Analisis Del Lugar Geometrico de Las Raices

8/4/2019 Analisis Del Lugar Geometrico de Las Raices

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA DE CONTROL M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZLUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

1

Análisis del lugar geométrico de las raíces

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relacionaestrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia delazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazoelegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica.

W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, quese usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces , y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos losvalores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia lacual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función detransferencia en lazo abierto.

Sea el siguiente sistema de control

La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son

4

K G s

s s

2

4

C s K

R s s s K

La ecuación característica de lazo cerrado

24 0s s K

Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son

1 2, 2 4s s K





2

K 1s

2s

0 -4 01 -3.732 -0.2672 -3.414 -0.585

3 -3 -14 -2 -2

5 -2-i -2+i8 -2-2i -2+2i

13 -2-3i -2+3i

Lugar geométrico de las raíces

De la grafica:El sistema es estable si 0K , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo

del plano s .

Respuesta transitoria

1. Sobreamortiguada 1 (Polos reales y diferentes)

0 4K

2. Críticamente amortiguada 1 (Polos reales e iguales)

4K

3. Subamortiguada 0 1 (Polos complejos conjugados)

4K

4. Sin amortiguamiento 0 (Polos imaginarios)No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.

Trayectoria dellugargeométrico de

las raíces





3

Gráfica del lugar geométrico de las raíces

Considere el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

1

C s G s R s G s H s

La ecuación característica de este sistema es

1 0G s H s

o bien

1G s H s

El término G s H s es un cociente de polinomios en s .

Como G s H s es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo

Condición de ángulo

180º 2 1 0,1, 2,G s H s k k

Condición de magnitud

1G s H s

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raícesde la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es unagráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces dela ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico de laganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

Magnitud y Ángulo en el plano s .

Por ejemplo Si G s H s es

1

1 2 3 4

K s zG s H s

s p s p s p s p

en donde2 3 p y p son polos complejos conjugados, el ángulo de G s H s es

1 1 2 3 4G s H s s z s p s p s p s p

1 1 2 3 4G s H s





4

La magnitud de G s H s para este sistema es

1

1 2 3 4

K s zG s H s

s p s p s p s p

1

1 2 3 4

K BG s H s A A A A





5

Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces.

1 Inicio y final de las trayectorias Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto

G s H s con 0K y terminan en los ceros de G s H s o en el infinito (ceros finitos o

ceros en infinitos) con K .

2 Trayectorias sobre el eje real :Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rangode un polo o cero a otro polo o cero. Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total

de polos y ceros reales de G s H s a la derecha de un punto de prueba es impar.

3 Ubicación de los ceros infinitos :Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito s lo hace en forma

asintótica (en línea recta).

a Número de asíntotas As#

z p nn As #

donde:

pn Número de polos de s H sG

zn Número de ceros finitos de s H sG

b Centroide de las asíntotas o

z p

iio

nn

Z P

donde:

iP Suma de valores de los polos

i Z Suma de valores de los ceros

c Angulo de las asíntotas As

,2,1,012180

k nn

k As

z p





6

4 Puntos de quiebre o de ruptura qS

a Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales, existe puntos deruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real.

Procedimientos para determinar los puntos de quiebre

i) De la ecuación característica, despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante.

iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii) , seleccionar el olos puntos de quiebre del sistema.

Si

s B

sKAs H sG

La ec. Característica sería

011 sKAs B

s B

sKAs H sG

Despejando K

s A

s BK

Los puntos de ruptura se determinan resolviendo la siguiente ecuación.

0ds

dK

5. Ganancia de quiebre qK

Es el valor de K en el punto de quiebre.

Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto qS

6. Ganancia Critica cK

Es el valor de K que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad.Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica, se establece

el rango de valores de K para que el sistema sea estable. Los límites de ese rango

definirán los cK .

7. Frecuencia Critica c

El valor de los raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario; esto es cuando cK K

Se obtiene sustituyendo cK en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh.





7

8. Pertenencia de un punto a la trayectoria del L.G.R. Para que un punto s pertenezca a la trayectoria del L.G.R. debe cumplir la condición de

ángulo:

,2,1,012º180 k k s H sG

12180

)()()()(

k

s puntoals H sGdel

poloslosdeanguloslosde

s puntoals H sGde finitos

ceroslosdeanguloslosde

9. Cálculo de K para cualquier punto s del L.G.R.

Si un punto s pertenece al L.G.R. se puede obtener la ganancia K que permite tener ese

punto.

)()(

)()(

S H sGdeceroslos ys puntoelentrelongitudeslasde producto

S H sGde poloslos ys puntoelentrelongitudeslasde productoK

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemosencontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos yceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa delpolo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de lascontribuciones angulares de todos los otros polos y ceros.

Ángulo de salida desde un polo complejo = 180°- (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos)+ (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros)

Ángulo de llegada a un cero complejo = 180°- (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros)+ (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)





8

Ejemplo 1

Considere el sistema de la figura.

21 sssK s H sG

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de

amortiguamiento relativo de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea

0.5.

Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

,1,012º18021

21

k k sss

sss

K s H sG

La condición de magnitud es

121

sss

K s H sG 21 sssK

1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo

abierto 21,0 y con 0K , y terminan en el infinito con K

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los

polos 10 y y de a2 .

3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 3, ya que no existen ceros finitos.

303# z p nn As

1

3

02100

z p

i

nn

ZiP

Polos de lazo abierto

Trayectoria del LGR





9

180,601260

3

1218012180k

k

nn

k As

z p

4. Puntos de quiebre o de ruptura qS . Como existe lugar de las raíces entre dos polos

10 y , entonces existe un punto de quiebre.

De la ecuación característica despejamos K

0

211

sss

K

sssK 2323

derivando K respecto a s e igualando a ceros

0263 2 ssds

dK

0263 2 ss

resolviendo

422.0s 577.1s

Como el punto de ruptura debe estar entre 10 y entonces el punto sería

422.0qs

Punto de quiebre





10

5. Ganancia de quiebre qK Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de

quiebre con la condición de magnitud

385.0)578.1)(578.0)(422.0(21 qS

sssK

6. Ganancia Critica cK : Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuacióncaracterística

La ecuación característica es 02323 K sss

La tabla de Routh es

P(s)AuxiliarPolinomio

03

63

21

0

1

2

3

K s

K s

K s

s

La ganancia crítica se obtiene de

03

6

cK 6cK

7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar

032 cc K s 063 2 cs jsc 414.1

Punto crítico





11

Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento

5.0

Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de

amortiguamiento 5.0

Se determina la ecuación de la recta de 5.0

º605.0coscos 11

x x y 732.1º120tan

Con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y , jy xs este punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR

y j xs s 1 s 2 s = -180°

-0.4+j0.693 -120º -49.11º -23.42º -192.53º-0.3+j0.52 -120º -36.61º -17º -173.61º

-0.333+j0.577 -120° -40.86° -19.09° -179.95°

El punto que cumple con las dos condiciones es 577.0333.0 js

Aplicando la condición de magnitud

036.1764.1882.0666.021577.0333.0

js

sssK

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 5.0 es

036.1K

Punto deseado sd

5.0

60





12





13

Ejemplo 2


21)5(

sss

sK s H sG

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de K tal que el factor de

amortiguamiento relativo de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea

0.6.


180)2()1()()5(

)2)(1(

)5()( ssss

sss

sK s H sG


1)2)(1(

)5()(

sss

sK s H sG

5

21

s

sssK

1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo

abierto 21,0 y con 0K , y terminan, una en 5 y dos en el infinito con K

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los

polos 10 y y de 52 a .

3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 2, ya que solo existe un cero finito.

213# z p nn As

1

2

52100

z p

i

nn

ZiP

90

2

1218012180 k

nn

k As

z p





14

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos

10 y , entonces existe un punto de quiebre.


)5(

21

s

sssK


05

515922

23

s

sss

ds

dK

0515923 sss

Resolviendo

447.0s 609.1s 943.6s

Como el punto de ruptura debe estar entre (0 y -1) entonces el punto sería

447.0qs

5. Ganancia de quiebre ( qK ) Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de


Asíntota

Asíntota

90°

90°

Punto de quiebre

Asíntota

Asíntota





15

084.0

553.4

)553.1)(553.0)(447.0(

5

21

)5(

21

44 7.0

sSs

sss

s

sssK

q

6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuacióncaracterística

La ecuación característica es 05)2(323 K sK ss



5

03

2653

21

0

1

2

3

K s

K s

K s

K s


03

26

cK 3cK


0532 cc K s 0153

2 cs jsc 236.2

Para determinar la ganancia K que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento

6.0

Punto crítico

Punto crítico





16

Primero se determina el punto s, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de

amortiguamiento 6.0

Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 6.0

13.536.0coscos

11

x x y 333.187.126tan

con esta ecuación de la recta se propone un valor en x y se determina el valor en y

el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR

y j xs 5 s s 1 s 2 s = -180°

-0.4+0.533j 6.61º -126.89º -41.61º -18.42º = -180.31º-0.398+0.532j 6.59º -126.8º -41.46º -18.37º = -180.04º

El punto que cumple con las dos condiciones es js 532.0398.0

Aplicando la condición de magnitud





17

194.0632.4

688.1803.0664.0

5

21

53 2.039 8.0

jss

sssK

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 6.0 es

194.0K





18

Ejemplo 3


84

2

sss

K s H sG

js jss

K s H sG

2222

Para el sistema determinado, la condición de ángulo es

180)22()22()(2222

)( js jss js jss

K s H sG


12222

)(

js jss

K s H sG js jssK 2222

1. Inicio y final de las trayectorias : Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo

abierto j y j 2222,0 con 0K , y terminan, en el infinito con K .

2. Trayectorias sobre el eje real : Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre

y0 .

3. Ubicación de los ceros infinitos : La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito son 3, ya que no existen ceros finitos.

303# z p nn As

333.1

3

222200

j j

nn

ZiP

z p

i

Polos de lazo abierto

Trayectoria del LGR





19

º180,60

3

1218012180

k

nn

k As

z p

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): No existe punto de quiebre.

5. Ganancia de quiebre ( qK ): No existe ganancia de quiebre

6. Ganancia Critica ( cK ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación

característica

La ecuación característica es 08423 K sss



04

324

81

0

1

2

3

K s

K

s

K s

s


04

32

cK 32cK


042 cc K s 0324

2 cs jsc 828.2

asíntotas

asíntota

60

60 180





20

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo)

Se toma como polo complejo js 22

Ángulo de salida = 459013518022180 jss

Punto crítico

45





21

Ejemplo 4


134

42

ss

sK s H sG

js js

sK s H sG

3232

4)(

Para el sistema determinado, la condición de ángulo es

180)32()32(4

3232

4)( js jss

js js

sK s H sG


13232

4

)(

js js

sK

s H sG 4

3232

s

js js

K


abierto j y j 3232 con 0K , y terminan, una en el cero 4 y la otra en el

infinito con K


y4 .

3. Ubicación de los ceros infinitos : La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden ainfinito es 1, ya que solo existe un cero finito.

112# z p nn As

4

1

32320

j j

nn

ZiP

z p

i

180

1

1218012180 k

nn

k As

z p

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre un cero y el

infinito y4 , entonces existe un punto de quiebre.


)4(

3232

s

js jsK


0

)4(

382

2

s

ss

ds

dK





22

0382 ss

resolviendo

394.0s 605.7s

Como el punto de ruptura debe estar entre y4 entonces el punto sería

605.7q

s

5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando el punto de quiebre qs calculamos la ganancia de


211.11

605.3

)357.6)(357.6(

4

3232

)4(

3232

60 5.7

sSs

js js

s

js jsK

q

6. Ganancia Critica cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario

7. El punto crítico cs : No existe punto crítico

10. Cálculo de el ángulo de salida (o ángulo de llegada) de un trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo)

Se toma como polo complejo js 32

Ángulo de salida = 31.14631.5690180432180 s js





23

Ejemplo 5


12

43

ss

ssK s H sG


180)1()2(43

12

43)( ssss

ss

ssK s H sG


1

1243)(

ssssK s H sG

4312

ssssK


abierto 12 y con 0K , y terminan, en los ceros 43 y con K .


12 y y 43 y .

3. Ubicación de los ceros infinitos : No existen trayectorias del L.G.R. que tiendan a infinito.

4. Puntos de quiebre o de ruptura ( qS ): Como existe lugar de las raíces entre 12 y y el

infinito y4 , entonces existe un punto de quiebre.


)4)(3(

12

ss

ssK

derivando K respecto a s e igualando a cero

0

)4()3(

2288

)4)(3(

1222

2

ss

ss

ss

ss

ds

d

022882

ss resolviendo

073.0s 427.3s

Los dos puntos son puntos de ruptura ya que están entre 12 y y y4

073.01 qs 427.32 qs





24

5. Ganancia de quiebre ( qK ): Utilizando los puntos de quiebre 21 qq s ys , calculamos las

ganancias de quiebre con la condición de magnitud

833.53573.0427.0

427.2427.5

43

12

)4)(3(

12

167.0927.3927.3

927.0073.2

43

12

)4)(3(

12

42 7.3

2

07 3.0

1

22

11

qq

qq

SS

q

SS

q

ss

ss

ss

ssK

ss

ss

ss

ssK

6. Ganancia Critica cK : No existe ganancia crítica porque el LGR no cruza el eje imaginario

7. Punto crítico cs : No existe punto crítico





25





26

3K 4K

8K 13K

20K





27

21

sss

K s H sG

05.0K

2.0K

3849.0K





28

5.2K

5.5K

6K





29

9K

K Mp Tp Ts.05 151

.2 33.7.3849 14.31.036 16 5.96 12.4

2.5 48 3.69 17.85.5 86 2.64 164

69




K =0.05

K =0.2

K =0.3849

K =1.036

K =2.5

K =5.5K =6 K =9

21

sss

K s H sG

Analisis Del Lugar Geometrico de Las Raices

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