Sistemas DinámicosDiscretos y Continuos

Rafael López Machí

San Luis Potosí, 2009

Contenidos

Índice1. Introducción 4

I Sistemas discretos 5

2. Sistemas discretos 62.1. Iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Recurrencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Grupo asociado a un sistema dinámico discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Sistemas dinámicos discretos 93.1. Iteraciones autónomas y no autónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. La ecuación lineal xn = axn−1 + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. La ecuación lineal no autónoma xn = a(n)xn−1 + b(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Puntos fijos y órbitas periódicas 134.1. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. Puntos periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. Trayectorias periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5. Comportamiento asintótico 145.1. Conjuntos límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Conjuntos y funciones invariantes 156.1. Conjuntos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2. Funciones invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7. Estudio de las órbitas 157.1. Sensibilidad a las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.2. Diagramas de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8. Puntos fijos y órbitas periódicas 178.1. Puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2. Estabilidad de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.3. Hiperbolicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.4. Estabilidad de las órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

8.5. Órbitas de periodo tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9. Bifurcaciones 269.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.3. Tipos de bifurcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10. Ecuación logística 2910.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.2. La ecuación logística y las aplicaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3. Puntos fijos y órbitas de periodo dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.4. Trayectorias de periodo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.5. Estabilidad de los puntos fijos de la aplicación logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.6. Estabilidad de las trayectorias de periodo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11. La función tienda 3411.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.2. Conjugación con la logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12. Exponentes de Lyapunov 3612.1. Definición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.2. Exponentes de Lyapunov en la tienda y la logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

13. Comportamiento caótico 3813.1. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.2. Representación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.3. La función “dientes de sierra” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.4. La función “tienda” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II Sistemas continuos 43

14. Sistema dinámico 4414.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

15. Trayectorias 4715.1. Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4715.2. Trayectorias periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

16. Puntos de equilibrio 4916.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

17. Puntos periódicos 5117.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5117.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

18. Conjuntos límite e invariantes 5218.1. Conjuntos límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.2. Conjuntos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5418.3. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2

19. Sistemas lineales 5719.1. Resultados generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

20. Caso lineal en R2 5820.1. Forma normal en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.2. Puntos de equilibrio en un sistema en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

21. Caso lineal en Rn 64

22. Teoría local 6622.1. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6622.2. Hiperbolicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.3. El teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

23. Teorema de la variedad estable 6923.1. El teorema de la variedad estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6923.2. Variedades estable e inestable globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

24. Estabilidad de Liapunov 7524.1. Estabilidad según Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

25. Sistemas hamiltonianos y de gradiente 7725.1. Sistemas hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7725.2. Sistemas de gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

26. Teoría global 8326.1. El teorema de Poincaré–Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

27. Órbitas Periódicas 8427.1. Variedades Estable e Inestable en órbitas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

28. Estabilidad de trayectorias periódicas 8628.1. La aplicación de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8628.2. Estabilidad de trayectorias periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3

1. IntroducciónLa teoría de Sistemas Dinámicos trata sobre la evolución de sistemas que dependen de variables que cambian conel tiempo.

Se trata de describir procesos variables, de predecir su evolución futura y conocer las limitaciones de dichaspredicciones.

Comprende el estudio de sistemas con variables que dependen de una variable temporal que tanto puede sercontínua como discreta.

La materia denominada Sistemas Dinámicos ha madurado como una disciplina independiente en los últimos añosdel pasado siglo y lleva recibiendo un importante empuje investigador y docente en los primeros años de este.

Son numerosos los textos que han aparecido en los últimos años tanto de carácter introductorio como avanzado.

Su crecimiento ha sido tan rápido que muchas de sus subáreas, como la teoria ergódica o la dinámica de sistemasunidimensionales, se han transformado en áreas de investigación independientes.

Una primera definición de sistema dinámico es muy simple:

Sistema dinámicoEs la acción de cualquier semigrupo T actuando sobre un conjunto X .

Un semigrupo, (T, ∗), es un conjunto T con una operación ∗ que permite añadir dos elementos cualesquiera ydisponer de la propiedad asociativa (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

La acción se define a través de una família uniparamétrica de aplicaciones Ft sobre X , de manera que se tiene lapropiedad Ft∗s = Ft Fs, siendo ∗ la operación en el grupo y la composición de aplicaciones.

Así, se puede hablar de diversos tipos de sistemas dinámicos según sea el conjunto temporal elegido y el conjuntode variables.

Semigrupo Acción(N, +) Aplicaciones(Z, +) Aplicaciones con inversa

(R+,+) Semiflujos(R, +) Flujos

El caso más importante por su aplicación práctica a fenómenos evolutivos de diferentes tipos (físicos, económicos,etc.) es aquel en que el grupo T , al que pertenece la variable temporal, es unidimensional y, en general, un conjuntonumérico.

Y dentro de este caso distinguimos entre si el conjunto T es continuo o discreto.

En el primer caso tenemos los sistemas dinámicos continuos (o flujos definidos por ecuaciones diferenciales) yen el segundo sistemas dinámicos discretos o iteraciones definidas por aplicaciones.

Dividiremos el curso en dos partes principales:

1. Sistemas discretos.

2. Sistemas continuos.

4

Parte I

Sistemas discretos

5

2. Sistemas discretos

2.1. IteracionesSea f una función definida sobre E, subconjunto de Rn, y aplicada sobre Rn, f : E −→ Rn.

Dado un punto x ∈ E podemos obtener la imagen f(x) ∈ Rn y, en su caso, también podríamos obtener la imagenpor su inversa f−1(x).

Si la imagen obtenida está en E, podemos volver a aplicar f y obtener así la imagen de la primera imagen, o bienen el segundo caso, si está en el dominio de la inversa podríamos volver a aplicar f−1 y obtener la imagen anteriora esta.

La imagen de la función sobre el dominio E es

f(E) = y ∈ Rn | ∃x : f(x) = y

Supondremos que f es biyectiva, con lo que el conjunto f−1(x) de las imágenes inversas de x es un conjuntounitario.

Tendremos que considerar los casos en que f(E) = E ó f(E) 6= E.

Denotaremos por E0 el conjunto inicial donde se toman los puntos origen de f . En principio E0 ⊆ E.

Si x ∈ E0 y f(x) ∈ E0 diremos que hemos obtenido una primera iteración de x y el conjunto de estos puntosse denota por E1 = x ∈ E0 | f(x) ∈ E0.

Igualmente, E−1 será el subconjunto de E0 donde está definida f−1. Se tendrá que E−1 = E0 ∩ f(E0).

Propiedad 1. Se verifica que E1 = E0 ∩f−1 (E0 ∩ f(E0))

El símbolof−1( )

que aparece en la propiedad se ha de entender como un conjunto de anti-imágenes,y no

como la aplicación inversa.

De forma más general definiremosEn+1 = x ∈ En | f(x) ∈ En

Y, por la propia construcción tenemos

E0 ⊇ E1 ⊇ E2 · · · ⊇ En · · ·

Con un razonamiento semejante al de la demostración de la propiedad 1 se puede demostrar que

En+1 = En ∩f−1 (En ∩ f(En))

Ejemplo 1. Construir la sucesión de conjuntos Ei para la función f(x) = +√

x− 1, sobre E0 = [1, 10]

Definición 1. El iterado n-ésimo de x por f es el punto que resulta de aplicar n veces sucesivas la aplicación fsobre x.

El iterado n-ésimo de x por f se denota por xn

6

2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

E1

E1

10

10

21 5

0 2 3

E0

1

E2

Denotaremos por E−n,m el conjunto de puntos x que admiten n iterados negativos y m positivos.

Se tiene que E−n,m = E−n ∩ Em.

Veamos un ejemplo en donde hay problemas con los iterados.

Tomemos f(x) =x

2− x, x ∈ R.

Fácilmente encontramos que x−1 = f−1(x) =2x

1 + x

Así el conjunto de iterados de un punto x será

γ(x) =

. . . ,

2|n|x1 + (2|n| − 1)x

, . . . ,4x

1 + 3x,

2x

1 + x, x,

x

2 − x,

x

4 − 3x, . . . ,

x

x + 2n(1 − x), . . .

Tenemos entonces que todo punto de R tiene un primer iterado excepto x = 2.

Por tanto, dado un x ∈ R cualquiera admitirá sucesivos iterados positivos hasta que alguno de estos tome el valor2, en cuyo caso no podremos continuar iterando.

Los valores que anulan los otros denominadores, como que son iteraciones del que anula el primero tambiénpertenecen a las iteraciones negativas del 2, y se puede ver que

γ−(2) =

2n+1

2n+1 − 1| n ∈ N

De la misma manera, todo punto tiene un iterado negativo excepto x = −1.

Y se puede obtener que

γ+(−1) = −1

2n+1 − 1| n ∈ N

De modo que podemos iterar sobre Z para el conjunto E = R \ γ−(2) \ γ+(−1)

A veces es fácil encontrar la expresión de fn(x) en función de n y del valor inicial x0.

Por ejemplo, si f(x) = ax, se tiene que f2(x) = a(ax) = a2x, f3(x) = a3x, . . ., fn(x) = anx.

Pero incluso con una función sencilla, por ejemplo f(x) = x2 + b, la iteración se complica en pocos pasos, ya quef2(x) = (x2 + b)2 + b, . . ., y fn(x) no tiene una expresión inmediata.

La iteración parece un procedimiento sencillo, pero, a poco que nos fijemos, en el segundo caso el iterado n-ésimoes un polinomio de grado 2n y con pocos iterados tendremos un polinomio de grado muy alto, lo que complica elestudio de su dinámica.

7

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

Figura 1: Gráficas de fn(x) = x2 − 1.3, para n = 1, 5, 10

2.2. RecurrenciasEl concepto de iteración nos lleva directamente al de recurrencia.

Definición 2. Dada una función f y un conjunto E−k,h, llamamos relación de recurrencia a la expresión mate-mática que nos dice que xn es el resultado de aplicar f sobre xn−1.

xn = f(xn−1), x ∈ E−k,h, −k ≤ n ≤ h. (1)

Las relaciones de recurrencia son el punto de partida de muchas herramientas matemáticas: sucesiones, demostra-ciones por inducción, leyes de evolución, etc.

Cuando se trabaja con un problema real es frecuente que el iterado n no dependa sólo del anterior sino de unconjunto de iterados previos. Es decir,

xn = f(xn−1, xn−2, . . . , xn−m). (2)

Estas relaciones se llaman relaciones de recurrencia de orden m.

La forma más simple de escribir una recurrencia de este tipo consiste en considerar que el iterado de orden másbajo que aparece en la expresión es x0. De manera que tendremos

xm = f(x0, x1, . . . , xm−1). (3)

Definición 3. Llamamos solución de una recurrencia xn = f(xn−1) a una función

ϕ(x0, n) : E−k,h × T −→ E−k,h

con ϕ(x0, 0) = x0 tal que, dado un punto x0 y un número entero n, les hace corresponder el iterado xn.

Llamaremos x0 la condición inicial.

Definición 4. Una solución particular es la aplicación de T en E−k,h que resulta de ϕ al fijar el valor de x0. Sedenota por ϕx0(t).

8

2.3. Grupo asociado a un sistema dinámico discreto

Propiedad 2 (de composición en las soluciones de una recurrencia). xn = ϕ(x0, n) es solución de la relación derecurrencia xn = f(xn−1) si y sólo si ϕ(x0, r + s) = ϕ(ϕ(x0, r), s).

DEMOSTRACIÓN:

(⇒)

Si ϕ(x0, n) es solución, tenemos

ϕ(x0, r + s) = fr+s(x0) = fs[fr(x0)] = fs[ϕ(x0, r)] = ϕ(ϕ(x0, r), s)

(⇐)

Denotemos f(x) = ϕ(x0, 1).

Se tieneϕ(x0, 2) = ϕ(x0, 1 + 1) = ϕ(ϕ(x0, 1), 1) = ϕ(f(x0), 1) = f2(x0)

y por tanto es solución para n = 2. Reiterando tendremos que ϕ(x0, n) = fn(x0), dado que

ϕ(x0, n) = ϕ(ϕ(x0, n− 1), 1) = f(fn−1(x0)) = fn(x0)

3. Sistemas dinámicos discretos

Definición 5. Un sistema dinámico sobre E es una aplicación C0

ϕ : E × T −→ E

que cumple

(i) ϕ(x, 0) = x, ∀x ∈ E

(ii) ϕ(ϕ(x, t), s) = ϕ(x, t + s), ∀x ∈ E, ∀t, s ∈ T.

Esta propiedad implica que el conjunto de funciones ϕr que son soluciones de una cierta recurrencia define ungrupo respecto de la composición de funciones. Se puede comprobar de forma inmediata que ϕ0 será el elementoneutro y ϕ−n el simétrico de ϕn.

3.1. Iteraciones autónomas y no autónomasUna de las características de la forma como hemos introducido los conceptos de sistema dinámico y ecuación endiferencias es que en los términos de la derecha no aparece el valor n del iterado.

Sin embargo, en muchos problemas sí que aparece, de manera natural, el valor de n, es decir, se plantean ecuacio-nes de la forma:

xn = f(n, xn−1) (4)

Estas se llaman recurrencias no autónomas, en tanto que las que no dependen de n en su definición se llamanautónomas.

9

Consideremos la siguiente recurrencia

xn+1 = (n + 1)xn, n = 0, 1, 2, 3, . . .

que tiene como soluciónxn = ϕ(x0, n) = n!x0

Las soluciones de las recurrencias no autónomas no cumplen la propiedad de composición 2 como se puedecomprobar en este ejemplo.

Si r y s son naturales mayores que la unidad:

ϕ(1, r + s) = (r + s)!ϕ(ϕ(1, r), s) = s!ϕ(1, r) = s!r! 6= (r + s)!

Es posible reducir las relaciones no autónomas a la forma normal gracias a un cambio de variable. En este ejemplo,si denotamos y a n y sustituimos en (4) por

xn = f(xn−1, yn−1) = (1 + yn−1)xn−1

yn = yn−1 + 1

con la condición y0 = 0, tenemos una relación autónoma de la forma zn = f(zn−1), donde z es ahora una variablevectorial con dos componentes (x, y).

Si existen todos los iterados positivos, podemos definir

Definición 6. La órbita positiva de un punto es el conjunto de sus iterados para n > 0 y la denotamos por γ+(x).

γ+(x) = y ∈ E | ∃n natural : y = xn

Análogamente

Definición 7. La órbita negativa de un punto es el conjunto de sus iterados para n < 0 y la denotamos porγ−(x).

γ−(x) = y ∈ E | ∃n entero negativo : y = xn

Finalmente definimos,

Definición 8. La órbita de un punto es el conjunto de sus iterados para todo n y la denotaremos por γ(x).

γ(x) = y ∈ E | ∃n entero : y = xn

A menudo los términos trayectoria y órbita se usan como sinónimos, aunque se puede distinguir entre los dosconceptos.

Generalmente el conjunto ∪∞n=−∞ x(n) recibe el nombre de órbita, mientras que la trayectoria suele representarsepor la sucesión ordenada . . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . .. Así, la idea de trayectoria como conjunto ordenado estámás identificada con la idea de “movimiento” que se suele asociar con ella.

Definición 9. Diremos que la terna (E,Z, f) define un sistema dinámico discreto si f es continua y todo puntox ∈ E admite una órbita xn con n ∈ Z.

El conjunto E se llama espacio de fases.

En caso de que no se concrete si el sistema dinámico está definido sobre N o Z, lo denotaremos por (E,T, f) yllamaremos a T el conjunto temporal.

10

3.2. La ecuación lineal xn = axn−1 + b

Vamos a analizar la relación de recurrencia

xn = f(xn−1) = axn−1 + b (5)

donde a y b son constantes reales y x ∈ R.

El interés de esta ecuación está en que sirve de modelo de otras ecuaciones no lineales en el entorno de puntosfijos.

La solución de esta recurrencia se obtiene fácilmente:

Si a = 1, tenemos una progresión aritmética, de diferencia b y por tanto, xn = x0 + nb.

Si a 6= 1 tenemos

x1 = ax0 + b

x2 = ax1 + b = a(ax0 + b) + b = a2x0 + ab + b

. . . . . .

xn = anx0 + an−1b + · · ·+ ab + b = anx0 +b(1− an)

1− a

Las órbitas que sólo contienen un punto las llamaremos puntos fijos.

Si x∗ es un punto fijo, verificará x∗ = ax∗ + b. Cuando a = 0, esta ecuación solo tiene solución si b = 0. Peroentonces tenemos una identidad y cualquier valor de x es solución, de manera que todos los puntos serán fijos.

Si a 6= 1, tendremos que x∗ =b

1− a.

Para conseguir que el punto fijo sea el origen, es decir, no dependa del valor de b, hacemos el cambio de variable:

y = h(x) = x− b

1− a

y tenemos

yn = xn − b

1− a= axn−1 + b− b

1− a=

= a

(yn−1 +

b

1− a

)− ab

1− a= ayn−1

Por tanto, si a 6= 1, cualquiera que sea el valor de b, el sistema lo podemos llevar al caso b = 0.

En la figura tenemos los distintos tipos de trayectorias que se pueden dar según el parámetro a.

a>1

a=1

0<a<1

a=0

-1<a<0

a=-1

a<-1

11

Los valores de los parámetros donde hay cambio de tipo de órbita se llaman valores de bifurcación. En este casoson a = 1, a = 0 y a = −1. Cuando a = 1, también hay que distinguir si b es cero o no.

Si a = 0, la aplicación f no es biyectiva. Exceptuando este caso, si |a| < 1, todas las trayectorias tienden al origeny si |a| > 1 todas escapan del origen.

Como veremos más adelante, en un sistema autónomo, el valor de la derivada de la función f , evaluada en unpunto fijo (en este caso en x = a) nos indicará como son las órbitas alrededor del punto fijo. Este es un primerejemplo de cómo obtener propiedades de las órbitas sin conocer previamente la solución.

3.3. La ecuación lineal no autónoma xn = a(n)xn−1 + b(n)

Vamos a generalizar la ecuación lineal estudiada xn = axn−1 + b, suponiendo que en vez de coeficientes cons-tantes, tenemos coeficientes que dependen de n.

Propiedad 3. La solución de la recurrencia lineal de primer orden

xn = a(n)xn−1 + b(n)

viene dada por

xn = x0

n∏

i=1

a(i) +n−1∑

i=1

(b(i)a(i + 1) . . . a(n)) + b(n)

Haremos la demostración por inducción.

DEMOSTRACIÓN: Si n = 1, la expresión de la solución es correcta, ya que coincide con la ecuación.

x1 = a(1)x0 + b(1)

Con n = 2 tenemos

x2 = a(2)x1 + b(2) = a(2) (a(1)x0 + b(1)) + b(2)= a(1)a(2)x0 + a(2)b(1) + b(2)

Supongamos que se verifica para n y comprobemos para n + 1

xn+1 = a(n + 1)xn + b(n + 1) =

= a(n + 1)

(x0

n∏

i=1

a(i) +n−1∑

i=1

(b(i)a(i + 1) . . . a(n)) + b(n)

)+ b(n + 1) =

= x0

n+1∏

i=1

a(i) +n∑

i=1

(b(i)a(i + 1) . . . a(n + 1)) + b(n + 1)

Para la solución de la homogénea, como tendremos b(i) = 0, será

xn+1 = x0

n+1∏

i=1

a(i)

12

4. Puntos fijos y órbitas periódicas

4.1. Puntos fijos

Definición 10. Dada una función continua f(x), x ∈ R, diremos que x∗ es un punto fijo si f(x∗) = x∗.

La definición es equivalente a decir que la trayectoria de x∗ consta de un sólo punto γ(x∗) = x∗.

Definición 11. Diremos que p es un punto k-eventualmente fijo si p no es fijo, pero existe un k > 0 tal que fk(p)es un punto fijo.

Por ejemplo, si f(x) = x2 − 2, con x0 = 0 tendremos x1 = −2 y x2 = 2, x3 = 2, . . ., de manera que 0 es unpunto 2-eventualmente fijo.

4.2. Puntos periódicos

Definición 12. Diremos que p es un punto periódico si existe un entero m 6= 0 tal que fm(p) = p.

De la definición es evidente que f2m(p) = fm(fm(p)) = fm(p) = p y de la misma forma para cualquier enterok tendremos que fkm(p) = p. Por tanto, si un punto es periódico para un entero, también lo es para cualquiermúltiplo de este entero.

Definición 13. Llamamos periodo n del punto p o de su órbita γ(p) al entero positivo más pequeño tal quefn(p) = p.

4.3. Trayectorias periódicasSi p es un punto periódico de periodo n, el conjunto de sus iterados conforma una trayectoria que llamamosperiódica, formada por los puntos p, f(p), . . . , fn−1(p).

Un punto fijo se puede considerar como un punto periódico de periodo unidad.

Definición 14. Diremos que p es un punto eventualmente periódico de periodo m si p no es periódico, pero existek > 0 tal que fm+i(p) = fi(p) para todo i ≥ k. Es decir, p es periódico para i ≥ k.

Esto significa que la órbita de x llega a un iterado que pertenece a una trayectoria de periodo m.

Definición 15. Una trayectoria x0, x1, x2, . . . se llama asintóticamente periódica si converge a una periódicacuando n −→∞, es decir, hay una trayectoria periódica y0, y1, . . . , yk, y0, y1, . . . de manera que

lımn→∞

|xn − yn| = 0

El caso eventualmente periódico es el caso extremo de una trayectoria asintóticamente periódica, dado que latrayectoria del punto alcanza la periódica.

13

5. Comportamiento asintótico

5.1. Conjuntos límiteUn criterio muy importante para clasificar las órbitas es su comportamiento cuando n tiende a ±∞. A veces, estelímite no es un punto fijo.

Por ejemplo, en la recurrencia xn = kxn−1, 0 < k < 1, tenemos la solución xn = knx0 y, por tanto, la solucióntiende a 0. Si k = 1, todos los puntos seran fijos y el límite de la órbita será el propio punto fijo.

Pero, si tomamos k = −1 y x0 6= 0 la trayectoria de cualquier punto será oscilante . . . ,−x, x,−x, x,−x, x, . . . y por tanto no tendrá límite. Sin embargo, podríamos decir que la órbita tiende a la 2-periódica formada por ellamisma.

Definición 16. Sea (E,N, f) un sistema dinámico. Diremos que z ∈ E es un punto ω-límite o punto límitepositivo de una trayectoria γ(x0) si existe una sucesión estrictamente creciente de enteros kn tal que

z = lımn→∞

x(x0, kn)

(obviamente, por construcción, kn →∞ cuando n →∞).

El conjunto de todos los puntos límite positivos de la trayectoria lo denotamos por Ωx0 . Análogamente, podemosdefinir el límite negativo.

Definición 17. Sea (E,N, f) un sistema dinámico. Diremos que z ∈ E es un punto α-límite o punto límitenegativo de una trayectoria γ(x0) si existe una sucesión estrictamente decreciente de enteros kn tal que

z = lımn→∞

x(x0, kn)

El conjunto de todos los puntos límite negativos de la trayectoria lo denotamos por Ax0 .

La notación de los conjuntos límite deriva del sentido intuitivo que tienen: una órbita “comienza” en el conjuntolímite negativo y “acaba” en el positivo; por eso se los designa con la primera y la última letras del alfabeto griego.

14

6. Conjuntos y funciones invariantes

6.1. Conjuntos invariantesUno de los métodos más básicos para analizar un sistema consiste en separarlo en subsistemas. Estos subsistemasvienen definidos por conjuntos que tienen propiedades comunes.

Definición 18. Diremos que un subconjunto A del espacio de fases es un conjunto invariante si la trayectoria decualquiera de sus puntos está formada por puntos del mismo subconjunto, es decir, ∀x0 ∈ A, ϕ(x0, n) ∈ A, ∀n.

Dado un subconjunto invariante podemos definir sobre él un subsistema dinámico, ya que si contiene un punto deuna órbita la contiene toda.

6.2. Funciones invariantesAnálogamente, podemos definir una función invariante

Definición 19. Dado un sistema dinámico (E,T, f), diremos que una función continua, no idénticamente cons-tante, h : E −→ R es una función invariante si toma el mismo valor para todos los puntos de una órbita, es adecir,

h(xn) = h(x0), ∀ x0 ∈ E, ∀ n ∈ T

La importancia de las funciones invariantes es que sirven para obtener subconjuntos invariantes del sistema. Estosconjuntos vendrán definidos por los puntos en los que la función toma el mismo valor.

Definición 20. Definiremos el conjunto de nivel de h correspondiente al valor c al formado por los puntos dex ∈ E tales que h(x) = c y lo denotaremos por Ic.

Propiedad 4. Un conjunto de nivel Ic es invariante.

DEMOSTRACIÓN: Si x0 ∈ Ic tendremos que h(x0) = c y por ser h una función invariante tendremos h(xn) = c. Portanto, xn ∈ Ic, es decir, si un punto x0 está en el conjunto, todos los puntos de su trayectoria también lo están.

7. Estudio de las órbitas

7.1. Sensibilidad a las condiciones iniciales

Definición 21. Sea f : R −→ R. Un punto x0 se dice que es sensible a las condiciones iniciales si hay unadistancia d 6= 0, tal que los puntos arbitrariamente cerca de x0 se aplican después de un número finito deiteraciones, a una distancia mayor o igual a d de la imagen de x0.

∃ε > 0, d > 0 Nε(x0) y k ∈ Z+/ |fk(x)− fk(x0)| ≥ d, x ∈ Nε(x0)

Normalmente, cuanto más cerca está x de x0, más grande es la k necesaria.

15

7.2. Diagramas de órbitasConsideremos una aplicación

f : R −→ R

La forma más inmediata de representar gráficamente los iterados de un punto por f es con el llamado diagramatemporal, que no es más que representar los valores de la variable frente a la variable temporal, es decir, en eleje horizontal se sitúa el valor n de la iteración, en el vertical el valor del iterado, y representamos los puntos(n, fn(x0)).

En la figura siguiente tenemos los 30 primeros iterados de la función f(x) = x2 − 1.8, empezando con x0 = 1.2.En el eje horizontal se representa el valor de n, mientras que en el vertical representamos el valor xn.

0 5 10 15 20 25 30

1.5

-1

0.5

0

0.5

1

n

x

El conjunto disperso de puntos se aclara un poco si los dibujamos enlazados según su orden en la iteración.

0 5 10 15 20 25 30

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

n

x

Este procedimiento inmediato presenta muchas carencias y da pocas posibilidades de análisis del comportamientoasintótico de las trayectorias, dado que no es útil para representar un gran número de puntos.

Vamos pues a ver otro procedimiento más cómodo, más habitual y más útil para determinar el comportamientode las órbitas de una función. Esta forma de representación gráfica de los iterados se conoce con el nombre dediagrama de escalera (En los textos en inglés se conoce como coweb diagram).

El proceso se realiza de la siguiente forma:

16

-1 4

-2

-1

1

2

3

4

(x,0)

(x,f(x))(f(x),f(x))

(f(x),0)

y=x

-1 4

-2

-1

1

2

3

4

(x,0)

(x,f(x))(f(x),f(x))

(f(x),0)(f(f(x)),0)

y=x

Figura 2: Construcción del diagrama de iterados.

En la figura siguiente tenemos la representación de los iterados de la misma función f(x) = x2−1.8, comenzandocon x0 = 1.2.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

x =1.20

05

1015

2025

-1.5

-1

-0.5 0

0.5 1

8. Puntos fijos y órbitas periódicas

8.1. Puntos fijosUn punto fijo viene dado, como ya sabemos, por la condición x∗ = f(x∗). La determinación de los puntos fijosse puede complicar si la expresión de f(x) no es simple. En ese caso se puede acudir a métodos numéricos.

Pero antes de aplicar un método numérico podemos utilizar un procedimiento gráfico, ya que los puntos fijos secorresponden con la abscisa de las intersecciones de la gráfica de f(x) y la bisectriz del primer cuadrante y = x.

Consideremos la aplicación

f(x) = 1 + x− x2 +x4

9

Los puntos fijos de esta aplicación son las raíces de la ecuación bicuadrática x4 − 9x2 + 9 = 0, es decir:

17

a) x1 = −√

3

2(3 +

√5) = −2.80252 . . . , b) x2 = −

√3

2(3−

√5) = −1.07047 . . . ,

c) x3 =

√3

2(3−

√5) = 1.07047 . . . , d) x4 =

√3

2(3 +

√5) = 2.80252 . . . .

Sin embargo, antes de utilizar métodos numéricos o algebraicos para determinar las soluciones. Podemos ver silas hay o no.

En la figura se representa la gráfica de la función y la bisectriz del primer cuadrante; la proyección de los puntosde intersección sobre el eje de las x determina los puntos fijos.

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2.80252 -1.07047

2.802521.07047

y=x

Una órbita Γ de periodo k de una aplicación f(x) es un conjunto que tiene k puntos. Cuando consideramos laaplicación fk(x), es decir, la función que resulta de la composición de f por ella misma k veces, cada punto xj ,j = 1, . . . , k de Γ verifica fk(xj) = xj .

Por tanto, la órbita periódica se ha convertido en un conjunto de k puntos fijos para la función fk. Así, estos puntoslos podemos determinar fácilmente de forma gráfica a partir del dibujo de fk y la bisectriz y = x.

Siguiendo con el ejemplo anterior, en la siguiente figura tenemos representadas la función f(x) y su iteraciónf2(x).

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f (x)2

f(x)

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

-3

-2

-1

1

x

y

-1.87852-3.02372

f(x)

Observemos que hay seis puntos de intersección de la gráfica de f2 con la bisectriz. Comparada con los de lafunción, tenemos cuatro que son puntos fijos de f , mientras que los otros dos son fijos de f2, es decir, conformaranuna trayectoria de periodo 2 para f .

18

Es evidente que los puntos fijos de una función siempre aparecerán como fijos para cualquier composición fn dela función.

Los puntos que conforman la trayectoria periódica son: f(−1.87852) = −3.02372 y f(−3.02372) = −1.87852.

Consideremos ahora la función cuadrática f(x) = x2 − 1.6. Podemos ver que tiene dos puntos fijos x∗1 =−0.860147 y x∗2 = 1.86015. También tiene una trayectoria periódica −1.42195, 0.421954.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

f(x) = x - 1.62

f (x)2

y=x

x

y

También hay una trayectoria de periodo 4: −1.13977,−0.300934,−1.50944, 0.678406, como aparece en lafigura

f(x) = x - 1.62

f (x)4

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

y=x

Teorema 1 (Existencia de puntos fijos). Sea f continua en el intervalo I = [a, b]. Si se verifica que f(I) ⊂ I oque f(I) ⊇ I , entonces f tiene al menos un punto fijo en I .

DEMOSTRACIÓN: En el primer caso f(a) > a y f(b) < b, por tanto, la función f(x)− x cambia de signo entre a yb y al ser contínua se anulará en algún punto entre a y b, es decir, ∃ c ∈ [a, b] de manera que f(c) = c.

Si f(I) = [A,B] ⊇ I , tendremos I = [a, b] ⊂ [A,B]. Como f es contínua ∃u ∈ [a, b] | f(u) = A y∃v ∈ [a, b] | f(v) = B, de forma que también f(x) − x cambia de signo entre u y v, luego ∃ c ∈ [u, v] ⊂ [a, b]de manera que f(c) = c.

19

0.5 a=1 b=2 2.5

A=0.5

a=1

1.5

b=2

2.5

B=3

c

c

f(I)Ê I

y=x

8.2. Estabilidad de los puntos fijos

Definición 22. Si todo entorno U de un punto fijo x∗ contiene otro entorno V tal que las órbitas positivas quecomienzan en V estan contenidas en U , diremos que tenemos un punto fijo estable.

Si ϕ(A,N) representa el conjunto de órbitas de los puntos del conjunto A, entonces la propiedad que relaciona Uy V la escribimos ϕ(V,N) ⊂ U .

Si en la anterior definición cambiamos el término punto fijo por el de subconjunto invariante y cerrado, entoncesse generaliza la definición de estabilidad.

Definición 23. Sea x∗ un punto fijo estable. Si existe un entorno U de x∗ de manera que toda órbita de U tengacomo conjunto límite positivo el propio x∗, diremos que es un punto asintóticamente estable o punto absorbente.

lımn→∞

fn(x) = x∗, ∀x ∈ U

Propiedad 5 (Criterio de estabilidad). Sea f una función contínua definida en un entorno ]a, b[ de un punto fijoc. Consideremos la gráfica de la función f en el plano XY . Si consideramos en este plano un círculo alrededordel punto (c, f(c)), de forma que la gráfica de f esté contenida en los sectores I , I∗ ó II , II∗ (ver figura), c esun punto fijo asintóticamente estable.

f(x)(a,0)

(c,0) (b,0)I

II I*

II*

DEMOSTRACIÓN: Si f está en I , I∗, para c ≤ x < b se verificará que f(c) ≤ f(x) < x en I∗. Entonces, c es ellímite positivo de todo punto de la órbita de x.

En efecto, para las hipótesis establecidas tendremos x ≥ f1(x) ≥ f2(x) ≥ . . . .

Como que todo fn(x) está en I∗, la sucesión está acotada inferiormente y, por tanto existe el límite que es unpunto fijo, ya que

f(lımxn) = lım f(xn) = lım xn+1 = lımxn

Como el único punto fijo que existe es c, este es el límite. Se llega a conclusiones similares si x < f(x) ≤ c en unintervalo a < x < c.

20

Si la gráfica está en los sectores II , II∗, consideramos f2. Comenzando en un punto de uno de los sectores, elsegundo iterado vuelve a estar en el mismo sector. Con un razonamiento similar al caso anterior llegamos a lasmismas conclusiones.

Además de saber si un punto es estable, es importante conocer cuáles son las trayectorias que tienden a él.

Definición 24. Llamaremos conjunto estable de x∗ al conjunto de puntos de I que tienden a él. Lo denotaremospor W s(x∗).

W s(x∗) = x | lımn→∞

fn(x) = x∗

Análogamente, el conjunto inestable de x∗ es el conjunto de puntos de I que tienen a x∗ como conjunto límitenegativo. Lo denotaremos por Wu(x∗).

Propiedad 6. Los conjuntos estables de dos puntos fijos distintos no se intersecan.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que p y q son dos puntos fijos y que x es un punto común a los conjuntos estables dep y q. Vamos a ver que ha de ser p = q.

Efectivamente, como p es un punto límite de x, existe una sucesión fn(p)(x) que tiende a p.

Análogamente existe fn(q)(x) que tiende a q.

Dado un ε existen números N y M tales que cuando m > N , m > M se tiene que

|p− fm(x)| < ε

2, |q − fm(x)| < ε

2

y, por tanto,|p− q| = |p− fm(x) + fm(x)− q| ≤ |p− fm(x)|+ |q − fm(x)| ≤ ε

y, como que ε es arbitrario tenemos que p = q.

Teorema 2. Sea x∗ un punto fijo atractor de la aplicación f : I −→ I y sea W s(x∗) =]a, b[. Entonces, se puedendar las siguientes tres situaciones

a) a, b son puntos fijos, es decir, tendremos f(a) = a y f(b) = b,

b) a, b forma una trayectoria periódica de periodo 2, es decir, tendremos f(a) = b y f(b) = a,

c) uno de los puntos a ó b es fijo y el otro es eventualmente fijo a él, es decir, tendremos f(a) = f(b) = a óf(a) = f(b) = b.

Esta situación ve reflejada en la siguiente figura

2 4 6 8

2

4

6

8

a bx*0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

a bx*

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

a bx*

21

8.3. HiperbolicidadHasta ahora sólo hemos exigido de la función f que fuera contínua. Ahora vamos a añadir condiciones de deriva-bilidad sobre f .

Recordemos que una función f es de clase C1 cuando admite derivada primera contínua. Una condición equiva-lente a que f y f−1 sean de clase C1 es que f sea de clase C1 y que su derivada no se anule en ningún punto. Eneste caso se dice que f es un difeomorfismo.

Definición 25. Sea x∗ un punto fijo de f , supongamos que f sea un difeomorfismo en un entorno de x∗. Entoncesdiremos que x∗ es un punto fijo hiperbólico si el valor absoluto de la derivada de f en x∗ es distinto de la unidad.

∣∣∣∣df

dx(x∗)

∣∣∣∣ 6= 1

Para los puntos hiperbólicos podemos dar un nuevo criterio de estabilidad.

Teorema 3 (Estabilidad de un punto fijo hiperbólico). Sea f de clase C1 sobre un intervalo I , y sea x∗ un punto

fijo hiperbólico de f , con∣∣∣∣df

dx(x∗)

∣∣∣∣ < 1. Entonces x∗ es un punto fijo absorbente.

DEMOSTRACIÓN: Tomemos un a tal que |f ′(x)| < a < 1. Dado que

lımx−→x∗

|f(x)− f(x∗)||x− x∗| = |f ′(x∗)|

hay un entorno Uε(x∗), para un ε > 0, tal que

|f(x)− f(x∗)||x− x∗| < a, ∀x ∈ Uε(x∗)

Esto significa que f(x) está más cerca de x∗ que el propio x en un factor a < 1, entonces, si x ∈ Uε(x∗), tenemosque f(x) ∈ Uε(x∗) y también pasa lo mismo para f2, f3, etc., de manera que

∣∣fk(x)− x∗∣∣ ≤ ak |x− x∗|,

∀k ≥ 1, y por tanto x∗ es atractor.

Corolario 1. Si x∗ es un punto fijo hiperbólico que verifica las condiciones del teorema de estabilidad en unentorno U de x∗, entonces x∗ es el único límite positivo de las órbitas de puntos de U .

Si el entorno U coincide con todo el intervalo I diremos que la aplicación es contractiva.

Ejemplo 2.

Tomemos la función f(x) = 2x(1− x), x ∈ [0, 1].

Sus puntos fijos son x∗ = 1/2 y x∗ = 0.

Comparamos∣∣f(x)− 1

2

∣∣ con∣∣x− 1

2

∣∣.∣∣∣∣f(x)− 1

2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣2x(1− x)− 1

2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣2x− 2x2 − 1

2

∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣x− x2 − 1

4

∣∣∣∣ =

= 2∣∣∣∣(

x− 12

)(12− x

)∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣x−

12

∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸

a

∣∣∣∣x−12

∣∣∣∣

como a < 1 cuando x ∈]0, 1[ tenemos que x∗ es un atractor.

22

Teorema 4. Sea f una función de clase C1, si x∗ es un punto fijo hiperbólico con∣∣∣∣df

dx(x∗)

∣∣∣∣ > 1, entonces x∗ es

un punto repulsor.

DEMOSTRACIÓN: Como la derivada de la función inversa de f es la inversa de la función derivada, (f−1)′ = 1/f ′(x),podemos aplicar el teorema 3 anterior a f−1 y obtendremos inmediatamente que x∗ es un punto absorbente paraf−1, lo cual es equivalente a ser un punto repulsor para f .

También se puede hacer la demostración directa de forma semejante al teorema anterior, que se deja como ejerci-cio.

8.4. Estabilidad de las órbitas periódicas

Propiedad 7. Una órbita, Γ, de periodo k de una aplicación de clase C1, de Rn en Rn, es estable si y solamentesi todo punto de ella es un punto fijo estable para fk.

DEMOSTRACIÓN: Si aplicamos la definición de estabilidad a una órbita Γ de periodo k, tendremos que dado unentorno U de Γ hay otro V tal que fn(V ) ⊂ U para todo n.

El entorno U lo podemos considerar como unión de entornos disjuntos Ui, i = 1, . . . , k de cada uno de los puntosxi de Γ de forma que Ui ∩ Uj = ∅, si i 6= j.

El entorno V ⊂ U , también será unión de entornos Vi.

Tomemos un punto xi ∈ Γ y otro yi ∈ Vi.

Si fm(xi) = xj ∈ Vj , por continuidad de f tendremos que fm(yi) ⊂ Uj , es decir, fm(Vj) ⊂ Uj .

En particular si suponemos que m es un múltiplo de k, el periodo de Γ, tendremos que (fm)k(Vi) = fkm(Vi) ⊂Ui. Por tanto, si la órbita es estable todo punto de ella es un punto fijo estable de fk.

El recíproco es inmediato.

Definición 26. Llamaremos conjunto estable de una trayectoria γ, al conjunto de puntos de I que tienden a γ y lodenotaremos por W s(γ) o W s(p) si p es un punto de γ.

Análogamente, llamaremos conjunto inestable de γ, al conjunto de puntos de I que tienen a γ como conjunto límitenegativo. Lo denotaremos por Wu(γ) o Wu(p).

De forma semejante a lo que ocurre para los puntos fijos, los conjuntos estables de dos órbitas periódicas distintasno se intersectan.

Definición 27. Una órbita periódica de periodo k para la aplicación f diremos que es hiperbólica si∣∣∣∣dfk

dx(p)

∣∣∣∣ 6=1, donde p es un punto cualquiera de la trayectoria.

Asimismo, dependiendo de que∣∣∣∣dfk

dx(p)

∣∣∣∣ sea menor o mayor que la unidad, la órbita periódica será atractora o

repulsora.

Obsérvese que, calculandodfk

dxcomo derivada de una función compuesta, la derivada de fk resulta ser el producto

de las derivadas de f en cada punto de la órbita periódica.

23

Es decir,dfk

dx

∣∣∣∣x=p

=d

dxfk−1[f(x)]

∣∣∣∣x=p

=dfk−1

dx

∣∣∣∣f(p)

· df

dx

∣∣∣∣x=p

= · · · =k∏

i=1

df

dx

∣∣∣∣x=xi

Esta fórmula demuestra, además, que el carácter de la órbita periódica no depende del punto particular que consi-deremos. Más concretamente, podemos enunciar el siguiente

Teorema 5 (Estabilidad de una trayectoria periódica de una función derivable). Una órbita de periodo k de unaaplicación de clase C1 es absorbente (repulsora) si un punto cualquiera p de ella es un punto fijo absorbente(repulsora) de fk.

Por ejemplo, la función f(x) = 14 − x− x2

4 , tiene una trayectoria de periodo 2: 1,−1.

Derivando dos veces tenemosdf2

dx

∣∣∣∣x=1

=df2

dx

∣∣∣∣x=−1

=34

, por tanto, la trayectoria es repulsora.

Aplicando la fórmula tenemos:df

dx

∣∣∣∣x=1

· df

dx

∣∣∣∣x=−1

= −32·(−1

2

)=

34

.

8.5. Órbitas de periodo tresLa existencia de órbitas de periodo 3 es importante puesto que tenemos el siguiente resultado:

Teorema 6 (Lie y Yorke). Si f ∈ C0(I) tiene una órbita de periodo 3, entonces tiene órbitas de todos losperiodos.

Hay también otra serie de resultados sobre la existencia de órbitas periódicas que implican la existencia de otrosperiodos. Entre ellos el más importante, con mucho, es el conocido como teorema de Sarkovski.

Proposición 1. Entre dos puntos de una trayectoria de periodo m > 1 hay al menos un punto de alguna trayec-toria de periodo m′ < m.

Proposición 2. Si una aplicación tiene una trayectoria de periodo m > 2, entonces también ha de tener una deperiodo 2.

Corolario 2. Si una aplicación tiene una trayectoria de periodo 2l, l ≥ 1, entonces también tiene trayectorias delos periodos 2n, para n = 0, 1, . . . , l − 1.

Corolario 3. Si una aplicación tiene una trayectoria de periodo distinto a cualquier potencia de 2, 2n, n =0, 1, 2, . . ., entonces también tiene trayectorias de todos estos periodos 2n, n = 0, 1, 2, . . ..

El Teorema de Sarkovski (1964) es probablemente el que proporciona una respuesta más completa al problemade la existencia de los distintos periodos que pueden aparecer en una trayectoria.

24

Consideremos la siguiente ordenación de los números naturales:

3 B 5 B 7 B 9 · · ·B 2 ∗ 3 B 2 ∗ 5 B 2 ∗ 7 B 2 ∗ 9 · · ·B 22 ∗ 3 B 22 ∗ 5 . . .

B 23 ∗ 3 B 23 ∗ 5 B 23 ∗ 7 B 23 ∗ 9 · · ·B 23 B 22 B 2 B 1

La construcción es la siguiente: primero aparecen todos los impares, excepto el 1, de menor a mayor; despuésestos multiplicados por 2, 22, 23, etc.

Así tenemos listados todos los números que no sean potencias de 2, las cuales figuran al final y en orden decre-ciente.

impares s× 2 s× 4 . . .1 2 4 . . .3 6 12 . . .5 10 20 . . .7 14 28 . . .

. . . . . . . . . . . .

3

1

6 12

Teorema 7 (de Sarkovski). Sea f una función contínua de R en R. Si tiene una órbita k-periódica y k B l, segunel orden anterior, f también tiene una órbita de periodo l.

Este resultado es conocido habitualmente como Teorema de Sarkovski. Pero hay otros dos resultados debidostambién a Sarkovski sobre las órbitas periódicas de una aplicación sobre el intervalo.

Teorema 8 (inverso de Sarkovski). Para todo k entero positivo, hay una aplicación continua sobre el intervaloque tiene una órbita k-periódica, pero ninguna órbita n-periódica para n posterior a k en la ordenación deSarkovski.

Así la existencia de una trayectoria de periodo 5 no implica la existencia de una de periodo 3, pero si de todos losdemás periodos.

La existencia de una órbita periódica, cuyo periodo no es potencia de 2 implica la existencia de órbitas de todoslos periodos que son potencias de 2.

Si una aplicación tiene una trayectoria de periodo impar, k > 1, entonces tiene trayectorias para todos los periodosimpares mayores que k y trayectorias con todos los periodos pares.

También tenemos el siguiente teorema:

Teorema 9. Hay una aplicación continua sobre el intervalo que tiene órbitas 2n-periódicas para todo n, pero notiene órbitas de otros periodos.

25

9. Bifurcaciones

9.1. DefiniciónVamos a considerar ahora recurrencias definidas a partir de una función que depende de un parámetro

x1 = f(x, µ), x ∈ V, µ ∈ Rn

Los sistemas que dependen de parámetros se presentan de manera natural.

En todo sistema real siempre hay una serie de constantes que intervienen (la masa, la fricción, la temperatura, etc.)que se consideran fijadas, pero que pueden cambiar y al mismo tiempo variar el comportamiento del sistema.

Si para un determinado valor µ = µ0 conocemos la dinàmica del sistema y vamos variando este valor, podemospreguntarnos cómo y de qué manera cambiará el tipo de comportamiento de las trayectorias del sistema.

El objetivo de la teoria de bifurcaciones es responder a estas preguntas y, en una concepción más amplia, seaplica para designar cualquier modificación producida cuando cambian los parámetros de los que depende elobjeto a estudiar, ya sea este una recurrencia, una familia de curvas o superfícies, campos vectoriales, ecuacionesdiferenciales o integrales, etc.

En realidad, todo modelo y toda medida son aproximados. Es por eso que un buen modelo matemático de unsistema real ha de ser tal que la evolución de las órbitas cambie poco si cambian poco los parámetros.

Si esto no fuera así, el comportamiento del sistema sería difícilmente predecible. Por ello se hace necesario conocerlos valores de los parámetros para los cuales se pueden dar cambios cualitativos.

9.2. Propiedades

Teorema 10 (Continuación de puntos hiperbólicos). Sea f(x, µ) una familia de aplicaciones de clase C1 de R2

en R.

De manera que para µ = µ∗ el punto x = x∗ sea un punto fijo con∣∣∣∣∂f

∂x(x∗, µ∗)

∣∣∣∣ 6= 1

Entonces, hay un intervalo I que contiene x∗, otro intervalo J que contiene µ∗ y una función p de clase C1,p : J −→ I , tal que p(µ∗) = x∗ y f(p(µ), µ) = p(µ).Además f(x, µ) no tiene otro punto fijo en I que p(µ).

Esto significa que dado x∗ punto fijo para µ = µ∗, si es un punto fijo hiperbólico, entonces las funciones que esten“proximas” a f seguirán teniendo un punto fijo hiperbólico.

En particular, si µ está próximo a µ∗, seguirá habiendo un punto fijo hiperbólico p(µ). Pero además existe unafunción x∗(µ) que proporciona el valor del punto fijo en función del parámetro.

DEMOSTRACIÓN: Definimos la función auxiliar g(x, µ) = f(x, µ)− x.

Por hipótesis

g(x∗, µ∗) = 0∂g

∂x(x∗, µ∗) =

∂f

∂x(x∗, µ∗)− 1 6= 0

El teorema de la función implícita aplicado a g nos dice que hay una función p(µ) tal que g(p(µ), µ) = 0 y queverifica las condiciones enunciadas en el teorema.

26

9.3. Tipos de bifurcaciónLas bifurcaciones se producirán pues para valores del parámetro en los cuales el punto fijo deje de ser hiperbólico.

La bifurcación genérica que presentan las familias de aplicaciones con que tratamos es la bifurcación silla-nodoo bifurcación tangente.

El ejemplo más sencillo es la aplicación

x1 = f(x, µ) = µ− x2

cuando µ = −14

, x∗ = −12

.

Si µ < −1/4 la gráfica de la función no corta a la bisectriz del primer cuadrante. Si µ = −1/4, la gráfica estangente a la bisectriz (un sólo punto fijo) y finalmente, cuando µ > −1/4 hay dos puntos de corte, uno estable yel otro inestable.

La situación se puede visualizar en la siguiente figura.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

µ < -1/4

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

µ = -1/4

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

µ > -1/4

Teorema 11 (Bifurcación silla-nodo). Sea f(x, µ) una aplicación de clase C2 de R2 en R que tiene un punto fijo x∗ no

hiperbólico para un valor µ = µ∗, es decir, f(x∗, µ∗) = x∗ y∂f

∂x(x∗, µ∗) = 1, y verifica:

1)∂2f

∂x2(x∗, µ∗) 6= 0

2)∂f

∂µ(x∗, µ∗) 6= 0

Entonces hay dos intervalos ]µ1, µ∗[, ]µ∗, µ2[ y un ε > 0 de manera que en uno de ellos f(x, µ) tiene dos puntos

fijos en [x∗ − ε, x∗ + ε], uno de ellos es absorbente y el otro repulsora.En cambio, en el otro intervalo, f(x, µ) no tiene puntos fijos.

Observemos que el cambio de signo en una de las propiedades 1) ó 2) intercambia los intervalos ]µ1, µ∗[ y ]µ∗, µ2[

donde no hay puntos fijos.

Cuando el valor del parámetro es el de bifurcación, el punto fijo no es hiperbólico. Entonces no podemos aplicar elcriterio habitual de estabilidad. Sin embargo, sabemos que si se verifica el teorema de bifurcación silla-nodo, lospuntos tienden por un lado del intervalo al punto fijo y se alejan de él por el otro; entonces, el punto no es estable.

Un punto de equilibrio con estas características se llama semiestable.

27

Teorema 12 (Cambio de estabilidad). Sea f(x, µ) una aplicación de clase C2 de R2 en R que tiene un punto fijo x∗ nohiperbólico para el valor µ = µ∗ que verifica:

1)∂f

∂x(x∗, µ∗) = −1

2)∂2f

∂x2(x∗, µ∗)

∂f

∂µ(x∗, µ∗) + 2

∂2f

∂x ∂µ(x∗, µ∗) 6= 0

Entonces hay una curva de puntos fijos x(µ) de forma que si en ]µ∗−ε, µ∗[ los puntos son absorbentes, en ]µ∗, µ∗+ε[son repulsores.

28

10. Ecuación logística

10.1. DefiniciónUno de los objetivos de la Ecología es predecir el comportamiento de una población.

Se llama tasa de crecimiento a la variación neta de población por unidad de tiempo dividida por la población totalal inicio de un periodo de tiempo.

Supongamos que la población x(n) en el recuento n pasa a valer, en el siguiente recuento, x(n + 1) = x(n) +∆x(n), que se realiza después de h unidades de tiempo.

La tasa de crecimiento en este caso sería pues∆x

hx.

La ecuación de crecimiento geométrico es la más simple para hacer esta previsión y dentro de esta, la hipótesismás sencilla es la de una tasa de crecimiento constante, a.

∆x(n) = ax(n)

Es el caso de una cantidad de nacimientos y muertes proporcionales a la población total.

Así, llegamos a la ecuación en diferencias ∆x = ahx = kx. Si k > 1, tendremos un crecimiento ilimitado. Y sik < 1 se llegará a la extinción.

La tasa de crecimiento puede depender de muchos factores, aparte de cuál sea la población. Por ejemplo, de lacantidad de alimentos disponible ´per cápita’, digamos σ, de manera que exista un mínimo σ0 necesario parasustentar la población.

Para σ > σ0 la tasa de crecimiento será positiva; para σ < σ0 será negativa y para σ = σ0 será nula.

El modelo más simple para la tasa es considerar que esta dependa linealmente de σ − σ0, y por tanto

∆x = α(σ − σ0)x

En este modelo, la población podría crecer sin límite o tender a cero, es decir, a la extinción.

Es más realista suponer que cuando el nivel de población llega a un cierto valor ν, la tasa de crecimiento se vuelvenegativa a causa de la menor disponibilidad de recursos, factores ambientales, etc.

Así que cambiamos el modelo ilimitado por la ecuación de crecimiento limitado

∆x = α(ν − x)x,

x1 = x + α(ν − x)x = α(1α

+ ν − x)x

Normalizando las unidades de forma que1α

+ ν = 1

Ecuación logísticax1 = α(1− x)x, α > 0, x ∈ [0, 1] (6)

29

10.2. La ecuación logística y las aplicaciones cuadráticasAdemás de ser un modelo importante para predecir la evolución de una población, la ecuación logística tieneinterés porque sirve de representante de una gran parte de las aplicaciones cuadráticas.

Vamos a ver en primer lugar que toda aplicación definida por un polinomio de segundo grado se puede escribircon el primer coeficiente igual a la unidad y el segundo igual a cero.

Proposición 3 (Forma normal de una aplicación cuadrática). Toda aplicación cuadrática es conjugada a unaaplicación de la forma

x1 = x2 + a

DEMOSTRACIÓN: Con un cambio de escala se puede conseguir que el coeficiente del término de segundo grado sea1. Partimos de

y1 = a2y2 + a1y + a0, a2 6= 0

y hacemos el cambio z = a2y. Tenemos

z1 = z2 + a1z + a2a0

Con un cambio de origen se puede eliminar el coeficiente del término lineal. Hacemos x = z +a1

2y tenemos

x1 = x2 +a1

4(2− a1) + a2a0

Tomando a =a1

4(2− a1) + a2a0 queda demostrado el resultado.

Se podría haber considerado el cambio directo

x = a2y +a1

2

Propiedad 8 (La ecuación logística como modelo de una aplicación cuadrática). Toda aplicación cuadrática queen forma normalizada tenga un valor del término independiente estrictamente menor que 1/4 es conjugada a laaplicación logística.

DEMOSTRACIÓN: Si tenemosy1 = −αy2 + αy

con la notación anterior a2 = −α, a1 = α, a0 = 0, la que implica que en forma normalizada la ecuación logísticaserá

x1 = x2 +α

4(2− α) = x + a

Dada una aplicación normalizada se tendrá una logística equivalente resolviendo

a =α

4(2− α)

es decir, α = 1±√1− 4a. Y se llega a la condición a ≤ 14

.

Además, si exigimos que α sea positivo, elegiremos el signo + de la última ecuación.

Con ello queda demostrada la propiedad.

30

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

f(x) = 0.85 x(1-x)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

f(x) = 1.5x(1-x)

10.3. Puntos fijos y órbitas de periodo dos

Propiedad 9 (Puntos fijos de la aplicación logística). La ecuación logística tiene el punto fijo x∗ = 0 para todo

α y, si α > 1, también el punto x∗ =α− 1

α.

Propiedad 10 (Órbitas de periodo dos de la aplicación logística). Para todo α > 3, la ecuación logística admiteuna órbita de periodo 2.

DEMOSTRACIÓN:

x2 = f(f(x)) = f(αx(1− x)) = α2x(1− x)(1− αx(1− x))

= −α2x((1− x)− αx(1− x)2

)

De manera que la ecuación x2 = x tiene una raíz x = 0, que la descartamos ya que es un punto fijo para todo α.

Buscamos pues las raíces de α3x3 − 2α3x2 + (α2 + α3)x− α2 − 1 = 0.

Como que, para todo α > 1, tenemos queα− 1

αes otro punto fijo, también será solución y la podemos eliminar.

Nos queda que la posible órbita 2-periódica será solución de

α2x2 − (α2 + α)x + α + 1 = 0

es decir,

x =α + 1±

√(α + 1)(α− 3)2α

Cuando α ≥ 3, x será real.

Para α = 3 nos queda una raíz doble x = 2/3 que es el punto fijo correspondiente.

Si α > 3 tendremos dos valores distintos que corresponden a los dos puntos de la órbita periódica. Aumentandoα, el valor mayor de x tiende a 1 y el más pequeño a cero.

Veamos algunas figuras para diversos valores de α

31

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f(x) = 2.9x(1-x)

f (x)2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f(x) = 3.2x(1-x)

f (x)2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f (x)2

f(x) = 3.8x(1-x)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

f(x) = 4.3x(1-x)

f (x)2

10.4. Trayectorias de periodo 3Como se ve en la figura, para α = 3.8 todavía no hay trayectorias de periodo 3. Para α = 3.9 ya hay dos.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1f(x) = 3.8x(1-x)

f (x)2

f (x)3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1 f(x) = 3.9x(1-x)

f (x)2

f (x)3

10.5. Estabilidad de los puntos fijos de la aplicación logísticaConsideremos la aplicación logística f(x) = αx(1− x), con x ∈ [0, 1], tenemos que

df

dx= α(1− 2x)

Por tanto∣∣∣∣df

dx

∣∣∣∣ < 1, si 0 < α < 1∣∣∣∣df

dx

∣∣∣∣ > 1, si α > 1

32

Entonces tendremos que el origen será un punto absorbente si 0 < α < 1 y repulsor si α > 1.

Pero, cuando α = 1 tenemos f(x) = x − x2 < x, si x > 0. En este caso, la región de atracción, es decir, elconjunto estable, es todo el intervalo.

Por tanto tenemos

Propiedad 11. Si 0 < α ≤ 1 toda órbita de la ecuación logística tiende a 0.

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Cuando α > 1, aparece el punto fijo de coordenadas (α− 1)/α y la estabilidad se analiza de la misma manera

df

dx

(α− 1

α

)= 2− α

Será absorbente si 1 < α < 3 y repulsor si α > 3.

Si α = 3, el punto fijo es el 2/3. Hacemos un cambio de coordenadas que lleve este punto al origen: u = x− 2/3,y tenemos

u1 =x1 − 23

= 3(x− x2)− 23

=

=3(

u +23− u2 − 4

9− 2u

3

)− 2

3= u− 3u3

Los puntos con u > 0 tienden al origen; en cambio, si u < 0 escapan de él.

Propiedad 12. Para 1 < α < 3, si x no es el origen o un punto eventualmente fijo respecto del origen, se tieneΩx = punto fijo diferente del origen

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

p. fix

A B

x0

a)

0.2 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

J

1/a (a-1)/a

b)

Equación logística. a) 1 < α ≤ 2, b) 2 < α < 3.

10.6. Estabilidad de las trayectorias de periodo 2Como ya hemos visto, la órbita de periodo 2 está formada por los puntos:

x1 =1 + α +

√(α + 1)(α− 3)2α

, x2 =1 + α−

√(α + 1)(α− 3)2α

y, por tanto, solo hay trayectorias de periodo 2 a partir de α > 3.

33

Se puede comprobar que f ′(x1) = −1−√α2 − 2α− 3 y f ′(x2) = −1 +√

α2 − 2α− 3, de manera que

f ′(x1)f ′(x2) = 4 + 2α− α2

Si dibujamos esta función de α, tenemos

-2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

1+Ö61-Ö6

4 + 2a - a2

los valores de α que igualan al polinomio a 1 son −1 y 3, mientras que el polinomio vale −1 para α = 1±√6.

Tendremos entonces que la trayectoria periódica será absorbente para valores de α entre 3 y 1 +√

6, dado quesólo consideramos valores α > 0.

En la siguiente figura representamos la gráfica de f2 para la ecuación logística y el plano y = x, en el espacioampliado al considerar el parámetro α como la tercera variable.

0

0.25

0.5

0.75

1

2.5

3

3.5

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

5

5

5

x

a

11. La función tienda

11.1. DefiniciónSe llama aplicación tienda general a la que se define como

Tp(x) =

px, x ≤ 1/2p(1− x), x > 1/2

El caso más importante es cuando p = 2, a la que nos solemos referir cuando aludimos a la función tienda sinespecificar el valor de p.

34

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

11.2. Conjugación con la logísticaConsideremos la aplicación tienda con p = 2 y la logística con α = 4, L(x) = 4x(1− x).

Sea la aplicación y = C(x) = sin2 πx

2, x ∈ [0, 1].

Entonces tenemos, considerando x ≤ 1/2,

C(T (x)) = sin2 πx =(2 sin

πx

2cos

πx

2

)2

=

= 4 sin2 πx

2

(1− sin2 πx

2

)= 4C(x)(1− C(x)) =

= L(C(x))

Se puede verificar que también se cumple esta relación cuando x > 1/2. De modo que,

C(T (x)) = L(C(x))

Como C es biyectiva, tenemos T (x) = C−1(L(C(x))), x ∈ [0, 1], y por tanto, T y L son aplicaciones conjugadas.

Sea x∗ el punto fijo de L.

Tendremosx∗ = L(x∗) = C(T (C−1(x∗)))

yC−1(x∗) = T (C−1(x∗))

lo que significa que C−1(x∗) es un punto fijo para T .

De la misma manera se tiene que si y∗ es un punto fijo de T , C−1(y∗) es un punto fijo de L.

Veamos que pasa con los segundos iterados.

T 2 = (C−1 L C) (C−1 L C) = C−1 L2 C

También las aplicaciones para los segundos iterados son conjugadas.

Sucesivamente, podemos ver que los iterados m-èsimos también son conjugados.

En consecuencia si x0, x1, . . . xk−1 es una trayectoria de periodo k de L, C−1(x0), C−1(x1), . . . C−1(xk−1)será una trayectoria de periodo k de T .

Tenemos pues que, en general, C(Tm(x)) = Lm(C(x)), x ∈ [0, 1] y, por tanto el comportamiento de las trayec-torias es semejante en ambas aplicaciones.

35

12. Exponentes de Lyapunov

12.1. Definición y cálculoUna forma de medir la complejidad del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones en diferencias consisteen calcular el número de Lyapunov.

Es conocido que la dinámica caótica se caracteriza por una divergencia exponencial de puntos inicialmente cerca.

Si x∗ es un punto fijo de una aplicación f y f ′(x∗) = a > 1, entonces la trayectoria de cada punto x cerca de x∗

se separa de x∗ aproximadamente a una “velocidad” a para cada iteración.

Para una trayectoria de periodo k, la derivada es el producto de las derivadas en los k puntos de la órbita. Supon-gamos que este producto es A > 1, entonces una órbita de un punto cerca del punto periódico x se separa de xa una “velocidad” de A para cada k iterados, de manera que tiene sentido hablar de una “velocidad” media deseparación A1/k para cada iteración.

La importancia del concepto de número de Lyapunov reside en el hecho de que se puede aplicar a trayectorias noperiódicas y dar una definición de trayectoria caótica como aquella que no tiende a ninguna periódica y su númerode Lyapunov es mayor que 1.

Supongamos una aplicación de un intervalo ]a, b[ en sí mismo xn+1 = f(xn). El exponente de Lyapunov va aser una medida de la divergencia entre órbitas que empiezan en puntos cercanos, x0 y x0 ± δ0.

Si x0 es un punto de una trayectoria k-periódica y tomamos un punto cercano x0 ± δ0, después de una iteración,la distancia entre los dos puntos vendrá aproximada por

δ1 ≈ |f ′(x0)| δ0 = M0δ0

M0 es un factor multiplicador del primer paso.

En una segunda iteración tendremos

δ2 ≈ |f ′(x1)| δ1 = M1δ1 = M1M0δ0

De forma recurrente, el factor total al cabo de k iteraciones que completan el período es el producto M0M1M2 . . . Mk−1.

Como este producto es una acumulación de factores, tiene sentido que se considere algún tipo de “media” sobreél, y en este caso, la más adecuada es la media geométrica (M0M1M2 . . . Mk−1)1/k

Si tomamos logaritmos sobre este valor tenemos

λ = log(M0M1M2 . . .Mk−1)(1/k) =

=1k

(log M0 + log M1 + · · ·+ log Mk−1) =

=1k

(log |f ′(x0)|+ log |f ′(x1)|+ · · ·+ log |f ′(xk−1)|)

Intuitivamente, la condición para la estabilidad de la trayectoria periódica es que la media del factor de multipli-cación sea menor que 1, lo cual equivale a que λ < 0.

Por tanto, si λ < 0 la trayectoria será estable y si λ > 0 inestable.

36

Definición 28. El exponente de Lyapunov λ(x0) de una aplicación diferenciable f viene dado por

λ(x0) = lımk→∞

1k

(log |f ′(x0)|+ log |f ′(x1)|+ · · ·+ log |f ′(xk−1)|)

suponiendo que el límite existe.

En caso de que alguna de las derivadas se anule, pondremos λ(x0) = −∞.

Definición 29. El número de Lyapunov L(x0) se define por la exponencial del exponente de Lyapunov, siempreque exista

L(x0) = exp λ(x0)

Es una cuestión todavía abierta si este valor existe para toda órbita.

Teorema 13. Si al menos un exponente de Lyapunov es positivo, entonces el sistema es caótico. Si para un puntoes negativo, entonces su trayectoria és periódica. Y cuando un exponente de Lyapunov se anula, entonces se tieneuna bifurcación.

12.2. Exponentes de Lyapunov en la tienda y la logísticaUsualmente, los exponentes de Lyapunov no son fáciles de calcular, pero una excepción es la aplicación tienda.

Para la aplicación tienda general tenemos

T′p(x) =

p, x < 1/2−p, x > 1/2

y T′p(1/2) no está definida.

Entonces, cualquier órbita de la aplicación tienda que no pase por el punto 1/2 tiene λ(x0) = log p.

Este resultado permite obtener el exponente de Lyapunov para la ecuación logística conjugada cuando p = 2.

En la sección anterior hemos visto que C(Tm(x)) = Lm(C(x)), x ∈ [0, 1] y el comportamiento de las trayectoriasse traslada de un sistema a otro.

Vamos a utilizar esta expresión para calcular las derivadas y de estas los exponentes de Lyapunov de la aplicaciónlogística en sus puntos periódicos.

Por la regla de la cadena,

C ′(Tm(x)) (Tm(x))′ = (Lm(C(x)))′ C ′(x), m = 1, 2, . . .

Si consideramos una trayectoria de período k de la función tienda comenzando en x0, tenemos que T k(x0) = x0

y, por tanto, la derivada de C ′ se puede eliminar de los dos miembros de la expresión anterior de manera que

(T k(x)

)′=

(Lk(C(x))

)′

Ya que el exponente de Lyapunov se obtiene tomando la media aritmética de los logaritmos de los valores absolutosde las derivadas, tenemos que para órbitas periódicas de la aplicación logística L este tiene el mismo valor quepara las órbitas correspondientes de la aplicación tienda, es decir, log 2.

37

13. Comportamiento caótico

13.1. Caos• Decimos que una aplicación sobre un intervalo I presenta un comportamiento caótico en sus trayectorias cuando

se tienen las siguientes condiciones:

Densidad: Podemos tomar un valor inicial x0 de manera que su trayectoria pase tan cerca como se quiera de otrovalor dado.

Sensibilidad a las condiciones iniciales, es decir, para dos puntos que esten arbitrariamente cerca sus trayectoriaspueden estar en algún tiempo tan separadas como se quiera.

Periodicidad Las trayectorias periódicas son densas en el intervalo.

Las funciones conocidas como “tienda” y “dientes de sierra” son dos funciones simples que, cuando actúancomo iteradores sobre un intervalo exhiben un comportamiento caótico en sus trayectorias

En este capítulo vamos a ver como actúan estas funciones y cuáles son sus principales propiedades.

Su comportamiento se estudia de forma muy sencilla si tomamos el intervalo [0, 1] y expresamos los puntos en elsistema binario.

13.2. Representación binariaEl sistema de representación decimal es un sistema posicional, es decir, las cifras representan una cantidad u otrasegún la posición en que se encuentren en la representación del número, siguiendo ordenadamente las sucesivaspotencias de 10. Las cifras que se utilizan son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Así para representar el número 1434.25 tendremos

potencias de 10 103 102 101 100 10−1 10−2

valor posicional 1 4 3 4 2 5

es decir, 1434.2510 = 1(1000) + 4(100) + 3(10) + 4(1) + 2(1/10) + 5(1/100).

El sistema binario es semejante pero se consideran sólo dos cifras el 0 y el 1 y su valor también es posicionalpero siguiendo ahora las potencias de 2.

Así el mismo número decimal 1434.25 sería:

potencias de 2 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 2−1 2−2

valor posicional 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

es decir,

1434.252 = 1(210)+0(29)+1(28)+1(27)+0(26)+0(25)+1(24)+1(23)+0(22)+1(21)+0(20)+0(2−1)+1(2−2).

De la misma manera que en base 10 cualquier número que acaba en 0 se puede representar por el anterior seguidode una parte decimal formada por la cifra 9 de forma periódica, es decir, 15010 = 149.910, en el caso del sistemabinario se puede utilizar el mismo cambio de notación.

Así, el número 1.02 = 0.12, o bien, 0.12 = 0.012.

Esto nos será de utilidad en lo que sigue.

38

13.3. La función “dientes de sierra”La función “dientes de sierra”, sobre el intervalo [0, 1] es la definida de la siguiente manera

S(x) =

2x, cuando 0 ≤ x ≤ 0.52x-1, cuando 0.5 < x ≤ 1

(7)

La gráfica de la función sobre el intervalo [0, 1] se representa en la siguiente figura, así como los iterados para elpunto inicial 0.15.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Si representamos en binario los puntos del intervalo [0, 1] siempre tendremos una representación de la forma0.a1a2a3 . . .,

donde a1 = 0 si el punto se encuentra entre 0

y 1/2 y a1 = 1 si el punto se encuentra a la derecha de 1/2.

Notemos que 1/2 está incluido en ambos casos, ya que 0.12 = 0.012.

Si aplicamos la función S(x) a un punto de [0, 1] tendremos:

• Si a1 = 0, multiplicaremos por 2, de manera que el número resultante será 0.a2a3 . . .

• Si a1 = 1, multiplicaremos por 2 y luego restamos 1. El resultado será igualmente 0.a2a3 . . ..

De manera que para construir la trayectoria de un punto x0 lo representaremos de forma que tenga un finalperiódico, y después utilizaremos la regla anterior.

Por ejemplo, sea x0 = 0.01101 = 0.011001. Así,

x1 = S(x0) = 0.11001x2 = S2(x0) = S(x1) = 2x1 − 1 = 0.10011x3 = S3(x0) = S(x2) = 2x2 − 1 = 0.00111x4 = S4(x0) = S(x3) = 2x3 = 0.01111x5 = . . .

Teniendo en cuenta la forma de la representación en binario, podemos dividir el intervalo [0, 1] en clases o subin-tervalos, de manera que los elementos de cada clase se diferencien por su representación.

En primer lugar dividiremos en dos subintervalos, el [0, 1/2] y el [1/2, 1]. Todo número que esté en el primero deellos tendrá, en su representación binaria, a1 = 0. Mientras que para todo elemento del segundo, se tendrá a1 = 1.

Si dividimos ahora cada uno de estos a su vez por la mitad tendremos los intervalos [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4]y [3/4, 1]. Los números del primer intervalo tendrán una representación binaria caracterizada por a1 = a2 = 0.Los del segundo intervalo tendrán a1 = 0, a2 = 1. Para el tercero tendremos a1 = 1, a2 = 0. Y para el últimoa1 = 1, a2 = 1.

Podemos proseguir así indefinidamente. Cada uno de los 2n subintervalos que quedan en la etapa n-ésima quedancaracterizados por una sucesión de valores a1, . . . , an que permanece constante en cada uno de ellos.

39

Inversamente, dado cualquier valor en el intervalo [0, 1], su presentación binaria nos permite determinar inmedia-tamente a qué subintervalo pertenece, según qué etapa consideremos. Por ejemplo, x0 = 0.0110101 pertenece alsubintervalo caracterizado por 011 en la tercera etapa y 01101 si consideramos la etapa quinta.

0 1

00 01 1110

100000 001 010 011 101 110 111

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

De esta manera es fácil determinar un punto de cualquier subintervalo que pase por cualquier otro subintervalo enel número de iteraciones deseado. Por ejemplo, para escoger un punto del intervalo “101” cuya trayectoria pasepor el intervalo “001” basta elegir x0 = 0.101001.

Como los subintervalos pueden hacerse tan pequeños como se quiera, se tiene de forma inmediata la propie-dad de densidad. Puede escogerse un punto de cualquier subintervalo dado y hacer que su trayectoria pase porcualesquiera sucesión de subintervalos deseada, ya sean de tamaño más grande o más pequeño.

Es pues inmediato contestar a las siguientes preguntas:

- ¿En qué iteración el punto inicial x0 = 0.11110101001101001 estará en el subintervalo “0011”?

- Determina un valor inicial x0 que esté en el subintervalo “0101” y que al cabo de 5 iteraciones esté en elsubintervalo “1011”.

La sensibilidad a las condiciones iniciales también es fácil de observar. Incluso una diferencia muy pequeñaentre dos valores iniciales puede llevarlos, al cabo de unas ciertas iteraciones, a una separación arbitraria dentrodel intervalo [0, 1]. Recordemos que la longitud de un subintervalo en la subdivisión n-ésima es de (1/2)n.

Si tomamos un punto en un subintervalo de la subdivisión n-ésima, x0 = 0.a1a2a3 . . . anan+1 . . . ,

simplemente cambiando la cifra del lugar an+1, al cabo de n iteraciones las dos trayectorias estarán separadas almenos por 1/2.

Es decir, bastan n iteraciones para que dos puntos que están separados por (1/2)n estén a una distancia de 1/2.

Los puntos periódicos son densos. No todos los puntos de un subintervalo dado pasan a través de todo el intervalo[0, 1]. El valor x0 = 4/7 pertenece a una trayectoria de periodo 3: 4/7, 1/7, 2/7. Evidentemente tenemos quex4 = x0 y que x7 = x4, etc.

El punto 4/7 tiene una representación binaria dada por: 0.100 = 0.1001, de manera que su trayectoria “visita” lossubintervalos “100”, “001” y “010”.

Cualquier valor x0 = 0.a1, . . . , an con una representación binaria que repite un cierto número de dígitos es unpunto de periodo n. Los puntos periódicos son densos, porque el tamaño del subintervalo al que pertenece, (1/2)n,puede hacerse arbitrariamente pequeño.

Los números cuya expresión en binario tienen una repetición son los números racionales. Llegamos a la conclusiónde que todos los racionales son periódicos, aunque sus periodos también pueden ser arbitrariamente grandes.

13.4. La función “tienda”La función “tienda”, sobre el intervalo [0, 1], es la definida de la siguiente manera

T (x) =

2x, cuando 0 ≤ x ≤ 0.52-2x, cuando 0.5 < x ≤ 1

(8)

40

La gráfica de la función sobre el intervalo [0, 1] se representa en la figura, así como los iterados para el puntoinicial 0.15.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Si x = 0.a1a2a3 . . . y a1 = 0 entonces 2x = 0.a2a3 . . . .

Para la segunda parte tendremos, x = 0.1a2a3 . . . , entonces 2x = 1.a2a3 . . . y 2 = 10.00000 · · · = 1.1111111 . . . ,de manera que 2− 2x = 0.a∗2a

∗3 . . . , donde representamos por a∗i el dual de ai, es decir, a∗i = 1 si ai = 0 y vice-

versa.

Si aplicamos pues la función T (x) a un punto de [0, 1] tendremos:

• Si a1 = 0, multiplicaremos por 2, de manera que el número resultante será 0.a2a3 . . .

• Si a1 = 1, multiplicaremos por 2 y luego lo restamos a 2, de manera que el resultado será 0.a∗2a∗3 . . ..

Así por ejemplo, T (0.110110) = 0.01001.

A pesar de la diferencia en las expresiones de los iterados por las funciones S(x) y T (x) se puede encontrar unarelación sencilla entre las dos

Propiedad 13. Se tiene que T (T (x)) = T (S(x)), para todo x ∈ [0, 1].

DEMOSTRACIÓN:

Tomemos x ∈ [0, 1], x = 0.a1a2a3 . . . . Tendremos

T (x) =

0.a2a3a4 . . . si a1 = 0 y T (T (x)) =

0.a3a4 . . . si a2 = 0

0.a∗3a∗4 si a2 = 1

0.a∗2a∗3a∗4 . . . si a1 = 1 y T (T (x)) =

0.a∗3a∗4 . . . si a∗2 = 0, (a2 = 1)0.a3a4 si a∗2 = 1, (a2 = 0)

y para el otro término

S(x) =

0.a2a3a4 . . . si a1 = 0 y T (S(x)) =

0.a3a4 . . . si a2 = 0

0.a∗3a∗4 si a2 = 1

0.a2a3a4 . . . si a1 = 1 y T (S(x)) =

0.a3a4 . . . si a2 = 0

0.a∗3a∗4 si a2 = 1

Esta relación nos lleva de forma inmediata al siguiente corolario.

Corolario 4. Se verifica que Tn(x) = T (Sn−1(x))

41

DEMOSTRACIÓN:

T (T (x)) = T (S(x)), por tanto, reemplazando x por S(x) tenemos: T (T (S(x))) = T (S(S(x))).

Pero en el término de la izquierda podemos reemplazar T (S(x)) por T (T (x)), de manera que tenemos T (T (T (x))) =T 3(x) = T (S2(x)) y por inducción se demuestra para cualquier valor n.

De manera que, como n iteraciones de S consisten en desplazar n cifras en la representación del número tenemosque si x0 = 0.a1a2 . . . an−1an . . .

Sn−1(x0) = 0.anan+1 . . .

y, por tantoTn(x0) = T (0.anan+1 . . . )

La función “tienda” es nuestro segundo modelo de aplicación en la que aparecen las propiedades que distinguenel caos.

Se puede ver fácilmente que podemos tomar un punto que esté en un subintervalo cualquiera de la división poretapas que hemos hecho antes del intervalo [0, 1] y hacer que al cabo de unas iteraciones esté en cualquier otrointervalo.

Por ejemplo, si x0 = 0.a1a2 . . . an es un punto que pertenece al intervalo dado por la etiqueta “a1a2 . . . an” de laetapa n, entonces bastará elegir

x0 =

0.a1, . . . , anb1, . . . , bn, si an = 0, o bien0.a1, . . . , anb∗1, . . . , b∗n, si an = 1

para que Tn(x0) esté en el intervalo b1, . . . , bn.

La propiedad de densidad de los puntos periódicos se obtiene de la misma forma. Utilizando la anterior relaciónTn(x) = T (Sn−1(x)) resulta fácil generar puntos periódicos para la aplicación T .

Vimos en el apartado anterior que los puntos periódicos para la aplicación S son densos en el intervalo [0, 1].

Tomemos un punto x de periodo n para S, es decir, Sn(x) = x.

Si aplicamos T a esta relación tendremos que T (Sn(x)) = T (x),

pero T (Sn(x)) = Tn+1(x), de manera que T (Sn(x)) = T (x) = Tn+1(x) = Tn(T (x)).

Es decir, si x es periódico para S con periodo n, entonces v = T (x) es periódico para T también con periodo n.

La sensibilidad a las condiciones iniciales se puede estudiar también de forma semejante.

Podemos tomar dos puntos distintos arbitrariamente cercanos, de manera que al cabo de ciertas iteraciones sustrayectorias estén separadas más de 1/2.

Los puntos x0 = 0.a1, . . . , anan+1an+2 . . . e y0 = 0.a1, . . . , ana∗n+1an+2 . . . están ambos contenidos en elintervalo dado por la etiqueta “a1a2 . . . an” de la etapa n, es decir, como mucho están a una distancia (1/2)n.

Al cabo de n iteraciones se tiene que xn = Tn(x0) = T (Sn−1(x0)) está exactamente a una distancia 1/2 deyn = Tn(y0) = T (Sn−1(y0)).

Efectivamente, al cabo de n − 1 iteraciones por S, tenemos Sn−1(x0) = 0.anan+1an+2 . . . y Sn−1(y0) =0.ana∗n+1an+2 . . . , por tanto, si an = 0, xn = T (Sn−1(x0)) = 0.an+1an+2 . . . e yn = T (Sn−1(y0)) =0.a∗n+1an+2 . . . , que están a una distancia 1/2 uno del otro.

De idéntica manera se obtiene si an = 1.

42

Parte II

Sistemas continuos

43

14. Sistema dinámico

14.1. DefiniciónUn sistema dinámico proporciona una descripción matemática funcional de un proceso real determinista que vienecaracterizado por un número finito de variables que evolucionan según una ley diferenciable.

Supondremos que dicho proceso viene definido por una serie de variables x1, . . . , xn que evolucionan con eltiempo xi = xi(t) y que, además, es un proceso determinista.

En un sistema dinámico interviene una función ϕ(x, t), definida para todo t ∈ R y x ∈ E ⊂ Rn que describecomo los puntos x ∈ E evolucionan con el tiempo y que se llama flujo del sistema.

Definición 30. Sea E un espacio topológico (métrico) y sea T cualquiera de los conjuntos R, Z, N ∪ 0.Un sistema dinámico sobre E es una aplicación C0

ϕ : E × T −→ E (9)

que satisface

(i) ϕ(x, 0) = x, ∀x ∈ E

(ii) ϕ(ϕ(x, t), s) = ϕ(x, t + s), ∀x ∈ E, ∀t, s ∈ T .

Si representamos ϕ(x, t) por ϕt(x), entonces (ii) se puede escribir como:

(ii) ϕs ϕt(x) = ϕt+s(x) ∀x ∈ E, ∀t, s ∈ T .

E recibe el nombre de espacio de fases y T es el conjunto temporal.

De la definición se sigue que ∀t ∈ T , ϕt : E −→ E es una aplicación C0, que tiene inversa ϕ−t, ya queϕ−t(ϕt(x)) = ϕ0(x) = x y ϕt(ϕ−t(x)) = ϕ0(x) = x.

De manera que, ϕt | t ∈ T es una família uniparamétrica de homomorfismos sobre E.

ϕ0 es la aplicación identidad sobre E, es decir,

ϕt ϕ0 = ϕt (10)

A esta definición se puede llegar no sólo por la generalización de determinados fenómenos físicos, sino tam-bién por las propiedades de ciertos sistemas matemáticos como las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones endiferencias o las ecuaciones en derivadas parciales.

Es fácil comprobar que si A es una matriz n× n, entonces la función

ϕ(x, t) = eAtx

define un sistema dinámico sobre Rn y, además, para cada x0 ∈ Rn, ϕ(x0, t) es la solución del problema decontorno

x = A x

x(0) = x0

(11)

Efectivamente, si tenemos

x(t) = x0eAt = x0

(I + At +

A2t2

2!+ . . . +

Antn

n!+ . . .

)

44

derivando,

x(t) = x0

(A +

2A2t

2!+ . . . +

Antn−1

(n− 1)!+ . . .

)=

= x0 A

(I + At + . . . +

An−1tn−1

(n− 1)!+ . . .

)=

= A eAtx0 = Ax(t)

y, por tanto, ϕ(x, t) es solución de (11).

Por otra parte, si ϕ(x, t) es un sistema dinámico con ϕt diferenciable definido sobre E ⊂ Rn, entonces la función

f(x) =∂

∂tϕ(x, t)

∣∣∣∣t=0

(12)

define un campo vectorial C0 sobre E

y, ∀ x0 ∈ E, ϕ(x0, t) es la solución del problema de valor inicial

x = f (x)x(0) = x0

(13)

ya que si x(t) = ϕ(x, t),

x(t) =∂ϕ(x, t)

∂t= f(x)

por la definición (12) y en t = 0, x(0) = x0.

Como conclusión, tenemos que cada sistema dinámico da lugar a un campo vectorial f y el sistema dinámicodescribe el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial definida por ese campo vectorial.

A la inversa, dada una ecuación diferencial (13) con f ∈ C1(E) y E ⊂ Rn, la solución ϕ(x0, t) del problema decontorno (13) con x0 ∈ E será un sistema dinámico sobre E si y sólo si,

∀x0 ∈ E,ϕ(x0, t)está definida∀t ∈ R.

En este caso ϕ(x0, t) define un sistema dinámico sobre E en el sentido dado por (9).

Planteado el problema (13) es suficiente la continuidad de la función f(x) para garantizar la existencia de solu-ciones.

Teorema 14 (Peano). Sea (x0, t0) ∈ E × T . Sea K = B(x0, b) × [t0 − a, t0 + a] ⊂ E × T . Denotemos porM = maxK |f(x, t)| y α = mın(a, b/M).

Si f es continua, entonces existe una solución del problema (13) en el intervalo [t0 − α, t0 + α].

Además, para tener unicidad en un problema de condiciones iniciales es necesario añadir la condición de Lipschitz:

Definición 31 (Condición de Lipschitz). Sea f : E × [t0 − a, t0 + a] −→ Rn, a > 0, y E un conjunto abierto enRn.

Diremos que f satisface una condición de Lipschitz de constante k respecto de x en [t0 − a, t0 + a]× E si

|f(x1, t)− f(x2, t)| ≤ k |x1 − x2| (14)

para cualquier t ∈ [t0 − a, t0 + a] y x1, x2 ∈ E.

45

Así tenemos el siguiente resultado

Teorema 15. Sea (x0, t0) ∈ Rn y K = B(x0, b)× [t0 − a, t0 + a]. Sea f : K −→ Rn.

Si se verifica que f es continua en I y lipschitziana respecto de x en K, entonces el problema de condición inicial(13) tiene una única solución en el intervalo [t0 − α, t0 + α], siendo M = maxK |f(x, t)| y α = mın(a, b/M).

14.2. EjemplosEl ejemplo más sencillo de un sistema dinámico es considerar una aplicación f : I −→ R, I ⊂ R con f(I) ⊂ Iy tomar los sucesivos iterados de f .

Tendremos E = I , T = N, ϕ(x, n) =

n︷ ︸︸ ︷f [f [. . . f(x)] . . .]].

Las propiedades (i) y (ii) son inmediatas.

Tomemos por ejemplo I = [−1, 1] y f = 1− x2.

Si empezamos con x0 = 14 ,

tendremos ϕ( 14 , 0) = 1

4 , ϕ( 14 , 1) = 15

16 , ϕ( 14 , 2) = 31

256 , . . .

Sea x = ax, con x(0) = x0.

Tendremosx

x= a → log x = at + k1

x = eat+k1 = keat

En t = 0 se tiene x(0) = x0 → x0 = k, y la solución es x = x0eat.

Consideremos el problema de frontera

x = x2

x(0) = 1

Separando variables podemos integrar y tenemos

x

x2= 1 −→ 1

x2dx = dt

− 1x

+ k = t −→ x(t) =1

k − t

Por la condición inicial x(0) = 1 tenemos una solución al problema

x(t) =1

1− t

Esta solución está definida sólo para t ∈]−∞, 1[ y, además, lımt→1− x(t) = ∞.

El intervalo ] − ∞, 1[ se denomina entonces intervalo máximo de existencia de la solución del problema defrontera. Normalmente se representa por I(x0).

Notemos que la función x(t) = (1 − t)−1 tiene otra rama definida sobre el intervalo ]1,∞[; sin embargo, estarama no se considera parte de la solución ya que el tiempo inicial t = 0 6∈]1,∞[.

46

En este ejemplo podemos hacer el cambio de variable y = 1/x, y tenemos la ecuación y = (−x/x2) = −1 cuyasolución son las rectas y = −t + k.

Si t = 0 entonces x = 1 e y = 1, de donde k = 1 y se tiene y = 1 − t. Las curvas integrales quedan definidaspara todo t ∈ R.

Definición 32. Un problema de valor inicial como (13) se llama autónomo,

pero si en la expresión de f(x) aparece explícitamente el tiempo, es decir,

x = f(x, t)

entonces se llama no autónomo.

15. Trayectorias

15.1. Definición y propiedades

Definición 33. Dado x0 ∈ E, definiremos la trayectoria de x0 como el conjunto de puntos

γ(x0) = ϕ(x0, t) /∀t ∈ T

Es el conjunto de valores que toma la función para un x0 dado.

Las trayectorias que vienen dadas por soluciones del problema autónomo (13) se suelen denotar por x(t) o bienespecificando además la condición inicial x(t; x0, t0)

Proposición 4. Si x(t) : I −→ Rn es solución del sistema autónomo (13) en I y c ∈ R es cualquier valorconstante, la función y(t) : I − c −→ Rn definida como y(t) = x(t + c) también es solución de (13) en elintervalo I − c.

En toda trayectoria podemos también distinguir los dos conceptos siguientes:

Definición 34. La semitrayectoria positiva que pasa por el punto x0 será aquella definida por

γ+(x0) = x ∈ E | x = ϕ(x0, t), para t ≥ 0 (15)

Análogamente la semitrayectoria negativa será el conjunto γ−(x0) definido de forma similar para t ≤ 0.

Para toda trayectoria γ(x) se cumple que γ(x) = γ+(x) ∪ γ−(x).

Veamos un ejemplo.

La ecuación lineal en R, x = a x tiene como solución x(t) = x0 eat.

En este caso E = R y queda dividido en sólo tres trayectorias distintas.

Si x0 > 0 su trayectoria es todo R+. La semitrayectoria negativa seria ]0, x0] y la positiva seria [x0,+∞[.

Si x0 < 0 tendremos ]−∞, x0] y [x0, 0[, respectivamente. Si x0 = 0, entonces γ(x0) = 0.

47

-3 -2 -1 1 2

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

t1 t2

x1

x2

g( ), > 0x0 x0

g( ), < 0x0 x0

j( , t)x0 > 0x0

j( , t)x0 < 0x0

+ 8

- 8

= 0x0

Proposición 5. Por cada punto del espacio de fases pasa una y sólo una trayectoria.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que hay dos soluciones x(t;x0) y x(t; x1) distintas y dos valores del tiempo T0 ∈I(x0) y T1 ∈ I(x1) tales que x(T0;x0) = x(T1; x1).

Podemos definir la función y(t) = x(t + T0−T1; x0) definida en el intervalo J = I(x0)− c, c = T0−T1. Comohemos visto en la proposición 4, y(t) también es solución.

Por otra parte, y(T1) = x(T0; x0) = x(T1; x1) (por hipótesis) y de ahí, la unicidad de la solución nos asegura quey(t) = x(t;x1) y además, I(x0)− c ⊆ I(x1).

De forma análoga, si tomamos la función z(t) = x(t + T1 − T0;x1) definida en el intervalo J = I(x1) + c, z(t)también es solución y tenemos que z(T0) = x(T1; x1) = x(T0; x0) (por hipótesis) y, por unicidad z(t) = x(t; x0)en I(x1) + c ⊆ I(x0),

de manera que t ∈ I(x1) ←→ α(t) = t + T0 − T1 ∈ I(x0), y por tanto, x(t; x1) = x(α(t); x0),

es decir, si hay un punto común a las dos órbitas, en realidad han de ser todos los puntos comunes y estamos en lamisma trayectoria, simplemente una es la traslación de los puntos de la otra en el tiempo.

15.2. Trayectorias periódicas

Definición 35. Una trayectoria ϕt(x0) = ϕ(x0, t) se llama periódica si existe un τ 6= 0 tal que ϕ(x0, t + τ) =ϕ(x0, t), para todo t ∈ RUn tal número τ se llama un periodo, y el número τ más pequeño, de los que verifican esta definición, se llama elperiodo.

Lema 1. ϕt(x0) es periódica de periodo τ si y sólo si ϕτ (x0) = x0.

DEMOSTRACIÓN: Si ϕt(x0) es periódica, entonces ϕ(x0, t + τ) = ϕ(x0, t) y tomando en t = 0 se tiene ϕ(x0, τ) =ϕ(x0, 0) = x0.

48

Si ϕτ (x0) = x0, entonces aplicando ϕt a los dos miembros y considerando (10) tenemos que ϕ(x0, t + τ) =ϕ(ϕ(x0, τ), t) = ϕ(x0, t), ∀t.

Equivalentemente, tenemos

Lema 2. ϕt(x) es periódica si existen t y s, con t 6= s, de forma que ϕ(x, t) = ϕ(x, s)

DEMOSTRACIÓN: Tomemos σ = t − s, entonces ϕ(x, u + σ) = ϕ(x, u + t− s) = ϕ(ϕ(x, t), u− s) =[por hipótesis] = ϕ(ϕ(x, s), u− s) = ϕ(x, u).

Por tanto ϕ(x, t) es periódica de periodo σ.

Para sistemas autónomos en R2 hay un criterio sencillo para saber si se tienen o no trayectorias periódicas.

Teorema 16 (Criterio de Bendixson). Sea x = f(x, y), y = g(x, y), (x, y) ∈ R2 y f, g ∈ C2.

Si sobre una región D simplemente conexa (es decir, sin agujeros) el valor de ∂f/∂x + ∂g/∂y no se anula y nocambia de signo, entonces el sistema no tiene ninguna trayectoria periódica que esté toda en D.

DEMOSTRACIÓN: Se trata de una aplicación del teorema de Green sobre el plano.

Efectivamente, en este sistema, aplicando la regla de la cadena, sobre cualquier curva cerrada Γ tendremos que∫

Γ

fdy − gdx =∫

Γ

(fg − gf)dt = 0

y, por el teorema de Green: ∫

S

(∂f

∂x+

∂g

∂y

)dxdy = 0

donde S es la región interior cerrada por la curva.

Pero si ∂f/∂x + ∂g/∂y 6= 0 y no cambia de signo entonces la integral no puede anularse y por tanto no puedeexistir una curva cerrada.

16. Puntos de equilibrio

16.1. Definición

Definición 36. Un punto x0 se dice que es un punto de equilibrio si su trayectoria asociada a un sistema dinámicoconsiste en un sólo punto, es decir,

γ(x0) = x0 .

En general, si tenemos un sistema dinámico definido por (13), un punto de equilibrio es aquel x0 tal que f(x0) =0.

Se puede ver fácilmente que esto es equivalente a la definición 36, puesto que

Si ϕ(x∗, t) = x∗ para todo t, entoncesdx∗

dt= 0 y como que x∗ = f(x∗), tenemos que f(x∗) = 0.

Por tanto, los puntos de equilibrio se pueden obtener a partir de la ecuación diferencial, igualando a cero lossegundos miembros.

49

16.2. Propiedades

Propiedad 14. Un punto x ∈ E es de equilibrio si y sólo si todo entorno suyo contiene una semitrayectoria.

DEMOSTRACIÓN: Si x es un punto de equilibrio, la propiedad se verifica de forma trivial y cualquier entorno de xcontiene toda γ(x).

Para demostrar la proposición en el otro sentido, supongamos que x no sea un punto de equilibrio, entoncesexistirá un t tal que x 6= ϕ(x, t). Tomemos dos entornos W1 y W2 de x y ϕ(x, t), respectivamente.

Dado que son puntos diferentes, podemos considerar los entornos W1 y W2 disjuntos.

Sean V = ϕ(W1, t) ∩W2 y U = ϕ(V,−t) que son entornos de ϕ(x, t) y de x, disjuntos y además ϕ(U, t) = V .

Sea un punto y cualquiera en U .

Como que ϕ(y, t) no pertenece a U , hemos encontrado un entorno de x que no contiene ninguna semitrayectoriay por tanto x no es de equilibrio.

Propiedad 15. Si existe un z tal que z = lımt→∞ ϕ(x, t), entonces z es un punto de equilibrio.

DEMOSTRACIÓN: Dado un entorno de z, por definición de límite, existirá un t0 tal que si t > t0, ϕ(x, t) estarádentro del entorno.

Sea y = ϕ(x, t), con t > t0. Entonces la trayectoria positiva γ+(y) estará toda contenida en el entorno y por laanterior propiedad z será un punto de equilibrio.

Lema 3. Si x ∈ E es tal que x = ϕ(x, τ) para cierto τ ∈ R entonces x = ϕ(x, nτ) ∀n ∈ Z.

DEMOSTRACIÓN: Si x = ϕ(x, τ) para un τ , tenemos que

x = ϕ(x, 0) = ϕ(x, τ − τ) = ϕ(ϕ(x, τ),−τ) = ϕ(x,−τ)

por tanto, es suficiente probar la propiedad para los n positivos.

Así, por inducción, si x = ϕ(x, nτ) y x = ϕ(x, τ) tenemos que

x = ϕ(x, nτ) = ϕ(ϕ(x, τ), nτ) = ϕ(x, τ + nτ) = ϕ(x, (n + 1)τ)

y queda demostrado.

Propiedad 16. x es un punto de equilibrio si y sólo si ∃tn, tn > 0, tn −→ 0 tal que x = ϕ(x, tn), ∀n.

DEMOSTRACIÓN: Si tenemos x de equilibrio, la implicación a la derecha es trivial para todo t ∈ R.

En el otro sentido, si t = k tn, con k, n ∈ Z, por el lema anterior necesariamente x = ϕ(x, t).

Si t no fuera múltiplo de tn, entonces ∃kn ∈ Z de manera que kntn < t < (kn + 1)tn y también ∃m > n demanera que kntn < kmtm < t < (km + 1)tm < (kn + 1)tn y la sucesión kntn −→ t

Por tanto, ϕ(x, kntn) −→ ϕ(x, t) y dado que x = ϕ(x, kntn) entonces x = ϕ(x, t) para un t arbitrario, portanto x es de equilibrio.

50

Teorema 17. El conjunto de todos los puntos de equilibrio en E es cerrado.

DEMOSTRACIÓN: Si no lo fuera existiría una sucesión xn de puntos de equilibrio con xn −→ x, y x no deequilibrio.

Entonces existe algún valor t ∈ R tal que x 6= ϕ(x, t) y, por tanto, podemos encontrar dos entornos U de x y Vde ϕ(x, t), tales que ϕ(U, t) = V y U ∩ V = ∅,

pero como que xn −→ x, ∃n0 tal que xn ∈ U , ∀n > n0, y ya que xn es de equilibrio ϕ(xn, t) ∈ U , ∀n > n0,esto nos lleva a una contradicción con el hecho que U ∩ V = ∅.

17. Puntos periódicos

17.1. DefiniciónPor extensión de la definición 35 de trayectoria periódica, tenemos la siguiente definición

Definición 37. Diremos que un punto es periódico si pertenece a una trayectoria periódica.

Todo punto x ∈ E tiene el periodo τ = 0, ya que ϕ(x, 0) = ϕ(x, t + 0), aunque no sea periódico.

Si x es de equilibrio, todo τ ∈ T es un periodo suyo.

17.2. PropiedadesTeorema 18. Si x ∈ E es periódico pero no de equilibrio, hay un τ > 0 tal que τ es el periodo positivo más pequeñode x. Además si η es otro periodo de x, necesariamente η = nτ , para algún n ∈ Z.

DEMOSTRACIÓN: Sea el conjunto P = T > 0 | T es periodo de x.

Tenemos que P 6= ∅ porque si T 6= 0 es un periodo, entonces −T también lo es, ya que

ϕ(x,−T ) = ϕ(ϕ(x, T ),−T ) = ϕ(x, 0) = x

por tanto, podemos considerar sólo los positivos.

Sea ahora τ = ınf P . Si τ = 0 tenemos que ∃tn ⊂ P , tn −→ 0, x = ϕ(x, tn), ∀n y, por tanto, x es deequilibrio por la propiedad 16.

Por tanto τ > 0 y también τ es un periodo de x, ya que, como τ = ınf P , tenemos una sucesión tn −→ τ y,por tanto, x = ϕ(x, tn) −→ ϕ(x, τ) entonces x = ϕ(x, τ).

Sea ahora η ∈ R otro periodo de x tal que η 6= nτ , ∀n. Entonces ∃n tal que nτ < η < (n + 1)τ (*), pero nτ esun periodo de x y, por tanto, x = ϕ(x, η) = ϕ(x, nτ)

Tendremosϕ(ϕ(x, η),−nτ) = ϕ(x,−nτ) = ϕ(ϕ(x, nτ),−nτ) = ϕ(x, 0) = x

es decir, x = ϕ(ϕ(x, η),−nτ) = ϕ(x, η − nτ), por tanto, η − nτ es un periodo de x, pero de (*) resulta que0 < η − nτ < τ y tenemos una contradicción con que τ sea el periodo más pequeño.

En general, el conjunto de puntos periódicos no es cerrado, como pasaba con los puntos de equilibrio, pero tenemosel siguiente resultado:

51

Teorema 19. Dado α > 0, el conjunto de los puntos x tales que x es periódico con periodo τ ≤ α es cerrado.

Veamos un lema previo:

Lema 4. Si xn es una sucesión de puntos periódicos con periodos positivos τn −→ 0 y xn −→ x, entonces x esde equilibrio.

DEMOSTRACIÓN: Dado t ∈ R, hay kn ∈ Z tales que knτn ≤ t ≤ (kn + 1)τn. Como τn −→ 0, tenemos queknτn −→ t y xn = ϕ(xn, knτn) −→ ϕ(x, t). Pero como xn −→ x tenemos x = ϕ(x, t) y x es de equilibrio.

DEMOSTRACIÓN: (del teorema)

Si xn es una sucesión de puntos periódicos con periodos τn ≤ α y xn −→ x, como que 0 ≤ τn ≤ α, tenemosque

o τn −→ 0 y x es de equilibrio y por tanto periódico, o bien hay una subsucesión τnk−→ T , 0 < T < α y, por

continuidad, ϕ(xnk, τnk

) −→ ϕ(x, T ) y también ϕ(xnk, τnk

) = xnk−→ x

de donde ϕ(x, T ) = x y x es periódico con periodo T ≤ α, por tanto, el conjunto es cerrado.

18. Conjuntos límite e invariantes

18.1. Conjuntos límiteEl siguiente paso es ver hacia donde van las trayectorias. Eso nos lleva a definir los conjuntos límite de unatrayectoria.

Definición 38. Definiremos el conjunto límite positivo como

ω(x) =

y ∈ E | ∃tn → +∞ : y = lımn→∞

ϕ(x, tn)

Análogamente, se define el conjunto límite negativo como

α(x) =

y ∈ E | ∃tn → −∞ : y = lımn→∞

ϕ(x, tn)

.

En el ejemplo visto para la ecuación lineal x = a x tenemos que ω(x) = ∅ porque tiende a +∞ y es divergente,excepto que x = 0.

En este caso α(x) = 0 (al ir hacia atrás las trayectorias tienden a cero).

Veamos otro ejemplo:

Consideremos el sistema en polares

r = r(r − 1)

θ = 1

Para (0, 0) tenemos r = 0 y es un punto de equilibrio, r = 0 → r = 0, r no depende de t y tenemos unatrayectoria γ(0) = 0.

Para r = 1 → r = 0 y θ = t + θ0. Tenemos otra trayectoria, la circunferencia unidad.

52

Para 0 < r0 < 1, tenemos r < 0 y r(t) es decreciente, por tanto (propiedad 15) tiende al punto de equilibrio. Sir0 > 1, entonces r > 0 y r(t) crece.

Tenemos el espacio de fases separado en trayectorias. La solución periódica es la circunferencia Γ de radio unidad.

-1 -0.5 0.5 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Los conjuntos límite quedan:

ω(0, 0) = (0, 0) ω(r0, θ0) = (0, 0)0 < r0 < 1

α(0, 0) = (0, 0) α(r0, θ0) = Γ

ω(1, θ0) = α(1, θ0) = Γ ya que (1, θ0) = lımn→∞(1, 2πn + θ0)

Si r0 > 1, α(r0, θ0) = Γ y ω(r0, θ0) = ∅.

Proposición 6. Sea ϕ(x, t) un sistema dinámico sobre E, entonces si x ∈ E,

ω(x) =⋂

T>0

ϕ(x, t) | t ≥ T

y, por tanto, ω(x) es cerrado.

DEMOSTRACIÓN: Sea q ∈ ω(x), entonces ∃tn → +∞ tal que ϕ(x, tn) → q. Dados T > 0 y ε > 0 existe un n1 talque tn > T ∀n ≥ n1 y también, ∃n2 tal que |ϕ(x, tn)− q| < ε ∀n ≥ n2.

Sea n0 = max(n1, n2), entonces si n > n0, tn ≥ T y |ϕ(x, tn)− q| < ε por tanto q ∈ ϕ(x, t) | t ≥ T.

Recíprocamente, si q ∈ γ+(ϕ(x, k)), ∀k ∈ N, existe una sucesión de puntos qk ∈ γ+(ϕ(x, k)) tales que|qk − q| < 1/k.

Pero qk = ϕ(x, tk) para algún tk ≥ k, por tanto, cuando k → +∞, tenemos que tk → +∞ y ϕ(x, tk) → q, locual nos da la otra inclusión, q ∈ ω(x).

Proposición 7. Si γ(x) es una trayectoria periódica, pasando por el punto x entonces ω(x) = γ(x) = α(x).

DEMOSTRACIÓN: Sea y ∈ γ(x). Entonces ∃t ∈ R, y = ϕ(x, t).

Sea τ el periodo de la trayectoria γ(x), tendremos que ϕ(x, t + nτ) = ϕ(x, t) ∀n ∈ N.

La sucesión tn∞n=1, donde tn = t + nτ es tal que lımn→∞ tn = ∞ y lımn→∞ ϕ(x, tn) = ϕ(x, t) = y,

por tanto y ∈ ω(x) y tenemos que γ(x) ⊂ ω(x).

Por definición de ω(x) tenemos que, si y ∈ ω(x) hay una sucesión de tiempos tn∞n=1 tendiendo a infinito,lımn→∞ tn = ∞, y tal que lımn→∞ ϕ(x, tn) = ϕ(x, t) = y.

53

Sean ahora los valores sn = tn( mod τ). De la periodicidad de γ(x) tenemos que ϕ(x, tn) = ϕ(x, sn) ∀n y, portanto, y = lımn→∞ ϕ(x, sn).

Como que sn ∈ [0, τ ] ∀n, podemos encontrar una subsucesión snk∞k=1 tal que converge a un s ∈ [0, T ]

y tenemos que y = lımn→∞ ϕ(x, snk) = ϕ(x, lımn→∞ snk

) = ϕ(x, s), y por tanto y ∈ γ(x). De manera queω(x) ⊂ γ(x).

La prueba para α(x) es similar.

Proposición 8. Si ∃ p = lımt→∞ ϕ(x, t) entonces p es un punto de equilibrio y ω(x) = p, para x ∈ E.

DEMOSTRACIÓN: Se deduce fácilmente de la caracterización 14 que nos dice que un punto es de equilibrio si y sólosi todo entorno suyo contiene una semitrayectoria.

Proposición 9. El conjunto ω(γ+) es conexo.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que ω(γ+) = A ∪B, donde A 6= ∅ y B 6= ∅, cerrados y A ∩B = ∅.

Sea δ = d(A,B). Todo punto de A y de B es punto límite de γ+, de manera que ∃t suficientemente grande, talque d(γ(t), A) = δ/2 y ∃t suficientemente grande tal que d(γ(t), B) < δ/2.

Por continuidad, existe una sucesión tn, que tiende a +∞ cuando n →∞ y tal que d(γ(tn), A) = δ/2 y, comoque γ(n) está acotada, existe una subsucesión que converge a un punto q ∈ ω(γ+).

Entonces, d(q, A) = δ/2, lo cual implica que q 6∈ A y q 6∈ B, ya que d(q,A) ≥ d(A,B)− d(q, A) = δ/2, y esoes contradictorio con que ω(γ+) = A ∪B.

18.2. Conjuntos invariantesUn conjunto invariante de un sistema dinámico es un subconjunto del espacio de fases tal que la trayectoriaasociada a cada uno de sus puntos está contenida en él.

El interés de los conjuntos invariantes reside en el hecho que la aplicación ϕ restringida a ellos vuelve a definir unsistema dinámico. De esta manera podemos simplificar el estudio del sistema descomponiéndolo en subsistemas.

Definición 39. Un subconjunto A del espacio de fases és invariante respecto del flujo ϕ si

ϕ(A, t) = A, ∀t ∈ R.

Diremos que A es positivamente invariante respecto del flujo ϕ si para cualquier x ∈ A se tiene que ϕ+(x) ∈ A.

Y, análogamente diremos que es negativamente invariante respecto del flujo ϕ si para cualquier x ∈ A se tieneque ϕ−(x) ∈ A.

Un conjunto invariante es un conjunto A formado por una unión de trayectorias. Como ejemplo más sencillopodemos ver que una sola trayectoria es un conjunto invariante, ya que

ϕ(γ(x), t) = y ∈ E | y = ϕ(ϕ(x, s), t), ∀s ∈ R == y ∈ E | y = ϕ(x, s + t), ∀s + t ∈ R == γ(x)

54

Como consecuencia, un conjunto formado por una colección de trayectorias será invariante. El recíproco tambiénes cierto:

Proposición 10 (Caracterización de conjuntos invariantes). Una condición necesaria y suficiente para que unconjunto sea invariante es que contenga la trayectoria completa de todos sus puntos.

DEMOSTRACIÓN: Si es invariante, ϕ(x, t) ha de pertenecer a A para todo t, y si consta de un conjunto de trayectoriascompletas es, por tanto, su unión y como consecuencia de la primera propiedad es invariante.

Propiedad 17. La unión y la intersección de una familia de subconjuntos invariantes Ai es invariante.

DEMOSTRACIÓN: Para la unión tenemos que si A = ∪iAi, y si x ∈ A, entonces ∃i ∈ N tal que x ∈ Ai. Si t ∈ R,por la invariancia de Ai, tenemos que ϕ(x, t) ∈ Ai ⊂ A.

Para la intersección se demuestra de forma semejante.

Propiedad 18. El complementario respecto de E de un conjunto invariante es también invariante.

DEMOSTRACIÓN: Sea A invariante. Tomemos un x ∈ E \ A y t ∈ R. Si fuera que y = ϕ(x, t) ∈ A, comoϕ(x,−t) ∈ A tendríamos que x = ϕ(ϕ(x, t),−t) = ϕ(x,−t) ∈ A, lo cual es una contradicción. Por tantoϕ(x, t) ∈ E \A y E \A es invariante.

Propiedad 19. La clausura A de un conjunto invariante también es invariante.

DEMOSTRACIÓN: Si x ∈ A, entonces existe una sucesión de puntos xi, i = 1, 2, . . . en A tales que lımi→∞ xi =x.

Como que ϕ es una aplicación continua para las x, tenemos que dado t ∈ R entonces ϕ(x, t) = lımi→∞ ϕ(xi, t)y como que ϕ(xi, t) ∈ A, tenemos que ϕ(x, t) ∈ A.

Además de estas propiedades también podríamos enunciar que la frontera y el interior de un conjunto invarianteson invariantes.

Proposición 11. Los conjuntos límite ω(x) y α(x) son invariantes.

DEMOSTRACIÓN: Sea y ∈ ω(x), entonces hay una sucesión de tiempos tn∞n=1 tales que lımn→∞ tn = ∞ yy = lımn→∞ ϕ(x, tn).

Para un t ∈ R tenemos que ϕ(y, t) = ϕt(lımn→∞ ϕ(x, tn)) = lımn→∞ ϕ(ϕ(x, tn), t) = lımn→∞ ϕ(x, tn + t)y, por tanto ϕ(y, t) ∈ ω(x).

La demostración para α(x) es semejante.

Definición 40. Un conjunto M ⊂ E se llama minimal de un sistema dinámico si es un conjunto no vacío, cerradoe invariante del sistema que no tiene subconjuntos propios con las mismas características.

55

Proposición 12. Los puntos de equilibrio y las trayectorias periódicas son los conjuntos minimales de un sistemadinámico.

Proposición 13. Un conjunto minimal de un sistema dinámico es un conjunto conexo.

18.3. Integrales primerasEl subconjunto invariante más usual es el que viene definido a partir de una integral primera.

Definición 41 (Integral primera). Dada una función continua h : E −→ R que no sea idénticamente constante,diremos que es invariante o integral primera de un sistema dinámico (E,R, ϕ) si h toma el mismo valor paratodos los puntos de una misma trayectoria, es decir,

h(ϕ(x, t)) = h(ϕ(x, 0)) = h(x) ∀t ∈ R

Dada la aplicación ϕ que define un sistema dinámico, un procedimiento habitual para encontrar integrales primerasconsiste en eliminar el tiempo de las diferentes componentes de ϕ y encontrar relaciones entre las coordenades delos puntos de E.

Definición 42. Llamaremos conjunto de nivel de una integral primera, y lo denotaremos por Ih (o bien Ia siespecificamos el valor de la integral primera para el que consideremos el conjunto de nivel), al subconjunto delespacio de fases formado por todos los puntos antiimagen de un mismo valor de h, es decir,

Ia = x ∈ E | h(x) = a

Propiedad 20. Los conjuntos de nivel de una integral primera son invariantes.

Se trata de una consecuencia inmediata de las definiciones de integral primera y conjunto invariante.

Propiedad 21. Cada órbita pertenece a uno y sólo a un conjunto de nivel de una integral primera.

Si consideramos un sistema dinámico definido por un sistema de ecuaciones diferenciales

xi = fi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n

y h(x1, . . . , xn) es una integral primera, entoncesdh

dt= 0, y tenemos

dh

dt=

n∑

i=1

∂h

∂xi

dxi

dt=

n∑

i=1

∂h

∂xifi = 0

Por tanto si h es una integral primera verifica la condición

n∑

i=1

∂h

∂xifi = 0 (16)

56

19. Sistemas lineales

19.1. Resultados generalesEn esta lección presentamos el estudio de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, dela forma

x = Ax (17)

donde x ∈ Rn, A es una matriz n× n y

x =dx

dt=

dx1

dt...

dxn

dt

La solución del sistema (17) es la función x(t) que verifica el sistema, junto con la condición inicial x(0) = x0.

Teorema 20. Dado T ∈ L(Rn) y un t0 > 0, la serie

∞∑

k=0

T ktk

k!

es uniforme y absolutamente convergente para todo |t| ≤ t0.

Aprovechando este resultado, la exponencial de un operador lineal T (o una matriz) se define por la serie absolu-tamente convergente:

eT =∞∑

k=0

T k

k!(18)

Definición 43. Si A es una matriz n× n y t ∈ R

eAt =∞∑

k=0

Aktk

k!

donde A es la matriz que representa el operador lineal T (x) = Ax.

Lema 5. Si A es una matriz n× n, entonces

d

dteAt = AeAt

DEMOSTRACIÓN:d

dteAt = lım

h→0

eA(t+h) − eAt

h= lım

h→0eAt (e

Ah − I)h

= eAt lımh→0

lımk→∞

(A +

A2h

2!+ · · ·+ Akhk−1

k!

)

= AeAt

57

Teorema 21 (Fundamental para sistemas lineales). Sea A una matriz n × n. Entonces, dado un x0 ∈ Rn, el problemade contorno

x = Ax

x(0) = x0

(19)

tiene una solución única dada porx(t) = eAtx0

DEMOSTRACIÓN: Tenemos que

x′(t) =d

dteAtx0 = AeAtx0 = Ax(t),

para todo t ∈ R y también x(0) = Ix0 = x0, por tanto es solución.

Si tomamos ahora y(t) = e−Atx(t), donde x(t) es solución, tenemos

y′(t) = −Ae−Atx(t) + e−Atx′(t) =

= −Ae−Atx(t) + e−AtAx(t) = 0

para todo t ∈ R, de manera que y(t) es constante,

Para t = 0, tenemos y(t) = x0, de manera que para cualquier solución x(t) tenemos x0 = e−Atx(t), es decir,x(t) = eAtx0. Y de ahí la unicidad.

Proposición 14. Si S y T son transformaciones lineales sobre Rn y S = PTP−1, entonces se tiene eS =PeT P−1.

DEMOSTRACIÓN:

eS = lımn→∞

n∑

k=0

(PTP−1)k

k!= P

(lım

n→∞

n∑

k=0

T k

k!

)P−1 = PeT P−1

Si B = P−1AP , entonces A = PBP−1 y de la proposición anterior tenemos,

eAt = PeBtP−1 (20)

De manera que si tenemos el sistema x = Ax, donde A es una matriz 2× 2, la solución

x(t) = eAtx0

se obtiene transformando la matriz A a su forma canónica B por medio de cierta matriz P .

Esta matriz P se construye tomando los vectores propios de A en columnas.

La matriz eBt toma una de las tres formas que veremos a continuación y para obtener eAt tendremos que deshacerla transformación por medio de (20).

20. Caso lineal en R2

20.1. Forma normal en R2

Sea ahora A una matriz 2× 2,

58

Por el teorema de la forma canónica de Jordan, existe una matriz invertible 2 × 2, P , formada por los vectorespropios generalizados de A, en columnas, de manera que la transformada de Jordan

B = P−1AP

tiene una de las siguientes formas:

a) B =[λ1 00 λ2

], b) B =

[λ 10 λ

], c) B =

[a −bb a

], (21)

según que A tenga 2 valores propios, λ1, λ2, un valor propio doble, λ, o un valor propio complejo a± i b.

Veamos ahora como son las soluciones en cada uno de los casos.

Caso a) Si B =

[λ1 00 λ2

], de la definición se tiene

eBt =∞∑

k=0

Bktk

k!= I + Bt + B2t2 + · · ·+ Bktk

k!+ · · · =

=

1 + λ1t +λ21t2

2!+ · · ·+ λk

1tk

k!+ . . . 0

0 1 + λ2t +λ22t2

2!+ · · ·+ λk

2tk

k!+ . . .

=

=

[eλ1t 0

0 eλ2t

]

Caso b)

Sea ahora M =[a b0 a

], entonces eM = ea

[1 b0 1

].

DEMOSTRACIÓN: Si escribimos M = aI + N , con N =[0 b0 0

].

Como N2 = 0, tenemos

eN = I + N +N2

2!+ · · · = I + N =

[1 b0 1

]

y

eM = eaIeN = eaeN = ea

[1 b0 1

]

Entonces, si B =[λ 10 λ

]tenemos

eBt = eλt

[1 t0 1

]

Caso c)

Si λ = a± i b, por inducción tenemos

[a −bb a

]k

=[Re(λk) −Im λk

Im λk Re(λk)

]

59

Entonces:

eB =∞∑

k=0

Re(λk

k!) −Im

λk

k!

Imλk

k!Re(

λk

k!)

=

[Re(eλ) −Im eλ

Im eλ Re(eλ)

]=Ã

(si λ = a + i b, entonces eλ = ea(cos b + i sin b)

)

à = ea

[cos b − sin bsin b cos b

]

Por tanto,

eBt = eat

[cos bt − sin btsin bt cos bt

]

Ejemplo

Consideremos el sistema x = Ax donde A =[−1 −3

0 2

].

Los valores propios de A son λ1 = −1 y λ2 = 2 y los vectores propios correspondientes son v1 = (1, 0)T yv2 = (−1, 1)T ).

Por tanto

P =[1 −10 1

], P−1AP =

[−1 00 2

]= B

Entonces

x(t) = P

[e−t 00 e2t

]P−1c =

=[e−t e−t − e2t

0 e2t

] [c1

c2

]=

[c1e

−t + c2(e−t − e2t)c2e

2t

]

20.2. Puntos de equilibrio en un sistema en R2

Vamos a ver ahora un teorema que nos clasifica los puntos de equilibrio en sistemas lineales en R2.

Previamente vamos a ver las definiciones de los distintos tipos de puntos que nos vamos a encontrar.

Supondremos un sistema del tipo (17)x = Ax

donde A es una matriz 2× 2 de coeficientes constantes.

Definición 44. El origen se llama un centro del sistema (17) si existe un δ > 0 de forma que cada curva soluciónde (17) en el entorno Nδ(0) ∼ 0 es una curva cerrada que contiene a 0.

Definición 45. El origen se llama un foco central de (17) si existe una sucesión de curvas solución cerradasΓn, con Γn+1 interior a Γn, de forma que Γn → 0 cuando n →∞ y de manera que cada trayectoria entre Γn

y Γn+1 tiende en espiral hacia Γn ó Γn+1 cuando t → ±∞.

60

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

i)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

ii)

Figura 3: Caso a) con i) λ2 < λ1 < 0, ii) λ2 > λ1 > 0.

Definición 46. El origen se llama un foco estable de (17) si existe un δ > 0 de manera que para 0 < r0 < δ yθ0 ∈ R, r(t, r0, θ0) → 0 y |θ(t, r0, θ0)| → ∞ cuando t →∞.

Se llama un foco inestable si r(t, x0, θ0) → 0 y |θ(t, r0, θ0)| → ∞ cuando t → −∞.

Cualquier trayectoria de (17) que satisface r(t) → 0 y |θ(t)| → ∞ cuando t → ±∞ se dice que gira en espiralhacia el origen cuando t → ±∞.

Definición 47. El origen se llama un nodo estable de (17) si existe un δ > 0 de manera que para 0 < r0 < δ yθ0 ∈ R, r(t, x0, θ0) → 0 cuando t → ∞ y existe lımt→∞ θ(t, r0, θ0), es decir, cada trayectoria en un entornoreducido (exceptuando el 0) del origen se acerca al origen a lo largo de una trayectoria tangente cuando t →∞.

El origen se llama un nodo inestable si r(t, x0, θ0) → 0 cuando t → −∞ y existe lımt→−∞ θ(t, r0, θ0) paratodo r0 ∈]0, δ[ y θ0 ∈ R.

El origen se llama un nodo propio de (17) si es un nodo y si cada recta que pasa por el origen es tangente aalguna trayectoria de (17).

Definición 48. El origen es un punto de silla topológico de (17) si existen dos trayectorias Γ1 y Γ2 que se acercana 0 cuando t → +∞ y dos trayectorias Γ3 y Γ4 que se acercan a 0 cuando t → −∞, y si además existe unδ > 0 de forma que todas las demás trayectorias que empiezan en un entorno reducido del origen Nδ(0) ∼ 0abandonan Nδ(0) cuando t → ±∞.

Las trayectorias Γ1, . . . , Γ4 se llaman separatrices.

Vamos a estudiar ahora como son las soluciones en función de la forma que tome la matriz B, canónica de la A.

Caso a) Tenemos B =[λ1 00 λ2

]. De la forma de las soluciones y de las diferentes opciones entre λ1 y λ2 tenemos

los siguientes resultados:

Caso b). Tenemos B =[λ 10 λ

]. En este caso distinguimos λ > 0 y λ < 0, que nos proporcionan dos nodos

propios.

Caso c) Tenemos B =[a −bb a

]. El valor propio es λ = a± i b y distinguimos los signos de a y b.

61

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

iii) iv)

Figura 4: Caso a) con iii) λ1 = λ2 < 0, iv) λ1 = λ2 > 0.

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

v) vi)

Figura 5: Caso a) con v) λ1 < 0 < λ2, vi) λ2 < 0 < λ1.

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

ii)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

i)

Figura 6: Caso b) con i) λ < 0, ii) λ > 0.

i) ii)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figura 7: Caso c) con i) a < 0, b > 0, ii) a < 0, b < 0.

62

iii) iv)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figura 8: Caso c) con iii) a > 0, b > 0, iv) a < 0, b < 0.

v) vi)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

Figura 9: Caso c) con v) a = 0, b > 0, vi) a = 0, b < 0.

Teorema de caracterización Si el det A 6= 0, hay un método sencillo para determinar si el sistema lineal tiene unpunto de silla, un nodo, un foco o un centro en el origen.

Teorema 22. Sea δ = det A y τ = tr A y consideremos el sistema lineal (17)

1) Si δ < 0 entonces (17) tiene un punto de silla en el origen.

2) Si δ > 0 y τ2−4δ ≥ 0 entonces (17) tiene un nodo en el origen, que es estable si τ < 0 e inestable si τ > 0.

3) Si δ > 0 y τ2 − 4δ < 0 y τ 6= 0 entonces (17) tiene un foco en el origen, que es estable si τ < 0 e inestablesi τ > 0.

4) Si δ > 0 y τ = 0 entonces (17) tiene un centro en el origen.

Notemos que en el caso (2), τ2 ≥ 4 |δ| > 0, es decir, τ 6= 0.

DEMOSTRACIÓN: Los valores propios de la matriz A vienen dados por

λ =τ ±√τ2 − 4δ

2

entonces,

Si (1) δ < 0 hay dos valores propios con signo distinto.

Si (2) δ > 0 y τ2 − 4δ ≥ 0 entonces hay dos valores propios reales del mismo signo que τ .

Si (3) δ > 0 y τ2 − 4δ < 0 y τ 6= 0 hay dos valores propios complejos conjugados λ = a± i b.

Y, finalmente, si (4) δ > 0 y τ = 0 hay dos valores propios imaginarios puros conjugados.

Los casos (1) a (4) corresponden a un punto de silla, un nodo, un foco o un cento, respectivamente.

Todos los casos en R2 quedan resumidos en esta figura

63

Nodos

estables

Nodos

inestables

Focos

establesFocos

inestables

Puntos de

silla

Figura 10: Tipos de puntos de equilibrio en R2.

21. Caso lineal en Rn

Como ya hemos visto en R2, la forma canónica de la matriz del sistema nos proporciona una forma directa deobtener la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

En Rn esto puede resultar complicado porque no resulta fácil obtener una base de vectores propios generalizadosde una matriz A.

El siguiente teorema proporciona una forma particularmente simple, cuando se puede obtener dicha base de vec-tores propios generalizados de A y es útil también en la obtención de resultados teóricos.

Teorema 23 (de la forma canónica de Jordan). Sea A una matriz real con valores propios reales λj , j =1, 2, . . . , k y complejos λj = aj + i bj , j = k + 1, . . . , m.

Entonces existe una base u1,u2, . . . , uk, uk+1,vk+1, . . . , um, vm de Rn, n = 2m − k, donde uj y wj sonlos vectores propios generalizados de A, uj = Re(wj), vj = Im(wj),

de forma que la matrizP = [u1, u2, . . . , uk, uk+1,vk+1, . . . , um, vm]

es invertible y

P−1AP =

B1 0 . . . 00 B2 . . . 0...

......

0 0 . . . Br

(22)

Los elementos de la diagonal son los bloques de Jordan de la forma

Bj =

λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0...

...... . . . 1

0 0 0 . . . λ

(23)

si λ es real, y

64

Bj =

D I2 0 . . . 00 D I2 . . . 0...

...... . . . I2

0 0 0 . . . D

(24)

donde D =[a −bb a

]e I2 =

[1 00 1

], si λ es complejo a + i b.

65

22. Teoría local

22.1. LinealizaciónConsideremos un sistema lineal de la forma

x = Ax, x ∈ Rn (25)

y sean los vectores propios generalizados wj = uj + ivj que corresponden a un valor propio λj = aj + ibj de lamatriz A. (Notemos que si bj = 0 entonces vj = 0).

SeaB = u1, . . . , uk, uk+1,vk+1, . . . , um, vm

una base de Rn (con n = 2m− k).

Definición 49. Sean λj = aj + ibj , wj = uj + ivj y B como antes.

Definimos los subespacios estable, central y inestable ES , EC y EU de la siguiente manera

ES = C.L. uj , vj | aj < 0

EC = C.L. uj , vj | aj = 0

EU = C.L. uj , vj | aj > 0

Es decir, ES , EC y EU son los subespacios de Rn definidos por las posibles combinaciones lineales de las partesreales e imaginarias de los vectores propios generalizados wj correspondientes a los valores propios λj con partesreales negativa, cero y positiva, respectivamente.

Teorema 24. Sea A una matriz real de dimensión n× n. Entonces

Rn = ES ⊕ EU ⊕ EC

donde ES , EC y EU son los subespacios estable, central e inestable de (25).

EjemploLa matriz

A =

−2 −1 01 −2 00 0 3

tiene los vectores propios w1 = u1 + iv1 = (0, 1, 0)T + i(1, 0, 0)T , correspondiente al valor propio λ1 = −2± i,

y u2 = (0, 0, 1)T , correspondiente a λ2 = 3.

Por tanto, el subespacio estable ES del sistema lineal (25) es el plano x1, x2 y el subespacio inestable EU es eleje x3.

66

22.2. Hiperbolicidad

Definición 50. Si todos los valores propios de una matriz A de dimensión n×n tienen parte real no nula, entoncesel flujo eAt : Rn −→ Rn se llama flujo hiperbólico y (25) se dice que es un sistema lineal hiperbólico.

Supongamos ahora un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal

x = f(x) (26)

Una buena forma de comenzar a analizar un sistema no lineal es determinar los puntos de equilibrio y describir elcomportamiento del sistema cerca de dichos puntos de equilibrio.

Se trata de ver que el comportamiento local del sistema no lineal (26) cerca de un punto de equilibrio hiperbólicox0 viene determinado cualitativamente por el comportamiento del sistema lineal asociado (25) donde A es lamatriz

A = Df(x0) =

∂f1

∂x1(x0) . . .

∂f1

∂xn(x0)

.... . .

...∂fn

∂x1(x0) . . .

∂fn

∂xn(x0)

La función lineal A = Df(x0) se llama la parte lineal de f en x0.

Si x0 = 0 es un punto de equilibrio de (26), entonces f(0) = 0.

Si escribimos el desarrollo de Taylor, por medio de las matrices de derivadas Df(x) y D2f(x),

f(x) = Df(0)x +12D2f(0)(x, x) + . . .

donde

D2f(x0)(x, y) =n∑

j1,j2=1

∂2f(x0)∂xj1 ∂yj2

xj1yj2

Tenemos pues que la función lineal Df(0)x es una buena primera aproximación a la función no lineal f(x)alrededor de x = 0 y es razonable esperar que el comportamiento del sistema (26) cerca del punto x = 0 seaaproximado por el comportamiento de su linealización.

Además, si tenemos un sistema lineal (25) con x(0) = x0, su solución es x = x0eAt, como ya hemos visto.

Definición 51. Un punto x0 ∈ Rn se llama punto de equilibrio o punto crítico de (26) si f(x0) = 0.

Un punto de equilibrio de (26) se llama punto de equilibrio hiperbólico si no hay ningún valor propio de Df(x0)con parte real nula.

El sistema lineal (25) donde A = Df(x0) se llama la linealización de (26) en x0.

67

Vamos a dar ahora una clasificación simple de los puntos de equilibrio de (26) basada en el signo de las partesreales de los valores propios de la matriz A = Df(x0).

Definición 52. a) Un punto de equilibrio se llama asintóticamente estable si todos los valores propios de lamatriz Df(x0) tienen parte real negativa.

b) Diremos que es asintóticamente inestable si todos los valores propios de la matriz Df(x0) tienen parte realpositiva.

c) Y diremos que es un punto de silla si es un punto de equilibrio hiperbólico y Df(x0) tiene al menos un valorpropio con parte real positiva y otro con parte real negativa.

EjemploVamos a clasificar todos los puntos de equilibrio del sistema no lineal (26) siendo

f(x) =[

x21 − x2

2 − 12x2

]

Claramente, f(x) = 0 para x = (1, 0)T y para x = (−1, 0)T .

Estos seran, pues, los únicos puntos de equilibrio.

La matriz de derivadas es Df(x) =[

2x1 −2x2

0 2

]

Df(1, 0) =[2 00 2

], Df(−1, 0) =

[−2 00 2

].

Entonces, (1, 0) es un punto de equilibrio inestable y (−1, 0) es un punto de silla.

22.3. El teorema de Hartman-GrobmanEl siguiente teorema, que se conoce como el teorema de Hartman-Grobman, muestra que cerca de un punto deequilibrio hiperbólico x0 el sistema no lineal (26) tiene la misma estructura topológica que el sistema lineal (25),con A = Df(x0).

Teorema 25 (Hartman-Grobman). Sea E es un abierto de Rn que contiene al origen, sea f ∈ C1(E), y sea ϕt

el flujo del sistema no lineal (26).

Supongamos que f(0) = 0 y que la matriz A = Df(0) no tiene valores propios con parte real cero.

Entonces existe un homeomorfismo H de un conjunto abierto U que contiene al origen sobre un conjunto abiertoV que contiene al origen tal que para cada x0 ∈ U , hay un intervalo abierto I0 ⊂ R que contiene al cero tal quepara todo x0 ∈ U y t ∈ I0

H ϕt(x0) = eAt H(x0)

es decir, H proyecta trayectorias de (26) cerca del origen sobre trayectorias de (25) cerca del origen y conservala parametrización.

68

23. Teorema de la variedad estable

23.1. El teorema de la variedad estableEl teorema de la variedad estable es uno de los resultados más importantes de la teoría cualitativa local de lasecuaciones diferenciales ordinarias.

El teorema demuestra que en el entorno de un punto de equilibrio x0, el sistema no lineal (26) tiene variedadesestable e inestable S y U tangentes en x0 a los subespacios estable e inestable ES y EU del sistema linealizado(25), con A = Df(x0).

Además, S y U tienen las mismas dimensiones que ES y EU .

Definición 53. Si ϕt es el flujo de un sistema dinámico dado por (26), entonces definimos los conjuntos

S =c | lım

t→∞ϕt(c) = x0

y

U =c | lım

t→−∞ϕt(c) = x0

Ilustraremos estas ideas con un ejemplo y después enunciaremos el teorema de la variedad estable.

Supondremos que el punto de equilibrio x0 es el origen y, si no lo fuera, entonces podemos trasladar x0 al origenpor medio de la transformación lineal de coordenadas x −→ (x− x0).

Consideremos el sistema no lineal

x1 = −x1

x2 = −x2 + x21

x3 = x3 + x21

El único punto de equilibrio del sistema es el origen y la matriz A es

A = Df(0) =

−1 0 00 −1 00 0 1

Los subespacios estable, ES , e inestable, EU , de (25) son el plano x1, x2 y el eje x3, respectivamente.

El sistema se puede resolver y encontramos la solución

x1(t) = c1e−t

x2(t) = c2e−t + c2

1(e−t − e−2t)

x3(t) = c3et +

c21

3(et − e−2t)

donde c = x(0).

Examinando la solución tenemos que lımt→+∞ ϕt(c) = 0 si y sólo si c3 + c21/3 = 0. Entonces

S =c ∈ R3 | c3 = −c2

1/3

.

69

De manera similar, lımt→−∞ ϕt(c) = 0 si y sólo si c1 = c2 = 0 y tenemos

U =c ∈ R3 | c1 = c2 = 0

.

En la figura tenemos las variedades estable e inestable para este sistema.

x1

x2

x3

S

U

Propiedad 22. Las variedades estable e inestable, S y U , son positiva y negativamente invariantes, respectiva-mente.

DEMOSTRACIÓN: La demostración es consecuencia inmediata de las definiciones.

En el ejemplo anterior, se puede ver fácilmente que

si c ∈ S entonces c3 = −c21/3 y, por tanto,

ϕt(c) =

c1e−t

c2e−t + c2

1(e−t − e−2t)

−c21

3e−2t

∈ S

Entonces tenemos que ϕt(S) ⊂ S.

Teorema 26 (De la variedad estable). Sea E un subconjunto abierto de Rn con 0 ∈ E, sea f ∈ C1(E) y sea ϕt el flujodel sistema dinámico no lineal (26).

Supongamos que f(0) = 0 y que Df(0) tiene k valores propios con parte real negativa y n − k valores propioscon parte real positiva.

Entonces existe una variedad diferenciable k-dimensional S tangente al subespacio estable ES del sistema lineal(25) en 0 de manera que para todo t ≥ 0, ϕt(S) ⊂ S y para todo x0 ∈ S

lımt→+∞

ϕt(x0) = 0;

Además existe también una variedad diferenciable (n− k)–dimensional U tangente al subespacio inestable EU de(25) en 0 de manera que para todo t ≤ 0, ϕt(U) ⊂ U y para todo x0 ∈ U

lımt→−∞

ϕt(x0) = 0;

Esbozo de la demostración. La demostración del teorema de la variedad estable es constructiva.

Si f ∈ C1(E) y f(0) = 0, entonces el sistema (26) se puede escribir como

x = Ax + F(x) (27)

donde A = Df(0), F(x) = f(x)−Ax, F ∈ C1(E), F(0) = 0 y DF(0) = 0.

70

Eso implica que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si |x| ≤ δ y |y| ≤ δ entonces

|F(x)− F(y)| ≤ ε |x− y| . (28)

Además, dada una matriz A de dimensión n con las hipótesis del teorema, hay una matriz invertible C de dimen-sión n tal que

B = C−1AC =[P 00 Q

]

y tal que los valores propios λ1, . . . , λk de la matriz P de dimensión k tienen parte real negativa y los valorespropios λk+1, . . . , λn de la matriz Q de dimensión n− k tienen parte real positiva.

Si tomamos y = C−1x, entonces el sistema (27) tiene la forma

y = By + G(y) (29)

donde G(y) = C−1F(Cy) ∈ C1(E), con E = C−1(E) y G(y) satisface una condición de Lipschitz del tipo(28).

La construcción de la variedad estable se realiza a partir de la construcción de la solución con una adaptacióndel método de aproximaciones sucesivas de Picard, separando las partes con valores propios positivos y negativos(estables e inestables), de la siguiente manera

u(t,a) = U(t)a +∫ t

0

U(t− s)G(u(s, a)) ds−∫ ∞

t

V (t− s)G(u(s,a)) ds. (30)

donde a es un vector constante.

Si u(t,a) es una solución continua de esta ecuación integral, entonces es la solución de la ecuación diferencial(29).

U(t) y V (t) son las funciones de variable temporal definidas por

U(t) =[

ePt 00 0

]y V (t) =

[0 00 eQt

].

De manera que U = BU , V = BV y eBt = U(t) + V (t).

Podemos escoger α > 0 suficientemente pequeño de manera que para j = 1, . . . , k,

Re(λj) < −α < 0.

Se puede ver que con un α > 0 suficientemente pequeño podemos elegir un K > 0 suficientemente grande y unσ > 0 suficientemente pequeño, de manera que

‖U(t)‖ ≤ Ke−(α+σ)t, ∀t ≥ 0, ‖V (t)‖ ≤ Keσt, ∀t ≤ 0.

siendo ‖T‖ = max|x|≤1 |T (x)|.Ahora se resuelve esta ecuación integral por el método de aproximaciones sucesivas, tomando

u0(t, a) = 0

y

u(j+1)(t, a) = U(t)a +

∫ t

0U(t− s)G(u(j)(s, a)) ds−

∫ ∞

tV (t− s)G(u(j)(s, a)) ds. (31)

71

Se demuestra que la sucesiónu(j)(t,a)

es una sucesión de Cauchy de funciones continuas.

Por tanto,lım

j→∞u(j)(t,a) = u(t,a)

uniformemente para todo t ≥ 0 y |a| < δ/2K.

Si tomamos límites a los dos miembros de (31), tenemos que, por la convergencia uniforme, la función continuau(t,a) satisface la ecuación integral (30) y, por tanto, la ecuación diferencial (29).

A partir de la ecuación integral (30) tenemos que las últimas (n− k) componentes del vector a no intervienen enel cálculo y, por tanto, pueden considerarse nulas.

Entonces, las componentes uj(t,a) de la solución u(t,a) satisfacen las condiciones iniciales

uj(0, a) = aj para j = 1, . . . , k

y

uj(0, a) = −∫ ∞

0

V (−s)G(u(s, a1, . . . , ak,0)) ds para j = k + 1, . . . , n.

Para j = k + 1, . . . , n definimos las funciones

ψj(a1, . . . , ak) = uj(0, a1, . . . , ak, 0, . . . , 0). (32)

Los valores iniciales yj = uj(0, a1, . . . , ak, 0, . . . , 0) satisfacen

yj = ψj(y1, . . . , yk) para j = k + 1, . . . , n

de acuerdo con la definición (32).

Estas ecuaciones definen una variedad diferencial S para√

y21 + . . . + y2

k < δ/2K.

Además, si y(t) es una solución de la ecuación diferencial (29) con y(0) ∈ S, es decir, con y(0) = u(0,a),entonces

y(t) = u(t,a).

Se deduce que si y(t) es una solución de (29) con y(0) ∈ S, entonces y(t) ∈ S para todo t ≥ 0 y que y(t) → 0cuando t →∞.

Se puede demostrar también que si y(t) es una solución de (29) con y(0) 6∈ S, entonces y(t) 6→ 0 cuando t →∞.

También se puede demostrar que∂ψj

∂yi(0) = 0

para i = 1, . . . , k y j = k + 1, . . . , n

Lo cual significa que la variedad diferenciable S es tangente al subespacio estable ES = y ∈ Rn | yk+1 = · · · = yn = 0del sistema lineal de (29) y = By en 0.

La existencia de la variedad inestable U de (29) se puede establecer exactamente de la misma forma considerandoen el sistema (29) el cambio t → −t, es decir,

y = −By −G(y).

La variedad estable de este sistema será entonces la variedad inestable U de (29).

72

Notemos que en este caso también es necesario sustituir el vector y por (yk+1, . . . , yn, y1, . . . , yk) para determinarla variedad (n− k)–dimensional U por el proceso anterior.

Esto completa la demostración del Teorema de la Variedad Estable.

Veamos con un ejemplo la construcción de la variedad estable en un sistema no lineal.

Consideremos el sistema

x1 = −x1 − x22

x2 = x2 + x21

Vamos a obtener las tres primeras aproximaciones u(1)(t, a), u(2)(t,a) y u(3)(t, a) definidas por (31) y usaremosu(3)(t,a) para aproximar la función ψ2 que define la variedad estable

S : x2 = ψ2(x1).

En este problema tenemos,

A = B =[ −1 0

0 1

], F(x) = G(x) =

[ −x22

x21

],

U(t) =[

e−t 00 0

], V (t) =

[0 00 et

]y a =

[a1

a2

].

Por tanto, escribimos

u(t, a) =[e−ta1

0

]+

∫ t

0

[−e−(t−s)u22(s)

0

]ds−

∫ ∞

t

[0

et−su21(s)

]ds

Por aproximaciones sucesivas, tenemos

u(0)(t,a) = 0

u(1)(t,a) =[

e−ta1

0

]

u(2)(t,a) =[

e−ta1

0

]−

∫ ∞

t

[0

et−se−2sa21

]ds =

e−ta1

−e−2t

3a21

u(3)(t,a) =[

e−ta1

0

]− 1

9

∫ t

0

[e−(t−s)e−4sa4

1

0

]ds−

−∫ ∞

t

[0

et−se−2sa21

]ds =

e−ta1 +127

(e−4t − e−t)a41

−13e−2ta2

1

Se puede demostrar que u(4)(t, a)− u(3)(t,a) = O (a51

)y la función ψ2(a1) = u2(0, a1, 0) se aproxima por

ψ2(a1) = −13a21 +O (

a51

)

cuando a1 → 0.

73

Entonces, la variedad estable S se puede aproximar por

S : x2 = −x21

3+O (

a51

)

cuando x1 → 0.

La matriz C = I , la identidad, y por tanto, en este ejemplo los espacios en coordenades x e y son el mismo.

La variedad inestable U se puede aproximar aplicando exactamente el mismo procedimiento al sistema de antes,con el cambio t → −t e intercambiando x1 y x2. La variedad estable del sistema resultante será la variedadinestable del sistema original.

El resultado es

U : x1 = −x22

3+O (

x52

)

cuando x2 → 0.

Las aproximaciones de las variedades estable e inestable en un entorno del origen y los subespacios estable einestable ES y EU para x = Ax se muestran en la siguiente figura

-1 -0.5 0.5 1

-0.5

0.5

x1

x2

ES

S

UEU

23.2. Variedades estable e inestable globales

Definición 54. Sea ϕt el flujo de un sistema no lineal (26).

Las variedades estable e inestable globales de (26) en 0 vienen definidas por

WS(0) =⋃

t≤0

ϕt(S) y WU (0) =⋃

t≥0

ϕt(U)

respectivamente.

También reciben el nombre de variedades estable e inestable en el origen.

Se puede demostrar que las variedades globales estable e inestable WS y WU son únicas y que son invariantesrespecto del flujo del sistema ϕt.

Además, para todo x ∈ WS(0), lımt→+∞ ϕt(x) = 0 y para todo x ∈ WU (0), lımt→−∞ ϕt(x) = 0.

En la figura tenemos las variedades estable e inestable globales para este ejemplo.

74

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x1

x2

W (0)U

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x1

x2

W (0)S

Corolario 5. Con las hipótesis del Teorema de la Variedad Estable, si S y U son las variedades estable e inestablede (26) en el origen y si Re(λj) < −α < 0 < β < Re(λm) para j = 1, . . . , k y m = k + 1, . . . , n, entoncesdado un ε > 0 existe un δ > 0 de manera que si x0 ∈ Nδ(0) ∩ S tenemos

|ϕt(x0)| ≤ ε e−αt

para todo t ≥ 0

y si x0 ∈ Nδ(0) ∩ U entonces|ϕt(x0)| ≤ ε eβt

para todo t ≤ 0.

Este resultado muestra que las soluciones que empiezan en S suficientemente cerca del origen tienden exponen-cialmente al origen cuando t → +∞.

24. Estabilidad de Liapunov

24.1. Estabilidad según LiapunovEl matemático ruso Aleksander Mikháilovitx Liapunov, a finales del siglo XIX desarrolló un método muy generalpara analizar la estabilidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (26).

La idea básica del método es la siguiente:

Supongamos que tenemos un campo vectorial en el plano, con un punto de equilibrio x∗ y queremos determinarsi es o no estable.

Según las definiciones que hemos visto sobre la estabilidad, será suficiente encontrar un entorno U de x∗ demanera que las trayectorias que empiezan en él permanezcan en él para tiempos positivos.

La idea se basa en el hecho que esta condición se satisfará si el campo es bien tangente a la frontera de U o bien vaen dirección al interior de U apuntando hacia x∗ y esta situación debe mantenerse cuando el entorno U sea más ymás pequeño alrededor de x∗.

Veamos como trasladar esta idea a R2 y después generalizaremos a Rn.

Sea un campo vectorialx = f(x), x ∈ R2

el cual tiene un punto fijo (x∗, y∗), que suponemos estable. Veamos que para todo entorno de este punto se da laanterior situación.

75

Sea V (x, y) una función escalar sobre R2, al menos C1, es decir, V (x, y) : R2 −→ R, con V (x∗, y∗) = 0 y talque el lugar geométrico de los puntos que verifican V (x, y) = C = constante para distintos valores de C rodeanal punto (x∗, y∗), con V (x, y) > 0 en un entorno de (x∗, y∗).

Recordemos que el gradiente de V , es un vector perpendicular al vector tangente a lo largo de las curvas V (x, y) =C el cual apunta en la dirección creciente de V , de manera que si el campo vectorial ha de ser tangente o apuntandoal interior de todas las curvas que envuelven (x∗, y∗), se ha de verificar que

∇V (x, y) · (x, y) ≤ 0

U (x,y) V = ctnt.

ÑV ÑV

ÑV

ÑV

ÑV

ÑV

ÑVÑV

ÑVÑV

ÑV

ÑV

ÑV(x,y)

ÑV

a) b)

a) El campo vectorial sobre la frontera de U . b) Conjuntos de nivel de V y ∇V .

Teorema 27 (de estabilidad de Liapunov). Si existe una función L(x1, . . . , xn) definida sobre un entorno U delpunto de equilibrio x∗ en Rn, de manera que verifique

1) L ∈ C1(U), (posiblemente sólo en U ∼ x∗)

2) L(x1, . . . , xn) > 0 en U ∼ x∗, L(x∗) = 0

3)dL

dt=

n∑

i=1

∂L

∂xifi(x1, . . . , xn) ≤ 0, (se trata del gradiente de L para el campo)

entonces, el punto de equilibrio x∗ es estable.

Esta función L se llama función de Liapunov.

Si cambiamos la condición (3) por la

(3’)dL

dt=

n∑

i=1

∂L

∂xifi(x1, . . . , xn) < 0

el punto x0 es asintóticamente estable.

Y en el caso en que (3) sea

(3’)dL

dt=

n∑

i=1

∂L

∂xifi(x1, . . . , xn) > 0

el punto x0 es asintóticamente inestable.

Ejemplos: Consideremos el problema

x = y,

y = −x + εx2y

es fácil comprobar que tiene un punto de equilibrio no hiperbólico en (0, 0). Veamos si es o no estable.

76

Sea L(x, y) = (x2 + y2)/2.

Tenemos que L(0, 0) = 0 y L(0, 0) > 0 en cualquier entorno de (0, 0). Entonces

L = ∇L(x, y) · (x, y) = (x, y) · (y,−x + εx2y) = xy + εx2y2 − xy = εx2y2

Por tanto, aplicando el teorema 27, (0, 0) es globalmente estable para ε < 0.

Además se puede ver que (0, 0) es en realidad asintóticamente estable.

25. Sistemas hamiltonianos y de gradiente

25.1. Sistemas hamiltonianosEn esta sección vamos a estudiar dos tipos interesantes de sistemas, los sistemas hamiltonianos y los de gradiente,que aparecen en problemas físicos y a partir de los cuales podemos encontrar una gran cantidad de ejemplos de lateoría general.

Definición 55. Sea E un subconjunto abierto de R2n y sea H ∈ C2(E) donde H = H(x, y), con x,y ∈ Rn.

Un sistema de la forma

x =∂H

∂y

y = −∂H

∂x

(33)

donde∂H

∂x=

(∂H

∂x1, . . . ,

∂H

∂xn

)T

y∂H

∂y=

(∂H

∂y1, . . . ,

∂H

∂yn

)T

se llama un sistema hamiltoniano con n grados de libertad sobre E.

Por ejemplo, la función hamiltoniana

H(x, y) = (x21 + x2

2 + y21 + y2

2)/2

es la función energía del péndulo esféricox1 = y1

x2 = y2

y1 = −x1

y2 = −x2

Este sistema es equivalente al par de osciladores harmónicos

x1 + x1 = 0x2 + x2 = 0

Todos los sistemas hamiltonianos son conservativos en el sentido que la función hamiltoniana o energía totalH(x,y) se conserva a lo largo de las trayectorias del sistema.

Teorema 28 (De Conservación de la Energía). La energía total H(x, y) del sistema hamiltoniano (33) se conservaconstante a lo largo de todas las trayectorias de (33).

77

DEMOSTRACIÓN: La derivada de la función hamiltoniana H(x, y) a lo largo de la trayectoria (x(t), y(t)) de (33) es

dH

dt=

∂H

∂xx +

∂H

∂yy =

∂H

∂x

∂H

∂y− ∂H

∂y

∂H

∂x= 0.

Entonces, H(x,y) es constante a lo largo de cualquier curva solución de (33) y las trayectorias de (33) permanecensobre las superficies H(x, y) = constante.

Vamos a ver ahora algunos resultados específicos sobre la naturaleza de los puntos críticos de los sistemas hamil-tonianos con un grado de libertad.

Notemos que los puntos de equilibrio del sistema (33) se corresponden con los puntos críticos de la función

hamiltoniana H(x,y) donde∂H

∂x=

∂H

∂y= 0

Podemos suponer sin perder generalidad que el punto crítico en cuestión se sitúa en el origen.

Recordemos las definiciones de centro, foco, nodo y punto de silla .

Lema 6. Si el origen es un foco de un sistema hamiltoniano

x = Hy(x, y)

y = −Hx(x, y),(34)

entonces no es un máximo o mínimo local estricto de la función hamiltoniana H(x, y).

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el origen es un foco estable de (34).

Entonces, hay un ε > 0 tal que para 0 < r0 < ε y θ0 ∈ R, las coordenadas polares de la solución de (34) conr(0) = r0 y θ(0) = θ0 verifican r(t, r0, θ0) → 0 y |θ(t, r0, θ0)| → +∞ cuando t → +∞,

es decir, para (x0, y0) ∈ Nε(0) ∼ 0, la solución (x(t, x0, y0), y(t, x0, y0)) −→ 0 cuando t → +∞.

Entonces, por el teorema (28) y la continuidad de H(x, y) y la solución, se sigue que

H(x0, y0) = lımt→∞

H(x(t, x0, y0), y(t, x0, y0)) = H(0, 0)

para todo (x0, y0) ∈ Nε(0).

Lo que significa que el origen no es un máximo o mínimo local estricto de la función H(x, y), es decir, no secumple que H(x, y) > H(0, 0) ó H(x, y) < H(0, 0) para todos los puntos (x, y) en un entorno del origen.

Un argumento similar se aplica cuando el origen es un foco inestable de (34).

Teorema 29. Cualquier punto crítico de un sistema hamiltoniano analítico es bien un punto de silla o bien uncentro; además, (x0, y0) será un punto de silla de (34) si y sólo si es un punto de silla de la función hamiltonianaH(x, y), y un máximo o mínimo local estricto de la función H(x, y) si es un centro de (34).

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el punto crítico es el origen. Entonces, Hx(0, 0) = Hy(0, 0) = 0 y la linealiza-ción de (34) en el origen es

x = Ax (35)

donde

A =[

Hyx(0, 0) Hyy(0, 0)−Hxx(0, 0) −Hxy(0, 0)

].

78

Se ve que trA = 0 y que detA = Hxx(0)Hyy(0)−H2xy(0).

Entonces el punto crítico del origen es un punto de silla de la función H(x, y) si y sólo si detA < 0, si y sólo si esun punto de silla para el sistema lineal (35), si y sólo si es un punto de silla del sistema hamiltoniano (34)

Al mismo tiempo, si trA = 0 y detA > 0, el origen es un centro del sistema lineal (35).

Por tanto, el origen es un centro o un foco para (34). Pero si el punto crítico no degenerado (0, 0) es un máximo omínimo local estricto de la función H(x, y), entonces det A > 0 y de acuerdo con el lema anterior, el origen noes un foco de (34), es decir, es un centro del sistema hamiltoniano (34).

Ejemplo. Un caso particular de sistema hamiltoniano con un grado de libertad es el sistema de Newton

x = f(x)

donde f ∈ C1(]a, b[).

Esta ecuación diferencial se puede escribir como un sistema en R2:

x = y

y = f(x)(36)

La energia total de este sistema es H(x, y) = T (y) + U(x), donde T (y) = y2/2 es la energia cinética y

U(x) = −∫ x

x0

f(s) ds

es la energia potencial.

Con esta definición de H(x, y) se ve que el sistema de Newton (36) se puede escribir como un sistema hamilto-niano.

Sin dificultad se puede demostrar el seguiente teorema

Teorema 30. Los puntos de equilibrio del sistema newtoniano (36) estan todos en el eje de las x.

El punto (x0, 0) es un punto crítico del sistema (36) si y sólo si es un punto crítico de la función U(x), es decir,un cero de la función f(x).

Si (x0, 0) es un máximo local estricto de la función analítica U(x), es un punto de silla de (36).

Si (x0, 0) es un mínimo local estricto de la función analítica U(x), es un centro de (36).

Y, finalmente, el retrato de fase de (36) es simétrico respecto del eje de las x.

Veamos el retrato de fase del péndulo librex + sin x = 0.

La ecuación diferencial se puede escribir como un sistema newtoniano

x = y

y = − sin x

donde la energia potencial viene dada por

U(x) =∫ x

0

sin t dt = 1− cos x

79

La gráfica de la función U(x) y el retrato de fase del péndulo libre se muestran en la figura.

-4 -2 2 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

-3 -2 -1 1 2 3

u

π−π

Notemos que el origen corresponde a una posición de equilibrio estable. Los puntos críticos en (±π, 0) corres-ponden a las posiciones de equilibrio inestable. Las trayectorias cerca del origen son quasi-circulares y se puedenaproximar por las curvas solución del péndulo lineal

x + x = 0

Las trayectorias cerradas que rodean al origen describen los movimientos periódicos usuales asociados con unpéndulo cuando éste va hacia adelante y hacia atrás.

Las separatrices que conectan los puntos de silla (±π, 0) corresponden a los movimientos con energia total H = 2,casos en los que el péndulo se aproxima a la posición vertical estable cuando t → ±∞.

Y las trayectorias fuera de las separatrices, con H > 2, corresponden a los movimientos en que el péndulo llegamás allá de los límites por arriba.

25.2. Sistemas de gradiente

Definición 56. Sea E un subconjunto abierto de Rn y sea V ∈ C2(E). Un sistema de la forma

x = −∇V (x) (37)

donde

∇V =(

∂V

∂x1, . . . ,

∂V

∂xn

)T

se llama un sistema de gradiente sobre E.

Notemos que los puntos de equilibrio de un sistema de gradiente (37) corresponden a los puntos críticos de lafunción V (x) donde ∇V (x) = 0.

Los puntos en que ∇V (x) 6= 0 se llaman puntos regulares de la función V (x). En los puntos regulares de V (x)el vector gradiente es perpendicular a la superficie de nivel V (x) = V0 = constante que pasa por el punto.

Es fácil comprobar que en un punto crítico, x0, de V (x), el cual es un mínimo local estricto de V (x), la funciónV (x)− V (x0) es una función de Liapunov del sistema (37) en algún entorno de x0.

80

Teorema 31. En los puntos regulares de la función V (x), las trayectorias del sistema de gradiente (37) cortan alas superficies de nivel V (x) = V0 ortogonalmente.

Los mínimos locales estrictos de la función V (x) son puntos de equilibrio asintóticamente estables de (37).

Dado que la linealización de (37) en cualquier punto crítico x0 tiene como matriz

A = −[∂2V (x0)∂xi ∂xj

]

i,j=1,...,n

la cual es simétrica, los valores propios de A son todos reales y A es diagonalizable respecto de alguna baseortonormal.

De nuevo, para los sistemas de gradiente podemos ser muy específicos respecto de la naturaleza de sus puntoscríticos.

Teorema 32. Cualquier punto crítico no degenerado de un sistema de gradiente analítico (37) sobre R2 es o unpunto de silla o bien un nodo.

Además, si (x0, y0) es un punto de silla de la función V (x, y), será un punto de silla de (37) y si (x0, y0) es unmáximo o mínimo local estricto de la función V (x, y), será respectivamente un nodo inestable o estable para (37).

Ejemplo Sea V (x, y) = x2(x− 1)2 + y2.

El sistema de gradiente (37) tiene la forma

x = −4x(x− 1)(x− 12)

y = −2y

Hay puntos críticos en (0, 0), ( 12 , 0) y (1, 0). Se sigue del teorema 32 que (0, 0) y (1, 0) son nodos estables y que

( 12 , 0) es un punto de silla del sistema.

Las curvas de nivel V (x, y) = constante y las trayectorias del sistema estan representadas en esta figura.

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

V(x,y) = cte.

Para finalizar vamos a ver la relación que existe entre los sistemas hamiltonianos y los sistemas de gradiente. Sólodetallaremos para sistemas con dos grados de libertad.

81

Definición 57. Consideremos el sistema plano

x = P (x, y)y = Q(x, y)

(38)

El sistema ortogonal al (38) se define por

x = Q(x, y)y = −P (x, y).

(39)

Claramente (38) y (39) tienen los mismos puntos críticos y puntos regulares y las trayectorias de (38) son ortogo-nales a les trayectorias de (39).

Además los centros de (38) se corresponden con nodos de (39) y los puntos de silla de (38) se corresponden conpuntos de silla de (39).

También los focos de (38) se corresponden con focos de (39).

El sistema (38) es un sistema hamiltoniano si hacemos P = Hy y Q = −Hx, entonces (39) es un sistema degradiente, y a la inversa.

Teorema 33. El sistema (38) es un sistema hamiltoniano si y sólo si el sistema (39), ortogonal a (38), es unsistema de gradiente.

Para dimensiones mayores tenemos que si (33) es un sistema hamiltoniano con n grados de libertad, entonces elsistema

x = −∂H

∂x

y = −∂H

∂y

(40)

ortogonal a (33) es un sistema de gradiente en R2n y las trayectorias del sistema de gradiente (40) intersecan lassuperficies H(x, y) = constante ortogonalmente.

En el ejemplo anterior si tomamos H(x, y) = V (x, y), entonces la figura ilustra la ortogonalidad de las trayec-torias de los flujos hamiltonianos y de gradiente. El flujo hamiltoniano circula en el sentido de las agujas delreloj.

82

26. Teoría global

26.1. El teorema de Poincaré–BendixsonEl teorema de Poincaré–Bendixson da una determinación completa del comportamiento asintótico de una granclase de flujos sobre el plano, el cilindro, la 2-esfera, etc.

Lo más notable es que no exige grandes condiciones sobre el flujo del campo vectorial, si no sólo unicidad de lassoluciones, propiedades de los conjuntos ω-límite y algunas propiedades sobre la geometría del espacio de fasessubyacente.

Consideremos un campo vectorial Cr, r ≥ 1, y el problema x = f(x), x ∈ E, donde E puede ser el plano, elcilindro o la 2-esfera.

Denotaremos el flujo generado por el campo vectorial, como de costumbre, por ϕ(x, t).

Definición 58. Sea Σ un arco continuo y conexo en E.

Diremos que Σ es transversal al campo vectorial sobre E si el producto escalar del vector normal unitario encada punto de Σ con el campo vectorial en el mismo punto no se anula y no cambia de signo sobre Σ.

Equivalentemente, dado que el campo vectorial es Cr, r ≥ 1, diremos que el campo vectorial no tiene puntos deequilibrio sobre Σ y nunca es tangente a Σ.

Lema 7. Sea M un conjunto positivamente invariante en E y Σ ⊂ M un arco transversal al campo vectorial.La semi-órbita positiva que pasa por el punto p ∈ M interseca Σ en una sucesión monótona, es decir, si pi es elpunto i-èsimo de esta intersección, entonces pi ∈ [pi−1, pi+1].

DEMOSTRACIÓN: Si sólo interseca en un punto, el enunciado seria verdadero.

En otro caso, consideremos la parte de la semi-órbita γ+(p) entre pi−1 y pi junto con el segmento [pi−1, pi] ⊂ Σ.

Esto forma la frontera de una región positivamente invariante D y por tanto, γ+(pi) ⊂ D y, pi+1, si existe ha deestar en D, de donde tenemos que pi ∈ [pi−1, pi+1].

Corolario 6. El conjunto ω(p) interseca Σ como mucho en un punto.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que ω(p) interseca Σ en dos puntos q1 y q2.

Por definición de ω-límite podemos encontrar sucesiones de puntos del conjunto γ+(p), pn y pn que inter-secten Σ y tales que pn → q1 y pn → q2 cuando n →∞.

Pero esto contradice el lema anterior sobre la monotonía de las intersecciones de γ+(p) con Σ.

Lema 8. Si ω(p) no contiene puntos fijos, entonces ω(p) es una trayectoria cerrada.

DEMOSTRACIÓN: La estrategia a seguir es escoger un punto q ∈ ω(p), mostrar que la órbita de q es cerrada y queω(p) es la misma trayectoria de q.

Cojamos x ∈ ω(q), x no es un punto fijo, ya que ω(p) es un cerrado formado por la unión de órbitas que nocontienen puntos fijos. Construimos un arco transversal al campo vectorial en x, Σ.

83

Ahora γ+(q) interseca Σ en una sucesión monótona, qn, y qn → x cuando n →∞, pero ya que qn ∈ ω(p),por el corolario anterior ha de ser qn = x, ∀n. Ya que x ∈ ω(q), la órbita de q debe ser cerrada.

Queda probar que la órbita de q y ω(p) son lo mismo. Sea un arco transversal Σ pasando por q. Por el corolarioanterior ω(p) interseca Σ sólo en q. Como que ω(p) es una unión de órbitas, no contiene puntos fijos y es conexo,por ello γ(q) = ω(p).

Lema 9. Sean p1 y p2 puntos fijos distintos del campo vectorial contenidos en ω(p), p ∈ M (conjunto positiva-mente invariante en E).

Entonces existe como mucho una órbita γ ⊂ ω(p) tal que α(γ) = p1 y ω(γ) = p2.

(α(γ) y ω(γ) son los conjuntos límite para todos los puntos de γ).

DEMOSTRACIÓN: Supongamos que existen dos órbitas γ1, γ2 ⊂ ω(p) tales que α(γi) = p1 y ω(γi) = p2, i = 1, 2.

Sean los puntos q1 ∈ γ1 y q2 ∈ γ2 y construimos los arcos Σ1, Σ2 transversales al campo vectorial en cada unode estos puntos.

Ya que γ1, γ2 ⊂ ω(p), γ+(p) interseca Σ1 en un punto a y posteriormente interseca Σ2 en un punto b.

Entonces la región acotada por los segmentos de órbitas y los arcos que conectan los puntos q1, a, b, q2, p2 es unaregión positivamente invariante, pero eso lleva a una contradicción ya que γ1, γ2 ⊂ ω(p).

Teorema 34 (Poincaré-Bendixson). Sea M una región positivamente invariante del campo vectorial que contieneun número finito de puntos fijos. Sea p ∈ M .

Entonces se verifica sólo una de las siguientes posibilidades:

1) ω(p) es un punto fijo;

2) ω(p) es una trayectoria cerrada; o

3) ω(p) consiste en un número finito de puntos fijos p1, . . . , pn y órbitas γ tales que α(γ) = pi y ω(γ) = pj

DEMOSTRACIÓN: Si ω(p) sólo contiene puntos fijos, entonces debe consistir en un único punto fijo, ya que el númerode puntos fijos en M es finito y ω(p) es un conjunto conexo.

Si ω(p) no contiene puntos fijos, entonces por el lema 8 debe ser una trayectoria cerrada.

Supongamos que ω(p) contiene puntos fijos y puntos regulares.

Sea γ una trayectoria en ω(p) formada por puntos regulares.

En este caso ω(γ) y α(γ) serian puntos fijos, porque, de otra forma, de acuerdo con el lema 8 serian órbitascerradas, lo cual no puede ser porque ω(p) es conexo y contiene puntos fijos.

Por tanto tenemos que cada punto regular en ω(p) tiene un punto fijo para un conjunto α y ω. Esto prueba 3) ycompleta la demostración.

27. Órbitas Periódicas

27.1. Variedades Estable e Inestable en órbitas PeriódicasUn ciclo u órbita periódica del sistema x = f(x) es cualquier curva cerrada solución del sistema la cual no esun punto de equilibrio.

84

Definición 59. Una órbita periódica Γ se llama estable si para cada ε > 0 hay un entorno U de Γ tal que paratodo x ∈ U , d(Γ+

x,Γ) < ε.

Es decir, ∀x ∈ U y t ≥ 0, d(ϕ(x, t), Γ) < ε.

Diremos que una órbita periódica es inestable si no es estable;

y diremos que Γ es asintóticamente estable si para todos los puntos x en algún entorno U de Γ

lımt→+∞

d(ϕ(x, t), Γ) = 0.

Órbita periódica estable

Γ

ϕ(x,t)U

ε

x

Las órbitas periódicas tienen variedades estable e inestable, al igual que los puntos de equilibrio. Si Γ es una órbitaperiódica y N es un entorno de Γ, las variedades estable e inestable de Γ vienen definidas por

S(Γ) = x ∈ N | d(ϕt(x), Γ) → 0 cuando t → +∞y

U(Γ) = x ∈ N | d(ϕt(x), Γ) → 0 cuando t → −∞Las variedades globales estable e inestable de Γ vienen definidas por

WS(Γ) =⋃

t≤0

ϕt(S(Γ))

yWU (Γ) =

⋃

t≥0

ϕt(U(Γ)).

Estas variedades son invariantes para el flujo ϕt.

Veamos un ejemplo. Sea el sistema

x = −y + x(1− x2 − y2)

y = x + y(1− x2 − y2)z = z

Tiene una órbita periódica aislada en el plano x, y, dada por x(t) = (cos t, sin t, 0)T . Hay un punto de equilibrioen el origen.

El eje z, el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x, y son las variedades invariantes del sistema.

El espacio de fases del sistema se muestra en la figura.

z

85

La variedad estable de Γ, WS(Γ), es el plano x, y, excluyendo el origen, y la variedad inestable de Γ, WU (Γ), esel cilindro unidad.

Una órbita periódica Γ de este tipo donde WS(Γ) 6= ∅ y WU (Γ) 6= ∅ se llama una órbita periódica de silla.

Toda órbita periódica de silla es inestable.

28. Estabilidad de trayectorias periódicas

28.1. La aplicación de PoincaréProbablemente la herramienta más básica para estudiar la estabilidad de las trayectorias periódicas es la aplicaciónde Poincaré, definida por Henri Poincaré en 1881.

La idea de la aplicación de Poincaré es simple:

Si Γ es una órbita periódica del sistemax = f(x) (41)

que pasa por el punto x0 y Σ es un hiperplano perpendicular a Γ en x0, tendremos que para cada punto x ∈ Σsuficientemente cerca de x0, la solución de (41) que pasa por x en t = 0, ϕt(x), cortará de nuevo Σ en un puntoP (x) cerca de x0.

SP(x)

xx0

G

La aplicación de Poincaré se puede definir también cuando Σ es una superficie diferenciable, pasando por x0 ∈ Γ,la cual no es tangente a Γ en x0. En este caso diremos que Σ interseca transversalmente la curva Γ en x0.

El siguiente teorema establece la existencia y continuidad de la aplicación de Poincaré P (x) y de su primeraderivada DP (x).

Teorema 35 (de existencia de la aplicación de Poincaré). Sea E un subconjunto abierto de Rn y sea f ∈ C1(E).Supongamos que ϕt(x0) es una solución periódica de (41) de periodo T y que la trayectoria periódica

Γ = x ∈ Rn | x = ϕt(x0), 0 ≤ t ≤ T

esta contenida en E.

Sea Σ un hiperplano ortogonal a Γ en x0, es decir,

Σ = x ∈ Rn | (x− x0) · f(x0) = 0 .

Entonces, hay un δ > 0 y una función única τ(x), definida y continuamente diferenciable para x ∈ Nδ(x0), talque τ(x0) = T y

ϕτ(x)(x) ∈ Σ

para todo x ∈ Nδ(x0).

DEMOSTRACIÓN: La prueba del teorema es consecuencia inmediata del teorema de la función implícita.

86

Para un punto x0 ∈ Γ ⊂ E, definimos la función

F (x, t) = [ϕt(x)− x0] · f(x0).

Entonces tenemos que F ∈ C1(E × R) y, como que ϕt(x0) es periódica, que F (x0, T ) = 0.

Además, como ϕ(x0, t) es solución de (41) que satisface ϕ(x0, T ) = x0, se deduce que

∂F (x0, T )∂t

=∂ϕ(x0, T )

∂t· f(x0)

= f(x0) · f(x0) = |f(x0)|2 6= 0

dado que x0 ∈ Γ no es un punto de equilibrio de (41).

En estas condiciones, por el teorema de la función implícita existe un δ > 0 y una función única τ(x) definida ycontinuamente diferenciable para todo x ∈ Nδ(x0) de manera que

τ(x0) = T y F (x, τ(x)) = 0

para todo x ∈ Nδ(x0).

Entonces, para todo x ∈ Nδ(x0),[ϕ(x, τ(x))− x0] · f(x0) = 0

es decir,ϕτ(x)(x) ∈ Σ

Definición 60 (Aplicación de Poincaré). Sean Γ, Σ y τ(x) definidas por el teorema anterior 35.

Para x ∈ Nδ(x0) ∩ Σ, la funciónP (x) = ϕτ(x)(x)

se llama aplicación de Poincaré para Γ en x0.

La principal utilidad de la aplicación de Poincaré es que sus propiedades se traducen inmediatamente a propiedadesde la ecuación diferencial.

Los puntos fijos de la aplicación de Poincaré, es decir, los puntos x ∈ Σ tales que P (x) = x, corresponden aórbitas periódicas de (41).

No se pierde generalidad suponiendo que el origen se traslada al punto x0 ∈ Σ, y en tal caso tomamos x0 = 0,Σ ' Rn−1, P : Rn−1∩Nδ(0) −→ Rn−1 y DP (0) se representa por una matriz de dimensión (n−1)× (n−1).

Considerando en el sistema (41) el cambio t → −t, se puede demostrar que la aplicación de Poincaré tiene inversadiferenciable P−1 ∈ C1. Por lo tanto, P es un difeomorfismo.

Veamos un ejemplo

Sea el sistema

x = −y + x(1− x2 − y2)

y = x + y(1− x2 − y2)

que ya sabemos que tiene una trayectoria periódica Γ representada por el círculo γ(t) = (cos t, sin t)T .

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La aplicación de Poincaré se puede obtener resolviendo el sistema en coordenadas polares

r = r(1− r2)

θ = 1

con r(0) = r0 y θ(0) = θ0.

La primera ecuación se puede resolver como variables separables o como ecuación de Bernoulli.

Tendremos

r(t, r0) =[1 +

(1r20

− 1)

e−2t

]−1/2

yθ(t, θ0) = t + θ0.

Si Σ es la semirrecta con θ = θ0 que pasa por el origen, entonces Σ es perpendicular a Γ y la trayectoria que pasapor el punto (r0, θ0) ∈ Σ ∩ Γ en t = 0 interseca la semirrecta θ = θ0 de nuevo cuando t = 2π.

Entonces la aplicación de Poincaré vendrá dada por

P (r0) =[1 +

(1r20

− 1)

e−4π

]−1/2

.

G

0

P(r )0r0

x

y

1

q0

Claramente P (1) = 1 corresponde al círculo Γ.

La derivada de P se puede calcular fácilmente

P ′(r0) = e−4πr−30

[1 +

(1r20

− 1)

e−4π

]−3/2

y tenemos que P ′(1) = e−4π < 1.

De la ecuación diferencial en polares tenemos que si r < 1 entonces r > 0, el radio es creciente y no puede serperiódica y si r > 1 → r < 0, el radio es decreciente y tampoco puede ser periódica.

28.2. Estabilidad de trayectorias periódicasPara sistemas con dos variables, si trasladamos el origen al punto x0 ∈ Γ ∩ Σ, la recta normal Σ pasará por elorigen.

G0

P(s)

x

y

s

S

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El punto 0 ∈ Γ ∩ Σ divide la recta Σ en dos segmentos abiertos Σ+ y Σ−.

Denotemos por s la distancia a lo largo de Σ, con s > 0 para los puntos en Σ+ y s < 0 para los puntos en Σ−.

De acuerdo con el teorema 35, la aplicación de Poincaré P (s) está definida para |s| < δ y tenemos que P (0) = 0.

Para estudiar la estabilidad de la órbita periódica Γ introducimos la función desplazamiento

d(s) = P (s)− s (42)

Entonces d(0) = 0 y d′(s) = P ′(s)− 1.

Del teorema del valor medio se deduce que para |s| < δ, d(s) = d′(σ)s para algún σ entre 0 y s.

Dado que d′(s) es continua, el signo de d′(s) será el mismo que el de d′(0) para |s| suficientemente pequeño,cuando d′(0) 6= 0.

Entonces, si d′(0) < 0 se deduce que d(s) < 0 para s > 0 y que d(s) > 0 para s < 0, es decir, la trayectoria Γ esestable.

Y, de forma similar, si d′(0) > 0 entonces Γ es inestable.

Trasladando estos resultados a la aplicación de Poincaré tenemos que si P (0) = 0 y P ′(0) < 1, Γ es unatrayectoria periódica estable y si P (0) = 0 y P ′(0) > 1, Γ es inestable.

Entonces, la estabilidad de Γ viene dada por la derivada de la aplicación de Poincaré.

A la vista de este resultado el siguiente teorema proporciona una forma de calcular P ′(0) a partir de los términosde la derecha de (41).

Teorema 36. Sea E un subconjunto abierto deR2 y supongamos que f ∈ C1(E). Sea γ(t) una solución periódicade (41) de periodo T .

Entonces la derivada de la aplicación de Poincaré P (s) a lo largo de la recta Σ normal a Γ = x ∈ R2 | x =γ(t)− γ(0), 0 ≤ t ≤ T en x = 0 viene dada por

P ′(0) = exp∫ T

0

∇ · f(γ(t)) dt

donde ∇ · f es la divergencia del campo f .

Corolario 7. Con las hipótesis del teorema 36, la trayectoria periódica γ(t) es una trayectoria límite estable si∫ T

0

∇ · f(γ(t)) dt < 0

y es una trayectoria límite inestable si ∫ T

0

∇ · f(γ(t)) dt > 0.

Si esta cantidad se anula no podemos sacar conclusiones.

Para el ejemplo anterior tenemos γ(t) = (cos t, sin t)T , ∇ · f(x, y) = 2− 4x2 − 4y2 y∫ 2π

0

∇ · f(γ(t)) dt =∫ 2π

0

(2− 4 cos2 t− 4 sin2 t) dt = −4π.

Entonces, por el teorema 36, tenemos que P ′(0) = e−4π , que coincide con el resultado que teníamos por cálculodirecto.

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