Modelos Discretos
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X: V.a del Número de ******* Algunas distribuciones de variable aleatoria continua: Distribución Normal Distribución Chi-Cuadrada Distribución t de Student Distribución F de Snedecor Binomial Poisson Hipergeométrico X: Variables de medición León Darío Bello P. [email protected]
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X: V.a del Número de *******
Algunas distribuciones de variable aleatoria continua:
Distribución Normal
Distribución Chi-Cuadrada
Distribución t de Student
Distribución F de Snedecor
BinomialPoissonHipergeométrico
X: Variables de medición
León Darío Bello [email protected]
Cada experimento tiene uno de dos posibles resultados excluyentes
EXITO
Probabilidadde Éxito=P
FRACASOProbabilidad de Fracaso=q=1-p
CaracterísticasEl experimento se realiza un número fijo de pruebasLas probabilidades tanto de éxito como de fracaso son constantes.La ocurrencia de los sucesos son independientes.
V.A.X=“Número de éxitos en n repeticiones independientes del suceso”Posibles valores de la V.A.X:0,1,2,...,n
Parámetros: n,p
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Media o esperanza matemática = n*p
Varianza = n*p*q
Desviación Típica = n*p* q
La probabilidad de tener un incidente en el lugar de trabajo es de 0.15, si se seleccionan 10 operarios. Cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno tenga un incidente, b) sólo uno tenga el problema, c) más de 2 tengan incidentes, d) al menos uno haya tenido la dificultad. e) cuál es el valor esperado y su desviación.
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la prevalencia de la enfermedad es p (E) = 0.30
Sea un acontecimiento A = presencia de una enfermedad
Este acontecimiento define una variable x que puede asumir 2 valores
Enfermo (éxito)
Sano (fracaso)
Espacio muestralSanos
Enfermos
mutuamente excluyentes
complementarios
ensayos independientes entre si
la probabilidad de estar sano es
p(S) = q (E) = 1 - 0.30= 0.70
Al tomar 1 individuo al azar ( n = 1)
¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? 0.30
Es el valor esperado x = p
DISTRIBUCION BINOMIAL
Sea x el número de éxitos obtenidos en n repeticiones de ensayos
(independientes entre si) de Bernouilli con p constante
Para que ocurran x éxitos en n ensayos, deben ocurrir también (n-x) fracasos
con probabilidad 1-p = q (también constante)
La probabilidad de obtener en un orden dado, x éxitos y (n-x) fracasos , por aplicación de la regla de multiplicación de acontecimientos independientes ,es igual a qqqqpppp ...........
x veces n-x veces
pxqn-x
Un mismo resultado puede ser obtenido de diferentes formas
xnqxpnxCpnxp ),,(
nxC
FUNCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Ejemplo: Si la prevalencia de una enfermedad es p = 0.30. ¿Cuál será la probabilidad de encontrar en 4 animales tomados
al azar, 3 enfermos? n = 4 p (E)= 0.30 p(S) = q (E) = 0.70
Las diferentes formas de encontrar 3 enfermos( E )serán:
EEES, EESE, ESEE, SEEE
que es lo mismo 4!1!3
!443
C
0756.034
7.03
3.043)3.0,4,3( Cp
Es una variable aleatoria discreta, en la cual nos interesa determinar la probabilidad de de ocurrencias del N° de sucesos o eventos por unidad de medida, que puede ser: intervalo de tiempo, espacio o volumen.
Parámetro: N° promedio de sucesos por unidad de medida el promedio es proporcional a la unidad de medida.
NOTA: Un problema cuya variable aleatoria cumple las características de
la distribución BINOMIAL se puede resolver, aproximadamente, por
medio de una distribución de POISSON siempre y cuando n (grande),
p0 y np5 (pequeño y fijo).
;
,...2,1,0!
2
xpXSimbolismo
XVVarianza
XEMedia
xx
xXPxfx
FUNCION DE DISTRIBUCION
-3 -2 -1 0 1 2 3z
Gráfica de la Distribución Normal
f(z)
68%
μ - 4σ
f(x)
xμ - 3σ
μ - 2σμ - σ
μ + 2σμμ + σ μ + 3σ
μ + 4σ
Características de la distribución normal
• Valores continuos• Simétrica• Unimodal• Acampanada• Moda Media Mediana• Aproximadamente el 99% de las
observaciones se encuentra a más o menos 3 desviaciones estándar de la media.
μ - 4σ
f(x)
xμ - 3σ
μ - 2σμ - σ
μ + 2σμμ + σ μ + 3σ
μ + 4σμ - 4σ
f(x)
xμ - 3σ
μ - 2σμ - σ
μ + 2σμμ + σ μ + 3σ
μ + 4σμ - 4σ
f(x)
xμ - 3σ
μ - 2σμ - σ
μ + 2σμμ + σ μ + 3σ
μ + 4σ
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Estandarización
• Si X ~ N(μ, σ 2) entonces:
X
Z tiene distribución normal estándar.
Este resultado permite usar la tabla de la distribución normal estándar para buscar áreas de cualquier distribución normal.
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Si el nivel total de colesterol en personas de cierta localidad tiene una distribución aproximadamente normal con media de 200 mg/100 ml y una varianza de 400, calcular la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente de esa población, tenga un nivel de colesterol:
a) Entre 180 y 200 mg/100 ml. b) Mayor que 225 mg/100 ml. c) Menor que 150 mg/100
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DISTRIBUCION t DE STUDENTDISTRIBUCION t DE STUDENT Características.Características. En general cumple las En general cumple las
mismas características de mismas características de la distribución Normal.la distribución Normal.
El valor critico de t es El valor critico de t es mayor que el de z.mayor que el de z.
Presenta mayor Presenta mayor variabilidad en las colas.variabilidad en las colas.
Entra el concepto de Entra el concepto de grados de libertad (v=n-grados de libertad (v=n-1)1)
Cuando n<30, usamos la Cuando n<30, usamos la tabla de la distribución t tabla de la distribución t en en lugar lugar de la normal.de la normal.
n
sx
t 0
