Sistemas Dinámicos Discretos

SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN

AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE

ÍNDICE

1. Dinámica en la recta real 21.1. Puntos fijos 21.2. Transformaciones lineales 31.3. Hiperbolicidad 61.4. El método de Newton 152. Dinámica topológica 172.1. Espacios métricos 172.2. Equivalencias entre espacios métricos 192.3. Otras propiedades topológicas 192.4. Dinámica topológica 212.5. Conjugación topológica 233. Espacios métricos unidimensionales 253.1. El círculo 253.2. El conjunto de Cantor 274. El círculo y sus homeomorfismos 314.1. La familia de rotaciones 324.2. Homeomorfismos del círculo 344.3. Teorema de Denjoy 405. El caos y sus propiedades 405.1. La definición de caos 415.2. La transformación caótica por excelencia 435.3. Modelos deterministas que parecen aleatorios 445.4. Teorema de Sharkovsky 455.5. Bifurcaciones 48

Estas notas son una versión preliminar y apresurada de una introducción a los sistemas dinámicos discre-tos unidimensionales. Aún se encuentran en proceso de redacción, hay demostraciones incompletas e inclusosecciones completas pendientes. Además, seguramente contienen una cantidad considerable de errores.Comentarios, correcciones y sugerencias son bienvenidas a la direccion de correo:

[email protected]

Mayo 2011, Unidad Cuernavaca, Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México. Versión preli-minar.

2 AUBIN ARROYO Y JOSÉ SEADE

1. DINÁMICA EN LA RECTA REAL

Un sistema dinámico definido en la recta real es una transformación f : R ! R, cuyo dominioy contradominio es el mismo conjunto de los números reales. Dado un punto cualquiera x, el valorde la imagen bajo f de dicho punto también pertenece al dominio de la transformación. De estaforma, podemos volver a aplicar la transformación f , ahora al punto f (x), y obtener el valor dela segunda iteración de f , en x, es decir, el punto: f ( f (x)) = f 2(x), de hecho, podemos volver aaplicar la función tantas veces como queramos. Si bien es importante saber exactamente cuál es elvalor de la función en cada punto, desde el punto de vista de los sistemas dinámicos, es muchomás importante determinar qué sucede con la sucesión de iterados x, f (x), f 2(x), f 3(x), . . ., si esfinita o no, si converge y dónde se acumula.El conjunto todas las funciones reales, de variable real, es un conjunto demasiado grande para

obtener resultados generales. A lo largo de esta sección consideraremos siempre funciones dife-renciables en todo punto de R. En particular, éstas serán también continuas en cualquier puntodel dominio.Dada una función f : R ! R y cualquier punto y " R, la órbita positiva del punto y es el

subconjunto de los números reales:

O+(y) := { f n(y) | n " N} # R.

El principal objeto de estudio de los sistemas dinámicos son las órbitas de los puntos y la primeraclasificación que podemos observar es de acuerdo a su cardinalidad: las podemos dividir entre lasórbitas finitas y las infinitas.

1.1. Puntos fijos. Las órbitas finitas las podemos clasificar en dos. Si un punto x es tal que f (x) =x, entonces x es un punto fijo. Si x es un punto fijo de x, la órbita de x consta de un único elemento.Por otro lado, si existe k " N tal que f k(x) = x y, además, f j(x) $= x, para cada 0 < j < k, entoncesx es un punto periódico de f y su periodo es precisamente k. Si x es un punto periódico de periodok " N entonces, la órbita de x consta exactamente de k elementos.En el caso en que la órbita positiva de un punto y sea infinita, podemos preguntarnos, además,

si la sucesión de iterados de y converge o no. En caso afirmativo podemos demostrar el siguienteteorema.

Teorema 1. Dada f : R ! R, una función contínua. Si la órbita positiva de y converge a un punto x,entonces x, el límite, es un punto fijo de f .

Demostración: Supongamos que lımn!! f n(y) = x. Entonces, como f es continua en todo punto,

f (x) = f!lımn!!

f n(y)"

= lımn!!

f ( f n(y)) = lımn!!

f n+1(y) = x,

y por lo tanto f (x) = x. !Si la transformación f es invertible, podemos definir idénticamente la órbita pasada o negativa de

x0 mediante las iteraciones de f%1.

O%f (x0) = { f%k(x0)|k " N}

SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS: UNA INTRODUCCIÓN 3

Sin embargo, no es necesario que la función sea invertible para estudiar su dinámica. Cuandof no es invertible, entonces f %1(x0) es un conjunto de puntos y cada punto en este conjunto es unpredecesor de x0. Si y " f%1(x0), obviamente f (y) = x. Así, órbita pasada o negativa de x0 consta detodas las posibles pre-imágenes de x0:

O%f (x0) =

#

k"N

f%k(x0)

En ambos casos, invertible o no, la órbita completa de x0 es la unión de su órbita futura y su órbitapasada:

O f (x0) = O+f (x0) &O%

f (x0)Es posible caracterizar los puntos fijos de una transformación contínua de acuerdo al compor-

tamiento de las órbitas vecinas a él.

Definición 1. Un punto fijo es atractor si existe ! > 0 tal que para todo y tal que |x% y| < ! se tiene quelımn!! f n(y) = x.

En palabras, un punto fijo x es atractor si la órbita de cualquier punto en alguna vecindad dex converge a él. Al intervalo B(x) más grande que contiene a x y que satisface que todo puntoy " B(x) converge a x se le llama intervalo de atracción de x.

Definición 2. Un punto fijo es repulsor si existe ! > 0 para todo punto y tal que |x % y| < ! existek " N tal que |x% f k(y)| > !.

No es difícil ver que si f es biyectiva entonces está bien definida la función inversa de f y deesta manera si x es un punto fijo atractor de f , sí y solo sí x es un punto fijo repulsor de f %1.Encontrar un punto fijo de una transformación particular y determinar si este es atractor o

repulsor nos brinda información sobre el sistema dinámico. Sin embargo, esta información es deíndole local, pues sólo afirma qué sucede con las órbitas suficientemente cercanas al punto fijo.Cuando f no es inyectiva, la órbita negativa es un conjunto un poco más complicado. De hecho,

aparecen otro tipo de puntos que no son periódicos, pero que su órbita futura es finita. A estospuntos se les conoce como pre-periódicos. Esto es, x es pre-periodico si existen n0 " 1 y k ", talesque f k( f n0(x)) = f n0(x). Un punto es pre-periódico cuando alguno de sus iterados es un puntoperiódico:

x0 ! x1 ! x2 ! · · · ! xk%1 ! x2.No es difícil demostrar que si f es biyectiva, entonces no hay puntos pre-periodicos.

1.2. Transformaciones lineales. Desde el punto de vista dinámico, las funciones continuas ybiyectivas de la recta real más sencillas de estudiar son las transformaciones lineales. Las trans-formaciones lineales son aquellas que respetan la estructura de espacio vectorial de los númerosreales, es decir: la suma y el producto escalar. De hecho, T : R ! R es lineal si satisface que:

T("x+ y) = "T(x) + T(y),

para todos x, y y " números reales. Dado que la recta real es un espacio vectorial de dimensión1, podemos afirmar que cualquier transformación lineal T es de la forma: T(x) = rx, para alguna


r " R. Salvo en el caso de que r = 0, T siempre es invertible. Además podemos obtener unpoco más de información: si T es lineal entonces tenemos que T(0) = T(0x) = 0T(x) = 0, paracualquier x " R, y podemos concluir que el orígen siempre es un punto fijo de T. Esto es: T(0) = 0.Determinar cuando el origen es un punto fijo atractor o repulsor depende del valor absoluto

de r. El siguiente teorema caracteriza por completo la dinámica de cualquier sistema dinámicodefinido por una transformación lineal en la recta real.

Teorema 2. Consideremos el sistema dinámico f : R ! R definido por una transformación lineal f (x) =r x, con r $= 0.

1. Si |r| $= 1 entonces, el 0 es el único punto fijo de f , además:i) si |r| < 1 , entonces 0 es un atractor, y la órbita de cualquier punto de R converge al punto

fijo.ii) si |r| > 1 , entonces 0 es un repulsor, y la órbita de cualquier punto x " R, con x $= 0,

diverge a ±!.2. Ahora bien, en el caso en que |r| = 1 tenemos que:

i) si r = 1, todos los puntos x " R son puntos fijos y ninguno es ni atractor ni repulsor.ii) si r = %1 , el 0 es un punto fijo, no es atractor ni repulsor, y cualquier punto x $= 0 es

periódico de periodo 2.

Demostración. Sabemos que el punto 0 es un punto fijo, porque f es lineal. Dado un punto inicialy0 $= 0. Denotemos su órbita futura por yn = f n(y0), con n " 1. Primero analicemos el caso en que|r| $= 1. Para saber cuál es la dinámica de la órbita de y0 calcularemos la norma de los iterados.

|y1| = |ry0| = |r| · |y0|,

|y2|=|ry1| = |r|2 · |y0|,...

|yn| = |r|n · |y0|.Como el valor de |y0| no depende de n, tenemos que si |r| < 1, la sucesión {yn} ! 0, cuando ntiende+!. Entonces la órbita de cualquier punto enR converge al punto fijo y este es un atractor.Por otro lado, si |r| > 1, la sucesión |yn| tiende a +!, cuando n tiende a +!. Entonces la órbita decualquier punto diferente de 0 diverge. No es difícil ver que dado cualquier # > 0, si |y0| < #, existek " N tal que |yk| > #, es decir, el punto fijo 0 es un repulsor. Esto termina con la demostracióndel inciso 1.La demostración del inciso 2 es más sencilla. Si r = 1, ya sabemos que todos los puntos son

puntos fijos y por esto, no es posible que ningún punto se aproxime o se aleje de otro. Ahora bien,si r = %1, ya sabemos que todos los puntos, salvo el 0 son periódicos de período 2, luego ningunose aleja o se acerca al 0. En ambas situaciones no hay puntos fijos atractores ni repulsores. !

1.2.1. Transformaciones afines. Dados r $= 0 y b $= 0 dos números reales, podemos definir unatransformación afín f (x) = rx+ b, que corresponde a componer una transformación lineal T(x) =rx, con una traslación S(x) = x+ b. De hecho, f = S ' T(x). Es claro que el origen no es punto fijo


de f . Sin embargo, podemos describir, de la misma manera que en el caso lineal, la dinámica decualquier sistema dinámico en la recta definido por una transformación afín, como veremos en elsiguiente Teorema.

Teorema 3. Consideremos el sistema dinámico determinado por la transformación afín f (x) = rx+ b, conr y b $= 0.

1. Si r $= 1, el punto punto fijo de f es a = b1%r , y tenemos que:

i) a es un atractor si |r| < 1 y la órbita de todos los puntos convergen a él.ii) a es un repulsor si |r| > 1 y la órbita de todos los puntos, exepto él mismo, divergen.

2. Si |r| = 1 tenemos dos situaciones:i) Si r = 1, no hay puntos fijos y todos los puntos divergen.ii) Si r = %1, el punto a no es atractor ni repulsor y el resto los puntos son periódicos de período

2.

Demostración. Para empezar, hay que verificar que si r $= 1, el punto a = b1%r es un punto fijo de

f (Ejercicio). Sea y0 " R y denotemos por yn = f n(y0), con n " 1 a los elementos de la órbitafutura de y0. Ahora bien si |r| $= 1, el punto fijo a es un atractor, o un repulsor, de acuerdo al valorabsoluto de r. Para demostrar esto, calculemos la diferencia |yn % a|, primero:

|y1 % a| = |ry0 + b% b1%r | = |ry0 +

b(1% r) % b1% r |

= |ry0 + %rb1%r | = |r| · |y0 +

%b1% r |

= |r| · |y0 % a|.

De manera inductiva podemos calcular el término general,

|yn % a| = |ryn%1 + b% b1%r | = |r| · |yn%1 % a|

= . . . = |r|n%1 · |y1 % a| = |r|n · |y0 % a|.

Ahora bien, la sucesión rn converge a 0 si r < 1 y diverge a +! si r > 1. De esta manera, sir < 1 entonces

lımn!!

|yn % a| = lımn!!

|r|n · |y0 % a| = 0,

para cualquier condición inicial y0, es decir yn %!n!!

a. Por lo tanto, la órbita de cualquier puntoconverge al punto fijo a y este es un punto fijo atractor. Por otro lado, si |r| > 1 tenemos que

|yn % a| = |r|n · |y0 % a| %!n!!+!,

sin importar la condición inicial y0, es decir |yn| ! !. Por lo tanto, la órbita de cualquier punto,excepto el punto fijo diverge, y el punto fijo es un repulsor. Esto demuestra el inciso 1).Veamos ahora el inciso 2. En el caso de que r = 1, dado que b $= 0, sabemos que no hay ningún

punto fijo y las órbitas son de la forma {y0 + nb}, para cualquier condición inicial y0. Por lo tantotodas las órbitas divergen. Ahora bien, si r = %1, el sistema dinámico es de la forma,

yn+1 = %yn + b.


FIGURA 1. La grafica, la tangente, el punto fijo

Por lo tanto,yn+2 = %yn+1 + b = %(%yn + b) + b = yn % b+ b = yn.

Asi que todos los puntos son periódicos de orden 2, con excepción del punto fijo a = b2 . Incluso,

cualquier órbita se mantiene a la misma distancia del punto fijo:$$$$yn+1 %

b2

$$$$ =$$$$(%yn + b) % b

2

$$$$

$$$$%yn +b2

$$$$ =$$$$yn %

b2

$$$$ .

Por lo tanto, a no es un atractor, ni un repulsor. !

1.3. Hiperbolicidad. Si suponemos además que la transformación f : R ! R, la que determinael sistema dinámico que estudiamos, es diferenciable en cualquier punto, podemos describir ladinámica local de sus puntos fijos, en el caso de que existan, de acuerdo al valor absoluto de laderivada evaluada en cada uno de ellos.Sabemos que si una función f : R ! R es diferenciable en algún punto x " R, entonces el valor

de la derivada de f , evaluada en el punto x, es decir f ((x), es el valor de la pendiente de la rectatangente a la gráfica de f , que pasa por el punto (x, f (x)).Supongamos que x0 " R es un punto fijo de f ; es decir f (x0) = x0. Localmente, es decir, para

alguna vecindad de puntos de x0, la gráfica de f y la gráfica de la recta tangente en (x0, f (x0)), sonmuy parecidas (vea la Figura 1.3). Por otro lado, la recta tangente a la grafica de f en (x0, f (x)) esla gráfica de una transformación afín

T(x) = f ((x0) x+ (1% f ((x0))x0,

que tiene a x como punto fijo (Ejercicio). De esta manera no es de extrañarse que el comportamien-to dinámico esté determinado por la pendiente de esta recta, es decir, el valor de | f ((x)|.El Teorema del Valor Medio nos será de gran ayuda para entender la dinámica local de los

puntos fijos, en términos de su derivada. Recordemos su enunciado:

Teorema del Valor Medio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [c, d] # R, que ademáses diferenciable en el intervalo abierto (c, d) y que la derivada en ese intervalo es una función contínua.Entonces existe un punto z0 " (c, d) tal que,

f ((z0) =f (d) % f (c)d% c .

El conjunto de funciones f : R ! R, que satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio, esdecir, las funciones diferenciables en cualquier punto y cuya derivada es una función contínua, sele conoce como las funciónes de clase C1.

Teorema 4. Si f :R!R de clase C1. Supongamos que a es un punto fijo de f , entonces:1. a es un atractor si | f ((a)| < 1;2. a es un repulsor si | f ((a)| > 1.


Demostración. Sea a un punto fijo de f , es decir f (a) = a. Supongamos primero que la derivada enel punto fijo esmenor que 1: | f ((a)| < 1. Como por hipótesis la derivada de f es contínua, existe unintervalo I alrededor del punto a donde la derivada en todo punto x " I es menor que 1. Incluso,si tomamos un número b < 1 y b > | f ((a)|, existe # > 0 tal que para todo x " J = (a % #, a +#) tenemos que | f ((x)| < b < 1. Bajo estas condiciones, probaremos que si tomamos cualquiercondición inicial en este intervalo, es decir, si y0 " J = (a % #, a + #), entonces, si denotamos laórbita positiva de y0 por yn = f n(y0), para n " 1, tenemos que:

lımn!!

yn = a.

Para esto, tenemos que verificar que si tomemos cualquier y0 " J, entonces, a cada iteración nosvamos aproximando al punto fijo a, es decir

|y0 % a| > |y1 % a| > · · · > |yk % a| > · · ·

Primero observemos qué sucede con la distancia de y1 a al punto fijo a. Como y1 = f (y0) tenemosque:

|y1 % a| = | f (y0)% a| = | f (y0) % f (a)|,pues a = f (a). Ahora podemos utilizar el Teorema del Valor Medio sustituyendo c = a y d = y0,que nos dice que existe un número x0 entre y0 y a, tal que

|y1 % a| = | f (y0) % f (a)| = | f ((x0)||y0 % a|.

Como x0 está entre y0 y a, entonces x0 también está en J, lo que nos dice que | f ((x0)| < b. Por lotanto,

|y1 % a| = | f ((x0)||y0 % a| < b|y0 % a|.Como y1 también pertenece a J, podemos repetir una vez más este procedimiento y obtener que

|y2 % a| < b|y1 % a| < b2|y0 % a|.

De hecho, por inducción, podemos obtener esta desigualdad para cualquier k " N:

|yk % a| < bk|y0 % a|.

Ahora bien, como b < 1, podemos concluir que

lımk!!

|yk % a| = 0.

Es decir, a es un punto fijo atractor.Ahora supongamos que | f ((a)| > 1. Otra vez, la hipótesis de que la derivada de f es contínua

nos permite afirmar que, dado un número b tal que 1 < b < | f ((a)| existe # > 0 tal que | f ((x)| > b,para cualquier punto x " J = (a% #, a+ #). Para mostrar que a es un punto fijo repulsor, debemosprobar que si tomamos cualquier condición inicial y0 " J, y0 $= a, existe un número k " N, tal queyk ya no pertenece al intervalo J. La idea fundamental es que la distancia entre dos puntos quepertenecen al intervalo J no puede ser arbitrariamente grande. Así que, si probamos que

|y0 % a| < |y1 % a| < · · · < |yk % a| < · · ·


es decir, los iterados se alejan más y más del punto fijo, así que en algún momento tendrá quesalirse de J. Nuevamente, primero demostraremos: |y1 % a| > |y0 % a|. Esta vez, el Teorema delValor Medio nos dice que existe cierto x0 " J tal que

|y1 % a| = | f (y0) % f (a)| = | f ((x0)||y0 % a|.

Pero en este caso sabemos que | f ((x0)| > b > 1 y por lo tanto,

|y1 % a| = | f ((x0)||y0 % a| > b|y0 % a|.

Como queremos probar que existe alguna k0 " N tal que y0 /" J, supongamos que esto no sucede,es decir, supongamos que yk " J, para toda k " N. De ser así, podemos repetir el procedimientoanterior y obtener

|yk+1 % a| > bk+1|y0 % a|para toda k. Sin embargo, como b > 1, la sucesión {bk} tiende a infinito cuando k tiende a infi-nito. Esto es es una contradicción pues el intervalo J es de longitud acotada 2#. Por lo tanto, paracualquier condición inicial y0 " J existe un k0 " N tal que yk /" J y luego, a es un punto fijorepulsor. !El Teorema 4 nos permite establecer la siguiente definición.

Definición 3. Sea f : R ! R una función de clase C1 y supongamos que a " R es un punto fijo de f .Decimos que a es un punto fijo hiperbólico si | f ((a)| $= 1.

Cuando un punto fijo a es tal que | f ((a)| = 1, se le denomina punto fijo indiferente. Observe quesi bien el Teorema 4 caracteriza la dinámica de los puntos fijos hiperbólicos, no nos brinda ningunainformación en el caso de que el punto fijo sea indiferente. En la sección 1.3.2 estudiaremos elcomportamiento local alrededor de estos puntos.

1.3.1. Órbitas periódicas. Una manera sencilla de estudiar una órbita periódica de periodo k " 1es considerarla como un punto fijo de el sistema dinámico determinado por g = f k. Así, podemosextender la definición de punto fijo hiperbólico para orbitas periódicas.

Definición 4. Un punto x, periódico de periodo k, de f , es hiperbólico si x es un punto fijo hiperbólico deg = f k.

Con esta definición, podemos extender el Teorema 4 de la siguiente manera:

Teorema 5. Si a es un punto periódico hiperbólico de periodo k, entonces:1. a es atractora si |( f k)((a)| < 1;2. es repulsora si |( f k)((a)| > 1.

Demostración. Basta aplicar la regla de la cadena, que garantiza que para cualquier x " R:

|( f k)((x)| = | f ((x)| · | f (( f (x))| · . . . · | f k(x)|,

y utilizar la conclusión del Teorema 4.

Ejemplo: Consideremos el sistema dinámico determinado por la función:

(1) f (x) = %x2 + x+ 2


FIGURA 2. Dibujo de la gráfica de f (x) = %x2 + x+ 2 y la identidad.

Este sistema dinámico tiene dos puntos fijos, uno en)2 y el otro en %

)2, que son repulsores,

debido a que la derivada es f ((x) = %2x+ 1. Las órbitas de período 2 son soluciones de la ecuaciónf 2(x) = x.

f 2(x) % x = f (%x2 + x+ 2) % x

= %(%x2 + x+ 2)2 + (%x2 + x+ 2) + 2% x

= x(%x3 + 2x2 + 2x% 4).

Así, tendremos un punto fijo para f 2 en x, si x es solución de

x(%x3 + 2x2 + 2x% 4) = 0

%x(x% 2)(x2 % 2) = 0.Esta ecuación tiene cuatro soluciones diferentes: {0, 2,

)2,%

)2}. Sin embargo, ±

)2 son los pun-

tos fijos de f , que también son fijos por f 2. Por otro lado, f (0) = 2 y f (2) = 0. Por lo tanto la órbita{0, 2} es la única órbita periódica de período 2 del sistema dinámico definido por f .¿Qué sucede con los puntos cercanos a este 2-ciclo? ¿se acercan o se alejan de él? ¿Qué significa

que el ciclo sea repulsor o atractor? Primero definamos qué significa una vecindad de radio # al-rededor de la órbita periódica, para algún número # > 0. Para esto, tomemos un punto periódicoa0 de período k y denotemos su órbita como O(a0) = {a0, a2, . . . ak%1}. Alrededor de cada ai con-sideramos un intervalo abierto de longitud 2#, centrado en ai, esto es (ai % #, ai + #). Entonces, lavecindad de radio # alrededor de la órbita periódica es la unión de dichos intervalos, esto es:

V(O(a0)) =k%1#

i=0(ai % #, ai + #).

Si # es un número pequeño, no es difícil ver que V(O(a0)) es una unión de k intervalos disjuntos.Asimismo,

V(O(a0)) = V(O(a1)) = . . . = V(O(ak%1))Ahora bien, ¿cómo podemos saber si la órbita períodica del sistema (1) es atractora o repulsora?

Usando el Teorema 5 podemos probar que tanto el 0 como el 2 son puntos fijos repulsores deg = f 2 = f ' f . De hecho, podemos calcular la derivada de g usando la regla de la cadena:

g((x) = f (( f (x)) · f ((x),

por lo tanto, g((0) = f ((2) · f ((0), y también g((2) = f ((0) · f ((2). Como f ((x) = %2x+ 1, entoncesf ((0) = 1 y f ((2) = %3 y luego

|g((0)| = |g((2)| = | f ((0)| · | f ((2)| = 3 > 1.

El Teorema 5 indica que, en efecto, el 0 y el 2 son puntos fijos repulsores para g.

1.3.2. Puntos fijos indiferentes. Supongamos que a es un punto fijo del sistema dinámico defini-do por una función diferenciable, f . Hemos visto ya que cuando este punto fijo es hiperbólico


FIGURA 3. FIGURA (1.2) La función x+ x2 ; f ((a) = 1, f (((a) > 0.

(| f ((a)| $= 1), podemos obtener información sobre la dinámica de los puntos vecinos a él: si esatractor, convergen; si es repulsor, se escapan de una vecindad. Sin embargo no podemos concluirnada si el valor absoluto de la derivada es 1. En esta sección estudiaremos qué clase de com-portamientos pueden existir alrededor de un punto fijo no hiperbólico. Debido a que la primeraderivada no nos brinda información, tendremos que recurrir a las derivadas de orden superior –ypara eso supondremos que ellas existen–, pues determinan el comportamiento monótono de lasórbitas vecinas. Cabe recalcar que, como la derivada es una aproximación local de la función, sólopodemos investigar el comportamiento de los puntos cercanos al punto fijo, y a eso nos referimoscuando decimos: a una vecindad del punto tal.

El caso en que f ((a) = 1. Consideremos un sistema dinámico definido por una función diferen-ciable f tal que a es un punto fijo de f , es decir f (a) = a y su derivada f ((a) = 1.Si " = {(x, y) " R2|y = f (x)} es la gráfica de f , entonces la ecuación de la recta tangente a " en

el punto a está dada pory% f (a) = f ((a)(x% a) = x% ay = x

es decir, la gráfica de f es tangente a la recta diagonal # = {(x, x)}. Recordemos ahora que lasegunda derivada de f mide la velocidad de cambio de la primera derivada, es decir, mide cómovaría la inclinación de la recta tangente a ". Hay tres posibilidades:

f (((a) > 0; f (((a) = 0; f (((a) < 0.

Si f (((a) > 0, significa que f ((x) es estrictamente creciente alrededor de a. En particular, 0 <

f ((x) < 1, para los valores de x a la izquierda de a (x < a) y f ((x) > 1, a la derecha de a (x > a).Es decir, si x está a la derecha de a, la pendiente de la recta tangente en x a la gráfica " es mayorque la pendiente de la recta diagonal #. Si x está a la izquierda de a, la tangente a " en x tienependiente menor que 1. Por lo tanto, la curva " es cóncava hacia arriba. Esto nos permite concluirque si x es cercano al punto a, tenemos que f (x) > x, y entonces f 2(x) > f (x) > x, etcétera; esdecir, la órbita del punto x, cercano a a es creciente; además, para los puntos x suficientementecercanos a a, la derivada de f es estrictamente mayor que 0. Ahora bien, si x < a, tenemos quex < f (x) < f (a) = a y también f 2(x) < f (a) = a. Por lo tanto, la sucesión { f k(x)} converge alpunto fijo a. Por otro lado, si x > a, tenemos que

a < f (x) < f 2(x) < · · ·

La órbita de x se aleja de a en cada iteración. En este caso decimos que el punto fijo atrae por laizquierda y repele por la derecha. A los puntos fijos que presentan este comportamiento también seles llama: semi-estables por la izquierda.Si f (((a) < 0, la derivada f ( es decreciente en a. Entonces, si x es un punto cercano a a, tal que

x < a, la derivada f ((x) > 1, y si x > a entonces f ((x) < 1. Esto es, la curva " es cóncava haciaabajo. Por lo tanto, para cualquier x cercano a a tenemos que f (x) < x, es decir, la órbita de x es


FIGURA 4. Figura La función x% x2 ; f ((a) = 1 , f (((a)

FIGURA 5. Figura 1.14. x+ x3 , f ((a) = 1 , f (((a) = 0 , f ((((a) > 0 .

FIGURA 6. Figura 1.15. 0 es un atractor débil de x% x3.

una sucesión estrictamente decreciente:

x > f (x) > f2(x) > f 3(x) > . . .

Por lo tanto, si x < a, los puntos se alejan de a, es decir que a repele por la izquierda, mientras quesi x > a , entonces los iterados de x convergen a a, es decir que a atrae por la derecha. Por lo tanto,en esta situación el punto fijo atrae por la derecha y repele por la izquierda. También se dice que a esun punto fijo semi-estable por la derecha.Si f (((a) = 0, entonces a es un punto donde la curva " cambia de concavidad. Supongamos que

f ((((0) $= 0, entonces hay dos posibilidades:

f ((((0) > 0 ó f ((((0) < 0.

Si f ((((0) > 0, entonces f (( es creciente en a. Como f (((a) = 0, entonces el valor de f (( es negativoantes de a y positivo después de a.Para x < a, esto implica que f ((x) es decreciente, por lo tanto menor que 1 . Asi que la curva es

cóncava hacia abajo. Luego,a > x > f (x) > f 2(x) > . . .

por lo tanto a repele por la izquierda. Si x > a, entonces f (((x) es positiva, así que f es creciente ypor lo tanto mayor que 1.Entonces, la gráfica " es cóncava hacia arriba en x > a. Luego,

a < x < f (x) < f2(x) < . . .

y por lo tanto, a también repele por la derecha. En esta situación decimos que a es un repulsor débil.Observe la gráfica de la función f (x) = x+ x3 en la figura 1.3.2, que tiene un punto fijo en 0,

con f ((x) = 1, f (((0) = 0 y f ((((0) = 6, por lo tanto, un repulsor débil.Si f ((((0) < 0, entonces f (( tiene el comportamiento opuesto: toma valores positivos antes de a

y después valores negativos. Por tanto " es una gráfica cóncava hacia abajo, antes del punto fijo yes cóncava hacia arriba después de a. Por lo tanto Si x < a entonces,

x < f (x) < f2(x) < . . . < a

y la sucesión converge a a. Así que a atrae por la izquierda. Y si x > a, entonces

x > f (x) > f2(x) > . . . > a

y la suceción converge a a de ambos lados. En esta situación tenemos un atractor débil, como enla figura 1.15 1.3.2.Podemos resumir toda la discusión anterior en el siguiente Teorema.


Teorema 6. Sea f una función de clase C3 y sea a un punto fijo de f tal que f ((a) = 1.

1. Si f (((a) > 0, entonces a atrae por la izquierda y repele por la derecha (semi-estable por la izquierda).2. Si f (((a) < 0, entonces a atrae por la derecha y repele por la izquierda (semi-estable por la derecha).3. Si f (((a) = 0 y f ((((a) < 0, entonces a es atractor débil.4. Si f (((a) = 0 y f ((((a) > 0, entonces a es repulsor débil.

Ejemplo (7.2). Para cada valor de r " N, consideremos el sistema dinámico definido por la fun-ción:

f (x) = x+ xr.Esta función tiene un único punto fijo: 0. La derivada de f es

f ((x) = 1+ rxr%1.

Así, si r = 1 entonces f ((0) = 2 y por lo tanto 0 es un repulsor hiperbólico ( f ((0) > 1). Por otrolado, ya no es más hiperbólico si r > 1; de hecho f ((0) = 1.Consideremos entonces la segunda derivada de f ,

f (((x) = r(r% 1) · xr%2.

Si r = 2 entonces f (((0) = 2 > 0 y entonces, el Teorema anterior implica que el 0 atrae por laizquierda y repele por la derecha. Sin embargo si r > 2 la segunda derivada se anula ( f (((0) = 0),y no nos brinda más información. Calculemos le tercera derivada de f :

f ((((x) = r(r% 1)(r% 2) · xr%3.

Si r = 3, entonces f ((((x) = 6 > 0 y por lo tanto el 0 es un repulsor débil, como muestra la figura1.3.2 (1.14).Todavía nos podemos preguntar que sucede cuando r > 3, situación en la que tenemos f ((((0) =

0, y el teorema anterior no nos dice nada.En este caso continuamos el análisis como antes: utilizar las derivadas para determinar si la

curva es cóncava hacia abajo o hacia arriba, de cada lado del punto fijo. Supongamos r = 4, asíque f iv(0) = 24. Esto quiere decir que f ((( es creciente en 0, cambia de negativa a positiva al pasarpor 0. Si tomamos x < 0, tenemos que f (((x) < 0, entonces f ( es decreciente; luego f ((x) > 1 yla gráfica es cóncava hacia arriba, a la izquierda del punto fijo 0. Esto significa que la órbita de unpunto a la izquierda del 0, suficientemente cercano, es una sucesión creciente, acotada por el 0.Por lo tanto, 0 es un atractor por la izquierda. Ahora bien, si x > 0, entonces f (((x) es positiva. Porlo tanto f ((x) es creciente, así que la órbita de x es una sucesión creciente no acotada:

0 < x < f (x) < f2(x) < . . .

entonces 0 es un repulsor por la derecha. En resumen 0 atrae por la izquierda y repele por laderecha, o bien, es un punto fijo semi-estable por la izquierda.Si r = 5, tenemos que f (0) = 0 , f ((0) = 1 , f ((0) = f (((0) = f ((((0) = f iv(0) = 0, f v(0) =

120. Tomemos un punto x% < 0, cercano al 0. Como f v(x%) > 0, sabemos que la función f iv

es creciente, para valores negativos. Puesto que f iv(0) = 0, entonces f iv(x%) < 0, pues f iv es


FIGURA 7. Figura 1.16. La telaraña de la función x4% 2x3 + 3x% 1.: Se muestra unrepulsor débil.

creciente. Esto implica que la función f ((( es decreciente. Análogamente, f ((((x%) > 0, pues tieneque decrecer para alcanzar el valor 0 en 0. Una vez más, f ((((x%) > 0 implica que f (( es una funcióncreciente y entonces f (((x%) < 0. Finalmente concluimos que, f ( es una función decreciente y porlo tanto que f ((x%) > 1, pues f ((0) = 1. Podemos concluir entonces que la gráfica de f es cóncavahacia abajo, del lado izquierdo del 0; y por lo tanto el 0 repele por la izquierda.De la misma manera podemos concluir que la gráfica de f es cóncava hacia arriba, para valores

positivos. De hecho, si x+ > 0, cercano a 0, tenemos que f iv(x+) > 0, por lo tanto f ((((x+) escreciente. Luego f ((((x+) > 0 y por tanto f (( también es creciente. Esto implica que f ((x+) > 1.Esto quiere decir que 0 repele también por la derecha. Así, se trata de un repulsor débil.Repitiendo estos argumentos obtenemos que cuando r es par, el punto fijo atrae por la izquierda

y repele por la derecha (semi-estable por la izquierda); y cuando r es impar, el punto fijo es unrepulsor débil. De hecho, obtenemos la prueba para el siguiente teorema.

Teorema 7. Sea a un punto fijo del sistema dinámico definido por una función f , tal que f ((a) = 1,f (((a) = . . . = f (r%1)(a) = 0, y f (r)(a) $= 0, para r > 1.1. Si f (r)(a) > 0 y r es par, entonces a es semi-estable por la izquierda.2. Si f (r)(a) > 0 y r es impar, entonces a es repulsor.3. Si f (r)(a) < 0 y r es par, entonces a es semi-estable por la derecha.4. Si f (r)(a) < 0 y r es impar, entonces a es atractor.

El caso en que f ((a) = %1. Supongamos nuevamente que a es un punto fijo de f , pero esta vezf ((a) = %1. La observación clave para analizar esta situación es que si consideramos g = f ' f =f 2, la regla de la cadena nos informa que

g((a) = f (( f (a)) f ((a) = ( f ((a))2 = (%1)2 = 1

y así, podemos aplicar el Teorema 7 a la función g.

Lema 1. El sistema dinámico definido por g = f2 satisface las siguientes propiedades:1. Cada punto fijo de f es también punto fijo de g.2. g((a) = 1, g(((a) = 0 y g((((a) = %2 f ((((a) % 3[ f (((a)]2.3. Si a atractor para g, entonces a es atractor para f ; si a es repulsor para g entonces a es repulsor paraf .

Antes de demostrar este Lema, estudiemos un ejemplo.Ejemplo: Consideremos el sistema dinámico generado por la función f (x) = %x% x2. Entonces

g(x) = f ( f (x)) = x+ x2 % (x2 + x4 + 2x3) = %x4 % 2x3 + x.

Por lo tanto,g((x) = %4x3 % 6x2 + 1,


FIGURA 8. FIGURA 1.17 Telaraña de %x% x2. En la 1era gráfica se muestran los prime-ros 10 iterados del punto x = %,8. La 2a gráfica muestra las iteraciones 0 a 200, se vecomo convergen al punto fijo.

así que g((0) = 1. También,g(((x) = %12x2 % 12x,

así que g(((0) = 0. En esta situación, podemos aplicar el Teorema 7: Calculemos g(((:

g((((x) = %24x% 12,

por lo tanto g((((0) = %12 < 0, y entonces 0 es un atractor débil de f .Demostración del Lema 1 La propiedad 1 es inmediata de la definición de g, si f (a) = a entonces

g(a) = f 2(a) = f ( f (a)) = f (a) = a.

La propiedad 2 es también inmediata; la regla de la cadena permite expresar las derivadas de g entérminos de las derivadas de f , así tenemos que,

g((x) = ( f ' f )((x) = f (( f (x)) · f ((x),

y por lo tanto, g((a) = f ((a) · f ((a) = 1, que es la primera parte de la propiedad 2. También,

g(((x) = f (( f (x)) · f (((x) + f ((( f (x)) · f ((x) · f ((x)

así que,g(((a) = f ((a) · f (((a) + ( f ((a))2 · f (((a) = % f (((a) + f (((a) = 0,

pues f ((a) = %1. Para calcular g((((a) observe que

g((((x) = f (((( f (x)) · [ f ((x)]3 + 2 f ((( f (x)) · f (((x) · f ((x) +

+ f ((( f (x)) · f (((x) · f ((x) + f (( f (x)) · f ((((x).

Por lo tanto, ya que f (a) = a y f ((a) = %1,

g((((a) = f ((((a)( f ((a))3 + 3 f ((a)( f (((a))2 + f ((a) · f ((((a) =

= %2 f ((((a) % 3[ f (((a)]2.

Con esto queda demostrada la propiedad 2.Para probar la propiedad 3 supongamos primero que el punto fijo a es un atractor para g. Sea I

un intervalo de atracción de a, para g, es decir, la órbita bajo g de cualquier punto en I convergeal punto a. Entonces, si x " I entonces la sucesión de iterados gn(x) = f 2n(x) converge a a,cuando n tiende a +!. Por otro lado f (a) = a " I y dado que la función f es continua, si xestá suficientemente cerca de a, entonces, f (x) " I. Entonces, la sucesión gn( f (x)) = f 2n+1(x)converge al punto a, cuando n tiende a +! y por lo tanto f n(x) converge a a, para todo punto enI; es decir, a es un atractor para f .Supongamos ahora que a es repulsor de g, entonces dada ! > 0, tal que si 0 < |x % a| < !,

entonces existe algún iterado n " N tal que |gn(x) % a| > !. Esto obviamente implica que a es unrepulsor de f , pues gn(x) = f 2n(x). !


FIGURA 9. La FIGURAS 18.a y 18.b abajo muestran el sistema dinámico correspon-diente a la función f (x) = %x+ 2x2, en una vecindad del 0, que es un punto fijocon derivada %1. Vemos como el 0 es un atractor, pero atrae muy débilmente. Enla primera figura se muestran los primeros 20 iterados del valor inicial x0 = ,1,mientras que la figura 19 muestra los primeros 200 iterados de ese punto. Figura1.18.a. Telaraña de función: %x+ 2x2 cerca del punto fijo atractor 0. Figura 1.18.b.Los primeros 200 puntos en la órbita que inicia en el punto ,01.

El Lema 1 nos implica el siguiente teorema, que resume el estudio de la dinámica alrededor deun punto fijo con derivada %1.

Teorema 8. Sea a un punto fijo de f tal que f ((a) = %1 y sea g(x) = f2(x), entonces

(2) g((((a) = %2 f ((((a) % 3[ f (((a)]2.

Si este número es negativo, a es un atractor, si este número es positivo, a es un repulsor.

Al número en (2) se le conoce como el wronskiano.Observamos que si g((((a) es 0, entonces necesitamos usar la cuarta derivada, giv(a). Si esta es

negativa, entonces a es semi-estable por la derecha; si giv es positiva, entonces a es semi-establepor la izquierda. Si giv(a) es 0, hay que ir a la 5a derivada, etc., y seguir utilizando el teorema 7.

1.4. El método de Newton. Un problema fundamental de las matemáticas es el de encontrar lasraíces o ceros de un polinomio cualquiera, lo que significa determinar los valores de x para loscuales se cumple la ecuación

p(x) = anxn + an%1xn%1 + · · · + a1x+ a0 = 0

Si el polinomio es lineal p(x) = ax + b esto es muy sencillo, x = % ba . También si el polinomio

es cuadrático, pues conocemos de sobra la fórmula general para resolver ecuaciones de segundogrado. Sin embargo, para polinomios de grado mayor que 2, no existe una fórmula general. Mu-chos matemáticos han abordado este problema desde diferentes puntos de vista. Isaac Newton esuno de ellos y él diseñó un método dinámico que, si bien no indica exactamente cuales son lasraíces de un polinomio dado, sí nos indica, a partir de una aproximación burda, como mejorarlaarbitrariamente.Para empezar, pensemos que las raíces de un polinomio quedan determinadas por la intersec-

ción de la gráfica de p, esto es {(x, y)|y = p(x)}, con el eje x {(x, y)|y = 0}. (ver Figure 1.4). Dehecho, el método de Newton es válido en un contexto más general pues encuentra las raíces o losceros, no sólo de polinomios, sino de cualquier función f :R!R, diferenciable.Dado que la función es contínua, podemos afirmar lo siguiente: Si tenemos dos puntos a < b

donde f (a) < 0 y f (b) > 0, existe entonces un punto c, tal que a < c < b y tal que f (c) = 0. Estose debe a que la imagen del intervalo (a, b) contiene al 0. Es decir, 0 " f ((a, b)). Podemos pensarque cualquier punto z0 en el intervalo (a, b) es una burda aproximación de la raíz en c.Para obtener unamejor aproximación, el método deNewton nos invita a trazar la recta tangente

a la gráfica de f en el punto (z0, f (z0)). La ecuación de esta recta en dicho punto es:

y% f (z0) = f ((z0)(x% z0).


x yz

FIGURA 10. Las gráfica de una función y sus intersecciones con el eje {y = 0}.

FIGURA 11. newton2.eps: dibujo del método de Newton NOIMG

Supongamos que z0 es tal que f ((z0) $= 0, entonces podemos encontrar el punto de intersecciónde esta recta con el eje x, y esta ocurre donde y = 0, así que está dada por la ecuación lineal:

x = x0 %f (x0)f ((x0)

.

Llamamos z1 a este valor de x .Repetimos el proceso obteniendo una sucesión

z2 = z1 %f (z1)f ((z1)

,

...

zn+1 = zn %f (zn)f ((zn)

.

Para poder repetir una y otra vez este procedimiento es fundamental que en ningún z i nos encon-tremos que f ((zi) = 0, pues no podríamos encontrar el siguiente zi+1. De hecho, en esta situación,la recta que pasa por el punto (zi, f (zi)) y es tangente a la gráfica de la función no intersecta aleje x, ya que ambas son paralelas. Sin embargo, si nos topamos con que f ((zi) = 0, simplementerepetimos el proceso tomando ahora un nuevo valor inicial z0, cercano a zi, donde la derivada nosea cero.Ahora bien, podemos demostrar que la sucesión {zi} converge a una raíz de f . Para esto, defi-

nimos una nueva función g:

g(x) = x% f (x)f ((x)

Nos interesa esta función debido a que: a es un punto fijo de g si y sólo si

a = g(a) = a% f (a)f ((a) .

Obviamente, para escribir la ecuación anterior, es necesario saber que f ((a) $= 0. De esta manera,todos los puntos fijos de g son raíces de la función f y viceversa, siempre y cuando su derivada nosea cero. En otras palabras, las raíces de f son puntos de equilibrio del sistema dinámico definido


FIGURA 12. Las fosas de atraccion, en C, de los puntos fijos del método de Newton.

por g:

yn+1 = yn %f (yn)f ((yn)

.

Cabe notar que la derivada de g la podemos calcular con la siguiente fórmula:

g((x) = 1%%f ((x) f ((x) % f (x) f (((x)

( f ((x))2

&

=

%f (x) f (((x)( f ((x))2

&

Por lo tanto, todas las raices de f son puntos fijos atractores de este sistema dinámico, de acuerdocon el Teorema 4, ya que si f (z) = 0 y f ((z) $= 0, entonces g((z) = 0 < 1.Con toda esta discusión, hemos demostrado el siguiente Teorema, el cual nos garantiza que el

método de Newton efectivamente converge a una raíz de la función.

Teorema 9. Sea f (x) diferenciable y z una raíz de f tal que f((z) $= 0, entonces z es un punto fijo atractordel sistema dinámico

T(y) = y% f (y)f ((y) .

EJEMPLOS: [Posiblemente dos ejemplos: encontrar una raíz cubica de 5 (incluye dibujo) y alguna raízde f (x) = %x3 + 2x2 + 5x + 6. Podría, en el segundo ejemplo hablarse de las diferentes fosas deatracción. El texto orig está en el arch. El método de Newton(2).doc]Observamos que las raíces de la ecuación que obtenemos por este proceso son, en general,

aproximadas: a mayor número de iteraciones del proceso, mejor es la aproximación.Sabemos que un polinomio p(x) puede tener várias raices diferentes, dependiendo del grado

de p(x). Acabamos de ver que cada raíz de p(x) es un atractor del método de Newton definidopor p(x). La fosa inmediata de atracción, la fosa total. ¿Cómo se distribuyen? Ver figura 1.4.

2. DINÁMICA TOPOLÓGICA

La estructura topológica de un conjunto, es decir, la noción subconjuntos abiertos y cerrados,es una estructura que permite definir funciones continuas en espacios más generales que la RectaReal y nos permite extender el estudio de sistemas dinámicos a otros conjuntos. Por otra parte,podemos construir la estructura topológica de un conjunto a partir de una noción adecuada dedistancia entre sus puntos. Además, esta noción de distancia también nos permitirá determinarcuándo una sucesión de puntos converge o no.En esta sección recordaremos algunas definiciones y propiedades de los espacios métricos que

nos serán útiles en el estudio de los sistemas dinámicos discretos.

2.1. Espacios métricos. Recordemos la definición de convergencia de una sucesión de númerosreales: la sucesión {xn " R|n " N} converge al punto z " R si y solo si, para cualquier ! > 0existe un número N " N de manera que si n " N entonces la distancia entre el punto xn de lasucesión y el candidato a punto límite z, es menor que #, es decir:

d(xn, z) = |xn % z| < #.


Indudablemente, esta definición se puede extender a cualquier conjunto de puntos donde estébien definida una noción de distancia entre sus puntos.Dado un conjunto arbitrario M de puntos, una función distancia satisface la siguiente defini-

ción:

Definición 5. Una función que asigna a cualquier pareja de puntos de M un número real no negativo,es decir, una función d : M * M ! R+ & {0}, es una función distancia si satisface las siguientes trespropiedades:

1. d(x, x) = 0, para todo x " M,2. d(x, y) = d(y, x), para todos x y y " M (simetría),3. d(x, y) # d(x, z) + d(z, y), para todos x, y, z " M (la desigualdad del triángulo).

A la pareja (M, d) formada por un conjunto de puntos M con una función distancia d la llamaremos espaciométrico.

En el caso de los números reales, la distancia esta definida por el valor absoluto de su diferencia.Así, la pareja (R, | · |) es un espacio métrico.

Ejemplo: En el plano R2, la función d : R2* R2 ! R+, definida por la fórmula:

(3) d(x, y) :='

(x1 % y1)2 + (x2 % y2)2,

donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2), satisface las propiedades de una función distancia.Sorprendentemente, hay una función distancia (trivial) que hace de cualquier conjunto un es-

pacio métrico. Esta distancia trivial está definida de la siguiente manera: d(x, y) = 1 si x $= y, yd(x, x) = 0, para cualquier x " X. Sin embargo, para esta función distancia las únicas sucesionesconvergentes son las eventualmente constantes.

2.1.1. Estructura topológica. Asi como generalizamos la noción de convergencia en R a los espa-cios métricos, también podemos extender la noción de continuidad de una función. Dados dosespacios métricos (M, dM) y (N, dN), decimos que una función f : M ! N es contínua en x " Msi para todo ! > 0 existe $ > 0 tal que si dM(x, y) < $ entonces dN( f (x), f (y)) < !. Y decimos quef es contínua si es continua en cualquier punto x " M.Por otro lado, en cualquier espacio métrico (M, d), podemos definir dos familias de subcon-

juntos de M: los subconjuntos abiertos y los subconjuntos cerrados de M. Los conjuntos abiertosgeneralizan la noción de vecindad, sin necesidad de calcular la distancia entre los puntos explici-tamente.Un subconjunto U # M es un subconjunto abierto si para cada x " U existe # > 0 talque la bola

de radio # con centro en x está contenida en U, esto es

B#(x) = {y " M | d(x, y) < #} # U.

Una vecindad de un punto z es cualquier subconjunto abierto U tal que z " U.Por otro lado, los complementos de los subconjuntos abiertos también son importantes y por

eso llevan un nombre aparte: Un subconjunto A # M es cerrado si su complemento M! A es unsubconjunto abierto.


La estructura topológica de un espacio métrico (M, d) está dada por la familia de subconjuntosabiertos de M. Además, podemos enunciar la continuidad de una función sólo en términos de lossubconjuntos abiertos.

Teorema 10. Dados dos espacios métricos (M, d) y (N, r), una función f : M ! N es contínua si y sólosi para cualquier subconjunto abierto U # N se tiene que f%1(U) # M es un subconjunto abierto de M.

Ejercicio: Demuestre el Teorema 10.

La noción de convergencia también se puede enunciar en términos de abiertos. Una sucesión{xn} # M tal que xn converge a x si para cualquier abierto U tal que x " U existe un númeroN " N de manera que xn " U, para toda n " N.

Ejercicio: Con esta definición de convergencia demuestre que si f es continua, cualquier sucesión {xn} #M tal que xn converge a x, entonces la sucesión { f (xn)} # N converge a f (x).

2.2. Equivalencias entre espacios métricos. Desde el punto de vista de la topología, la nociónde equivalencia entre dos espacios métricos es la noción de homeomorfismo.Dos espacios métricos (M, dM) y (N, dN) son homeomorfos si existe una función biyectiva h :

(M, dM)! (N, dN) tal que h es continua y también h%1. Cualquier función h : (M, dM)! (N, dN)biyectiva, continua y con inversa continua es un homeomorfismo.Si h es un homeomorfismo podemos afirmar que cualquier subconjunto V # M es un abierto

de M, si y solo si h(V) es abierto en N; pues basta aplicar la definición de continuidad de h y deh%1. Un homeomorfismo es una correspondencia biunívoca entre los puntos deM y los puntos deN, y también una correspondencia entre los subconjuntos abiertos de ambos espacios.Ahora bien, desde el punto de vista de la métrica, la noción de equivalencia es la isometría.Una función h : (M, dM)! (N, dN) es una isometría si para cualquiera dos puntos x, y " M se

verifica que:dM(x, y) = dN(h(x), h(y)).

Ejercicio: Demuestre que si una función sobreyectiva h : (M, dM)! (N, dN) es una isometría, entonces esbiyectiva y además es un homeomorfismo

De cualquier manera, la clase de homeomorfismos es mucho más grande que la de las isome-trías, pues por ejemplo, cualquier par de intervalos I = (a, b) y J = (c, d) son homeomorfos y soloserán isométricos si |a% b| = |c% d|.

2.3. Otras propiedades topológicas. En esta sección revisaremos algunas propiedades topológi-cas que nos serán de gran utilidad para describir los comportamientos dinámicos que nos intere-san.La conexidad de un subconjunto de un espacio métrico (M, d) es una propiedad topológica y

refleja lo que intuitivamente corresponde a la situación en la que el subconjunto consta de una solapieza. Para definir formalmente esta noción es muchomás fácil determinar cuándo un subconjuntoes disconexo. Un subconjunto A # M es disconexo si existen dos abiertos U y V, disjuntos, esto es,U + V = $, de manera que la unión de ambos cubren al subconjunto A. En fórmulas: A # U &V


y además, cada uno de los abiertos intersecta al conjunto: A+U $= $ y A+V $= $. La negativa deesta propiedad determina a los conjuntos conexos. Un subconjunto es conexo si no es disconexo.Cualquier intervalo (a, b) # R con a < b es conexo.

Ejercicio: Demuestre que el subconjunto de los números racionales es disconexo en R.

Un subconjunto A # M es totalmente disconexo si para cualesquiera dos puntos diferentes x yy " A existen dos abiertos U y V # M, disjuntos U +V = $, y de modo que x " U, y " V y queA # U &V.Un subconjunto A de los números reales R es totalmente disconexo si no contiene ningún sub-

intervalo: esto es, para cualquier a, b " R, con a < b, el intervalo (a, b) + (R ! A) $= $.

Ejercicio: Demuestre que el subconjunto de los números racionales es totalmente disconexo en R.

Dado un subconjunto A # M, un punto x " M es un punto de acumulación de A si existeuna sucesión infinita {an " A} tal que an ! x cuando n ! +!. Un punto a " A es un puntoaislado de A si existe un abierto V # M tal que V + A = a. Decimos, además, que A # M es unsubconjunto perfecto si todos los puntos de A son puntos de acumulación de A.

Ejercicio: Si A # m es un subconjunto perfecto, entonces A no tiene puntos aislados.

A partir de un conjunto cualquiera A, podemos construir la cerradura del conjunto A, que deno-taremos por A, como el conjunto de todos los puntos en M que podemos obtener como límite dealguna sucesión convergente de elementos de A. Otra manera equivalente de definir la cerradurade A es como el cerradomás chico que contiene a A. Observe que si A es cerrado, entonces A = A.La cerradura del conjunto {(x, y) # R2|x2 + y2 < 1}, con la métrica definida en (3), es precisa-

mente el disco de radio 1:{(x, y) # R2|x2 + y2 # 1}.

Un subconjunto A # M es denso en M si la cerradura de A es todo M. Dicho de otra manera,para cualquier elemento x " M existe una sucesión {an} # A que converge a x. Los númerosracionales forman un subconjunto denso de R. Para observar esto basta recordar el hecho de queentre dos números reales cualesquiera x < y, siempre existe un número racional r entre ellos, esdecir x < r < y. Así, dado un número real r cualquiera, siempre podemos encontrar una sucesiónde números racionales {qn " Q} que converge a r. El conjunto de los números irracionales tambiénes denso en R.

Ejercicio: Dados x1, . . . , xk " R, para alguna k " N. Demuestre que el conjunto R ! {x1, . . . , xn}, paraes un subconjunto abierto y denso en R.

Una propiedad topológica un poco más abstracta es la compacidad. Un subconjunto A # Mes compacto si toda cubierta abierta de A tiene una subcubierta finita que también lo cubre. Esdecir, si A es compacto y tenemos colección de subconjuntos abiertos deM, digamos {U"| " " A},donde A es cualquier subconjunto de índices, tal que A # (

""AU", entonces podemos afirmar


FIGURA 13. Figura 2.4 El " y el % límites.

con seguridad que existen un número finito k " N y "1, "2, . . . , "k " A, tales que verifican que:

A # U"1 &U"2 & · · · &U"k

Una consecuencia de la compacidad es la siguiente: Si un subconjunto A # M es compacto,entonces cualquier sucesión de puntos de A contiene una subsuseción convergente.

Ejercicio: Demuestre esta última afirmación, esto es, si A # M es compacto y xn " A, para n " N,entonces existen nj " N y un punto z " A tales que lımj!! xnj = z.

Si A # R es un subconjunto cerrado y acotado, es decir, A = A y además existe M " R tal quepara todo a " A se cumple que |a| # M, entonces A es un subconjunto compacto de R.

2.4. Dinámica topológica. Sea M = (M, d) un espacio métrico compacto y f : M ! M unafunción contínua. Dado un punto cualquiera x " M, ahora si podemos estudiar el conjunto endónde se acumula la órbita positiva de x: el %%límite de x (se lee, el omega límite de x. Para definireste conjunto necesitamos combinar algunas de las nociones topológicas que recordamos en lasección anterior.

Definición 6. Dado un punto x " M, el %%limite es el conjunto:

%(x) = {y " M|,kj " N tal que lımj!+!

f kj(x) = y}

Este conjunto consiste de todos los puntos en el espacio y " M tales que la órbita de x visitainfinitas veces cualquier vecindad de y. De manera más precisa, y " %(x) si existe una sucesióncreciente y no acotada de números enteros positivos k j " N de modo que f kj(x) converge a y,cuando j tiende a +!.

Proposición 1. Si f :M!M es una transformación continua y M es un espacio compacto, entonces paracualquier x " M el conjunto %(x) es no vacío.

Demostración. Dado queM es compacto, la órbita de x siempre tiene una subsucesión convergente.Si y es límite de esta subsucesión, entonces y " %(x). !

De la misma manera podemos definir el conjunto donde la órbita negativa de un punto seacumula. A este conjunto se le denomina el "-límite de x0 y se define de manera muy semejante al%-límite:

"(x0) = {y " M| ,{kj " N} y ykj " f%kj(x0) tales que ykj ! y cuando j! +!}.

De hecho, si f es biyectiva entonces

"(x0) = {y " M|,ykj " f%kj(x0) tal que lımj!+!

ykj = y},

y de hecho, " f (x) = % f%1(x), donde % f%1(p) es el %-límite de p con respecto a la transforma-ción f%1. Sin embargo, cuando no lo es, hay que tener un poco de cuidado pues f %1(x) es unsubconjunto y no un único punto.


A la unión del " y del %%límite de un punto se le conoce simplemente como el conjunto límitede x0: L(x0) = "(x0) & %(x0), y está formado por el origen, así como el destino de x0. De hecho, lasletras alfa y omega corresponden a la primera y a la última letra del alfabeto griego, respectivamen-te.Finalmente, al conjunto:

L( f ) =#

x"M"(x) & %(x)

se le conoce como el conjunto límite de f . En particular, M es compacto, entonces el conjunto límitede f es no vacío: L( f ) $= $.

Ejercicio: Demuestre que si f : R ! R es continua, entonces, para cualquier punto x " R, el conjunto%(x) es no vacío, ó bien f k(x) ! ! cuando k ! +!. Nota: si bien ! /" R, esta afirmación justificaescribir que %(x) = {!}.

Bajo la hipótesis de que la transformación f es invertible podemos obtener más propiedades,como en la siguiente proposición

Proposición 2. Supongamos que f :M!M es un homeomorfismo, entonces:1. si q está en la órbita de p, esto es, existe n " Z tal que fn(q) = p, entonces %(p) = %(q) y

"(p) = "(q),2. Si p es una órbita periódica, entonces %(p) = "(p) = O(p).

Ejercicio: Demuestre la Proposición 2.

2.4.1. Conjuntos invariantes. En determinadas ocasiones, es posible que exista alguna región delespacio de la cual las órbitas no se escapen; tanto para el pasado como para el futuro. De ser así,podemos enfocarnos a estudiar dichas regiones. Un subconjunto A # M es un conjunto invariantede f si

f%1(A) = A.Observe que si A es un conjunto invariante, entonces f (A) # A. Así, podemos restringir f a un

conjunto invariante para estudiar su dinámica.Por ejemplo, si la función f es biyectiva y p es un punto periódico de período k, el conjunto A =

{p, f (p), . . . , f k%1(p)} es un conjunto invariante y f |A actúa como una permutación en {0, . . . , k}.

Proposición 3. Si f es invertible, el conjunto %(p) es un subconjunto cerrado e invariante por f , esto es:

f (%(p)) = %(p) = f%1(%(p)),

análogamente, esto es verdad para "(p).

Ejercicio: Demuestre la Proposición 3.

Un conjunto invariante A # M es un atractor si existe una vecindad de él, esto es, un conjuntoabierto U tal que A # U de manera que para todo punto p " U %(p) = A; todos los puntosvecinos de A son atraídos hacia a A. Es posible que A conste únicamente de un punto; en ese caso


generalizamos la definición de punto fijo atractor que dimos en el caso de los números reales parapuntos fijos. Cuando A consta de un número finito de puntos, no es difícil verificar que se trata deuna unión de órbitas periódicas.

2.5. Conjugación topológica. Ya que nuestra tarea es clasificar los sistemas dinámicos discretos,debemos tener a la mano un criterio que nos permita establecer cuándo dos sistemas son equi-valentes. Dicho criterio nos debe permitir concluir que dos sistemas equivalentes comparten suspropiedades más importantes: como la existencia de puntos fijos o de puntos periódicos de de-terminado periodo; así como también la cualidad de ser atractores o repulsores. Por otro lado,también debe respetar la estructura del espacio donde están definidos. Como siempre en matemá-ticas, este criterio lo obtenemos a partir de una relación de equivalencia.

Definición 7. Sean M y N dos espacios métricos. Decimos que f :M!M es topológicamente conjugadoa g :N!N si existe un homeomorfismo h :M!N tal que

(4) f = h%1 ' g ' h

Al homeomorfismo h se le llama una conjugación.

No es difícil verificar que ésta relación es una relación de equivalencia. Para facilitar la lec-tura, nos referiremos a dos sistemas dinámicos topológicamente conjugados simplemente comoconjugados. La palabra «topológicamente» se refiere a que requerimos que la conjugación sea unhomeomorfismo. Por otro lado, podemos interpretar la conjugación entre dos sistemas dinámicoscomo un cambio de coordenadas que intercambia las órbitas de f por órbitas de g, preservandolas noción de pasado y futuro. De hecho, observe que si f y g son topológicamente conjugados yx " M, entonces:

h(O+f (x)) = O+

g (h(x))y lo mismo para las órbitas negativas.Si tomamos dos puntos diferentes: p y q " M y suponemos además que f : M ! M es un

homeomorfismo podemos afirmar lo siguiente: Si O(p) + O(q) $= $, entonces existe k " Z talque f k(p) = q y por lo tanto O(p) = O(p). Esto es, las órbitas nos determinan una particióndel conjunto M. Al conjunto de clases de esta partición, es decir, al conjunto de órbitas de f , se ledenomina el retrato fase de f .La siguiente proposición nos describe el comportamiento del retratro fase de un homeomorfis-

mo bajo una conjugacion topológica.

Proposición 4. Si f : M ! M y g : N ! N son dos sistemas dinámicos conjugados y si h denota laconjugación entre ellos entonces son verdaderas las siguientes afirmaciones:

1. h ' f k = gk ' h para toda k " Z,2. si y = h(x), entonces h(O f (x)) = Og(y)),3. h(%(x)) = %(h(x)) y h("(x)) = "(h(x)).

Demostración. Observe que la primera propiedad es consecuencia directa de la condición (4). Lademostración de la segunda y tercera propiedad la dejamos como ejercicio para el lector. !


De la proposición anterior podemos concluir algunas cosas. El inciso 2, nos indica que unaconjugación nos determina una correspondencia biunívoca entre las órbitas de f y las órbitasde g; esto es entre el retrato fase de f y el retrato fase de g. Además, si p " M es un puntofijo de f entonces h(p) " N es un punto fijo de g. Análogamente, h también nos determina unacorrespondencia entre los puntos periódicos de f y los de g. Por su parte, el inciso 3 establece unacorrespondencia entre el " y el %-límite de cada órbita.

Ejemplo: Las funciones lineales f y g : R ! R determinadas por

f (x) =12x y g(x) =

13x,

son topológicamente conjugadas.

Para demostrar esta afirmación tenemos que encontrar un homeomorfismo deR en R que con-jugue a f y a g. Para esto, definimos primero homeomorfismo h : [1/2, 1] ! [1/3, 1] por h(x) =43x%

13 . Observamos que 1/2 = f (1) y 1/3 = g(1), así que esta función esta enviando el intervalo

[ f (1), 1] en el intervalo [g(1), 1]. Podemos también definir h(0) = 0, y h : [%1,%1/2] ! [%1,%1/3]por h(x) = 4

3x+ 13 .

Es claro que h es un homeomorfismo. Ahora extendemos h a un homeomorfismo de todo R dela siguiente forma:Observamos que tanto f como g son ambas contracciones. Así, para cualquier x " R ! {0},

existe un primer entero k (que puede ser negativo) tal que f n(x) pertenece al intervalo [1/2, 1];si x es positiva, o al intervalo [%1,%1/2] si x es negativa. Definimos entonces h(x) = g%kh f k(x).Dejamos como ejercicio demostrar que h, definido de esta manera, es una conjugación topológicaentre f y g.

Ejercicio: Demuestre que, dados 0 < &, ' < 1, entonces f (x) = &x y g(x) = 'x son topológicamenteconjugadas.

2.5.1. La tienda y una cuadrática. Veamos otro ejemplo de dos sistemas dinámicos conjugados.Para esto denotemos por Q4 y T, dos transformaciones continuas, definidas en el intervalo I =[0, 1] de la siguiente manera:

Q4(x) = 4x(1% x)

T(x) =

)2x si x " [0, 1/2),2(1% x) si x " [1/2, 1]

La función T es conocida como la función tienda, por la forma de su gráfica. Q4 es un miembro deuna familia de sistemas dinámicos llamada la familia logística: Qµ(x) = µx(1% x) y que visitare-mos más adelante. Para no complicarnos con la notación, olvidémonos del subíndice de Q, por unmomento.

Proposición 5. La función h(x) = 12(1% cos((x)) es una conjugación entre T y Q.

Demostración. Para verificar que h conjuga T y Q basta probar que

(5) h ' T(x) = Q ' h(x)


La cuadrática La tiendaFigura 2.5.1 La aplicación cuadrática y la tienda, son conjugadas.

para todo x " [0, 1]. Supongamos que x " [0, 1/2]; el otro caso lo dejamos como ejercicio. Calcule-mos la parte derecha de la igualdad 5:

Q ' h(x) = 4h(x)(1% h(x))

= 4*

(1% cos((x))2

+ *(1+ cos((x))

2

+

= 1% cos2((x) = sen2((x).

Ahora la parte izquierda:

h ' T(x) =1% cos((T(x))

2

=1% cos(2(x)

2 = sin2((x).

utilizando la fórmula de cos(2x). Por lo tanto, h ' T(x) = Q ' h(x), si x " [0, 1/2]. !

3. ESPACIOS MÉTRICOS UNIDIMENSIONALES

A lo largo de esta introducción a los sistemas dinámicos tres espacios métricos compactos par-ticulares serán relevantes: El intervalo cerrado I = [0, 1] # R, el círculo unitario y el conjunto deCantor. Como veremos, todos ellos son subespacios del plano euclidiano. En esta sección primeroconstruiremos el círculo y le daremos una estructura de grupo, que nos permitirá sumar elemen-tos de él. Por otra parte construiremos el conjunto de Cantor, primero de una manera abstracta ydespués encontraremos una copia homeomorfa contenida en el intervalo.

3.1. El círculo. En el plano euclidiano R2, el círculo con centro en (x0, y0) y radio r > 0 es ellugar geométrico de los puntos (x, y) " R2 que satisfacen la ecuación:

(x% x0)2 + (y% y0)2 = r

es decir, los puntos que distan exactamente r del centro.A partir de las propiedades algebraicas deR podemos construir el círculo de otra manera. Para

esto, es necesario establecer una relación de equivalencia entre los números reales:

(6) x - y sí y sólo sí x% y " Z.

De hecho, comoZ es un subgrupo deR, el grupo cociente:R/Z = {[x] |x " R} está bien definido.Este grupo corresponde al conjunto de todas las clases de equivalencia de la relación (6). Para cadax " R, la clase de x es un subconjunto deR que contiene todos los números y " R tales que y - x,


esto es:[x] = {x+ n | n " Z}.

Ejercicio: Demuestre que - es una relación de equivalencia; y por lo tanto, induce la partición enel conjunto R cuyas elementos son R/Z.

Por otro lado, la operación de suma de números reales define una operación en R/Z de lasiguiente manera:

[x] + [y] = [x+ y] y % [x] = [%x].De hecho, observe que [x] + (%[x]) = [x % x] = [0]. Al conjunto R/Z con esta operación se leconoce como el grupo cociente de R módulo Z.Para comprobar que, efectivamente, el grupo cociente R/Z corresponde al círculo euclidiano,

en términos de la topología, es necesario describir un homeomorfismo entre ambos conjuntos.Para esto, primero observemos que la función % :R!R2, definida por

(7) %(x) = (cos(2(x), sen(2(x)),

tiene como imagen, precisamente al conjunto

S1 := {(x, y)|x2 + y2 = 1}

Dado quecos(2(x)2 + sen(2(x)2 = 1,

para cualquier valor x " R. Por otro lado, si dos números reales x y y están relacionados, entoncessu imagen es la misma: %(x) = %(y). De hecho, si x% y " Z, esto quiere decir que x = y+ m,para algún m " Z y por lo tanto

cos(2(x) = cos(2((x+m)) = cos(2(y);

sen(2(x) = sen(2((x+m)) = sen(2(y).En otras palabras, la función %(·) le asigna a cada número real su correspondiente clase de

equivalencia en R/Z; es decir, %(x) = [x] para cada x " R.Por otro lado, cada clase de equivalencia tiene un único representante en el intervalo [0, 1], salvo

la clase [0] = [1], pues % : [0, 1) ! S1 es biyectiva. De esta manera podemos identificar a cadapunto del cociente R/Z con cada uno de los puntos del intervalo cerrado [0, 1], con la excepciónde los extremos, que corresponden a un sólo punto.

3.1.1. Una distancia en el círculo. Para considerar el círculo unitario como un espacio métrico de-bemos dotarlo de una función distancia. En efecto, el círculo S1 # R2 hereda una función distanciade la distancia estándar en R2:

d([x], [y]) := dR2(%([x]),%([y]))

Por otro lado, el círculo también hereda una distancia de R, vía la proyección.

d([x], [y]) = mın{dR(x+ n, y+m)| n,m " Z}.


%1 1 2

Figura 3.1 La recta real se enreda en el círculo, mediante la aplicación E.

Ejercicio: Compruebe que d es una función distancia y que las dos distancias d y d inducen los mismossubconjuntos abiertos de S1.

Ejercicio: Dado cualquier número real positivo $ > 0, el conjunto $Z = {$n|n " Z} es un subgrupo deR. Demuestre que (R/$Z, d) es un espacio métrico compacto y es isométrico a un círculo de perímetro $.

3.2. El conjunto de Cantor. Un ejemplo de un espacio métrico que, en principio, no es un sub-conjunto de los números reales (aunque más tarde encontremos un subconjunto homeomorfo aél) contenido en el intervalo [0, 1]; es el conjunto que describiremos en esta sección. Uno de loscreadores de la Teoría de los Conjuntos, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918),fue el primero en describir este conjunto y por eso, lleva su nombre: El conjunto de Cantor.Para describir al conjunto de Cantor es necesario determinar un conjunto de puntos y una fun-

ción distancia entre ellos. Para definir el conjunto de puntos, basta con nombrar a cada uno desus elementos. La manera que utilizaremos, por su parte, nos brindará, más tarde, su localizacióndentro del conjunto.Consideremos el alfabeto más simple de todos; el alfabeto que consiste de dos letras, 0 y 1 . Una

palabra, escrita con este alfabeto, es una concatenación de estas letras, digamos:

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 . . .

Una palabra finita, o más precisamente una de longitud n, escrita con este alfabeto, digamosx1x2 · · · xn, la podemos identificar con un elemento del producto cartesiano de n copias del con-junto {0, 1}. Específicamente:

x1x2 · · · xn = x ! (x1, x2, . . . , xn%1, xn) " {0, 1}n .


donde xj " {0, 1}, para toda j. De la misma manera, una palabra de longitud infinita la podemosescribir mediante una sucesión infinita de letras xj " {0, 1}, esto es:

x = (x1, x2, . . . , xn%1, xn, xn+1, . . .)

o bien como un punto x " {0, 1}N .El conjunto de Cantor & es precisamente el conjunto de palabras infinitas escritas en el alfabeto

{0, 1}; es decir, & := {0, 1}N .Otra manera, aunque un poco más elaborada de describir un punto en {0, 1}N es a través de

una función cualquiera ) : N ! {0, 1}, de hecho, al punto

(x1, x2, . . . , xn%1, xn, xn+1, . . .)

le corresponde la función )(n) = xn, para cada n " N; y viceversa, a la función ) le correspondeel punto:

()(1), )(2), . . . , )(n% 1), )(n), )(n+ 1), . . .).

Proposición 6. El conjunto & no es numerable.

Demostración. Para convencernos de que se trata de un conjunto no numerable, utilizaremos elargumento conocido como la diagonal de Cantor: Primero supongamos, por el contrario, que & esnumerable. Entonces podemos escribir en una lista todos los elementos de &:

x1 = (x11, x12, x13, x14, x15, x16, . . .)

x2 = (x21, x22, x23, x24, x25, x26, . . .)

x3 = (x31, x32, x33, x34, x35, x36, . . .)...

xn = (xn1 , xn2 , xn3 , xn4 , xn5 , xn6 , . . .)...

Sorprendentemente, esta lista está incompleta. No importa de qué manera hayamos acomodadolos elementos de & en la lista, podemos exhibir un elemento de &, el cual no aparece. Para estotenemos que escoger y = (y1, y2, . . . , yn) con cuidado. Tomemos el primer elemento de la lista: x1.Si x11 = 0 entonces tomamos y1 = 1. Si, en cambio x11 = 1 entonces colocamos y1 = 0. Es decir,escogemos y1 diferente del primer término del primer elemento de la lista. Repetimos este procesode acuerdo con el segundo término del segundo elemento de la lista, esto es, escogemos y 2 tal quey2 $= x22; y así sucesivamente. No hay duda que de esta manera, el punto y está bien definido yes un elemento de &. Sin embargo, podemos afirmar que y j $= xjj, para toda j " N; y por lo tantoy $= xj, para toda j " N. Por lo tanto, & es no numerable. !

Ahora definamos una función distancia, en el conjunto &, de manera que (&, d) se convierta enun espacio métrico. Dados cualesquiera dos elementos x y y de &, la distancia entre ellos está dada


por la fórmula:

d(x, y) =!

'j=0

13j

$$xj % yj$$.

Ejercicio: Verifique que esta función cumple las tres propiedades que definen una distancia.

Para hacernos una idea de cómo es esta distancia, podemos caracterizar a la bola de radio(1/3)k, alrededor de un punto cualquiera x:

B3%k(x) = {y = (yj)|yj = xj, para j = 1, . . . , k}.

Esto es, el conjunto de puntos en & que coinciden en los primeros k términos con x.

3.2.1. Un retrato del conjunto de Cantor. Hay muchas maneras de representar a los números delintervalo [0, 1], una de ellas es mediante su expansión en potencias de 3. Cualquier número r "[0, 1] lo podemos escribir de acuerdo a la siguiente fórmula:

(8) r =!

'm=0

xm3m ; donde xm " {0, 1, 2}

De manera usual denotamos esta sumatoria como r = .x1x2x3 · · · xn · · · , en la cual, cada dígitoxm " {0, 1, 2}. Esta expresión es más común utilizando las potencias de 10 y la conocemos comoexpansión decimal de r. A pesar de ser muy útil, esta descripción presenta algunas ambigüedades,por ejemplo:

23 = 0,200000 . . . = 0,1222222 . . .

Sin embargo, nos permite establecer un homeomorfismo con el Conjunto de Cantor, definido an-teriormente.

Ejercicio: Demuestre que los puntos que presentan doble expansión ternaria son los números dela forma p/3k, con p < 3k y k " N.

Denotemos por K # [0, 1], el conjunto de números en el intervalo definido a partir de la siguien-te propiedad: r " K si y solamente si el dígito "1"no está presente en su expansión ternaria, estoes,

K =

)!

'j=0

xj3j

" [0, 1]$$xj $= 1, .j

,

Observe que si nos restringimos a K no tenemos ningún problema con las etiquetas dobles. Deesta manera, podemos definir una función invertible

h :&!K

h( (xj) ) =+!

'j=1

(2 · xj)3j

Donde x = (xj)j"N.

Proposición 7. La función h es continua e invertible, y su inversa h%1 también es continua. Entonces(&, d) y (K, | |) son dos espacios métricos homeomorfos.


Demostración. Para demostrar esta proposición, basta aplicar la definición de continuidad a partirde sucesiones convergentes. !

Para tener un retrato del conjunto deCantor, leamos, paso a paso, la definición del conjuntoK: Elintervalo [0, 1] lo podemos dividir en tres intervalos, utilizando los puntos 13 y

23 . Sean I0 = [0, 13 ],

I1 = [ 13 ,23 ] y I2 = [ 23 , 1]. Salvo los extremos de cada intervalo I1 podemos afirmar que si x " I1

entoncesx = ,1 x2 x3 x4 . . .

Esto nos permite aproximar al conjunto K. De hecho K # K1 = I0 & I2. Dicho con otras palabras,K1 = [0, 1] ! ( 13 ,

23).

Ahora, cada uno de estos dos intervalos lo podemos dividir en tres, a partir de los puntos de laforma p

9 , con 1 # p # 8:I0 = I00 & I01 & I02I2 = I20 & I21 & I22

Donde si x " I01 & I21 efectivamente se cumple que

x = .x1 1 x3 x4 . . .

y x1 $= 1. El conjunto K2 = I00 & I02 & I20 & I22 es una mejor aproximación al conjunto K. De hecho,K # K2. Si a cada intervalo de K1 lo dividimos en tres y retiramos los tercios del medio obtenemosK2.Repitiendo sucesivamente este procedimiento, para cada natural n, Kn es una unión de 2n in-

tervalos, limitados por los números de la forma p3n , con 1 # p # 3n % 1. Finalmente, el conjunto de

cantor es la intersección de los conjuntos Kn:

K =-

n"N

Kn

Esta construcción nos permite observar que cada punto, en su nombre, lleva escrita su dirección.En el intervalo de la derecha o el de la izquierda; en el primer nivel, según x1 y así, sucesivamente.

3.2.2. Propiedades topológicas del Conjunto de Cantor. En dos proposiciones resumiremos dos pro-piedades topologicas del conjunto de Cantor.

Proposición 8. El conjunto de cantor es un conjunto perfecto.

Demostración. Para mostrar que & no tiene puntos aislados, basta verificar que cualquier x " & espunto de acumulación de alguna sucesión xj " &, yn $= x para toda n " N. Sea x = (x1, x2, x3, . . .).Defina y1 = (x1, 0, 0, . . .); y2 = (x1, x2, 0, 0, . . .). En general, el enésimo término de la sucesión:

yn = (x1, . . . , xn, 0, 0, . . .)

Observe que yn converge a x, cuando n tiende a +!. Salvo cuando x tiene una cola infinita deceros, podemos garantizar que yn $= x, para toda n " N. En ese caso, no es difícil imaginar cuál esla sucesión de puntos de & que converge x. !

Proposición 9. El conjunto de Cantor es totalmente disconexo.


......

I0 I1 I2

13

23

K1

K2

K3

K =(n Kn

I00 I02 I20 I22

Figura 3.2.1. Construcción del conjunto de Cantor, paso a paso.

Demostración. Debemos mostrar que para cualesquiera dos puntos x y y en & Podemos encontrardos conjuntos abiertos U y V, ajenos U +V = $, tales que x " U, y " V y & # U & V. Sean x y ydos puntos arbitrarios de &. Si x $= y, entonces $ = d(x, y) > 0. Considere U = {}... Use el ordende [0, 1] !

En general, dado cualquier alfabeto finito, {0, 1, . . . , n% 1} podemos definir el conjunto de Can-tor en n símbolos mediante {0, 1, . . . , n% 1}N. Se trata de un espacio métrico con una métrica se-mejante a la que acabamos de construir para &2. Todos son homeomorfos. Si bien esta afirmaciónnecesita un poco más de trabajo, solo esbozaremos la idea principal. Un homeomorfismo entre &n

y &2 lo podemos pensar como una traducción entre las palabras con n símbolos y las escritas consólo dos letras.El producto cartesiano de conjuntos de cantor: &2* &2 lo podemos identificar con el espacio de

sucesiones doblemente infinitas, esto es x " &2 * &2; entonces:

x = (. . . , x%j, x%j+1, . . . x%1, x0, x1, . . . , xn, . . . xn+1, . . .)

Esto es &2 * &2 = {0, 1}Z . Para este conjunto podemos definir una función distancia que lo con-vierta en un espacio métrico. No es de sorprenderse que también es homeomorfo a & 2. De hecho,cualquier conjunto compacto, perfecto y totalmente disconexo es homeomorfo a &2.

4. EL CÍRCULO Y SUS HOMEOMORFISMOS

En esta sección estudiaremos los sistemas dinámicos invertibles definidos en el círculo. Utiliza-remos la estructura de grupo, en particular, la proyección % que definimos en (7), de la secciónanterior, para definir adecuadamente funciones cuyo dominio y contradominio sean el círculounitario. Por otra parte, construiremos el número de rotación, un número que se asocia a cada


S1

"R"

Figura 4.1 La rotación de ángulo ".

homeomorfismo del círculo de manera que nos permite clasificarlos. Y finalmente estudiaremosel Teorema de Denjoy.

4.1. La familia de rotaciones. Para definir la rotación del círculo por un determinado ángulo noes necesario alejarnos demasiado de nuestra intuición; al final, un ángulo es un punto ["] en elcírculo. De esta manera, rotar por un ángulo ["] corresponde con la transformación R tal que:

[x] R/%! [x] + ["]

Claro está que debemos observar que la suma de puntos en el círculo está bien definida; de hecho,R/Z tiene una estructura de grupo aditivo que hereda de R. Así, [x] + ["] = [x + "]. Y está biendefinida, pues si y " [x] debería suceder que [y + "] = [x + "]. De hecho, estas últimas son lamisma clase siempre que y+ " % (x+ ") " Z, cosa que sucede pues x - y.En resumen, para cada ["] " S1 podemos definir R["], la rotación por el ángulo ["], de la siguien-

te manera:R["] : S1 ! S1

R["]([x]) = [x+ "]

Proposición 10. Dado cualquier ["] " S1, la función R["] : S1 ! S1 es una función biyectiva, R%1["] =

R[%"], R[0] = Id, y es una isometría.

Demostración. Para verificar que es inyectiva, supón que R["]([x]) = R["]([y]). Entonces [x+ "] =[y + "]. Por lo tanto x % y " Z, es decir [x] = [y]. Ahora bien, R["] ' R[%"]([x]) = [x % " + "] =R[0]([x]) = [x], y análogamente para la composición en el orden inverso. Finalmente, para verificarque se trata de una isometría, basta notar que, para cualesquiera [x], [y] " S1 se cumple:

d(R["]([x]),R["]([y])) = d([x+ "], [y+ "]) = d([x], [y])

!

En el universo de las rotaciones del círculo hay dos escenarios diferentes: cuando el ángulo dela rotación es racional y cuando no lo es. Un punto ["] " S1 es racional si " = p

q , con p, q " Z. Dehecho, si " " R es racional, todos los elementos x " ["] son de la forma y = p

q + n, con n " Z. Por


lo tanto ["] # Q. Análogamente, ["] " S1 es irracional si " " R es irracional. El siguiente teoremacaracteriza las rotaciones de ángulo racional.

Teorema 11. Sea R["] una rotación. ["] es racional sí y sólo sí existe [x] " S1 tal que Rq["]([x]) = [x] paraalgún q " N. En este caso: cualquier [y] " S1 es un punto periódico de periodo q de Rq["].

Demostración. Supongamos que existe [x] " S1 tal que Rq"([x]) = [x] para algún q " N. Esto quieredecir que [Rq"(x)] = [x], entonces x + q" = x + m, para algún m " Z, despejando " obtenemosque " = m

q . Utilizando el algoritmo de la división, sabemos que m = nq+ p para algún n " Z y0 # p < q. Por lo tanto " = n+ p

q - pq . Por otro lado, sea " = p

q , con p y q " Z primos entre si y[x] " S1 cualquier punto. Basta probar que Rqp/q([x]) = [x]. Primero observe que

Rnp/q([x]) = {x+ n pq |n " Z}

Así, no es difícil verificar que Rqp/q([x]) = [x], esto es: x+ q pq = x+ p. !

Cuando " es irracional el panorama cambia radicalmente. Para empezar: la órbita de cualquierpunto es infinita. De hecho si la órbita de [x] es finita implica que [x] es un punto periódico de R ["]y por lo que acabamos de demostrar eso no es posible pues ["] tendría que ser racional.De hecho, en el caso de las rotaciones irracionales del círculo, nos permite describir una propie-

dad dinámica un poco más fuerte: la minimalidad.

Definición 8. Un sistema dinámico f : M ! M es minimal si no existe ningún subconjunto propio deM, que sea cerrado e invariante por f .

Proposición 11. Si M es un espacio métrico cualquiera, un sistema dinámico f : M ! M es minimal sila órbita de cualquier punto x " M es dens; es decir Of (x) = M, o equivalentemente %(x) = S1.

Demostración. . . . !

Teorema 12. Si ["] es irracional entonces la rotación R["] es minimal.

Demostración. Para simplificar la notación escribamos R = R["]. Debemos mostrar que la órbita decualquier punto [x] " S1 es densa en S1. Sea [x] " S1 arbitrario y denotemos por E = ¯O([x]), lacerradura de su órbita. Si E $= S1, entonces existe al menos un intervalo I # S1 % E. De hecho, si[z] /" E existe un abierto V # S1 tal que [z] " V y V +O([x]) = $; y todo abierto V que contienea [z] contiene un intervalo I 0 [z]. Consideremos, entonces J # S1 % E el intervalo más largocontenido en el complemento de la cerradura de la órbita de [x]; si hay dos o más intervalos másgrandes, elegimos cualquiera de ellos. El intervalo J tiene la siguiente propiedad Rn(J) + J = $ sin $= 0. De hecho, sea n $= 0, si Rn(J) y J se traslapan, o bien coinciden Rn(J) = J, o Rn(J) & J esun intervalo. El segundo caso es imposible, pues |Rn(J) & J| > |J| y J era el intervalo más grandecontenido en S1 % E. El primer caso también implica una contradicción, pues si J = ([z], [z]),entonces Rn([z]) = [z], y en consecuencia: z+ n" = z+ m, para algúna m " Z. Por lo tanto " =mn " Q. Con esto demostramos que los intervalos Rn(J) # S1 son disjuntos dos a dos. Ahora bien,


la rotación R es una isometría y por eso todos los intervalos tienen la misma longitud: |Rn(J)| = |J|para toda n " Z. De esta manera:

$$$$$#

n"Z

Rn(J)

$$$$$ =!

'n=%!

|Rn(J)| = !.

Sin embargo, la longitud total del círculo es finita. Por lo tanto, no puede existir ningún intervaloen el complemento de la cerradura de la órbita; es decir E = O([x]) = S1. !

Podemos resumir nuestro estudio sobre las rotaciones del círculo en el siguiente Teorema.

Teorema 13. Si R : S1 ! S1 es una rotación de ángulo ["], entonces:1. Si ["] es racional, entonces todas las órbitas de R son periódicas y del mismo periódo;2. Si ["] es irracional, la órbita de cualquier punto es densa en S1.

4.2. Homeomorfismos del círculo. Para estudiar un sistema dinámico en el circulo más generalque una rotación, debemos aprender a definir funciones en el círculo. A partir de una funciónF : R ! R, podemos definir una transformación invertible f : S1 ! S1, via % : R ! S1, siempreque F satisfaga algunas condiciones. La manera natural sería:

[x] f/%! [F(x)]

Para que esta función tenga sentido, es necesario comprobar que no depende del representante dela clase que utilizamos para definirla: i.e. F(x) - F(y) siempre que x - y. Si F es una función quesatisface:

(9) F(x+ 1) = F(x) + d, .x " R,

para alguna d " Z, entonces la función f (x) = [F(x)] está bien definida (ejercicio). Una función Fque satisface (9) la llamaremos función periódica de periodo d.

Ejercicio: La función F(x) = b sin(2(x) + x es una función periódica, para cualquer b " [0, 1].

Si F es una función monótona y periódica de periodo 1, la función que induce es una funcióninyectiva f : S1 ! S1, pues F es inyectiva. De hecho, si [F(x)] = [F(y)], entonces existe n " Z talque: F(y) = F(x) + n = F(x+ 1) + n% 1 = F(x+ n) y por lo tanto y = x+ n; es decir [x] = [y].Observeque F%1 induce a f%1. Si además F es contínua, entonces f = % ' F es continua y lo mismopara f%1.Podemos resumir el párrafo anterior en la siguiente proposición:

Proposición 12. Si F : R ! R es contínua, monótona y periódica de periodo 1, entonces F induce unhomeomorfismo f : S1 ! S1.

Cabe observar que funciones reales de variable real monótonas hay de dos tipos: crecientes ydecrecientes. En lo que respecta a nuestro análisis, sólo nos interesan las funciónes del círculoinducidas por funciones crecientes. A esta cualidad se le conoce también como preservar la orienta-ción. Las funciones decrecientes y continuas, por su parte, siempre tienen un punto fijo.

Ejercicio: Demuestre que una función f : R ! R, continua y decreciente, siempre tiene un punto fijo.


4.2.1. El número de rotación. En adelante, cuando mencionemos un homeomorfismo del círculo,nos referiremos precisamente a una función inducida por una función creciente; es decir, a loshomeomorfismos que preservan orientación.Si F induce una función del círculo, entonces F(x) = F(x) + n, también es continua, creciente y

periódica de periodo 1; por lo tanto, también induce una función del círculo f . De hecho, inducenexactamente el mismo homeomorfismo: f 1 f . Si F induce a f , a cada una de las funciones {Fn =F(x) + n}, con n " Z la llamaremos un levantamieto de f .

Ejercicio 1. Sea F : R ! R monótona y contínua tal que F(x+ 1) = x+ d, con d " N. Entonces, Finduce una función contínua f : S1 ! S1 de grado d; esto es, # f%1([x]) = d, para todo [x] " S1.

A cada homeomorfismo del círculo le podemos asociar un número (de hecho una clase de nú-merios enR/Z, que de alguna manera mide cuánto rota, en promedio, el homeomorfismo f . Estaes una construcción que debemos a Henry Poincaré, allende los años de 1900.

Teorema 14. Sea f : S1 ! S1 un homeomorfismo y F un levantamiento de f , entonces:1. *(F) = lımn!!

Fn(x)n existe y no depende de x.

2. Si F y F son levantamientos de f entonces *(F) % *(F) " Z.

El teorema anterior nos indica que a partir dado un homeomorfismo f , del círculo, a cada le-vantamiento F de f le podemos asociar el número *(F) y que, por otra parte, si F y F son doslevantamientos del mismo homeomorfismo, entonces *(F) y *( F) determinan el mismo punto delcírculo. Así, a cada f le podemos asociar lo que se conoce bajo el nombre de el número de rotaciónde f como *( f ) = [*(F)] " S1, para algún levantamiento F de f .

Definición 9. Si f es un homeomorfismo del círculo, el número de rotación de f es un punto en el círculo:*( f ) = [*(F)], definido por cualquier levantamiento de f .

El Teorema 14, además de ser fundamental por su contenido, su demostración nos permiteentender bastante a los sistemas dinámicos del círculo.

Demostración del Teorema 14. Primero demostraremos que el límite no dependede x: Considera dospuntos x, y " [0, 1). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que x < y. Como F(x+ 1) =F(x) + 1, para todo x " R, entonces:

$$$$Fn(x) % Fn(x+ 1)

n

$$$$ =1n %!n!!

0.

Dado que F es un homeomorfismo, si y " (x, 1) # (x, x+ 1), entonces

Fn(y) " (Fn(x), f n(x+ 1)) = (Fn(x), Fn(x) + 1).

Por lo tanto: $$$$Fn(x) % Fn(y)

n

$$$$ #$$$$Fn(x) % Fn(x+ 1)

n

$$$$ =1n ! 0

Es decir, el número de rotación no depende de x.Para demostrar la existencia consideraremos dos casos: si existe una órbita periódica o no. Su-

pongamos que existe x " R tal que Fn(x) = x+ a, para alguna a " N. Es decir [x] es un punto


periodico de periodo n. Podemos escribir cualquier k " N, como: k = mn+ r, con m, r " N y0 # r < n. Entonces:

(10) Fk(x)k =

Fmn+r(x)mn+ r =

Fr(x+ma)mn+ r ! a

n " Q,

y por lo tanto * existe (y es un número racional, dato que utilizaremos más adelante).Supongamos ahora que no existe una órbita periodica. Esta afirmación se puede escribir de

la siguiente manera: Para cualquier n " Z y para cualquier x " R sucede que Fn(x) % x /" Z;de lo contrario, existiria una órbita periodica. Como F es contínua, y por lo tanto Fn también, elteorema del valor intermedio nos permite afirmar que, para cada n " N existe kn " Z tal queFn(x) % x " (kn, kn + 1); esto es:

(11) kn < Fn(x) % x < kn + 1, .x " R.

Como ya demostramos que el número de rotación no depende de x, basta probar que existeel límite para algún número: digamos 0 " R. Dado m " N, considera los siguientes númerosreales: 0, Fn(0), F2n(0), . . . , F(m%1)n(0). Aplicando la desigualdad (11) en cada uno de estos puntosy sumándolas obtenemos, dado que el término central es una suma telescópica:

mkn < Fn(F(m%1)n(0)) % F(m%1)n(0) + F(m%1)n(0) % · · · + Fn(0) % 0 < n(kn + 1).

Dividiendo todo por nm obtenemos que:

knn <

Fn(F(m%1)n(0))nm <

kn + 1n

Ahora bien, esto implica que | Fmn(0)mn % Fn(0)

n | < 1n y que |

Fmn(0)mn % Fm(0)

m | < 1m . Por lo tanto:

$$$$Fn(0)n % Fm(0)

m

$$$$ <1n +

1m ,

es decir, se trata de una sucesión de Cauchy, y por lo tanto converge.Finalmente, falta demostrar que si F y F son levantamientos de f , entonces *(F) % *( F) " Z.

De hecho, en esta situación, existe a " Z tal que F(x) = F(x) + a, para toda x " R. Entonces,Fn(x) = Fn(x) + na; y por lo tanto

lımn!!

Fn(x)n = lım

n!!

Fn(x) + nan = lım

n!!

Fn(x)n + a

!

Ejercicio: Demuestre que *( f n) = n*( f ).

Corolario 1. *( f ) " Q sí y sólo sí existe una órbita periódica de f .

Demostración. Hemos visto en (10), de la demostración del teorema anterior, que si existe un puntoperiódico, el número de rotación es racional. Por lo tanto, para obtener una demostración delCorolario, debemos mostrar solamente la afirmación recíproca: si *( f ) = [p/q], con p, q primosrelativos, entonces existe una órbita periódica de f . Sin embargo, dado que *( f n) = n*( f ), paracada n " Z, supondremos que *( f ) = [0] y encontraremos un punto fijo.


De hecho, supongamos que f no tiene puntos fijos, esto es: si F : R ! R es un levantamiento def , entonces F(x)% x /" Z. De lo contrario, si F(x)% x = n " Z entonces f ([x]) = [F(x)] = [x]. Sinperdida de generalidad, podemos considerar que F es un levantamiento de f tal que F(0) " [0, 1).Entonces la imagen de la función (F% Id)(x) está contenida en el intervalo abierto (0, 1), es decir:

0 < F(x) % x < 1, .x " R;

pues si existe x0 " R tal que F(x0) > 1 (y análogamente para F(x0) < 0), el Teorema del valorintermedio garantiza la existencia de un punto y " (0, x0) tal que F(y) = 1. Ahora bien, la función(F % Id)(x), restringida al intervalo [0, 1] tiene un valor máximo y un valor mínimo, así existe$ > 0 tal que,

(12) 0 < $ # F(x) % x # 1% $.

Como F es una función periódica (F(x + 1) = F(x) + 1 para toda x " R), las desigualdades en(12) se cumplen para toda x " R; en particular, se cumplen para 0, F(0), . . . , Fn%1(0) y sumándolastodas obtenemos que

0 < n$ # Fn(0) # n(1% $).Por lo tanto:

0 < $ # Fn(0)n # (1% $).

Y tomando el límite cuando n ! ! concluimos que: 0 < $ # *(F) # 1 % $ < 1; es decir,*( f ) $= 0. !

Teorema 15. Si f : S1 ! S1 es un homeomorfismo tal que *( f ) es irracional, entonces:

1. Existe un subconjunto E # S1 tal que %([x]) = E para toda [x] " S1;2. Hay dos opciones, o bien E es un conjunto de Cantor o E = S1.

Este teorema nos brinda un retrato de la dinámica de un homeomorfismo del círculo, puescaracteriza el %-límite de cualquier punto. Por un lado ya sabíamos que si el número de rotaciónde f es racional, debe tener una órbita periódica. Y ahora, si es irracional, sabemos que todos laórbita positiva de todos puntos se acumulan en el mismo subconjunto E y este conjunto, o bienes todo el círculo o un conjunto de Cantor. Para demostrar este teorema debemos revisar primerouna observación importante:

Proposición 13. Sea f un homeomorfismo del círculo tal que *( f ) es irracional. Dado un punto x " S1,si consideramos un intervalo I = [ fn(x), f m(x)] con m, n " Z y n $= m, entonces la órbita positiva decualquier punto y " S1 tiene algún punto en I; i.e. O+(y) + I $= $.

Demostración de la Proposición 13. Aunque el enunciado y la prueba de este lema son un poco en-redados, el contenido es bastante intuitivo: si n = 0 y m = 1 lo que dice es que la órbita positivade cualquier punto y " S1 pasa por el intervalo I = [x, f (x)]. La primer ambiguedad es el hechode que hay dos intervalos en S1 delimitados por x y f (x): no hay problema, el resultado es válidopara ambos. La prueba radica en el hecho de que I y I1 = f%1(I) son dos intervalos con un puntoen común: x; así f%1(I1) y I1 también tienen un punto en común: f %1(x); etcétera. Entonces, &k Ik


cubren S1 y en particular existe k " 0 tal que y " f%k(I). En el caso de que &k Ik no cubren todo elcírculo, entonces, los extremos de Ik convergen a z " S1:

lımk!!

f%k(x) = z = lımk!!

f%k( f (x)),

entonces z es un punto fijo, pues:

f (z) = f (lım f%k(x)) = lım f ( f%k(x)) = z

Exhibiendo una contradicción; por lo tanto &k Ik cubren S1 y terminamos, en el caso n = 0 ym = 1.Para demostrar este lema en toda su generalidad, supongamos que n > m, consideremos g =

f n%m y sigamos el mismo argumento. En esta situación, la sucesión de intervalos Ik = g%k(I)comparten un punto, dos a dos y cubren el círculo. Los detalles se quedan como ejercicio. !

Ahora si podemos demostrar el Teorema 15.

Demostración del Teorema 15. Primero demostraremos 1. Toma y " S1 y considera E = %(y). Hayque demostrar, entonces, que para cualquier x " S1, se tiene que %(x) = %(y). Sea z " %(x). Pordefinición, esto implica que existe una suseción creciente y no acotada ln " N tal que f ln(x) ! z.Para cada n " N, el lema anterior nos garantiza que la órbita positiva de y intersecta al intervaloIn := [ f ln(x), f ln+1(x)]; es decir, existe kn " N tal que f kn(y) " In. Por lo tanto lımn!! f kn(y) =z, pues ambos extremos de los intervalos In convergen a z. Entonces %(y) # %(x). El mismoargumento, intercambiando el papel de x y y demuestra lo que buscabamos: %(x) = %(y) = E,para cualquier x " S1.Demostremos ahora el insciso 2. Supongamos que existe A # E un subconjunto cerrado, no

vacío e invariante por f ; ( f (A) = A), como existe x " A y es invariante, entonces O+(x) # A,pero como A es cerrado, entonces %(x) # A; es decir E # A. Ahora bien, la frontera de E, esto es+E = E + S1 % E es un subconjunto cerrado e invariante (ejercicio). Como E es cerrado, +E # E; ypor lo que acabamos de verificar, o bien +E = $ o bien, E # +E # E; es decir E = +E. Si +E = $entonces E = S1. Por otro lado E = +E nos indica que E es totalmente disconexo.Ahora sólo basta garantizar que E es perfecto para demostrar que E es un conjunto de Cantor.

Sea x " E. Como E = %(x), entonces x " %(x), entonces existe una suubsucesión kn ! ! tal quef kn(x) ! x. Sin embargo, { f kn (x)} # E no puede ser finita, pues en ese caso, habríamos encon-trado un punto periódico de f . Por lo tanto, x es un punto de acumulación de E. Esto concluye elargumento para verificar que E es perfecto. !

Observe que en el caso de que E = S1, entonces f es minimal, de acuerdo a la definición 8.

4.2.2. Invariante que clasifica. El número de rotación es el invariante adecuado para estudiar estetipo de sistemas dinámicos en el círculo. Un invariante, en una clase de objetos, es un objeto, eneste caso un número, que nos permite simplificar la pregunta: ¿Cuando dos elementos de la claseson equivalentes? En particular, si dos homeomorfismos del círculo son equivalentes, sus númerosde rotación coinciden. Este es el contenido del siguiente teorema:

Teorema 16. Sea h : S1 ! S1 un homeomorfsimo del círculo. Entonces, si g = h%1 ' f ' h, es decir, f y gson topologicamente conjugados por h, entonces *( f ) = *(g).


Para demostrar esta afirmación es necesario estudiar con un mayor detalle los levantamientosde los homeomorfismos del círculo. De hecho, demostrar el siguiente lema se reduce a aplicar ladefinición de levantamiento.

Lema 2. Si f y h son dos homeomorfismos del círculo y F y H son levantamientos de cada uno, respectiva-mente (esto es, (F = f( y (H = h( entonces H%1 es un levantamiento de h%1 y además, H%1FH es unlevantamiento de h%1 f h.

Demostración. Primero observe que H es invertible. Luego observe que:

(H%1 = h%1h(H%1 = h%1(HH%1 = h%1(;

es decir H%1 es un levantamiento de h%1. Ahora bien,

(H%1FH = h%1(FH = h%1 f(H = h%1 f h(;

es decir: H%1FH es un levantamiento de h%1 f h. !

Ahora si podemos demostrar el Teorema 16.

Demostración del Teorema 16. Considera un levantamiento H de h tal que H(0) " [0, 1). Debemoscalcular la siguiente diferencia:

$$$H%1FnH(x) % Fn(x)$$$ =

$$$(H%1FH(x))n % Fn(x)$$$

Si x " [0, 1) tenemos que se cumplen las siguientes desigualdades:

0% 1 < H(x)% x < H(x) < H(1) < 2;

pero como H es periódica (es un levantamiento) entonces:

(13) |H(x) % x| < 2; para toda x " R.

Y de la misma manera:

(14) |H%1(x) % x| < 2; para toda x " R.

Por otro lado, nos gustaría probar que si |y% x| < 2, entonces |Fn(y)% Fn(x)| < 3. Si denotamospor [x] la parte entera de x, entonces |y% x| < 2 implica que |[y] % [x]| < 2. Ahora bien, Fn(k) =Fn(0) + k, para cualesquiera n y k " Z. Por lo tanto Fn([x]) = Fn(0) + [x], para toda x " R.Podemos verificar además que para cualquier x " R se cumple que F([x]) # F(x) # F([x] + 1),

dado que la función es creciente y que x " [[x], [x] + 1]. De hecho, Fn([x]) # Fn(x) # Fn([x] + 1),.x " R y .n " N.Y en consecuencia podemos estimar que:

F([y]) % F([x] + 1) < F(y) % F(x) < F([y] + 1) % F([x])

y por lo tanto, dado que F([y]) % F([x] + 1) = [y] % [x] % 1 > %3 y que F([y] + 1) % F([x]) =[y] + 1% [x] < 3 entonces:

(15) |Fn([y]) % Fn([x])| < 3.

Una vez hecho esto, juntando (13), (14) y (15), podemos estimar:


|H%1FnH(x) % Fn(x)| # |H%1FnH(x) % FnH(x)|+ |FnH(x) % Fn(x)|# |H%1(FnH(x)) % FnH(x)|+ |FnH(x) % Fn(x)|# 2+ 3 = 5

Donde aplicamos (14) en el primer sumando para x = FnH(x) y aplicamos (15) en el segundosumando, dado que (13) implica que si y = H(x) entonces |y% x| < 2. Por lo tanto,

|H%1FnH(x)|n # 5

n ! 0;

y entonces *(g) = [*(H%1FnH)] = [*(F)] = *( f ). !

4.3. Teorema de Denjoy. Podemos concluir nuestro estudio de la dinámica de los homeomor-fismos del círculo con una pregunta que se antoja natural: si f y g tienen el mismo número derotación ¿son topológicamente conjugados? Denjoy, en 1930 encontró ciertos ejemplos donde estono sucede, conocidos como los contraejemplos de Denjoy. Básicamente construye, de una rotaciónirracional en el círculo, otro sistema dinámico, reemplazando la órbita entera de un punto por unaunión numerable de intervalos. Por otro lado, también encontró que si f es diferenciable y su de-rivada f ( tiene variación acotada; y si *( f ) es irracional, entonces, en efecto: f es topológicamenteconjugada a la rotación de ángulo *( f ). La demostración de este teorema escapa a los objetivos deeste texto. Sin embargo se puede encontrar en (NITECKY) o en (KATOK-HASSELBLATT).

Teorema 17 (Denjoy). Si f es de clase C1 y f ( tiene variación acotada. Si ', el número de rotación de f esirracional, entonces f es topológicamente conjugada a la rotación de ángulo '.

5. EL CAOS Y SUS PROPIEDADES

Aunque presente desde los inicios de la Teoría de los Sistemas Dinámicos, y estudiado porvarios grandes matemáticos en los últimos doscientos años, entre ellos el mismo Henri Poincaré,el concepto de caos en matemáticas recientemente ha tenido una gran difusión.Contrario al significado que la palabra «caos» carga, un sistema dinámico caótico no se compor-

ta de manera arbitraria, aleatória o ni carece de una soluciones «exactas». La noción matemáticadel caos –la que se estudia en los sistemas dinámicos topológicos– está relacionada con la in-capacidad de predecir, mediante el uso de métodos numéricos, las soluciones de una ecuacióndiferencial, o su contraparte discreta, una ecuación en diferencias, con la coexistencia de infinitasórbitas periódicas de diferente periodo y con la existencia de órbitas que se aproximan a cualquierestado posible del sistema.Un ejemplo concreto es en la predicción del clima. ¿Cuánto daría un meteorólogo por tener una

ecuación, pormás rebuscada y complicada que sea, que le informase, a partir de una serie de datosiniciales como la humedad, la temperatura y la presión atmosférica, cuál será el estado del clima,con absoluta seguridad, dentro de tres horas o dentro de una semana? El meteorólogo EdwardNorton Lorenz (1917 – 2008) probablemente buscaba una fórmula como esta y se percató de unfenómeno desalentador: Los modelos de predicción climática que estudiaba le informaban resul-tados muy diferentes, a partir de condiciones iniciales razonablemente semejantes, por ejemplo,


./

0

x = %"x+ "yy = ,x% y% xzz = %-z+ xy

Figura 5 Una órbita, solución de las ecuaciones de Lorenz, en R3.

al redondear los números a una cierta cantidad de dígitos significativos para poder elaborar suscálculos en una computadora. No sin sorpresa podría haber concluido que el sistema dinámicoque estudiaba se comportaba muy parecido al simple hecho de tirar una moneda al aire sucesivasveces; fenómeno que, concordemos, es completamente impredecible.Sin embargo, con la intención de entender este fenómeno, Lorenz diseño un prototipo dinámico

mucho más simple [Ver Figura 5], con el que logró llamar la atención sobre una propiedad de lossistemas dinámicos deterministas que hoy conocemos como sensibilidad a las condiciones iniciales, yque, como veremos en esta sección, es una de las propiedades del caos.Pero fueron los matemáticos Tien-Yien Li y James A. Yorke, en 1975, los que agregaron la pala-

bra caos al diccionario matemático. En su famoso artículo: Period three implies chaos (Periodo tresimplica el caos) [], encontraron una propiedad sorprendente: si un sistema dinámico continuo, de-finido en el intervalo, tiene una órbita de periodo 3, entonces esta órbita debe coexistir con órbitasperiódicas de todos los periodos.

5.1. La definición de caos. La definición precisa de caos en un sistema dinámico en un espaciométrico M es la siguiente:

Definición 10. Una transformación continua f : M! M es caótica si satisface las siguientes tres propie-dades:

1. f es topológicamente transitiva.2. f es sensible a las condiciones iniciales.3. El conjunto de órbitas periodicas de f es denso en M.

La tercera propiedad indica que en cualquier abierto de M existe una órbita periódica. Lasrotaciones racionales tienen orbitas periodicas densas. De hecho, todo punto es periódico. Es im-portante observar que en este caso, todas tienen el mismo periodo.Detengámonos un momento a entender cada una de las otras dos propiedades por separado.

5.1.1. Transitividad topológica.

Definición 11. f es topológicamente transitiva si para cualesquiera dos abiertos U y V del intervalo, existen " N, de manera que f n(U) +V $= $.


Proposición 14. Si f es topológicamente transitiva, entonces tiene una órbita densa; i.e. ,x " M tal que%(x) = M.

Demostración. PENDIENTE !

Un ejemplo de transformación que es topológicamente transitiva es la Transformación del Pana-dero, en el intervalo. Este sistema dinámico está definido por la transformación: P : [0, 1] ! [0, 1]dada por P(x) = 2x mod 1. Es decir,

(16) P(x) =

)2x si x < 1/22x% 1 si x " 1/2

Observe que la función P(x) no es contínua en x = 1/2.Para demostrar que P es topológicamente transitiva utilizaremos una propiedad dinámica un

poco más fuerte.

Definición 12. Una transformación f : [0, 1] ! [0, 1] es localmente eventualmente sobre (l.e.s) si esverdad que para cualquier intervalo J # [0, 1] existe un subintervalo J0 # J y existe n " N tal quef n|J0 : J0 ! [0, 1] es sobreyectiva.

Proposición 15. Si f : [0, 1] ! [0, 1] es localmente eventualmente sobre, entonces es topológicamentetransitiva.


Proposición 16. La transformación del panadero es localmente eventualmente sobre, y por lo tanto, topo-lógicamente transitiva.


Otro ejemplo de transformaciones topologicamente transitivas son las rotaciones por un ánguloirracional en el círculo. Ver Teorema 13.

5.1.2. Sensibilidad a las condiciones iniciales.

Definición 13. f es sensible a las condiciones iniciales si existe $ > 0 de modo que para toda x " M ypara toda vecindad U de x existe y " U y n " 0 tal que d( fn(x), f n(y)) > #.

Esta propiedad afirma que arbitrariamente cerca a cualquier condición inicial x " M existe almenos un punto y tal que alguno de sus iterados se aleja del iterado correspondiente de x.Una versión más fuerte de esta propiedad es la expansividad.

Definición 14. f es espansiva si existe . > 0 de modo que para todos x y y, x $= y, existe un iterado n talque d( f n(x), f n(y)) > ..

A diferencia de la sensibilidad a las condiciones iniciales, si f es expansiva entonces todas lasórbitas se alejan, es decir, no existen dos órbitas que permanezcan a una distancia menor que . a lolargo de toda su órbita. Esto se lee de manera mucho más clara con la afirmación contrarecíproca:Si x y y " M son tales que d( f n(x), f n(y)) < ., para toda n, entonces x = y.


A la constante . se le denomina: constante de expansividad. Si f es invertible debemos considerarque dicho iterado puede ser un iterado negativo (n " Z).Las rotaciones no son sensibles a las condiciones iniciales, debido a que son isometrías del círcu-

lo.

5.2. La transformación caótica por excelencia. En esta sección definiremos un sistema dinámicode capital importancia y en él encontramos una gran diversidad de comportamientos dinámicos.Sea & = {0, 1}N el Conjunto de Cantor que definimos en la sección 3.2.La palabra inglesa shift, en español se traduce como corrimiento o decalage. Si bien no es ade-

cuado utilizar términos en otra lengua cuando existe alguna palabra en español, esta transforma-ción es conocida bajo ese nombre, a pesar de los intentos de muchas personas para nominarlo deotra manera.Sea / :&!& definida mediante:

(x1, x2, x3, . . .)//! (x2, x3, x4, . . .).

esto es, simplemente olvidarnos de la primer coordenada de (x1, x2, . . .), de donde viene el nombrede corrimiento.Observe que / es una transformación no invertible, de hecho, la imagen inversa de cualquier

punto consta de dos puntos diferentes.Es fácil determinar sus puntos fijos. A saber, estos son:

(0, 0, 0, 0, 0, . . .) y (1, 1, 1, 1, 1, . . .)

Dado un número k " N, denotemos por Perk(/) al conjunto de todos los puntos periódicos deperiodo k de /. El conjunto:

Per(/) =#

k"N

Perk(/)

es el conjunto de todas las órbitas periódicas.

Proposición 17. Para cada k " N, el conjunto Perk(/) $= $; es decir, existen puntos periódicos decualquier periodo.

Demostración. Sea k " N. Tome un punto arbitrario (x1, . . . , xk) " {0, 1}k . El punto en &:

(x1, . . . , xk, x1, . . . , xk, . . .) " Perk(/)

es decir, es una órbita periódica de periodo k, como queríamos. !

Ejercicio: Calcule cuántas órbitas de período k hay, para cada k " N.

No sólo existen órbitas periódicos de todos los períodos, sino que además, el conjunto de todaslas órbitas periódicas es denso en &, como se lee en el enunciado de la siguiente proposición:

Proposición 18. El conjunto Per(/) es denso en &.

Demostración. Demostraremos que, dado un punto arbitrario x " & y # > 0 cualquiera, existep " Per(/) tal que d(p, x) < #. Sean x " & y # > 0 arbitrarios. Observe que existe k " N de


manera que 3%k < #. Observa que el punto

p = (x1, x2, . . . , xk, x1, x2, . . . , xk, . . .) " &

y es un punto periódico de período k. Por otro lado p " B3%k(x), pues coincide con x en losprimeros k términos. Por lo tanto

d(p, x) < 3%k < #.!

Proposición 19. Existe un punto x " & tal que %(x) = &; en este caso, la órbita de x es densa en &; porlo tanto, es topológicamente transitivo.


Hemos demostrado las tres propiedades que definen a los sistemas caóticos, por lo tanto tene-mos el siguiente teorema.

Teorema 18. El shift es una transformación caótica.

5.2.1. Itinerarios. En general, podemos determinar el itinerario de un punto cualquiera, a partirde su expresión explicita. Así, si queremos encontrar un punto x en &, digamos en el intervalo dela derecha I0 y que su imagen /(x) pertenezca al intervalo de la izquierda I1, basta mirar entre lospuntos que comienzan con la secuencia “01”. En general, a partir de cualquier palabra finita w delongitud n, escrita en 0 y 1 el conjunto de puntos en & que realizan dicho intervalo es:

Iw = {x|x0 = w0; x1 = w1 . . . xn%1 = wn%1}

SECCION INCOMPLETA

5.3. Modelos deterministas que parecen aleatorios. El objetivo de esta sección es probar que z2

en el círculo (o sus versiones en el intervalo) es topológicamente conjugada al shift en dos simbolos(salvo por un conjunto pequeño de puntos). También valdría la pena ver que si despegamos esospuntos dobles, tenemos un cantor, hecho y derecho, con la dinámica del shift.La transformación defininida en (16) tiene una contraparte en el círculo y corresponde a elevar

al cuadrado.Elevar al cuadrado un número complejo de módulo 1, es decir, un punto en el círculo unitario,

es equivalente a duplicar su argumento. Así, la transformación g : S1 ! S1 dada por

0 /! 20,

corresponde a elevar al cuadrado un punto del círculo.Observe que en el círculo, esta transformación si es continua en cualquier punto.

Teorema 19. La transformación del panadero en el intervalo y elevar al cuadrado, en el círculo, son caóticas

Demostración. Ambas transformaciones son casi equivalentes al shift. Es necesario identificar al-gunos puntos en el conjunto de Cantor. PENDIENTE !


5.4. Teorema de Sharkovsky. Determinar si un sistema dinámico tiene puntos periódicos dedeterminados períodos, a partir de la simple observación de una órbita periódica en particular,parece un poco descabellado. Tanto así que los matemáticos Li y Yorke se sorprendieron bastantecon el hecho de que la existencia de una órbita periódica de período 3 garantizara la existenciade órbitas periódicas de todos los demás períodos. Este resultado lo publicaron en el año de 1975.Sin embargo, más de diez años antes, en 1964, Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky (1936-), mate-mático ruso, había propuesto un orden, es decir una lista de todos los números naturales de unamanera poco ordinaria de manera que la existencia de una órbita periódica de período k implicala existencia de todos los períodos posteriores a k, en la lista. Evidentemente, el 3 es el primerelemento de la lista de SharkovskyNo es tan extraño, pues la existencia de un punto periódico de período k " 2 implica, necesaria-

mente, un punto fijo. Si a es tal punto, entonces, podemos suponer que f (a) > a. Si consideramosla sucesión a, f (a), f 2(a), . . ., f k(a) = a existe un elemento b = f j(a) de manera que b > f (b);pues de lo contrario, no podríamos regresar a a. Aplicando el Teorema del valor intermedio sobrela función f (x) % x obtenemos que existe un punto c " (a, b) tal que f (c) = c, es decir, un puntofijo.Enunciemos precisamente el teorema de Li y Yorke:

Teorema 20. Si f es una función continua del intervalo [0, 1] en si mismo y existe un punto periódicop " [0, 1], de período 3, entonces para cualquier número natural m existe un punto de período m.

Para demostrar este teorema, debemos recordar dos hechos bastante simples que son válidospara funciones continuas f : [0, 1]! [0, 1].

1. Si I y J son dos intervalos cerrados, contenidos en [0, 1] tales que J # f (I), entonces, existeun intervalo Q # I tal que f (Q) = I.

2. Si I es un intervalo cerrado tal que I # f (I), entonces, existe p " I tal que f (p) = p.

El primer hecho esmuy simple de demostrar y se deja como ejercicio. El segundo es una versióndel conocido Teorema del Punto Fijo para funciones continuas.Para demostrar el teorema, nos auxiliaremos de un concepto matemático conocido bajo el nom-

bre de gráficas dirigidas o digráficas. Una gráfica es un conjunto finito de puntos y un conjunto dearistas. El conjunto de puntos, o vértices lo llamamos V y las aristas están formadas por parejasde vértices {x, y}. Lo más indicado es realizar un dibujo: los vértices son varios puntos dispuestosde cualquier manera y trazamos una línea entre el vértice x y el vértice y si el par {x, y} " A.Una gráfica dirigida es una gráfica donde las aristas tienen una dirección, es decir A # V * V, omejor dicho, hay una arista de x a y si el par ordenado (x, y) " A. La diferencia fundamental esque en una gráfica dirigida, la arista (x, y) es diferente a la arista (y, x). En cambio, en una gráfica{x, y} = {y, x}.Un camino cerrado en la gráfica G = (V, A) es una sucesión de vértices siempre que el paso de

un vértice al siguiente esté permitido por una arista. En una gráfica dirigida tenemos que respetar,además, el sentido de las flechas. Este lo podemos denotar como una sucesión de vértices, dondeel primero es igual al útlimo: a, b, d, c, a; en la Figura 5.4.


Gráfica Digráfica

aa b

b

cc

dd e

ef

Figura 5.4. Ejemplos de una gráfica y de una digráfica

Volvamos a los sistemas dinámicos. Consideremos una función continua f : [0, 1] ! [0, 1] ysupongamos que existe un punto periódico p " [0, 1] de período k. La órbita de p se distribuye en[0, 1] de alguna manera; y esta disposición no respeta las iteraciones. Por ejemplo, una órbita deperíodo 4 nos podría dar la siguiente disposición:

0 < p < f 4(p) < f 2(p) < f (p) < f 3(p) < 1

Ahora bien, consideremos la primera. Esta nos define una gráfica dirigida. Denotemos por I1 =[p, f 4(p)], I2 = [ f 4(p), f 2(p)], I3 = [ f 2(p), f (p)] y finalmente I4 = [ f (p), f 3(p)]. Cada uno delos intervalos corresponde a un vértice de la gráfica dirigida. Para definir las aristas, veamos quesucede con la imagen de I1, por f . Los extremos son f (p) y f ( f 4(p)) = p. Como la función escontinua, la imagen contiene al intervalo [p, f (p)] y en particular f (I1) 2 I1 & I2 & I3. De estamanera, colocamos una arista dirigida de I1 a I2, otra de I1 a I3 y también una arista dirigida de I1a I1. Procedemos de la misma manera con f (I2) 2...DEMOSTRACION PENDIENTE !

Figura: La gráfica dirigida que obtuvimos en el ejemplo.

Este procedimiento se puede realizar en general. Dada una órbita de período k le podemosasociar una gráfica dirigida. Si la órbita de p la ordenamos de acuerdo a su disposición en elintervalo [0, 1] mediante:

O+(p) = {p1 < p2 < p3 < · · · < pk%1}

estos puntos nos definen una partición del intervalo [0, 1]. Nos interesan I1 = [p1, p2], I2 = [p2, p3],. . ., Ik = [pk%2, pk%1]. La gráfica dirigida tiene como vértices estos intervalos. Colocamos una aristade Ij a Ii si f (Ij) 2 Ii A esta gráfica la llamaremos "la gráfica asociada al punto periódico k de lafunción f ".

Teorema 21 (Straffin). Si la gráfica asociada al punto periódico de periodo k de la función f tiene uncamino cerrado de longitud l, no repetitivo, entonces, existe un punto periódico de periodo l de f .

Un camino cerrado es no repetitivo si no está formado por un camino de menor longitud, quese repite varias veces. De esta manera, está permitido un camino de la forma I1, I3, I3, I3, I4, I1, sinembargo uno de la forma I1, I3, I2, I1, I3, I2 no.


0

0

1

1

p

p

f (p)

f (p)

f 2(p)

f 2(p)

Figura 5.4. Combinatoria diferente de dos órbitas de periodo 3.

Demostración. Para demostrar este teorema basta aplicar varias veces seguidas el hecho 1, y des-pués el teorema del punto fijo. Veamos cómo hacerlo. Tomemos un camino cerrado, no repetitivode longitud l, digamos I1, I2, . . . , Il = I1 Observe que por la definición de la gráfica asociadaf (I1) 2 I2. Entonces existe Q0 # I1 tal que f (Q0) = I1. Ahora bien f (I1) 2 I2, pero como acaba-mos de mostrar I1 = f (Q0); entonces f 2(Q0) = f ( f (Q0)) 2 I2. De nuevo, la afirmación 1 implicaque existe Q1 # Q0 tal que f 2(Q1) = I2. Procediendo de esta manera hasta el iterado f l, nos en-contramos con una diferencia: Ahora f (Il%1) 2 Il = I1 y por lo tanto, encontramos un intervaloQl%1 # I1 tal que f (Ql%1) = I1. Por lo tanto Ql%1 # f l(Ql%1) y por lo tanto, existe un punto p " I1

tal que f l(p) = p. Observe que p " I1, f (p) " I2, . . ., f l%2(p) " Il%1, y el hecho de que el caminono sea repetitivo, nos garantiza que la orbita periódica que acabamos de encontrar es de periodol, pues es imposible que la órbita se cierre antes y continúe con su recorrido. !

A partir del teorema anterior, ahora es muy simple obtener el resultado de Li y Yorke, queenunciamos un poco atrás: Si existe una órbita periódica de período 3, entonces existen órbitas periódicasde todos los periodos.

Demostración del Teorema 20. Denotemos por I al intervalo I = [0, 1]. Supongamos que existe p "I, un punto de período 3. Esto es f 3(p) = p y tanto f (p) $= p como f 2(p) $= p. No es difícilconvencerse que podemos escoger p, o un iterado de él, de manera que p < f (p) y p < f 2(p).Ahora bien, tenemos dos situaciones: f (p) < f 2(p) o bien lo contrario f 2(p) < f (p), como vemosen la figura 5.4.Supongamos que f (p) < f 2(p). De esta manera podemos definir dos subintervalos: I1 =

[p, f (p)] y I2 = [ f (p), f 2(p)]. Utilizando el teorema del valor medio, podemos concluir que f (I1) 2I2 y f (I2) 2 I1 & I2. De esta manera podemos asociar una gráfica dirigida, donde los vértices re-presentan los intervalos I1 e I2 y las aristas están definidas de la siguiente manera. Existe unaarista dirigida de I j ! Ik si Ik # f (I j)FALTA TERMINAR LA DEMOSTRACIóN !

Ejercicio: Demuestre que en el caso de que f2(p) < f (p), obtenemos una gráfica similar.

Ejercicio: Demuestre que una órbita de periodo 5 implica órbitas periódicas de todos los periodos excepto deperiodo 3.


I1 I2Figura 5.4. La gráfica dirigida asociada a una órbita de periodo 3.

El orden propuesto por Sharkovsky es el siguiente:

3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 · · · 3 2n+ 1 3 · · ·

3 2 · 3 3 2 · 5 3 2 · 7 3 · · · 3 2 · (2n+ 1) 3 · · ·3 22 · 3 3 22 · 5 3 22 · 7 3 · · · 3 22 · (2n+ 1) 3 · · ·

3 2m · 3 3 2m · 5 3 2m · 7 3 · · · 3 2m · (2n+ 1) 3 · · ·

3 · · · 3 2m 3 2m%1 3 · · · 23 3 22 3 2 3 1

Así, el enunciado del Teorema de Sharkovsky queda de la siguiente manera.

Teorema 22. Si f es una función continua y tiene un punto periódico de periodo k, entonces tiene puntosperiódicos de periodo l, para toda l 4 k.

5.5. Bifurcaciones. SECCION PENDIENTE.

UNIDAD CUERNAVACA, INSTITUTO DE MATEMÁTICAS, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO.

Sistemas Dinámicos Discretos

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