SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS COMPLEJOS

SISTEMAS DINÁMICOSDISCRETOS COMPLEJOS

José Francisco Ramírez Aguirre

Tesis presentada al Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias,Pontificia Universidad Javeriana para optar por los grados de Informática

Matemática y Matemáticas

Dirigida por:Gerardo R. Chacón Ph.D.

Mayo, 2012

Bogotá - Colombia

Í N D I C E G E N E R A L

Agradecimientos 5

Introducción 6

1 preliminares 9

1.1 El plano complejo extendido 9

1.2 Funciones racionales 12

1.3 Transformaciones de möbius 13

1.4 Valencia 16

2 dinámica sobre funciones racionales 19

2.1 Los conjuntos de Fatou y Julia 27

2.2 Conjuntos completamente invariantes 29

2.3 Familias normales y equicontinuidad 32

2.4 Puntos excepcionales 35

3 dinámica sobre semigrupos de funciones racionales 41

3.1 Los conjuntos de Fatou y Julia de un semigrupo 41

3.2 Densidad de las ramas hacia atrás en Julia 44

4 experimentación computacional 53

4.1 La familia de funciones z2 + c 53

4.2 Algoritmos 56

4.2.1 Algoritmo clásico 59

4.2.2 Algoritmo dinámica hacia atrás 62

4.2.3 Algoritmo dinámica hacia adelante 69

4.3 Ejemplos 80

Bibliografía 87

3

A G R A D E C I M I E N T O S

Quiero expresar mis profundos agradecimientos al Dr. Gerardo R. Chacón porla paciencia y el continuo apoyo que me brindó durante la elaboración de es-ta tesis; a los docentes de la Pontificia Universidad Javeriana que me apoyarony alentaron en adentrarme en el mundo de los sistemas dinámicos; a mis com-pañeros de Informática Matemática y Matemáticas y a todas aquellas personasque saben de la importancia de sus consejos y recomendaciones en el desarrollode este trabajo, en especial, infinitos agradecimientos a mi mamá cuyo apoyo,fuerza y cariño me han acompañado durante toda mi formación.

5

I N T R O D U C C I Ó N

El campo de los sistemas dinámicos es la rama de las matemáticas que estudiaprocesos que se mueven o cambian en el tiempo. Algunos ejemplos de estos sonlos cambios del clima en meteorología, el aumento y la disminución de las pobla-ciones en ecología, las subidas y bajadas de la bolsa de valores en economía y elmovimiento de los planetas y galaxias en astronomía [10].

El estudio de la dinámica compleja se inicia con los trabajos de los matemáti-cos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia en 1917 para el caso más general defunciones racionales en el plano complejo [19]. No obstante, estos fueron retoma-dos y profundizados décadas más adelante, debido parcialmente a la influenciade los computadores, el trabajo de Benoît Mandelbrot, así como de la amplitudde aplicaciones que se derivan de este y el interés intelectual por entender estateoría en su totalidad.

En la década de los setenta Benoît Mandelbrot acuñó el término fractal para“designar ciertos objetos geométricos de estructura irregular que estaban pre-sentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza” [12], confiriendo,por ende, un lugar destacado a la computación dentro de las matemáticas, loque da lugar, por ejemplo, a la aparición del caos determinista, como veremos enel capítulo 2, donde se define una ley fija que será una función racional, pero elsistema puede evolucionar de forma impredecible. Hinkkanen y Martin a comien-zos de los años noventa desarrollaron la idea de trabajar en sistemas dinámicos,ya no sólo con una sola función, sino con un semigrupo de funciones racionales.A partir de estas ideas Gerardo R. Chacón, Renato Colucci y Daniele D’Angeli, lashan generalizado en [7] y [8], cuyos resultados están recopilados en la sección 3.2.

Con el fín de entender la idea central de los sistemas dinámicos discretos com-plejos, nos guiaremos por el libro Iteration of Rational Functions de Alan F. Beardon,del que se toman los elementos necesarios para estudiar la dinámica de iteraciónde funciones racionales de una variable compleja en la esfera de Riemann, eje delos capítulos 1 y 2. En este proceso nos encontraremos con dos tipos de compor-tamiento de dichas iteraciones, la caótica y la regular, de las cuales se definenlos conjuntos de Julia y Fatou respectivamente. Una generalización de la teoríaes considerar, ya no una sóla función racional, sino un semigrupo de funcionesracionales, para estudiar su dinámica, como se verá en el capítulo 3, en especial,en la sección 3.2 donde teniendo en cuenta un teorema en el sentido clásico, enel que para un punto del conjunto de Julia, la clausura de su órbita hacia atráses densa en éste, para una función racional, se demuestra un teorema análogo,

7

8 Introducción

aplicado al árbol de dinámica hacia atrás, donde si la clausura de una rama haciaatrás asociada a un punto de Julia, no es densa en Julia, entonces dicha ramatiene medida cero. Esto permite graficar una aproximación a la frontera del con-junto de Julia de un semigrupo de funciones racionales, tomando únicamenteuna rama asociada de la estructura del árbol.

Con base en esto, en el capítulo 4 se describe el algoritmo de dinámica haciaatrás, en donde se adoptará un enfoque computacional, comparando el algoritmoclásico, para graficar el conjunto de Julia de una sola función, con el algoritmode dinámica hacia atrás y hacia adelante. De esta manera, se muestra cómo la ex-perimentación puede ayudarnos a entender esta teoría haciendo uso de códigosdesarrollados por mí, en el lenguaje de programación Java, los cuales se expli-carán a través de diagramas de flujo.

1P R E L I M I N A R E S

1.1 el plano complejo extendido

Durante todo el texto trabajaremos sobre el plano complejo extendido, el cuales definido como C∞ = C ∪ ∞ donde C son los números complejos e ∞ rep-resenta el infinito. Esta idea se puede representar como la esfera de Riemann, lacual en términos prácticos es la esfera S ⊂ R3 con radio r = 1 y centro en elorigen. Al identificar C con R2, es decir, C = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x3 = 0, y asignarζ = (0, 0, 1) ∈ S, podemos definir la llamada proyección estereográfica, que es lafunción biyectiva π : C∞ −→ S, π(z) = z∗, que cumple: π(∞) = ζ y a cada puntoz ∈ C se le asigna el punto z∗ ∈ S, que es la intersección de la recta que va de ζ az con S, como se observa en la imagen:

Figura 1.1. Proyección estereográfica.

Para definir una métrica en C∞ nos vamos a basar en la de R3. Sean z,w ∈ C∞definamos σ(z,w) = |π(z)−π(w)| = |z∗−w∗|, por lo tanto tenemos que encontrarla forma de calcular z∗ y w∗, es decir, queremos encontrar sus coordenadas entérminos de z y w, para lo cual dicha fórmula estereográfica, la vamos a deducircomo se hace en [18]. Sabemos que z = x+ iy y z∗ = (x1, x2, x3) de tal modo quese cumple x21 + x

22 + x

23 = 1. Sea z

′= x1 + ix2 la sombra perpendicular de z∗ en

C∞, como el punto z está en la misma dirección de z′

tenemos que z =|z|

|z′|z′,

luego, z

z′ =

|z|

|z′|, al considerar un corte transversal de la proyección estereográfica,

9

10 preliminares

podemos obtener información útil, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 1.2. Corte transversal.

Tenemos que los triángulos rectángulos con hipotenusas ζz y ζz∗ son semejantesy por lo tanto podemos deducir que |z|

|z′|= 1

1−x3, es decir, z

z′ =

11−x3

luego tenemos

que x+ iy = x1+ix21−x3

. Además tenemos que,

|z|2 =|z

′|2

(1− x3)2=

x21 + x22

(1− x3)2=

1− x23(1− x3)2

=(1+ x3)(1− x3)

(1− x3)2=1+ x31− x3

luego, (1− x3)|z|2 = 1+ x3, |z|2 − x3|z|2 − x3 = 1, |z|2 − 1 = x3(|z|2 + 1), finalmente,

x3 =|z|2 − 1

|z|2 + 1=x2 + y2 − 1

x2 + y2 + 1y 1− x3 = 1−

|z|2 − 1

|z|2 + 1=

2

|z|2 + 1

como sabemos que

x1 + ix2 = (1− x3)(x+ iy)

=2

|z|2 + 1x+

2

|z|2 + 1iy

=2

x2 + y2 + 1x+

2

x2 + y2 + 1iy

por lo tanto al final tenemos que

z∗ =

(2x

x2 + y2 + 1,

2y

x2 + y2 + 1,x2 + y2 − 1

x2 + y2 + 1

)

1.1 el plano complejo extendido 11

Ahora podemos calcular σ(z,w) = |z∗ −w∗|, donde z = x + iy, w = x′+ iy

′,

z∗ = (x1, x2, x3) y w∗ = (x′1, x

′2, x

′3).

Como

|z∗ −w∗|2 = (x1 − x′1)2 + (x2 − x

′2)2 + (x3 − x

′3)2

= (x21 − 2x1x′1 + x

′21 ) + (x22 − 2x2x

′2 + x

′22 ) + (x23 − 2x3x

′3 + x

′23 )

= (x21 + x22 + x

23) + (x

′21 + x

′22 + x

′23 ) − 2(x1x

′1 + x2x

′2 + x3x

′3)

= 1+ 1− 2(x1x′1 + x2x

′2 + x3x

′3)

= 2− 2(x1x′1 + x2x

′2 + x3x

′3)

y podemos ver que

x1x′1 + x2x

′2 + x3x

′3

=(2x)(2x

′) + (2y)(2y

′) + (|z|2 − 1)(|w|2 − 1)

(x2 + y2 + 1)(x′2 + y

′2 + 1)

=4xx

′+ 4yy

′+ (x2 + y2 − 1)(x

′2 + y′2 − 1)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

=4xx

′+ 4yy

′+ (x2x

′2 + x2y′2 − x2 + y2x

′2 + y2y′2 − y2 − x

′2 − y′2 + 1)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

=(−2)(−2xx

′) + (−2)(−2yy

′) + (x2x

′2 + x2y′2 − 2x2

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

+x2 + y2x

′2 + y2y′2 − 2y2 + y2 − 2x

′2 + x′2 − 2y

′2 + y′2 + 1)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

=(−2)(−2xx

′− 2yy

′+ x2 + y2 + x

′2 + y′2)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

+x2x

′2 + x2y′2 + x2 + y2x

′2 + y2y′2 + y2 + x

′2 + y′2 + 1

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

=(−2)((x− x

′)2 + (y− y

′)2) + (x2 + y2 + 1)(x

′2 + y′2 + 1)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

=−2(|z−w|2) + (|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

= 1−2|z−w|2

(|z|2 + 1)(|w|2 + 1)

luego |z∗ −w∗|2 = 2− 2(1−

2|z−w|2

(|z|2+1)(|w|2+1)

)=

4|z−w|2

(|z|2+1)(|w|2+1)y finalmente

σ(z,w) = |z∗ −w∗| = 2|z−w|√(|z|2+1)(|w|2+1)

12 preliminares

Si z ∈ C pero w no, entonces σ(z,∞) = lımw→∞σ(z,w) = 2√

|z|2 + 1.

σ es la llamada métrica cordal en C∞.

Tenemos que tener claro algunos conceptos del análisis complejo.

Definición 1. Una función f de una variable compleja z es analítica en un conjuntoabierto si tiene derivada en todos los puntos de ese conjunto. Sea D ⊆ C∞, la funciónf : D −→ C∞ es:

1. homeomorfa si f es biyectiva, continua y f−1 es continua.

2. holomorfa en D si la derivada f ′ existe en cada punto de D.

3. meromorfa en D si en cada punto de D existe una vecindad en la que f o 1f es

holomorfa.

Tenemos que entender la relación de las funciones complejas con sus polos, lospolos de f son puntos w dónde f(w) = ∞ y cerca de tales puntos z 7−→ 1

f(z) esholomorfa con valor cero en w.

1.2 funciones racionales

Una función racional es una función de la forma R(z) = P(z)Q(z) donde P y Q son

polinomios cuyos dominios son el plano complejo extendido, por lo tanto puedenser caracterizados como funciones analíticas. Las funciones racionales tienen lassiguientes propiedades:

1. Si P es el polinomio cero entonces R es la función constante cero.

2. Si Q es el polinomio cero entonces R es la función constante∞.

3. Si Q(z) = 0 y P 6= 0 entonces R(z) =∞.

4. P y Q son coprimos, es decir, no tienen ceros en común, pues en caso con-trario se cancelan los factores correspondientes.

5. Definimos R(∞) = lımz→∞R(z)

6. Definimos deg(R) = maxdeg(P),deg(Q) dónde deg(·) es el grado usualde un polinomio.

7. Si R es constante entonces deg(R) = 0.

8. deg(RS) = deg(R)deg(S)

9. R es un polinomio si y solo si R tiene un polo en∞ y ninguno en C, es decir,R−1∞ = ∞.

1.3 transformaciones de möbius 13

Definición 2. Un punto ζ ∈ C∞ es un punto fijo de una función racional R si R(ζ) = ζ

Ejemplo 1. Sea P(z) = a0 + a1z+ ... + anzn donde n > 0 y an 6= 0, como P(∞) =

lımz→∞P(z) = ∞ tenemos que ∞ es un polo de P y cerca de este punto z 7−→ 1

P(z) esholomorfa con valor cero en ∞. En realidad sabemos que ∞ es un punto fijo de todopolinomio no constante y las funciones racionales son analíticas en todo C∞Teorema 1. Sea R(z) =

P(z)Q(z) una función racional, R(∞) = ∞ si y solo si deg(P) >

deg(Q)

Demostración. Sean P(z) = a0 + a1z+ · · ·+ anzn y Q(z) = b0 + b1z+ · · ·+ bmzmentonces por las propiedades anteriores sabemos que

R(∞) = lımz→∞R(z)

= lımz→∞ P(z)Q(z)

= lımz→∞ a0 + a1z+ · · ·+ anzn

b0 + b1z+ · · ·+ bmzm= ∞

tal que an,bm 6= 0. Si suponemos que m > n entonces

lımz→∞ a0 + a1z+ · · ·+ anzn

b0 + b1z+ · · ·+ bmzm= lım

z→∞ (a0 + a1z+ · · ·+ anzn) 1zm(b0 + b1z+ · · ·+ bmzm) 1zm

=0

bm= 0

y si m = n, lımz→∞ a0 + a1z+ · · ·+ anzn

b0 + b1z+ · · ·+ bmzm=an

bmlo cual es una contradicción, por lo

tanto deg(P) > deg(Q).

Y si n > m entonces lımz→∞ a0 + a1z+ · · ·+ anzn

b0 + b1z+ · · ·+ bmzm=an

0= ∞, es decir, R(∞) =∞.

La demostración del siguiente teorema se omitirá pero la puede consultar en[4, 46].

Teorema 2. Sea R la clase de funciones racionales, la función deg : R → 0, 1, · · · escontinua. En particular, si las funciones racionales Rn convergen uniformemente en C∞a la función R entonces R es racional y para todo n suficientemente grande, deg(Rn) =deg(R)

1.3 transformaciones de möbius

Una transformación de Möbius es una función racional de grado 1 de la formaR(z) = az+b

cz+d para la cual ad− bc = 0, además se cumple: Si c = 0 tenemos queR(∞) =∞ y si c 6= 0,

14 preliminares

1. R(∞) = ac teniendo en cuenta que

R(z) =az+ b

cz+ d=

az

cz+ d+

b

cz+ d=

az

z(c+ dz )

+b

cz+ d=

a

c+ dz

+b

cz+ d

luego

R(∞) =a

c+ d∞ +b

c∞+ d=

a

c+ 0+b∞ =

a

c+ 0 =

a

c

2. R(−dc ) = ∞ ya que R(z) =

P(z)Q(z) = ∞ se tiene cuando Q(z) = 0, es decir,

cz+ d = 0 por lo tanto z = −dc .

Lema 1. Las transformaciones de Möbius son un grupo de homeomorfismos analíticos deC∞ sobre si mismo.

Demostración. Sea g(z) = az+bcz+d una transformación de Möbius, queremos saber

como es g−1(z), por lo tanto tomamos y = az+bcz+d , entonces y(cz+ d) − az = b, en-

tonces ycz− az = b− dy, entonces (cy− a)z = −dy+ b, entonces z = −dy+bcy−a , es

decir, g−1(z) = −dz+bcz−a . Como az+b y cz+d son analíticas en C∞, por lo tanto ten-

emos que g(z) es analítica, luego podemos aplicar el mismo razonamiento paracomprobar que g−1(z) es también analítica, además como toda función analíticaes continua, tenemos que g(z) es un homeomorfismo analítico.

1. Para comprobar la clausura de la operación binaria consideremos h(z) =ez+fkz+l una transformación de Möbius,

(g h)(z) = g(h(z))

=a(ez+fkz+l

)+ b

c(ez+fkz+l

)+ d

=a(ez+ f) + b(kz+ l)

c(ez+ f) + d(kz+ l)

=(ae+ bk)z+ (af+ bl)

(ce+ dk)z+ (cf+ dl)

de modo que (ae+ bk)(cf+ dl) − (af+ bl)(ce+ dk) 6= 0, ya que si no setuviera lo anterior entonces (ae+bk)(cf+dl) = (af+bl)(ce+dk), es decir,(ae + bk) = (ce + dk) y (cf + dl) = (af + bl), luego a = c Y b = d, ysi multiplicamos, ad = cb es una contradicción, por lo tanto g h es unatransformación de Möbius.

2. La propiedad asociativa también se tiene, (f g) h = f (g h) al seguirde forma análoga el procedimiento del punto anterior.

3. Sea I(z) = z el elemento de identidad, es decir, (g I)(z) = g(I(z)) = g(z).

4. El elemento inverso de g(z) es g−1(z), ya que, (g g−1)(z) = z = I(z).

1.3 transformaciones de möbius 15

De ahora en adelante la composición de dos funciones f g la denotaremos comofg.

Definición 3. Dos funciones racionales R y S son conjugadas si y solo si existe algunatransformación de Möbius g tal que S = gRg−1

Lema 2. La conjugación es una relación de equivalencia.

Demostración. Sean I, R, S, T funciones racionales. Como

IRI−1(z) = I(R(I(z))) = I(R(z)) = R(z)

la conjugación es reflexiva. Si R = gSg−1 podemos ver que g−1R = Sg−1 yg−1Rg = S, es decir, la conjugación es simétrica. Si R = gSg−1 y S = hTh−1 en-tonces R = g(hTh−1)g−1 = (gh)T(gh)−1 ya que las transformaciones de Möbiusson lineales y biyectivas, luego la conjugación es transitiva. Por lo tanto tenemosque la conjugación es una relación de equivalencia.

Teniendo en cuenta lo anterior tenemos las siguientes propiedades:

Lema 3. Si R y S son conjugados entonces

1. deg(R) = deg(S).

2. Rn = gSng−1.

3. La conjugación conserva los puntos fijos.

Demostración. Como R y S son conjugados, R = gSg−1.

1. Por definición de deg(·) tenemos que

deg(R) = deg(gSg−1) = deg(g)deg(S)deg(g−1) = 1 · deg(S) · 1 = deg(S)

2. Sabemos que es cierto para n = 1, ahora supongamos que lo es para n = k,luego

Rk+1 = R(Rk)

= R(gSkg−1)

= gSg−1(gSkg−1)

= gS(g−1gSkg−1)

= gS(Skg−1)

= gSk+1g−1

por inducción tenemos que es cierto en general.

16 preliminares

3. Supongamos que z es un punto fijo de S, entonces R fija a g(z) si y solo si Sfija a z, es decir, R(g(z)) = gSg−1(g(z)) = gS(z) = g(z).

Teorema 3. Una función racional no constante R es conjugado a un polinomio si y solosi existe algún w ∈ C∞ tal que R−1w = w.

Demostración. Supongamos que R y P son conjugados, donde P es un polinomio,entonces R = gPg−1 y como ∞ es punto fijo de P, por lema 3, R fija a w = g(∞)

y por lo tanto R−1w = w. Ahora supongamos que existe w ∈ C∞ tal queR−1w = w, si w = ∞ entonces R es un polinomio no constante, si tomamosg = I entonces R = gRg−1, es decir, R es conjugado a un polinomio. Si w 6= ∞ através de una adecuada conjugación obtenemos que g(w) =∞ y w = g−1(∞), esdecir, gR(w) = g(w) =∞ lo que también implica que gR(g−1(∞)) = gRg−1(∞) =∞, si definimos S = gRg−1 entonces S fija a ∞ y por lo tanto es un polinomio,luego R es conjugado a un polinomio.

1.4 valencia

Si tenemos una función f no constante y holomorfa cerca al punto z0 ∈ C, ftiene una expansión de Taylor en z0, f(z) = a0+ak(z− z0)k+ak+1(z− z0)k+1+ · · ·donde ak 6= 0 y el entero positivo k es determinado únicamente por la condición

que el límite lımz→z0

f(z) − f(z0)

(z− z0)kexista, sea finito y diferente de cero, este k lo deno-

taremos Vf(z0).

Definición 4. El número Vf(z0) es llamado valencia u orden de f en z0, también sepuede ver como el número de soluciones de f(z) = f(z0) en z0.

Lema 4. La valencia satisface la regla de la cadena, Vfg(z0) = Vf(g(z0))Vg(z0) dondef,g son holomorfas y z0,g(z0), fg(z0) ∈ C.

Demostración. Como g es holomorfa y no constante cerca de z0 tenemos que g 6=g(z0) en una vecindad puntuada N de z0. Si suponemos q = Vf(g(z0)) y k =

Vg(z0) entonces los límites lımg(z)→g(z0)

f(g(z)) − f(g(z0))

(g(z) − g(z0))qy lımz→z0

g(z) − g(z0)

(z− z0)kexisten,

si tenemos en cuenta la identidad

fg(z) − fg(z0)

(z− z0)kq=

(fg(z) − fg(z0)

(g(z) − g(z0))q

)(g(z) − g(z0)

(z− z0)k

)qy tomamos el límite z→ z0 tenemos que es finito y diferente a cero, por lo tantoVfg(z0) = kq.

Teorema 4. La función f es inyectiva en alguna vecindad de z0 si y solo si Vf(z0) = 1

1.4 valencia 17

Demostración. Teniendo en cuenta que Vf(z0) es el número de soluciones de f(z)en z0, si es Vf(z0) = 1, tiene una solución por lo tanto f es inyectiva en algunavecindad de z0. Si f es inyectiva entonces f(z) tiene una solución luego Vf(z0) =1.

Lema 5. La valencia es preservada bajo la pre-aplicación y post-aplicación de una funcióninyectiva.

Demostración. Sean f,g funciones holomorfas, consideremos primero que cercaa z, g sea inyectiva y fg está definida, al aplicar la regla de la cadena de lavalencia tenemos que, Vfg(z) = Vf(g(z))Vg(z) = Vf(g(z)) · 1 = Vf(g(z)). Ahora siconsideramos que fg esté definida cerca a z y f inyectiva cerca a g(z) entoncesVfg(z) = Vf(g(z))Vg(z) = 1 · Vg(z) = Vg(z).

Con el fin de extender la definición de valencia en todo C∞ ya sea en z0o f(z0) = ∞, consideraremos las transformaciones de Möbius g y h tales queg(z0),h(f(z0)) ∈ C. Sea F = hfg−1 con la cual veremos que Vf(z0) = VF(g(z0)),como g es inyectiva en z0 y Fg = hf−1g = hf está definida en z0 tenemos queVF(g(z0)) = VFg(z0) = Vhf(z0) y además como h es inyectiva en f(z0) tenemosVhf(z0) = Vf(z0), es decir, Vf(z0) = VF(g(z0)) que es independiente de la elecciónde g y h.

Teorema 5. Si f tiene un polo de orden k en z0 ∈ C entonces Vf(z0) = k

Demostración. Por definición de polo de orden k el límite lımz→z0

(z− z0)kf(z) = ak 6=

0 existe, como z0 es un polo tenemos que f(z0) =∞, podemos tomar las transfor-maciones de Möbius g(z) = z y h(z) = 1

z y considerar Vf(z0) = VF(g(z0)) = VF(z0)donde F = hfg−1, es decir, F(z) = hfg−1(z) = h(f(z)) = 1

f(z) luego Vf(z0) = V1f(z0)

y por definición de valencia

lımz→z0

1f(z) −

1f(z0)

(z− z0)k= lımz→z0

1f(z) − 0

(z− z0)k= lımz→z0

1

f(z)(z− z0)k=1

ak6= 0

por lo tanto Vf(z0) = k.

Teorema 6. R tiene k raíces en z0 si y solo si gRg−1 tiene k raíces en g(z0) donde g esuna transformación de Möbius.

Demostración. Por el teorema anterior tenemos que VR(z0) = k = VgRg−1(g(z0)) yaque la cantidad de raíces de una función holomorfa viene dada por su valencia.

Definición 5. Una función analítica f : D −→ C∞ es llamada univalente en D si f esinyectiva.

18 preliminares

Ejemplo 2. Si f es univalente enD entonces Vf(z) = 1 para todo z ∈ D, pero el reciprocono es cierto, la función f : C− 0 −→ C− 0 definida como f(z) = z2 no es inyectivaya que cada elemento del rango tiene dos preimágenes. Al considerar la definición devalencia,

lımz→z0

f(z) − f(z0)

(z− z0)k= lım

z→z0

z2 − z20(z− z0)k

= lımz→z0

(z− z0)(z+ z0)

(z− z0)k

= lımz→z0

z+ z0(z− z0)k−1

la única forma para que este límite exista es que k = 1, luego lımz→z0

z+ z0 = 2z0 6= 0

entonces Vf(z0) = 1 para todo z0 ∈ C− 0.

Sea R una función racional de grado positivo d en C∞, tenemos que para todoz0 ∈ R−1w, VR(z0) es el número de soluciones de R(z) = w en z0 o la multiplici-dad de z0 respecto a R, luego para cada w ∈ C∞,

∑z∈R−1w

VR(z) = deg(R) = d.

Teorema 7. Si R(z) = P(z)Q(z) donde P(z) = a0 + a1z+ · · ·+ anzn y Q(z) = b0 + b1z+

· · ·+ bmzm con an,bm 6= 0 entonces VR(∞) = |m−n|

Demostración. Tomemos F = gRg−1 donde g(z) = 1z = g−1(z), de modo que

g(∞) = 0 luego VR(∞) = VF(0), además, F(z) = gRg−1(z) = 1R(1z )

=Q(1z )

P(1z ), ahora

queremos hallar dicha valencia. Por definición

lımz→0

F(z) − F(0)

(z− 0)k= lım

z→0

Q(1z )

P(1z )− 0

zk

= lımz→0

Q(1z)

P(1z)zk

= lımz→0

b0 + b11z + · · ·+ bm

1zm

(a0 + a11z + · · ·+ an

1zn )z

k

= lımz→0

1zm (b0z

m + b1zm−1 + · · ·+ bm)

1zn (a0z

n + a1zn−1 + · · ·+ an)zk

= lımz→0

zn(b0zm + b1z

m−1 + · · ·+ bm)zm(a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an)zk

si n > m, para que exista el límite tenemos que tomar n−m = k, por lo tanto

lımz→0

b0zm + b1z

m−1 + · · ·+ bma0zn + a1zn−1 + · · ·+ an

=bm

an

y si m > n entonces n−m = −k, m− n = k por lo tanto podemos concluir quek = |m−n|, es decir, VR(∞) = |m−n|.

2D I N Á M I C A S O B R E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S

Sea R : C∞ −→ C∞ una función racional y sea z0 ∈ C∞. z0 será llamadopunto inicial, al aplicar R obtenemos z0,R(z0) = z1,R(z1) = z2, . . ., luego por lacomposición de funciones vemos que

zn = R(zn−1) = R(R(zn−2)) = . . . = R(R(. . . R︸︷︷︸n−veces

(z0))) = Rn(z0)

Donde la última igualdad define la notación a utilizar a continuación. Este pro-ceso de componer funciones en un punto se denomina iteración de funciones yde esta forma obtenemos un sistema dinámico autónomo de tiempo discreto [16]o sistema dinámico discreto ya que estamos trabajando sobre una sucesión depuntos del plano complejo extendido que se pueden ordenar y que es sensiblea condiciones iniciales, que en este caso es el punto inicial. Este comportamien-to dinámico no es igual para todo tipo de funciones, nos centraremos en lasfunciones racionales, por lo tanto nuestro punto de partida serán las transforma-ciones de Möbius que tienen un comportamiento simple.

Teorema 8. Para todo z0 ∈ C∞, si la sucesión (zn) converge a w ∈ C∞ entonces w esun punto fijo de R.

Demostración. Como lımn→∞ zn = w y R es continua en w tenemos que lım

n→∞R(zn) =R(w) y por lo tanto R(w) = lım

n→∞ zn+1 = w luego w es un punto fijo de R.

Definición 6. Sea ζ ∈ C∞ un punto fijo de R, decimos que ζ es un:

1. Punto superatractor si |R ′(ζ)| = 0

2. Punto atractor si |R ′(ζ)| < 1

3. Punto repulsor si |R ′(ζ)| > 1

4. Punto indiferente si |R ′(ζ)| = 1

Para entender la definición anterior, tengamos en cuenta que si z es cercano alpunto fijo ζ entonces aproximadamente tenemos que

|R(z) − ζ| = |R(z) − R(ζ)| ≈ |R ′(ζ)||z− ζ| (2)

por lo tanto si suponemos que |R ′(ζ)| < 1 entonces |R(z) − ζ| < |z− ζ|, es decir,puntos cercanos a un atractor se acercan aún más a ese punto fijo al aplicar R. Deforma análoga podemos comprobar que puntos cercanos a un repulsor, al aplicarR, se alejarían de dicho punto. El siguiente teorema nos dice que si un punto escercano al repulsor ζ, eventualmente regresara a ζ o incluso al mismo ζ.

19

20 dinámica sobre funciones racionales

Teorema 9. Si (zn) converge al punto fijo repulsor ζ entonces zn = ζ para n > n0.

Demostración. Supongamos que zn 6= ζ para todo n > n0, por la continuidad deR para todo ε > 0 existe δε > 0 tal que si |z− ζ| < δε entonces |R(z) − ζ| < ε yademás por convergencia sabemos que para todo δ > 0 existe N tal que si n > Nentonces |zn − ζ| < δ, luego si tomamos ε = |zn − ζ| para todo n > N y δε = δ

tenemos que |R(zn) − R(ζ)| < ε, es decir, |zn+1 − ζ| < |zn − ζ|. Tomemos k tal que|R ′(ζ)| > k > 1, al retomar (2) tendríamos que |R(z) − ζ| > k|z− ζ|, si cambiamosz por zn obtendríamos |R(zn) − ζ| = |zn+1− ζ| > |zn− ζ| una contradicción, por lotanto zn = ζ.

Teorema 10. Sea R(z) =P(z)Q(z) una función racional, entonces existe ζ ∈ C tal que

R(ζ) = ζ si y solo si P(ζ) = ζQ(ζ)

Demostración. Si suponemos que Q(ζ) = 0 tendríamos que P(ζ)0 = ζ, pero como

P y Q son coprimos entonces P(ζ) 6= 0 y necesariamente ζ = ∞ lo cual es unacontradicción, por lo tanto P(ζ) = ζQ(ζ). Si P(ζ) = ζQ(ζ) entonces Q(ζ) 6= 0, delo contrario se aplicaría el anterior caso, luego R(ζ) = P(ζ)

Q(ζ) = ζ.

Corolario 10.1. Los puntos fijos de R en C son las soluciones de P(z) − zQ(z) = 0

Demostración. Sea ζ ∈ C tal que satisface P(ζ) − ζQ(ζ) = 0, es decir, P(ζ) = ζQ(ζ)

por el teorema anterior R(ζ) = ζ, por lo tanto ζ es un punto fijo de R.

Como no todas las soluciones de P(z) − zQ(z) = 0 tienen que estar en C en-tonces R puede no tener puntos fijos en C.

Ejemplo 3. Sea R(z) = z2+1z , si calculamos P(z) − zQ(z) = (z2 + 1) − z2 = 1 tenemos

que P(z) − zQ(z) no tienen solución en C y por lo tanto R tampoco, pero por teorema 1tenemos que R(∞) =∞,∞ es un punto fijo de R que pertenece a C∞.

La demostración del siguiente teorema es tomada de [4, 39].

Teorema 11. Sea ζ ∈ C punto fijo de la función analítica f, y sea ϕ cualquier funciónanalítica, inyectiva y finita en alguna vecindad de ζ entonces ϕfϕ−1 tiene el mismonúmero de puntos fijos en ϕ(ζ) como f tiene en ζ.

Demostración. Suponga que f tiene k puntos fijos en ζ. Los puntos fijos de ϕfϕ−1

satisfacen F(z) = ϕfϕ−1(z) − z = 0, si consideramos la definición de valencia,

lımz→ϕ(ζ)

F(z) − F(ϕ(ζ))

(z−ϕ(ζ))k= lım

z→ϕ(ζ)

ϕfϕ−1(z) − z− (ϕfϕ−1(ϕ(ζ)) −ϕ(ζ))

(z−ϕ(ζ))k

= lımz→ϕ(ζ)

ϕfϕ−1(z) − z

(z−ϕ(ζ))k

y tenemos la siguiente identidad:

ϕfϕ−1(z) − z

[z−ϕ(ζ)]k=ϕfϕ−1(z) −ϕϕ−1(z)

fϕ−1(z) −ϕ−1(z)· fϕ

−1(z) −ϕ−1(z)

[ϕ−1(z) − ζ]k· [ϕ

−1(z) −ϕ−1ϕ(ζ)]k

[z−ϕ(ζ)]k

dinámica sobre funciones racionales 21

hay que tener en cuenta que es suficiente mostrar que cada uno de los términosde la derecha tienden a un límite finito y diferente a cero cuando z tiende a ϕ(ζ).El primer término de la derecha es de la forma ϕu−ϕv

u−v y por la fórmula de laintegral de Cauchy aplicada en una vecindad de ϕ(ζ) muestra que tiende a unlímite finito y diferente a cero, particularmente ϕ

′(ζ) como u y v tienden a ζ. La

definición de k implica que al z tender a ϕ(ζ) el segundo término de la derechatienda a un límite finito y diferente a cero. Finalmente el tercer término tiende a[ϕ

′(ζ)]−k.

Corolario 11.1. Sea ζ punto fijo de la función racional R y sea g una transformación deMöbius entonces gRg−1 tiene el mismo número de puntos fijos en g(ζ) como R tiene enζ.

Teorema 12. Si d > 1, una función racional de grado d tiene precisamente d+ 1 puntosfijos en C∞Demostración. Toda función racional R es conjugado a una función racional Stal que S(∞) 6= ∞, además S y R tienen el mismo número de puntos fijos, aligual que los grados de S y R. Se sigue que debemos de asumir que R(∞) 6= ∞.Tomemos R = P

Q con P y Q coprimos y sea ζ cualquier punto fijo de R y por lotanto ζ es finito, teniendo en cuenta la propiedad 3 de las funciones racionalestenemos que Q(ζ) 6= 0, el número de raíces de R(z) − z en ζ es el mismo que elnúmero de raíces de P(z) − zQ(z) en ζ, por lo tanto el número de soluciones deP(z) = zQ(z) en C. Como R(∞) 6=∞ por el teorema 1 tenemos deg(P) 6 deg(Q),es decir, deg(R) = deg(Q) luego el grado de P(z) − zQ(z) es deg(R) + 1.

Definición 7. A cada punto fijo ζ 6= ∞ de la función racional R se le asocia el númerocomplejo M(R, ζ) = R

′(ζ) llamado multiplicador de R en ζ.

En el caso que ζ =∞ se elige una transformación de Möbius g tal que g(∞) ∈C, de tal modo que M(R,∞) =M(gRg−1,g(∞)).

Ejemplo 4. Sea a0+a1z+···+anznb0+b1z+···+bmzm tal que an,bm 6= 0 y n > m. Por lo tanto R(∞) =∞,

calcularemos M(R,∞). Tomemos g(z) = 1z , luego

M(R,∞) = M(gRg−1,g(∞))

= M

(g

(R

(1

z

)), 0)

= M

(1

R(1z

) , 0

)

=

(1

R(10

)) ′

= S′(0)


Como [1

R(1z

)] ′

=

[b0 + b1

(1z

)+ · · ·+ bm

(1z

)ma0 + a1

(1z

)+ · · ·+ an

(1z

)n] ′

=

[b0z

m+b1zm−1+···+bmzm

a0zn+a1zn−1+···+an

zn

] ′

=

[zn(b0z

m + b1zm−1 + · · ·+ bm)

zm(a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an)

] ′

=

[zn

zm

] ′ [b0z

m + b1zm−1 + · · ·+ bm

a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an

] ′

=

[nzn−1zm −mznzm−1

z2m

] [b0z

m + b1zm−1 + · · ·+ bm

a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an

] ′

=

[zm+n−1(n−m)

z2m

] [b0z

m + b1zm−1 + · · ·+ bm

a0zn + a1zn−1 + · · ·+ an

] ′

para el caso en el que 2m = m + n − 1, es decir, n = m + 1, tenemos que S′(0) =

(n−m)bman = bman

y en los otros caso S′(0) = 0. Luego R

′(∞) = an

bmsi n = m+ 1 y

en los otros caso R′(∞) =∞, donde por continuidad R

′(∞) = lım

z→∞R ′(z). Esto muestra

que en general M(R, ζ) de una función racional R en el punto fijo ζ es M(R, ζ) = R′(ζ)

si ζ 6=∞ y M(R, ζ) = 1

R′(ζ)

si ζ =∞.

Teorema 13. Suponga que f(z) = az + b1zr+1 + · · · , cerca al origen, donde a 6= 0,

b1 6= 0 y r > 1 entonces fn(z) = anz+ bnzr+1 + · · · , donde bn = an−1b1(1+ a

r +

a2r + · · ·+ a(n−1)r).

Demostración. Vamos a proceder por inducción, para k=2,

f2(z) = f(f(z))

= f(az+ b1zr+1 + · · · )

= a(az+ b1zr+1 + · · · ) + b1(az+ b1zr+1 + · · · )r+1 + · · ·

= a2z+ ab1zr+1 + b1a

r+1zr+1 + · · ·= a2z+ b1(az

r+1 + ar+1zr+1) + · · ·= a2z+ b1(a+ a

r+1)zr+1 + · · ·= a2z+ ab1(1+ a

r)zr+1 + · · ·= a2z+ b2z

r+1 + · · ·


Ahora supongamos que se cumple para k = n, queremos ver que se cumple parak = n+ 1,

fn+1(z) = f(fn(z))

= f(anz+ bnzr+1 + · · · )

= a(anz+ bnzr+1 + · · · ) + b1(anz+ bnzr+1 + · · · )r+1 + · · ·

= an+1z+ abnzr+1 + b1a

n(r+1)zr+1 + · · ·= an+1z+ (abn + b1a

n(r+1))zr+1 + · · ·= an+1z+ (aan−1b1(1+ a

r + a2r + · · ·+ a(n−1)r) + b1an(r+1))zr+1 + · · ·= an+1z+ (anb1(1+ a

r + a2r + · · ·+ a(n−1)r) + b1anr+n)zr+1 + · · ·= an+1z+ (anb1(1+ a

r + a2r + · · ·+ a(n−1)r) + b1anran)zr+1 + · · ·= an+1z+ anb1(1+ a

r + a2r + · · ·+ a(n−1)r + anr)zr+1 + · · ·= an+1z+ bn+1z

r+1 + · · ·

Por inducción el teorema queda demostrado.

Corolario 13.1. Si a = 1 entonces bn = nb1.

Demostración.

bn = an−1b1(1+ ar + a2r + · · ·+ a(n−1)r)

= 1n−1b1(1+ 1r + 12r + · · ·+ 1(n−1)r)

= nb1

Corolario 13.2. bn = 0 si y solo si ar 6= 1 y anr = 1.

Demostración. Sabemos que bn = 0 si y solo si

Sn−1 =

n−1∑k=0

akr = 1+ ar + a2r + · · ·+ a(n−1)r = 0

ya que por hipótesis a 6= 0 y b1 6= 0, luego arSn−1 =n−1∑k=0

ar(k+1) = 0, al tener en

cuenta que Sn−1 − arSn−1 = 1− anr y (1− ar)Sn−1 = 1− anr, es decir, Sn−1 =1−anr

1−ar = 0 si y solo si 1− ar 6= 0 y 1− anr = 0, por lo tanto, ar 6= 1 y anr = 1.

Corolario 13.3. fn tiene al menos tantos puntos fijos en el origen como f los tiene, y sitiene más, entonces a 6= 1 pero an = 1.

Demostración. Los puntos fijos de fn son los que cumplen fn(z) = z, es decir,

fn(z) − z = (anz+ bnzr+1 + · · · ) − z

= z(an − 1) + bnzr+1 + · · ·

= 0


de forma análoga tenemos que los puntos fijos de f son los que cumplen z(a−

1) + b1zr+1 + · · · = 0. Si en las igualdades anteriores dividimos por z, tenemos

que si an 6= 1 entonces a 6= 1 así que si fn tiene un punto fijo en el origenentonces f también lo tiene, pero si fn tiene más tendríamos que a 6= 1 mientrasque an = 1.

Definición 8. z es un punto crítico de la función racional R si existe alguna vecindad dez en la que R no es inyectiva. Si R no es constante estos puntos son precisamente los quecumplen VR(z) > 1.

Si nos preguntamos que importancia tienen los puntos críticos para una fun-ción racional, en [6] encontramos que la dinámica global de una función racionalR depende fuertemente en el comportamiento del los puntos críticos de R bajosus iteraciones.

Definición 9. w es un valor crítico de la función racional R si w = R(z) donde z es unpunto crítico de R.

Si R es de grado d y si w no es un valor crítico entonces R−1 w consiste deprecisamente d puntos distintos, z1, . . . , zd. Como ninguno de los zj son puntoscríticos existen las vecindades N de w y N1, . . . ,Nd de z1, . . . , zd respectivamentedonde R actúa como una biyección de cada Nj sobre N, luego para cada j, larestricción Rj de la función racional R en Nj tiene inversa R−1j : N −→ Nj y lasllamaremos las ramas de R−1 en w.Por el hecho de que R es inyectiva en alguna vecindad de todo punto de C queno sea ni una raíz ni un polo de R

′, luego para finitos puntos z tenemos que

VR(z) > 1, por lo tanto∑

[VR(z) − 1] < +∞ teniendo en cuenta que es una sumasobre todos los z ∈ C∞.Esta suma nos otorga una medida del número de raíces múltiples de R y su valores dado por la relación Riemann-Hurwitz cuya demostración es tomada de [4]:

Teorema 14. Para toda función racional no constante R,∑[VR(z) − 1] = 2deg(R) − 2

Demostración. Sabemos que VR(z0) = VgRg−1(g(z0)) donde g es una transforma-ción de Möbius, por lo tanto ambos lados de la igualdad son invariantes bajoconjugación, esto quiere decir que R tiene k raíces en z0 si y solo si gRg−1 tienek raíces en g(z0). Ahora seleccionemos un punto ζ tal que R(ζ) 6= ζ,VR(ζ) = 1 yR(z) = ζ tiene d distintas soluciones, construyamos la transformación de Möbiusg tal que g(ζ) = ∞,g(R(ζ)) = 1 y definamos S = gRg−1 que se encarga detrasladar las propiedades de R a las de S, redefinamos S como R, debemos asumirque,

R(∞) = gRg−1(∞) = gR(ζ) = 1

R tiene d distintos polos simples z1, . . . , zd que pertenecen a C.


VR(∞) = 1.

Como habíamos visto, si f tiene un polo de orden k en z0 entonces Vf(z0) = k,esto en nuestro caso nos dice que VR(zj) = 1 para cada zj. Por lo tanto tenemos∑

[VR(z) − 1] < +∞ sumando para todo z ∈ C excepto los puntos zj. Para todoz, R(z) ∈ C y así dicho valor es el número de raíces de R

′(z). Al escribir R =

PQ en forma reducida tenemos que R

′(z) =

P′(z)Q(z)−P(z)Q

′(z)

Q(z)2también está en

forma reducida, si no fuera así, el numerador y el denominador tendrían unaraíz en común, que sería algún zj, entonces 0 = P

′(zj)Q(zj) = P(zj)Q

′(zj) pero

entonces P(zj) = 0 o Q′(zj) = 0, la primera opción es falsa porque R está en

forma reducida, y la segunda también lo es porque los zj son raíces simples de Q.Luego

∑[VR(z) − 1] no solo representa el número de raíces de R

′(z) sino también

el grado de P′Q− PQ

′o equivalentemente el grado del polinomio Q(z)2R

′(z).

Calcularemos el grado de este polinomio encontrando su orden de crecimiento

en ∞. Teniendo en cuenta que deg(Q) 6 d, deg(Q2) 6 2d entonces lımz→∞ Q(z)2

z2dtiene límite finito y distinto de cero, además como VR(∞) = 1 significa que R esinyectiva en alguna vecindad de ∞ y R(1z) = 1+Az+ · · · cerca al origen, dondeA 6= 0, luego R

′(1z) = A+a2z

2+a3z3+ · · · , y reemplazando z por 1z encontramos

que z2R′(z) tiende a un límite finito y distinto de cero en ∞ y así finalmente∑

[VR(z) − 1] = 2d− 2.

Teorema 15. Sea C el conjunto de puntos críticos de la función racional R entonces elconjunto de valores críticos de Rn es R(C)∪ · · · ∪ Rn(C).

Demostración. Tomemos z ∈ R(C) ∪ · · · ∪ Rn(C), luego para algún k, z ∈ Rk(C),por lo tanto existe una sucesión z0, z1 = R(z0), . . . , z = R(zk−1) = Rk(z0) dondez0 ∈ C, por la regla de la cadena para valencias, tenemos que,

VRk(z0) = VR(Rk−1(z0))VRk−1(z0)

= VR(zk−1)VRk−1(z0)

= VR(zk−1)VR(zk−2)VRk−2(z0)...= VR(zk−1)VR(zk−2) · · ·VR(z0)

y como z0 un punto crítico, VR(z0) > 1, tenemos que VRk(z0) > 1 y por lo tanto zes un valor crítico de Rk. Ahora si z es un valor crítico de Rk debe existir algunasucesión con VRk(z0) > 1, y por tanto algún zj ∈ C.

Teorema 16. Toda transformación de Möbius tiene dos puntos fijos ya sean iguales odistintos.

Demostración. Sea R una tranformación de Möbius, tenemos dos casos:


Caso 1: R tiene un sólo punto fijo.Supongamos que R tiene a ∞ como su único punto fijo, si recordamos la for-ma de una transformación de Möbius, R(z) = az+b

cz+d , tenemos que c = 0, luegoR(z) = a

dz+bd = β1z+ β2. Ahora supongamos que z es un punto fijo, es decir,

z = R(z) = β1z+ β2, entonces z(β1 − 1) = −β2, entonces z = −β2β1−1

, pero como

además sabemos que ∞ es el único punto fijo de R, tenemos que −β2β1−1

= ∞,β1− 1 = 0, β1 = 1, R(z) = z+β2 por lo tanto la forma general de nuestra funciónes R(z) = z+β, con β 6= 0. Continuando R2(z) = R(z) +β = z+ 2β, luego en gen-eral tenemos que Rn(z) = z+ nβ y lım

n→∞Rn(z) = ∞ para todo z. Ahora supong-

amos que R tiene como punto fijo a ζ, sea g(z) = 1z−ζ , como 0 · (−ζ) − (1) · 1 = −1

esta es una función de Möbius que toma a ζ y lo envía a ∞, definamos S comoS(z) = gRg−1(z), es decir,

C∞ R // C∞g

C∞

g−1

OO

S // C∞por lo cual tenemos que calcular g−1, como g(z) = 1

z−ζ = w entonces 1 =

w(z− ζ) = wz−wζ luego 1+wζw = z = g−1(w) y como sabemos que g−1(∞) =

lımz→∞g−1(z) =

ζ

1por la regla de L’Hôpital. Ahora S(∞) = gRg−1(∞) = gR(ζ) =

g(ζ) = ∞ lo que implica que S fija z si y solo si z = ∞, a partir de esto sabemosque S(z) = z+β y por lo tanto lım

n→∞Sn(z) =∞ para todo z, se sigue que S es unatraslación. Si consideramos el proceso de iteración sobre S obtenemos que

Sn(z) = Sn−1(S(z))

= Sn−1(gRg−1(z))

= Sn−2(S(gRg−1(z)))

= Sn−2(gRg−1(gRg−1(z)))

= Sn−2(gR2g−1(z))...= gRng−1(z)

lo cual indica queRn(z) = g−1Sng(z) = g−1(Sn(g(z)))

ahora como sabemos que lımn→∞Sn(g(z)) = ∞ y g−1(∞) = ζ tenemos como resul-

tadolımn→∞Rn(z) = g−1( lım

n→∞Sn(g(z))) = g−1(∞) = ζ

por teorema 8 concluimos que ζ es un punto fijo de R.

Caso 2: R tiene dos puntos fijos diferentes.

2.1 los conjuntos de fatou y julia 27

Supongamos que R fija a ∞ y 0, esto da como resultado que R(z) = kz, si con-sideramos la iteración de dicha función vemos que R2 = R(kz) = k(kz) = k2z, esdecir, Rn(z) = knz. Como 0 e ∞ son puntos fijos, sabemos que lım

n→∞Rn(0) = 0

y lımn→∞Rn(∞) = ∞, ahora tenemos que conocer como se comportan los demás

puntos de C∞:

Si |k| < 1, lımn→∞Rn(z) = lım

n→∞knz = z · lımn→∞kn = z · 0 = 0.

Si |k| > 1, lımn→∞Rn(z) = lım

n→∞knz = z · lımn→∞kn = z ·∞ =∞.

Si |k| = 1, |Rn(z)| = |knz| = |k|n|z| = |z|.

En el último caso no usamos límites porque si escribimos |k| = 1 en su formaexponencial k = eiθ entonces lım

n→∞Rn(z) = lımn→∞knz = z · lım

n→∞ eiθn no existe.También tenemos que tener en cuenta que en dicho caso tenemos que:

k es una n-ésima raíz de la unidad y R(n) = knz = z es la identidad.

k no es una n-ésima raíz de la unidad y los puntos Rn(z) son densos en elcírculo con centro en el origen y radio |z|.

Ahora supongamos que R tiene los puntos fijos ζ1 y ζ2 tales que ζ1 6= ζ2. Vamosa construir una tranformación de Möbius g que mande ζ1 a 0 y ζ2 a ∞. Porejemplo si ζ1 y ζ2 son ambos finitos, podemos tomar g(z) = z−ζ1

z−ζ2, que es una

tranformación de Möbius, ya que 1 · (−ζ2) − 1 · (−ζ1) = ζ1 − ζ2 6= 0. Al definirS = gRg−1 tenemos que S fija a 0 e∞.

2.1 los conjuntos de fatou y julia

Teniendo en cuenta que los sistemas dinámicos son fuentes de fractales de-terministas [3], que se caracterizan por ser generados por leyes deterministas,en esta sección definiremos formalmente los conjuntos de Fatou y Julia, ademásdescribiremos algunas propiedades de estos conjuntos.

Definición 10. Una función f entre los espacios métricos X, Y es continua en el puntox0 ∈ X si, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X, si d(x0, x) < δ entoncesd(f(x0), f(x)) < ε.

Definición 11. La familia F de funciones de X en Y es equicontinua en x0 si y solo sipara todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X y para todo f ∈ F, se tiene qued(x0, x) < δ implica d(f(x0), f(x)) < ε.La familia F es equicontinua en X si es equicontinua en cada punto x0 ∈ X.

Para el teorema que sigue usaremos el Lema de Zorn, cuya demostración sepuede consultar en [17].


Lema 6 (Lema de Zorn). Sea A un conjunto con un orden parcial estricto. Si todosubconjunto parcialmente ordenado de A tiene una cota superior en A entonces A tieneun elemento maximal.

Teorema 17. Sea F una familia de funciones de X a Y, existe un subconjunto abiertomaximal de X en el que F es equicontinua.

Demostración. Sea F = fαα∈Λ una familia de funciones, tales que, fα : X −→ Y.Sea D(fα) el dominio de cada una de dichas funciones, definamos M =

⋃D(fα).

Si⋂D(fα) = ∅ entonces F no es equicontinua en X. Por lo tanto supongamos

que⋂D(fα) 6= ∅. Al definir el orden parcial en en M como la inclusión de

conjuntos, tenemos que toda cadena C en M tiene cota superior, que es la uniónde los subconjuntos de X que son elementos de C, luego por el lema de Zornexiste D que es maximal. Como este elemento es la unión de los dominios de losfα y su intersección no es vacía entonces F es equicontinua en D.

Corolario 17.1. Si f : X −→ X entonces existe un subconjunto abierto maximal de X enel cual la familia de iteraciones fn es equicontinua.

Definición 12. Sea R una función racional no constante, el conjunto de Fatou de R es elsubconjunto abierto maximal de C∞ en el que Rn es equicontinua y el conjunto de Juliade R es su complemento en C∞.

Los conjuntos de Fatou y Julia de R los denotaremos F(R) y J(R) respectiva-mente, o F y J si el contexto es lo suficientemente explícito.

Lema 7. El conjunto de Julia J(R) es compacto en C∞.

Demostración. Como J(R) es el complemento del conjunto F(R) que es abierto, J(R)es cerrado en C∞ que es compacto, por lo tanto tenemos que J(R) es compacto.

Teorema 18. Sea R una función racional no constante, sea g una transformación deMöbius y S = gRg−1 entonces F(S) = g(F(R)) y J(S) = g(J(R)).

Demostración. Sabemos que F(R) es el subconjunto abierto maximal de C∞ en elque Rn es equicontinua. Como g es una transformación de Möbius entoncessatisface la condición de Lipschitz, tomemos a M como la constante Lipschitz deg. Sea z0 ∈ F(R) entonces para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo z ∈ C∞y para todo Ri ∈ Rn, σ(z0, z) < δ

M implica σ(Ri(z0),Ri(z)) < ∈M , por lo tanto

σ(g(z0),g(z)) < Mσ(z0, z) < δ implica σ(gRi(z0),gRi(z)) < Mσ(Ri(z0),Ri(z)) < εpero por hipótesis sabemos que Sig = gRi, por lo tanto, σ(Si(g(z0)),Si(g(z))) < εlo que quiere decir que g(z0) ∈ F(S), es decir, g(F(R)) = F(S). Además tenemosque

z ∈ J(S)⇔ z ∈ F(S)C ⇔ g(F(R))C ⇔ z ∈ g(F(R)C)⇔ z ∈ g(J(R))

es decir, J(S) = g(J(R)).

2.2 conjuntos completamente invariantes 29

Teorema 19. Para toda función racional no constante R y todo entero positivo P, secumple F(RP) = F(R) y J(RP) = J(R)

Demostración. Sea la familia A = Rn : n > 1, tomemos S = RP y consideremosla familia B = RP,R2P,R3P, . . . = Sn : n > 1 que es una subfamilia de A. SiA es equicontinua también lo es B por definición, con la característica que B alposeer menos elementos que A, el subconjunto de C∞ en el que es equicontin-ua contiene al de A, por lo tanto, F(R) ⊆ F(S). Como cada Rk es una funciónracional, satisfacen la condición de Lipschitz, tomemos a M como la constanteLipschitz de Rk, queremos ver que la familia Fk = RkSn : n > 0 es equicontinuasiempre y cuando B lo sea. Teniendo en cuenta que B es equicontinua en F(S)tomemos z0 ∈ F(S), para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo z ∈ C∞ ten-emos σ(z, z0) < δ implica σ(Sn(z),Sn(z0)) < ε

M para todo n, con esto obtenemosque σ(RkSn(z),RkSn(z0)) < Mσ(Sn(z),Sn(z0)) < ε, teniendo en cuenta que enla primera desigualdad usamos la condición de Lipschitz. Como este resultadose tiene para todo n, demostramos que Fk es equicontinua para cuando lo es B,más aún, lo es en F(S). También tenemos que la unión finita F0 ∪ F1 ∪ · · · ∪ FP−1es equicontinua por definición, pero,

F0 ∪F1 ∪ · · · ∪ FP−1 = Sn : n > 0∪ R1Sn : n > 0∪ · · · ∪ RP−1Sn : n > 0

= RnP : n > 0∪ RnP+1 : n > 0∪ · · · ∪ RnP+P−1 : n > 0

= Rn : n > 0

No se toma FP porque FP = RPRnP : n > 0 = R(n+1)P : n > 0 luego FP ⊆F0. Esta familia es equicontinua en F(S) y Rn : n > 1 también, pero esta esequicontinua en F(R), por lo tanto F(RP) = F(S) = F(R). Finalmente,

z ∈ J(RP)⇔ z ∈ (F(RP))C ⇔ z ∈ (F(R))C ⇔ z ∈ J(R)

es decir, J(RP) = J(R)

2.2 conjuntos completamente invariantes

Sea g : X −→ X, el subconjunto E de X es:

1. Invariante hacia adelante si g(E) = E.

2. Invariante hacia atrás si g−1(E) = E.

3. Completamente invariante si g(E) = E = g−1(E).

Si g es sobreyectiva, g(X) = X entonces los conceptos de invariancia hacia atrásy completa coinciden porque por sobreyectividad sabemos g(g−1(E)) = E y porinvariancia hacia atrás g(E) = E.

Ejemplo 5. Sean g,R : C∞ −→ C∞.


Si g(z) = ez y g−1(z) = log(z), tenemos que C es invariante hacia atrás, perocomo g(C) ⊂ C, C no es invariante hacia adelante.

Si R es una función racional como g(C∞) = C∞ = g−1(C∞), luego C∞ es com-pletamente invariante.

Teorema 20. Sea R una función racional de grado mayor o igual a dos y suponga queel conjunto finito E es completamente invariante para R entonces E tiene a lo más doselementos.

Demostración. Supongamos que E tiene k elementos, siendo E finito y R(E) = E,R debe de actuar como una permutación de E, luego existe el entero q tal que Rq

es la función identidad de E. Supongamos que Rq tiene grado d, para todo w ∈ E,Rq(z) = w tiene d soluciones todas en w y por la relación Riemann-Hurwitzaplicada a Rq tenemos,

∑[VRq(z) − 1] = k(d− 1) 6 2d− 2, como d > 2 tenemos

que k 6 2(d−1)d−1 luego k 6 2.

Ejemplo 6. Si E es completamente invariante bajo g y h : X −→ X es una biyec-ción, como hgh−1(h(E)) = h(g(E)) = h(E) y (hgh−1)−1(h(E)) = hg−1h−1(h(E)) =

hg−1(E) = h(E) entonces h(E) es completamente invariante bajo hgh−1.

Como el operador g−1 conmuta con el de intersección para cualquier colecciónEα de conjuntos tenemos que g−1 (

⋂Eα) =

⋂g−1 (Eα).

Ejemplo 7. Si Eα es una familia de conjuntos completamente invariantes entonces suintersección también lo es, es decir, g−1 (

⋂Eα) =

⋂g−1 (Eα) =

⋂Eα =

⋂g (Eα) =

g (⋂Eα).

Si tomamos un subconjunto E0 y definimos a E como la intersección de todoslos conjuntos que son completamente invariantes que contienen a E0, tenemosque E es el menos conjunto completamente invariante que contiene a E0 y deci-mos que E0 genera E.

Definición 13. Para todo x,y ∈ X, x ∼ y si y solo si existen enteros positivos n y mtales que gn(x) = gm(y).

Teorema 21. La relación x ∼ y es de equivalencia.

Demostración. Como gn(x) = gn(x) tenemos que x ∼ x, es decir, la relación esreflexiva. Si x ∼ y entonces existen los enteros positivos n,m tales que gn(x) =

gm(y), es decir, gm(y) = gn(x) entonces y ∼ x, la relación es simétrica. Si x ∼ y

y y ∼ z entonces existen los enteros positivos n,m,p,q tales que gn(x) = gm(y)

y gp(y) = gq(z), como y ∼ y si y solo si gm+p(y) = gm+p(y), además gm+p(y) =

gn+p(x) y gm+p(y) = gm+q(z), luego gn+p(x) = gm+q(z), la relación es transitiva.Al ser la relación reflexiva, simétrica y transitiva, es de equivalencia.

Definición 14. La órbita de x es la clase de equivalencia que contiene a x y la denotare-mos [x].

2.2 conjuntos completamente invariantes 31

Teorema 22. Sea g : X −→ X, [x] es el conjunto completamente invariante generado porx.

Demostración. Sea 〈x〉 el conjunto completamente invariante generado por x.Tomemos y ∈ [x] entonces existen los enteros positivos n,m tales que gm(y) =

gn(x), por lo tanto, y = g−mgn(x), y ∈ g−mgnx ⊂ g−mgn〈x〉 = 〈x〉 porque 〈x〉es completamente invariante, luego [x] ⊂ 〈x〉. Como g1(y) = g0(g(y)) implicaque y ∼ g(y) y si x ∼ y por transitividad tenemos que x ∼ g(y), es decir, x ∼ y

si y solo si x ∼ g(y) o en otros términos y ∈ [x] si y solo si g(y) ∈ [x] si y solosi y ∈ g−1([x]) lo que prueba que [x] = g−1([x]), además como habíamos vistog(y) ∈ [x] para todo y ∈ [x] por lo tanto g([x]) = [x] y esto prueba que [x] escompletamente invariante y como además sabemos que 〈x〉 es el menor conjun-to totalmente invariante que contiene a x tenemos que 〈x〉 ⊂ [x] y finalmente〈x〉 = [x]

Teorema 23. Un conjunto es completamente invariante si y solo si es la unión de clasesde equivalencia [x].

Demostración. Supongamos que E es completamente invariante, para cada x ∈ Etenemos que [x] es la clase de equivalencia que contiene a x y como las relacionesde equivalencia induce la partición del conjunto entonces E =

⋃[x]. Supongamos

que E =⋃[x], tomemos g : E −→ E luego [x] es completamente invariante, por lo

tanto,g(E) = g(

⋃[x]) =

⋃g([x]) =

⋃[x] = E

yg−1(E) = g−1(

⋃[x]) =

⋃g−1([x]) =

⋃[x] = E

es decir, E es completamente invariante.

Teorema 24. Sea g una función abierta y continua del espacio topológico X sobre si mis-mo y suponga que E es completamente invariante entonces también lo es su complementoX− E, su interior E, su frontera ∂E y su clausura E.

Demostración. Como E es completamente invariante entonces es la unión de clasesde equivalencia [x] luego su complemento X− E también, por lo tanto X− E escompletamente invariante. Al ser E abierto y g es continua en X, g−1(E) esabierto en g−1(E), es decir, g−1(E) ⊂ E = g−1(E) y por lo tanto g−1(E) ⊂ E,similarmente, como g es una función abierta, g(E) es subconjunto abierto deE y por lo tanto g(E) ⊂ E, si aplicamos g−1 obtenemos g−1g(E) ⊂ g−1(E),luego, E ⊂ g−1g(E) ⊂ g−1(E) y también E ⊂ gg−1(E) ⊂ g(E), es decir,g(E) = E = g−1(E) lo que muestra que E es completamente invariante. ComoE = X − (X − E) y además X − E es completamente invariante, (X − E) tam-bién lo es y por lo tanto E es completamente invariante. Teniendo en cuenta que∂E = E ∩ X− E, al ser X− E completamente invariante tenemos por lo tanto que∂E también lo es.


Teorema 25. Sea R una función racional, el conjunto de Fatou F y el de Julia J soncompletamente invariantes bajo R.

Demostración. Primero probaremos que F es completamente invariante. Como Res sobreyectiva R(F) = F luego solo tenemos que probar que R−1(F) = F. Seanz0 ∈ R−1(F) y w0 ∈ R(F) luego w0 ∈ F, pero como en este conjunto la familia Rn

es equicontinua, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si σ(w,w0) < δ entoncespara todo n, σ(Rn(w),Rn(w0)) < ε, además por continuidad existe ρ > 0 tal quesi σ(z, z0) < ρ entonces σ(R(z),w0) < δ y por lo tanto σ(Rn+1(z),Rn+1(z0)) < ε

esto muestra que Rn+1 : n > 1 es equicontinua en z0 luego Rn : n > 1 esequicontinua en z0, ya que la adición de la función R no afecta este hecho ycomo z0 es arbitrario tenemos que es equicontinua en R−1(F), por ser R−1(F)abierto y por la definición de F tenemos que R−1(F) ⊂ F. Ahora tomemos z0 ∈ F yw0 = R(z0), para un ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo n, si σ(z, z0) < δ entoncesσ(Rn+1(z),Rn+1(z0)) < ε. Los puntos z que satisfacen σ(z, z0) < δ forman la vecin-dad N de z0 y por lo tanto R(N) es una vecindad de w0. Si w ∈ R(N) entoncesw = R(z) para algún z ∈ N y así σ(Rn(w),Rn(w0)) = σ(Rn+1(z),Rn+1(z0)) < ε

esto muestra que w0 ∈ F y por lo tanto F ⊂ R−1(F), finalmente, F = R−1(F), Fes completamente invariante y por el anterior teorema J = C∞ − F también escompletamente invariante.

Teorema 26. Sea P un polinomio de grado al menos dos entonces ∞ está en F(P) y lacomponente F∞ de F que contiene a∞ es completamente invariante bajo P.

Demostración. Como Pn(z)→∞ a medida que n→∞, por ser P polinomio sabe-mos que existe alguna vecindad W de ∞ en la que Pn(z) → ∞ uniformemente.Así dado ε

2 > 0 existeN > 0 tal que si n > N y z,w ∈W entonces σ(Pn(z),∞) < ε2

y σ(Pn(w),∞) < ε2 , por lo tanto, σ(Pn(z),Pn(w)) 6 σ(Pn(z),∞) + σ(Pn(w),∞) <

ε, es decir, Pn es equicontinua en W de donde tenemos que ∞ ∈ F. Ahoratenemos que ver que F∞ es completamente invariante, pero como ∞ ∈ P(F∞)y además P(F∞) es un subconjunto conexo de F, tenemos que P(F∞) ⊂ F∞ ypor tanto F∞ ⊂ P−1(F∞). Ahora supongamos que z ∈ P−1(F∞), entonces por elteorema anterior, z pertenece a alguna componente F1 de F y por el argumentoanterior P(F1) ⊂ F∞. Si P(F1) 6= F∞ entonces existe algún punto ζ ∈ ∂F1 tal queP(ζ) = F∞, y esto no puede ser ya que ζ ∈ J y J es completamente invariante,deducimos que P(F1) = F∞ y por tanto existe algún w ∈ F1 tal que P(w) = ∞,pero entonces w = ∞ y F1 = F∞ luego z ∈ F∞, en conclusión F∞ = P−1(F∞), esdecir, F∞ es completamente invariante.

2.3 familias normales y equicontinuidad

En esta sección introducimos el concepto de familia normal, el cual a travésde varias propiedades nos muestra la riqueza de la estructura de la dinámica defunciones racionales [9].

2.3 familias normales y equicontinuidad 33

Definición 15. La sucesión de funciones (fn) de X a Y converge localmente de manerauniforme en X a alguna función f si cada punto x ∈ X tiene una vecindad en la que fnconverge uniformemente a f.

Lema 8. Sea A subconjunto compacto de X y la sucesión (fn) converge localmente demanera uniforme en X, entonces la convergencia es uniforme en A.

Demostración. Para cada x ∈ A existe la vecindad Ux de x en la que fn con-verge uniformemente a f, luego

⋃Ux cubre A y por lo tanto podemos encontrar

un recubrimiento finito de A manteniendo la convergencia uniforme tomandominNx donde cada Nx está dado por la convergencia uniforme de cada Uxpara todo x ∈ A.

Definición 16. Una familia F de funciones de X a Y es llamado normal en X si todasucesión infinita de funciones de F contiene una subsucesión que converge uniformementeen todo subconjunto compacto de X.

La demostración del teorema Arzelà-Ascoli es tomada de [1].

Teorema 27. Teorema de Arzelà-Ascoli. Una familia F de funciones continuas con val-ores en el espacio métrico S es normal en la región Ω del plano complejo si y solo si F esequicontinua en todo compacto E ⊂ Ω.

Demostración. Supongamos que F no es equicontinua en E, existe ε > 0, suce-siones de puntos zn, z

′n ∈ E y funciones fn ∈ F tal que |zn − z

′n| → 0 mientras

d(fn(zn), fn(z′n)) > ε para todo n. Como E es compacto podemos elegir sub-

sucesiones de zn y z′n que convergen a z

′′ ∈ E y como F es normal existeuna subsucesión de fn que converge uniformemente en E, nombremos dichasubsucesión fnk y su función límite f que es uniformemente continua en E,por lo tanto podemos encontrar k tal que las distancias de fnk(znk) a f(znk), def(znk) a f(z

′nk) y de f(z

′nk) a fnk(z

′nk) son menores que ε

3 , luego se tiene qued(fnk(znk), fnk(z

′nk)) < ε contrario a la suposición que d(fn(zn), fn(z

′n)) > ε para

todo n, en conclusión F es equicontinua en todo compacto E ⊂ Ω.Ahora tengamos en cuenta que existe una sucesión de puntos ζk densos en Ω,por ejemplo los racionales. De la sucesión fn obtendremos una subsucesión queconverge a todos los puntos ζk, encontrar una subsucesión que converja a un pun-to dado es siempre posible ya que si z ∈ Ω entonces para f ∈ F, f(z) pertenece aun subconjunto compacto de S. Podemos formar el arreglo de subíndices

n11 < n12 < · · · < n1j < · · ·n21 < n22 < · · · < n2j < · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·nk1 < nk2 < · · · < nkj < · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·


tal que cada fila está contenida en la anterior y lımj→∞ fnkj (ζk) exista para todo k.

La sucesión diagonal njj es estrictamente creciente y al final es una subsuce-sión de cada fila, por lo tanto fnjj es una subsucesión de fn que converge atodos los puntos los puntos ζk Reemplazaremos njj por nj, tomemos el compactoE ⊂ Ω y asumamos que F es equicontinua en E, debemos mostrar que fnj con-verge uniformemente en E. Dado ε > 0 elegimos δ > 0 tal que para z, z

′ ∈ E yf ∈ F, |z− z

′| < δ entonces d(f(z), f(z

′)) < ε

3 . teniendo en cuenta que E es com-pacto, puede ser cubierto por un número finito de δ

2 − vecindades, elegimos unpunto ζk de cada de estas vecindades, existe un i0 tal que i, j > i0 implica qued(fni(ζk), fnj(ζk)) <

ε3 para todos los ζk. Para cada z ∈ E uno de los ζk está entre

la distancia δ desde z, por tanto, d(fni(z), fni(ζk)) <ε3 y d(fnj(z), fnj(ζk)) <

ε3 ,

estas últimas tres desigualdades implican que d(fni(z), fnj(z)) < ε. Como todoslos valores f(z) pertenecen a un compacto y en consecuencia a un subconjuntocompleto de S, se sigue que fnj es uniformemente convergente en E.

Corolario 27.1. Si D es un subdominio de la esfera de Riemann y F una familia defunciones continuas de D en la esfera entonces F es equicontinua en D si y solo si es unafamilia normal en D.

Teorema 28. Teorema de Vitali. Suponga que la familia f1, f2, . . . de funciones analíti-cas es normal en un dominio D y que fn converge puntualmente a alguna función f enalgún subconjunto abierto no vacío W de D entonces f se extiende a la función F que esanalítica en D y fn → F localmente de manera uniforme en D.

Demostración. Como fn es normal en D, existe una subsucesión de (fn) queconverge localmente de manera uniforme en D a alguna función F, por lo tantolocalmente se tiene convergencia uniforme de funciones analíticas, luego F es unafunción analítica, pero como convergencia uniforme implica puntual tenemosque f = F en W. Supongamos que fn no converge a F localmente de manerauniforme en D entonces existe el compacto K ⊂ D, ε > 0 y una subsucesión(gn) de (fn) tal que para todo n, Sup σ(gn(z), F(z)) > ε (∗). Sin embargo pornormalidad existe una subsucesión (hn) de (gn) que converge localmente demanera uniforme a alguna función h en D,como (fn) converge también de estaforma, el elemento al que converge es único, luego h = f = F en W, además h esanalítica en D y h = F en todo D, se tendría que Sup σ(hn(z), F(z)) → 0 y como(hn) es una subsucesión de (gn) esto contradice a (∗) que es para todo n, es decir,fn → F localmente de manera uniforme en D.

Teorema 29. Sea D un dominio de C∞ y sea Ω = C∞ − 0, 1,∞ entonces la familia F

de todas las funciones analíticas f : D→ Ω es normal en D.

Teorema 30. Sea F una familia de funciones, cada una analítica en un dominio D deC∞, sea m una constante positiva y para cada f ∈ F tenemos tres puntos distintosaf,bf, cf ∈ C∞ tales que:

f ∈ F no toma los valores af,bf, cf ∈ D y

2.4 puntos excepcionales 35

minσ(af,bf),σ(bf, cf),σ(cf,af) > m

entonces F es normal en D.

Teorema 31. SeaD un dominio y supongamos que las funciones ϕ1,ϕ2 y ϕ3 son analíti-cas en D y la clausura de los dominios ϕj(D) son mutuamente disjuntos. Sea F unafamilia de funciones analíticas en D, tal que para todo z ∈ D y toda f ∈ F, f(z) 6= ϕj(z),j = 1, 2, 3 entonces F es normal en D.

Las demostraciones de estos últimos tres teoremas las puede consultar en [4,57].

2.4 puntos excepcionales

En esta sección se presentan a los puntos excepcionales con los cuales obten-emos mas propiedades relacionadas con los conjuntos de Julia y Fatou.

Definición 17. Un punto z es llamado excepcional para R cuando [z] es finito, el con-junto de tales puntos es denotado por E(R).

Teorema 32. Una función racional R de grado al menos 2 tiene a lo mas 2 puntosexcepcionales. Si E(R) = ζ entonces R es conjugado a un polinomio con ζ conjugado a∞. Si E(R) = ζ1, ζ2 donde ζ1 6= ζ2 entonces R es conjugado a alguna función z → zd

de modo que ζ1 y ζ2 correspondan a 0 e∞.

Demostración. Tenemos que z ∈ E(R) si y solo si [z] = [z, z1, . . . , zn], es decir, [z] esfinito, luego z ∼ zi para 1 6 i 6 n si y solo si existen los enteros positivos n,mtales que Rn(z) = Rm(zi), si aplicamos R en ambos lados obtenemos Rn(R(z)) =Rn+1(z) = Rm+1(zi) = Rm(R(zi)), es decir, R(z) ∼ R(zi), por lo tanto [R(z)] esfinito entonces R(z) ∈ E(R), de modo que E(R) = R(E(R)). Ahora en vez de Raplicaremos R−1 a ambos lados, Rn(R−1(z)) = Rn−1(z) = Rm−1(zi) = R

m(R−1(zi))

de modo que n− 1 y m− 1 sean enteros positivos si n,m > 1, si n = m = 1,[z] = z y siempre se cumple, luego, R−1(z) ∼ R−1(zi), por lo tanto

[R−1(z)

]es

finito, entonces R−1(z) ∈ E(R), es conclusión, E(R) = R−1(E(R)). De lo anteriortenemos que E(R) es completamente invariante bajo R. Por teorema 20 E(R) tienea lo mas dos elementos y por lo tanto R tiene a lo mas dos puntos excepcionales.Se tiene que después de una adecuada conjugación, existen cuatro posibilidadesa considerar:

1. E(R) = ∅.

2. E(R) = ∞ = [∞].

3. E(R) = 0,∞, [0] = 0, [∞] = ∞.

4. E(R) = 0,∞ = [0] = [∞].


Teniendo en cuenta que R := S = gRg−1 donde g es una transformación deMöbius. En 1. no existirían puntos excepcionales. En 2. por hipótesis E(R) = ζ =

[ζ] y por conjugación tenemos E(R) := E(S) = ∞ = [∞], es decir, existen n,m >0 tales que si x,y ∈ [ζ] entonces Rn(x) = Rm(y) luego (gRng−1)(x) = (gRmg−1)(y),es decir, (gRg−1)n(x) = (gRg−1)m(y), Sn(x) = Sm(y), Sn−1(S(x)) = Sm−1(S(y))

por lo tanto S(x),S(y) ∈ [S(ζ)] = [∞], por teorema 3 y como E(R) es completa-mente invariante, R−1(E(R)) = R−1(∞) = ∞ = E(R), tenemos que R es conju-gado a un polinomio. En el caso 3. a través de la conjugación obtendríamos unafunción racional de grado d, es decir, z 7→ azd. En el caso 4. tendríamos R(0) =∞y R(∞) = 0 luego las raíces y polos contando multiplicidades serían 0,∞, asíque esta conjugación es de la forma z 7→ azd para algún d negativo. En todos loscasos, los puntos excepcionales pertenecen a F.

Definición 18. Para todo z ∈ C∞, definimos la órbita hacia atrás de z como

O−(z) = w : Rn(w) = z,n > 0 =⋃n>0

R−nz

Teorema 33. La órbita hacia atrás O−(z) de z es finita si y solo si z es excepcional.

Demostración. Supongamos que z es excepcional, tenemos queO−(z) ⊂ [z] porquex ∈ [z] si y solo si existen a,b > 0 tales que Ra(z) = Rb(z), por lo tanto x ∈ O−(z)

en el caso b = 0, luego los puntos excepcionales tienen órbita hacia atrás finitaporque todo subconjunto de un conjunto finito es finito. En el otro sentido de lademostración, definamos

Bn =⋃m>n

R−mz = w : Rm(w) = z,m > n

Bn no es vacío porque R−n(z) ∈ Bn ya que para m = n, Rm(R−n(z)) = R0(z) = z,además tenemos que R−1(Bn) = R−1(

⋃m>n R

−mz) = R−1(R−nz ∪ R−(n+1)z ∪· · · ) = R−(n+1)z∪ R−(n+2)z∪ · · · =

⋃m>n+1 R

−mz = Bn+1, por lo tanto Bn+1 ⊂Bn, es decir, si w ∈ Bn+1, existe m > n+ 1 tal que Rm(w) = z pero como m >n+ 1 > n entonces w ∈ Bn y debido a lo anterior no se cumple que Bn+1 ⊃ Bn,luego por lo visto

[z] ⊃ O−(z) = B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · ·

Si suponemos que O−(z) es finito entonces cada Bn es finito, así que existe al-gún m tal que Bm = Bm+1, por ejemplo cuando z es un punto fijo, pero comoR−1(Bm) = Bm+1 = Bm entonces Bm es completamente invariante y por el teore-ma 23 es unión de clases de equivalencia, tomemos [w] y como es un subconjuntode [z], debe ser el mismo [z], es decir, [z] es finito, de hecho, [z] = O−(z).

Teorema 34. Si para algún entero positivo k, Rk es conjugado a un polinomio entoncesR2 es también conjugado a un polinomio.


Demostración. Supongamos que algún Rk de R es conjugado a un polinomio, porteorema 3 existe algún w ∈ C∞ tal que R−kw = w y por teorema 33, w esexcepcional para R y por teorema 32 R2 es conjugado a un polinomio.

Teorema 35. Si deg(R) > 2 entonces J(R) es infinito.

Demostración. Primero tenemos que ver que J no es vacío. Si suponemos que J esvacío entonces el conjunto F que es el complemento de J es todo C∞, en dondela familia Rn es equicontinua y por el corolario 27.1 es una familia normal,además por el teorema 2 existe una subsucesión de Rn en la que cada funcióntiene el mismo grado. Sin embargo deg(Rn) = [deg(R)]n y esto implica que Rtiene grado 1, lo que contradice la hipótesis. ya sabemos que J contiene algúnpunto ζ y además J es completamente invariante por teorema 25. Si suponemosque J es finito entonces ζ debe ser un punto excepcional, pero esto es imposibleya que dichos puntos pertenecen a F, como se ve en la demostración del teorema32, es decir, J es infinito.

Teorema 36. Sea R una función racional, deg(R) > 2 y suponga que E es cerrado ycompletamente invariante en C∞ entonces:

1. E tiene a lo mas dos elementos y E ⊂ E(R) ⊂ F(R) ó

2. E es infinito y J(R) ⊂ E

Demostración. Por teorema 20 si E es finito entonces E tiene a lo mas dos ele-mentos, de lo contrario es infinito. En el caso que fuera finito y por ser com-pletamente invariante es la unión de clases de equivalencia [x], pero estas sonfinitas, en el caso x,y ∈ E con x 6= y y [x] 6= [y] tenemos que los puntos deE son excepcionales y además E ⊂ E(R) ya que se puede tener x 6= y pero[x] = [y] y además E(R) ⊂ F(R), por lo tanto, E ⊂ E(R) ⊂ F(R) y E tiene a lomas dos elementos. Supongamos que E es infinito, por teorema 24, su comple-mento Ω es completamente invariante y además abierto, es decir, R(Ω) = Ω,R2(Ω) = R(R(Ω)) = R(Ω) = Ω y en general Rn(Ω) = Ω. Si consideramos la famil-ia Rn enΩ, los puntos af,bf, cf ∈ Ω y el teorema 30, tenemos que Rn es normalenΩ y además por el corolario 27.1, Rn es equicontinua enΩ y como por defini-ción F es el subconjunto abierto maximal de C∞ en el que Rn es equicontinua,tenemos que Ω ⊂ F y al tomar complementos obtenemos que J ⊂ E.

El conjunto de Julia posee las siguientes características:

J es el conjunto cerrado mas pequeño, completamente invariante con almenos tres puntos, a este hecho se le conoce como minimalidad de J.

Es claro que C∞ = F ∪ J = F ∪ (J ∪ ∂J) donde todos esos conjuntos soncompletamente invariantes, al ser J abierto, F ∪ ∂J es cerrado, si F no esvacío, F∪ ∂J es infinito y completamente invariante, por la minimalidad deJ, J ⊂ F∪ ∂J y por definición tenemos que J ⊂ ∂J.


Observación 1. El teorema de categorías de Baire [17, 296], establece que si X es unespacio de Hausdorff compacto o un espacio métrico completo entonces X es un espacio deBaire, esto muestra que todo espacio métrico completo sin puntos aislados es no contable.Sabemos además que un espacio X es Baire si y solo si todo conjunto abierto no vacíoen X es de segunda categoría. Un subconjunto A de X es de primera categoría en X siestá contenido en la unión de una colección contable de conjuntos cerrados de X teniendointerior vacío en X. Si X fuera completo sin puntos aislados entonces en ninguna partecada x sería denso, luego el interior de su clausura es vacío, esto quiere decir que es deprimera categoría lo cual es una contradicción

Definición 19. Un conjunto es perfecto, si y solo si, es igual a su conjunto derivado.

Teorema 37. Sea R una función racional tal que deg(R) > 2, entonces J es un conjuntoperfecto y además no contable.

Demostración. Sea J′

el conjunto derivado de J, es decir, el conjunto de sus puntosde acumulación. Por teorema 35, J es infinito, J

′no es vacío y por ser el derivado

es cerrado y es subconjunto de J, como R es continua y de grado finito, R(J′) ⊂ J ′ ,

para comprobar esto tomemos x ∈ J ′ , es decir, un punto de acumulación de J ycomprobemos que R(x) también lo es. Sea r > 0, B(R(x), r) abierto alrededor deR(x), como R es continua, R−1(B(R(x), r)) es abierto y existe y ∈ J, tal que x 6= y,entonces R(y) ∈ B(R(x), r), R(y) ∈ J, pero podría ocurrir que R(x) = R(y), paralo cual como deg(R) es finito, podemos encontrar algún R(y0) ∈ B(R(x), r) talque x 6= y0 y R(x) 6= R(y0), es decir, B(R(x), r) − R(x) ∩ J 6= 0, luego R(x) es unpunto de acumulación. De esto tenemos que J

′ ⊂ R−1(J ′), adicionalmente comoR es una función abierta tenemos que R−1(J

′) ⊂ J

′, es decir, R−1(J

′) = J

′, esto

muestra que J′

es completamente invariante. Teniendo en cuenta la minimalidadde J, tenemos que J ⊂ J ′ y por tanto J = J

′, es decir, J es un conjunto perfecto

y no tiene puntos aislados. Para probar que J no es contable recurrimos a laobservación 1 y concluimos que J no es contable.

Teorema 38. Sea R una función racional de grado al menos 2 y W un conjunto abiertono vacío que intersecta a J, entonces:

1.⋃∞n=0 R

n(W) ⊃ C∞ − E(R)

2. Para todo entero suficientemente grande n, Rn(W) ⊃ J

Demostración. Sea W0 =⋃∞n=0 R

n(W) y K el complemento de W0, si K tiene trespuntos distintos ζ1, ζ2, ζ3 y m = minσ(ζ1, ζ2),σ(ζ1, ζ3),σ(ζ2, ζ3), tenemos quem > 0 ya que si ζ1 = ∞ entonces σ(∞, ζi) = 2

(|ζ|2+1)12

> 0 para i = 2, 3, entonces

por el teorema 30 aplicado a Rn en W obtenemos que Rn es normal en W ypor lo tanto Rn es equicontinua en W, por la definición de F tenemos W ⊂ Flo cual es una contradicción porque si W ⊂ F entonces W ∩ J = ∅ pero porhipótesis sabemos que W ∩ J 6= ∅. Esto indica que que K tiene a lo más dospuntos, es decir, W0 contiene a todos los puntos de la esfera menos los puntos


de K luego C∞ −K ⊂W0. Por teorema 33 si z es un punto que no es excepcionalde R entonces O−(z) es infinito, por lo tanto, O−(z) ∩W0 6= ∅, sea v un puntoque pertenezca a dicha intersección, luego existen enteros positivos p,q tales queRp(v) = z y v ∈ Rq(W), es decir, z ∈ Rp(Rq(W)) = Rp+q(W) y por lo tantoz ∈ W0, por contraposición z /∈ W0 entonces z es un punto excepcional, es decir,K = E(R). Para probar 2. tomemos tres conjuntos abiertos W1,W2,W3 tales quecada uno intersecta a J y son disjuntos entre ellos. Afirmemos que para cadaj = 1, 2, 3 alguna imagen hacia adelante de Wj cubre algún Wk, es decir, paracada j existen enteros k y n tales que Wk ⊂ Rn(Wj), en efecto, supongamos queno es así, entonces para algún j, Rn(Wj) no cubre a ningún Wk, luego podemosescoger un punto de cada uno de estos conjuntos ya aplicar el teorema 30, Rnes normal en Wj, esto no puede ser, sin embargo, como Wj ∩ J 6= ∅ tenemosque Wk ⊂ Rn(Wj),luego para cada j = 1, 2, 3 existen k,n. Denotaremos k porπ(j) entonces π : 1, 2, 3 −→ 1, 2, 3 y así alguna iteración de π tiene un puntofijo, es decir, para algún j y algún n, Wj ⊂ Rn(Wj). Tomemos S = Rn entoncesWj ⊂ S(Wj) y así la sucesión de conjuntos Sm(Wj) es creciente conm. Al aplicar 1.a S y Wj obtenemos que los conjuntos Sm(Wj) forman un cubrimiento abierto delcompacto J y por lo tanto existe una unión finita que cubre J. Podemos considerarque los Wk pertenecen a W y si es así, entonces para algún n, J ⊂ Rn(Wj) ⊂Rn(W) y si aplicamos una vez más R a las inclusiones anteriores, J = R(J) ⊂Rn+1(W) y 2. se tiene por inducción.

Teorema 39. Suponga que deg(R) > 2 entonces J está contenido en la clausura delconjunto de puntos periódicos de R.

Demostración. Sea N un conjunto abierto tal que N ∩ J 6= ∅, debemos probar queN contiene algún punto periódico de R. Sea w ∈ J ∩N y asumamos que w noes un valor crítico de R2, pero si lo es, podemos reemplazarlo con otro puntocercano de J que no lo sea, como deg(R) > 2 y w no es un valor crítico deR2, existen al menos cuatro puntos distintos en R−2w, dos para R−1w y paracada uno de estos, dos en R−1(R−1w) = R−2w, elijamos tres de ellos, llamé-moslos w1,w2,w3, distintos de w y construyamos las vecindades N0,N1,N2,N3con clausuras mutuamente disjuntas de w,w1,w2,w3 respectivamente, tal queN0 ⊂ N y R2 sea un homeomorfismo de cada Nj sobre N0. Sea Sj : N0 −→ Nj lainversa de R2 : Nj −→ N0, si para todo z ∈ N0, j = 1, 2, 3 y n > 1 tenemos queRn(z) 6= Sj(z) entonces por teorema 31, Rn es normal en N0, pero esto es unacontradicción porque N0 ∩ J 6= ∅. Deducimos que existen z ∈ N0, j ∈ 1, 2, 3 yn > 1 tales que Rn(z) = Sj(z), esto implica que R2+n(z) = R2Sj(z) = z así que z esun punto periódico de N.

Lema 9. Si z no es un punto excepcional entonces J ⊂ [z]

Demostración. La órbita [z] del punto no excepcional z es completamente invari-ante, por teorema 24 su clausura [z] también lo es y además es cerrada. Teniendoen cuenta la minimalidad de J, obtenemos que J ⊂ [z].


Lema 10. Si z ∈ J entonces J = [z]

Demostración. Evidentemente como z ∈ J entonces z es un punto no excepcionalluego [z] y [z] están contenidos en J y con el lema 9 tenemos que J = [z].

Teorema 40. Sea R una función racional con deg(R) > 2,

1. Si z no es excepcional entonces J está contenida en la clausura de O−(z).

2. Si z ∈ J entonces J es la clausura de O−(z).

Demostración. Sea z un punto no excepcional yW abierto no vacío tal queW ∩ J 6=∅, por teorema 38, z pertenece a algún Rn(W) y por lo tanto O−(z)∩W 6= ∅ y porlo tanto J ⊂ O−(z). Si z ∈ J, al ser J cerrado y completamente invariante entoncesO−(z) ⊂ J y por 1. concluimos que J = O−(z).

Este teorema nos indica que a través de un simple algoritmo podemos repre-sentar gráficamente una imagen aproximada de J(g), tomando un punto que estéen Julia y calculando sus preimagenes como lo veremos en el capítulo 4.

3D I N Á M I C A S O B R E S E M I G R U P O S D E F U N C I O N E SR A C I O N A L E S

En este capítulo trabajaremos con semigrupos de funciones racionales en lugarde una sola función racional como en el anterior, de tal modo que generalizare-mos la dinámica presentada hasta ahora, de tal modo que la dinámica de unsemigrupo de funciones racionales es estable en el conjunto de Fatou y caóticaen el de Julia. El estudio de la dinámica sobre semigrupos de funciones racionalesfue introducido por Hinkkanen y Martin en [13],[14] y [15].

Definición 20. Un semigrupo es una estructura algebráica, la denotaremos (G, ·) dondeG es un conjunto en donde se ha definido la operación binaria interna ·, de tal modo quese cumple:

1. Para todo x,y ∈ G tenemos que x · y ∈ G.

2. Para todo x,y, z ∈ G tenemos que x · (y · z) = (x · y) · z.

Con esta definición un semigrupo de funciones racionales está formado por unconjunto de funciones racionales no constantes definidas en la esfera de Riemann,C∞, y la operación interna será la composición de dichas funciones.

Definición 21. G := 〈g1, . . . ,gn〉 es el semigrupo generado por g1, . . . ,gn, es decir, elconjunto de todas las posibles composiciones de g1, . . . ,gn.

3.1 los conjuntos de fatou y julia de un semigrupo

Definición 22. El conjunto de Fatou F(G) de G es el subconjunto abierto maximal deC∞ en el que G es normal y el conjunto de Julia J(G) de G es el complemento de F(G)en C∞.

Lema 11. Si G = 〈g〉 entonces F(G) = F(g) y J(G) = J(g)

Demostración. Como G es el conjunto de todas las posibles composiciones deg entonces G es la familia de funciones racionales gn, F(g) es el subconjuntoabierto maximal de C∞ en el que esta familia es normal, luego F(G) = F(g) y altomar complementos en C∞, J(G) = J(g).

Lema 12. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces F(G) ⊂ F(g) y J(g) ⊂J(G) para cada g ∈ G

41

42 dinámica sobre semigrupos de funciones racionales

Demostración. Para cada g ∈ G por definición F(g) está formado por los puntosen los que gn es normal, luego si tomamos la intersección de todos los F(g)obtenemos F(G), es decir, F(G) ⊂ F(g) y si tomamos complementos en C∞ aambos lados entonces J(G) ⊃ J(g).

Definición 23. Sea G un semigrupo de funciones racionales, E subconjunto de C∞, sipara cada g ∈ G:

1. g(E) ⊂ E, E es invariante hacia adelante.

2. g−1(E) ⊂ E, E es invariante hacia atrás.

Según lo anterior la invariante hacia atrás implica que E ⊂ g(E) para cadag ∈ G.En el caso de semigrupo de funciones racionales el concepto de invariancia fun-ciona de manera diferente como se muestra en el siguiente teorema:

Teorema 41. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces F(G) es invariantehacia adelante y J(G) es invariante hacia atrás.

Demostración. Sea g ∈ G, como G g = h g : h ∈ G y si recordamos queG está formado de todas la posibles composiciones de sus elementos entoncesG g ⊂ G, además como G es normal en F(G), G g también lo es en F(G), luegoG es normal en g(F(G)) y por lo tanto g(F(G)) ⊂ F(G), es decir, F(G) es invariantehacia adelante. Como consecuencia tenemos que F(G) ⊂ g−1(F(G)) y si tomamoscomplementos a ambos lados en C∞ entonces J(G) ⊃ g−1(J(G)), es decir, J(G) esinvariante hacia atrás.

Teorema 42. Sea G un semigrupo de funciones racionales, si J(G) es invariante haciaadelante y tiene interior no vacío, entonces J(G) = C∞.

Demostración. Si J(G) 6= C∞ entonces F(G) es no vacío, sea U 6= ∅ subconjuntoabierto de J(G), y como J(G) es invariante hacia adelante tenemos que g(U) ⊂J(G) = C∞ − F(G) para cada g ∈ G, por teorema 30 la familia G es normal en U,pero esto es una contradicción porque esto implicaría que U ⊂ F(G).

Lema 13. Sea G un semigrupo de funciones racionales,U abierto no vacío tal que g(U)∩U = ∅ para todos excepto un número finito de g ∈ G entonces U ⊂ F(G).

Demostración. Sin tener en cuenta un número finito de elementos g ∈ G, g(U) ∩U = ∅. Como U es abierto, contiene más de tres puntos y por teorema 30, G esnormal en U entonces U ⊂ F(G).

Para el caso de semigrupos de funciones racionales tenemos que redefinir elconcepto de órbita hacia atrás.

Definición 24. Definimos la órbita hacia atrás de z ∈ C∞ como O−(z) = w ∈ C∞ :

existe g ∈ G tal queg(w) = z.

3.1 los conjuntos de fatou y julia de un semigrupo 43

Teorema 43. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces J(G) es perfecto.

La demostración del anterior teorema la puede consultar en [13, 363].

Definición 25. E(G) = z ∈ C∞ : O−(z) contienea lomás dos puntos es el con-junto excepcional de G.

Teorema 44. Si z /∈ E(G), entonces para todo x ∈ J(G) existe una sucesión de puntosdiferentes wn, ninguno de ellos igual a x, tendiendo a x tal que para ciertos gn ∈ Gtenemos que gn(wn) = z.

Demostración. Como z /∈ E(G) entoncesO−(z) contiene tres o más puntos, supong-amos que no existe una sucesión de puntos diferentes wn tendiendo a x talque para ciertos gn ∈ G tengamos que gn(wn) = z, es decir, no existe algúnw ∈ V = U − x donde U es un abierto de x tal que g(w) = z para algúng ∈ G entonces para todo u ∈ O−(z) no existe g ∈ G tal que g(w) = u, perosi suponemos que existiera, y como existe h ∈ G tal que h(u) = z entonces(hg)(w) = h(g(w)) = z y hg ∈ G luego sería una contradicción, entonces todog ∈ G los omitiría en V y G sería normal en V por teorema 30 y por lo tanto en U,pero como U∩ J(G) 6= ∅ entonces tenemos una contradicción, por lo tanto O−(z)

contiene a lo más dos puntos y z ∈ E(G), lo cual contradice la hipótesis y por lotanto si existe dicha sucesión.

El siguiente teorema es una generalización del teorema 40 del caso clásico.

Teorema 45. Si z ∈ J(G) entonces J(G) = O−(z).

Demostración. Sabemos que g−1(J(G)) ⊂ J(G) para todo g ∈ G, por hipótesissabemos que z /∈ E(G) y J(G) ⊂ O−(z). Además g−1(z) ∈ g−1(J(G)) ⊂ J(G) paratodo g ∈ G entonces O−(z) ⊂ J(G) y por lo tanto J(G) = O−(z).

Definición 26. Sea g ∈ G fijo, O−g (z) = w ∈ C∞ : gn(w) = z,n > 0.

La definición anterior concuerda con la definición 18 dada en el capítulo ante-rior.

Teorema 46. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces E(G) contiene a lomás dos elementos.

Demostración. Por la definición 25, si z ∈ E(G) entonces O−(z) contiene a lo másdos puntos, supongamos que O−(z) solo tenga el elemento ζ, existe g ∈ G tal queg(ζ) = z por lo tanto ζ ∈ O−

g (z). Si suponemos que O−(z) tenga dos elementos ζ1y ζ2, supongamos ζ1 se comporta como en el anterior caso, si existe h ∈ gn talque h(ζ2) = z entonces ζ2 también pertenece a O−

g (z), pero si h /∈ gn y h(ζ2) = zentonces ζ2 ∈ O−

h (z). Luego tenemos que O−g (z) tendrá a lo más dos elementos,

es decir, E(G) ⊂ E(g) ≡ E(〈g〉) para todo g ∈ G.

Teorema 47. Sea G un semigrupo de funciones racionales, la órbita hacia atrás O−(z) esfinita para a lo más dos puntos de C∞, cada uno de tales puntos es un elemento de E(G).


Demostración. Si E(G) contiene dos puntos, podemos asumir luego de una apropi-ada conjugación que los puntos son 0,∞, por lo tanto los elementos del semi-grupo G son de la forma g(z) = czn, donde n es un entero diferente a cero yc 6= 0 un número complejo. En el caso que E(G) contiene un solo punto, a travésde una conjugación tenemos que E(G) = ∞, luego todo g ∈ G es un polinomio.En los demás casos tenemos que E(G) = ∅. Si z /∈ E(G) y J(G) 6= ∅ entonces O−(z)

es infinito.

3.2 densidad de las ramas hacia atrás en julia

Para todo punto z ∈ J(G), podemos dar al conjunto O−(z) una representacióngráfica a través de un árbol T que impone una estructura jerárquica a una colec-ción de objetos, como se describe en [2] y de donde se toma la siguiente defini-ción.

Definición 27. Un árbol T es una colección de elementos llamados nodos junto con unarelación de “paternidad” que impone una estructura jerárquica sobre los nodos, de formarecursiva tenemos:

1. Un solo nodo es un árbol, siendo la raíz al mismo tiempo de dicho árbol.

2. Supongamos que n es un nodo y A1, . . . ,Ak son árboles con las raíces n1, . . . ,nkrespectivamente. Se puede construir un nuevo árbol haciendo que n sea el padre delos nodos n1, . . . ,nk. En dicho árbol n es la raíz y A1, . . . ,Ak son los subárbolesde la raíz. Los nodos n1, . . . ,nk reciben el nombre de hijos del nodo n.

Este tipo de estructuras nos permite trabajar con nodos del tipo que se deseede elementos que en nuestro caso serán puntos de C∞, estos los representaremosa través de composiciones de funciones, por ejemplo, si w, v ∈ O−(z) y existenfunciones racionales g,h ∈ G tales que g(w) = z y h(v) = w, es decir, w = g−1(z)

y v = h−1(w) = h−1g−1(z), entonces g−1(z) y h−1g−1(z) pertenecen a la colec-ción de nodos donde z es la raíz del árbol. De tal modo que tendremos un árbol

k− ario donde k =

n∑i=1

ki, ki = deg(gi), es la suma de los grados de los gener-

adores de G.

En la figura 3.1 tenemos un ejemplo de como sería el árbol de O−(z) parael semigrupo G generado por dos polinomios cuadráticos f y g, entonces paraz ∈ J(G) hay cuatro imágenes inversas diferentes, de las cuales cada una de estastiene cuatro imágenes inversas y así sucesivamente.

Definición 28. H = h1, . . . ,hk es el conjunto ordenado de todas las funciones inversasde los generadores de G.

3.2 densidad de las ramas hacia atrás en julia 45

z

f−11 (z)

f−11 (f−11 (z))...

f−12 (f−11 (z))...

g−11 (f−11 (z))...

g−12 (f−11 (z))...

f−12 (z)...

g−11 (z)...

g−12 (z)...

Figura 3.1. El árbol de O−(z) para dos generadores cuadráticos.

Si tomamos k0 = 0 entonces el conjunto de funciones inversas de gj es dado

porh1+∑j−1i=0 ki

, . . . ,h∑ji=1 ki

Ejemplo 8. Sea G = 〈f1, f2〉 tales que deg(f1) = 3 y deg(f2) = 2, el conjunto defunciones inversas de f1 es

h1+∑1−1i=0 ki

, . . . ,h∑1i=1 ki

=h1+k0 , . . . ,hk1

= h1, . . . ,h3 = h1,h2,h3

y el conjunto de funciones inversas de f2 esh1+∑2−1i=0 ki

, . . . ,h∑2i=1 ki

=h1+k0+k1 , . . . ,hk1+k2

= h1+0+3, . . . ,h3+2= h4, . . . ,h5= h4,h5

por lo tanto tenemos que H = h1,h2,h3,h4,h5.

Definición 29. Hl = ξ1 · · · ξl : ξi ∈ H es el conjunto de las sucesiones finitas de lon-gitud l de elementos de H.

Hl está conformado por elementos que son la composición de l elementos deH, luego este conjunto puede ser identificado con el l−ésimo nivel del árbol.

Definición 30. H∗ =⋃l>0H

l es el conjunto de los nodos del árbol.

Definición 31. La frontera ∂T es el conjunto de sucesiones infinitas ξ = ξ1ξ2 · · · , talesque ξi ∈ H.

A cada nodo de T le podemos asociar una palabra del alfabeto 0, 1, . . . ,k− 1,de tal manera que una palabra de longitud l corresponda al nivel l de T , cadaelemento de ∂T tiene una única representación como una sucesión infinita de loselementos de 0, 1, . . . ,k− 1 y por lo tanto se le puede asociar un número real


del intervalo [0, 1], esto indica que podemos tomar la biyección Ψ : ∂T → [0, 1] ydefinir la medida m en ∂T como m(E) := µ(Ψ(E)) donde µ denota le medida deLebesgue en [0, 1] y E es un subconjunto de ∂T tal que Ψ(E) es medible.

Definición 32. Sea z ∈ J(G), entonces para toda rama ξ = ξ1ξ2 · · · ∈ ∂T , el conjunto

B−ξ (z) := z∪⋃j>1

ξj · · · ξ2ξ1(z) = z∪⋃j>1

ξj(· · · (ξ2(ξ1(z))) · · · )

es la rama hacia atrás asociada aplicada al punto z.

El siguiente teorema nos indica que luego de formar el árbol de O−(z) paraun z ∈ J(G) podemos encontrar una rama que nos permita recopilar toda lainformación de J(G), de tal forma que solo tenemos en cuenta dicha rama, parapoder graficar el conjunto de Julia de G.

Teorema 48. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces para todo z ∈ J(G)existe ξ ∈ ∂T tal que B−ξ (z) = J(G).

Demostración. Sea Unn>1 una base contable para C∞ que cubre a J(G). Sea z ∈J(G), por teorema 45, O−(z) = J(G), es decir, O−(z) es denso en J(G), luego existef1 ∈ G y r1 ∈ U1 ∩ J(G) tales que f1(r1) = z. Como r1 ∈ J(G) usando el mismoargumento tenemos que existe f2 ∈ G y r2 ∈ U2 ∩ J(G) tales que f2(r2) = r1.Podemos continuar de esta forma hasta obtener fn ∈ G y rn ∈ Un∩ J(G) tales quefn(rn) = rn−1 para todo n, donde cada una de las fi son una composición finita defunciones del conjunto g1, . . . ,gn. Por lo tanto una inversa de la composiciónf1f2 · · · puede ser identificada con un elemento ξ ∈ ∂T . Más aún el conjuntoz∪ rn : n > 1 ⊆ B−ξ (z) es denso en J(G) por construcción.

La demostración del siguiente lema se puede consultar en [22] que es la gener-alización de un resultado previo de Boyd en [5].

Lema 14. Sea G =< g1, . . . ,gk > un semigrupo de funciones racionales, si U es unabierto que intersecta a J(G) y K es un subconjunto compacto de C∞ − E(G), entoncesexiste f ∈ G tal que K ⊂ g(f(U)) para todo g ∈ G.

Definición 33. La relación ≺ en H∗, es definida como v ≺ w si existe s ∈ H∗ tal quew = vs.

En la figura 3.2 tenemos una representación de la relación ≺, al w pertenecer alsubárbol Tv de T podemos encontrar un camino de v a w que equivale a s y porlo tanto v ≺ w, pero como u no pertenece a Tv, no existe s y por lo tanto v ⊀ u.


Figura 3.2. Representación de la relación v ≺ w.

Como vimos en el teorema 48, podemos encontrar una rama tal que B−ξ (z) =

J(G), pero el siguiente teorema nos indica que en realidad podemos tomar casicualquier rama del árbol de O−(z) para obtener una representación gráfica delconjunto de Julia de G, como es comprobado con el algoritmo presentado en lasección 4.2.2 y que nos permite visualizar la frontera de J(G) como se observa enlas figuras 4.2 y 4.4.

Teorema 49. Sea G un semigrupo de funciones racionales, entonces para todo z ∈ J(G)el conjunto de elementos ξ ∈ ∂T para los cuales B−ξ (z) 6= J(G) tiene medida cero.

Demostración. Sea z ∈ J(G),como J(G) es invariante hacia atrás, tenemos queO−(z) ⊂ J(G). Tomemos K := O−(z) entonces K es compacto y tomemos Unn>1una base contable para C∞ que cubre a J(G), entonces por el lema 14 tenemosque para cada entero positivo j existe una función fj ∈ G, que es la composiciónde Nj funciones de G, tal que O−(z) ⊂ fj(Uj). Por consiguiente, para todo nodov del árbol T de O−(z) existe una inversa of fj tal que f−1j (v) ∈ Uj, dicho puntopertenece al subárbol Tv de T (figura 3.3) por esto el conjunto de inversas de fj esel subconjunto denotado como Fj de vértices del nivel HNj desde el vértice v.


Figura 3.3. f−1j (v) pertenece al subárbol Tv de T .

Recordemos que H∗ =⋃n>0H

n es el conjunto de nodos del árbol T de O−(z),entonces existe la función sobreyectiva sj : H∗ → Fj tal que para todo v ∈ H∗tenemos que el nodo vsj(v) es asociado a un punto J(G) que pertenece a Uj,por lo tanto vsj(v) pertenece al subárbol Tv de T , por ejemplo si el alfabetoes 0, 1, 2 y la palabra asociada a v es 010201 y la de sj(v) es 0101 entoncesla de vsj(v) es 0102010101. Definamos el conjunto Csj = x = x1x2 · · · ∈ ∂T :

x1 · · · xmsj(x1 · · · xm) ⊀ x ∀m, en la figura 3.4 tenemos un ejemplo para un k enel que x1 · · · xksj(x1 · · · xk) ⊀ x.

Figura 3.4. Ejemplo para un k en el que x1 · · · xksj(x1 · · · xk) ⊀ x.


Notemos que todo elemento de ∂T que contiene, para todo j, un elemento de ∂T −Csj , es identificado con un conjunto denso de J(G), luego tenemos que mostrarque cada conjunto Csj tiene medida cero, que es el objetivo de la serie de lemasque siguen.

Para simplificar la notación, de aquí en adelante fijaremos j y suprimiremos elsubíndice.

Definición 34. Sea la función s : H∗ → F tal que s(v) = 0 . . . 0︸︷︷︸N

y cumplem(∂T −Cs) 6

m(∂T −Cs).

Como la función s is definida explícitamente, entonces m(∂T −Cs) puede sercalculada.

Definición 35. Definamos el conjunto ∆i como

∆i := w ∈ Hi : ∀w ′ ≺ w w ′s(w ′) ⊀ ws(w)

y denotemos por ai := ](∆i), el número de elementos de ∆i.

Figura 3.5. Un ejemplo de w ∈ ∆i que cumple w ′s(w ′) ⊀ ws(w).

La forma visualizar ∆i es la siguiente (figura 3.5): tomar los ki nodos del nivel idel árbol de O−(z), a cada nodo w añadir s(w), y contar cuantos nodos ws(w) nopertenecen al subárbol de tipo w ′s(w ′), con w ′ ≺ w. Cualquiera de estos nodoscontribuyen a la medida de ∂T −Cs con la cantidad de 1/ki+N.


Lema 15. SeaG un semigrupo de funciones racionales, entoncesm(∂T −Cs) =

∞∑i=0

aiki+N

.

Demostración. Sea v ∈ Hi, removamos de H∗ el subárbol de todos los nodos delconjunto vs(v)H∗, cuya medida sea 1/ki+N. Necesitamos comprobar si el nodovs(v) es removido del subárbol, pero esto ocurre solo si existe v ′ ≺ v tal quev ′s(v ′) ≺ vs(v). El resultado se sigue.

Tengamos en cuenta que si v = v1 · · · vi−1vi y s(v1 · · · vi−1) = y1 · · ·yN, entoncesvs(v) /∈ v1 · · · vi−1s(v1 · · · vi−1) si vN 6= y1. Esto implica que para todo u ∈ Hiexiste a lo más un w ∈ Hi+1 tal que us(u) ≺ ws(w). Más precisamente podemosdecir que w = uy1.

Definición 36. El nodo w ∈ H∗ es llamado activo si para cualquier v ≺ w, vs(v) 6≺ws(w).

En la figura 3.6, w es activo.

Figura 3.6. Para cualquier v ≺ w, vs(v) 6≺ ws(w).

Podemos decir que si u ∈ Hi, con u activo y exista w ∈ Hi+1 con us(u) ≺ ws(w),es decir, s(u) = y1 · · ·yN,w = uy1 y s(w) = y2 · · ·yN∗, entonces removemos de lamedida de Cs solo k− 1 subárboles correspondientes a los elementos uy, y 6= y1.

Definición 37. Sea s : H∗ → F definida como s(v) := 0N donde N es la longitud detodos los elementos en F.


Teorema 50. Sea s : H∗ −→ F ⊆ HN y s la función constante s(v) = 0N, para todov ∈ H∗, entonces m(∂T −Cs) 6 m(∂T −Cs).

Demostración. Vimos que en el caso s, si w es un nodo activo entonces w0 noes activo( notemos que lo mismo puede lograrse tomando otra s, por ejemplos ≡ 1N). Es claro que para otra función s con esta propiedad es tal que m(∂T −

Cs) = m(∂T −Cs). por lo tanto, suponga que existe u activo tal que ui es activopara todo i = 0, 1, . . . ,k− 1. Suponga que s(u) = iu ′ y denotemos el nodo uipor w. Ahora w es activo, asumamos que |w| = t y removamos del subárbolwH∗ el subárbol con raíz en ws(w) de medida 1/kN+t. Sea W = w1, . . . ,wn elconjunto de nodos activos tales que wi ≺ w y w ≺ wis(wi). Notemos que W 6= ∅ya que u ∈ W. Suponga que ws(w) = wz1 · · · zN y wjs(wj) = wx

jt+1 · · · x

ji+N,

con zh, xjh ∈ 0, 1, . . . ,k− 1. Sea xjt+p = zp para p = 1, . . . ,q. Consideremos elnodo wz1 · · · zq. Si existe m nodos wi1 , . . . ,wim ∈ W con la misma propiedadde wj, hemos removido del subárbol wz1 · · · zqH∗ exactamente n−m subárbolesde medida 1/kN+t+q+1, un subárbol con raíz en ws(w) de medida 1/kN+t y msubárboles con raíces en wiks(wik). Por otro lado, en el caso de s removimos unsubárbol de medida 1/kN+t+q y k− 1 subárboles de medida 1/kN+t+q+1. Esta daque, en el caso de s, removimos al menos

1

kN+t−1+

1

kN+t+

k− 2

kN+t+q+1>

1

kN+t+q+

k− 1

kN+t+q+1

y la segunda parte de la desigualdad aplica en el caso s. El mismo argumentopuede ser usado para todo nodo del árbol H∗ y no depende de q.

Ahora calcularemos la medida del conjunto ∂T − Cs, es suficiente medir elconjunto de palabras de ∂T que no contienen a 0N como una sub-palabra.Sea bnn>0 la sucesión definida como

bi :=

1, if i = 0ki−1(k− 1), for i = 1, . . . ,N− 1 p∑j=1

bi−j

(k− 1), for i > N.

Se considera que bnn>0 es la sucesión ann>0 del lema 15. Dadas dos palabrasw y v denotemos por nv(w) el número de subárboles de v iguales a w. Sea h ∈ H∗y denotemos por C(h) el conjunto de elementos en H∗ que no contienen a h comouna sub-palabra. La sucesión bn da una estimación del conjunto C(h), cuandoh = 0N, como el siguiente lema establece.

Lema 16. Sea h = 0N, entonces bn = ]w ∈ Hn |nwh(h) = 1 = ]∆n.

Demostración. Los primeros valores de bi, i = 0, . . . ,N pueden ser comprobadosusando la representación de árbol.


Suponga que n > N, entonces el primer nivel del árbol contiene k nodos. Con-sidere el (k− 1) árbol con raíz en nodos diferentes de 0. El número de palabrasen estos árboles verifican que nwh(h) = 1 coincide con (k− 1)bn−1. Desde que es(k− 1) veces el número de las palabras w ′h tales que nw ′h(h) = 1 con longitudde w ′h igual a la longitud de wh− 1. Si consideramos el árbol con raíz en 0 elnúmero en este árbol verifica que nwh(h) = 1 coincide con el número de palabrasde longitud n+N− 1 tal que nwh ′(h ′) = 1, con h ′ = 0N−1. Por inducción ten-emos la aserción. La última igualdad se sigue del hecho que si h = 0N entoncesw es activo solo de nwh(h) = 1.

Finalmente, el siguiente teorema finaliza la demostración del teorema 49.

Teorema 51. Sea h = 0N, el conjunto C(h) tiene medida 0.

Demostración. La medida de C(h) puede ser calculada usando la sucesión bn,así:

m(C(h)) = m(Cs) = 1−1

kN

( ∞∑i=0

biki

).

La serie es convergente. Denotemos por S la suma. Tenemos

S = b0 +b1k

+ · · ·+ bN−1

kN−1+

∞∑i=N

biki

= b0 +b1k

+ · · ·+ bN−1

kN−1+ (k− 1)

∞∑i=0

∑N−1j=0 bj+i

kN+i

= b0 +b1k

+ · · ·+ bN−1

kN−1+ (k− 1)

N−2∑i=0

(S−∑ij=0

bjkj)

kN−1−i.

Juntando los términos con S y resumiendo la serie telescópica tenemos que

S = k

(N−1∑i=0

bi

)= k

1+ p−1∑i=1

ki−1(k− 1)

= kN.

Esto implica que m(C(h)) = 0.

En consecuencia, hemos demostrado que m(Cs) = 0 y esto termina la de-mostración del teorema 49.

4E X P E R I M E N TA C I Ó N C O M P U TA C I O N A L

Introducimos este capítulo con la familia de funciones z2+ c, cuya dinámica esuna fuente de ejemplos enormemente rica de estructuras fractales, de las cualesnos hemos encontrado a los conjuntos de Julia y Fatou, objetos de interés en lateoría de iteraciones en el plano complejo [20].

Comenzaremos mostrando como es la dinámica de la familia de funcionesracionales R(z) = z2 + c, conoceremos gráficamente como es su conjunto de Juliay comprobaremos usando los resultados de la última sección del anterior capítu-lo que dicho conjunto coincide con el Julia generado por G = 〈R,R〉.

Los algoritmos que se expondrán en este capítulo fueron implementados en ellenguaje de programación orientado a objetos Java, para su descripción se usarándiagramas de flujo que se explicarán, según sea el caso, pero sin entrar en detallesde como programar en Java.

4.1 la familia de funciones z2 + c

Consideraremos primero el caso c = 0.Sea R(z) = z2 función racional de grado 2, como R2(z) = R(R(z)) = R(z2) =

(z2)2 = z22

tenemos que por inducción que Rn(z) = z2n

. Los puntos fijos son: 0,∞que son atractores y 1 que es repulsor. Sea C = z : |z| = 1 el círculo unitario, sitomamos z ∈ C, entonces z = eiθ y Rn(z) = e2

niθ que también pertenece al círculounitario, es decir, este conjunto no cambia cuando se aplica R hacia adelante nihacia atrás, por lo tanto veremos que J = C.

Si z es de la forma ei2πr2m para los enteros r,m entonces Rm = e

2mi2πr2m = e2πri = 1

y por lo tanto Rn(z) = 1 para n > m. Estos puntos son densos en C, si comen-zamos en un ellos, la iteración de R luego de un número finito llega al punto fijo1 para permanecer en ese mismo punto como lo garantiza el teorema 9.

Teorema 52. Si z0 ∈ C no es de la forma ei2πr2m para los enteros r,m entonces (zn) no

converge.

Demostración. Supongamos que (zn) converge aw, entoncesw es un punto fijo deR en C∞, por lo tanto la única opción para w es que sea 1 que es repulsor, luegopor teorema 9, zn = 1 para n > m, pero como los z de la forma e

i2πr2m cumplen

esta condición, tenemos una contradicción, por lo tanto (zn) no converge.

53

54 experimentación computacional

Teorema 53. Todo arco de C contiene infinitos puntos que eventualmente convergerána 1 y permanecerán ahí, también infinitos puntos que se moverán alrededor del círculounitario sin converger.

Demostración. Tanto los puntos de la forma ei2πr2m como los que no lo son para los

enteros r,m son densos en C∞. Si elegimos un punto z0 ∈ C podemos escogerotro arbitrariamente cercano w0 ∈ C de tal modo que (zn) y (wn) tengan uncomportamiento diferente, por lo tanto C está contenido en J.

Teorema 54. J = C.

Demostración. Por el teorema 53 ya sabemos que C ⊂ J. Consideremos el discounitario 4 = z : |z| < 1. Si z0,w0 ∈ 4 entonces (zn) y (wn) tienden a 0, es decir,tienen el mismo comportamiento. Sea 5 = z : |z| > 1. Si z0,w0 ∈ 5 entonces(zn) y (wn) tienden a∞, por lo tanto 4∪5 = F, luego J ⊂ C y J = C.

Ahora consideremos varios valores de c.

1. Si c = 0, R(z) = z2, al tomar z0 = 0, z1 = R(z0) = R(0) = 0 entonces (zn) es0, 0, . . . por lo tanto es constante.

2. Si c = −1, R(z) = z2 − 1, al tomar z0 = 0, z1 = R(z0) = −1, z2 = R(z1) =

(−1)2− 1 = 0 entonces (zn) es 0,−1, 0,−1, . . . por lo tanto tiene periodo dos.


(−2)2− 2 = 2 entonces (zn) es 0,−2, 2, 2, . . . por lo tanto se vuelve constante.


(−3)2− 3 = 6, z3 = R(z2) = (6)2− 3 = 33 entonces (zn) es 0,−3, 6, 33, . . . porlo tanto converge a∞.

En las figuras 4.1 y 4.3, tenemos la representación de J para z2 + c cuando c = 0

y c = −1 respectivamente usando el algoritmo clásico, que se caracteriza porcolorear su interior por visualización pero en realidad J es la frontera como seve en las figuras 4.2 y 4.4 que se basan en el algoritmo de órbita hacia atrás delsemigrupo G = 〈z2+ c, z2+ c〉 que veremos más adelante. En la figura 4.5 usamosel algoritmo de órbita hacia atrás con el semigrupo G = 〈z2, z2 − 1〉.

4.1 la familia de funciones z2 + c 55

Figura 4.1. z2 con el algoritmo clásico. Figura 4.2. G = 〈z2, z2〉 con el algoritmo deórbita hacia atrás.

Figura 4.3. z2 − 1 con el algoritmo clásico. Figura 4.4. G = 〈z2 − 1, z2 − 1〉 con elalgoritmo de órbita hacia atrás.


Figura 4.5. G = 〈z2, z2 − 1〉 con el algoritmo de órbita hacia atrás.

Teorema 55. R(z) = z2 + c tiene a lo más un punto fijo atractor en C.

Demostración. Supongamos que α,β ∈ C son los puntos fijos de R(z) = z2 + c,por definición tenemos que α2 + c = α y β2 + c = β, entonces α2 − α+ c = 0 yβ2 −β+ c = 0, por lo tanto dichos puntos son soluciones de z2 − z+ c = 0 y porel teorema de Cardano-Viète, α+β = −

(−1)1 = 1 y α ·β = c

1 = c. Adicionalmentecomo R

′(z) = 2z, entonces R

′(α) +R

′(β) = 2α+ 2β = 2(α+β) = 2, si suponemos

que α y β son puntos fijos atractores entonces |R′(α)| < 1 y |R

′(β)| < 1, luego

2 = |R′(α) + R

′(β)| < |R

′(α)|+ |R

′(β)| < 2, lo cual es una contradicción, por lo

tanto hay a lo más un punto fijo atractor en C.

4.2 algoritmos

Antes de hablar de algún algoritmo tenemos que definir el tipo número com-plejo el cual lo usaremos como elemento fundamental, en Java definiremos laclase que se llamara Complex, que a su vez usara la clases de Double y Mathde Java.

complex

x

4.2 algoritmos 57

1. Tipo: double

2. Descripción: Representará la parte real del número complejo.

y

1. Tipo: double

2. Descripción: Representará la parte imaginaria del número complejo.

Métodos.

1. Complex()

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Com-plex con las partes reales e imaginarias iguales a 0.

b) Datos de entrada: No tiene datos de entrada.

c) Retorno: Un Complex tal que x = 0; y = 0.

2. Complex( c )

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Com-plex con el estado de los datos de c.

b) Datos de entrada: Un Complex c.

c) Retorno: Un Complex tal que x = c.real(); y = c.imag().

3. Complex( u , v )

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Com-plex con la parte real igual a u y la imagina igual a v.

b) Datos de entrada: Dos objetos double.

c) Retorno: Un Complex tal que x = u; y = v.

4. real()

a) Descripción: Este método devuelve la parte real del objeto Complex.


c) Retorno: El double x.

5. imag()

a) Descripción: Este método devuelve la parte imaginaria del objeto Com-plex.


c) Retorno: El double y.

6. mod()


a) Descripción: Este método devuelve el módulo del número complejoque representa el objeto Complex.


c) Retorno: El double√x2 + y2.

7. arg()

a) Descripción: Este método devuelve el argumento del objeto Complex.


c) Retorno: El double Math.atan2(y, x).

8. conj()

a) Descripción: Este método devuelve el conjugado del objeto Complex.


c) Retorno: El objeto Complex x+−yi.

9. plus( w )

a) Descripción: Este método devuelve la suma con el objeto Complex w.

b) Datos de entrada: Un Complex w.

c) Retorno: El objeto Complex x+w.real() + (y+w.imag())i.

10. minus( w )

a) Descripción: Este método devuelve la resta con el objeto Complex w.


c) Retorno: El objeto Complex x−w.real() + (y−w.imag())i.

11. multiply( w )

a) Descripción: Este método devuelve la multiplicación con el objeto Com-plex w.


c) Retorno: El objeto Complex

x ·w.real() − y ·w.imag() + (x ·w.imag() + y ·w.real())i

12. divide( w )

a) Descripción: Este método devuelve la división con el objeto Complexw.


c) Retorno: El objeto Complex x·w.real()+y·w.imag()(w.mod())2 +

y·w.real()−x·w.imag()(w.mod())2 i.

4.2 algoritmos 59

13. pow( n )

a) Descripción: Este método devuelve la enésima potencia del númerocomplejo que representa el objeto Complex.

b) Datos de entrada: Un double n.

c) Retorno: El objeto Complex rcos(n · arg()) + rsin(n · arg())i donder = (mod())n

14. sqrt()

a) Descripción: Este método devuelve la raíz cuadrada del número com-plejo que representa el objeto Complex.


c) Retorno: El objeto Complex rcos(θ) + rsin(θ)i donde r =√mod() y

θ = arg()/2.

15. negative()

a) Descripción: Este método devuelve el negativo del número complejoque representa el objeto Complex.


c) Retorno: El objeto Complex −x− yi.

4.2.1 Algoritmo clásico

Ahora describiremos el algoritmo clásico con el cual se puede graficar los con-juntos de Julia coloreados para una función, que se basa en el algoritmo que se en-cuentra en [21, 78] el cual está definido para las funciones z2+ c, esto lo tenemosen la clase JuliaSet en la cual tenemos que definir primero el método fuctionel cual nos retorna el valor de una función a la cual le vamos a graficar el con-junto de Julia, por ejemplo en nuestro caso vamos a definir funciones racionales,aunque se puede definir cualquier tipo de función.

fuction( z , c , n )

1. Descripción: Este método define la función que vamos a iterar.

2. Datos de entrada: Dos objetos Complex z, c y el int n que representa a unentero.

3. Retorno: El objeto Complex (z.pow(n)).plus(c).

Con lo anterior ya podemos presentar en la figura 4.6 el diagrama de flujo quemuestra como es el algoritmo y a continuación describiremos cada una de suspartes:


Figura 4.6. Diagrama de flujo del algoritmo clásico.

1. Teniendo en cuenta los parámetros de fuction primero tenemos que asignara n un valor entero y fijar un c que estará representado por cPoint.

4.2 algoritmos 61

2. Tenemos que definir un sector del plano complejo, este estará determinadopor xa y xb en el eje real, y ya y yb en el eje imaginario.

3. Tenemos que definir el tamaño con el cual se mostrará el anterior sec-tor, este será determinado por pointsPerSide y con este valor obtenemostotalPoints.

4. Ahora inicializaremos las variables horizontalChange y verticalChange,definimos iteration como el máximo de iteraciones de function y hx,hyindicaran la distancia entre los puntos que tomaremos de los ejes real eimaginario respectivamente.

5. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta totalPoints con unavance de 1.

a) Calculamos el siguiente número complejo nextPointComplex del planoque hemos elegimos, este será (xa+ horizontalChange · hx) + (yb−

verticalChange · hy)i, luego a base de este punto definimos z0 =

fuction(nextPointComplex, cPoint,n) y además iterationEscape queya es 1.

b) Vamos a seguir un ciclo mientras que |zn| < 2 y iterationEscape <iteration.

1) Tomamos zn = fuction(zn, cPoint,n) y aumentamositerationEscape en 1.

c) Para relacionar un color con el punto inicial nextPointComplex tomare-mos iterationEscape/iteration que será un valor entre 0 y 1, quelo usaremos para definir el color Color(0, 0, escapeValue) donde lascoordenadas representan a un color RGB que podemos visualizar enun computador. Luego definimos dicho color y pintamos el punto enla región seleccionada con el método drawPoint(nextPointComplex)que en realidad para este y los siguientes algoritmos es la forma deexpresar la idea de dibujar el punto sin depender del lenguaje de pro-gramación en el que se esté trabajando, en Java usamos el métodofillOval(x,y,width,height) donde x,y son coordenadas de la pan-talla que se calcularán dependiendo de nextPointComplex que es elparámetro de drawPoint y width,height es el tamaño del sector quevamos a pintar, que lo tomaremos lo más pequeño posible.

d) Antes de escoger otro punto tenemos que tener en cuenta que el recor-rido se está haciendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo,si horizontalChange < (pointsPerSide − 1) es cierto entonces nospodemos mover a la derecha y a horizontalChange le sumamos 1,pero si no es cierto entonces nos movemos hacia abajo, comenzandodesde la izquierda, es decir, horizontalChange = 0 y verticalChangele sumamos 1.


4.2.2 Algoritmo dinámica hacia atrás

Ahora describiremos el algoritmo de dinámica hacia atrás con el cual se puedegraficar la frontera del conjunto de Julia para un semigrupo de funciones racionales,esto lo tenemos en la clase BackwardDynamic en la cual tenemos que definirprimero los métodos de las funciones y sus inversas, por ejemplo en nuestro ca-so vamos a definir dos polinomios de grado 2 con coeficientes complejos y susfunciones inversas.

1. f( z )

a) Descripción: Este método define el polinomio f de grado 2.

b) Datos de entrada: Un objeto Complex z.

c) Retorno: El objeto Complex az2 + bz+ c.

2. g( z )

a) Descripción: Este método define el polinomio g de grado 2.


c) Retorno: El objeto Complex dz2 + ez+ f.

3. f1( z )

a) Descripción: Este método define una inversa de f.


c) Retorno: El objeto Complex −b+√b2−4a(c−z)2a .

4. f2( z )

a) Descripción: Este método define una inversa de f.


c) Retorno: El objeto Complex −b−√b2−4a(c−z)2a .

5. g1( z )

a) Descripción: Este método define una inversa de g.


c) Retorno: El objeto Complex −e+√e2−4d(f−z)2d .

6. g2( z )

a) Descripción: Este método define una inversa de g.


4.2 algoritmos 63

c) Retorno: El objeto Complex −e−√e2−4d(f−z)2d .

En la figura 4.7 tenemos el diagrama de flujo del algoritmo dinámica hacia atrásel cual a su vez está conformado por cuatro subalgoritmos: branchT1, branchT2,branchT3 y branchT4, cuyos diagramas de flujos son las figuras 4.8, 4.9, 4.10

y 4.11 respectivamente. A continuación se describirán cada uno de estos algo-ritmos, antes de esto, definamos el método siguiente que será el encargado dedarnos números aleatorios dentro del algoritmo:

random() ∗n

1. Descripción: Este método genera un número entero aleatorio entre 0 y n,donde n es un número real positivo.

2. Datos de entrada: No tiene datos de entrada.

3. Retorno: Un entero x tal que 0 6 x < n.

algoritmo principal

Figura 4.7. Diagrama de flujo del algoritmo dinámica hacia atrás.



2. Tenemos que definir el tamaño con el cual se mostrará el anterior sector,este será determinado por pointsPerSide.

3. Al objeto Complex nextPoint le asignamos random() ∗ xb+ (random() ∗yb)i que es un número complejo aleatorio que estará dentro del sector quehemos seleccionado, luego le damos un valor a levels para determinar lalongitud de alguna rama del árbol de O−(nextPoint) del semigrupo 〈f,g〉,el tipo de la rama será determinado por imageType:

a) Si imageType es 1 no se aceptan ramas que tengan composicionesseguidas de inversas de una misma función, por ejemplo no se acep-taría que tengan la forma f1f2 . . . o g2g1 . . .

b) Si imageType es 2 no se aceptan ramas que tengan composicionesseguidas de inversas de la función f, por ejemplo no se aceptaría quetengan la forma f1f2g2f2 . . ., pero si se aceptan ramas de la formag2g1f1g1 . . .

c) Si imageType es 3 no se aceptan ramas que tengan composicionesseguidas de inversas de la función g, por ejemplo no se aceptaría quetengan la forma g1g2f2g2 . . ., pero si se aceptan ramas de la formaf2f1g1f1 . . .

d) Si imageType es 4 no hay restricciones sobre el tipo de ramas, por lotanto se acepta cualquier composición de inversas de las funciones f yg, por ejemplo las ramas que tengan la forma g1g2g2f2 . . . o f2f1g1g1 . . .se aceptarían.

4. Al definimos el color Color(0, 1, 0) vamos a pintar todos los puntos de colorverde a través del método drawPoint(nextPoint).

5. A continuación comprobamos si imageType es 1 entonces llamamos elsubalgoritmo branchT1, si no es así comprobamos si imageType es 2 en-tonces llamamos el subalgoritmo branchT2, si no es así comprobamos siimageType es 3 entonces llamamos el subalgoritmo branchT3 y si no esasí entonces llamamos el subalgoritmo branchT4.

4.2 algoritmos 65

brancht1

Figura 4.8. Diagrama de flujo del algoritmo branchT1.

1. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta levels con un avance de1 usando la variable i.

a) Ahora comprobamos si i%2 == 0, donde % es la operación que de-vuelve el resto de la división entera de i con 2.

Si la igualdad es cierta, comprobamos si random() ∗ 2 es igual acero entonces a nextPoint le asignamos f1(nextPoint) y si no esasí entonces le asignamos f2(nextPoint).

Si la igualdad no es cierta, comprobamos si random() ∗ 2 es iguala cero entonces a nextPoint le asignamos g1(nextPoint) y si noes así entonces le asignamos g2(nextPoint).

b) Llamamos el método drawPoint(nextPoint) para pintar nuestro nue-vo punto.


brancht2


1. Usaremos la variable control que tendrá los valores 0 o 1 aleatoriamentea través del método random() ∗ 2 con el fin de controlar que no existancomposiciones seguidas de inversas de la función f.


a) Ahora comprobamos si control es igual a cero 0.

Si la igualdad es cierta, a la variable aleatory le asignaremosaleatoriamente un número entero de 0 a 3 invocando el métodorandom() ∗ 4, ahora comprobamos si aleatory es igual a 0 en-tonces a nextPoint le asignamos f1(nextPoint) y a control leasignamos 1, y si no es así comprobamos si aleatory es igual a 1entonces a nextPoint le asignamos f2(nextPoint) y a control leasignamos 1, y si no es así comprobamos si aleatory es igual a 2entonces a nextPoint le asignamos g1(nextPoint) y si no es así anextPoint le asignamos g2(nextPoint).

Si la igualdad no es cierta, a la variable aleatory le asignaremosaleatoriamente 0 o 1 usando el método random() ∗ 2, ahora com-probamos si aleatory es igual a 0 entonces a nextPoint le asig-namos g1(nextPoint) y si no es así a nextPoint le asignamosg2(nextPoint). A continuación a a control le asignamos 0.

4.2 algoritmos 67


brancht3


1. Usaremos la variable control que tendrá los valores 0 o 1 aleatoriamentea través del método random() ∗ 2 con el fin de controlar que no existancomposiciones seguidas de inversas de la función g.


a) Ahora comprobamos si control es igual a cero 0.

Si la igualdad es cierta, a la variable aleatory le asignaremosaleatoriamente un número entero de 0 a 3 invocando el métodorandom() ∗ 4, ahora comprobamos si aleatory es igual a 0 en-tonces a nextPoint le asignamos f1(nextPoint), y si no es asícomprobamos si aleatory es igual a 1 entonces a nextPoint leasignamos f2(nextPoint), y si no es así comprobamos si aleatoryes igual a 2 entonces a nextPoint le asignamos g1(nextPoint) ya control le asignamos 1, y finalmente si no es así a nextPoint leasignamos g2(nextPoint) y a control le asignamos 1.


Si la igualdad no es cierta, a la variable aleatory le asignaremosaleatoriamente 0 o 1 usando el método random() ∗ 2, ahora com-probamos si aleatory es igual a 0 entonces a nextPoint le asig-namos f1(nextPoint) y si no es así a nextPoint le asignamosf2(nextPoint). A continuación a control le asignamos 0.


brancht4



a) A la variable aleatory le asignaremos aleatoriamente un número en-tero de 0 a 3 con el método random() ∗ 4 y comprobamos si aleatoryes igual a cero 0.

b) Si la igualdad es cierta, a nextPoint le asignamos f1(nextPoint), y sino es así comprobamos si aleatory es igual a 1 entonces a nextPointle asignamos f2(nextPoint), y si no es así comprobamos si aleatoryes igual a 2 entonces a nextPoint le asignamos g1(nextPoint), y si noes así a nextPoint le asignamos g2(nextPoint).

4.2 algoritmos 69

c) Llamamos el método drawPoint(nextPoint) para pintar nuestro nue-vo punto.

4.2.3 Algoritmo dinámica hacia adelante

La motivación para desarrollar este algoritmo es poder confirmar a través deexperimentación computacional los resultados teóricos que se presentan en [8],donde las imágenes generadas muestran las regiones donde la dinámica del semi-grupo es acotada, y se evidencia cierta estructura fractal, y aquellas donde laproporción de ramas en el árbol del semigrupo que en el límite tiende a infini-to. Para este algoritmo primero tenemos que describir la clase Tree la cual esla estructura de datos en la que nos vamos a basar que a su vez contiene ala clase TreeNode, que usa la clase Vector de Java, que representa a cada no-do del árbol y en donde podemos definir n métodos que representarán a lasfunciones racionales f1 . . . fn que usaremos para construir el árbol de dinámicahacia adelante del semigrupo que dichas funciones generan, figura 4.12, aunquees recomendable resaltar que en dichos métodos podemos definir funciones queno necesariamente son racionales pero aún así el proceso de generar el árbol dedinámica hacia adelante es el mismo.

z

f1(z)

f1(f1(z))...

f2(f1(z))...

f3(f1(z))...

f4(f1(z))...

f2(z)...

f3(z)...

f4(z)...

Figura 4.12. Árbol de dinámica hacia adelante para cuatro funciones f1, f2, f3, f4.

treenode

numberFunctions

1. Tipo: int

2. Descripción: Es el número de funciones del semigrupo de funcionesracionales.

data

1. Tipo: Complex

2. Descripción: Representa el número complejo asociado al nodo.

children


1. Tipo: Vector < TreeNode >

2. Descripción: Representa un vector de todos los hijos del nodo que sonobjetos TreeNode.

Métodos.

1. f1( z )

a) Descripción: Este método define la función f1.


c) Retorno: El objeto Complex z2 − 1.

2. f2( z )



c) Retorno: El objeto Complex z2 + 1.

3. f3( z )



c) Retorno: El objeto Complex z3/2.

4. f4( z )



c) Retorno: El objeto Complex z2 − i.

5. TreeNode()

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto TreeNodecon numberFunctions en 0, data en 0 y children como vector vacío.


c) Retorno: Un TreeNode con sus atributos inicializados.

6. TreeNode( z , nF )

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto TreeNodecon numberFunctions igual a nF, data igual a z y children como vec-tor vacío.

b) Datos de entrada: Un objeto Complex y un int.


7. TreeNode( n )

4.2 algoritmos 71

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto TreeNodecon los atributos de n.

b) Datos de entrada: Un objeto TreeNode.


8. getData( )

a) Descripción: Este método devuelve el atributo data.


c) Retorno: Un objeto Complex.

9. setData( v )

a) Descripción: Este método modifica el atributo data.

b) Datos de entrada: Un objeto Complex.

c) Retorno: No tiene datos de retorno.

10. getNumberFunctions( )

a) Descripción: Este método devuelve el atributo numberFunctions.


c) Retorno: Un objeto int.

11. setNumberFunctions( numberFunctions )

a) Descripción: Este método modifica el atributo numberFunctions.

b) Datos de entrada: Un objeto int.


12. getChildren( )

a) Descripción: Este método devuelve el atributo children.


c) Retorno: Un objeto Vector < TreeNode >.

13. setChildren( v )

a) Descripción: Este método modifica el atributo children.

b) Datos de entrada: Un objeto Vector < TreeNode >.


14. countLeaves( error )

a) Descripción: Este método devuelve la cantidad de hojas que son menoresa error.

b) Datos de entrada: Un objeto double.


c) Retorno: El número de hojas que cumplen h.mod() < error dondeh = getData().

15. childrenCreate( n )

a) Descripción: Este método crea el árbol de n niveles.


c) Retorno: Este método no tiene un retorno explicito pero a los nodosque no son hojas se les asignan sus correspondientes hijos.

tree

root

1. Tipo: TreeNode

2. Descripción: Representa la raíz del árbol.

Métodos.

1. Tree()

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Tree.


c) Retorno: Un Tree con raíz inicializada.

2. Tree( z , nF )

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Treeasignándole a root el objeto TreeNode(z,nF).

b) Datos de entrada: Un objeto Complex y un int.

c) Retorno: Un Tree con sus atributos inicializados.

3. Tree( n )

a) Descripción: Este método es constructor y crea un nuevo objeto Treeasignando a root la raíz de n.

b) Datos de entrada: Un objeto Tree.

c) Retorno: Un Tree con root inicializado.

4. getRoot( )

a) Descripción: Este método devuelve el atributo root.


c) Retorno: Un objeto TreeNode.

5. setRoot( t )

4.2 algoritmos 73

a) Descripción: Este método modifica el atributo root.

b) Datos de entrada: Un objeto TreeNode.


6. fillTree( n )

a) Descripción: Este método crea el árbol de n niveles.


c) Retorno: Este método no tiene un retorno explicito porque llama almétodo childrenCreate(n).

7. countLeavesTree( error )

a) Descripción: Este método devuelve la cantidad de hojas que son menoresa error.

b) Datos de entrada: Un objeto double.

c) Retorno: El int que devuelve el método countLeaves(error).

Ahora describiremos el algoritmo de dinámica hacia adelante cuyo diagramade flujo se encuentra en la figura 4.13


Figura 4.13. Diagrama de flujo del algoritmo dinámica hacia adelante.


4.2 algoritmos 75

2. La altura de nuestro árbol desde la raíz será levels y la cantidad de fun-ciones que usaremos serán numberFunctions, manejaremos un error de2. Tenemos que definir el tamaño con el cual se mostrará el anterior sec-tor, este será determinado por pointsPerSide y con este valor obtenemostotalPoints.

3. A las variables horizontalChange, verticalChange,pointAverage les asig-namos 0, hx,hy indicaran la distancia entre los puntos que tomaremos delos ejes real e imaginario respectivamente.

4. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta totalPoints con unavance de 1 usando la variable k.

a) Calculamos el próximo número complejo nextPointComplex del planoque elegimos, este será(xa+horizontalChange ·hx)+ (yb− verticalChange ·hy)i, a la vari-able t le asignamos un árbol cuya raíz será nextPointComplex yva a usar la cantidad de numberFunctions funciones. A la variablenumberLeaves le asignamos el valor numberFunctionslevels.

b) Ahora llamaremos al método fillTree(levels) que se encargará decrear un árbol teniendo en cuenta el valor de la raíz y las funcionesa usar, con el parámetro levels que controla la altura, en la figura 4.14

tenemos su diagrama de flujo y a continuación su descripción másdetallada.

c) Asignamos el valor que retorna countLeavesTree(error) a result, estemétodo se encarga de contar el número de hojas del árbol cuyos mó-dulos de su complejo asociado sean menores al parámetro error, en lafigura 4.15 tenemos su diagrama de flujo y a continuación su descrip-ción más detallada.

d) A pointAverage le asignamos el valor entre 0 y 1 dado por resultnumberLeaves ,

luego definimos el color Color(0,pointAverage, 0) donde las coorde-nadas representan a un color RGB que podemos visualizar en un com-putador, por último pintamos el punto en nuestra región del planocomplejo.

e) Antes de escoger otro punto tenemos que tener en cuenta que el recor-rido se está haciendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo,si horizontalChange < (pointsPerSide − 1) es cierto entonces nospodemos mover a la derecha y a horizontalChange le sumamos 1,pero si no es cierto entonces nos movemos hacia abajo, comenzandodesde la izquierda, es decir, horizontalChange = 0 y verticalChangele sumamos 1.


A continuación describimos el método fillTree(levels) que en realidad haceun llamado directo al metodo childrenCreate(levels) que es recursivo y tienecomo parámetro a levels.

4.2 algoritmos 77

Figura 4.14. Diagrama de flujo del algoritmo childrenCreate.


1. Primero preguntamos si levels es igual a 1, si es así llamamos return, si noson iguales a n le asignamos levels− 1, a aux le asignamos un Vector vacíoque contendrá objetos de tipo TreeNode y a childrenData le asignamos unVector vacío que contendrá numberFunctions objetos de tipo Complex.

2. Ahora tenemos que comprobar que número es numberFunctions y deter-minar que funciones usar, para esto entramos a un switch, que a su vezdetermina los valores del Vector childrenData.

3. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta numberFunctions conun avance de 1 usando la variable i.

a) El objeto TreeNode(childrenData.get(i),numberFunctions) lo asig-namos a newNode y luego con aux.add(newNode) lo adicionamos alVector aux.

4. Al usar setChildren(aux) tenemos que el Vector aux se convierte en loshijos del nodo en que estemos.

5. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta numberFunctions conun avance de 1 usando la variable j.

a) Ahora preguntamos si aux.get(j)! = null, es decir, si la posición j

de aux fue inicializada, si es así llamamos recursivamente al métodoaux.get(j).childrenCreate(n).

En la figura 4.15 describimos el método countLeavesTree(error) que en real-idad hace un llamado directo al metodo countLeaves(error) que es recursivo ytiene como parámetro a error.

4.2 algoritmos 79

Figura 4.15. Diagrama de flujo del algoritmo countLeaves.

1. Primero a aux le asignamos el Vector de hijos del nodo en el que estemosa través de aux− > getChildren() y a la variable ex la iniciamos en 0.

2. A continuación preguntamos por la cantidad de elementos que tiene elVector aux, si aux.size() == 0 es cierto entonces a la variable h le asig-namos el objeto Complex asociado al nodo en que estemos usando h− >

getData() y luego preguntamos si el modulo de h es mayor o igual a error,si es así a ex le sumamos 1 y lo retornamos.


3. Vamos a seguir un ciclo que comenzará en 0 hasta aux.size() con un avancede 1 usando la variable i.

a) Ahora preguntamos si aux.get(j)! = null, es decir, si la posición j deaux fue inicializada, si es así llamamos recursivamente aaux.get(j).countLeaves(error) y dicho resultado lo sumamos a ex.

4. Ahora retornamos a ex.

4.3 ejemplos

1. En este ejemplo usamos el algoritmo de dinámica hacia adelante, para lasfunciones racionales f = z3 − z2 − 1 y g = z3 − z2 + 1, tomando 5 niveles,error de 2.0, 500 puntos por lado y el sector del plano complejo dado porxa=-1.1, xb=2.0 en el eje real y ya=-1.5, yb=1.5 en el eje imaginario, figura4.16.

Figura 4.16. f = z3 − z2 − 1 y g = z3 − z2 + 1.

4.3 ejemplos 81

2. En la figura 4.17 usamos el algoritmo de dinámica hacia adelante, para lasfunciones racionales f1 = z2 − 1, f2 = z3, f3 = z5 + i y f4 = z7, tomando5 niveles, error de 2.0, 500 puntos por lado y el sector del plano complejodado por xa=-2.0, xb=2.0 en el eje real y ya=-2.0, yb= 2.0 en el eje imaginario.

Figura 4.17. f1 = z2 − 1, f2 = z3, f3 = z5 + i y f4 = z7.

3. En la figura 4.18 usamos el algoritmo de dinámica hacia adelante, para lasfunciones racionales f = z2 − i y g = z2 + i, tomando 5 niveles, error de 2.0,500 puntos por lado y el sector del plano complejo dado por xa=-1.5, xb=1.5en el eje real y ya=-1.5, yb=1.5 en el eje imaginario.


Figura 4.18. f = z2 − i y g = z2 + i.

Si en cambio usamos el algoritmo dinámica hacia atrás con las anterioresfunciones, en el mismo sector pero usando 100000 niveles tenemos las fig-uras 4.19, 4.20, 4.21 y 4.22 tales que imageType es 1, 2, 3 y 4 respectiva-mente.

4.3 ejemplos 83

Figura 4.19. imageType = 1. y Figura 4.20. imageType = 2.


4. En la figura 4.23 usamos el algoritmo de dinámica hacia adelante, para lasfunciones racionales f = z2 + 1 y g = z2

2 , tomando 5 niveles, error de 2.0,500 puntos por lado y el sector del plano complejo dado por xa=-2.1, xb=2.1en el eje real y ya=-2.1, yb=2.1 en el eje imaginario.


Figura 4.23. f = z2 + 1 y g = z2

2 .

Si en cambio usamos el algoritmo dinámica hacia atrás con las anterioresfunciones, en el mismo sector pero usando 100000 niveles tenemos las fig-uras 4.24, 4.25, 4.26 y 4.27, tales que imageType es 1, 2, 3 y 4 respectiva-mente.

4.3 ejemplos 85



5. En la figura 4.28 usamos el algoritmo de dinámica hacia adelante, para lasfunciones racionales f1 = z5, f2 = z15 y f3 = z25, tomando 5 niveles, errorde 2.0, 500 puntos por lado y el sector del plano complejo dado por xa=-2.0,xb=2.0 en el eje real y ya=-2.0, yb=2.0 en el eje imaginario.


Figura 4.28. f1 = z5, f2 = z15 y f3 = z25.

B I B L I O G R A F Í A

[1] Ahlfors, L. (1979). Complex Analysis. New York: McGraw-Hill.

[2] Aho, A.; Hopcroft, J.; Ullman, J. (1988). Estructura de datos y algoritmos.México, DF: Addison-Wesley Iberoamericana.

[3] Barnsley, M. (2000).Fractals Everywhere. San Francisco: Morgan Kaufmann

[4] Beardon, A. (2000). Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dy-namical Systems. New York: Springer.

[5] Boyd, D. (1999). An Invariant Measure for Finitely Generated Rational Semi-groups. Complex Variables Theory Appl. 39(3), 229-254.

[6] Brin, M; Stuck, G. (2004). Introduction To Dynamical Systems. Cambridge:Cambridge University Press.

[7] Chacón, G; Colucci, R. & D’Angeli, D. (2012). Density of Backward Brancheson the Julia Set of a Semigroup.[Preprint]

[8] ______. (2012). Bounded Branches of Semigroups Generated by Polynomi-als.[Preprint]

[9] Devaney, R. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Cam-bridge: Addison-Wesley Publishing Company.

[10] ______. (1990). Chaos, Fractals and Dynamics. Boulder: Addison-WesleyPublishing Company.

[11] Devaney, R; Keen, L. & Alligood K. (1988). Chaos and Fractals: The Mathe-matics Behind the Computer Graphics. Lecture Notes. American Mathemat-ical Society.

[12] Guzmán, M.; Martin, M.; Morán, M. & Reyes, M. (1993). Estructuras fractalesy sus aplicaciones. Barcelona: Labor.

[13] Hinkkanen, A.; Martin, G.J. (1996). The Dynamics of Semigroups of RationalFunctions I. Proceedings London Mathematical Society. 3(73), 358-384.

[14] ______. (1996). Some Properties of Semigroups of Rational Functions. XVIthRolf Nevanlinna Colloquium (Finland, 1995), 5358, de Gruyter, Berlin, 1996.

[15] Hinkkanen, A.; Martin, G. J. (1996). Julia Sets of Rational Semigroups. Math-ematische Zeitschrift, 222(2), 161-169.

87

88 Bibliografía

[16] Krabs, W.; Pickl S. (2010). Dynamical Systems, Stability, Controllability andChaotic Behavior. Heidelberg: Springer.

[17] Munkres, J. (2000). Topology. Upper Saddle River: Prentice Hall.

[18] Needham, T. (1997). Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford UniversityPress.

[19] Peitgen, H.; Richter, P. (1986). The Beauty of Fractals: Images of ComplexDynamical Systems. Berlín: Springer.

[20] Peitgen, H.; Barnsley, M. & Saupe, D. (1988). The Science of Fractal Images.New York: Springer.

[21] Rubiano, G. (2009). Iteración y Fractales (conMathematica R©). Bogotá: Uni-versidad Nacional de Colombia.

[22] Zhou, J. (2000). The Julia Set of a Random Iteraction System. Bull. Austral.Math. Society. 62, 45-50.

SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS COMPLEJOS

Documents

Transcript of SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS COMPLEJOS