3 Sistemas Discretos

4 Set 2005 UNSa – TGS – FING

Teoría General de Teoría General de SistemasSistemas

Sistemas DiscretosSistemas Discretos


Sistemas DiscretosDefinición:

Son sistemas cuyas cantidades toman un número finito de diferentes valores discretos y que son conocidos sólo en instantes discretos de tiempo.Un conjunto de valores exactamente especificados de una cantidad (llamados valores ideales) no puede conseguirse en la práctica con un sistema físico porque cada cantidad depende de muchos factores

La calibración, la tecnología y otros factores propios de los instrumentos de medición.La temperatura, humedad, campo magnético, etc. Podrían influir en las lecturas.Todo esto hace que los valores medidos difieran de los reales apareciendo un error de medición que se comporta como una variable aleatoria.


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Valores Ideales:Los valores actuales de las cantidades fluctúan en la vecindad de los valores ideales (por las razonones antes mencionadas).

Dichos valores se distribuyen alrededor del valor ideal generalmente segun una ley Normal N(0,s2), que no tendrá que ser la misma para todos los valores ideales.


Sistemas DiscretosValores Ideales:

Los valores de una cantidad de un sistema discreto se dividen en varios conjuntos disjuntos, es decir que, ningún valor de dicha cantidad pertenecerá a dos o más conjuntos:

Los valores actuales de la cantidad no tienen ninguna importancia para el sistema discreto. Lo importante es conocer a cuál de los posibles conjuntos pertenecen estos valores actuales a fin de determinar el valor ideal que correspondiente.

En los sistemas físicos se dan dos casos:Uno de los valores de cada conjunto, en general el más frecuente, es el valor ideal.

El valor medio del conjunto es el valor ideal.

En los sistemas abstractos los valores ideales se establecen por definición.


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Nivel de resolución:Este se define especificando algunos conjuntos disjuntos de valores para cada cantidad el valor ideal para c/u.

Debe observarse también que algunos valores de las cantidades no pertenecen a ninguna de estas clases disjuntas y no tienen significado en los sistemas discretos por lo que son llamados valores indefinidos.

Si al menos una de las cantidades consideradas está indefinida, el sistema estará en un estado transitorio (cambiando de estado).


Sistemas DiscretosNivel de resolución:

El tiempo es una cantidad cuyo nivel de resolución se representa por una secuencia de períodos discretos durante los cuales se consideran las cantidades.Estos períodos son los tiempos muestrales.Hay dos maneras de considerar esos períodos:

A intervalos fijos: Los valores de las cantidades externas se “registran/miden” cada t0 unidades de tiempo.A intervalos variables: Los valores de las cantidades externas se “registran/miden” cuando el estado del sistema cambia.


Sistemas DiscretosActividad:

La actividad de un S. Discreto se representará como una matriz o tabla con los valores de las cantidades externas para intervalo de tiempo.

Son matrices cuyos elementos ( x it ) son naturales:

0, 1, 2, ..., ∞.El subíndice i = 1, 2, 3, ..., n corresponde a las variables consideradas que definen un espacio.

El superíndice t = 0, 1, 2,..., tmax determina los instantes en los que

se especifican los valores xit de las respectivas variables xi .

i es el identificador espacial y t el identificador temporal.

Ej.: x35 es el valor de la variable x3 en el instante t = 5.


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Muestras de Actividad:Debido a que algunos sistemas presentan la característica de que en sus relaciones atemporales intervienen valores “no actuales” de sus cantidades externas, es decir, tienen “memoria”, para establecer el comportamiento del sistema a partir de su actividad se deben obtener muestras que tengan en cuenta este hecho.Las Muestras de Actividad son conjuntos de valores de la matriz de actividad relativos a un instante de tiempo considerado arbitrariamente como momento actual.

Matriz de actividad normalizada t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8

i = 1 0 0 0 1 2 3 3 3 02 0 0 0 0 1 1 0 2 33 0 1 2 2 0 1 2 2 0


Sistemas DiscretosMuestras de Actividad:

Las muestras pueden formarse con valores actuales, pasados y futuros.

Para referenciarlos se lo hace con respecto al momento presente elegido arbitrariamente para tomar la muestra.

Para referirnos a esos valores en fórmulas matemáticas se utiliza la siguiente simbología:


Sistemas Discretos Muestras de Actividad:

Se denomina elemento muestral a un valor dado de la muestra.Para identificarlo unívocamente y poder compararlo con su equivalente en otra muestra extraída en otro instante de tiempo diferente se utiliza un par ordenado de enteros (r, i).

Un elemento muestral dado (r, i) junto con la ecuación x it + r = X i

r(t) definen la variable muestral X i r(t) la que es una función del

tiempo lo mismo que la correspondiente xi.Cuando utilizamos xi nos referimos a una fila de la matríz de actividad.

xit es un valor particular dentro de ese renglón.

Xir(t) refiere también a celdas individuales dentro de la matriz de actividad.


Sistemas Discretos Muestras de Actividad:

En la matríz siguiente se observa una muestra de actividad para el instante t=4, correspondiente a los elementos muestrales:

Matriz de actividad normalizada t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8

i = 1 0 0 0 1 2 3 3 3 02 0 0 0 0 1 1 0 2 33 0 1 2 2 0 1 2 2 0

X10 = x1

4 + 0 = 2

X11 = x1

4 + 1 = 3

X20 = x2

4 + 0 = 1

X3-1 = x

34 –1 = 2

X30 = x3

4 + 0 = 0

( 0,1) = 2( 1, 1) = 3( 0, 2) = 1(-1, 3) = 2( 0, 3) = 0

... o bien:


Sistemas DiscretosMáscara:

Es un conjunto fijo de elementos muestrales que se definen para observar la actividad del sistema y tratar de explicar su comportamiento (Relación Atemporal). La muestra de actividad representa los valores de la actividad normalizada, para diferentes instantes de las variables muestrales que se especifican con los elementos muestrales de la máscara.


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Máscara:Se obtienen las siguientes muestras de actividad de acuerdo a la máscara definida por el conjunto de elementos muestrales siguientes:

(0,2), (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)

t = 0 1 2 3i = 1 ( 1 , 1 )

2 ( 0 , 2 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 2 )

3 ( 2 , 3 ) ( 3 , 3 )


t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

i = 1 0 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 3 3 3 32 0 1 1 0 2 2 3 0 0 0 4 4 4 0 0 03 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 0

Sistemas Discretos

Máscara:

X11 X2

0 X21 X2

2 X32 X3

3

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2 0 2 2 1 2 . . . . . . . . . . . .


Sistemas DiscretosMáscara:

El conjunto de elementos muestrales representan realmente una máscara a través de la cual observamos la actividad del sistema y tomamos muestras correspondientes a diferentes instantes de tiempo. La diferencia entre los valores máximos y mínimos de r entre los elementos muestrales de una máscara se denomina PROFUNDIDAD DE MEMORIAPROFUNDIDAD DE MEMORIA de la máscara.


Sistemas DiscretosLas variables muestrales son las que participan en las relaciones atemporalesrelaciones atemporales de los sistemas discretos o sea participan en el comportamiento.A menos que el comportamiento se conozca por anticipado (como en los problemas de síntesis) la máscara no es una propiedad intrínsecano es una propiedad intrínseca del sistema: es es una visiónuna visión que se aplica al procesar la actividad para obtener el comportamiento.Diferentes máscarasDiferentes máscaras conducen a comportamientos comportamientos diferentesdiferentes.Según la máscaraSegún la máscara con la cual se examine la actividad el comportamientocomportamiento del sistema puede resultar determinista o determinista o probabilistaprobabilista.


Sistemas DiscretosSe demostrará la dependencia del comportamiento según la máscara.

El sistema es un candado de combinación.

Si este está abierto o no, no depende sólo del número actual que señala el indicador sino de algunos números previamente seleccionados.

La matriz de actividad está dada por la cantidad x que muestra el número del señalador e y que muestra si el candado está abierto o cerrado (0, 1 respectivamente).


Sistemas DiscretosProbemos con tres máscaras típicas:

Aplicando la máscara M3 o M1 se descubre que la dependencia en la respuesta de las otras variables es ambigua y podría expresarse sólo estadísticamente con un número suficientes de muestras.La máscara dos representa una dependencia única de la respuesta de las otras variables de la máscara.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

x 0 3 7 2 5 3 0 2 9 6 4 7 2 9 8 1 7 9 6 7 2 9y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

M1 M2 M3


Sistemas DiscretosEstructura ST:

La estructura ST de sistemas discretos puede especificarse por el mismo conjunto de muestras de actividad que representan el comportamiento del sistema y por una relación binaria que sea consistente con la actividad considerada.Las muestras de actividad tienen el significado de estados del sistema.la relación binaria (conjunto de todas las transiciones entre los estados) consiste del conjunto de todos los pares de muestras consecutivas que aparecen en la actividad.Una sola actividad puede representarse por diferentes estructuras ST según la máscara elegida.


t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

x 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

x3 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0

s1 0 0 0 0

s2 1 0 0 1

s3 1 1 1 0s4 1 0 1 0

s5 1 1 1 1

s6 1 0 0 0

X30 X3

1

Muestra de Actividad

A continuación se muestra una matriz de actividad y todas las muestras posibles respectivas a la máscara de abajo se enumeran en una tabla. Obtengamos la estructura ST.

Posición de la máscara

X10

X20

t = 10

X10 X2

0 X30 X3

1

t = 6

t = 1, 3, 8, 11

t = 2, 7

t = 0, 14

t = 4, 5, 9, 13


Sistemas Discretos

S2

S3

S7

S1

S5

S4

S6


Sistemas DiscretosProbabilidades:

El número de muestras si en la actividad se

representa por M(si ) y el número de

transiciones de si a sj por T(si , sj).

Son números estadísticamente significativos -grandes números- y las probabilidades P(si , sj)

de las transiciones (si , sj) pueden calcularse

con la fórmula:

P (si , sj) = T (si , sj) / M (si)

donde es obvio que:

i=1,n T (si , sj) = M (sj ) y j=1,m T (si , sj) = M (si)

j=1,n P (T (si , sj)) = 1


Sistemas DiscretosSe supone que el sistema del ejemplo anterior ha sido observado durante un largo período de tiempo y no se han registrado nuevas muestras de actividad.

Los números encontrados M(si) (estados) y T(si ,

sj) (transiciones) se registran en la próxima figura.


Sistemas Discretos

1000

800

400

700

700

700

500 500500

500

1000 1000

1700

2500

400

400

400

800

S5

S2

S1

S3

S7

S4

S6

700


Sistemas DiscretosComparación con los sistemas continuos:

Por definición los sistemas discretos difieren de los continuos en el nivel de resolución espacio tiempo.Sistemas discretos:

Todos los instantes de tiempo considerados se representan por el conjunto T = { 0, 1, 2, ..., tmax}.Todos los valores considerados de la variable xi (i = 1, 2, ..., n) se simbolizan por el conjunto Xi = {0, 1, 2, ..., ki}.

Sistemas continuos:Todos los instantes de tiempo considerados se representan por el conjunto T = { t : t R+, 0 < t < t max}.Todos los valores considerados de la variable xi (i = 1, 2, ..., n) se simbolizan por el conjunto Xi = {i : i R, ai < i < bi }


Sistemas DiscretosComparación con los sistemas continuos:

Para considerar variaciones de las cantidades principales en la actividad se tiene:

Sistemas discretos: t = ta – tb = k donde k es un natural.

xi( t + r t ) = Xir (variable muestral).

xi( t + r t ) - xi( t ) = Xir – Xi

0 es un natural.

Sistemas continuos: t = d t

Si la actividad del sistema se representa por la función continua F (x) , se tiene:

lim F { x ( t + t ) - x ( t ) = d F (x) / dt

t 0


Sistemas DiscretosComparación con Sistemas Continuos:

Cuando se ha derivado respecto del tiempo hasta obtener una función que no dependa de este se ha obtenido la relación atemporal que determina el comportamiento del sistema.


FIN

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