Sistemas lineales discretos

Sistemas�discretos�

Sistemas y Señales En tiempo Discreto.2 Transformada Z…….63 Inversa De Transformada Z ….116

0

SEP DGIT

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. GUZMÁN

DPTO. DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

UNIDAD ISISTEMAS Y SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO

ASESOR: ING. GUSTAVO OCHOA MATA

NOMBRE DE LOS ALUMNOS:

97290078 FRANCISCO TORRES RAMOS97290046 JUAN RAMON HERNÁNDEZ LLAMAS97290038 MARTÍN ALEJANDRO FLORES MORENO97290058 ALEJANDRO MARTÍNEZ CHÁVEZ97290025 JOSÉ BERNARDO CAMPOS SALAZAR97290030 CUAUHTÉMOC COVARRUBIAS PRECIADO

CD. GUZMÁN, JAL. A 4 DE DICIEMBRE DE 2000

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INDICE GENERAL

Pág.

1.1 Introducción................................................................................................................2Sistemas y señales de Tiempo Discreto........................................................................... 2Tiempo discreto y continuo..............................................................................................3Sistemas de Tiempo Continuo......................................................................................... 5Sistemas de Tiempo Discreto...........................................................................................6Sistemas de Tiempo Híbrido............................................................................................61.2 Señales Discretas...................................................................................................... .7Secuencia de Delta Kronecker......................................................................................... 8Secuencia Escalón Unitario........................................................................................... 10Secuencia Unitaria Alterada.......................................................................................... 11Secuencia Rampa Unitaria............................................................................................. 12Álgebra de señales Discretas......................................................................................... 121.3 Proceso de Muestreo de una Función de tiempo Continuo......................................15Muestreo Uniforme....................................................................................................... 17Aplicación típica del procesamiento de datos.............................................................. 171.4 Sistemas de Tiempo Discreto...................................................................................21Algoritmo para obtener la raíz cuadrada de un numero................................................ 22Sistemas de cuenta de Ahorro....................................................................................... 251.5 Sistema Lineal Discreto de primer Orden................................................................28Respuesta de un sistema discreto lineal de primer orden.............................................. 291.6 Respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden................................. 32Sistema Normalizado.................................................................................................... 351.7 Identidades Útiles para expresiones de forma Cerrada............................................371.8 Sistema general discreto lineal................................................................................ 391.9 Sistema Discretos no lineales.................................................................................. 411.10 Sistemas Variantes en el tiempo.............................................................................411.11 Unidades Básicas de los sistemas discretos lineales..............................................43Unidad de Retardo......................................................................................................... 44Unidad multiplicadora................................................................................................... 45Unidad de Suma............................................................................................................ 46Representación de Sistemas Discretos Lineales con Unidades Básicas........................47Generalización a Sistemas de mas alto orden................................................................49Representación alternativa.............................................................................................50Problemas...................................................................................................................... 51

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UNIDAD I SISTEMAS LINEALES III

SISTEMAS Y SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO

OBJETIVO: Proporcionar las bases teóricas para el análisis de los sistemas discretoslineales

1.1 INTRODUCCIÓN.

Uno de los prerrequisitos primordiales para el estudio de un fenómeno dado (sistema),es postular primero un modelo matemático el cual describa adecuadamente elcomportamiento del fenómeno. Como ejemplos, las leyes económicas que relacionan laoferta y la demanda y la ley física que relaciona el voltaje y la corriente en una mallaeléctrica son descripciones las cuales ayudan a los investigadores en sus estudios desistemas económicos y eléctricos. Si el sistema es para ser usado en lo científico,económico, biológico, bancos, ingeniería, medicina, negocios o cualquier otro tipo deaplicaciones, es absolutamente esencial que sea generado un modelo matemático adecuadoy lógicamente su entendimiento. Para hacer posible el estudio de tal sistema es deseablehacer el modelo tan simple como sea posible, pero no tanto a expensas de representarlopobremente.

Típicamente, el modelo es construido de una manera tal que existen dos tipos devariables llamadas: variables de entrada y variables de salida. Conforme a la semántica dela teoría de sistemas, debemos utilizar en lo sucesivo él termino señales en lugar devariables. La señal de entrada influencia de alguna manera el comportamiento de la señalde salida. Esta relación de causa y efecto que constituye el comportamiento dinámico delsistema, es representada en el diagrama a bloques de la Fig. 1.1-1. las señales de entrada ysalida estarán denotadas en lo sucesivo por los símbolos u, y respectivamente.

Señal de Señal de Entrada Salida

Modelo de sistema

Fig. 1.1-1 representación del sistema en diagrama de bloques

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Una variedad muy amplia de disciplinas han usado tales modelos. Considere por elmomento las listas dada en la tabla 1.1. es evidente que en cada caso la señal de entradainfluye de alguna manera en el comportamiento de la señal de salida. Esta forma deinfluencia es frecuentemente difícil de caracterizar en términos matemáticos precisos ysirve como la principal barrera de estados efectivos de tales sistemas.

Tabla 1.1

DISCIPLINA SEÑAL DE ENTRADA SEÑAL DE SALIDAEconómico Inversión GananciaFísica Envió de cohete Trayectoria del satéliteMedicina Electrocardiograma Diagnostico de enfermedad

del corazónComunicaciones Radar Localización de una maquina

voladoraEducación Estudio del esfuerzo graduación

de los estudiantes

TIEMPO DISCRETO Y CONTINUO

En muchos de los casos de interés, las señales de entrada y de salida son funcionesde la variable independiente tiempo (t), la cual será llamada tiempo por razones que prontoserán evidentes. Introduciendo la variable t se logra la habilidad para cambiar lasamplitudes de las señales de entrada y salida a funciones del tiempo. Esto deberíarápidamente evidenciar que cada par señales entrada-salida llamado salida en la tabla 1.1puede ser considerado como una función del tiempo.

Si la variable independiente t, toma un número continuo de valores, la señal se diceser una señal de tiempo continuo. Para demostrar una señal de tiempo continuo, elargumento es incorporado dondequiera que la señal esté formalmente escrita, (ejemplou(t)). Por lo tanto, la señal se dice ser una señal de tiempo discreto. Como tal, una señal detiempo discreto solo necesita ser identificada en un numero infinito o finito de instantes enel tiempo ( por ejemplo u(tk)) escrita como tk, donde k tomará los valores enterosexclusivamente. Ejemplos de señales de tiempo continuo y discretos de bajadas contra eltiempo son mostrados en la Fig. 1.1-2 se notara que una función de tempo discreto estádefinida únicamente en los instantes ...,t-2,t-1,t0,t1,t2,... otra interpretación de una señal detiempo discreto debe ser entonces una secuencia de números ...u(t-1), u(t0), u(t1)...ordenados por el parámetro t de tiempo discreto. Por conveniencia notacionalnormalmente denote una señal de tiempo discreto por u(k) en lugar de u(tk).

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U(t)

u(tk) (a) t

t t t t t t t t

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 k

(b)

Fig. 1.1-2 ejemplo de a) señal de tiempo continuo b) señal de tiempo discreto

EJEMPLO 1.1-1 Para ilustrar el concepto de señales de tiempo continuo y discretoconsideremos el típico sistema de calefacción de una habitación. En tal sistema, existe untermostato que censa la temperatura del cuarto y activa la calefacción cuando latemperatura cae por debajo de un nivel dado y luego se desactiva cuando la temperaturarebase un valor dado, por ejemplo si el termostato es ajustado a 70F, el horno deberáactivarse cuando la temperatura cayera por debajo de los 68F y desactivarse cuando latemperatura rebasará los 72F. Esta acción tendrá el efecto de mantener un temperaturapromedio de 70F en la habitación.

La señal que emana del termostato para activar y desactivar el sistema decalefacción puede ser considerada como una señal de tiempo discreto. Específicamente sit0,t2,t4,... denotan los instantes de tiempo en los cuales el sistema se desactiva. Un dibujo deuna señal representando este proceso deberá aparecer como el de la Fig. 1.1-3ª. Aquíarbitrariamente consideramos que u(tk)=1 cuando el sistema se desactiva.

Por otro lado, la temperatura de la habitación que está siendo controlada, esobviamente una señal de tiempo continuo. Un debajo de la temperatura de la habitacióncontra el tiempo para un caso típico se muestra en la Fig. 1.1-3b. Note que, la señal detiempo discreto toma el valor de 1 cuando la temperatura baja hasta los 68F y sedesactivas y toma el valor de –1 cuando la temperatura alcanza los 72F y es cero paratodos los demás valores de tiempo.

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Aquí tenemos un ejemplo de este fenómeno en el cual la señal de tiempo continuo ytiempo discreto aparecen simultáneamente de una manera natural, tales ejemplos no sondel todo desconocidos en nuestra sociedad altamente mecanizada.

En el modelo típico del sistema de un fenómeno especifico existen dos tipos deseñales, las cuales son de un interés inmediato, las señales de entrada y salida.

Fig. 1.1-3 sistema de calefacción de una casa habitación; a)señales de control deltermostato; b)temperatura de la habitación.

En suma, ahí pueden estar las así llamadas señales internas, las cuales son deimportancia en la descripción de los fenómenos. Ahora debemos usar la vaga idea deseñales esenciales para denotar unas señales, las cuales son de importancia critica en ladescripción del comportamiento dinámico de los fenómenos bajo estudio. Por ejemplo, lafuente de alimentación de 60Hz. La cual proporciona la alimentación a un arreglo detelevisión, no debería considerarse como una señal esencial ya que el comportamientodinámico sé este sistema es mayormente gobernado por las más esenciales señales de videoy las variantes señales internas (por ejemplo, sincronismo horizontal y vertical) las cualesson generadas de esta, ya que una señal esencial puede también ser de naturaleza, de tiempocontinuo o tempo discreto, es aconsejable clasificar los sistemas en conformidad.

SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO

Un sistema de tiempo continuo será definido como un sistema cuyas señalesesenciales son todas de naturaleza de tiempo continuo. El mando esta lleno de talessistemas, como ejemplos, muchos circuitos eléctricos, configuraciones mecánicas,fenómenos económicos, etc., caen dentro de esta categoría invariablemente una ecuacióndiferencial relacionara las señales de entrada y salida de sistemas de tiempo continuo. Es

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por esta razón que cursos en ecuaciones diferenciales juegan un papel prominente en lecurrículo de disciplinas relacionadas con el estudio de tales sistemas.

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

Un sistema de tiempo discreto está definido para ser un sistema cuyas señalesesenciales son todas de naturaleza discreta. Una proliferación de tales sistemas ha ocurridoen años recientes a causa del incremento en el uso de la computadora digital en los sistemasde tiempo discreto. En el sistema típico de tiempo discreto, las ecuaciones diferencialesjuegan un papel de relacionar las señales de entrada y salida del sistema. Indudablemente,muco lectores pueden no estar familiarizados con él termino ecuación diferencial. Estevació debemos intentar llenar.

SISTEMAS DE TIEMPO HÍBRIDO

Es sistema de tiempo híbrido es uno en el cual ambas señales de tiempo continuo ydiscreto aparecen. La practica en nuestra sociedad de usar computadora digital en muchasáreas de la vida diaria ha hecho inevitable la aparición de sistemas de tiempo híbrido. Elcontrol digital por computadora de un complejo de manufactura fácilmente sirve como unejemplo de un sistema híbrido.

Nosotros debemos estudiara exclusivamente sistemas de tiempo discreto en estetexto. Hay muchas razones para esta selección, pero dos son las más importantes. Primerolos conceptos básicos de sistemas de tiempo discreto son rápidamente entendidos y laintuición ganada de este conocimiento ayudara al estudiante inmensurablemente en suestudio de los sistemas difíciles de tiempo continuo. Segundo la prominencia de lacomputadora digital (un sistema de tiempo discreto) sea esencial en muchas disciplinas.Algunos ejemplos de sistemas los cuales pueden ser clasificados como discretos sonaquellos los cuales:

1.- Llevan a cabo un procedimiento de análisis numérico.2.- Caracterizan una inversión de valores comerciales3.- Implementan control digital4.- Conservan cuentas de ahorro para los bancos5.- Calculan los parámetros orbitales de un satélite6.- Caracterizan las tendencias de la población7.- Ayudan al medico a hacer diagnostico (por ejemplo de una señal de electrocardiograma)8.- Señalan procesos estocástico

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En cada uno de esos sistemas, la computadora digital juega un papel prominente. Lautilización de la computadora previendo la penetración y entendimiento en diversas áreas,como la investigación científica, manejo de negocios, contaduría, diagnósticos médicos,gobierno e ingeniería, es bien conocida.

De hecho esta utilización esta creciendo a una razón acelerada. Es por tanto, imperativoque los estudiantes tengan una buena base de conocimientos de sistemas, en los cuales lacomputadora es una parte integral. Nuestro objetivo será el de desarrollar un entendimientoy una facilitación para los sistemas de tiempo discreto. En este capitulo, debemos introducirconceptos básicos de señales discretas (por ejemplo, señales de tiempo discreto) y sistemasde tiempo discreto.

1.2 SEÑALES DISCRETAS

Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo, el cual opera sobre una señal discreta(entrada) para generar otra señal discreta (salida) conforme a alguna regla bien definida.

Como se indica en la sección 1.1, una señal discreta puede ser interpretada como unasecuencia de números. Por lo tanto es esencial con relación a caracterizar apropiadamente yestudiar sistemas de tiempo discreto, un entendimiento fundamental de la secuencia denúmeros.

Una secuencia de números, denotada por {U(k)}, es un arreglo de números por unavariable K la cual toma valores enteros, K es llamada tiempo discreto. Los valores de lasecuencia {U(k)}. Con esto en mente se sigue que el número U(5) antecedeinmediatamente el número U(6), mientras que U(7) se sigue inmediatamente de U(6) en lasecuencia. Las secuencias serán formalmente escritas como

U(k)=....u(-2), u(-1), u(0), u(1), u(2), u(3)......

Donde los tres puntos a la izquierda de U(-2) indican que la secuencia continuainmediatamente hacia la izquierda (por ejemplo: U(-3),U(-4), etc.) y los tres puntos a laderecha de U(3) indican que la secuencia continua inmediatamente a la derecha (porejemplo: U(3),U(4), etc.)

Será benéfico dar una interpretación gráfica de una secuencia de números. Como unejemplo especifico, considérese la secuencia con términos

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U(-2) = 1U(-1) = -1.5U(0) = 3U(1) = -2.1U(2) = - 0.7U(3) = 2.3

Esta secuencia será ilustrada como se muestra en la Fig. 1.2-1 con la amplitud de lalínea vertical en el tiempo discreto K correspondiente a la amplitud del numero U(k). Loselementos de la secuencia {U(k)} están desplazados en forma equidistante uno del otro enesta grafica de U(k) vs. K.

Cuatro secuencias de números extremadamente importantes las cuales apareceránfrecuentemente en nuestros estudios de sistemas de tiempo discreto son la delta deKronecker, el escalón unitario, el escalón alterado y la rampa unitaria.

3 1 2.3

-2 -1 0 1 2 3 k-1.5 -2.1

Fig. 1.2-1 ilustración de una secuencia de números especifica

SECUENCIA DELTA DE KRONECKER

La secuencia delta de Kronecker, la cual será denotada por el símbolo especial (k)es cero cuando este toma el valor uno. La Fig. 1.2-2a describe la secuencia (k) graficadacontra k.

(k) 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k

(k-1) 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k

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(k+2) 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k

Fig. 1.2-2 secuencia delta de Kronecker

Es posible representar cualquier señal discreta por una combinación apropiada desecuencias como la delta de kronecker. Antes de mostrar esto, investiguemos la señal

U(k)=(k-1)

Por la expresión (1.2-1), la secuencia (k-1) es igual a cero para todos tiemposdiscretos excepto en K=1, donde su argumento k-1 es cero. De aquí que

1 para k=1U(k)=(k-1)=

0 para los otros valores de k

aplicando los últimos argumentos, concluimos que

1 para k=p(k-p)=

0 para los otros valores de k

Donde p es un entero arbitrario, las secuencia (k-p) es entonces igual a la secuencia(k) desplazada p unidades de tiempo discreto a la derecha, como quedo claro en losdibujos de (k-1) y (k-2) vs. K mostrados en la Fig. 1.2-2b y 1.2-2c respectivamente.

Con esta representación de (k-p), podemos representar cualquier secuencia comouna suma de secuencias delta de kronecker. Por ejemplo, consideremos secuencia mostradaen Fig. 1.2-1. esta secuencia puede ser equivalentemente expresada como:

U(k) = ... (k+2) - 1.5(k+1) + 3(k) -2.1(k-1)- .07(k-p) + 2.3(k-3) + …

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Para demostrar lo apropiado de esta representación, investiguemos U(k) en eltiempo k=1, esto es

U(1) = .... + (3) – 1.5(2) + 3(1) – 2.1(0)- .7 (-1) + 2.3 (-2) + ....

La cual por la definición básica de la secuencia delta de Kronecker (1.2-1), sesimplifica a

U(1)=-2.1

Como se requiere. Debería ser evidente que la evolución de U(k) en cualquier otrovalor de tiempo discreto llevará el resultado correcto.

Después de introducir algunos conceptos básicos de sistemas de tiempo discreto.Demostraremos la importancia de representar una señal discreta por una suma ponderada desecuencias delta de Kronecker. Tal representación nos permitirá estudiar el conceptodinámico de sistemas de tiempo discreto de una manera más eficiente.

SECUENCIA ESCALON UNITARIO

La secuencia escalón unitario esta definida por

0 para k=-1-2,-3...U(k)=

1 para k=0,1,2,3...

y es vista para ser una secuencia de números, los cuales son cero donde quiera para tiempodiscreto negativo y uno dondequiera para tiempo discreto no negativo. La Fig. 1.2-3muestra un dibujo de la secuencia escalón unitario,con la posible excepción de la secuenciadelta de Kronecker, la secuencia escalón unitario será la señal mas frecuentemente usada ennuestro estudio de sistemas de tiempo discreto. A diferencia de la secuencia escalónunitario. por lo tanto, si una secuencia escalón unitario va a ser usadas en algunaaplicación, esta también será expresada en su ecuación versión (1.2-2).

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1 1 1 1 1 1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

Fig. 1.2-3 secuencia escalón unitario

SECUENCIA UNITARIA ALTERADA

Otra secuencia la cual surge frecuentemente en las aplicaciones de sistemas de tiempodiscreto es la secuencia unitaria alternada definida por

.......3,2,1,0....)1(

..........3,2,1....0

)(

kparak

Kpara

kU

esta secuencia es igual a cero para tiempos negativos y oscila entre los signos mas y menosuno para tiempos positivos. Un dibujo de la secuencia unitaria alternada se muestra en laFig. 1.2-4

1 1 1

-1 0 1 2 3 4

Fig. 1.2-4 secuencia unitaria alternada

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SECUENCIA RAMPA UNITARIA.

La secuencia rampa unitaria esta definida por

.......3,2,1,0....

..........3,2,1....0

)(

kparak

Kpara

kU

esta secuencia es igual a cero para tiempos negativos y aumenta linealmente para tiempospositivos. Un dibujo de la secuencia rampa unitaria se muestra en la Fig. 1.2-5

5 4

3 . . . . 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Fig. 1.2-5 secuencia rampa unitaria

ÁLGEBRA DE SEÑALES DISCRETAS

Es solo después de la introducción de las operaciones de suma, resta ymultiplicación que la teoría de números ordinarios reales logran su gran utilidad. De unamanera paralela, la teoría de señales discretas será postulada ahora, la cual será deimportancia critica en nuestro estudio de sistemas de tiempo discreto, esta álgebra va a serestructurada por las siguientes tres operaciones, las cuales son extensiones directas deoperaciones ordinarias de números reales:

1.- suma de dos secuencias de números: dadas dos secuencias de números {U1(k)} y{U2(k)}, la suma de estas dos secuencias esta definida por la secuencia {U(k)} cuyo k-esimo termino general, es la suma de los k-esimos términos delas secuencias {U1(k)} y{U2(k)}, esto es

U(k) = U1(K) – U2(K) para k = 0, +- 1 + - 2, .....

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2.- diferencia de dos secuencias de números dadas dos secuencias de números, la resta de lasecuencia {U2(k)} de la secuencia

{U1(k)} esta definida a ser una secuencia{U(k)} cuyo k-esimo termino general es la respuesta del k-esimo termino de la secuencia{U2(k)} del k-esimo termino de la secuencia {U1(k)}, que es:U(k) = U1(K) – U2(K) para k = 0, +- 1 + - 2, .....

3.- multiplicación de una secuencia de números por una constante. Dada una secuencia denúmeros {U1(k)}, la multiplicación de esta secuencia por la constante , esto es:

U(k) = U1(K) para k = 0, + - 1 + - 2, .....ejemplo 1.2-1 para las secuencias escalón unitario y secuencia alternada especifica por:

Determina la suma de estas dos secuencias y multiplique esta secuencia suma por laconstante ½. A saber, evalué la señal U3(k)=1/2[U1(k)+U2(k)].

De la expresión (1.2-5) la suma de las dos secuencias dadas está definida por unasecuencias cuyo k-esimo término general esta dado por:U(k) = U1(K) + U2(K)

Para valores negativos del parámetro de tiempo discreto k. Es evidente que

U(k) = 0 + 0 = 0 para k = -1,-2,-3, .....

Mientras para valores positivos de k

U(k) = 1 +(-1)k para k= 0,1,2, ....

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El cual se simplifica a

Por lo tanto, la suma de las dos secuencias es la secuencia cuyo k-esimo terminogeneral esta dado por:

Si esta secuencia suma es ahora multiplicada por una constante 1/2 , por laexpresión (1.2-7), la secuencia resultante tiene el término general k-esimo dado por:

Estas secuencias se muestran en la Fig. 1.2-6. aunque la derivación de este resultadofue obtenido aplicando exclusivamente manipulaciones algebraicas alternativamente.Específicamente, un dibujo de las secuencias U1(k) y U2(k) están hechos unos sobre elotro.

1 1 1 1 1 1U1(k)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

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U2(k) 1 1 1 1 1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

u1(k)+u(2)k 2 2 2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

½{u1(k)+u2(k) 1 1 1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

Fig. 1.2-6. ilustración de la secuencia generada en el ejemplo

Como se muestra en la Fig. 1.2-6. luego se realizan las sumas y multiplicacionesnecesarias. Por este procedimiento, los errores algebraicos son eliminados y se obtiene unapenetración visual. En conclusión, la solución grafica sirve como una comprobaciónconveniente para la solución algebraica.

1.3 PROCESO DE MUSTREO DE UNA FUNCIÓN DE TIEMPO CONTINUO

Una señal discreta 8 secuencia de números) es generada frecuentemente a través delproceso de muestreo de una función de tiempo continuo. Por ejemplo, un meteorologistapuede estar interesado en hacer un estudio de la velocidad del viento en una ciertalocalización. En lugar de monitorear continuamente y registrar la velocidad del viento., v(t),el meteorologista va a medir normalmente la velocidad en instantes específicos de tiempoesto es:

V(tk) para k = 0,1,2, ...

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Donde v(tk) denota la velocidad del viento en tiempo t=tk seleccionando apropiadamentelos instantes tk, el meteorologista ha consolidado toda la información pertinenteconcerniente.

A la velocidad del viento en el conjunto de números (1.3-1). Es por lo tanto necesarioregistrar y guardar la historia de tiempo continuo, de la velocidad del viento, v(t), una tareacostosa y compleja. En conclusión, la información esta por ahora en una forma en la cual puedeser usada directamente en una computadora digital ( por ejemplo: i, e, en forma de números). Unmodelo para el proceso de muestreo de una función de tiempo continuo, U(t), se muestra en lafigura 1.3-1. El interruptor muestrea al cerrarse un momento en el instante de tiempo.T = tk y permanece abierto en cualquier otra forma.

U(t) U(k) Tk

Figura 1.3-1 Proceso de muestreo.

En la terminal de salida del muestreador de los números U(to), U(t1), ... aparecerán losinstantes de tiempo to, t1, ... . En esta manera, la función de tiempo continuo ha sidoconvertida en una secuencia de números. La figura 1.3-2 ilustra una función típica U(t) y lasecuencia de números generada cuando u(t) es muestreada.

t t t t t t t

Figura 1.3-2 ejemplo de muestreo.

Como seleccionar los instantes de muestro tk de tal manera que no se pierdainformación en el proceso de muestreo es tomada del capitulo 9. basta decir que losinstantes tk son escogidos muy cerca uno del otro de modo que contengan una secuencianumérica U(tk) que represente adecuadamente U(t) a ser muestreada. Esto implica que sedebe de muestrear mas frecuentemente una función que cambia mas rápidamente con eltiempo que a una que cambia mas lentamente.

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MUESTREO UNIFORME.

El proceso mas frecuente usado en aplicaciones es aquel en el cual el interruptor secierra cada T segundos. Este proceso es llamado muestreo uniforme y va a ser ilustradocomo se muestra en la figura 1.3-3.

U( t ) U( kt )

T

Figura 1.3-3 Modelo del proceso del muestreo uniforme

La secuencia de los números resultantes generada por el muestreo uniforme va aaparecer cada T segundos a la terminal de salida del interruptor. Cuando sea conveniente,dejaremos caer la apariencia explicita de T en el argumento de U(kt) y escribimos U(k) ensu lugar.

APLICACIÓN TÍPICA DEL PROCESAMIENTO DE DATOS.

En una aplicación típica de procesamiento de datos, uno es confrontado con la tareade extraer información de una señal de tiempo continuo con la ayuda de una computadoradigital. El diagnostico automático del estado de salud del corazón de una señal de tiempocontinuo del electrocardiograma, es un ejemplo. Ya que en una computadora digital es undispositivo en el cual puede esencial y únicamente sumar, restar, multiplicar, o dividirnúmeros; los cuales son secuencialmente alimentados. A esta hay una inconsecuenciabásica entre computación digital y señales de tiempo continuo, es por lo tanto necesarioconvertir tales señales en un formato consistente con la computación digital.

El muestreo uniforme sirve como un vehículo obvio para esta conversión. Unsistema de procesamiento de datos típico esta dibujado en la figura 1.3-4, por medio delcual el calor uniforme convierte las señales de tiempo continuo para ser procesadas en unaseñal de tiempo discreto (secuencia de números). Esta señal muestreada que es entoncesaplicada secuencialmente a la entrada del sistema de tiempo discreto. El sistema de tiempodiscreto opera sobre esta secuencia de muestreo, de tal manera para efectuar elprocesamiento de datos requerido. Este ejemplo demuestra muy bien el punto que laoperación de muestreo juega un papel esencial en muchas aplicaciones de procesamientode datos.

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*razón de muestreo requerida independientemente del contenido de la frecuencia de la función que estasiendo muestreada, como queda claro en el teorema de muestreo de la teoría de comunicaciones.

U( t ) U( kT ) Y( k )

Señal de Señal de Señal deTiempo continuo Tiempo discreto Tiempo discreto

Figura 1.3-4 Procesador típico de datos

EJEMPLO 1.3-1 Determine la secuencia de números generada cuando la señal de tiempocontinuo:

Es uniformemente muestreada con periodo de muestreo:

(1) T = ¼ seg. (2) T = ½ seg.(3) T = 1 seg.

Es benéfico hacer un dibujo de U(t) contra t, como se muestra en la figura 1.3-5a enrelación a visualizar la operación de muestreo. En lo sucesivo, nosotros debemos suprimirla apariencia explicita del periodo de muestras T y escribir U(KT) para la señal muestreada.Por lo tanto el lector debe de interpretar la señal de muestreo como una secuencia denúmeros espaciados (separados) por intervalos de T segundos, donde T es el periodo demuestreo fundamental.

La figura 1.3-5 da un dibujo de la secuencia de muestras resultantes generada por lostres periodos de muestreo específicos. Aunque la misma función U(t) esta siendomuestreada, esta claro que la secuencia de muestreo obtenida depende críticamente delperiodo de muestreo T. Por ejemplo, cualquier información esencial puede ser perdida porseleccionar T muy grande como es evidente en este caso para T = 1 seg.

sistema -tiempo discreto

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EJEMPLO 1.3-2 determine la secuencia de números generada cuando la tensión de tiempocontinuo

Es uniformemente muestreada con el periodo de muestreo T. En contraste con laaproximación tomada en el ejemplo 1.3-1, nosotros determinaremos la señal muestredaresultante utilizando métodos analíticos. Específicamente, el numero muestreado U(kt) essimplemente obtenido evaluando la función U(t) en el instante de tiempo Y = KT. Para lafunción de arriba, tendremos entonces:

Y como será nuestra practica en lo que queda de este texto, ahora suprimiremos laapariencia explicita de T en el argumento de U(k) para obtener:

De esta expresión es obvio que la secuencia generada depende fuertemente delperiodo de muestreo T.

U( t )

1

-1 0 1 t

20


1T= ¼ seg. U( k )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 k

1T= ½ seg. U( k )

-2 -1 0 1 2 k

T= 1 seg. 1

-1 0 1 k

Figura 1.3-5 Proceso de muestreo uniforme con diferentes periodos de muestreo:

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a) Onda formada sin muestreo ( efectivamente T= 0 seg. ).b) T= ¼ seg.c) T= ½ seg.d) T= 1 seg.

Un punto en el cual nace repetidamente es el que nosotros suprimimos el argumentoT cuando denotamos U(kT) por U(k) a causa de una conveniencia notacional. De estemodo el lector interpretara la secuencia U(k), como un grupo de números separados Tsegundos uno de otro, donde T es el periodo de muestreo fundamental. Mas adelante, estasecuencia será dibujada como U(k) contra k, y no como U(kT) contra Kt.

1.4 SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.

Como fue indicado en la sección 1.2, un sistema de tiempo discreto es undispositivo, el cual opera sobre una señal discreta (secuencia de números) para generar otraseñal discreta de acuerdo a alguna regla bien definida. Designaremos la señal discreta sobrela cual opera el sistema como la señal de entrada, U(k), mientras que la señal discreta lacual es generada por el sistema es llamada señal de salida (o respuesta), Y(k). Un diagramaa bloques, el cual refleja esta interrelación es mostrado en la figura 1.4-1.

U(k) Y(k)

Figura 1.4-1 representación de un diagrama de cuadro de un sistema de tiempo discreto.

Sistema-tiempo

discreto

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ALGORITMO PARA OBTENER LA RAIZ CUADRADA DE UNNUMERO.

Como un ejemplo de un sistema de tiempo discreto, consideremos un dispositivo enel cual las señales de entrada y salida esta relacionadas una con la otra por regla.

Y( k ) = ½ [ y(k-1) +)1(

)(

ky

kU ] 1.4-1

A saber, la salida presente, y(k), es calculada sumando la salida mas reciente, y(k-1), a la entrada presente U(k), dividida por y(k-1), entonces multiplicar esta suma por laconstante ½. Para demostrar el siguiente procedimiento operacional, determinaremos larespuesta de este sistema a una secuencia escalón de amplitud X, que es:

Donde la constante X, es restringida a ser positiva. Por esta fraseología, queremosdecir que una cosa es encontrar la señal de salida del sistema dado, cuando la señal deentrada es una secuencia escalón con amplitud X.

Ya que la señal de entrada es igual a cero para tiempo discreto negativo, se sigue de larelación (1.4-1) que la señal de entrada no afecta la señal de salida hasta que k es nonegativa. Por lo tanto, evaluaremos la expresión (1.4-1) comenzando con un tiempodiscreto k = 0 donde:

Y( 0 ) = ½ [ y(-1) +)1(

)0(

y

U ]

23


Y( 0 ) = ½ [ Y(-1) +)1(y

x ]

Debe notarse que el conocimiento del termino y(-1) es esencial si vamos a calculary(0). Procediendo como arriba, tenemos en k = 1.

Y( 1 ) = ½ [ y(0) +)0(y

x ]

Donde el valor de y(0) ha sido encontrado de la iteración en k = 0. continuando deesta manera obtenemos:

Para k = 0, 1, 2,...

Y( k ) = ½ [ Y( k-1 ) +)1( ky

x ] (1.4-2)

Sin entrar en mas detalles de prueba, puede ser mostrado que la expresión iterativa (1.4-2 ) producirá la señal de respuesta y( k ) la cual se aproxima a la raíz cuadrada delnumero positivo x, esto es:

Y( k ) cuando k crece

De este modo, la expresión (1.4-2) producirá un procedimiento efectivo paracalcular la raíz cuadrada de cualquier numero positivo. Se recordara que el valor de y(-1)fue requerido en orden a evaluar y(0), el cual en su momento fue necesario para evaluary(1), etc.. Para nuestros propósitos, interpretaremos y(-1) como una condición inicial de laraíz de x.

En la representación del diagrama de bloques del sistema usado para generar la raízcuadrada, la señal de entrada corresponde a una entrada escalón de amplitud X, mientrasque la salida es la k-esima aproximación de raíz de x.

24


EJEMPLO 1.4-1 calculemos √2 usando el algoritmo (1.4-2) y como una condición inicialtomemos y(-1) = 1. por lo tanto, con X = 2 y Y(-1), evaluamos la expresión (1.4-2) en k = 0para obtener.

Y( 0 ) = ½ [ 1 +1

2 ] = 3/2

Similarmente, en k = 1 y 2, encontramos que:

Y( 1 ) = ½ [2

3 +

3

4 ] = 1.41666

Y( 2 ) = ½ [12

17 +

17

24 ] = 1.41421

Así sucesivamente. Es evidente que la señal de repuesta y(k) converge a √2 muyrápidamente. De hecho durante cada iteración el valor de y(k) se acerca a la raíz cuadradadeseada. La figura (1.4-2), muestra la señal de respuesta dibujada como una función de kpara este ejemplo.

Figura 1.4-2 señal de respuesta del algoritmo de la raíz cuadrada con x = 2 y y(1) = 1.

-1 0 1 2 3 4 5

0.51

2

25


SISTEMA DE CUENTAS DE AHORRO.

La segunda aplicación de sistemas de tiempo discreto será tomada del campo de labanca. Supóngase que un banco tiene un plan de ahorros el cual paga interés a una razón R,compuesta n veces por año ( por ejemplo, n = 4 corresponde a un compuesto trimestral,mientras que n = 365 corresponde a un compuesto diario ). * En lenguaje de hombreprofano, esto significa que un año esta dividido en n periodos de conversión iguales y queel interés prevaleciente pagadero en cualquier periodo de conversión es R / n. Se asumiráque cualquier deposito hecho en un periodo de conversión dado, no gana intereses hasta elpróximo periodo de conversión. A fin de formular un modelo matemático para este plan deahorros, ahora introduciremos las siguientes variables:

Y( k ) = La totalidad de fondos en la cuenta al final del k – esimo periodo de Conversión.

U( k ) = La totalidad de depósitos hechos durante el k – esimo periodo de Conversión.

Donde U(k) es un numero positivo para un deposito y un numero negativo para unretiro.

Al concluir de cualquier periodo de conversión dado, la totalidad de fondos en lacuenta es igual a la suma en deposito al principio de ese periodo, el interés formulado enesta cuenta, y los depósitos hechos durante ese periodo. Esta observación puede serexpresada matemáticamente como:

Y( k ) = y( k-1 ) + [(n

R ) . y( k-1 )] + U ( k )

Y( k ) = [ 1 +n

R ] y( k-1 ) + U( k )

Una computadora programada para implementar esta ecuación diferencia lineal deprimer orden, puede calcular la historia de ahorros de cuentas individuales. Ahora de hecho losbancos mas modernos usan tales procedimientos. Cuando uno hace un deposito o retiro en unacuenta dada, esta información es almacenada en un dispositivo de memoria y es al ultimoutilizada por una computadora digital para calcular el estado de las cuentas de ahorro.

26


Para este modelo de un sistema de cuenta de ahorros, la señal de entradacorresponde a los depósitos hechos; mientras que la señal de salida (respuesta)

Es igualada a la totalidad de los fondos de las cuentas.

EJEMPLO 1.4-2 Examinemos ahora la historia de una cuenta de ahorros especifica, bajoun plan de ahorros, el cual paga interés a una razón de 5 % compuesto semanalmente. Eneste caso: R = .05 y n = 2.

Será asumido que cuando la cuenta fue establecida había un deposito inicial de $1,000. esto corresponde a y(0) = 1,000 ( esto equivale a U(0) = 1,000 ). Posteriormente, latotalidad de los depósitos hechos durante periodos de conversión sucesiva es: $ 476, $ 355,$ - 217, ( un retiro de la cuenta ), $ 727, etc. Este historial de depósitos corresponde a lasecuencia de entrada.

U ( 1 ) = 476U ( 2 ) = 355U ( 3 ) = -217U ( 4 ) = 727

* una razón R es equivalente a una razón de porcentaje anual de 100 %

Usando la expresión ( 1.4-3 ), podemos calcular el estado de la cuenta al cierre de losperiodos de conversión sucesivos. Específicamente, al final de la primera mitad del año ( k-1 ), tenemos:

Y( 1 ) = ( 1 + .025 ) y( 0 ) + U ( 1 )= ( 1.0250 X 1000 ) + 476 = 1501

De manera similar.

Y( 2 ) = 1.025 y( 1 ) + U( 2 ) = ( 1.025 x 1501 ) + 355 = 1893.53

y ( 3 ) = 1.025 y( 2 ) + U( 3 ) = ( 1.025 x 1893.53 ) – 217 = 1723.87

Y ( 4 ) = 1.025 y( 3 ) + U( 4 ) = ( 1.025 x 1723.87 ) + 727 = 2493.96

27


y así sucesivamente. El estudiante principiante es precavido en no caer en el error comúnde mal interpretar el tiempo discreto k. En este ejemplo, k representa el numero de mediosaños en el tiempo y no el numero de años.

OBSERVACIÓN.

Una comparación casual de las ecuaciones diferencia gobernantes, del algoritmo de laraíz cuadrada ( 1.4-1 ) y el modelo de las cuentas de ahorro ( 1.4-3 ) debería revelar queaquellas son de la misma forma básica, ya que cada una envuelve una manipulaciónalgebraica de las variables U(k) y y(k-1) para generar y(k). Sin embargo, esto esta lejos deser cierto. El algoritmo de la raíz cuadrada es un ejemplo de un sistema no lineal, mientrasque el modelo de la cuentas de ahorro es un sistema lineal. Como subsecuentementemostraremos, los sistemas lineales cuentan con ciertas propiedades, las cuales harán de susestudios de orden de magnitud mas simple que sus contrapartes no lineales. Entre lasprincipales esta el principio de superposición ( se ha desarrollado en el capitulo 4 ) el cualestablece:

Si la respuesta de un sistema lineal y las entradas U1(k) y U2(k) aplicadasseparadamente son y1(k) y y2(k), respectivamente, entonces la repuesta de este sistema ala entrada U(k) = a1U1(k) + a2U(K) es y(k) + a2y2(k).Donde: a1 y a2 son constantes arbitrarias.

Como estamos interpretando y sacando usos ventajosos de este principioSerá retornado en el capitulo 4. suficiente es decir; que por que los sistemas no lineales noposeen esta propiedad, un análisis de tales sistemas es difícil en el mejor de los casos. Porque de esto, y de hecho de que los sistemas lineales de tiempo discreto son importantes ensu derecho, nuestros esfuerzos serán restringidos a un estudio de sistemas lineales. Es porlo tanto necesario que el lector sea capaz de determinar si un sistema dado es lineal o nolineal.

Para sistemas discretos lineales * la regla que relaciona la señal de entrada, U(k), y laseñal de salida, y(k), toma la forma de una ecuación diferencial lineal. El mas simple de lossistemas discretos lineales es el sistema discreto lineal de primer orden.

*Usaremos en lo sucesivo la designación corta de sistema discreto lineal en lugar de sistema detiempo discreto lineal.

28


1.5 SISTEMA LINEAL DISCRETO DE PRIMER ORDEN.

Consideremos ahora un sistema discreto lineal de primer orden. Caracterizado por laecuación diferencia lineal de primer orden.

Y( k ) = b0 U( k ) + b1 U( K – 1 ) – a1 y( k –1 ) (1.5-1)

Donde: b0, b1, a1, son constantes cuyos valores determinan el comportamiento dinámico deeste sistema.

Esta relación es una regla bien definida por la cual las señales de entrada y salidaestán relacionadas. A saber la salida presente y(k), es calculada tomando una combinaciónlineal de la entrada presente U(k) y los valores mas recientes de la entrada U(k-1), y lasseñales que se especificaron por la relación (1.5-1).*

El lector no debe estar confundido por la incorporación de los parámetros b0 = 1, b1 =0, y a1, en este formato general. Para sistemas específicos, estos parámetros toman valores

fijos tal como el sistema de cuentas de ahorro (1.4-3), donde b0 = 1, b1 = 0 y a1 = - (1+n

R).

Usando representación general somos capaces de estudiar toda una clase de sistemas detiempo discreto lineal.

Se muestra después que una multitud de distintos sistemas diferentes son reguladospor una ecuación diferencia de primer orden de forma (1.5-1). Desarrollándola confacilidad para seleccionar valores para los parámetros a1, b0 y b1 en relación a lograr losobjetivos especificados va a ser una de nuestras metas.

Un dispositivo en el cual se implementa la relación (1.5-1) debe ser capaz de:

1.- Guardar los valores de los parámetros a1, b0, y b1.2.- Guardando los valores mas recientes de las señales de entrada y salida, U(k-1) y y(k-1), respectivamente.3.- Calcular el valor de la combinación lineal dada por la expresión (1.5-1).

Debe ser obvio para la mayoría de los lectores que una computadora digital puedeimplementar un sistema discreto lineal, como el generado por la expresión (1.5-1). Losrequerimientos 1 y 2 implican que la computadora debe de tener la habilidad de guardarcinco variables [ a1, b0, b1, U(k-1), y(k-1) ] en su memoria.

29


* Combinación lineal: se dice que Y es una combinación lineal de elementos x1, x2,...xn. si ysolo si Y es expresada como:

Y = a1 x1 + ... + an xn

Donde a1, a2,... an, son números independientes de los xi elementos, y al menos uno de los ai diferente decero.

RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO LINEAL DE PRIMERORDEN.

En estudios que evalúen los sistemas discretos, es común determinar la respuesta detales sistemas a las señales de entrada las cuales son aplicadas al comenzar el tiempodiscreto k = 0. por esto, es implícito que la señal de entrada sea idénticamente cero, para untiempo discreto negativo. Por ejemplo: U(k) = 0 para k negativo.

En general, una señal de entrada puede ser aplicada comenzando en cualquier valorde tiempo discreto.

Nos permite determinar ahora como la señal de salida del sistema (1.5-1) envuelveuna respuesta a una señal de entrada aplicada en k = 0. La forma general de tal entrada Seráentonces una secuencia caracterizada por:..., 0, 0, 0, U(0), U(1), U(2),...Ya que la señal deentrada es cero para un tiempo discreto negativo. Lo vemos de la expresión (1.5-1) que estano tiene influencia sobre y(k) para k negativo. Su primer influencia en y(k) se siente en k =0 donde:

Y( 0 ) = b0U( 0 ) + b1U( -1 ) – a1y( -1 )

Y ya que U(-1) = 0, esto se convierte en:

Y( 0 ) = b0U( 0 ) – a1y( -1 )

Vemos como es necesario conocer el valor de la señal de salida justo antes de laaplicación de la señal de entrada, por ejemplo: y(-1) para calcular y(0). El siguienteelemento de la señal de salida, y(1), es obtenido evaluando la expresión (1.5-1) para k = 1,la cual lleva:

Y ( 1 ) = b0U( 1 ) + b1U( 0 ) – a1y( 0 )

Donde y(0) ha sido determinada por una iteración anterior, y fue almacenada en lamemoria de la computadora como fue U(0).

30


En la segunda iteración tenemos que:

Y( 2 ) = b0U( 2 ) + b1U( 1 ) – a1y( 1 )

Donde U(1) y y(1) han sido almacenadas en la memoria de la computadora al finalde la iteración previa. Procediendo de esta manera, podemos determinar los elementosrestantes de la señal de respuesta y(k).

Para calcular la respuesta del sistema (1.5-1) a una señal de entrada aplicada en k =0, se encontró que es importante el conocimiento de los valores de los elementos y(-1),U(0), U(1), U(2). El termino y(-1) es llamado comúnmente como: “condición inicial delsistema”, como especifica el estado del sistema justo antes de la aplicación de la señal deentrada.

CONDICIÓN INICIAL.

Las condiciones iniciales del sistema contienen toda la información esencial necesariaconcerniente a un sistema de primer orden para calcular su respuesta a cualquier entrada.Como ya hemos demostrado, si la entrada es aplicada en k = 0, el termino y(-1) juega elpapel de la condición inicial. De cualquier forma uno no debe de llevarse la impresiónequivocada de todas las señales de entrada que son aplicadas en k = 0. esto no esciertamente verdadero, aunque será el caso para la mayoría de ejemplos tratados en estelibro. Para tratar la situación mas general, déjenos calcular la respuesta del sistema (1.5-1) auna señal de entrada aplicada en k = p, donde p es un entero arbitrario pero constante.Específicamente, la señal de entrada U(k) es considerada cero para el tiempo discreto k,menor que p y por consiguiente la primer influencia de la señal de salida para k = p, donde:

Y( P ) = b0U1( p ) + b1U( p – 1) – a1y( p – 1 )

= b0U( p ) – a1y( p – 1 )

es obvio que para calcular y(p), debemos conocer el valor de y(p-1), que juega el papel dela condición inicial. Por este simple sistema de primer orden, la condición inicial es igual alvalor de la señal de salida un tiempo discreto antes de aplicar la señal de entrada. Elsiguiente ejemplo además demuestra este concepto.

EJEMPLO 1.5-1 determine la respuesta de un sistema de cuentas de ahorro para el cual lasseñales de entrada y salida están relacionadas por:

Y( k ) = U( k ) + 1.025 y( k – 1 )

31


Y donde la señal de entrada esta dada por:

U( k ) = 0 para k = -2, -3, -4,... U ( -1 ) = 4

U ( 0 ) = -3 U ( 1 ) = 6 Etc...

La señal de entrada comienza a influenciar sobre la señal de salida en el tiempodiscreto k = 1, ya que es cero para todos los tiempos discretos que preceden a k = -1. Deaquí que, y(-2) juega el papel de la condición inicial y será tomada para igualarla a 2 en esteejemplo. Para encontrar la señal de respuesta, evaluaremos la ecuación diferenciagobernante comenzando en K = -1, donde:

Y( -1 ) = U( -1 ) + 1.025 y( -2 )

Desde que la condición inicial, y( -2 ) fue tomada para ser mientras queU( -1 ) = 4, esto se transforma en:

Y( -1 ) = 4 + ( 1.025 ) x ( 2 ) = 6.050

Para k = 0, tenemos:

Y( 0 ) = U( 0 ) + 1.025 y( -1 )

= -3 + ( 1.025 ) x ( 6.050 ) = 3.20125

continuando de esta manera podemos generar los términos faltantes de la respuesta. Esteejemplo puntualiza el hecho de que la condición inicial para un sistema de primer orden, nosiempre necesita ser y(-1). Sin embargo en la mayor parte de nuestras aplicaciones, la señalde entrada es normalmente aplicada en k = 0, así que y(-1) usualmente sirve como lacondición inicial para un sistema discreto de primer orden.

32


1.6 RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DE UN SISTEMA DE PRIMERORDEN.

Será mostrado subsecuentemente que el sistema de primer orden gobernado por:

Y( k ) = U( k ) + y( k – 1 ) (1.6-1)

Juega un papel central en el campo de procesamiento de datos. Aquí y sonconsideradas para ser constantes. Para ilustrar mas adelante el comportamiento lineal de larespuesta de un sistema discreto, debemos por lo pronto determinar la respuesta al escalónunitario de este sistema bajo la superposición de que la condición inicial y(-1) es cero. Eneste caso la señal de entrada esta dado por:

U( k ) = 0 para k = -1, -2, -3,...

Donde e(k) denota el error aleatorio presente en la k-enésima medición. Loscientíficos ahora tiene que procesar esas mediciones contaminadas de error, en orden paraobtener una estimación exacta de g.Este procedimiento de datos puede ser realizado usando la secuencia de mediciones {U(k)}como la señal de entrada al sistema discreto lineal.

Y(k)=(1-)U(K)+y(k-1)

La razón por las que esta forma de procesamiento de datos es efectiva no puede sermostrada en este momento. Sin embargo podemos dar un argumento heurística como a estaconclusión, a saber, la señal de entrada es en efecto la suma de una señal escalón deamplitud g y la señal de error e(k). Después de desarrollar las herramientas necesarias encapítulos pasados, se puede mostrar fácilmente que la respuesta del sistema deprocesamiento de datos a la secuencia dada de mediciones U(k) es:

)(1)( 1 kygky ek para k=0,1,2,...

Donde ye(k) designa la respuesta del sistema dado a la suma de error aplicada

separadamente. Si el parámetro es seleccionado tan cerca pero menor que uno (ejem.=0.99), podemos hacer arbitrariamente ye(k) tan pequeña como queramos. De aquí queseleccionado de esa manera la señal de respuesta resultante es

y(K) g para k grande

33


En palabras, esto implica que la respuesta del procesador de datos dado para la señalde entrada U(k) alcance el valor del parámetro g, el cual estamos intentando estimar. Así elprocesador de datos efectivamente ha filtrado la porción e ruido de la señal de entrada y hatransitito realmente la porción de referencia de información.

Es notable que y(k) alcanza el valor deseado de g solo después de que el término1k por si mismo va a cero.

En el orden a que la señal de respuesta se acerque a g rápidamente, es evidente que deberá elegirse mas cerca de cero. Desafortunadamente será mostrado en pocas palabrasque tal selección de causará que y e(k) se haga grande relativamente(por ejem. El sistemano filtra ruido). Estamos entonces ante un aparente callejón sin salida. A saber, deseamosseleccionar para hacer el sistema de respuesta rápida ( cerca de cero) y al mismo tiempopoder remover la señal de ruido e(k) de la respuesta ( cerca de UNO). En este caso,debemos seleccionar el parámetro suficientemente grande para remover efectivamente elruido y estar satisfechos con las características de velocidad de respuesta resultante estarsatisfechos con las características de velocidad de respuesta resultante. Afortunadamente,este ejemplo servirá como otro estimulante para el estudio de sistemas

U(k)=1 para k=0,1,2...

Ya que la señal de entrada primero es cero para k=0, primero influye al sistema enk=0 donde

Y(0)=U(0)+y(-1)

Ahora usaremos el hecho de que U(0)=1 y y(-¡)=0 para obtener

Y(0)=

En el tiempo discreto K=1, la señal de respuesta está dada por

Y(1)=U(1)+y(0)

Y ya que U(1)=1 y y(0)= tenemos

Y(1)=+ (1+)

Evaluando la señal de respuesta en una manera similar para k=2,3 y 4 produce:

34


)1()2( 2y

)1()3( 32 y

)1()4( 432 y

Si uno fuera a evaluar y(k) para k=5,6,7..., este patrón debería continuarmanteniéndose, esto es, la señal de respuesta en el tiempo discreto está dada por

)1()( 32 KKy para K=1,2,... (1.6-2)

Aunque esto es de hacho la respuesta al escalón unitario del sistema, la expresiónpara esta respuesta está en la forma más indeseable. Específicamente, en relación a calculary(k) por medio de la relación (1.6-2) uno debe transformar una razón muy grande denúmeros de multiplicaciones y adiciones.

Para valores grandes de k esto puede ser el proceso más tedioso y de consumo detiempo. Afortunadamente, la señal de respuesta como fue dada por la expresión (1.6-2)tiene una representación mucho más simple. Para demostrar esto, primero multipliquemoscada lado de la ecuación (1.6-2) por para obtener

)1()( 132 kky

Ahora sustraemos esta cantidad de y(k) como fue dado por la relación (1.6-2) paraobtener

Y(k)-y(k)=(1-k+1)

Después de expresar el lado izquierdo como (1-)y(k) y luego dividir ambos ladospor el número (1-), llegamos a la expresión de la forma cerrada de expresión para larespuesta escalón unitario dada por

111

)(

kaa

ky

para k=0,1,2,... (1.6-3)

Aunque las expresiones (1.6-2) y (1.6-3) son idénticas, la ultima forma compacta esdeseable a la analítica y la del punto de vista de cálculos. En el estudio de cualquier sistematal como para la forma de la señal de respuesta, siempre será nuestra meta.

De la señal de respuesta (1.6-3) es evidente que, si el parámetro tiene unamagnitud mayor que 1, entonces él termino 11 k se convierte arbitrariamente grande enla magnitud, como k se incremente. Esto es sistemático de un comportamiento inestable yel parámetro semejante va a ser prohibido normalmente. Entonces estaremos

35


usualmente interesados, en aquellas situaciones donde es menor que uno en magnitud.para tales casos vemos que él termino 11 k , se acerca a 1 el tiempo discreto k crece y larespuesta al escalón unitario alcanza el valor

aky

1)(

para k grande

Para tanto, la respuesta al escalón unitario del sistema dado se mira como una señalescalón de amplitud /(1-) para k grande. El hecho de que las señales de entrada yrespuesta tengan la misma forma en este caso no es coincidencia.

SISTEMA NORMALIZADO.

El sistema original (1.6-1) se dice ser normalizado si el parámetro es seleccionadoigual a (1-) esto es

Y(k)=(1-)U(k)+y(k-1) (1.6-4)

Entonces se sigue directamente de la expresión (1.6-3) que la respuesta escalónunitario para este sistema normalizado está dado por

11)( kky para k=0,1,2,...

Para cuando tiene una magnitud menor que uno, vemos que la señal de salidaspara este sistema normalizado se parecerá a la señal escalón unitario para k grande. Es poresta razón que el sistema se dice ser normalizado. La razón a la cual y(k)

36


Figura 1.6-1 Unidad de paso respuesta de un sistema normalizado.

Alcanza la unidad depende exclusivamente de . Conforme esté mas cerca decero más rápidamente y(k) alcanza el valor uno (estado estable). Esto se hace claro en laFig. (1.6-1) donde la respuesta al escalón unitario es dibujada para diferentes valores de .Ahora está claro que el valor de determina la velocidad de respuesta del sistema (1.6-4) aun escalón unitario.

EJEMPLO 1.6-1 para demostrar una aplicación típica de un sistema discreto lineal,debemos considerar la siguiente aplicación práctica de procesamiento de datos. Supongaque un satélite en la órbita de la luna tiene equipo de medición de gravedad para determinarel valor del parámetro de gravedad, g, gobernante de la luna. Esto es realizado tomando unasecuencia de mediciones sobre g, y esos valores de medición son luego transmitidos deregreso as la tierra por medio del equipo de comunicación del satélite. Luego en la estaciónterrestre, los científicos tienen disponible una secuencia de mediciones sobre g, denotadaspor U(0), U(1), U(2)... para los cuales el parámetro de la gravedad de la luna. A causa delos errores de instrumentación, transmisión, etc., cada una de las mediciones sobre gtendrán algo de error, esto es

U(k)=g + e(k) para k=0,1,2,..

Discretos lineales. Subsecuentemente estudiamos en detalle los conceptos aludidosen esta explicación de procesamiento de datos.

37


1.7 IDENTIDADES UTILES PARA EXPRESIONES DE FORMA CERRADA

En la sección pasada se definió una expresión de forma cerrada para la respuestaescalón unitario de un sistema dado. Para análisis de sistemas tal formulación seráinvaluable en e el estudio de las características de sistemas lineales. Ahora daremos tresimportantes identidades para sumatorias las cuales serán repetidamente usadas en laformulación de expresión de forma cerrado. Para la respuesta de sistemas lineales a variasentradas. Estas identidades y el procesamiento para derivarlas debe ser confiado a lamemoria.

El uso más frecuente de la identidad en forma cerrada es para la sumatoriaGeométrica truncado definida por

kk

k

i

iS 12

0

...1

En orden para obtener una expresión conveniente de forma cerrada para estasumatoria primero multiplicamos cada lado.

kkS 12 ...

Por la constante , obteniendo después la identidad S es sustituida por S paraproducir

11 kSS

Expresando el lado izquierdo como y luego dividiendo ambos lados por la constantellegamos a la expresión deseada para S dada por

1

1 1

0

kk

i

i para 1

Aplicando procedimientos similares (ver problemas 1.7-1 y 1.7-2) uno puederápidamente derivar las siguientes identidades útiles para sumatorias

12

0

11

kkk

i

i k

para k

38


kkk

k

i

i kk

22

30

112111

EJEMPLO 1.7-1 uno puede usar las identidades de arriba para evaluar sumatorias, lascuales son de forma similar. Como subsecuentemente veremos esto será una facilidadimportante para considerar en nuestro estudio de sistemas discretos lineales, como ejemplo,debemos determinar una expresión de forma cerrada para la sumatoria.

k

i

i

2

Una comparación de esta sumatoria con la expresión (1.7-1) revela que sonidénticas con la excepción de los dos primeros términos. Esto inmediatamente sugiere lasiguiente manipulación

k

i

ik

i

i

2

11

2

11

k

i

i

0

1

Ahora incorporaremos la identidad (1-7-1)

11

1

2

1k

i

ki

1

12 k

para 1

39


El cual es el resultado deseado. El punto más importante de este ejercicio fue elprocedimiento tomado arriba del resultado (y luego restando) los términos apropiados.Pusimos la sumatoria dada en una forma en la cual la expresión de forma cerrada ya esconocida. Este enfoque, será usado frecuentemente en otros estudios.

1.8 SISTEMA GENERAL DISCRETO LINEAL

El sistema lineal de primer orden es el ejemplo más simple de un sistema discretolineal. Para fenómenos más complejos, es necesario usar modelos lineales más sofisticados.Para el propósito de este texto un sistema discreto se dice ser lineal si la salida presente y(k)es expresada como una combinación lineal de las salidas pasadas y las entradas presentes ypasadas. Por lo tanto, un sistema es lineal si la señal de salida presente y(k) es generada poruna relación dela forma

)(...)2()(...)1()()( 210 nkyakyamkUbkUbkUbky nm (1.8-1)

Donde b0,b1,...,bm,a1,a2,...,an, son constantes y m y n son enteros no negativosfijos. Esta expresión es un ejemplo de una ecuación diferencial lineal de n-enésimo orden.Esta se dice ser de orden n porque la salida presente y(k) depende de sus valores previosy(k-1), y(k-2),...,y(k-n) las cuales se desplazan hacia otras n unidades de tiempo discreto.(nota: este no es un sistema de m-ésimo orden)

Para calcular la señal de respuesta y(k) para este sistema de n-esimo orden, esevidente de la relación (1.8-1) que los valores previos de las señales de entrada y salidasU(k-1),U(k-2),...,U(k-m), y y(k-1),y(k-2),...,y(k-n), respectivamente deben ser almacenadosen la memoria del dispositivo de implementación junto con los coeficientes ai y bi. Una vezque la señal de entrada presente U(k) este disponible, entonces uno evalúa la combinaciónlineal (1.8-1) para obtener y(k). Uno procede en este modo iterativo para calcular la señalde respuesta para los valores resultantes de tiempo discreto.

Ya que hay m+n+1 coeficientes y m+n valores previos de los elementos s de laseñal de entrada y salida para evaluar la expresión (1.8-1), se sigue que el dispositivo deimplementación debe tener la capacidad para almacenar 2m+2n+1 números. Esto esmencionado ya que el costo del dispositivo de implementación es proporcional a losrequerimientos de la memoria, y de esto por consiguiente conviene al diseñador hacer m y ntan pequeños como sea posible mientras se mantengan los objetivos de diseño. En muchasaplicaciones, el tiempo de computación requerido para llevar a cabo las sumas ymultiplicaciones especificadas por la expresión (1.8-1) también juegan un papel criticocomo ha m+n+1 multiplicaciones y m+n sumas, vemos que el tiempo de comparación esproporcional a m+n, y la deseabilidad de hacer m+n pequeños es obvio de nuevo.

40


Par un sistema lineal de primer orden, se mostró que la condición inicial juega unpapel de llave en la respuesta del sistema. Esta condición inicial se mostró sé igual al valorade la señal de respuesta un tiempo discreto previo a la aplicación de la señal de entrada.Ahora mostraremos que un sistema lineal de n-esimo orden tiene un juego n decombinaciones iniciales asociadas.

Una definición mas general de un sistema discreto lineal es una en la cual la calidadpresente del sistema de una combinación lineal de salida pasadas y entradas presentes,pasadas y futuras. Esta definición extendida será de poco valor práctica en las mas de lasaplicaciones.

Apliquemos al sistema (1.8-1) una entrada la cual no es cero primero en el tiempodiscreto k=p, donde p es algún entero especifico. Como puede ser visto de la ecuacióndiferencial gobernante, la entrada primero influye la salida en el tiempo k=p, donde

)(...)2()1()()( 210 nPyaPyaPyaPUbPy n

Nosotros hemos usado el hecho de que U(p-1)=U(p-2)=...=U(p-m)=0 para llegar aeste resultado. Es evidente de esta expresión que los valores de las variables y(p-1), y(p-2),...,y(p-n) deben ser conocidas si nosotros tenemos que calcular y(p) y, en turno, y(p+1),y(p+2),etc. Los elementos y(p-1), y(p-2),...,y(p-n) son llamadas las condiciones inicialesasociadas con el sistema de n-ésimo orden (1.8-1). De aquí un sistema lineal de n-esimoorden tiene un juego de n condiciones iniciales asociadas. Esas condiciones inicialesasociadas se mostró que es igual a los valores de la señal de respuesta para los n tiemposdiscretos inmediatos previos as la aplicación de la señal de entrada.

EJEMPLO 1.8-1 En él capitulo 2, unos modelos de ingreso nacional será desarrollado. Sidejamos que y(k) y U(k) denoten los valores d ingreso nacional y gasto gubernamental,respectivamente, cada uno tomado en el k-esimo periodo del estado de cuenta, se mostraráque

)2()1()1()()( kykykUky

Sirve como modelo para el fenómeno de ingreso nacional. Los parámetros y sonconstantes, los cuales caracterizan las propiedades dinámicas de este modelo. Aquí tenemosun ejemplo de un sistema discreto lineal de segundo orden ***** este modelo de ingresonacional puede ser usado en la siguiente manera: suponga que el gobierno federal desea queel ingreso nacional crezca a una razón anual de 5%. Si el modelo de arriba está basadosobre una razón anual (ejem., el parámetro k denota el k-esimo año) es entonces necesarioconsumir una cantidad en el k-esimo año tal que y(k)=1.05 y(k-1). El consumo necesario esentonces

41


)2()1()1()()( kykykykU

)2()1(1(05.1 kyky

El cual es una combinación lineal del ingreso nacional conocido para los dos añosmas recientes.

1.9 SISTEMAS DISCRETOS NO LINEALES

Un sistema discreto se dice ser lineal si su salida presente no es una combinaciónlineal de los elementos de la señal de entrada y salida pasadas como fue dado en la relación(1.8-1). Por ejemplo, el sistema usado para calcular sistemáticamente la raíz cuadrada de unnúmero positivo

)1(

)()1(

2

1)(

ky

kUkyky

Es un sistema discreto no lineal. Esto sigue porque el término 1kY

KU no es una

combinación lineal de U(k) ó y(k-1). Aunque los sistemas no lineales son ciertamente útilessu estado es altamente especificado, y a la fecha no se ha desarrollado un tratamientosatisfactorio. Por otro lado una silenciosa y hermosa teoría sobre sistemas discretos existenla cual nos permitirá estudiar sus características en gran detalle. De aquí en adelante,restringiremos nuestra atención a sistemas lineales

1.10 SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO

El sistema discreto lineal como el gobernado por la expresión (1.8-1) se dice servariante en el tiempo si los coeficientes b0,b1,...,bm,a1,a2,...,an que gobiernan sucomportamiento dinámico son constantes fijos. Por otro lado, sistemas para los cuales esoscoeficientes son funciones de tiempo discreto k son llamados de tiempo variable. Con laexcepción del siguiente ejemplo y la sección 3.10, estudiaremos exclusivamente sistemaslineales invariantes en el tiempo.

Ejemplo 1.10-1 En teoría de probabilidad y estadística uno frecuentemente necesita evaluarel número de combinaciones de n elementos tomando k a la vez. Este número está dado por

42


)!(!

!

knk

nnk

para k = 0,1,2,...,n

Donde k y n son enteros positivos, y la formula para n factorial es

)1).(2)...(2).(1).((! nnnn

De aquí que para evaluar n!, debemos ejecutar n-2 multiplicaciones para nmoderadamente

nk

grande, la evaluación de nk no es algo trivial. Un procedimiento sistemático para suevaluación será dado ahora en el cual definimos

)!(!

!)()(

knk

nky n

k para k = 0,1,2,..., n

De esta expresión sigue

)!1(!1

!)1(

Knk

nky para k = 1,2,...,n+1

La relación entre y(k) y y(k-1) es mostrada rápidamente que es

11)(

kyk

knky para k=1,2,...,n (1.10-1)

Esta es una ecuación difencial lineal de primer orden con parámetros

010 bb yk

kna

11

43


Y la condición inicial y(0)= n0 =1

El coeficiente al que multiplica el término y(k-1) es una función del tiempo discretok, y por lo tanto este sistema es de tiempo variable.

Para generar la secuencia y(k), evaluamos la ecuación diferencial característica(1.10-1) en k=1,2,3,...,n. De aquí resulta que

en k=1, y(1) = ny(0) = nen k=2, y(2) = n-1 / 2y(1)en k =n. Y(n)= 1 / n y(n-1)

En medio de este procedimiento iterativo, hemos generado un juego completo decombinaciones n

k para k=1,2,...,n en términos de tiempo de computación es necesario

ejecutar únicamente n-a divisiones, para calcular a1(k) y(k-1) multiplicaciones paracalcular los productos a1(k) y(k-1) para generar la secuencia y(k). Los ahorros encomputación logrados formulando el problema en esta forma iterativa pueden serapreciados si notamos que un total de 2n-5 multiplicaciones y una división son necesarias

para calcular nk un elemento del arreglo si es usadas la formula estándar !1

!

knk

n

Por

lo tanto son requeridas un total de 2n2**-9n+10 multiplicaciones y n-2 divisiones parcalcular la secuencia y(k) cuando es incorporada la formula directa.

1.11 UNIDADES BASICAS DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES

Una representación en diagrama de bloques de un sistema discreto lineal nosposibilita par obtener una interpretación visual de las características dinámicas del sistema.En resumen, esto revela un método posible para implementar las ecuaciones diferencialeslineales gobernantes del sistema. Para tales representaciones, existen tres unidades básicasnecesarias: (1) unidad de retardo, (2) unidad multiplicadora, y (3) unidad sumadora. Esasunidades serán ilustradas como se muestra en la fig. 1.11-1. interconectandoadecuadamente tales unidades, mostraremos que es posible implementar cualquier sistemadiscreto lineal. Se presentará ahora una descripción de las característica de esas tresunidades básicas.

44


UNIDAD DE RETARDO

Una unidad de retardo es un dispositivo el cual opera sobre una señal discreta (señalde entrada) para generar otra señal discreta (señal de salida) la cual es idéntica a la señal deentrada excepto que esta retardada una unidad de tiempo discreto. La relación quecaracteriza a esta unidad es entonces

y(k) = U(k-1)

Fig 1.11-1 unidades básicas: a)unidad de retardo, b) unidad multiplicadora c)unidad desuma

La fig. 1.11-1a ilustra la representación de una unidad básica de retardo para seusadas en este texto. por razones que se harán evidentes en el capítulo 5, esta unidad estárepresentada como un rectángulo con la letra Z-1 encerrada.

La operación de retardo es por tanto mejor ilustrado mostrando su efecto sobre unaseñal discreta típica. Consideremos que la señal escalón unitario mostrada en la fig. 1.11-2A esta aplicada a la unidad de retardo. La salida de esta unidad será entonces la secuenciamostrada en la fig. 1.11-2b de aquí que la unidad de retardo desplaza (retarda) la señal deentrada una unidad de tiempo discreto a la derecha.

45


Conectando dos unidades de retardo en cascada (esto es, la señal de salidas de laprimera unidad de retardo sirve como señal de entrada a la segunda unidades de retardo) esposible obtener un retardo de dos unidades de tiempo discreto. La fig. 1.11-3 ilustra laconexión en cascada y las señales que resultan en la terminal de salida de cada unidad deretardo en el tiempo discreto k.

Más generalmente, uno puede obtener un sistema el cual retarda la segunda deentrada U(k)p unidades de tiempo discreto conectando p unidades de retardo de cascada.Nosotros podemos designar tal conexión por una simple caja con k***** en el lugar masconveniente.

UNIDAD MULTIPLICADORA

Una unidad multiplicadora es un dispositivo el cual opera sobre una secuencia denúmeros (señal de entrada) para generar otra secuencia (señal de salida) la cual es idéntica a

46


La secuencia de entrada multiplicada por algunas constante fija a. por lo tanto, siU(k) es la entrada a la unidad multiplicadora, la salida resultante es

Y(k)=aU(k)

La fig. 1.11-1b describe la representación de una unidad multiplicadora básica paraser usada en este texto.

UNIDAD DE SUMA

Una unidad de suma es un dispositivo el cual toma dos o mas señales discretas y lassuma para generar otra señal discreta. Por ejemplo si la señal U1(k) y U2(k) son aplicadas ala entrada de la unidad de suma, la señal de salida resultante esta dada por

Y(K)=U1(K)+U2(K) (1.11-3)

Una unidad de suma será dibujada como se muestra en la figura 1.11-1c.Frecuentemente será necesario formar una señal discreta la cual es la diferencia de dosseñales discretas dadas, esto es

Y(k)= U1(K)-U2(K)

Esta operación será dibujada por una unidad de suma con un signo negativo en laterminal de entrada U2(k), como se muestra en la fig. 1.11-4

U (K )1

U (k )2

Y (K )=U (K )-U (k )1 2

F igura 1 .11-4 S ubstracc ion de dos secuenc ias

47


Una computadora digital puede implementar cada una de las operaciones ejecutadaspor las unidades básicas. La unidad de retardo es en efecto un dispositivo de memoria pormedio del cual un numero (por ejemplo; U(k-1)) es almacenado en el tiempo discreto k-1 yrecavado en el tiempo discreto k. Uno puede, en parte medir los requerimientos de memoriade un sistema discreto contando el numero de unidades de retardo usadas en suimplementación. Las unidades multiplicadoras son dispositivos los cuales llevan a cabo laoperación de multiplicar un numero fijo por otro numero alimentado a su terminal deentrada (por ejemplo; a U(k)). Estos dispositivos deben por tanto poseer la capacidad dealmacenar el numero multiplicador fijo ( esto es, a). Por lo tanto cada unidad multiplicadorausada en una implementación dada especifica los requerimientos de memoria de unaunidad. Una unidad de suma es un dispositivo el cual suma dos o mas números alimentadosa sus terminales de entrada y no tiene requerimientos de memoria generados por su uso.

Ya que el costo de un sistema discreto lineal dado es proporcional a susrequerimientos de memoria, podemos aproximar esto contando simplemente el numero deunidades de retardo y multiplicación usadas en su implementación. Si uno entoncesimplementa una ecuación diferencia lineal dada usando unidades básicas, un criterio dediseño obvio seria el de minimizar la totalidad usada de unidades de retardo ymultiplicación

REPRESENTACION DE SISTEMAS DISCRETOS LINEALES CONUNIDADES BASICAS.

Para mostrar un método para representar un sistema discreto lineal usando unidadesbásicas, consideremos el sistema de primer orden caracterizado por

Y(k)=b0U(k)+b1U(K-1)-a1y(k-1) (1.11-4)

Primero descomponemos el lado derecho de esta expresión en dos términosb0U(K)+B1U(K-1)Y –a1y(k-1). De la expresión(1.11-4), se nota que y(k) es simplementela suma de esos dos términos y puede ser generada por una unidad de suma, con esos dostérminos sirviendo como las señales de entrada como se muestra en la figura 1.11-5ª. Laseñal –a1y(k-1) puede ser generada aplicando a la señal y(k) una combinación de unidadesde retardo y multiplicación como se indica en la fig. 1.11-5b. La implementación delsistema(1.11-4) se completa generando la señal b0U(K)+B1U(K-1) como se mostró en lafig. 1.11-5c. La varían señales presentes en el tiempo k son mostradas en este diagrama.

48


B u(K)+ b u(k-1)o 1 Y(k)

A y(k-1)1

+

-

B u(K)+ b u(k-1)o 1 Y(k)

A y(k-1)1 A y(k)1

A y(k-1)1

Y(k)U(k)

B1

B0

Z-1

A1

b u(k-1)1

Z-1

Figura 1.11-5 Representac ion de l sistem a

B u(K)+ b u(k-1)o 1 Y(k)

A y(k-1)1

+

-

B u(K)+ b u(k-1)o 1 Y(k)

A y(k-1)1 A y(k)1

A y(k-1)1

Y(k)U(k)

B1

B0

Z-1

A1

b u(k-1)1

Z-1

Figura 1.11-5 Representac ion de l sistem a

e(k-1)=U(K-1)+

c

abU(K-1)-

c

ay(k-1)

finalmente, sustituimos esta identidad en la relación (1.11-6) para obtener la ecuacióndiferencia que relaciona a y(k) y U(k), esto es

49


y(U)= bU(k)+(c+ab)U(K-1) (1.11-8)

Si esta ecuación diferencia de primer orden se va a hacer idéntica a la expresión(1.11-4), debemos tener a=a, b=b0 y c=b1-a1b0, con esta relación de parámetros, hemosllegado a otra implementación del sistema del primer orden dado. Note que cada una deestas representaciones usa dos unidades de retardo y tres unidades multiplicadoras y portanto un requerimiento de memoria de cinco unidades en cada implementación.

GENERALIZACION A SISTEMAS DE MAS ALTO ORDEN

La metodología para implementar un sistema discreto lineal con unidades básicascomo el que se muestra en la fig. 1.11-5 tiene una extensión natural para sistemas de masalto orden. Por ejemplo, el sistema de segundo orden caracterizado por

Y(k)=b0U(K)+b1U(k-1)+b2U(k-2)-a1y(k-1)-a2y(k-2)

Debería implementarse como muestra la figura 1.11-7. Las varias señales presentes en eltiempo discreto k se muestran también en este diagrama

Z -1Z -1

z-1z-1

z-1

-A1

-A2

U(k) Y(k)

U(k)

Y(k)B0

B1

B2

B1u(k-1)

b 2u(k-2)

+-a 1y(k-1)

-A2y(k-2)

+-

E(k) 2

1/4

Fig. 1.11-7 Representac ion de un sistem a d e segundo orden

50


REPRESENTACION ALTERNATIVA

Se debe cuestionar que la representación del sistema (1.11-4) dado en la fig. 1.11-5no es única. Esto se puede demostrar si consideramos la configuración mostrada en la fig.1.11-6. para determinar la ecuación diferencia que relaciona y(k) y U(k) para estaconfiguración, será conveniente denotar la señal generada por la unidad de suma de mas ala izquierda como e(k). Después que es hecha esta notación, es posible identificar señaleslas cuales aparecen en otra parte en la configuración cuando las propiedades asociadas delas unidades básicas. El resultado de esta aproximación es mostrada en la fig. 1.11-6

U(k) Y(k)+-

E(k)

z-1

z-1

Bu(k)

C e(k-1)

A= 1b = b 0c = b 1-a 1b 0

Fig . 1.11-6 Otra im p lem enta c ion de un sistem a d e p rim er orden

En seguida las relaciones gobernantes de las dos unidades de suma se formulan como

e(k)=U(K)-ae(k-1) (1.11-5)Y(k)=Bu(k)+ce(k-1) (1.11-6)

Deseamos ahora eliminar los elementos e(k) y e(k-1) de esas dos identidades con elpropósito de llegar a la ecuación diferencia que relaciona a y(k) y U(k). Esto se lleva a caborápidamente resolviendo la relación ( 1.11-6) para e(k-1) para obtener

e(k-1) =-

c

bU(k)+

c

1y(k)

Esta expresión se sustituye ahora en la ecuación (1.11-5) de donde resulta

e(k)=U(k)+

c

abU(k)-

c

aY(K) (1.11-7)

51


De aquí, dados los valores de U(k) y Y(K), la relación (1.11-7) puede ser usada paragenerar e(k) para todo tiempo discreto. Esto entonces permite que el valor del elementoe(k-1) pueda satisfacer la relación

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.1-2 Determine si las siguientes señales son de tiempo continuo o tiempo discreto. De unabreve explicación.

a) Temperatura de un cuarto.b) Cerrazón de precios de un surtido en el intercambio del almacén principal.c) Posición de la dirección automática de un carro en movimientod) Peso de un individuo tomado cada día a las 5 p.m.

1.2-1 Dibuje las secuencias dadas por:

a) (k)+3(k-2)-(k-5)b) 2(K)=3(k+1)-(k)+6(k-1)+1/2(k-2)c) 3(k)=-7(k)+6(k-1)-(k-2)+4(k-3)

1.2-2 Exprese las siguientes secuencias como una suma de señales de Delta deKronecker

1.2-3 Exprese la señal escalón como una suma infinita de señales de Delta de Kronecker.

1.2-4 Si s(k) denota la secuencia escalón unitario muestre que:

a) s(k)-s(k)=(k)b) Para k=1,2,3,…c) Dibuje la secuencia s(k+1) y s(k+2)vsk.

52


1.2-5 Para señales discretas 1(k) y 2(k) dadas en el problema 1.2-1 determine y dibuje:

a) 1(k)+2(k)b) 1(k)-32(k)c) –0.52(k)

1.2-6 Para señales discretas1(k) y 2(k) dadas en el problema 1.2-1 exprese la señal(k)=2(k)-1(k) como una suma de señales delta de Kronecker

1.2-7 Determine y dibuje las señales discretas (k)=1(k)+2(k) donde.

1.2-8 Que señal discreta 2(k) debe ser sumada a la señal discreta:

de tal manera que la suma resultante sea un escalón discreto de amplitud 2, esto es:

53


1.2-9 Dadas las señales discretas caracterizadas por:

a)1(k)+2(k)b)1(k)-2(k)c)21(k)-2(k)

1.3-1 Para la señal de tiempo discreto

haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta señal es uniformemente muestreada yel periodo de muestreo T es:

a) T= 0.2 seg.b) T= 0.45 seg. Cont.

En que forma y porque difieren las dos versiones muestreadas uniformementede la misma señal de tiempo continuo.

54


1.3-2 Determine y dibuje las secuencias de números generada cuando la señal de tiempocontinuo es 1-t2 para –1t1U(T)= 3-t para 1 t 3 0 para los demás valores de t.

uniformemente muestreada con periodo de muestreo T dado por.

a) T=1/2 seg.b) T=1 seg.c) T= 4 seg.

Usando las aproximaciones gráficas y analíticas en los ejemplos 1.3-1 y 1.3-2respectivamente. Comente como y porque la secuencia resultante difiere y cual debe seruna elección apropiada del período de muestreo para esta señal de tiempo continuo de laa),b), o c).

1.3-3 Para la señal de tiempo continuo

2

1

Haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta señal de tiempo continuo esuniformemente muestreado con un período de muestreo de T= 0.25 seg.

1.3-4 Dada la señal de tiempo continuo especificada por

t3 para 0t

U(t)=

2

3-

2

t para 1t3

0 para los demás valores de t.

Determine la secuencia resultante de números obtenida por muestreo uniforme de U(t) conperiodo de muestreo de:

a) T= ½ seg.b) T= 1/3 seg.

55


1.3-5 para la señal de tiempo continuo

U(t)=sent t para toda t

Haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta forma de onda es uniformementemuestreada con un período de muestreo

a)T=/4 seg.b) T= /2 seg.c) T= / seg.

1.4-1 Usando el algoritmo de la raíz cuadrada determine los tres primeros términos de lasecuencia generada cuando el número para el cual queremos la raíz cuadrada en X= 3 ycomo guía tomamos Y(-1)=1.5

1.4-2 Demostrar que el proceso iterativo especificado en el ejercicio anterior, actualmenteconverge a x, asuma que la señal de respuesta Y(k) se aproxima a un valor constante usando la ecuación anterior, muestre que este igual a la x. (consejo: deje que Y(k) = Y(k-1) = para valores de k grandes).

1.4-3 Si un individuo abre una cuenta de ahorros y deposita las siguientes cantidades el 1 deenero de cada año sucesivo

U(0)= $1,000 U(1)= $2,500 U(2)= $3,000 U(3)= $ 500

Y el banco paga un interés compuesto de 5% por año, determine la cantidad en el depositoal final del año.

1.4-5 Determine el número de años requerido para que un depósito inicial de dinero dado sedoble.

a) Con un interés compuesto del 2% por añob) Con un interés compuesto del 5% por año

56


1.5-1 Para un sistema generado por la ecuación diferencial lineal

y(k)= U(k) + 0.5 y(k-1)

determine los primeros cinco términos de su respuesta para la entrada

U(k)= 0 para k= -1, -2, -3,...U(k)= 1U(k)= -3U(k)= 4U(k)= 1U(k)= 5

Cuando la condición inicial y(-1) es

a) y(-1)=0 b) y(-1)=2

1.5-2 Para un sistema gobernado por la ecuación diferencia lineal

y(k)= -U(k-1) + 0.8y(k-1)

determine los primeros cinco términos de su respuesta a la entrada

cuando la condición inicial se toma como

a) 0b) –1

¿Para que valor de tiempo k es y(k) la condición inicial?

1.5-3 El sistema gobernado por la ecuación diferencia

y(k) = b0U(k)-a1y(k-1)

tiene la siguiente historia de la señal de entrada salida

57


Con la condición inicial y(-1)=3. De esta información, determine el valor de los parámetrosa1 y b0

1.5-4 La respuesta del sistema

y(k) = b0U(k) + b1U(k-1)-a1y(k-1)

para la señal de entrada es:

cuando la condición inicial y(-1)=-2. De esta información, determine el valor de losparámetros a1, b0 y b1.

1.5-5 Determine la secuencia de números que resulta cuando la señal de tiempo continuo

K 0 1 2

U(k) 2 2/3 2

Y(k) 1 0 0

58


Es uniformemente muestreada con un período de muestreo T= ½ seg. Usando estasecuencia de números como señal de entrada para el sistema caracterizado por

Y(k)= ½ U(k) + y(k-1)

Determine los primeros 8 términos de la señal de salida resultante cuando la condicióninicial es y(-1)= - ½

1.6-1 Escriba una expresión general para la respuesta del sistema

y(k) = b0U(k) – a1y(k-1)para la señal

0 para k = -1,-2,-3,...

la condición inicial se toma como 0

1.6-2 Muestre que la respuesta del sistema

y(k) = (1 - )U(k) + y(k-1)

para una señal escalón de amplitud g está dada por:

y(k) = g(1 - k-1) para k = 0,1,2,3

donde la condición inicial y(-1) se toma como cero

1.6-3 Dada la ecuación diferencia de primer orden

y(k) = U(k) + y(k-1) para k = 0,1,2,3,...

con la condición inicial y(-1) = 0 y la señal de entrada U(k) = k, muestre que lasecuencia solución satisface la ecuación diferencia de segundo orden

59


y(k)2y(k-1) – y(k-2) +1 para k = 1,2,3,...

con condiciones iniciales y(0) = 0 y y(-1) = 0

1.6-4 Muestre que la respuesta del sistema generado por

y(k) = U(k) + y(k-1)

para la entrada alternativa unitaria U(k) = (-1)k para k = 0,1,2,3,... está dada por

y(k) = 7(1+) (-1)k +( k+1 ) Para k = 0,1,2,3,...

condición inicial y(-1) = 0

1.7-3 Dada la serie geométrica general y(k) donde

y(k) = 1 - + 2 + ... + k

a) Muestre que la secuencia {y(k)} satisface la ecuación diferencia lineal de primerorden

y(k) = y(k-1) + k para k = 1,2,3,... con la condición inicial y(0) = 1

b) Usando profundidad la cual se obtiene sólo después de considerable, experiencia,como asume que la forma de la solución para esta ecuación diferencia es:

y(k) = y(k-1) + k para k = 1,2,3,...

para demostrar que esta solución supuesta es adecuada sustituimos esta ecuación en laecuación diferencia gobernante y seleccionamos los valores de 1 y 2 para que estaigualdad sea válida. Encuentre los valores requeridos de los parámetros 1 y 2

1.8-1 Dada la ecuación diferencia de segundo orden

y(k) = ( 2 cos )y(k-1) – y(k-2) para k = 0,1,2,...

con condiciones iniciales y(-2) = 0 y y(-1) = 1 donde 0,

60


a) Determine los términos de y(0), y(1), y(2) y y(3)

b) Verifique que la relación y(k) =

sen

ksen 2. satisface la ecuación diferencial con

las condiciones iniciales prescritas.

1.11-1 Determine la ecuación diferencial que relaciona U(k) y y(k) para el sistemamostrado abajo

1.11-2 Para la configuración mostrada en la siguiente figura, determine la ecuacióndiferencia la cual relaciona Y(k) y U(k).

1.11-3 Para el diagrama mostrado en la siguiente Fig. determine los valores de lasconstantes a, b y c tales que

y(k) = b0U(k) + b1U(k-1) –a1y(k-1)

1.11-4 Implemente el sistema gobernado por la ecuación diferencial

y(k) = U(k) – a1y(k-1) – a2y(k-2)

usando unidades básicas.

1

LA TRANSFORMADA Z

Introducción

Dos hechos que debemos tener en claro en nuestro estudio desistemas lineales discretos son: Primero, esta claro que tales sistemas son degran importancia para una amplia variedad de disciplinas. Segundo, aunque esposible estudiar las características operacionales de un sistema linealdiscreto usando exclusivamente la ecuación de diferencia básica que rige sucomportamiento o la representación equivalente de la sumatoria deconvolución, para un conocimiento significativo se requiere de un enfoquediferente.

Por años, los matemáticos han estado usando métodos detransformación para simplificar el análisis y síntesis de sistemas cuyadinámica es gobernada por ecuaciones lineales de diferencia o ecuacionesdiferenciales. Como el nombre lo implica, una transformación es una regla porla cual una entidad es cambiada a otra forma. Por ejemplo: Latransformada-z es una regla por la cual una secuencia de números esconvertida a una función de la variable compleja z. Debido a que la estructurabásica de la transformada-z posee propiedades las cuales nos facilitaránresolver ecuaciones de diferencia lineal usando simples manipulacionesalgebraicas.

La transformada-z de una secuencia de números f k( ) la cual es iguala cero para tiempo negativo discreto[ por ejemplo f k para k., ( ) , , , 0 1 2 3 ] esta definida por:

Z f k F z ff

z

f

z

f

z( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).... 0

1 2 32 3

donde z es un número complejo arbitrario (variable compleja)1. Podríamosponer esta sumatoria infinita dentro de la siguiente forma compacta

1 La variable compleja jyxz donde [x] y [y] son números reales, mientras que j 1 .

2

F z f k z k

k

( ) ( )

0

donde z 1 denota la variable 1 z mientras z k corresponde a 1 zk . Para esta

expresión, vemos que F z( ) es una suma de números complejos y por ello esun número complejo. A través del proceso de encontrar una transformada-z,transformamos (cambiamos, mapeamos, etc.) una secuencia de números auna función de la variable compleja z. La secuencia f k( ) es llamadasecuencia generadora de la transformada-z F z( ) . Por razones deconveniencia notacional, de aquí en adelante denotaremos una secuencia conf k( ) en lugar de f k( ) . Las notaciones F z( ) y z F k[ ( )] serán usadas

intercambiablemente para denotar la transformada-z de la secuencia f k( ) .

2.1 Definición de la transformada-z

El papel que juega la transformada-z en sistemas discretos en eltiempo es bastante similar al de la transformada de Laplace en sistemascontinuos en el tiempo. Como las funciones de tiempo discreto se presentanal muestrear señales continuas, primero se tratan los muestreadores ydispositivos de retención.

Muestreadores y dispositivos de retención.

El elemento principal de un sistema de tiempo discreto es elmuestreador. En un muestreador convencional una llave se cierra paraadmitir una señal de entrada cada T segundos. En la practica, la duracióndel muestreo es muy breve en comparación con la constante de tiempomás significativa de la planta. El muestreador convierte una señalcontinua en un tren de pulsos producidos en los instantes de muestreo,0, T, 2T, . . ., donde T es el periodo de muestreo.

Un dispositivo de retención convierte la señal muestreada en una señalcontinua que reproduce aproximadamente la señal aplicada almuestreador. El dispositivo de retención más simple convierte la señalmuestreada en una señal constante entre dos instantes de tiempo

3

consecutivo como se ver en la figura 2.1-1. Un dispositivo así se denominadispositivo de retención de orden cero.

Ahora se define la transformada-z tomando la transformada deLaplace de la ecuación:

Se obtiene:

Se define eTs=z

Y se escribe X*(s) como X(z). Entonces

A X(z) se le denomina transformada-z de x*(t) y la notación para latransformada-z de x*(t) es Z [x*(t)].

En la transformación-z solo se consideran los valores de la señalen losinstantes de muestreo. Por tanto la transformada-z de x(t) y la de x*(t)dan el mismo resultado o sea

se

GTs

h

1

0

)()()(*k

kTtkTxtx

0

)()(*)(*k

kTsekTxtxLsX

0

)(ln1

*)(*)(k

kzkTxzT

XsXzX

0

)()()(*)(k

kzkTxzXtxZtxZ

DISPOSITIVO DERETENCIÓN

MUESTREADOR

X(t)X*(t)

Xh(t)

0 T 2T 3T 4T 5T

t

0 T 2T 3T 4Tt

TtparakTXtkTX h 0)()(

4

Como X(z) depende únicamente de los valores de x(t) en t = kT ( k = 0,1, 2, ...), la transformada inversa z de X(z) da información sobre x(t)únicamente en los instantes de muestreo. Se hace notar que la ecuación anterior no es la única forma de dar latransformada-z de x(t) hay otras dos expresiones para la transformada-z.

Región de convergencia

Si uno evalúa la transformada-z en un valor especifico de la variablecompleja z, es generado el número complejo dado por la sumatoria infinitaantes mencionada. La magnitud de este número complejo, F z( ) , puede serfinito o infinito. El conjunto de z en el plano z complejo para el cual lamagnitud de F z( ) es finita es llamado: región de convergencia de F z( ) ,mientras que el conjunto de z para el cual esta magnitud es infinita esllamada región de divergencia de F z( ) .

Secuencia geométrica

La mayoría de secuencias básicas de números relacionados con nuestroestudio de sistemas lineales discretos son las secuencias geométricasdefinidas por

f kk

a kk( ), , ,...

, , ,...

0 1 2 3

0 1 2

para

para(2.1-1)

donde a podría ser cualquier número fijo. Ya que casi todas las aplicacionesde la transformada-z de alguna manera implican la secuencia geométrica, unacompleta comprensión de sus características básicas. Es por consiguienteesencial.La transformada-z de esta secuencia es obtenida sustituyendo formalmentef k a k( ) dentro de la relación que define la transformada-z como la dada

por la expresión (2.1-1). esto es

F z a zk k

k

( )

0

5

y escribiendo a zk k como azk1 tenemos

F z az k

k

( ) ( )

1

0

(2.1-2)

A fin de evaluar esta sumatoria infinita, será bueno definir una versióntruncada de F z( ) constando de sus primeros n términos, esto es

F z az az a z a znk n n

k

n

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1

0

1

1

Claramente se ve, cuando n , la función F zn ( ) más y más seasemeja a F z( ) , hasta el limite en que son idénticos. Una de las ventajas endefinir esta versión truncada de F z( ) es que esta disponible directamenteuna expresión de forma cerrada para F zn ( ) .

Específicamente, F zn ( ) es vista como una sumatoria geométricatruncada con az 1 y k n 1 la cual por una identidad podría serexpresada como

F zaz

azn

n

( )( )

11

1

1 (2.1-3)

El único término que constituye F zn ( ) el cual depende de n es azn1 .

De aquí en adelante, dejaremos a n llegar a ser arbitrariamente grande en elorden de determinar F z( ) de F zn ( ) , necesitamos estar solamentepreocupados por el comportamiento de este término. Su comportamiento esmostrado representando az 1 en forma polar, esto es

az az e j 1 1

donde az 1 y denotan la magnitud y el ángulo de el número complejo az 1

respectivamente. Uno podría entonces rápidamente mostrarque ( )az az en n jn 1 1

Para aquellos valores de z para los cuales az 1 1, es claro que el númerocomplejo

6

azn1 tiene una magnitud aproximada a cero cuando n llega a ser

arbitrariamente grande. Entonces, para tal z

F z F z

azpara az

nn( ) lim ( )

1

111

1

y después multiplicando el numerador y denominador de el lado derecho porz, tenemos

F zz

z apara az( )

<1 1

Por otra parte, para aquellos valores de z para los cuales az 1 1,

vemos que el número complejo azn1 llega a ser infinito cuando n llega a ser

arbitrariamente grande.Para tal z, luego tenemos

F z F z es inito para azn

n( ) lim ( ) inf

1 1

Así, la transformada z de la secuencia geométrica como la dada por laexpresión (2.1-2) converge al número complejo z z a( ) para aquellas z en lascuales az 1 1, y diverge (es ilimitado o infinito) para aquellas z en las cualesaz 1 1. Usando las manipulaciones elementales de números complejos

aza

z

a

z 1

notamos que az 1 1 implica z a mientras az 1 1 implica z a . Porconsiguiente la transformada-z de la secuencia geométrica podría serexpresada como

Z a a z

z

z apara a

inito para a

k k k

k

z

zinf0

(2.1-4)

Es fácil mostrar que poniendo a z en el plano z complejo el cual satisfacela igualdad z a permanece fuera del circulo de radio a centrado en elorigen, mientras aquellas z las cuales permanecen adentro de este circulo

Im Z

7

satisfacen la relación z a . La figura (2.1-2) describe las regiones deconvergencia y divergencia para la transformada-z de la secuenciageométrica.

Figura 2.1-2 Región de convergencia de la secuencia geométrica de la transformada-z

En el circulo separando las regiones de convergencia y divergencia, latransformada-z de la secuencia geométrica podría converger o no. Nosotrosdebemos hacer pruebas por separado para aquellas z las cuales permanecenen este limite. Por ejemplo, en z a es aparente que F a nn ( ) el cual llega aser infinito cuando n .

Por eso el punto z a permanece en la región de divergencia de latransformada-z de la secuencia geométrica.

Para el principiante, podría parecer inconcebible que la transformada-zde la secuencia geométrica como la dada por la expresión (2.1-2) simplifica laforma concisa (2.1-4). Sin embargo, podríamos demostrar fácilmente por serel caso a simplificar, llevando a cabo una división larga de la entidad z z a ,esto es

8

z a z

z a

a

a-a z

a z

z a z

a z

az a z a z

a 2

2 1

2 1

1 3 2

3 2

1 2 2 3 31

El residuo después de n divisiones se ve que es a zn n 1 el cual seaproxima a cero cuando n se incrementa solamente si az 1 1 . Claramente seve, que el ejemplo resulta cuando esta división larga es llevada a cabo, estoes

z

z aaz a z a z

1 1 2 2 3 3

Una comparación de esta definición con la definición formal de latransformada-z con la secuencia geométrica como la dada por la ecuación(2.1-2) les revela que es idéntica

Ejemplo 2.1-1. Determine la transformada-z de la función escalón unitarioy encuentre su región de convergencia. El escalón unitario es un caso especialde la secuencia geométrica con a 1 por ejemplo ik., 1 . Dejando a 1 laecuación (2.1-4) se somete al resultado deseado

F z

z

z( )

1

1

1

para z

infinito para z

Ejemplo 2.1-2. El procedimiento para determinar la transformada-z de lasecuencia geométrica podría ser aplicado, con algunos modificaciones parasecuencias las cuales son de una naturaleza pseudo-geometrica. Parademostrar este punto, vamos ahora a encontrar la transformada-z de lasecuencia

9

f k k( )

1

2

para k = 0,1, ,15

para k = 16,17,18,

Excepto para los primeros 16 términos, esta secuencia es unasecuencia geométrica con a 2 . Para encontrar la transformada-z de f k( ) ,será entonces conveniente descomponer F z( ) como

F z f k z f k z

z z

z z

k k

kk

k

k

k k

k

k k

kk

( ) ( ) ( )

( ) ( )

160

15

0

15

16

1 1

160

15

2

2

La primera sumatoria es un caso especial de la sumatoria geométricatruncada con z 1 y k 15 . Así, por una identidad tenemos:

F zz

zz k

k

( )( )

( )

11

21 16

11

16

Después multiplicando el numerador y el denominador del primertérmino en el lado derecho por z16 , este llega a ser

F zz

z zz k

k

( )( )

( )

16

151

16

11

2

La sumatoria restante en esta expresión es la transformada-z de unasecuencia geométrica con a 2 , y con los primeros 16 términos perdidos. Conesta observación, será conveniente reescribir F z( ) como

F zz

z zz zk

k

k

k

( )( )

( ) ( )

16

151

0

1

0

1511

2 2

10

La primera sumatoria es la transformada z de la secuencia geométricacon a 2 , mientras la segunda sumatoria es una secuencia geométricatruncada con 2 1z y k 15 . Por lo tanto, después de incorporar lasidentidades (2.1-4) y otra vista en la unidad anterior, podemos expresar F z( )

como

F zz

z z

z

z

z

z

z

z z

z

z

z

z z

( )( )

( )

( )( )

( )

16

15

1 16

1

16

15

16 16

15

11 2

1 21 2

11 2

22

2 para z

El cual es el resultado deseado.Algo que se hace a través del procedimiento formal como el seguido

anteriormente, motiva al estudiante para expresar inmediatamente F z( )

como

F z z z zk

k

k

k

k

k

( ) ( ) ( )

0

151

0

1

0

15

2 2

Y posteriormente usamos las identidades apropiadas para aumentar lasimplicidad de esta expresión. La región de convergencia para F z( ) esobtenida notando que el primer y el tercer término de la sumatoriaconvergen para toda z 0 , mientras la segunda sumatoria converge paraz 2 . Por consiguiente, F z( ) debe ella misma converger para z 2 .

2.2 Propiedades de la Transformada-z.

La transformada-z formalmente da un procedimiento por el cual unasecuencia de números es transformada a una función de la variable compleja

11

z. Afortunadamente, habrá muchas ventajas acumuladas para hacer unatransformación como se verá más adelante. Estos beneficios provienenprincipalmente de la definición básica de la transformada-z.

F z f k z k

k

( ) ( )

0

(2.2-1)

y sus propiedades se obtienen en base a este resultado, en esta seccióndesarrollaremos las propiedades más significativas que se relacionan connuestro estudio de sistemas lineales discretos.

Propiedad de linealidad.

En la determinación de la transformada-z de una secuencia dada seráfrecuentemente ventajoso descomponer la secuencia en una combinaciónlineal de otras dos secuencias, esto es

f k af k bf k( ) ( ) ( ) , , , , 1 2 0 1 2 3 para k (2.2-2)

donde a y b son constantes. Permitiendonos determinar ahora latransformada-z de esta secuencia. Específicamente, ya quef k af k bf k( ) ( ) ( ) , , , , 1 2 0 1 2 3 para k sustituiremos esta identidad porf k( ) dentro de la relación de la transformada-z (2.2-1) para obtener

F z af k bf k z

a f k z b f k z

k

k

k

k

k

k

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 20

10

20

En esta última expresión, la primera sumatoria es la transformada-z de lasecuencia f k1 , mientras la segunda es la transformada-z de la secuencia f k2 , esto es

F z aF z bF z R R( ) ( ) ( ) ( , ) 1 2 1 2 para z max 2 (2.2-3)

o en notación operador tenemos:

2 La función máx ( R R1 2, ) selecciona el mayor de los números R y R1 2 .

12

Z af k bf k aZ f k bZ f k1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

La región de convergencia para F z es el establecimiento de z para elcual F z1 y F z2 simultáneamente convergen. Aquí R1 y R2 denotan el radiode convergencia para las transformadas-z F z1 y F z2 respectivamente. En otras palabras la propiedad de linealidad implica que sí una secuenciaespecifica puede ser formulada como una combinación lineal de otras dossecuencias, entonces la transformada-z de esta secuencia especifica essimplemente igual a la misma combinación lineal de las transformadas-z de lasdos secuencias. La transformada-z es mencionada porser lineal desde que satisface esta propiedad. El próximo ejemplo ilustracomo podríamos usar esta propiedad.

Ejemplo 2.2-1. Por la aplicación apropiada de la propiedad de linealidad esposible determinar directamente la transformada-z de muchas secuenciasprácticas. Para demostrar esto, vamos a considerar la siguiente situación enel cual un sistema de rastreo de un radar, rastrea un proyectil y cuyo rangodel sistema de rastreo esta dado por

u k d kvT p( ) , , , ara k 0 1 2

Esto es, al inicio del rastreo (en k 0 ) el proyectil esta a “d” pies delsistema de rastreo y después se mueve a una velocidad de V pies/segundo. Elsistema de rastreo transmite pulsos cada “T” segundos de manera que seobtienen las mediciones de localización del misil.

Esta transformada-z es obtenida rápidamente si notamos que u k essimplemente la suma de una secuencia escalón de amplitud d y una secuenciarampa unitaria multiplicada por la constante vT . Por lo tanto, por lapropiedad de linealidad (2.2-3) tenemos

U z Z u k dZ vTZ k( ) ( ) 1

Finalmente, usando las entradas uno y tres del par de transformación-z de la tabla 2.3-1, obtenemos el resultado deseado

13

U z dz

zvT

z

z

dz vT d z

z

( )( )

( )( )

1 1

11

2

2

2 para z

Este ejemplo ilustra un procedimiento de manipulación importanteusado en encontrar la transformada-z de una secuencia dada. Esto muestraque en muchos casos, podemos descomponer una secuencia especifica en unasumatoria de secuencias simplificadas, cuyas transformadas-z sonconocidas. Luego aplicamos la propiedad de linealidad para calcular latransformada-z de la secuencia dada. La utilización de la tabla de pares detransformada-z 2.3-1 juega una parte integral en este proceso.

Propiedad de desplazamiento a la derecha.

Supongan que una señal f k , que es igual a cero para el tiemponegativo, es aplicada a la entrada de un sistema que consiste de m unidadesde retraso conectadas en cascada. La respuesta de este sistema esta dadopor

y k f k m( ) ( ) , , , para k 0 1 2 (2.2-4)

Esto es, la señal de respuesta es igual a la señal de entrada retrasadam unidades discretas de tiempo. Si uno fuera a graficar y(k) contra k , seríaidéntica a la gráfica de f(k) contra k, cambiando m unidades a la derecha.

Ahora mostraremos que existe una simple relación entre latransformada-z de f k y y k . La transformada-z de la secuencia y k es

Y z y k z k

k

( ) ( )

0

la cual, después de incorporar la relación (2.2-4) resulta en

14

Y z f k m z

f m f m z f z

f z f z

k

k

m

m m

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

1 1

1

1 1

0 1

Recordando que la secuencia f k fue especificada para ser igual a ceropara el tiempo negativo, tenemos

Y z f z f z f z

z f f z f z

m m m

m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 2

0 1 2

1 2

1 2

la sumatoria dentro de los corchetes es reconocida como la transformada-zde f k así

Y z z F zm( ) ( ) para z R

donde R define el radio de convergencia para la transformada-z de lasecuencia original f k . Esta propiedad de desplazamiento a la derecha esahora puesta en forma más sugestiva

Z f k m z F zm( ) ( ) para z R (2.2-5)

donde m podría ser cualquier entero no negativo. Es importante notar que lapropiedad de desplazamiento a la derecha se mantiene solo parasecuencias f k que son igual a cero para valores negativos de K (ver ejemplo2.2-3). Una representación de diagrama a bloques de la propiedad dedesplazamiento a la derecha se muestra en la figura 2.2-1

figura 2.2-1 propiedad de desplazamiento a la derecha.

Ejemplo 2.2-2. Las propiedades de desplazamiento a la derecha y linealidadde la transformada-z proveen un método extremadamente conveniente paraanalizar sistemas lineales discretos. Para demostrar esto, vamos a investigarel sistema caracterizado por

f k m

f k m

z F zm ( )

z m f k

F z( ) z F zm ( )

15

y k k k( ) ( ) ( ) , , , u y para k1 0 1 2 (2.2-6)

para este sistema, vemos que la secuencia y k es una combinación lineal dedos secuencias u k y y k 1 . Por lo tanto por la propiedad de linealidad dela transformada-z (2.2-3) debemos tener

Z y k u k y k( ) ( ) ( ) Z Z 1

si dejamos que Y z y U z denoten la transformada-z de la secuencia y k y u k , respectivamente y luego aplicamos la propiedad de desplazamiento a la

derecha al término Z y k 1 , la expresión de arriba llega a tener la forma

Y z z Y z( ) ( ) ( ) U z 1

finalmente resolviendo esta expresión para la entidad Y z nos da la relacióndeseada

Y z U zz

U z( ) ( ) ( )

1 1 z

z

La transformada-z de la señal de respuesta es por consiguiente igual alproducto de la transformada-z de la entrada y la entidad z z . Alllegar a este resultado, incorporamos la propiedad de desplazamiento a laderecha para la expresión Z y k 1 . Por lo tanto hemos asumidotácitamente que y 1 0 . Si este no es el caso, entonces la relación (2.2-7)estará en un error.

Para demostrar como la realización (2.2-7) es típicamente usada,vamos ahora a determinar la respuesta al escalón unitario del sistema (2.2-6)bajo la suposición de que la condición inicial y 1 0 . Ya que la señal deentrada es el escalón unitario, entonces se sigue que

U zz

z( )

1

y la transformada-z de la señal de respuesta es, por la expresión (2.2-7)

Y zz

z

z z z( )

z z

1 1

2

16

para determinar la señal de respuesta, es entonces necesario encontrar lasecuencia que genera esta transformada-z. Un método para lograr estosistemáticamente será dado más adelante.

Ejemplo 2.2-3. Cuando la propiedad de desplazamiento a la derecha esusada, es esencial que la secuencia esta siendo desplazada a la derecha seacero para K negativo. Si este no es el caso entonces la propiedad dedesplazamiento a la derecha puede dirigirnos a resultados erróneos. Para verporqué, vamos ahora a encontrar la transformada-z de la secuencia f k 1

cuando el elemento f 1 no es cero. Tomando formalmente latransformada-z de f k 1 da

Z f k f k z

f z f z f z f z

f z f f z f z

k

k

1 1

1 0 1 2

1 0 1 2

0

0 1 2 3

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

La sumatoria dentro de los corchetes es igual a F z ; por lo tanto

Z f k f z F z( ) ( ) ( ) 1 1 1

Una comparación de este resultado con el dado por la propiedad dedesplazamiento a la derecha (2.2-5) con m 1 revela la modificaciónnecesaria el cual debe ser hecha si f 1 0 . En nuestros estudiossubsecuentes de sistemas lineales discretos, será frecuentementeincorporada la propiedad de desplazamiento a la derecha. Por lo tanto esimportante darse cuenta que una aplicación directa de esta propiedad

Z f k m z F zm( ) ( )

requiere que los elementos f f f m 1 2, , , sean todos cero. Si estono es verdad en una situación especifica, entonces debe ser hecha unamodificación de la propiedad de desplazamiento a la derecha como se ilustroen este ejemplo. Específicamente, la transformada-z de la secuencia f k m será

Z f k m z F z f i m zm i

i

m

( ) ( ) ( )

0

1

Propiedad de la sumatoria de convolución

17

Presentaremos el desarrollo de la propiedad de más lejano alcance dela transformada-z y como se relacionan con nuestro estudio de sistemaslineales discretos. Esta propiedad esta basada en el hecho de que las señalesde entrada y salida de un sistema lineal discreto están relacionadas una conotra a través de la sumatoria de convolución

y k h u k h u k h u k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 (2.2-8)

donde h i es la secuencia de ponderación característica del sistema. Ahoramostraremos que ahí existe una expresión muy simple relacionando latransformada-z de las secuencias u k y y k para el caso en donde cadasecuencia es igual a cero para el tiempo negativo.

La transformada-z de la secuencia y k esta formalmente escritacomo

Y z y k z k

k

( ) ( )

0

(2.2-9)

A la cual, después de incorporar la identidad (2.2-8) llega a ser

Y z h u k h u k h u k z

h u k z h u k z h u k z

h u k z h u k z h u k z

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

0

0 0 0

0 0

k

k 0

(2.2-10)Ahora hacemos uso de la propiedad de desplazamiento a la derecha la

cual establece que Z u k m z U zm( ) ( ) para no negativos de m

para secuencias iguales a cero para tiempo negativo, donde U z denota latransformada-z de la señal u k . La expresión (2.2-10) entonces se simplificaa

Y z h U z h z U z h z U z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21 2

factorizando el término común U z , tenemos:

18

Y z h h z h z U z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21 2

La sumatoria dentro de los corchetes es reconocida por ser latransformada-z de la secuencia de ponderación del sistema, esto es

Z h k H z h h z h z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21 2

Esta observación nos lleva al resultado final deseado

Y z H z U z( ) ( ) ( ) (2.2-11)

es decir, la transformada-z de la señal de salida es simplemente igual alproducto de la transformada-z de la señal de entrada y la secuencia deponderación del sistema. Como veremos en el capítulo 7, este resultado nosllevará un procedimiento simple, efectivo y eficiente, para analizar ysintetizar sistemas discretos lineales. Esta será nuestra más eleganteherramienta para conducir tales estudios. La propiedad sumatoria deconvolución es descrita en la fig. 2.2-2.

h k( )u k( )

U z( )

y k( )

Y z H z U z( ) ( ) ( )Figura 2.2-2 Propiedad sumatoria de convolución

Ejemplo 2.2-4. Para dar una demostración simple del valor de laspropiedades sumatoria de convolución, vamos a determinar la respuesta de unsistema lineal discreto para las señales delta de Kronecker y escalón unitariousando la relación (5.7-11).

1. Respuesta delta de Kronecker. En este caso, la señal de entrada esta dadapor u k k , así que U z 1 . Sustituyendo U z 1 dentro de laexpresión (2.2-11) entonces da

Y z H z( ) ( )

lo cual implica que y k h k . Pero, como se indico anteriormente, larespuesta delta de Kronecker de cualquier sistema discreto lineal es igual ala secuencia de ponderación del sistema. Este hecho es comprobado por elargumento antes mencionado.

19

2. Respuesta escalón unitario. La transformada-z del escalón unitario ha sidomostrado que es igual a

U zz

z( )

11 para z

y por la propiedad (2.2-11), la transformada-z de la respuesta escalónunitario es

Y z H zz

zH z

z( ) ( ) ( )

11

1 1

Después de multiplicar ambos lados de esta expresión por el númerocomplejo 1 1 z , tenemos

Y z z Y z H z( ) ( ) ( ) 1

Usando la propiedad de desplazamiento a la derecha al revés, es claroque la ecuación de diferencia

y k y k h k( ) ( ) ( ) 1

genera la relación (2.2-12).

Ejemplo 2.2-5. Determine la transformada-z de la respuesta al escalónunitario del sistema

y k k k( ) ( ) ( ) u y 1

utilizando la propiedad de sumatoria de convolución.Ha sido previamente mostrado que el sistema anterior tiene la

secuencia de ponderación

h k k( ), , ,

, , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

la cual es una secuencia geométrica con transformada-z

H z( )

z

z para z

20

La transformada-z de la entrada escalón unitario ha sido mostradapara ser dada por

U zz

z( )

11 para z

De la propiedad la sumatoria de convolución (2.2-11), la transformada-z de la respuesta escalón unitario es entonces

Y z H z U z

z

z

z

z

( ) ( ) ( )

( , )

para z max

1

1

Este resultado es de acuerdo con la conclusión alcanzada en el ejemplo2.2-2 la cual fue obtenida usando un procedimiento diferente.

Ejemplo 2.2-6. Ahora daremos una derivación de la propiedad de sumatoriade convolución usando la aproximación matemática mas clásica. Esto se hacepara exponer al estudiante a un procedimiento de cambio de variables desumatoria. El estudiante podría entonces usar este método más sofisticadopara resolver problemas relativamente complejos los cuales llegan de vez encuando.

Sustituyendo la relación (2.2-8) en su forma de sumatoria dentro de laexpresión (2.2-9) da

Y z h i u h i zk

k

k

( ) ( ) ( )

00

Después intercambiando el orden de las sumatorias, tenemos

Y z h i u h i zk

k

k

( ) ( ) ( )

00

En la sumatoria de índice k, el entero i es considerado fijo de modoque h i multiplica a cada uno de los términos u k i z para k-k 0 1 2, , , .Podemos por lo tanto tomar h i fuera de la sumatoria en k de modo que

Y z h i u k i z k

ki

( ) ( ) ( )

00

(2.2-13)

21

Para evaluar la sumatoria encerrada dentro de los corchetes, seráconveniente reemplazar la variable de sumatoria k por n, donde

n k i (2.2-14)

desde el argumento k i aparece en u k i . Aquí la variable i es consideradafija. Como k va a través de su rango de valores en la sumatoria , relacionando(2.2-14), se sigue que n toma los valores correspondientes

k 0 1 2 3 4 5 ...n -i 1-i 2-i 3-i 4-i 5-i ...

Si ahora reemplazamos la variable de sumatoria k por n y notamos que lavariable de sumatoria k n i , la relación (2.2-13) llega a ser

Y z h i u n z n i

n ii

( ) ( ) ( ) ( )

0

Expresando z n i como z zn i y notando que z i no depende de lavariable de sumatoria n podríamos sacar del interior de la sumatoria paraobtener

Y z h i z u n zi

i

n

n i

( ) ( ) ( )

0

El limite mas bajo de la sumatoria en n (ej., -i) es siempre negativo, yporque u n para n 0 1 2 3, , , ,llegamos al resultado deseado

Y z h i z u n z H z U zi

i

n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

El proceso de hacer un cambio en la variable de sumatoria nos permitedescomponer la sumatoria mezclada como la dada por la expresión (2.2-13) endos sumatorias separadas como la dada por la relación (2.2-15)

Propiedad de desplazamiento a la izquierda

La propiedad de desplazamiento a la izquierda será usada en nuestroestudio de la representación de espacio-estado de sistemas discretos

22

lineales que son presentados en el cap.11 y 12. Esto esta basado en encontrarla transformada-z de la versión de desplazamiento a la izquierda de lasecuencia f k que es especificada por

g kf k

( ), , ,

( ) , , ,

0 1 2 3

1 0 1 2

para k

para k

(2.2-16)

La secuencia g k tiene la trasformada

G z g k z f k z

f z f z f z

k

k

k

K

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 1 2

1

1 2 3

El lado derecho se asemeja un poco a la transformada-z de lasecuencia f k . De hecho podríamos hacer esto primero multiplicando cadalado de la expresión de arriba por z 1 , esto es

z G z f z f z f z z 1 1 2 31 2( ) ( ) ( ) ( )

Luego, agregando el término f 0 a cada uno de los lados, es claro queel lado derecho ahora iguala a la transformada-z de la secuencia f k .Tenemos entonces establecida la relación

z G z f F z R 1 0( ) ( ) ( ) para z

donde R es el radio de convergencia no para la transformada-z de f k

.Resolviendo esta relación para G z y luego denotando G z por Z f k 1

,obtenemos la propiedad de desplazamiento a la izquierda

Z f k zF z zf( ) ( ) ( ) 1 0 para z R (2.2-17)

Es posible generalizar la propiedad anterior para una versión de lasecuencia f k cambiando m unidades del tiempo discreto a la izquierdacomo lo especifica

g kf k m

( ), , ,

( ) , , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

Siguiendo un procedimiento similar, podemos rápidamente mostrar que

23

Z f k m z F z f k zm m k

k

m

( ) ( ) ( )

0

1

para z R (2.2-18)

Propiedad de sumatoria.

Dada una secuencia de números f k , vamos a generar otra secuencia g k de acuerdo a la siguiente regla

g k f ii

k

( ) ( ) , , ,

0

0 1 2 para k

En otras palabras, g k es la suma de los primeros k 1 términos de lasecuencia f k Para determinar la transformada-z de la secuencia g k asígenerada, es conveniente sustraer g k 1 de g k ; esto produce

g k g k f k( ) ( ) ( ) , , , 1 0 1 2 para k

Esta relación es una simple ecuación diferencia de primer orden con lacondición inicial g 1 establecida para cero para forzar g f0 0 como esrequerido por la regla generada dada para g k . Ahora tomamosformalmente la transformada de la secuencia f k

F z f k z para z Rk

k

( ) ( )

0

pero f k g k g k para tenemos k ( ) ( ) , , ,1 0 1 2

Aplicando la propiedad de desplazamiento a la derecha a la segundasumatoria entonces produce

F z G z z G z( ) ( ) ( ) 1 para z R

Después de resolver esta expresión para G z obtenemos la propiedadsumatoria deseada

G zz

zF z z R( ) ( )

1 para max 1, (2.2-19)

Ejemplo 2.2-6. Determine la transformada-z de la secuencia

g k k para k 0 1 2, , ,

24

Definiendo la secuencia f k por

f k( ), , ,

0 0

1 1 2 3

para k

para k

vemos que

g k f i ki

k

( ) ( )

0

Por lo tanto, por la propiedad de sumatoria

G zz

zF z( ) ( )

1

Para determinar F z , Notamos que f k es el escalón unitariodiscreto desplazada una unidad a la derecha. Entonces usando la propiedadde desplazamiento a la derecha con m 1, encontramos que

F z zz

z

zz

( )

1

1

1

1para 1

esto es

G zz

zz( )

( )

1 2 para 1

la cual esta de acuerdo con la relación 3 de la tabla 5.6-1.

Propiedad multiplicación por ak

Ahora desarrollaremos una propiedad que nos permitirá expandirsignificativamente la tabla 5.6-1 de la transformada-z. Consideremos lasecuencia de números generada por la relación

25

g k a f kk( ) ( ) , , , para k 0 1 2

donde la secuencia f k tiene la transformada z conocida F z que convergepara z R . Formalmente tomando la transformada z de g k nos da

Z g k Z a f k a f k z

f k a z

k k k

k

k

k

( ) ( ) ( )

( )

0

1

0

la cual esta en la forma de la transformada-z de f k con la variable zreemplazada por a z1 , esto es

Z a f k F a zk ( ) ( ) 1 para a z R-1

Tenemos así demostrada la propiedad de multiplicación por a k

Z a f k F a z a Rk ( ) ( ) 1 para z (2.2-20)

donde F a z1 denota la operación de reemplazar z por a z1 donde quiera queaparezca F z .

Ejemplo 2.2-7. Determine la transformada-z de la secuencia

g k a k Tk( ) sin , , , para k 0 1 2

Este es un caso especial de la multiplicación por a k con f k sink T( ) .De la tabla 2.3-1, tenemos

Z k T F zz T

z z Tsin ( )

sincos

para z 12 2 1

Por la propiedad de multiplicación, sigue que

Z a k T F a za k T

a z a z Taz T

z az T a

k sin ( )sin

cossin

cos

para z a

1

1

2 2 1

2 2

2 1

2

la cual esta de acuerdo con la línea 9 de la tabla 2.3-1

26

Teorema del valor inicial

Es posible determinar el término inicial, f 0 , de una secuenciadirectamente de su transformada-z. Específicamente, de la definición de latransformada-z

F z f f z f z( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21 2

vemos que dejando que la variable z 1 se aproxime a cero, todos los términosdel lado derecho excepto f 0 , se van a cero. Sin embargo, dejando z 1

aproximarse a cero es equivalente a dejar z llegar a ser infinita (esto es.,z ), Notacionalmente esta observación puede ser expresada como

f F zz

( ) lim ( )0

(2.2-21)

la cual es así llamado teorema del valor inicial.

Ejemplo 2.2-8. Determine el valor inicial de la secuencia geométricadirectamente de su transformada-z.

F zz

z a( )

para z a

Por el teorema del valor inicial (2.2-21) tenemos

fz

z a azz z( ) lim lim0

11 1

Como z llega a ser infinita, la razón ( az a z 1 ) llega a ser cero, así que

f ( )01

1 01

lo cual esta de acuerdo con el término inicial de la secuencia geométrica.

Teorema del valor final

27

Frecuentemente tendremos la necesidad de determinar elcomportamiento de f k cuando k directamente de su transformada-z F z . Si F z tiene polos fuera del circulo unitario, mostraremos en el

próximo capítulo que f k llega a ser infinito cuando k . Debemosentonces tratar aquellos casos para los cuales z F z1 es analítico paraz 1.3 En tales casos tomamos la transformada z de la secuencia f k f k 1

esto es

Z f k f k f k f k zN

k

k

N

( ) ( ) lim ( ) ( )

1 1

0

Por la propiedad de desplazamiento a la izquierda, el lado izquierdo llega aser

zF z zf F z f k f k zN

k

k

N

( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

0 1

0

Dejando que z 1 en ambos lados, tenemos

lim( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

( ) ( )

z N k

N

N

z F z f f k f k

f N f

f f

1 0

1 0 1

1 0

0

por lo tanto la secuencia f k se aproxima al valorf z F z

z( ) lim( ) ( )

11 (2.2-21)

como k se aproxima a infinito. La relación (5.8-7) es conocida como elteorema del valor final.

Ejemplo 2.2-8. Determine el valor final de la secuencia que tiene latransformada z

F zz

z apara z a

La secuencia que genera esta transformada es conocida por ser la secuenciageométrica f k a k . Usando el teorema del valor final, es necesario que

3 Una función F z , la cual es una razón de polinomios en z, se dice por ser analítico en una región si notiene polos en esa región.

28

z F z1 , sean ambos analíticos en y fuera del circulo unitario. Esto implicaque el teorema del valor final es aplicable solamente cuando a 1.Consideremos dos casos

1.- a 1 (escalón unitario discreto).

f zz

zz

z

z

( ) lim( )

lim

1

1

11

1

2.- a 1.

f zz

z az( ) lim( )

11 0

Propiedad de la secuencia periódica.

Una secuencia de números la cual se repite cada N unidades de tiempodiscreto se dice que es periódica con periodo N. Como tales, estas secuenciasatisfacen la propiedad

f k f k N( ) ( ) (2.2-23)

para todo k no negativo. Una secuencia periódica de periodo N 6 esmostrada en la figura 2.2-3

La transformada-z del primer periodo de la secuencia periódicacaracterizada por la relación (2.2-23) es

F z f k z k

k

N

10

1

( ) ( )

29

figura 2.2-3 secuencia periódica típica

la cual converge para toda z 0 (porque ?). Ya que este primer periodo esrepetido cada N unidades de tiempo discreto, sigue por la propiedad dedesplazamiento a la derecha que la transformada-z de la secuencia periódicaesta dada por

F z F z z F z z F z z F z

F z z z z

N N N

N N N

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 12

13

1

12 31

donde z F zmN1 designa la transformada-z del periodo enésimo de la

secuencia periódica. La suma infinita dentro de los corchetes se puedemostrar rápidamente que esta dada por

z z

z

z

mN

m

N m

m

N

N

0 0

11

( )

para z-N

Por lo tanto, la transformada-z de la secuencia periódica llega a ser

F zz

zF z

N

N( ) ( )

111 para z (2.2-24)

donde hemos usado el hecho que z N 1 es equivalente a z 1. Estapropiedad nos facilitará encontrar la transformada-z de la secuenciaperiódica de una manera más eficiente.

Ejemplo 2.2-9. Determine la transformada-z de la secuencia periódicamostrada en la Fig. 2.2-3.

Primero notamos que esta secuencia tiene un periodo N 6 y que latransformada-z del primer periodo esta dada por

30

F z z z

z z z z z

z z z

z z z

z

k

k

k

k1

0

2

3

5

1 2 3 4 5

3 1 2

3 2

5

1 1

1

1 1

1 1

( ) ( )

( )( )

( )( )

De la expresión (2.2-24), la transformada-z de la secuencia periódica dadaes entonces

F zz

z

z z z

z

z z z z

z z

z z z

z

( )( )( )

( )( )( )( )

( )

6

6

3 2

5

3 2

3 3

2

3

11 1

1 11 1

11

1 para z

La tabla 2.2-1. Lista las propiedades sobresalientes aprovechadas porla transformada-z. La transformada-z sirve como una herramienta analíticaextremadamente poderosa en nuestro estudio de sistemas discretos lineales.En este desarrollo, frecuentemente tendremos necesidad de usar variaspropiedades requeridas por la transformada-z.

Tabla 2.2-1 propiedades de la transformada-zPropiedad Secuencia Discreta Secuencia Discreta1.Linealidad af k bg k( ) ( ) aF z bG z( ) ( )2.Desplazamiento a la Derecha f k m( ) z F zm ( )3.Convolución

f k i f ii

k

1 20

( ) ( )

F z F z1 2( ) ( )

4.Desplazamiento a la izquierda f k m( )z F z f i zm m i

i

m

( ) ( )

0

1

5.Sumatoriaf i

i

k

( )

0

z

zF z

1( )

6.Multiplicación por a k a f kk ( ) F a z( )1

7.Teorema del valor inicial f F zz

( ) lim ( )0

8.Teorema del valor final f lim z F z

si z F zz

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

1 1 es analizado para z

31

9.Secuencia Periódica f k f k N( ) ( ) F z

z

zF z

N

N( ) ( )1 1

10.Diferenciación kf k( ) z

dF z

dz

( )

2.3 Pares de transformación-z

Polos y ceros de la transformada-z

Hasta este punto, hemos examinado cuidadosamente lascaracterísticas esenciales de la transformada-z de una secuenciageométrica.

Hemos mostrado que es posible expresar la transformada-z como unasimple expresión de polinomios en la variable z. Como veremosposteriormente, casi todas las secuencias de cualquier interés podrían sersimilarmente caracterizadas, es decir, tendrán sus transformadas-z lascuales serán expresadas como polinomios en la variable z.

Con esta observación en mente, vamos a considerar el caso general elcual F z( ) es una expresión de un orden m-ésimo para un polinomio de ordenn-ésimo en la variable z como la dada por

F zb z b z b

z a z a

m mm

n nn

( )

0 1

1

11 +

(2.3-1)

Estos polinomios son expresados ahora en su forma factorizáda, estoes

F zb z z z z z z

z p z p z pm

n

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

0 1 2

1 2

(2.3-2)

Es claro que el numerador polinomial de F z( ) es cero cuando z toma losvalores de z z zm1 2 1, , ó zm , lo cual implica que F z( ) es cero en estos valores.Por consiguiente los números z z zm1 2, , serán llamados ceros de latransformada-z F z( ) . Por otra parte, si z toma los valores p p pn1 2 1, , ó pn ,el denominador polinomial este es cero, el cual hace a F z( ) infinito en estosvalores. Los números p p pn1 2, , serán llamados polos de F z( ) .

32

Para mostrar como se origina ésta terminología, vamos a considerar latransformada-z de la secuencia geométrica dada por

F zz

z apara a( )

z (2.3-3)

Esta transformada z tiene un polo en z a , y si fuéramos a trazar undibujo de la magnitud de F z( ) contra z, podría este mostrarse como en la fig.2.3-1.

Los dos ejes nombrados Re z e Im z sirven para localizar el punto z,mientras el valor de F z( ) es dibujado a lo largo del tercer eje llamado F z( ) .Por ejemplo, en los puntos

z jj

j a

z ja

0 00 0

0 00

1 01

1

tenemosz

z - a

tenemosz

z - a

etc. Con esto en mente, arriba el punto z j 1 0 , la superficie F z( ) tendríael valor 1 1 a . Si fuéramos a hacer esto para todos los números complejos,llegaríamos al dibujo mostrado en la figura 2.3-1 .

Esto es evidente para z suficientemente cercano al valor a, F z( )

toma valores grandes y de hecho iguales a infinito en z a . El dibujo deF z( ) contra z entonces se mira como un pabellón soportado por un polo

infinitamente alto en z a , el cual explica como el polo surgió.Este pabellón es sujetado abajo por el cero en z 0 . Generalmente, si

una gráfica de F z( ) contra z fuera hecho para relacionar (2.3-2), podríaparecer como un grupo de pabellones con polos infinitamente altoslocalizados en los puntos z p p pn 1 2, , . Este grupo de pabellones estaríananclados en los puntos z z zm1 2, , .

33

Figura 2.3-1 Modelo de pabellón para una gráfica de F(z)

Los polos y ceros de una transformada-z contienen toda la informaciónesencial que hay concerniente a F z( ) . Esto es claro para la expresión (2.3-2)donde se nota que F z( ) esta completamente especificada, dentro de laconstante multiplicativa b0 , si uno tiene el conocimiento de sus cerosz z zm1 2, , y polos p p pn1 2, , . Por consiguiente no es de sorprender que laslocalizaciones de estos polos y ceros jueguen un papel importante en losestudios relacionados con la transformada-z. Por tal motivo, será útil tenerun procedimiento gráfico para mostrar sus localizaciones. Para ilustrar esteproceso, consideremos la transformada-z especifica de

F zz z

z z zz z

z z j z j

( )

( )( )( )( )

2

3 2

2 32 5

1 31 2 1 2

Los polos y ceros de esta transformada son

z

p j j1 2

1 2 3

1 3

0 1 2 1 2

,

, ,

z

p p

La figura 2.3-2 da una representación visual de los polos y ceros paraesta transformada-z. Las localizaciones de ceros están representados porpequeños círculos, y las cruces significan las localizaciones de los polos.

34

Como ejemplo adicional de este método gráfico para mostrar ceros ypolos, consideremos la transformada-z de la secuencia geométrica (2.3-3).Esta transformada-z tiene un cero en z 0 y un polo en z a . Su diagramade polos y ceros se muestra en la figura 2.3-3 para el caso donde a es real.

figura 2.3-2 localización de polos y ceros de una transformada-z

Figura 2.3-3 modelo de polos y ceros para la secuencia geométrica de latransformada-z

El estudiante observará que F z( ) tiene un polo en z a el cual eslocalizado en el limite separando las regiones de convergencia y divergencia(ver figura. 2.2-1). En general, cualquier transformada-z la cual puede serpuesta en la forma de una relación de polinomios en z que tendrá uno de suspolos pasando a través del limite separando sus regiones de convergencia ydivergencia. Este polo estará siempre que el polo de F z( ) se localice a ladistancia más lejana de el origen.

Secuencia sinusoidal

35

La secuencia sinusoidal definida por

F k k To( ) sin , , , para k 0 1 2

juega un papel importante en el campo de procesos de datos. Se mostraráque la información contenida en muchas señales pueden ser efectivamentecaracterizadas por su contenido sinusoidal. Por esta y otras razones, esdeseable que sea obtenida la transformada-z de esta secuencia.

Figura 2.3-4 ejemplo de una generación de una secuencia sinusoidal

La secuencia sinusoidal, es típicamente generada por muestreandouniformemente una señal sinusoidal de tiempo continuo de frecuencia 0 enradianes, se muestra en la fig. 2.3-4

La transformada-z de una secuencia sinusoidal se representa por

F z k T zok

k

( ) (sin )

0

(2.3-4)

Para evaluar esta sumatoria, será conveniente hacer uso de laidentidad de Euler con k T0 , esto es

sink Te e

jo

jk T jk To o

2

Sustituyendo esta expresión en la relación (2.3-4) nos da

F ze e

jz

jk T jk T

k

ko o

( )

20

36

la cual se descompone en dos sumatorias separadas

F zj

e z e zj T k

k

j T k k

k

o o( ) ( ) ( )

1

2 0 0

Por el procedimiento que se siguió, tenemos que la transformada-z dela secuencia sinusoidal se reformula como una diferencia de la transformada-z para dos secuencias geométricas distintas. Por lo tanto, al usaralternadamente la relación (2.3-4) primero a e j T 0 y luego a e j T 0 ,podríamos expresar F z( ) como

F zj

z

z e

z

z ej T j To o( )

12

1 para z

La transformada-z F z( ) converge para toda z 1. Pondremos esteresultado en una forma más conveniente colocando el lado derecho sobre uncomún denominador, esto da

F zj

z e e

z e e z

j T j T

j T j T

o o

o o( )

( )( )

12 1

12

para z

Finalmente incorporamos algunas identidades trigonométricas queproduce el resultado deseado

Z k Tz T

z z Too

o

sinsincos

2 2 11 para z (2.3-5)

A fin de localizar los polos y ceros de esta transformada, es necesariofactorizar los polinomios del numerador y denominador. Esto nos da

Z k Tz T

z e z eoo

j T j Tosin

sin( )( )

01 para z

La transformada-z para la secuencia sinusoidal tiene un cero en z 0 ypolos en z e j T 0 y e j T 0 . La figura (2.3-5) muestra la gráfica de polos yceros del ejemplo anterior para esta transformada.

37

Figura 2.3-5 modelo de polos y ceros de la transformada-z de una secuencia sinusoidal

Otra vez, observamos que un polo pasa a través del limite (circulo deradio uno centrado en el origen) separando las regiones de convergencia ydivergencia.

Aplicando la misma técnica usada para determinar la transformada-zde la secuencia sinusoidal, uno podría mostrar que la transformada-z de lasecuencia coseno

f kk T po

( )cos ,

0

0

para k -1, - 2, - 3,

ara k 1, 2,

esta dada por

Z k Tz z T

z z Too

o

cos( cos )

cos

2 2 1

1 para z (2.3-6)

Regiones de convergencia y divergencia

La región de convergencia de la transformada-z

F z f k z k

k

( ) ( )

0

ha sido definido para hacer aquel conjunto de números complejos z para loscuales F z( ) sea finito en magnitud. Esta expresión para F z( ) es una poderosaserie en la variable. Su región de convergencia será siempre especificada por

38

z R>

donde el radio de convergencia R depende de la generación de la secuenciaf k( ) .Esta región es simplemente la colocación de z en el plano complejo z

localizado fuera del circulo del radio R, centrado en el origen, como semuestra en la figura (2.3-6). Dentro de este circulo constituye la región dedivergencia de F z( ) . F z( ) podría ser finito o infinito en magnitud parapuntos en la circunferencia del circulo esto es z R, .

Figura 2.3-6 Región de convergencia de la transformada-z

Ya ha sido demostrado que la región de convergencia como se muestraen la figura 2.3-6 se cumple para la transformada-z de una secuenciageométrica y de la secuencia sinusoidal. Ahora, es posible afirmar que latransformada-z de cualquier secuencia de números tendrá una región deconvergencia de forma similar. El radio de convergencia R, para unatransformada-z podría tomar los siguientes valores:

1.- R 0 : Esto implica que la transformada-z converge en cualquier lugar,excepto posiblemente en el origen;2.- R Es finito: La transformada-z converge fuera de un circulo de radio Rcentrado en el origen.3.- R Es infinito: La transformada-z no converge en ningún lado.

Como un comentario práctico, no estaremos excesivamentepreocupados por las implicaciones inherentes a las regiones de convergenciay divergencia. Estos conceptos son incluidos principalmente por consideracióna la perfección.

39

Determinación de pares de transformada-z

La transformada-z de una secuencia f k( ) , esta formalmente dada por

F z f k z k

k

( ) ( )

0

(2.3-7)

La secuencia f k( ) y su correspondiente transformada-z F z( )

constituye lo que será llamada un par de transformación z. Será benéficogenerar una tabla de pares transformación z tales como

Z k Tz T

z z Too

o

sinsincos

2 2 11 para z

Luego, dando una secuencia especifica de números, podríamossimplemente usar esta tabla para extraer directamente su transformada-z ,en lugar de realizar el procedimiento formal de evaluación de la sumatoriainfinita para obtenerla. Por consiguiente nos es necesario generar muchospares de transformación z .

El proceso de diferenciación de una transformada-z conocida ofreceun método conveniente para determinar el nuevo par de transformación z.Para ilustrar este punto, consideremos la relación conocida que gobierna lasecuencia geométrica

a zz

z ak k

k

0

para z a (2.3-8)

Ahora, diferenciando con respecto a la variable z, esto es

d

dza z

d

dz

z

z ak k

k

0

para z a

Sin entrar en detalles necesarios de comprobación, es relativamentefácil demostrar que todas las reglas esenciales de diferenciación sobran parala diferenciación compleja ejemplo d z dz mzm m., ( ) 1 . Con esto en mente,después de realizar la diferenciación especificada obtenemos

40

ka za

z ak k

k

1

02( )

para z a

Finalmente multiplicando ambos lados de esta expresión por z nos da

ka zaz

z ak k

k

0

2( ) para z a

Es fácil observar que la expresión de la izquierda es la transformadade la secuencia f k Ka para kk( ) , , , 0 1 2 por este método, teniendodeterminado el nuevo par de transformación z.

Z kaaz

z ak

( )2 para z a (2.3-9)

Generalmente consideramos la transformada-z como la definida por laexpresión (2.3-7) la cual es una poderosa serie. En su región de convergenciauna poderosa serie podría ser diferenciada cualquier número de veces yhasta permanecer convergente en esa región.

Por lo tanto cualquier derivada de una transformada-z dada, F z( ) ,converge en la misma región como lo hace F z( ) . Esto nos da una herramientaideal para la determinación de nuevos pares de transformación z,principalmente, diferenciamos cada lado de la relación (2.3-7) con respecto az para obtener

dF z

dzkf k z k

k

( )( )

1

0

para z R

Ahora, multiplicamos cada lado de esta expresión por z para obtener

kf k z zdF z

dzk

k

( )( )

0

Lo cual genera la propiedad mostrada a continuación

Z kf k zdF z

dz( )

( ) para z R (2.3-10)

41

Esta propiedad nos capacitará para expandir significativamentenuestra tabla de pares de transformación z. Podríamos aplicar este procesode diferenciación repetidamente para generar los nuevos pares detransformada z como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3-1. Determine la transformada z de la secuencia:

g xk a k( )

, , ,

, , ,

0 1 2 3

0 1 22

para k

para k

Dejando f k Ka k( ) , aplicamos la propiedad (2.3-10) y usamos el parde transformada-z (2.3-9) para obtener

Tabla 2.3-1 Pares de Transformación z Comunesf k( ) para k 0

f k f k z k

k

( ) ( )

0

Radio de

convergencia

Rz 1 1 z

z 1

1

2 a k z

z aa

3 k z

z( )1 2

1

4 k 2 z z

z

( )

( )

1

1 3

1

5 k 3 z z z

z

( )

( )

2

4

4 1

1

1

6 a

k

k

!e

az 0

7 sin k T z T

z z T

sin

cos

2 2 1

1

8 cosk T z z T

z z T

( cos )

cos

2 2 1

1

9 a k Tk sin az T

z az T a

sin

cos

2 22

a

10 a k Tk cos z z a T

z az T a

( cos )

cos

2 22

a

42

11 ka k az

z a( ) 2

a

12 k a k2 az z a

z a

( )

( )

3

a

13 k a k3 az z az a

z a

( )

( )

2 2

4

4

a

14 ( )k 1 015 ( )k m z m 0

Aplicando el proceso de diferenciación para la transformada-z de lasecuencia geométrica, determinamos muchos pares de transformación zmostrados en la tabla 2.3-1 . El proceso de muestreo de una función detiempo continuo ocurre muy frecuentemente en aplicaciones que esconveniente tener una tabla listando los pares de transformación z defunciones comunes probadas en el tiempo. La tabla 2.3-2 da tal listado.

Tabla 2.3-2. Pares de Transformada-z Comunes Comprobadas.f t

t

( )

0

f kT

k

( )

0

F z

F z f kT z k

k

( )

( ) ( )

0

Radio de

Convergencia

z R

1 1 1 z

z 1

1

2 t kT T z

z( )1 2

1

3 t 2 ( )kT 2 T z z

z

2

3

1

1

( )

( )

1

4 t 3 ( )kT 3 T z z a

z

3 2

4

4 1

1

( )

( )

1

5 e at e akT z

z e aT e aT

43

6 te at kTe akT zTe

z e

aT

aT

( )2

e aT

7 t e at2 ( )kT e akT2 T e z z e

z e

aT aT

aT

2

3

( )

( )e aT

8 sin t sin k T z T

z z T

sin

cos

2 2 1

1

9 cos t cosk T z z T

z z T

( cos )

cos

2 2 1

1

PROBLEMAS

2-1. Determine la transformada-z y la región de convergencia para lasecuencia

f k k( )

, , ,

, , ,

0 1 2 3

12

0 1 2

para k

para k

Siguiendo el procedimiento formal el cual nos dirige al resultado másgeneral como el dado por la expresión (2.1-4).

2-2. Muestre que la región de convergencia para la secuencia

f k( ), , ,

, , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

b(a) para kk

no depende del valor de b. Encuentre la transformada-z de estasecuencia.


f ke j k( )

, , ,

, , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

44

2-4. Para la secuencia geométrica, muestre que si z permanece en la regiónz a entonces

lim ( ) ( )n

nF z F z

0

donde F z y F zn están dadas por las expresiones (5.2-4) y (5.2-3),respectivamente.


f k

k

( )

, , ,

, , , ,

, , ,

0 1 2 3

12

0 1 2 10

14

1112 13

para k

para k

para k

k

ponga el resultado en la forma cerrada.


f ka k( )

, , ,

( ) , , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

2-7. Determine si los puntos a z a b z y c z a 2 3 3, permanecenen la región de convergencia de la transformada-z de la secuenciageométrica como lo especifica la sumatoria (5.2-2). Haga esto evaluandoesta sumatoria infinita definiendo la transformada-z en los 3 puntosdados, y para aquellos puntos los cuales generan una suma limitada,muestre que esta suma es igual al valor de F z z z a evaluada enaquellos puntos.


45

(a)

para k

para k = 1

a para k

para k

para k

k

f k

b f keak

( )

, , ,

, , ,

( ) ( ), , ,

, , ,

0 0 1 2

1

2 3 4

0 1 2 3

0 1 2

2-9. Determine la transformada-z y la región de convergencia para lasecuencia de números que resultan cuando las siguientes funciones detiempo continuo son muestreadas uniformemente con un periodo demuestreo T seg.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a f k

b f ke

c f k

t

para t < 0

1 para t 0

para t < 0

para t 0

para t < 0

1 para 0 t 5T

0 para t > 5T

0

0

3

0

2

2-10. Ponga las siguientes funciones en una razón de polinomios en lavariable z, y encuentre los polos y ceros correspondientes.

46

( )

( )

( )

az

z z

bz z

cz

z z

1

1 +34

1 23

18

5 21 6 3

1

1 2

2 4

2

1 2

2-11. Grafique la localización de polos y ceros para la transformada zconsiderada en el problema 5.3-1.

2-12. Hacer una gráfica de la magnitud de la transformada-z

F zz

z( )

12

para valores reales de la variable compleja z.

2-13. Determine la transformada-z y la correspondiente región deconvergencia para la secuencia

f kk To

( ), , ,

sin( ) , , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

Asegure que su resultado este de acuerdo con la expresión (5.4-2) parael caso 0

2-14. Verifique que la transformada-z de la secuencia

f kk To

( ), , ,

cos( ) , , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

esta dada por la ecuación (2.2-3)

2-15. Demuestre que los primeros 4 términos de la respuesta delta deKronecker del sistema gobernado por

y k Tu k Ty k y k( ) sin ( ) cos ( ( ) 0 0 1 2 1 2

47

están de acuerdo con la secuencia sinusoidal muestreada f k k T sin 0 . Como tal, esta relación interativa puede ser usada para

generar la secuencia sinusoidal muestreada.

2-16. Determine la transformada-z y la región de convergencia para lassiguientes secuencias.

( ) ( ), , ,

, , ,

( ) ( ), , ,

, , ,

( ) ( ), , ,

, , ,

a f ka

b f kka

c f kk a

k

k

k

para k

para k

para k

para k

para k

para k

0 0 1 2

1 2 3

0 0 1 2

1 2 3

0 0 1 2

1 2 3

1

1

2 1

2-17. Determine la transformada-z y la región de convergencia para lassiguientes secuencias. Los primeros términos corresponden a k 0 encada caso.

( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,

( ) , , , , ,

a

b

0 2 2 2 3 2 4 2 5 2

0 1 3 2 4 3 5 4 6

2 3 4 5

2-18. Determine la transformada-z y la región de convergencia de lasecuencia

f kk k To

( ), , ,

sin , , ,

0 1 2 3

0 1 2

para k

para k

(ayuda: Use la identidad de Euler.)

2-19. Determine la transformada-z de las secuencias, que resultan cuandolas funciones de tiempo continuo son muestreadas cada T seg. (ver tabla2.3-2)

48

( ) ( )

( ) ( )

a f kte

b f kt

at

para t < 0

para t 0

para t < 0

para t 0

0

02

2-20. Usando la propiedad de linealidad, determine la transformada z de lasecuencia

u k( ), , , ,

2 0 2 4 6

0

para k

para los demas valores de k

notando que u k u k u k 1 2 , donde u k1 es la secuencia escalónunitario, es la secuencia unitaria alternada. Verifique su resultadodeterminando directamente la transformada-z de u k

2-21. Encuentre la transformada-z y la correspondiente región deconvergencia de las secuencias ( m es no negativa en la parte a)

f kpara k m m m

para todos los demas valores de k

f kk


1 1 2

0

1 1 3 5

0

, ,

, ,

2-22. Muestre que las transformadas-z de las secuencias

f kpara k

k a para k

f k

para k

k k apara k

k

k

0 0 1 2

1 1 2 3

0 0 1 2

1 22

1 2 3

2

3

, , ,

, ,

, , ,

, , ,

están dadas respectivamente, por

F zz a

para z a

1

2

49

y

F zz a

para z a

1

3

(ayuda: Use la propiedad de linealidad de la transformada-z e incorporelos pares de transformación z de la tabla 2.3-1)

2-23. Generalice la propiedad de linealidad de la transformada-zmostrando que la transformada-z de la secuencia

f k a f k a f k a f k para kn n 1 1 2 2 0 1 2 , , ,

Esta dada por

F z a F z a F z a F z

para z R R R

1 1 2 2 3 3

1 2 3

max , ,

donde F z Z f k para z R y i ni i i , , , ,1 2

2-24. Encuentre la transformada-z y la correspondiente región deconvergencia para las secuencias

f kpara k


f kk


1 7 8 9

0

1 0 2 4

0

, , ,

, , ,

2-25. Dado el sistema caracterizado por

y k u k u k u k u k 2 1 4 2 3

50

(a) Determine la respuesta al escalón unitario.(b) Encuentre la transformada-z para la respuesta al escalón unitario y su

correspondiente región de convergencia.

2-26. Determine la transformada-z y el radio de convergencia para lassecuencias (m es no negativa)

f kpara k m m m

a para k m m m

f k

para k

para k m

para k m m m

k m

0 1 2 3

1 2

0 1 2 3

1 0 1 2

0 1 2 3

, , ,

, , ,

, , ,

, , , ,

, , ,

2-27. Usando la propiedad de desplazamiento a la derecha, determine latransformada-z a la respuesta al escalón unitario para el sistemagobernado por

y k y k y k u k 3

41

1

82

2-28. Usando la propiedad de la sumatoria de convolución, determine latransformada z a la señal de respuesta, y(k), donde la señal de entradaalternada unitaria es aplicada al sistema.

y k u k y k 1

2-29. Usando la propiedad de la sumatoria de convolución, determine latransformada-z de la señal de respuesta y k cuando el sistema esmanejado por una señal de entrada escalón unitario.

y k b u k b u k a y k 0 1 11 1

2-30. Usando la propiedad de desplazamiento a la izquierda, determine latransformada-z de la secuencia

f kpara k

a para kk N

0 1 2 3

0 1 2

, , ,

, , ,

51

2-31. Verifique la generalización de la propiedad de desplazamiento a laizquierda como la dada por la expresión (2.2-18)

2-32. Incorporando la propiedad para sumatorias, determine latransformada-z para la secuencia

g kpara k

para todos los demas valores( )

, , , ,

1 0 2 4 6

0

Notando que

g k f ii

k

0

donde f k es la secuencia alternada unitaria definida por

f kpara k

para kk

0 1 2 3

1 0 1 2

, , ,

, , ,

verifique los resultados directamente determinando la transformada-zde g k .

2-33. Si la secuencia g(k) es generada por la regla

g k f ii

k

0

muestre que

a g k g k kf k

b G zz

z

dF z

dz

1

1

2

donde F z es la transformada-z de la secuencia f k .

2-34. Usando la propiedad de multiplicación por a k , determine latransformada de las secuencias

52

( ), , ,

cos , , ,

( ), , ,

, , ,

a g kpara k

a k T para k

b g kpara k

a para k

k

k k

0 1 2 3

0 1 2

0 1 2 3

1 0 1 2

2-35. Considere las secuencia g(k) generada por la regla

g k ka f k para kk 0 1 2, , ,

Muestre que la transformada z de esta secuencia esta dada por

G z

dF

da z

1

donde F z Z f k .

2-36. Determine f 0 usando el teorema del valor inicial para la secuenciacuya transformada z es

53

( )

( )

( ) ( )

az a

para z a

bz

para z

c F z z z

zz -1

1

2 1 41

4

1 5 23 7

2-37. Aplicar el teorema del valor inicial para probar que

( ) lim

( ) ( ) lim ( ) ( )

a f F z f

b f z zF z zf f

z

z

1 0

2 0 1

2-38. Usando el teorema del valor inicial y las propiedades especificadas enel problema 2-38, determine los elementos y, la transformada-z

( )( )( )

max ,

( )( )( )

max ,

a F zz

z zpara z

b F zz c

z a z bpara z a b

2

11

2-39. Usando la propiedad de secuencia periódica determine latransformada -z alternada unitaria definida por

f kpara k

para kk

0 1 2 3

1 0 1 2

, , ,

, , ,

2-40. Determine la transformada-z de la secuencia periódica mostrada en lafigura P2-40

1

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 k

Figura P2-40 secuencia periódica.

SISTEMAS LINEALES 3

UUNNIIDDAADD 33TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA ZZ IINNVVEERRSSAATTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA ZZ IINNVVEERRSSAA

INSTITUTO TECNOLÓGICO DECIUDAD GUZMÁN

Prof. Gustavo Ochoa Mata

Elaborado por:

Carlos González FloresReynaldo de Jesús SánchezSánchez

Elaborado por:

Carlos González FloresReynaldo de Jesús SánchezSánchez

Cd. Guzmán Jalisco, Junio de 2004Cd. Guzmán Jalisco, Junio de 2004

TEMARIO

UNIDAD 3. TRANSFORMADA Z INVERSA

3.1. Introducción

3.2. Método de expansión en fracciones parciales

3.3. Generalización del método de expansión de fracciones parciales

3.4. Procedimiento eficiente para el cálculo de los coeficientes en una expansión de fracciones parciales

3.5. Método de división directa

3.6. Problemas resueltos

3.7. Problemas propuestos

OBJETIVO GENERAL

El objetivo de es que el alumno haga una recopilación de la unidadcorrespondiente asignada e interactúe con el maestro para que estos apuntes seanlo más completos y precisos posibles, logrando así el aprendizaje más integral decada unidad y con el fin de posteriormente tener un manual del curso completo.

OBJETIVO ESPECÍFICO

Delimitar el interés de el análisis por el método de la transformada Z inversapara distintas secuencias, con la finalidad de dominar dicha técnica de inversión detransformación que tan útil nos es para procesos en los que interactuamos consistemas lineales discretos.

TRANSFORMADA-Z INVERSA

3.1. Introducción

En el último capitulo, nuestro esfuerzo ha sido dirigido hacia el desarrollo deprocedimientos los cuales nos hicieran posible determinar la transformada-z devarias secuencias. Si la teoría de la transformada-z juega un papel muy importanteen nuestro estudio de sistemas lineales discretos, es esencial que podamos revertireste proceso. Específicamente se debe disponer de un método sistemático paradeterminar la secuencia, que genera una transformada-z dada. Este proceso escomúnmente llamado como encontrando transformada-z inversa y es denotado por

f k Z F z 1

Se presentaran dos métodos para determinar este proceso de inversión.

3.2. Método de Expansión de Fracciones Parciales

El método de expansión de fracciones parciales es el procedimiento mássimple y el más preferible para la obtención de secuencias de números las cualesgenera la transformada-z dada. Para demostrar la elegancia y simplicidad de esteprocedimiento se considera la respuesta de este sistema

y k u k y k 1

para la entrada de escalón unitario. La transformada-z en respuesta al escalónunitario esta dada por:

Y zz

z z

2

1 (3.2.1)

Para encontrar la respuesta al escalón unitario, debemos determinar lasecuencia que tiene la transformada-z. Desafortunadamente es muy difícil extraeresta secuencia de Y(z) en su forma presente es entonces conveniente descomponerY(z) en unas sumas de términos cada uno de los cuales tiene una secuenciageneradora conocida. Específicamente se puede expresar Y(z) como una combinaciónlineal de los términos elementales dados en la tabla T3.2.

Tabla T3.2 Pares de Transformada-z Usados en la Expansión de FraccionesParciales

Términos Elementales Secuencia Generada1 ( k )z

z aa k para k = 0,1,2, . . .

La descomposición requerida se realiza rápidamente haciendo una expansiónde fracciones parciales Y(z) en la forma

Y zz

z za b

z

zc

z

z

2

1 1 (3.2.2)

donde los valores de los coeficientes a, b y c deberán ser evaluadospropiamente. Expresando Y(z) como arriba, podemos determinar fácilmente lasecuencia generadora requerida con el uso de la tabla T3.1. Es decir, usando laspropiedades lineales de la transformada-z, se entiende que la secuencia que generay(z) esta simplemente dada por

Y z a k b c para kk k 1 0 1 2, , ,... (3.2.3)

Tres diferentes procedimientos para evaluar los coeficientes a, b y c en laexpansión de fracciones parciales son dados en los ejemplos E3.2.1, E3.2.2 y E3.2.3,donde cada uno da por resultado

a b c

01 1

, ,

Se motiva al lector a leer cuidadosamente y entender cada uno de estos tresmétodos con el énfasis específico dado para el método presentado en el ejemploE(3.2.3). Incorporando los coeficientes en la expresión (3.2.3) y simplificandoproduce la respuesta escalón unitario deseada.

Y k para kk

1

1 0 1 21 , , ,.... (3.2.4)

Esta señal de respuesta esta de acuerdo con el resultado encontrado en la elpaso anterior usando una aproximación diferente.

El procedimiento de inversión usado para encontrar la secuencia (3.2.4) la cualgenera de la transformada-z dada (3.2.1) fue directo. Esto simplemente implicahacer una expansión de fracciones parciales de Y(z) que consiste de unacombinación lineal de términos elementales apropiados de la forma dada en la tablaT3.1. Entonces la secuencia generadora correspondiente para estos términoselementales es usada para obtener la secuencia generadora de Y(z). El aspecto masdifícil de este procedimiento fue el hacer la expansión de fracciones parciales deY(z).

Ejemplo E3.2.1: Hacer una expansión de fracciones parciales de Y(z) comose dio en la expresión (3.2.1)de la forma

z

z za b

z

zc

z

z

2

1 1

Para mostrar que tal expansión es de hecho posible, primero ponemos el ladoderecho sobre un común denominador esto es

z

z z

a z z bz z cz z

z z

2

1

1 1

1

a b c z a a b c z a

z z

2

1

Si la igualdad se mantiene, es evidente entonces que los coeficientes a, b, cdeben ser elegidos tal que

z a b c z a a b c z a2 2 ( ) ( )

Sea valida para todos los coeficientes de z. Esto entonces requiere que:

a b c a a b c a , ,0 0

Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas a, b y c; yproduciendo los coeficientes seleccionados de la expansión de fracciones parciales,esto es:

a b c

01 1

, ,

Ejemplo E3.2. Un segundo método para evaluar los coeficientes a, b y c en laexpansión de fracciones parciales

z

z za b

z

zc

z

z

2

1 1

será a dado ahora. Se ha expresado sobre el hecho de que esta expansión debe desostenerse para todos los valores de Z. De aquí que evaluando esta relación en tresdiferentes valores de Z ( de los cuales ninguno puede ser igual a a o 1) se realiza unsistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas a, b y c. Resolviendo este sistema deecuaciones entonces producimos los valores propios de los coeficientes, parailustrar este procedimiento evaluamos sobre las relaciones en Z=0,-1 y 2,obteniendo:

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas a, b y c obtenemos

a b c

01 1

, ,

Lo cual está de acuerdo con los resultados del ejemplo E3.2.1. Aunque esteprocedimiento no es frecuentemente usado en la evaluación de los valores de loscoeficientes. Este tiene utilidad cuando la transformada-z a ser invertida tengamúltiples polos.

Ejemplo E3.2.2: Realizar la expansión de fracciones parciales por los 2 métodos dela siguiente expresión:

z

z za b

z

zc

z

z

2

1 1

(3.2.5)

como en el ejemplo E3.2.1.y E3.2.2 y a falta de tener un común entre ambos: cadavalor de la solución del sistema de ecuaciones lineales para la obtención de los

z a

z ab c

z ab

c

0 0

12 1 1 2

24

2

2

22

( )

para

para

para

coeficientes desconocidos. Esta tarea puede ser molesta la cual deberá ser evadida.Ahora recomendamos la evaluación de los coeficientes a, b y c en la expansión defracciones parciales.

Para evaluar el coeficiente a hacemos la observación de que cuando laexpresión (2.10-5) es evaluada en z =0, resulta

a = 0Así, el valor propio, para el coeficiente a es cero.

Para evaluar el coeficiente b, primero multiplicamos ambos lados de laecuación (3.2.5) por (z - a)/z para obtener

z

z z

z

za

z

zb

z

z

z

zc

z

z

z

z

2

1 1

después de que hemos realizado la indicada cancelación de z-a y z, resulta

z

za

z

zb c

z

z

1 1

Ya que deseamos determinar el valor de b, será congruente evaluar estaexpresión en z = a esto sigue dado que, para z = a, cada termino del lado derechotiende a cero excepto b, por lo tanto determinamos fácilmente b. Para z = atenemos entonces

1

0 0

1

ab

c

O

b 1

El valor de c es determinado de manera similar. Específicamente ambos ladosde la expresión (3.2.5) Son multiplicados por (z - 1)/z para dar.

z

za

z

zb

z

zc

1 1

Finalmente la relación es evaluada en z =1, resultando en

c 1

El cual completa el procedimiento de evaluación de los coeficientes.

3.3. Generalización del Método de Expansión de Fracciones Parciales.

En general, una secuencia que es cero para cualquier valor negativo de k setendrá una transformada-z de la forma

F zb z b z b

z a z a

n nn

n nn

0 1

1

11

Para hacer una expansión de fracciones parciales de F(z). Es necesarioprimero factorizar el polinomio del denominador para encontrar las raíces p1,p2,.....,pn; algunas de las cuales pueden ser múltiples.* Estas raíces son los polos deF(z), ellos determinan las características del comportamiento de la secuenciageneradora f(k). F(z) puede ser reescrita como

F zb z b z b

z p z p z p

n nn

n

0 1

1

1 2

- Se asumirá que ninguno de lo polos, pi, es igual a cero.

En la realización de la expansión de fracciones parciales de F(z) será benéficoconsiderar separadamente, las situaciones donde los polos pi son distintos y dondeson repetidos.

Polos Distintos

Cuando todos los polos de F(z) como los dados por la expresión (3.3.1) sondistintos (Esto es todos diferentes). Es posible simplificar el procedimientoilustrado en la sección previa. Específicamente realizaremos la expansión defracciones parciales de F(z) en la forma

F zb z b z b

z p z p z p

n nn

n

0 1

1

1 2

.......

.....

0 1

12

2

z

z p

z

z p

z

z pnn

....... ( 3.3.1)

El procedimiento a lo largo de las líneas el cual es seguido en el ejemploE3.3.1. Evaluaremos los valores propios para los coeficientes ai.

Para determinar el coeficiente a0, se evalúa la expresión (3.3.2) para z = 0resultando

0 01 2

F z

b

p p pz

n

n

( ).....

(3.3.2)

Para determinar los valores propios de los coeficientes restantes a1, a2,...., an,

se recomienda el procedimiento siguiente. En orden para evaluar a1 será convenientemultiplicar cada lado de la expresión (3.3.2) por z p z 1 . Después de hacer lascancelaciones numerador-denominador de z p 1 y z entonces obtenemos

b z b z b

z z p z p z p

n nn

n

0 11

2 3

0

11 2

1

2

1z p

z

z p

z p

z p

z pnn

Ya que esta relación es verdadera para cualquier valor de z, debe ser validapara z =p1 donde cada termino del lado derecho se hace cero excepto a1 ,de aquí dela evaluación sobre la expresión en z =p1 se hace significativamente fácil ladeterminación de a1 y resultando

10 1 1 1

1

1 1 2 1 3 1

1

1

b p b p b

p p p p p p p

z p

zF z

n nn

n

z p

( )

Donde la notación anterior indica que se evaluara la entidad en z p F z z 1 ( )

en z =p1. Este procedimiento debería estar claro que este procedimiento puede serusado para encontrar los valores propios de los coeficientes restantes de ai esto es

ii

z p

z p

zF z para i n

i

( ) , ,...,1 2 (3.3.3)

Para este procedimiento se tiene que descomponer F(z) en la formaconveniente para encontrar su secuencia generadora de f(k). Específicamente yaque

0 1

12

2

z

z p

z

z p

z

z pnn

Se sigue que por la linealidad de la transformada-z y la relación par detransformación Z dada en la tabla T3.2., que la secuencia

f k k p p p

para k

k kn n

k( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , .....

0 1 1 2 2

0 1 2

genera F(z).

Ejemplo E3.3.1. Determine la transformada-z inversa de la función

F zzsin T

z T z( )

cos

2 2 1

para z 1

Siguiendo el procedimiento sobre el bosquejo anterior. Primero factorizamosel polinomio del denominador y reformamos F(z) como

F zz T

z e z ej T j T( )sin

( )( )

Ahora realizamos una expansión de fracciones parciales de F(z) en la forma

F zzsin T

z e z e

z

z e

z

z ej T j T j T j T( )( )( ) ( ) ( )

0 1 2

De la expresión (3.3.3) es evidente que a = 0. Los coeficientes a1 y a2 sonevaluados usando la expresión (3.3.4), esto nos da:

1

1

2

sin T

z e j Tz e j T

j

( )

y

2

1

2

j

por lo tanto

F zj

z

z e j T j

z

z e j T( )

1

2

1

2

La secuencia generadora es entonces dada por la ecuación (3.3.5)

f kj

ej(e ) para k , ,j T k jwT k( ) ( ) 1

2

1

2012

y por la identidad de Euler esto se transforma en

f(k)= sink T para k = 0,1,2......

En el ejemplo E3.3.1. Fue ilustrado un procedimiento importante en el aspectode la expansión de fracciones parciales. Específicamente cuando la función F(z)tiene polos complejos, esto conducirá a tener pares de polos complejos conjugados.Además aunque los coeficientes correspondientes a estos polos de la expansión sonnormalmente números complejos. Estos son siempre posibles de manipular elresultado dentro de la secuencia del tiempo de tal forma que se pueden vaciar losnúmeros complejos. Esta forma es preferible y es la meta en cualquier proceso deinversión en el procedimiento.

Polos múltiples.

En la situación donde F(z) tiene polos múltiples, se necesita una ligeravariación en el método de las expansión de fracciones parciales. Después que eldenominador de F(z) es factorizado este tendrá la forma.

F zb z b z b

z p z p z p

n nn

n nq

nq( ).............

( ) ( ) ........( )

0 1

1

11

22

1

(3.3.6)

Donde n1+n2+n3........=n para el caso de los polos múltiples, en que al menos unode las ni sea mas grande que la unidad. En una expansión de fracciones parciales deF(z) de la forma

nq

nnq

q

nn

nn

n

nn

pz

z

pz

z

pz

zB

pz

z

pz

zB

pz

z

pz

z

pz

zzF

)()(

)()()(

)()()()(

1

22

2

22

2

1

1

12

1

22

1

10

es de esta forma desarrollada. Es importante notar que la multiplicidad de polos deni tiene ni términos asociados en esta expansión. Por ejemplo, el polo p1 la cual tieneuna multiplicidad de n1 y se ve que producirá n1 términos.

1)()()(1

21

22

1

1n

n

nn

pz

z

pz

z

pz

z

en la expansión. Para una conveniente expansión de fracciones parciales de F(z), esabsolutamente esencial que cada uno de estos n1 términos estén incluidos.

La sola razón para la descomposición de F(z) en una suma de términos como seda en la expresión (3.3.7). Es la generar la secuencia para cada uno de estostérminos la cual se obtiene con la ayuda del par de transformación Z dado bajo latabla T3.3.

Usando esta tabla conjuntamente con la linealidad de la transformada-z. Sepuede encontrar directamente la secuencia generadora de F(z) dada en la expresión(3.3.7).

Tabla T3.3 Pares de Transformada-z Usando el Método de FraccionesParciales.

Términos de F(z) F(k) para k=0,1,2..........z

z a( )a k

z

z a

2

2( )

( )

!

ka k1

1

z

z a

3

3( )

( )( )

!

k ka k 1 2

2

z

z a

4

4( )

( )( )( )

!

k k ka k 1 2 3

3

z

z a

5

5( )

( )( )( )( )

!

k k k ka k 1 2 3 4

4

Para demostrar la simplicidad de esta aproximación, suponga que la función haser transformada que tiene la expansión de fracciones parciales.

)()()()()(

2

1

1

12

1

22

31

33

0 pz

zB

pz

z

pz

z

pz

zzF

Entonces, por linealidad de la transformada-z y el uso de la tabla T3.3. seentiende que la secuencia generadora de F(z) es simplemente.

F k K

k kp k p

p p k

k k

k k

( ) ( )( )

!( ) ( )( )

( ) ( ) , , , , .......

0 3 1 2

1 1 1 2

1 2

21 1

0 1 2 3 4 para

Ejemplo E3.3.2. Haga una expansión de fracciones parciales de la función

F zz z zz z z

( )

3 23 2

2 18 12

de la forma (3.3.7) y determine la correspondiente secuencia generadora de F(z).

Primero, el polinomio de denominador es factorizado como

z z z z z3 2 28 12 2 3 ( ) ( )

el cual indica que F(z) tiene un polo multiplicidad 2 localizado en z=2. Realizaremosentonces una expansión de fracciones parciales de F(z) en la forma dada por laecuación (3.3.7), esto es

F z

z z z

z z

z

z

z

z

z

z( )

( ) ( )

3 2

2 01 2

2

212 1

2 3 2 2 3

En seguida, ponemos al lado derecho sobre un común denominador paraobtener:

F zz z z

z z( )

( ) ( )

3 2

2

2 1

2 3=

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 1 2 13

0 1 2 12

0 1 1 02

3 4 8 6 4 12

2 3

z z z z

z z

Si obtenemos las igualdades, es evidente que los coeficientes a0,a1,a2, y a

deben ser seleccionados de tal forma que

0 1 2 1

0 1 2 1

0 1 1

0

1

3 4 2

8 6 4 1

12

= 1

El sistema de ecuaciones lineales a sido resuelto se han encontrando losvalores de los coeficientes que se necesitan.

0 1 1

1

12

9

50

11

75 , , ,=

19

202

Por lo tanto la expansión de fracciones parciales requerida de la F(z) dada es.

F zz

z

z

z

z

z( )

( ) ( ) ( )

1

12

9

50 2

19

20 2

11

75 3

2

2

Desarrollaremos mas adelante un procedimiento mas simple para encontrarlos coeficientes a1,a2,a3,a4 y B. En la siguiente sección se usara este procedimientopor las facilidades de las manipulaciones requeridas en la expansión de fraccionesparciales. La transformada-z inversa de F(z) se obtiene directamente usando estaexpansión e y incorporando la tabla 2.11 esto resulta en.

,....3,2,1,0para)2(100

77)3(

75

11)2)((

20

19)(

12

1

375

11)2)(1(

20

192

50

9)(

12

1)(

kkk

kkkf

kkk

kKk

Ejemplo E3.3.3. Demostrar que la expansión de las fracciones parciales de latransformada-z. ( 3.3.6) como la dada por la ecuación (3.3.7) es siempre posible.

Para demostrar en esta expansión que es un hecho propio. Se puede poner enel lado derecho de la ecuación sobre un común denominador. Esto resultara unarazón de polinomios.

F zc z c z ............. c

z p z p z p

n nn

n nn

nq( )( ) ( ) ........( )

0 1

1

11

22

1

donde los parámetros ci será dependiente de n+1 coeficientes a0,a1,a2,...,an. usadosen la expansión fracciones parciales. (e.g., c=a0+a1+a2+...+an) si esta expresión estaidéntica a la expresión (3.3.6) es evidente que n+1 coeficientes a0,a1,a2,...,an debende ser seleccionado tal como para forzar

ci = bi para i = 1,2,3,....,n

Este efecto envuelve la solución un sistema de n+1 ecuaciones lineales en n+1coeficientes desconocidos a0,a1,a2,...,an. Es bien conocido que la solución de estesistema siempre existe. De aquí, que la expansión fracciones parciales de laexpresión (3.3.6) en la forma (3.3.7) es adecuada (Esta puede hacerse siempre).

3.4. Procedimiento Eficiente para la Evaluación de Coeficientes en laExpansión de Fracciones Parciales

Debe ser claro que el aspecto mas difícil del procedimiento de inversión de laexpansión de fracciones parciales es la evaluación de los coeficientes en la misma.Podemos simplificar mas fácil esta evaluación en el caso de polos múltiples,adoptando algunas técnicas usadas para el caso de polos distintos. En un ejemplo,nos permitimos hacer una expansión de fracciones parciales de la función.

F ( ).............

( ) ( ) ........( )z

b z b z b

z p z p z p

n nn

n nn

nq

0 1

1

11

22

1

(3.4.1)

Donde n1+n2+n3+....+nq = n. En el caso de polos múltiples, al menos uno de los ni

es mayor que 1. La fracción parcial de F(z) de la forma siguiente

F zz

z p

z

z p

z

z p

z

z p

z

z p

z

z p

z

z p

z

z p

nn

n

nn

q

nqnq

qnq

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

01

1

22

12

1

1

2

22

22

2

1

1

1

1

2

(3.4.2)

está construida.

El coeficiente a0 es obtenido evaluando las ecuaciones en Z es igual cero enla expresión (3.4.2). Cada termino de lado derecho de la ecuación (3.4.2) es igual acero excepto a0 por lo tanto se estableció la relación.

o z

n

n nn

nF zb

p p p q

( )( ) ( ) ( )0

1 21 2

(3.4.3)

De forma similar se asocia el coeficiente con el termino de mas alto orden delpolo z= p1(i.e., an1) puede ser oportuno evaluarlo multiplicando cada termino de laexpresión (3.4.2) por la entidad (z p ) /zn n 1

1 1 para dar

F zb z b z b

z z p z p z p

z p

z

z p

z

z p

z

z p

z p z

z p

z p z

n nn

n n nn

nq

n n n

n

n

n nq

n

q

nqn nq

( )( ) ( ) ( )

0 11

22

33

10

11

11

21

2

1 11

21

1

1

1 1 1

1

1

1

1

Ya que la igualdad anterior se sostiene para todos los valores de Z, esta sedebe sostener para z=p1

donde todos los términos del lado derecho son cero excepto an1. En entoncestenemos

n

n

z p

z p

zF z1

11

1

( ) (3.4.4)

Es también evidente que los coeficientes que multiplican a los términos demayor orden para otros polos pueden ser evaluados similarmente, esto es:

n

n

z p nq

qn

z p

z p

zF z

z p

zF z

q

q2

2

2

2

( ) , ( ) (3.4.5)

Por aplicación de la expresión (3.4.3) a través de (3.4.4) se puede determinardirectamente valores propios de los q+1 coeficientes. Los coeficientes restantes dela expansión pueden ser determinados evaluando la expresión (3.4.2) para n-qdiferentes valores de z que generara n-q ecuaciones lineales en estos n-qcoeficientes desconocidos.* Se demostrara en ejemplos posteriores que este

método se hace mas efectivo seleccionado los valores de n-q v de z en la cual laexpresión (3.4.2) es evaluada. En suma para invertir una transformada-z por elmétodo de expansión de fracciones parciales se sigue el procedimiento sistemáticoilustrado en la tabla T3.4.

Se debe hacer notar que el procedimiento de expansión de las fraccionesparciales ilustradas en la tabla T3.4 no depende de la forma de el polinomio delnumerador de F(z). En tanto el orden del polinomio sea menor o igual al orden delpolinomio del denominador. Este procedimiento puede ser seguido yafortunadamente este será el caso para secuencias las cuales son cero para knegativo. El efecto del polinomio del numerador se hace implícitamente cuando loscoeficientes usados en la expansión de fracciones parciales son evaluados.

Procedimiento para Determinar la Transformada-z Inversa Usando elMétodo de Fracciones Parciales.

Paso 1 Descomponga los factores de F(z) por expansión de fraccionesparciales en combinación lineal de los elementos de la funcióndadas en la expresión (3.3.2). Entonces se evalúan los coeficientescomo previamente se ilustro.

Paso 2 Incorpora la linealidad de la transformada-z y use la tabla T3.3para determinar la transformada-z inversa requerida.

Ejemplo 3.4.1. Determinar la transformada inversa de la función.

F(z)z z z

z z z

3 22 1

3 2 8 12

Siguiendo los paso del procedimiento ilustrado en la tabla T3.4, Primerofactorizamos el polinomio del denominador para obtener.

F zz z z

z z( )

( ) ( )

3 2

2

2 1

2 3

Siendo que la función que tiene un doble polo en Z=2 realizamos la expansiónde la forma .

z z z

z z

3 2

2

2 1

2 3

( ) ( )

=3)2(2

1 12

22

0

z

z

z

z

z

z (3.4.6)

Para determinar a0 hacemos z=0 y se evalúa en la función [mire la ecuación(3.4.3)]

0

1

12

Para encontrar el coeficiente a2 se multiplica cada lado de la ecuación (3.4.6)por (z 2) / z2 2

z z z

z

z

z

z

z

z

z z

3 2

0

2

1 21

22 1

3

2 2 2

3

( )

y se evalúa z=2, estos es

2 2 2 2 1

2 3 20 0 0

19

20

3 2

2 0 1 2 1 2

( )

( )( )

En forma similar se puede encontrar a1 multiplicando ambos lados deexpresión (3.4.6) por (z+3)/z y luego haciendo z=-3 esto resulta en

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 1

2 2 30 0 0

11

75

3 2

2 0 1 2 1 1

Para evaluar el coeficiente restante a1. puede tomar cualquier otro valor en laexpresión (3.4.6) y resolviendo la ecuación resultante para a1. Por ejemplo evaluamosla expresión (3.4.6) en z=1 resultando.

5

4 45

4

1

12

19

20

11

300

9

50

0 1 21

1

De la expansión de fracciones parciales de F(z) es ahora completada y estadada por

F zz

z

z

z

z

z( )

( )

1

12

9

50 2

19

20 2

11

75 3

2

2

Esta expansión va de acuerdo con el resultado encontrado en ejemplo E3.3.2usando una diferente aproximación. En un punto de vista practico, de elprocedimiento seguido en este presente ejemplo es de los mas aconsejable. Usandola tabla T3.3. hemos determinado para esta expansión de fracciones parciales que latransformada-z inversa de F(z) es:

f k k k k k k( ) ( ) 1

12

19

202

77

1002

11

753 para k = 0,1,2,

Ejemplo E3.4.2. Surge un caso especial cuando la función de la transformada-zinversa tiene un polo en z=0. Para ver como se maneja este caso, considere lasiguiente función específica.

F zz

z z( )

( )

1

12

Una expansión de fracciones parciales de esta función tendría la forma.

1)2(

2 1221

02

z

z

zzzz

z

Usando las técnicas de los ejemplos anteriores, determinamos que laexpansión de fracciones parciales requerida es.

F zz z

z

z( )

2

2 1 2

12

debemos usar el siguiente par de transformada-z, ya probado

z k m z m( ( )) para m no negativo (3.4.7)

para invertir esta expansión de fracciones parciales de F(z) y obtener.

F k k k k k( ) ( ) ( ) ( ) , , , 2 2 1 2 2 0 1 2 para

en forma mas especifica

F k

para

para

para

para

( )

, , ,

0

0

1

2 3 4 5

k = 0

k = 1

k = 2

k =

Podemos generalizar el resultado de este ejemplo. Específicamente, si unatransformada-z tiene un polo de orden p en z=0 entonces la expansión fraccionesparciales tendrán términos de la forma

a

z

a

z

a

zp

p1 2

2

Los coeficientes a1,a2,....,ap son evaluados de manera paralela para el casopreviamente tratado de polos múltiples. La secuencia genera esta expansión es

a k a k a k pp1 21 2 ( ) ( ) ( )

3.5 Método de la división directa.

El método de la división directa para invertir la transformada-z es un procesomuy elemental. Esta es basada en la observación de que la transformada-z en unaserie de potencia de la variable z-1 . Para el caso cuando la función de F(z) a serinvertida es una razón de polinomios en z, simplemente se dividirá el polinomio deldenominador con el polinomio del numerador hasta generar una serie de potenciasde la variable de z-1. Entonces igualamos los términos correspondientes delresultado de esta división con

f z f f z f z( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21 2

para determinar la secuencia que generó la transformada-z dada. Este método deinversión es útil cuando solo los primeros términos de la secuencia f(k) han de serencontrados. Sin embargo esto es raramente usado para encontrar una expresióngeneral del termino de la secuencia f(k) como el método de la expansión defracciones parciales.

Ejemplo E3.5.1.Determine los primeros cuatro términos de la secuencia f(k) la cualgenera la transformada-z

F zz z z

z z z( )

3 2

3 2

2 1

8 12

desarrollando la división requerida, obtenemos

z z z z z zz z z

z z z

z

z z

z z

z

z

-

3 2 3 2

1 2 3

3 2

1

1

2

8 12 2 11 3 12 25

8 12

9 113 24 36

12

144

3z3z

+13 - 3612 - 12 - 96z +144z

25 + 60z

2

2

-1 -2

-1

...

De esta formaF z z z z( ) 1 3 12 251 2 3

yf(0)=1, f(1)=3, f(2)=12, f(3)=25,...

La cual concuerda con el resultado del ejemplo E3.4.1

3.6. Problemas Resueltos

3.6.1. Determine la transformada-z inversa de las funciones complejas.

(a)

(b)

F(z)z

z

F(z)z

z

1

12

2

12

Solución:

(a)1

1)(

2

z

zzF

1

1)(

2

z

zzF =

)1)(1(

1

zz

z = ao1

1

z

za +1

2

z

za

Para el valor ao

a0 = )(zf z=0 1)10)(10(

1)0(

Para obtener el valor de a1

a1 = )(zf z=0 0)1)1)((1(

)1)(1(

1

11

zz

z


a2 = )(zf z=0 1)1)(1(

)1)(1(.

1

11

zzz

z

1)( zF +1

0

z

z +1

1

z

kkkfzfz )1()()()(1

(b)21

1)(

z

zzF

21

1)(

z

zzF =a0 +

21

1

z

za

Para el valor ao

a0 = )(zf z=0 4)

2

10(

2)0(


a1 =z

zzf

)21()(

z=1/2 = 5

)2/1(

2)2/1(

))2/1((

2

1

)2/1(

z

zz

)2/1(

54)(z

zzf )()(1 kfzfz

kkf )2/1(54)(

3.6.2. Determine la transformada-z inversa de la función compleja.

F zz z

z z z( )

( )( )( )

14 14 3

1

2

14

12

Solución:

(a))1()()( 2

141

z

dz

z

cz

z

bza

Sacando el valor de a

a = )(zf z=0 24)10)(0)(0(

3)0(14)0(14

21

41

2

a0 = -24 Para obtener el valor de b

a = )()( 1 zf

z

pz z=p1 8)1)()((

3)(14)(14

41

21

41

41

412

41

41

41

z

z

Para obtener el valor de c

a = )()( 1 zf

z

pz z=p1 8)1)()((

3)(14)(14

21

21

41

21

212

21

21

21

z

z


a = )()( 1 zf

z

pz z=p1 8)1)(1)(1(

3)1(14)1(14

1

1

21

41

2

z

z

)1(

8

)(

8

)(

824)(

21

41

z

z

z

z

z

zzF

kkkkfzfz )1(8)(8)(824)()]([ 21

411


(a)

(b)

F zz a b

z a z b

F zz a b z

z a z b

( )( )( )

( )( )

( )( )

2

2

Solución:

(a)))((

2)(

bzaz

bazzF

))((

2)(

bzaz

bazzF

=)()( 210 bz

za

az

zaa

Sacando el valor de a0

a0 = )(zf z=0 =ab

ba

bzaz

baz

z

0))((

2


a1 = )()(

zfz

az z=0 =az

az

bzaz

baz

az

1*

))((

2


a2= )()(

zfz

bz z=0 =bz

bz

bzaz

baz

bz

1*

))((

2

kk bb

aaab

bakfzfz )(

1)(

1)()()]([1

(b)))((

)2()(

bzaz

zbazzF

))((

)2()(

bzaz

zbazzF

=)()( 210 bz

za

az

zaa


a0 = )(zf z=0 = 0))((

)2(

0

zbzaz

zbaz


a1 = )()(

zfz

az z=0 = 1)(

)(*

))((

)2(

aba

aba

z

az

bzaz

zbaz

az


a2 = )()(

zfz

bz z=0 = 1)(

)(*

))((

)2(

bab

bab

z

bz

bzaz

zbaz

az

kk bakfzfz )()()()]([1


F zz z

z z z( )

( )

( )( )

1

1 2 14

Solución:

F zz z

z z z( )

( )

( )( )

1

1 2 14

)5.0)(5.0)(1()(

2

zzz

zzzF

)5.0)(5.0)(1()(

2

zzz

zzzF =

)5.0()5.0( 210

z

za

z

zaa


a0 = )(zf z=0 = 0)5.0)(5.0)(1(

0)0( 2


a1 = )(zf z=0 .5= 6)5.0(25.0

5.025.0

)5.0)(5.01(

5.0)5.0()5.0( 2

2

2

zz

z


a2 = )(zf z=1 = 825.0

2

)5.01(

2

)5.0)(1(

122

2

zz

zz

z

z

)(zf z=1 =25.025.12

123

2

4123

412

2

zzz

zz

zzzzz

zz

z

z


(a)

(b)

F zz

z z

F z zz

z z

( )( ) ( )

( )( )( )

6

2 1

12

1 2

3

2

1

Solución:

(a))1()2(

6)(

2

3

zz

zzF =

)1()2()2( 3

2

210

z

za

z

za

z

zaa


a0 = )(zf z=0 = 0


a2=

)1()2(

6*

)2(2

3

2

2

zz

z

z

z z=2 = 4


a3 =

)1()2(

6*

12

3

zz

z

z

z z=-1 = 2/3


)1()2(

6)(

2

3

zz

zzF =

)1(3

2

)2(4

)2(

2

1

z

z

z

z

z

za

3 = -a1 +4+(2/6)

a1 = 4/3

)(zF)1(3

2

)2(4

)2(3

4 2

1

z

z

z

z

z

z

kkk kkfzfz )1(3

2)1()2(4)2(

3

4)()]([1

(b))21)(1(

21)( 1

zz

zzzF =

)2()1( 210

z

za

z

zaa


a0 = )(zf z=0= 0 Para obtener el valor de a1

a2=

)2)(1(

2*

1

zz

z

z

z z=1 = -2


a3 =

)2)(1(

2*

2

zz

z

z

z z=2 = 4


)2)(1(

2)(

zz

zzF =

)2(4

)1(2

z

z

z

z

kkkkkfzfz )2(4)1(2)1()()()]([ 11


(a)

(b)

F zz

z z z

F zz

z z

( )( )( )

( )( )

5

3

1

12

2 12

116

3

Solución:

(a)

161

22

21

5

ZZZ

ZZF

41

41

21

5

ZZZ

ZZF

24

121

5

ZZ

ZZF

2

12

41

2

2

4110

Z

Z

Z

Za

Z

ZaaZF

00 ZZFa 16000

50

41

21

410 ZZFa

84

555

21

41

41

41

212

41

21

2

41

ZZ

Z

ZZ

Z

Z

Z

41 ZZF

176555

2

41

21

21

21

2

412

41

21

21

ZZ

Z

ZZ

Z

Z

Z

3

645 12

41

21

Z

ZZ

ZZF

212

41

2

411 1

1176

1

184160

3

64

Z

Za

212

41

2

411 1

1176

1

184

1

1160

3

64

a

999.11 a

KKKKZF 21

41

41 176842160

(b)

31

3

ZZ

ZZF

ZZ

Za

Z

Za

Z

ZaaZF

1

11132

2

23

3

10

11 ZZFa

3

1

313

1

312333

3

Z

Z

ZZ

Z

Z

Z

2

5

122

3222

ZZF

24

6

133

3333

ZZF

108

7

144

3434

ZZF

2

13

12

2

12

2

12

24

2

532

2

23

3

0

aaa

320 2928 aaa

2

13

13

3

13

3

13

34

24

632

2

23

3

0

aaa

320 2

3

4

9

4

49aaa

2

13

14

4

14

4

14

44

108

732

2

23

3

0

aaa

320 3

4

9

16

27

26aaa

320 2428 aaa

320 2

3

4

9

4

49aaa

320 3

4

9

16

27

26aaa

7582.1890 a

586.511 a

0513.2123 a

3.6.7. Determine la transformada-z inversa de las siguientes funcionescomplejas.

))(1(

)1()((c)

623)((b)

))(1()((a)

41

2

ezz

zezF

zzzF

zz

zzF

Solución

(a)))(1(

)(2

zz

zzF =

)()1(0 az

zc

z

zba


a0 = c )(zf z=0 = 002

a

Para obtener el valor de b

b= )(zFaaz

z

z

z

azz

z

z

z

z

1

11

))(1(

1 2

1


c= )(zF11))(1(

2

a

a

z

z

z

az

azz

z

z

az

az

z

z

z

zzF

11-1

1)(

kkzF )(1

)1(-1

1)(

(b) 41 623)( zzzF

91 )1(6)1(2)(3)( kkkkF

(c)))(1(

)1()()(

ezz

zezFzF =

)()1( 210 zez

za

z

zaa


)(zf z=0 = 0


a1= )(zF 11

1)(

1

))(1(

)1(1

1

e

ezF

z

z

ezz

ze

z

z

z


a2= )(zF1e

e-1e-z

)e)(1(

e-1e-zT-

T-T-

T-

T-

e

T-

T-

zzzz

a2= -1

aTez

z

z

zzF

1

)(

kaTk ekF )1()(


(a)

(b)

(c)

F zz

z z

F zz z

z z

F zz z

z z

( )

( )

( ).

5

5 3

75 9 82

25 10 1

2 14

18

2

2 14

18

2

2

Solución:

(a)

161

22

212

5

ZZ

ZZF

41

41

212

5

ZZ

ZZF

24

1212

5

Z

ZZF

21

41

2

2

4110

Z

Z

Z

Za

Z

ZaaZF

16000

502

41

2101

ZZFa

2

12

41

21

2

41

2

5541

ZZ

Z

Zz

Z

Z

ZZFa Z

845

21

41

41

41

2

a

1765

2

5252

41

21

21

21

2

412

41

21

21

121

ZZz

Z

Z

ZZF Z

3

6452 1

41

21

Z

ZZZF

212

41

2

411 17684160

3

64

Z

Z

Z

Z

Z

Za

212

41

2

411 1

1176

1

184

1

1160

3

64

a

999.11 a

KKKKZF 21

41

41 176842160

(b)

41

21

2

81

412

2 3535

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZF

412

2110

41

21

2 35

Z

Za

Z

Zaa

ZZ

ZZZF

24000 aZFa Z

235

1

41

21

221

1

21

aZZ

ZZ

Z

Za

Z

2335

2

41

21

241

2

41

aZZ

ZZ

Z

Za

Z

41

21 4

123224

Z

Z

Z

ZZF

KKKZF 41

21 23224

(c)

5

1512

2 96.1155%

1515

82.975

11025

82.975

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZF

251

2

2

5110

Z

Za

Z

ZaaZF

0

96.115

51

5100

ZZ

ZZZFa Z

8.2496.115

51

51

2

512

2

51

2

2

51

2

Z

ZZ

ZZ

Z

ZZF

Z

Za

1

2

51

2

511 8.24

ZZ

Z

Z

ZaZF

8.9

8.24

151

1

2

51

2

Z

Z

Z

Z

Z

ZFa

1

2

51

2

511 8.24

Z

Z

Z

Z

ZaZF

!1

1*5

1

8.245

18.9

kYF

k

k

3.7. Problemas Propuestos

3.7.1 Calcule la transformada inversa de

3.7.2. Determine la transformada z inversa de

3.7.3. Calcule la transformada inversa de las siguientes señales.

3.7.4. La transformada z inversa de la señal x[n] es de la forma


31

51

2

462

2

2)((b)

5)((a)

zz

zzF

zzz

zzF


)1)(3)(2(

310100)(

23

zzz

zzzzF


))((

10100)((d)

)()()((c)

)(

)2()((b)

))(()((a)

3

2

bzazz

bazF

bzaz

abzF

az

zbazzF

bzaz

bazF

Conclusiones

El método de expansión de fracciones para invertir la transformada-z fuedesarrollado detalladamente. Este es un procedimiento simple el cual requieredos operaciones básicas de factorización del polinomio del denominador de lafunción a la cual se quiere sacar la transformada-z inversa y desarrollando laapropiada expansión de fracciones parciales apropiadamente.

Fueron presentados eficientes técnicas para evaluar los coeficientes en laexpansión de fracciones parciales.

Es conveniente elegir el método más sencillo para la resolución de cadaproblema, pero es más importante conocer diferentes alternativas.

Bibliografia

Instrumentación industrial 4ta edición Antonio Creus Alfaomega marcombo

Ingeniería de control moderna3ra ediciónKatsuito OgataPuentico Hall

INTERNET www.google.com.mx www.monografias.com

Sistemas lineales discretos

Education

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