t g t g tD P Ig

I ss

V s R sL R sT s

I s L K K s Rf K KK K Ks K K



las RacesAjuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


La funcin de transferencia del sistema:



las RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


Como especificaciones se dispone del Sobrenivel Porcentual SP y el Tiempo de Estabilizacin Ts a una seal tipo escaln de entrada.

La funcin de transferencia del controlador:

La ecuacin caracterstica del sistema en la que fijamos el valor del cero y variamos K:

Como se observa, el sistema es Tipo 1, debemos ubicar el cero.

( ) ; ( )

( )( ) ;

gt

f f

I P I IC P P

P

KG s H s K

sL R

K sK K s z KG s K K z

s s s K

gtP

ffff

gtP

KKKK

RsLs

zsK

RsLs

zsKKKsq

0

)(

)(1

)(

)(1)(



las RacesAjuste del controlador PI utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races

Utilizaremos como ilustracin el caso del generador de voltaje.

Como especificaciones se dispone del Sobrenivel Porcentual SP y el Tiempo de Estabilizacin Ts a una seal tipo escaln de entrada.

Se determinar el valor de K y el valor del cero del controlador PI por comparacin de coeficientes con la ecuacin del par de polos complejos conjugados de lazo cerrado que cumplen con las especificaciones deseadas:

De donde obtenemos la solucin nica:

2

22 2

2 2

( ) ( ) ( ) 0

) 0

(log(0.01 )) 4) 2 0 ; ;

(log(0.01 ))

f f

f

f f

n n ns

q s s sL R K s z

R K Kza s s

L L

SPb s s

pi SP T

2

2 ; / ;fn

f f P t g I Pn

LK L R z K K K K K z K

K



las RacesAjuste del controlador PID utilizando el mtodo del lugar geomtrico de las races


Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO. Se definir la ubicacin de las races de lazo cerrado para dominancia de segundo

orden: Sobrenivel Porcentual y Tiempo de Estabilizacin:

S.P.=5% Ts=10 s.

Se ubican un par de ceros complejos conjugados un poco a la izquierda de la ubicacin de los polos de lazo cerrado deseados dados por la interseccin de las restricciones impuestas por el Tiempo de Estabilizacin y el Sobrenivel Porcentual.

Moviendo la posicin de los ceros complejos conjugados de tal manera que el Lugar Geomtrico que generan pase por el lugar deseado.

Variar la ganancia hasta ubicar los polos de lazo cerrado en el lugar deseado.

Verificar la respuesta del sistema de Lazo Cerrado a la prueba del Escaln Unitario.

Aplicar el Pre-Filtro para eliminar el efecto de los dos ceros.

Nota: Observar la posibilidad de mltiples soluciones



las Races

1 2

1 2 1 2

. . 5% ; 10 _ .

/( ) ; ( )

/

( )( )( )

( ) ; ( * )

g f

tf f

IP D D

P D I D

S P Ts seg

K LG s H s K

s R L

K s z s zC s K sK K

s s

K K z z K K z z



Para el ajuste del controlador se usar la herramienta SISO.


las Races





Es exportarn los valores seleccionados para ser usados en el SIMULINK.



las Races





Es exportarn los valores seleccionados para ser usados en el SIMULINK.

Esto es: RAPID CONTROL PROTOTYPING

Metodo Del Lugar Geometrico de Las Raices

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