Modelos matemáticos discretos para Administración y ...

EDITORIAL

Modelos matemáticos discretos para Administración y Dirección de Empresas Problemas resueltos

Juan Carlos Cortés | Llúcia Monreal | Ana Navarro | Almudena Sánchez | Cristina Santamaría | Rafael J. Villanueva

Este libro está dirigido a los estudiantes del Grado en Administración y Dirección de Empresas y otras titulaciones afines (Economía, Ciencias Actuariales, etc.). En el tex-to se presenta una colección de problemas completamente resueltos orientados a la Modelización Matemática-Económica a través de técnicas discretas, principalmente basadas en Ecuaciones en Diferencias, tanto escalares como matriciales. El elemento diferenciador de este texto respecto de otras obras publicadas, es que aporta una extensa colección de este tipo de modelos, los cuales desempeñan un rol clave en la formación en Modelización Matemática en contexto Económico, y sobre la cual no existen apenas textos de referencia en castellano. Los problemas están secuenciados de modo que el lector pueda dirigir adecuadamente su aprendizaje y consiga una visión objetivo del importante papel que desempeñan las Matemáticas en la Mode-lización de problemas de la Economía.

Modelos matemáticos discretos para Administración y Dirección de Empresas Problemas resueltos

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EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Cristina Santamaría Navarro: Licenciada en Matemáticas y Doctora en Matemática Aplicada. Actualmente es profesora en la figura de Contratado Doctor en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politècnica de València. Ha impartido clases en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño y actualmente en la Facultad de Administración y Dirección de Empresas, donde imparte las asignaturas de modelos Matemáticos para ADE I y II. Ha desarrollado la Actividad Investigadora desde el año 2004 con la concesión de una Beca FPI-UPV basada en la modelización matemática para el estudio de procesos con eventos recurrentes en el campo de Supervivencia y Fiabilidad.

Rafael J. Villanueva Micó: Es profesor de la Universitat Politècnica de València desde noviembre de 1988, en el Departamento de Matemática Aplicada. Ha impartido clase en la Escuela Superior de Ingeniería del Diseño, la Escuela Técnica Superior de Informática, la Escuela Técnica Superior de Arquitectura y actualmente, en la Facultad de Administración y Dirección de Empresas, donde imparte las asignaturas de modelos Matemáticos para ADE I y II. El cargo que ocupa es de Catedrático de Universidad. En cuanto a investigación, pertenece al Instituto Universitario de Matemática Multidisciplinar donde investiga en modelos matemáticos para el estudio de la dinámica de transmisión de enfermedades infecciosas.

Juan Carlos Cortés López: Licenciado y Doctor en Ciencias Matemáticas. Catedrático de Universidad de Matemática Aplicada de la Universitat Politècnica de València (UPV). Desde hace años imparte docencia en el Grado de Administración y Dirección de Empresas (ADE) de la asignatura Modelos Matemáticos para ADE y es profesor responsable de las asignaturas Modelización y Valoración de Opciones Financieras (Máster en Dirección Financiera y Fiscal de la UPV) y Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Aplicaciones (Máster Interuniversitario en Investigación Matemática UPV-Universitat de València). Su investigación se centra en Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Cuantificación de la Incertidumbre en Modelización Matemática, y la desarrolla en el Instituto de Matemática Multidisciplinar de la UPV, del cual es Subdirector de Investigación.

Llúcia Monreal Mengual: Licenciada en Ciencias Físicas y Doctora en Matemática Aplicada. Profesora Titular de Universidad de Matemática Aplicada de la Universitat Politècnica de València (UPV). Desde hace unos años imparte docencia en el Grado de Administración y Dirección de Empresas (ADE), en la asignatura Modelos Matemáticos para ADE. Su investigación, la cual se centra en la Modelización Matemática en Ingeniería y Física, la desarrolla en el Centro de Investigación en Tecnologías Gráficas de la UPV.

Ana Navarro Quiles: Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Alicante en el año 2013. Obtuvo el título de Master en Investigación Matemática por la Universitat Politècnica de València y la Universitat de València en el año 2014. En ese momento comienza el Doctorado subvencionado por la Universitat Politècnica de València como beneficiaria de un contrato predoctoral FPI-UPV 2014. Su investigación se centra en el estudio, desde el punto de vista probabilístico, de ecuaciones diferenciales aleatorias así como sus aplicaciones, usando diferentes técnicas analíticas y computacionales.

Almudena Sánchez Sánchez: Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Alicante. Desde el año 2009 se incorpora a la investigación matemático-estadística, área donde ha desarrollado diversos proyectos de investigación y desarrollo relacionados con sanidad, política y ciencias sociales, centrados en el análisis, modelización, diseño y transferencia de resultados contribuyendo con nuevas propuestas y avances en cumplimiento de los objetivos propuestos en cada caso. En el año 2013 finaliza los estudios de Máster en Estadística y la tesis doctoral con mención internacional en la Universitat Politècnica de València acerca de la modelización, análisis y predicción del fracaso escolar en España.

Juan Carlos Cortés | Llúcia Monreal | Ana Navarro | Almudena Sánchez | Cristina Santamaría | Rafael J. Villanueva |

Juan Carlos Cortés | Llúcia Monreal | Ana Navarro | Almudena Sánchez | Cristina Santamaría | Rafael J. Villanueva |

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Colección Académica

Colección de carácter multidisciplinar, orientada a los estudiantes y cuya finalidad es apoyar la gestión docente conforme a los planes de estudio de las titulaciones universitarias impartidas en la Universitat Politècnica de València, constituyendo bi-bliografía recomendada para el aprendizaje de una asignatura. Los títulos de la colección se clasifican en distintas series según el área de conocimiento y la mayoría de ellos están disponibles tanto en formato papel como electrónico.

Todos los títulos de la colección están eva-luados por el departamento de la Universitat Politècnica de València en el que se inscribe la materia, atendiendo a la oportunidad de la obra para el estudiante y la adecuación de la metodología empleada en su didáctica.

Para conocer más información sobre la colección, los títulos que la componen y cómo adquirirlos puede visitar la web http://www.lalibreria.upv.es

0576P08

ISBN 978-84-9048-578-1

Modelos matemáticos discretos para administración y dirección

de empresas Problemas resueltos

Juan Carlos Cortés López Llúcia Monreal Mengual

Ana Navarro Quiles Almudena Sánchez Sánchez Cristina Santamaría Navarro

Rafael Jacinto Villanueva Micó

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Colección Académica

Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politècnica de València

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Cortés López, J. C., et al (2016). Modelos matemáticos discretos para administración y dirección de empresas. Problemas resueltos. Valencia: Universitat Politècnica de València

© Juan Carlos Cortés López Llúcia Monreal Mengual Ana Navarro Quiles Almudena Sánchez Sánchez Cristina Santamaría Navarro Rafael Jacinto Villanueva Micó

© 2016, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf.: 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 6369_01_01_01

ISBN: 978-98-4904-857-8 (versión impresa) ISBN: 978-84-9048-579-8 (versión electrónica)

La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo [email protected].

Primera edición, 2017 (versión impresa)Primera edición, 2017 (versión electrónica)

Resumen

Este texto está diseñado para introducir al lector en el estudio de modeloseconómicos dinámicos formulados mediante ecuaciones en diferencias de tipolineal. Para ello se han clasificado los modelos estudiados en diferentes capítulosdependiendo del tipo de ecuación a la que se adapta el modelo. Los modelosque se estudian, aprovechando la potencia del método matemático, jueganun papel relevante en áreas como la Microeconomía, la Macroeconomía, lasFinanzas, la Investigación Comercial y Marketing, etc., y pretenden dotas deuna formación matemática multidisciplinaria a nuestros estudiantes del Gradoen Administración y Dirección de Empresas de la Universitat Politècnica deValència.

En el Capítulo 1, se estudian dos tipos de modelos sencillos de naturaleza es-tática, en primer lugar el modelo lineal estático de mercado con equilibrio yposteriormente varios modelos de renta nacional. El objetivo de este capítuloes mostrar las ideas más relevantes en cuanto a formulación e interpretaciónde ambos modelos que posteriormente desempeñarán un rol clave al estudiardiferentes versiones dinámicas de dichos modelos. En el Capítulo 2 se muestrauna variedad de modelos económicos que están enunciados a través de ecua-ciones en diferencias lineales de primer orden a coeficientes constantes. Entreotros modelos se abordan las generalizaciones de los modelos de mercado y derenta nacional estudiados en el Capítulo 1. El Capítulo 3 realiza un estudiosimilar, pero únicamente sobre modelos económicos de renta nacional basadosen ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden. Los Capítulos 4 y 5 pre-sentan diferentes modelos económicos formulados vía ecuaciones en diferenciaslineales de primer orden matriciales homogéneas y no homogéneas, respecti-

iii

vamente. En el Capítulo 4, el elemento unificador de los modelos presentadoses que son de tipo markoviano, es decir, la matriz de coeficientes del modeloes probabilística, mientras que en el Capítulo 5 la matriz de coeficientes esmás general. Con todos estos modelos presentados a lo largo de este manual sepretende que el alumno se inicie a través de modelos discretos sencillos, peromuy ricos desde el punto de vista formativo, en la modelización matemáticade problemas económicos, aspecto que sin duda va a permitir al alumno sercapaz de asimilar las técnicas expuestas a lo largo de este libro, adquiriendouna formación diferencial y muy valiosa en su futuro académico y profesionaldentro del marco de la Economía y la Dirección y Administración de Empresas,donde con frecuencia se presentan problemas muy complejos para los que serequiere de una excelente formación cuantitativa.

iv

Índice general

Resumen iii

Índice general v

1 Modelo estático 11.1 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculo del equilibrio I . . . . 2

1.2 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculo del equilibrio II . . . . 4

1.3 Estudio conjunto de cinco modelos estáticos de renta nacional . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Modelo estático ISLM generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Modelos dinámicos escalares de primer orden 272.1 Fundamentos de e.e.d. de primer orden a coeficientes constantes y fondos deinversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Fundamentos de e.e.d. de primer orden a coeficientes variables y capitalizacióna interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Préstamos hipotecarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Estudio de la evolución de un plan de pensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5 Estudio dinámico de un plan de pensiones con retribución mensual prefijada . . 47

2.6 Modelo discreto de consumo y renta familiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

v

Índice general

2.7 Modelo dinámico de renta nacional de Keynes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8 Modelo dinámico de crecimiento de un país de Harrod-Domar . . . . . . . . . . . . 58

2.9 El modelo dinámico de mercado de telaraña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.10 Un modelo dinámico de mercado con inventario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.11 Un modelo dinámico de mercado con inventario y función de oferta constante 72

2.12 Un modelo dinámico de mercado con expectativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Modelos dinámicos escalares de segundo orden 813.1 Fundamentos de e.e.d.’s de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2 El modelo de renta nacional multiplicador-acelerador de Samuelson. Estudio general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3 El modelo de renta nacional multiplicador-acelerador de Samuelson. Un caso particular (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.4 El modelo de renta nacional multiplicador-acelerador de Samuelson. Un caso particular (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.5 El modelo de renta nacional multiplicador-acelerador de Samuelson. Un caso particular (III) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.6 El modelo de renta nacional multiplicador-acelerador de Samuelson. Un caso particular (IV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.7 El modelo de renta nacional de Madelandia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4 Modelos dinámicos matriciales de primer orden probabilísticos:Cadenas de Markov 145

4.1 Fundamentos sobre cadenas de Markov binarias y aplicaciones. . . . . . . . . . . . 146

4.2 Modelo de Markov binario para estudiar la evolución de la renta per cápita de un país . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.3 Modelo de Markov binario de fidelidad de aseguradoras . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.4 Modelo de Markov binario de satisfacción de clientes entre compañias de te- lefonía móvil . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.5 Modelo de Markov binario de satisfacción de clientes entre restaurantes . . . . . 166

4.6 Modelo de Markov con tres estados de empresa logística. . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.7 Modelo de Markov con tres estados para el estudio de la evolución de los clientes en los mercados de carburantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.8 Modelo de Markov con tres estados para la transmisión de una enfermedad infecciosa . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

vi

Índice general

4.9 Modelo de Markov con tres estados para estudiar el virus de la gripe . . . . . . . 180

4.10 Modelo de Markov con tres estados para la transmisión de enfermedades contagiosas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.11 Modelo de Markov con tres estados para estudiar la satisfacción de los clientes189

4.12 Modelo de Markov con tres estados para estudiar la distribución de clientes entre bancos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.13 Modelo de Markov con tres estados para estudiar las preferencias de losconsumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 201

4.14 Modelo de Markov con tres estados de distribución de vehículos de una empresa de alquiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.15 Gestión de colas de espera en un centro de datos mediante una cadena deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.16 Gestión de colas de espera en un aeropuerto mediante una cadena de Markov. 214

5 Modelos dinámicos matriciales de primer orden no probabilísticos 2215.1 Estudio de mercados relacionados mediante sistemas de ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.2 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones en diferencias lineales. Un modelo de renta nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Bibliografía 237

vii

Capítulo 1

Modelo estático

En este capítulo se presentan varios modelos económicos en cu-ya formulación no aparece la variable tiempo, se trata por tanto demodelos estáticos. Estos modelos desempeñan un rol formativo im-portante por dos motivos, primero porque permiten introducirse demanera sencilla en los principales aspectos de la modelización ma-temática en Economía y, en segundo lugar, porque las solucionesde los modelos estáticos coinciden a menudo con el comportamientoasintótico a largo plazo de los modelos dinámicos que se abordaránen capítulos posteriores. A lo largo del capítulo se estudian, en pri-mer lugar y a través de varios ejemplos particulares, los elementosy conceptos básicos del modelo lineal estático de equilibrio para unmercado de un único bien. Este modelo está caracterizado por tresecuaciones, las de oferta y demanda (que se asumen lineales), y unatercera ecuación, denominada de equilibrio, que impone la condiciónde excedente nulo (la demanda y la oferta coinciden). Posterior-mente se estudian varios modelos de renta nacional, incluyendo elimportante modelo macro-económico ISLM.

1

Capítulo 1. Modelo estático

1.1 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculodel equilibrio I

Dado el modelo de mercado de un bien

QS = QD,QD = 5− 2P,QS = −7 + 4P,

(1.1)

donde QS y QD son las funciones de oferta y demanda respectivamente, y Pes el precio del producto.

Apartado (a)

Calcula el precio de equilibrio, Pe, y la producción de equilibrio, Qe.

Solución

El precio de equilibrio, Pe, se obtiene cuando las funciones de oferta y demandacoinciden, es decir, QS = QD. Teniendo en cuenta los valores de ambas, dadosen (1.1), se obtiene el precio de equilibrio

QS = QD ⇒ 5− 2P = −7 + 4P ⇒ Pe = 2.

Ahora calculamos la producción de equilibrio, Qe, sustituyendo su valor en lafunción de demanda (o de oferta)

Qe = QD(2) = 5− 2× 2 = 1.

Apartado (b)

Dibuja en la misma gráfica las funciones QS y QD. ¿Hay intersección? Si lahay, interprétala económicamente.

2

1.1 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculo del equilibrio I

Solución

Representamos ambas funciones, QS(P ) y QD(P ) (Figura 1.1).

1 2 3 4P

-5

5

QD (P)

QS (P)

Figura 1.1: Representación gráfica de la función de demanda (azul) y la función de oferta(rojo), dadas por el modelo (1.1).

Como podemos observar hay intersección en el punto (Pe, Qe) = (2, 1). Deacuerdo con el apartado anterior, las coordenadas de este punto se correspon-den con el precio de equilibrio (1a coordenada) y la producción de equilibrio(2a coordenada). Económicamente, dicho punto es útil para que el exceso dedemanda y de oferta sea nulo, y por tanto no haya excedente.

Apartado (c)

Calcula el precio, P , para el cual QD = 0. Interpreta económicamente dichovalor de P .

Solución

Calculamos el valor del precio que anula la función de demanda, esto es

QD = 0⇒ 5− 2P = 0⇒ P =5

2.

3


Este precio indica el precio máximo que los consumidores están dispuestos apagar por el producto.

Apartado (d)

Calcula el precio, P , para el cual QS = 0. Interpreta económicamente dichovalor de P .

Solución

Calculamos el valor del precio que anula la función oferta, esto es

QS = 0⇒ −7 + 4P = 0⇒ P =7

4.

Este precio puede interpretarse como el precio que la compañía paga por ponerel producto en el mercado, es decir, los costes totales de producción.

1.2 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculodel equilibrio II

Dado el modelo de mercado de un bien

QS = QD,QD = 14− 5P,QS = −2 + 3P,

(1.2)

donde QS y QD son las funciones de oferta y demanda respectivamente, y Pes el precio del producto.

Apartado (a)

Calcula el precio de equilibrio, Pe, y la producción de equilibrio, Qe.

4

1.2 Estudio de un modelo lineal estático de mercado. Cálculo del equilibrio II

Solución

Resolviendo el sistema dado en (1.2), tenemos que

Qe = QD = QS = 4, Pe = 2.

Apartado (b)

Dibuja en la misma gráfica las funciones QS y QD. ¿Hay intersección? Si lahay, interprétala económicamente.

Solución

La representación gráfica de las funciones QS y QD se muestra en la Figura1.2.

1 2 3 4P

-5

5

10

15

QD (P)

QS (P)

Figura 1.2: Representación gráfica de la función de demanda (azul) y la función de oferta(rojo), dadas por el modelo (1.2).

Sí, hay intersección. Dicha intersección corresponde al punto (Pe, Qe) = (2, 4),donde 2 es el precio de equilibrio y 4 la producción de equilibrio.

5


Apartado (c)

Calcula el precio para el cual QD = 0. Interpreta económicamente dicho valorde P .

Solución

Resolvemos la ecuación indicada en el apartado

QD = 0⇒ 14− 5P = 0⇒ P =14

5.

Este valor P = 145

representa el precio máximo que pagará un cliente paraadquirir el producto.

Apartado (d)

Calcula el precio para el cual QS = 0. Interpreta económicamente dicho valorde P .

Solución

Resolvemos la ecuación indicada en el apartado

QS = 0⇒ −2 + 3P = 0⇒ P =2

3.

Este valor P = 145

representa el precio mínimo por el cual el productor empe-zará a producir.

1.3 Estudio conjunto de cinco modelos estáticos de rentanacional

Una de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) a la Eco-nomía, es el estudio de los modelos de mercado de renta nacionalmodelos de mercado de renta nacionalmodelos de mercado de renta nacional. Se trata dela descripción matemática a través de un s.e.l. del comportamiento de la rentade un país. Las variables que intervienen en el modelo suelen ser de caráctermacroeconómico (gastos públicos, impuestos, inversión pública, renta del país,

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1.3 Estudio conjunto de cinco modelos estáticos de renta nacional

etc) y están relacionadas de forma lineal (combinaciones lineales de las mis-mas). Se trata de modelos muy sencillos, que aunque son groseros para describirun comportamiento tan sofisticado como el que puede tener la renta nacionalde un país, tienen mucho interés pedagógico como un primer paso para intro-ducirse posteriormente en el estudio de modelos más elaborados. Por ejemplo,muchas veces las soluciones de estos modelos estáticos (es decir, aquellos en losque no aparece dependencia temporal) aparecen como los valores límite de lassoluciones de modelos dinámicos (esto es aquellos en los que en su formulaciónse considera la variable tiempo).

Lo que sigue de este problema, está dedicado a estudiar los siguientes tipos demodelos lineales de renta nacional, aunque al final del problema, te propon-dremos que estudies un modelo no lineal particular, para que comprendrás queno siempre tiene por qué ser lineal la formulación del modelo.

� Modelo lineal keynesiano de renta nacional.

Y = C + I0 +G0,C = a+ bY,

}(a > 0, 0 < b < 1), (1.3)

siendo Y la renta (o ingresos) nacionales, C los gastos del consumo, I0 lainversión pública y G0 los gastos públicos.

� Modelo lineal de renta nacional con impuestos dependientes dela renta.

Y = C + I0 +G0,C = a+ b(Y − T ),T = d+ tY,

(a, d > 0, 0 < b, t < 1), (1.4)

teniendo Y , C, I0 y G0 el mismo significado que en el modelo lineal de Keynes,y siendo T los impuestos.

� Modelo lineal de renta nacional con gastos públicos dependien-tes de la renta.

Y = C + I0 +G,C = a+ b (Y − T0) ,G = gY,

(a > 0, 0 < b, g < 1), (1.5)

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teniendo Y , C e I0 el mismo significado que en el modelo lineal de Keynes, ysiendo T0 y G los impuestos y los gastos públicos, respectivamente.

� Modelo lineal de renta nacional con importaciones dependientesde la renta.

Y = C + I0 +G0 +X0 −M,C = a+ bY,M = c+ dY,

(a > 0, c < 0, 0 < b, d < 1), (1.6)

teniendo Y , C, I0 y G0 el mismo significado que en el modelo (1.3), y siendoX0 y M las exportaciones y las importaciones, respectivamente.

� Modelo lineal de renta nacional con inversiones e impuestosdependientes de la renta.

Y = C + I +G0,C = a+ b(Y − T ),I = c+ dY,T = eY,

(a, c > 0, 0 < b, d, e < 1), (1.7)

teniendo Y , C, I, T y G0 el mismo significado que el introducido en los modelosanteriores.

A continuación se plantearán una serie de cuestiones, muy parecidas para cadauno de los modelos anteriores, con objeto de compararlos, las cuales deberánresponderse únicamente mediante el método de resolución que se especifique.

Apartado (a)

Para cada uno de los cinco modelos anteriores, especifica en una tabla ordena-da, cuáles son las variables endógenas, las exógenas y los parámetros.

Solución

Las variables endógenas son las incógnitas de cada modelo, las variables exó-genas son las variables de carácter económico que están previamente fijadas ysuelen detectarse porque van etiquetadas con un subíndice, y los parámetros

8


son el resto de las variables que aparecen en el modelo que no representan direc-tamente ninguna magnitud económica, aunque sí suelen tener interpretacióneconómica.

variables endógenas variables exógenas parámetrosmodelo (1.3) Y,C I0, G0 a, bmodelo (1.4) Y,C, T I0, G0 a, b, d, tmodelo (1.5) Y,C,G I0, T0 a, b, gmodelo (1.6) Y,C,M I0, G0, X0 a, b, c, dmodelo (1.7) Y,C, I, T G0 a, b, c, d, e

Apartado (b)

Mediante una tabla ordenada, explica el significado económico de los paráme-tros que se especifican en cada modelo:

Modelo (1.3): a y b.

Modelo (1.4): d y t.

Modelo (1.5): g.

Modelo (1.6): c y d.

Modelo (1.7): c y d.

Solución

Para el modelo (1.3):

a: representa el consumo autónomo o consumo fijo debido a las necesidadesprimarias. Lógicamente a > 0.

b: representa la propensión marginal al consumo la cual está dada siempre comouna proporción (0 < b < 1). Se puede interpretar como el porcentaje de rentaque se dedica al consumo.


d: representa los impuestos autónomos o fijos debido a las prestaciones o ser-vicios básicos. Lógicamente d > 0.

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t: representa la tasa impositiva sobre la renta, la cual está dada siempre comouna proporción (0 < t < 1). Se puede interpretar como el porcentaje de rentaque se destina a pagar impuestos.


g: representa la propensión marginal al gasto público o la proporción de la rentanacional que se dedica a pagar los impuestos públicos. Por ser una proporción0 < g < 1.


c: representa las exportaciones autónomas o fijas que requiere realizar el país.Obsérvese, que si hacemos Y = 0 en la última ecuación del modelo (1.6), esdecir, si no hubiese renta, hay necesidades que las importaciones no cubrenM = c < 0.

d: representa la propensión marginal a la importación, la cual está dada siemprecomo una proporción (0 < d < 1). Se puede interpretar como el porcentaje derenta que se destina a realizar importaciones.


c: representa los inversión autónoma o fija que tiene que afrontar el país.Lógicamente, c > 0.

d: representa la propensión marginal a invertir, la cual está dada siempre comouna proporción (0 < d < 1). Se puede interpretar como el porcentaje de rentaque se destina a la inversión.

Apartado (c)

Explica de forma separada, el significado económico de cada uno de los mo-delos. (Sugerencia: puede analizarse primero brevemente el significado de cadaecuación, y después el sistema globalmente).

10


Solución


Se trata de un modelo lineal muy simple para explicar la renta de un paísestablecido a partir de la siguiente ecuación tipo Keynes (todo lo que se ahorrase invierte), es decir,

AHORRO(renta o ingresos)=INVERSIÓN (gastos de los agentes).

Los gastos de consumo se consideran como una función lineal creciente dela renta nacional Y . Los parámetros a y b de esta recta se han interpretadoeconómicamente en el apartado anterior.


Se trata de un modelo lineal sobre la renta de un país establecido a partirde la misma ecuación que en el modelo (1.3), aunque ahora se supone que elconsumo C es una función lineal de la renta disponible (el valor resultante dedescontar los impuestos a la renta: Y − T ). Por otra parte, se supone que losimpuestos son variables, y dependen linealmente de forma creciente del nivelde renta: a mayor nivel de renta, mayor es el pago de impuestos, siendo unaparte de este pago fija.


Al igual que para los otros dos modelos (1.3) y (1.4), éste se basa en la mismaecuación AHORRO = INVERSIÓN. Ahora el consumo C es una función linealde la renta disponible (Y − T0), siendo ahora los impuestos una cantidad fija.Por otra parte, se supone que los gastos públicos son variables, y directamenteproporcionales al nivel de renta.


Al igual que para los otros modelos (1.3)–(1.5), éste se basa en la misma ecua-ción de equilibrio tipo Keynes: AHORRO = INVERSIÓN. En este caso losgastos domésticos de consumo C y las importaciones del país se supone queson funciones lineales de la renta Y .


Al igual que para los otros modelos (1.3)–(1.6), éste se basa en la misma ecua-ción de equilibrio tipo Keynes: AHORRO = INVERSIÓN. En este caso se

11


supone que el consumo y la inversión son funciones lineales de la renta dis-ponible (Y − T ) y de la renta (Y ), respectivamente, y que los impuestos sondirectamente proporcionales al nivel de renta Y .

Apartado (d)

Para el modelo (1.3), determina los valores de equilibrio de la renta, Y , y delconsumo, C. Analiza el signo de los valores Y y C obtenidos, y si es necesario,establece restricciones sobre las variables exógenas y los parámetros del modelopara que éste sea consistente.

A partir de las expresiones obtenidas para los valores de equilibrio, demuestraque Y > C, es decir, en el equilibrio el nivel de renta del país es mayor queel nivel de consumo. ¿Se te ocurre otra forma más sencilla de probar estadesigualdad?

Solución

Con el comando Solve de Mathematica podemos resolver el s.e.l. (1.3), obte-niendo

Y = −a+ I0 +G0

−1 + b, C = −a+ bI0 + bG0

−1 + b.

No es necesario establecer ninguna condición de consistencia sobre las variablesexógenas y los parámetros, ya que, los valores obtenidos de Y y C están biendefinidos, pues como 0 < b < 1, el denominador no se anula (es negativo) ycomo a, b, I0, G0 > 0, se tiene que Y > 0 y C > 0.

Obsérvese que la solución de equilibrio es única.

Para ver que Y > C, basta reescribir la solución de equilibrio de la siguienteforma equivalente, y tener en cuenta que 0 < b < 1:

Y =a

1− b+I0 +G0

1− b>

a

1− b+ b

I0 +G0

1− b= C.

También podemos probar que Y > C de la siguiente forma: dado que Y yC son soluciones del s.e.l. (1.3), en particular satisfacen la primera ecuación,luego

12


Y = C + I0 +G0 =⇒ Y − C = I0 +G0

y como I0, G0 > 0 se deduce que Y > C.

Apartado (e)

Para el modelo (1.4), demuestra utilizando el teorema de Rouché-Fröbeniusque el s.e.l. tiene solución única.

Determina los valores de equilibrio de la renta, Y , del consumo, C y de losimpuestos, T . Analiza el signo de los valores Y , C y T obtenidos, y si esnecesario, establece restricciones sobre las variables exógenas y los parámetrosdel modelo, para que éste sea consistente.

Demuestra que al igual que en el modelo (1.3), también ahora se tiene queY > C.

Solución

Escribimos el s.e.l. del modelo en forma estándar (incógnitas a la izquierda ytérminos independientes a la derecha):

Y − C = I0 +G0,−bY + C + bT = a,−tY + T = d.

Consideramos la matriz A | B ampliada del sistema

A | B =

1 −1 0 | I0 +G0

−b 1 b | a−t 0 1 | d

,

y clasificamos el s.e.l. aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Para elloobservemos que

A =

1 −1 0−b 1 b−t 0 1

, Det[A] = 1− b− bt.

13


como 0 < b, t < 1, se tiene que 0 < b(1− t) < 1, luego

det(A) = 1− b(1− t) > 0, (en particular : det(A) 6= 0)

y el modelo tiene solución única, la cual puede calcularse mediante Mathema-tica con el comando Solve

C =a− b (d+ (−1 + t)I0) + (b− bt)G0

1 + b(−1 + t), Y =

a− bd+ I0 +G0

1 + b(−1 + t),

T =d− bd+ t (a+ I0) + tG0

1 + b(−1 + t).

Acabamos de ver que el denominador de estos valores es siempre positivo, ahoradebemos ver bajo qué condiciones lo es el numerador para que estas variableseconómicas estén bien definidas. En principio debemos exigir que

Para Y : a− bd+ I0 +G0 > 0,Para C : a− bd+ b(1− t) (I0 +G0) > 0,Para T : ta− bd+ d+ t (I0 +G0) = ta+ d(1− b) + t (I0 +G0) > 0.

Observemos que las hipótesis sobre los parámetros garantizan que la terce-ra desigualdad siempre se cumpla. Además como 0 < b, t < 1, entonces0 < b(1− t) < 1, y se tiene que

a− bd+ b(1− t) (I0 +G0) < a− bd+ I0 +G0,

por lo tanto bastará exigir la siguiente condición para que la solución de equi-librio sea consistente

a− bd+ b(1− t) (I0 +G0) > 0.

Como antes, para ver que Y > C, basta reescribir la solución de equilibrio dela siguiente forma equivalente, y tener en cuenta que 0 < b(1− t) < 1

Y =a− bd

1− b(1− t)+

I0 +G0

1− b(1− t)>

a− bd1− b(1− t)

+ b(1− t) I0 +G0

1− b(1− t)= C,

14


o bien, más brevemente, como Y y C, son soluciones del s.e.l., en particular sa-tisfacen la primera ecuación: Y −C = I0+G0, y como por hipótesis, I0, G0 > 0,se deduce que I0+G0 > 0, y por tanto: Y −C > 0, o equivalentemente: Y > C.

Apartado (f)

Para el modelo (1.5), demuestra utilizando el teorema de Rouché-Fröbeniusque el s.e.l. tiene solución única sí y sólo sí b+ g 6= 1.

Utilizando la regla de Cramer, determina los valores de equilibrio de la renta,Y , del consumo, C y de los gastos públicos G.

Analiza el signo de los valores Y , C y G obtenidos, y si es necesario, establecerestricciones sobre las variables exógenas y los parámetros del modelo para queéste sea consistente.

Prueba que Y > G siempre. También sería deseable que en el estado de equi-librio se cumpliese Y > C + G. Justifica que esto se satisface.

Solución

Consideramos la matriz A | B ampliada del sistema

A | B =

1 −1 −1 | I0−b 1 0 | a− bT0

−g 0 1 | 0

,

y clasificamos el s.e.l. aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Para elloobservemos que

A =

1 −1 −1−b 1 0−g 0 1

, Det[A] = 1− b− g,

como 0 < b, g < 1, podría suceder que b+ g = 1, luego, el s.e.l. tiene soluciónúnica sí y sólo sí b+ g 6= 1, y en ese caso la solución de equilibrio la podemoscalcular aplicando la regla de Cramer

15


Y =

∣∣∣∣∣∣I0 −1 −1

a− bT0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1− (b+ g)

=a− bT0 + I01− (b+ g)

,

C =

∣∣∣∣∣∣1 I0 −1−b a− bT0 0−g 0 1

∣∣∣∣∣∣1− (b+ g)

=(a− bT0) (1− g) + bI0

1− (b+ g),

G =

∣∣∣∣∣∣1 −1 I0−b 1 a− bT0

−g 0 0

∣∣∣∣∣∣1− (b+ g)

=g (a− bT0 + I0)

1− (b+ g).

Ahora debemos ver bajo qué condiciones sobre las variables exógenas y losparámetros, estos valores de equilibrio son positivos, tal y como debe sucederdesde el punto de vista económico. En principio debemos exigir que

Para Y : (a− bT0 + I0) (1− (b+ g)) > 0.Para C : ((a− bT0) (1− g) + bI0) (1− (b+ g)) > 0.Para G : g (a− bT0 + I0) (1− (b+ g)) > 0.

Ahora bien, como 0 < g < 1

(a− bT0 + I0) (1− (b+ g)) > g (a− bT0 + I0) (1− (b+ g)),

y por lo tanto será suficiente exigir las siguientes condiciones para que la solu-ción de equilibrio sea consistente

((a− bT0) (1− g) + bI0) (1− (b+ g)) > 0,g (a− bT0 + I0) (1− (b+ g)) > 0,

pues la segunda desigualdad garantiza que Y , G > 0, y la primera que C > 0.

Veamos que Y > G. Para ello basta observar que como 0 < g < 1 se tiene

16


Y =a− bT0 + I01− (b+ g)

> ga− bT0 + I01− (b+ g)

= gY = G,

esto también se deduce del hecho de que si Y y G son soluciones del s.e.l., enparticular satisfacen la última ecuación: G = gY , y como 0 < g < 1, se tieneque Y > G.

Además (bajo las condiciones para que el equilibrio esté bien definido) siemprese cumple que

Y−(C + G

)=a− bT0 + I01− (b+ g)

−(

(a− bT0)(1− g) + bI01− (b+ g)

+ga− bT0 + I01− (b+ g)

)=I0>0.

Esto también puede justificarse teniendo en cuenta que por ser Y , C y Gsoluciones del s.e.l. (1.5) deben de satisfacer la primera ecuación

Y = C + I0 + G =⇒ Y −(C + G

)= I0.

y como I0 > 0, Y −(C + G

)> 0.

Apartado (g)

Para el modelo (1.6), demuestra utilizando el teorema de Rouché-Fröbeniusbajo qué condiciones el s.e.l. tiene solución única.

Utiliza el método de la matriz inversa, para determinar los valores de equilibriode la renta, Y , del consumo, C y de las importaciones M . Analiza el signo de losvalores Y , C y M obtenidos, y si es necesario, establece restricciones sobre lasvariables exógenas y los parámetros del modelo para que éste sea consistente.

Justifica que en el equilibrio también se tiene la condición:(Y + M

)− C > 0.

17


Solución

Como en el apartado anterior, consideremos la matriz A | B ampliada delsistema

A | B =

1 −1 1 | I0 +G0 +X0

−b 1 0 | a−d 0 1 | c

,

El determinante de la matriz de coeficientes A es 1 + d− b, luego si b− d 6= 1,el s.e.l. tiene solución única.

La solución de equilibrio la calculamos aplicando la matriz inversa 1 −1 1−b 1 0−d 0 1

YCM

=

I0 +G0 +X0

ac

,

YCM

=

1 −1 1−b 1 0−d 0 1

−1 I0 +G0 +X0

ac

,

ahora calculamos la matriz inversa (A−1 = 1det(A)|(Adj(A))T ) con el comando

Inverse. Por lo tanto el anterior producto de matrices tiene como solución YCM

=1

1 + d− b

I0 +G0 +X0 + a− cb (I0 +G0 +X0) + (1 + d)a− bcd (I0 +G0 +X0) + (1− b)c+ ad

,

como c < 0, es sencillo comprobar que si 1 + d − b > 0, Y > 0 y C > 0.Suponiendo, 1 + b− d > 0, para que M > 0 debemos exigir que

d (a+ I0 +G0 +X0) + (1− b)c > 0.

Observemos para terminar que por ser Y , C y M soluciones del s.e.l. (1.6), enparticular satisfacen la primera ecuación:

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Y = C + I0 +G0 +X0 − M =⇒(Y + M

)− C = I0︸︷︷︸

>0

+ G0︸︷︷︸>0

+ X0︸︷︷︸>0

> 0

de donde se tiene:(Y + M

)− C > 0.

Apartado (h)

Para el modelo (1.7), demuestra utilizando el teorema de Rouché-Fröbeniusque si d+ b(1− e) 6= 1, entonces el s.e.l. tiene solución única. ¿Qué sucede enotro caso?.

Utilizando la regla de Cramer , determina los valores de equilibrio de la renta,Y , del consumo, C, de la inversión I y de los impuestos T . Analiza el signode los valores Y , C, I y T obtenidos, y si es necesario, establece restriccionessobre las variables exógenas y los parámetros del modelo para que éste seaconsistente.

Solución

Consideremos la matriz A | B ampliada del sistema

A | B =

1 −1 −1 0 | G0

−b 1 0 b | a−d 0 1 0 | c−e 0 0 1 | 0

.

El determinante de la matriz de coeficientes es 1−b−d+be, luego si se cumple

1− (d+ b(1− e)) 6= 0,

el s.e.l. tendrá solución única y habrá un único punto de equilibrio, que podemoscalcular mediante la regla de Cramer, siendo los resultados

Y =a+ c+G0

1− d− b(1− e),

C =a(1− d) + b (c+G0) (1− e)

1− d− b(1− e),

19


I =d (a+G0) + bce+ c(1− b)

1− d− b(1− e),

T =e (a+ c+G0)

1− d− b(1− e).

Tenemos ahora que imponer condiciones para que estos valores de equilibriosean todos positivos. Como los numeradores son positivos hay que exigir queel denominador lo sea, luego la condición de consistencia es

1− d− b(1− e) > 0.

Estudiemos ahora qué sucede si no se cumple la condición de equilibrio único,es decir, si

1− (d+ b(1− e)) = 0.

En este caso, observemos que la matriz de coeficientes A tiene un menor deorden tres no nulo (el que resulta de eliminar la primera columna y la segundafila):

M =

−1 −1 00 1 00 0 1

, Det[M ] = −1,

por lo que el rango de A es 3. Para estudiar el rango de la matriz ampliadaobsérvese que esta matriz contiene al menos un menor de orden cuatro nonulo, y que como hemos visto al aplicar anteriormente la regla de Cramer(para calcular Y ) vale a+ c+G0 > 0. Por todo ello en este caso, el modelo notendrá ningún punto de equilibrio.

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Apartado (i)

Acabamos este problema formulando un modelo de renta nacional (particular)no lineal. Con la notación introducida en (1.3), se ha enunciado el siguientemodelo

Y = C + I0 +G0,

C = 25 + 6√Y ,

}

donde I0 = 16 y G0 = 14. Determina los valores de equilibrio. ¿Qué diferenciahay respecto de las soluciones, si hubiésemos tenido un modelo lineal?

Solución

El equilibrio se calcula mediante la primera ecuación del modelo (es una ecua-ción de equilibrio tipo Keynes: INGRESO=CONSUMO), pero considerandoque C tiene la forma dada por la segunda ecuación. Por tanto,

Y = 25 + 6√Y + 16 + 14 =⇒ Y − 55 = 6

√Y =⇒ (Y − 55)2 =

(6√Y)2

Y 2 − 110Y + 3025 = 36Y =⇒ Y 2 − 146Y + 3025 = 0,

y resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos{Y1 = 25 =⇒ C1 = −5,Y2 = 121 =⇒ C2 = 91,

donde hemos descartado la solución con consumo negativo, por carecer de sen-tido económico. Por tanto, hay un único punto de equilibrio

(Y , C

)= (121, 91).

La diferencia con un modelo lineal es que pueden aparecer un número finito(diferente de cero y uno) como candidatos a ser puntos de equilibrio. En nuestrocaso han habido dos candidatos, uno de los cuales ha sido descartado porcarecer de sentido económico.

21


1.4 Modelo estático ISLM generalizado

El modelo IS-LM generalizado viene dado por:

Y = C + I0 +G0,C = a+ cYd,Yd = Y − T + TR0,T = tY,S = −a+ (1− c)Yd,

(a, t > 0, 0 < c < 1), (1.8)

donde Y es la renta nacional o ingreso nacional, C es el consumo, I0 es lainversión hecha por las empresas,G0 es el gasto público, Yd representa el ingresofamiliar disponible, T son los impuestos, TR0 son las transacciones hechas porparte del gobierno a las familias (ayudas y subsidios) y S representa los ahorroshechos por las familias.

Apartado (a)

Interpreta económicamente el modelo.

Solución

La primera ecuación está basada en la ecuación de equilibrio de Keynes en laque los ingresos (Y ) han de ser iguales a los gastos totales (dados por la sumade C, los gastos de consumo, más I0, los gastos de inversión hechos por lasempresas, más G0, el gasto público).

La segunda ecuación modeliza el consumo como la suma de dos cantidades:una cantidad fija “a”, conocida como el consumo autónomo o fijo debido alas necesidades primarias, es decir, la cantidad que se consume aunque nohaya ingreso disponible, más un porcentaje (dado por “d” y conocido como lapropensión marginal al consumo) de la renta disponible. Por tanto, la ecuaciónmodeliza el consumo como una función lineal creciente de la renta disponible.

La tercera ecuación modeliza la renta disponible en las familias como la can-tidad resultante de restar a la renta o ingresos los impuestos y añadir lastransacciones por parte del gobierno.

La cuarta ecuación modeliza los ingresos como un porcentaje (dentado por “t”y conocido como la tasa impositiva o de impuesto) de los ingresos.

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La quinta y última ecuación modeliza los ahorros de las familias como la parteque queda de la renta disponible no destinada al consumo (cantidad que vienedada por el porcentaje “1−c” conocido como la propensión marginal al ahorro)menos el consumo autónomo, esto significa que la cantidad fija que se destinaal consumo (“a” en la segunda ecuación) aunque no haya renta, saldrá de losahorros. A la cantidad “−a” se le conoce como ahorros autónomos.

Apartado (b)

Calcula la renta de equilibrio, Y ∗, el consumo de equilibrio, C∗, la renta dispo-nible de equilibrio, Y ∗d , los impuestos de equilibrio, T ∗, y el ahorro de equilibrio,S∗.

Solución

Teniendo en cuenta que las variables no conocidas son Y , Yd, C, T , y S,sustituimos la cuarta ecuación en la tercera en (1.8) y obtenemos

Yd = Y − tY + TR0 = (1− t)Y + TR0, (1.9)

y sustituyendo (1.9) en la segunda ecuación de (1.8) tenemos

C = a+ c((1− t)Y + TR0). (1.10)

Ahora, sustituimos (1.10) en la primera ecuación de (1.8) y despejamos Y ,

Y = a+ c((1− t)Y + TR0) + I0 +G0

= a+ c(1− t)Y + cTR0 + I0 +G0

(1− c(1− t))Y = a+ cTR0 + I0 +G0

Y ∗ =a+ cTR0 + I0 +G0

1− c(1− t), (1.11)

y la última división puede llevarse a cabo ya que 0 < c, t < 1 y el producto0 < c(1− t) < 1. Por lo tanto, sustituyen (1.11) en la cuarta ecuación de (1.8)tenemos

23


T ∗ = tY ∗ = ta+ cTR0 + I0 +G0

1− c(1− t). (1.12)

Ahora, sustituyendo (1.11) en (1.9)

Y ∗d = (1− t)a+ cTR0 + I0 +G0

1− c(1− t)+ TR0

=(1− t)a+ c(1− t)TR0 + (1− t)I0 + (1− t)G0 + TR0 − c(1− t)TR0

1− c(1− t)

=(1− t)(a+ I0 +G0) + TR0

1− c(1− t). (1.13)

Sustituyendo (1.13) en la segunda y en la quinta ecuación de (1.8)

C∗ = a+ c(1− t)(a+ I0 +G0) + TR0

1− c(1− t)

=a− ac(1− t) + ac(1− t) + c(1− t)(I0 +G0) + cTR0

1− c(1− t)

=a+ c(1− t)(I0 +G0) + cTR0

1− c(1− t)(1.14)

y

S∗ = −a+ (1− c)(1− t)(a+ I0 +G0) + TR0

1− c(1− t)

=−a+ ac(1− t) + (1− c)(1− t)a+ (1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0

1− c(1− t)

=−a+ ac(1− t) + (1− t)a− ac(1− t) + (1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0

1− c(1− t)

=−a+ (1− t)a+ (1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0

1− c(1− t)

=−a+ a− at+ (1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0

1− c(1− t)

=(1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0 − at

1− c(1− t). (1.15)

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Apartado (c)

¿És necesario imponer alguna condición sobre los parámetros para garantizarel equilibrio en el modelo?

Solución

Se puede observar que las expresiones (1.11) para Y ∗, (1.12) para T ∗, (1.13)para Y ∗d y (1.14) para C∗, son todas positivas porque a > 0 y 0 < c, t < 1.

En el caso de (1.15) para S∗, esta será positiva si

(1− c)(1− t)(I0 +G0) + (1− c)TR0 ≥ at.

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Modelos matemáticos discretos para Administración y ...

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