Libro simulacion de sistemas discretos

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Publicaciones de Ingeniería de Sistemas SIMULACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS. Jaime Barceló Ingeniería de Sistemas c/ Edison, 4 28006 Madrid TelØfono (34-1) 411 50 11 Fax (34-1) 411 47 03 E-mail: [email protected] P.V.P.: 1.000 Ptas. (IVA incluido) SIMULACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS por Jaime Barceló Otros títulos publicados: 1. Ingeniería de Sistemas. Benjamin S. Blanchard. 2. La Teoría General de Sistemas. Ángel A. Sarabia. 3. Dinámica de Sistemas. Javier Aracil. 4. Dinámica de Sistemas Aplicada. Donald R. Drew. 5. Ingeniería de Sistemas Aplicada. Isdefe. 6. CALS (Adquisición y apoyo continuado durante el ciclo de vida). Rowland G. Freeman III. 7. Ingeniería Logística. Benjamin S. Blanchard. 8. Fiabilidad. Joel A. Nachlas. 9. Mantenibilidad. Jezdimir Knezevic. 10. Mantenimiento. Jezdimir Knezevic. 11. Ingeniería de Sistemas de Software. Gonzalo León Serrano. 12 COMITÉ DE REDACCIÓN Presidente Sr. D. Martín Aleæar Ginard Teniente General (R) del EjØrcito de Tierra Vocales Sr. D. Eduardo Avanzini Blanco General de Brigada Ingeniero del EjØrcito del Aire Sr. D. Carlos Casajœs Díaz Vicealmirante Ingeniero de la Armada Sr. D. Luis García Pascual Vice-Rector de Investigación y Postgrado de la UPCO Sr. D. Ricardo Torrón DurÆn General de División Ingeniero del EjØrcito de Tierra Sr. D. Alberto Sols Rodríguez-Candela Ingeniero de Sistemas. Isdefe Sra. Dæa. M“ Fernanda Ruiz de AzcÆrate Varela Imagen Corporativa. Isdefe ILUSTRACIÓN DE PORTADA Ruedas dentadas de la máquina de sumas y restas para contabilidad de Pascal de 1645. Jaime Barceló Es catedrático del Departa- mento de Estadística e Investi- gación Operativa de la Universi- dad Politécnica de Cataluña. Ha sido profesor visitante de las Universidades de Minnesota, Montréal y Linköping, donde ha impartido cursos y seminarios sobre estas materias. Su actividad investigadora ha estado orientada durante algunos años a la optimización combina- toria y la simulación, y sus aplicaciones a los problemas de producción y transporte. Desde el año 1988 dirige un grupo de trabajo en el Departamento de Estadística e Investigación Operativa que ha participado, y participa activamente, en proyectos de I+D de la Unión Europea (DRIVE, ATT, ESPRIT, 4º Programa Marco, etc.), especializado en el desarrollo de aplicaciones de métodos de optimización y de simulación a los problemas de tráfico y transporte, que han conducido, entre otros resultados, al desarrollo y puesta a punto de programas informáticos para la construcción y análisis de modelos de simulación de tráfico que se están utilizando en algunos proyectos internacionales. Es autor de numerosos artículos publicados en re- vistas científicas internacionales y en actas de congresos, así como de capítulos de libros colec- tivos sobre Gestión de Tráfico, Modelos Dinámicos de Tráfico, Simulación y Modelización, etc...

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  • P u b l i c a c i o n e s d e I n g e n i e r a d e S i s t e m a s

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    Ingeniera de Sistemas

    c/ Edison, 428006 MadridTelfono (34-1) 411 50 11Fax (34-1) 411 47 03E-mail: [email protected] P.V.P.: 1.000 Ptas.

    (IVA incluido)

    SIMULACIN DE SISTEMASDISCRETOS

    porJaime Barcel

    Otros ttulos publicados:

    1. Ingeniera de Sistemas. Benjamin S. Blanchard.2. La Teora General de Sistemas. ngel A. Sarabia.3. Dinmica de Sistemas. Javier Aracil.4. Dinmica de Sistemas Aplicada. Donald R. Drew.5. Ingeniera de Sistemas Aplicada. Isdefe.6. CALS (Adquisicin y apoyo continuado durante el ciclo de

    vida). Rowland G. Freeman III.7. Ingeniera Logstica. Benjamin S. Blanchard.8. Fiabilidad. Joel A. Nachlas.9. Mantenibilidad. Jezdimir Knezevic.

    10. Mantenimiento. Jezdimir Knezevic.11. Ingeniera de Sistemas de Software. Gonzalo Len Serrano.

    12COMIT DE REDACCINPresidente Sr. D. Martn Alear Ginard Teniente General (R) del Ejrcito de Tierra

    Vocales Sr. D. Eduardo Avanzini Blanco General de Brigada Ingeniero del Ejrcito del Aire

    Sr. D. Carlos Casajs Daz Vicealmirante Ingeniero de la Armada

    Sr. D. Luis Garca Pascual Vice-Rector de Investigacin y Postgrado de la UPCO

    Sr. D. Ricardo Torrn Durn General de Divisin Ingeniero del Ejrcito de Tierra

    Sr. D. Alberto Sols Rodrguez-Candela Ingeniero de Sistemas. Isdefe

    Sra. Da. M Fernanda Ruiz de Azcrate Varela Imagen Corporativa. Isdefe

    ILUSTRACIN DE PORTADARuedas dentadas de la mquina de sumas y restaspara contabilidad de Pascal de 1645.

    Jaime Barcel

    Es catedrtico del Departa-mento de Estadstica e Investi-gacin Operativa de la Universi-dad Politcnica de Catalua. Hasido profesor visitante de lasUniversidades de Minnesota,Montral y Linkping, donde ha

    impartido cursos y seminarios sobre estas materias.

    Su actividad investigadora ha estado orientadadurante algunos aos a la optimizacin combina-toria y la simulacin, y sus aplicaciones a losproblemas de produccin y transporte. Desde el ao1988 dirige un grupo de trabajo en el Departamentode Estadstica e Investigacin Operativa que haparticipado, y participa activamente, en proyectosde I+D de la Unin Europea (DRIVE, ATT, ESPRIT,4 Programa Marco, etc.), especializado en eldesarrollo de aplicaciones de mtodos deoptimizacin y de simulacin a los problemas detrfico y transporte, que han conducido, entre otrosresultados, al desarrollo y puesta a punto deprogramas informticos para la construccin yanlisis de modelos de simulacin de trfico que seestn utilizando en algunos proyectosinternacionales.

    Es autor de numerosos artculos publicados en re-vistas cientficas internacionales y en actas decongresos, as como de captulos de libros colec-tivos sobre Gestin de Trfico, Modelos Dinmicosde Trfico, Simulacin y Modelizacin, etc...

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    No est permitida la reproduccin total oparcial de este libro, ni su tratamientoinformtico, ni la transmisin de ningunaforma o por cualquier medio, ya seaelectrnico, por fotocopia, por registro o porotros mtodos, sin el previo consentimientopor escrito de los titulares del Copyright.

    Primera Edicin: Septiembre - 19961.250 ejemplares

    ' Isdefec/ Edison, 428006 Madrid.

    Diseo y fotomecnica:HB&h Direccin de Arte y Edicin

    Infografa de portada:Salvador Vivas

    Impresin:Closas Orcoyen S.L.

    ISBN: 84-89338-12-4Depsito legal: M- -1996Printed in Spain - Impreso en Espaa.

  • 3- Qu gigantes?, dijo Sancho Panza.-Aquellos que all ves, respondi su amo, de los brazoslargos, que los suelen tener algunos de casi dos leguas.

    -Mire vuestra merced, respondi Sancho, que aquellos queall se aparecen, no son gigantes sino molinos de viento, y

    lo que en ellos parecen brazos son las aspas, que, volteadasdel viento, hacen andar la piedra del molino.

    -Bien parece, respondi Don Quijote, que no estas cursadoen esto de las aventuras; ellos son gigantes, y si tienes

    miedo, qutate de ah y ponte en oracin en el espacio queyo voy a entrar con ellos en fiera y desigual batalla.

    (Cervantes, El Quijote, Captulo VIII -Del buen suceso queel valeroso Don Quijote tuvo en la espantable y jams

    imaginada aventura de los molinos de viento, con otrossucesos dignos de felice recordacin).

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  • 5AGRADECIMIENTOS

    Esta monografa tiene su origen en una peticin del GeneralRicardo Torrn Durn, a la que se sumaron los convincentesargumentos de Alberto Sols Rodrguez-Candela. He de confesar quemi primer impulso fue negarme, escudndome en la excusa, no porexcusa menos cierta, de mi sobresaturado grado de ocupacin.Afortunadamente cont mentalmente hasta cien antes de negarme, ypara entonces me encontr atrado por la proposicin, tanto por lo quesignificaba en el sentido de rellenar huecos en la bibliografa tcnicaen lengua castellana, y contribuir de paso de forma significativa a lacelebracin del dcimo aniversario de ISDEFE, como por el ineludiblecomponente de reto personal que comportaba.

    Plasmar por escrito unos conceptos, aunque no sean originales,de una forma coherente e inteligible para los dems, comporta unatarea de reflexin y maduracin personal, una pequea aventuraintelectual que siempre resulta gratificante, sobre todo si su resultadopuede prestar un servicio a otros.

    El resultado es esta modesta monografa que el lector tiene entresus manos. No es, ni mucho menos, una obra original, no era mi (diranuestro) objetivo. Se trata de exponer de una manera concisa y legibleunas ideas bsicas en torno a la simulacin de sistemas discretos, sus

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    implicaciones en trminos de anlisis de sistemas y de implantacininformtica, para concluir con una sucinta panormica de las tendenciasy perspectivas de evolucin en el futuro inmediato.

    Si el lector la encuentra til y le reporta algo habr conseguidomi propsito, con la ayuda de las crticas y sugerencias del Comit deRedaccin, aunque, como siempre, los errores y posibles desenfoquesson responsabilidad exclusiva del autor.

    Jaime Barcel

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  • 9PRLOGOLa monografa est concebida para ser una introduccin

    panormica, descriptiva y didctica, y una reflexin, sobre el papel dela simulacin en el ciclo de vida del sistema, teniendo en cuenta comosus posibles planteamientos, bien como herramienta para una mejorcomprensin del funcionamiento del sistema, bien como tcnica pararesolver problemas o para responder a preguntas sobre el sistema,pueden intervenir en cualquiera de las fases del ciclo de vida delsistema, tanto en la concepcin del mismo, como en su diseopreliminar y consiguiente estudio de factibilidad, en el diseo detalladoy en la fase de produccin para proceder a evaluaciones yasesoramientos, o en la fase de utilizacin y mantenimiento para poderevaluar escenarios alternativos y encontrar repuestas a preguntas deltipo "que pasara si".

    Dado que las relaciones entre sistemas y simulacin han sidoabordadas en otras monografas, en especial en las de dinmica desistemas en lo que se refiere a los mtodos de simulacin continua,esta monografa se centrar en la simulacin de los sistemas discretos,es decir sistemas cuyo estado cambia en instantes discretos en eltiempo. El tratamiento propuesto abordar la simulacin de sistemasdiscretos desde una perspectiva doble: la del reto metodolgico, queplantea la comprensin de un fenmeno o de un problema a travs delproceso de construccin de un modelo de simulacin por ordenador,que representa el grado de conocimiento que se tiene del sistema en

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    el momento de la construccin del modelo que lo representa, y la de latcnica que puede permitir la correspondencia entre el sistema real yel modelo de simulacin que lo representa, tcnica que permite que elmodelo est construido a la medida del sistema simulado.

    En la monografa se pretende que el modelo se entienda comoun instrumento de investigacin sometido a revisin continua, quepermite al que lo ha construido un refinamiento progresivo en sucomprensin del sistema, que le conduzca a una posicin adecuadapara tomar decisiones sobre la solucin de los problemas que el sistemaplantea. Entender que la simulacin de sistemas por ordenador estbasada en una generalizacin del concepto de experimentacin propiodel mtodo cientfico, segn el cual en lugar de realizar los experimentossobre el sistema real, se realizan sobre un modelo dinmico que lorepresenta, de manera que si el modelo es una representacin vlidadel sistema entonces los resultados de la experimentacin con elmodelo pueden transferirse al propio sistema.

    En consecuencia, uno de los objetivos de la monografa esayudar a entender como se puede utilizar la construccin de modelosde simulacin para analizar fenmenos y problemas, y tomar decisionessobre ellos, es decir evidenciar el papel de la simulacin en los procesosde toma de decisiones, y en especial en los sistemas informticos deayuda a la toma de decisiones.

    Poner de manifiesto como la simulacin permite aproximarseal anlisis y evaluacin del rendimiento de sistemas antes de quesean construidos, convirtindose as en una herramienta clave dediseo, en cualquiera de sus fases, o para estimar a priori el impactode los cambios propuestos en sistema ya existentes. Como en amboscasos el estudio de simulacin se realiza antes de la construccindel nuevo sistema o de la modificacin del antiguo, ayudando as aeliminar o reducir el riesgo de cuellos de botella no previstos, infra oextra utilizacin de recursos, no satisfaccin de especificaciones dediseo, etc..

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    Dentro de los lmites de extensin la monografa pretende ilustrarcomo la simulacin puede aplicarse a una amplia variedad desituaciones: procesos de produccin (especialmente en entornos demanufactura flexible o asistida por ordenador), sistemas de transporte,logsticos, de gestin de recursos, etc. Ayudar al lector no slo a lacomprensin de la metodologa de la construccin de modelos desimulacin de sistemas discretos, sino tambin ayudarle a entendercomo trabajan, cundo se debe utilizar la simulacin y cundo no, quse puede esperar de la simulacin, qu errores hay que evitar en laconstruccin y uso de modelos de simulacin, y como la simulacinpuede ayudar a mejorar el rendimiento de un sistema. La monografatermina con una breve panormica del software existente para lasimulacin de sistemas discretos, sus caractersticas, posibilidades ylimitaciones, y un anlisis de las tendencias futuras, una perspectivams detallada puede encontrarse en [1].

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    NDICE GENERAL1. LA SIMULACIN DE SISTEMAS 17

    1.1 Sistemas y modelos 181.2 El proceso de construccin de modelos: modelos matemticos 221.3 Simulacin de sistemas continuos y

    simulacin de sistemas discretos 511.4 La simulacin como proceso experimental:

    experimentos y ordenadores 531.5 Modelos de simulacin frente a soluciones analticas 591.6 La simulacin de sistemas discretos 67

    2. MODELIZACIN DE LA ALETORIEDAD EN SISTEMAS DISCRETOS 722.1 Identificacin de patrones de comportamiento aleatorio 732.2 Generacin de muestras de distribuciones aleatorias: introduccin a

    los mtodos de Montecarlo 922.2.1. Generacin de nmeros pseudo-aleatorios uniformemente

    distribuidos en (0,1) 1052.2.2. Generacin de dgitos aleatorios 1062.2.3. Cun aleatoria es la secuencia generada? 1072.2.4. Procedimientos generales 110

    3. LA SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS: LENGUAJES DESIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS 1133.1 Metodologa de la construccin de modelos de simulacin de

    sistemas discretos 1143.2 Caractersticas generales de los lenguajes de simulacin

    de sistemas discretos: la visin del mundode un lenguaje de simulacin 119

    3.3 Anlisis algortmico de las estrategias de simulacin desistemas discretos 131

    3.4 Un ejemplo de lenguaje: GPSS 1364. LOS ESTUDIOS DE SIMULACIN 155

    4.1 Diseo de experimentos de simulacin 1564.2 Anlisis de resultados 165

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    5. LA CONSTRUCCIN DE MODELOS DE SIMULACINVLIDOS Y CREBLES 1795.1 Validacin, verificacin y credibilidad (I) 1805.2 Validacin de modelos de simulacin 1835.3 Verificacin de modelos de simulacin 1865.4 Validacin, verificacin y credibilidad (II) 188

    6. TENDENCIAS ACTUALES DE LA SIMULACIN 1976.1 Generadores de simuladores, entornos de simulacin y

    animacin grfica 1986.2 Simulacin visual interactiva 2076.3 Simulacin e inteligencia artificial 214

    REFERENCIAS 229

    BIBLIOGRAFA 239GLOSARIO 243

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    La simulacin desistemas

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    1.1. Sistemas y modelos

    El trmino sistema se utiliza habitualmente con mltiples sentidos,tantos que resulta difcil dar una definicin nica que los abarque todosy al mismo tiempo sea lo suficientemente precisa para servir a propsitosespecficos. Podemos partir de la definicin de sistema como conjuntode cosas que ordenadamente relacionadas entre si contribuyen adeterminado objeto. Se trata de una definicin sencilla pero que ponede manifiesto los caracteres relevantes de lo que constituye eldenominado enfoque sistmico: contemplacin del todo y no de las partesaisladamente, acento en las relaciones entre las partes y consideracinteleolgica al tener en cuenta los propsitos u objetivos del sistema,especialmente vlida para los sistemas creados por el hombre.

    Como se ha puesto de manifiesto en la introduccin a estacoleccin de monografas [2], la visin o enfoque sistmico es unaconsecuencia del paso de una filosofa reduccionista a una filosofaholstica, segn la cual los factores determinantes en la naturalezason totalidades, como los organismos, que son irreducibles a la sumade sus partes, y la evolucin del universo es el resultado de lasactividades de estas totalidades. En otras palabras, considera que untodo no puede reducirse a elementos discretos y enfatiza las relacionesfuncionales u orgnicas entre las partes y el todo. En la referenciamencionada se seala el papel del bilogo Ludwig von Bertalanffy enla generalizacin de las aplicaciones de estas ideas a conjuntosorganizados de cualquier naturaleza, lo que denominamos sistemas.

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    La orientacin sistmica a la resolucin de problemas reconoceque el comportamiento de cualquier parte tiene algn efecto sobre elcomportamiento del sistema como un todo, en su desarrollo a partir delos aos veinte ha ido solapando e interaccionando mltiples disciplinasdando lugar a lo que hoy en da se conoce como Ingeniera de Sistemas,tcnica para utilizar conocimientos procedentes de diferentes ramas dela ciencia y la ingeniera para introducir innovaciones tecnolgicas enlas etapas de concepcin, planificacin, desarrollo y operacin de unsistema, o lo que es lo mismo, el ciclo de vida de un sistema. Una de lascaractersticas principales de las tcnicas de la Ingeniera de Sistemases su aplicacin en situaciones en las que los sistemas son:

    Grandes y complejos. En ellos interviene el hombre. El cambio en una parte puede afectar a muchas otras y al todo.

    Un ejemplo, conceptualmente sencillo, de lo que vamos aconsiderar de ahora en adelante como sistemas, tomado del texto casiinicitico de Gordon [3], y prximo a la vida real, es el siguiente.Consideremos el caso de una factora que produce y ensambla diferentespiezas para fabricar un producto final (Figura 1). En una primeraaproximacin a una descripcin del sistema podemos considerar quesus dos componentes principales son el departamento de fabricacinque fabrica las piezas y el de ensamblaje que produce los productosfinales. Hay adems un departamento de compras mantiene el suministrode materias primas y uno de expedicin distribuye los productosacabados. El departamento de control de produccin recibe los pedidosy asigna las rdenes de trabajo a los otros departamentos.

    Analizando el ejemplo de sistema propuesto vemos que estconstituido por varios objetos, cada uno de los cuales posee algunaspropiedades interesantes. Detectamos tambin la existencia deinteracciones entre los objetos que constituyen el sistema que provocancambios en el mismo. Denominaremos entidades a los objetos de intersque constituyen el sistema, atributos a las propiedades que caracterizan

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    a las entidades componentes del sistema, y estado del sistema a lacaracterizacin de las entidades del sistema y sus atributos en un instantedado. Nos va a interesar el carcter dinmico de los sistemas, es decirsus cambios de estado a lo largo del tiempo dentro de un horizontedado, y en consecuencia nos va a interesar identificar qu es lo queproduce cambios en el estado del sistema. Estudiaremos la evolucindel sistema a partir del seguimiento de sus cambios de estado.

    En la factora las entidades son los departamentos, los pedidos,las piezas y los productos, cuyos atributos son las cantidades de cadapedido, el tipo de pieza, el nmero de mquinas de un tipo dado en undepartamento, etc.. Los procesos de manufactura en cadadepartamento son, en este caso, la causa de los cambios de estado.

    Acabamos de declarar que nuestro inters se va a centrar enestudiar la evolucin del sistema a partir del seguimiento de sus cambiosde estado. La forma primaria de realizar este estudio seria,

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    evidentemente, la experimentacin con el propio sistema. Esto nosiempre es posible. En unos casos por imposibilidad fsica o econmicamanifiesta, basta pensar en lo que implicara el experimentar con unafbrica. En otros, si nos atenemos a lo que hemos denominado ciclode vida del sistema, porque el sistema existe nicamente en formahipottica y precisamente lo que nos interesa es saber como secomportar antes de que sea construido.

    Como consecuencia lo que haremos ser estudiar elcomportamiento del sistema a travs de una representacin o modelodel mismo [1].

    Llegados a este punto me gustara subrayar el alto grado decoincidencia entre las concepciones de la Ingeniera de Sistemas y laInvestigacin Operativa, tanto en sus orgenes, como en sumetodologa, o su desarrollo histrico, coincidencia que queda demanifiesto en algunas de las definiciones ms comnmente aceptadasde la Investigacin Operativa. As, por ejemplo, la definicin que apareceen el Journal of the Operations Research Society, revista de laSociedad Inglesa de Investigacin Operativa, dice textualmente1 LaInvestigacin Operativa es la aplicacin de los mtodos de la ciencia ala resolucin de los problemas complejos que aparecen en la direccinde grandes sistemas en los que intervienen hombres, mquinas,materiales y dinero, en la industria, los negocios, el gobierno o ladefensa. El planteamiento distintivo es la construccin de un modelodel sistema que incorpore medidas de factores tales como el azar y elriesgo, con los que predecir y comparar los resultados de decisionesalternativas, estrategias o controles. El propsito es ayudar a ladireccin a determinar cientficamente su poltica y acciones, y ladefinicin ms ampliamente difundida, debida a Ackoff y Sasieni, La

    (1) Operational Research is the application of the methods of science to complex problems arising inthe direction of large systems of men, machines, materials and money in industry, business,government and defense. The distinctive approach is to build a model of the system incorporatingmeasurement of factors such as chance and risk, with to predict and compare the outcomes ofalternative decisions, strategies or controls. The purpose is to help management determine itspolicy and actions scientifically.

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    Investigacin Operativa es la aplicacin del mtodo cientfico medianteequipos interprofesionales a los problemas de gobierno de sistemasorganizados (hombre-mquina) para proporcionar soluciones quesirvan lo mejor posible a la organizacin considerada como un todo.

    El anlisis de estas definiciones nos permite destacar comocaractersticas que identifican lo que denominamos InvestigacinOperativa las siguientes:

    1. Aplicacin del mtodo cientfico a los problemas que sepresentan en el gobierno de sistemas complejos en los queintervienen hombres y mquinas.

    2. Enfoque global (coincidente con lo que hemos denominadoplanteamiento sistmico).

    3. Construccin de modelos de los sistemas (representacinde los sistemas por medio de modelos).

    4. Optimizacin: bsqueda de las mejores soluciones.5. Ayuda a los responsables de la gestin del sistema a la

    toma de decisiones.

    Es decir, enfoque global, metodologa cientfica, representacinde los sistemas por medio de modelos, etc., precisamente lo que hemosutilizado para caracterizar el enfoque sistmico. Realmente en muchoscasos las fronteras entre lo que podemos considerar propiamenteIngeniera de Sistemas, y lo que consideramos Investigacin Operativason solo ideolgicas.

    1.2. El proceso de construccin de modelos: modelos matemticos

    El anlisis del sistema a travs de un modelo implica que la represen-tacin del sistema que constituye el modelo ha de ser una representacinmanipulable numricamente. El ejercicio de construccin del modelo delsistema comienza por la construccin de un modelo conceptual del siste-ma, representacin equivalente lgica aproximada del sistema real que,

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    como tal, constituye una abstraccin simplificada del mismo, que acontinuacin se traduce en un modelo apto para su ejecucin en unordenador. El proceso de modelizacin o construccin del modelo implica:

    Identificacin de las entidades principales del sistema y desus atributos caractersticos.

    Identificacin y representacin de las reglas que gobiernan elsistema que se quiere simular.

    Captacin de la naturaleza de las interacciones lgicas delsistema que se modeliza.

    Verificacin de que las reglas incorporadas al modelo son unarepresentacin vlida de las del sistema que se modeliza.

    Representacin del comportamiento aleatorio.

    Una precaucin importante a tener en cuenta cuando seconstruye un modelo es que ningn modelo es mejor que las hiptesisque encierra. Traducir el modelo a un modelo especfico para ordenadorconsiste en representar el modelo conceptual mediante un lenguajeapto para su ejecucin en un ordenador. Este proceso se simplificacuando la representacin se hace utilizando un lenguaje especializadoorientado a problemas especficos. Las etapas del proceso deconstruccin del modelo se sintetizan en la Figura 2 [4] .

    Siguiendo el ejemplo introductorio de la factora, ilustraremos elproceso de modelizacin con un ejemplo que intenta reproducir, dentrode su simplicidad, los procesos productivos del departamento defabricacin, componente de suficiente entidad como para ser consideradaun sistema en s misma. Supondremos que el departamento defabricacin consta de un taller en el que hay diferentes conjuntos demquinas del mismo tipo, que realizan distintas operaciones sobre laspiezas que se fabrican, de manera que las mismas materias primas

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    sometidas a diferentes procesos en dichas mquinas pueden dar lugara diferentes productos. Lo que caracteriza entonces al proceso deproduccin de cada uno de los productos es una secuencia deoperaciones, segn un orden definido por el programa de produccin,en cada una de las mquinas, con una duracin determinada de cadaoperacin a la que es sometida cada pieza en cada tipo de mquina.

    En nuestro ejemplo vamos a suponer que el taller de produccintiene 6 grupos de mquinas diferentes, cada uno de los cuales estconstituido por un cierto nmero de mquinas de una clase quesuponemos idnticas entre s. As, por ejemplo el grupo nmero unoconsiste en 14 unidades de fundicin y moldeo, el grupo 2, en 5 tornos,etc. La Tabla 1 resume la informacin sobre los grupos de mquinas ysu constitucin.

    Al considerar idnticas las mquinas de cada grupo nonecesitamos distinguirlas entre s, y al describir el proceso a que es

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    sometida cada pieza lo nico que necesitamos es saber si hay unamquina disponible en el grupo que le corresponde segn la secuenciaparticular de operaciones para ese tipo de pieza, o si tiene que esperara que alguna quede libre porque en ese momento estn todasocupadas. La descripcin de cada uno de los grupos de mquinas,sus caractersticas y el tipo de operaciones que pueden realizarconstituye, en este caso el ejercicio de identificacin de las entidadescomponentes del sistema (cada uno de los grupos), y de los atributosque las caracterizan (tipos de mquinas, nmero de mquinas en cadagrupo, operaciones que pueden realizar).

    Vamos a suponer adems que el plan de produccin del tallerde nuestro ejemplo contempla la fabricacin de tres tipos de productos,que denominaremos tipo-1, tipo-2 y tipo-3 respectivamente. Lafabricacin de cada unidad de un tipo de producto requiere que lasoperaciones se realicen en diferentes clases de mquinas segnsecuencias especificadas que difieren de un tipo de producto a otro.

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    El nmero total y clase de mquinas que debe utilizar lafabricacin de cada tipo de producto, las correspondientes secuenciasy los tiempos de trabajo previstos, se muestran en la Tabla 2, queproporciona datos adicionales en nuestro ejercicio de anlisis delsistema, identificando las otras entidades (los tipos de productofabricado), y las relaciones entre entidades especificadas a partir delas operaciones que requiere la fabricacin de cada tipo de producto,el orden en que se han de ejecutar y los tiempos medios que requierecada operacin en cada tipo de mquina.

    Los tiempos de operacin indicados en la tabla son tiemposmedios, y por simplicidad vamos a considerar que estn distribuidosexponencialmente. Supondremos que los trabajos llegan al taller segnun flujo descriptible por medio de una distribucin de Poisson cuyatasa media es de 50 trabajos por da de 8 horas. Un 24% de los trabajosque llegan corresponden a la fabricacin de productos tipo-1, un 44%son de tipo-2 y el resto de tipo-3. Cuando un trabajo que llega es de un

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    tipo dado, este es independiente, en trminos probabilsticos, del tipode producto del trabajo que le precedi. Supondremos adems que ladisciplina de servicio dentro de cada grupo de mquinas es FIFO, esdecir primer trabajo llegado es el primero en ser servidoindependientemente de su tipo. Esta coleccin de suposicionesconstituyen en este caso las hiptesis adicionales sobre elcomportamiento del sistema que sern el instrumento del proceso demodelizacin.

    Como objetivos del estudio del sistema supondremos que nosinteresa estudiar el comportamiento del taller, en estas condiciones deoperacin para la clase de demanda descrita, durante un perodo de 5semanas, de 5 das laborables cada una, con jornadas de 8 horas porda. Nos interesa en particular analizar la distribucin de los trabajosque quedan incompletos al final de cada semana, el nmero medio detrabajos de cada tipo que se producen por semana, la capacidad mediatotal de produccin del taller para este programa de produccin, y porlo tanto la capacidad para cumplir determinados planes de produccin.El nivel medio de ocupacin de las mquinas de cada grupo paraidentificar cuellos de botella en el proceso productivo, etc.

    De acuerdo con la metodologa propuesta, el primer paso es laconstruccin de un modelo conceptual. En este caso, a partir de lainformacin recogida, un modelo conceptual de este sistema puedeser un modelo descriptivo del proceso productivo como el que reproducela Figura 3. En ella el proceso se modeliza como una red de colas. Esdecir un grafo o red cuyos nodos corresponden a cada uno de losgrupos de mquinas, y cuyos arcos unen los nodos entre si de acuerdocon los itinerarios entre los grupos de mquinas, que corresponden alas etapas u operaciones de cada tipo de producto en cada grupo demquinas.

    Considerado individualmente cada grupo de mquinascorresponde en esta modelizacin a un sistema de colas, es decir eltipo de sistema para las situaciones que se producen cuando llegan

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  • 29La simulacin de sistemas

    personas, equipos o materiales a algn tipo de unidad o dispositivo deservicio demandando la recepcin del servicio que dicha unidad puedeprestar: ejecucin de una operacin, una reparacin etc., y tienen queesperar a ser atendidos cuando el dispositivo que dispensa el servicio,o sirviente, est ocupado.

    Los sistemas de colas se encuentran muy generalizados enuna amplia variedad de contextos. As, por ejemplo, en el anlisis deprocesos de produccin, como el que nos ocupa en ejemplo, interesanespecialmente los sistemas de colas que se originan comoconsecuencia de los procesos industriales, como por ejemplo, lossistemas de manejo de materiales, en los que unidadesmanipuladoras de materiales (carretillas elevadoras, puentes gra,cintas transportadoras, transervadores, etc.) mueven cargas de unpunto a otro de la factora; sistemas de produccin en los que lasmquinas (mquinas herramienta, robots, etc.) realizan trabajos sobremateriales o piezas; sistemas de mantenimiento, en los que lasbrigadas de mantenimiento reparan mquinas o proceden a lasoperaciones de mantenimiento preventivo; puntos de control decalidad o inspeccin, donde los inspectores de control inspeccionanlos artculos, etc.

    La Figura 4 describe grficamente los elementos principales dela estructura de los sistemas de colas, es decir las entidades que losconstituyen y sus atributos correspondientes.

    I. Poblacin fuente

    Es el origen de las entidades que requieren el servicio, mquinasque han de ser mantenidas o reparadas, piezas sobre las que se hande ejecutar operaciones, cargas que han de ser transportadas, etc..La caracterstica bsica de la poblacin fuente es su dimensin, finitao infinita. En la prctica el nmero de mquinas que han de seratendidas por un servicio de mantenimiento seria un ejemplo de

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS30

    poblacin finita, mientras que las piezas que llegan a una mquinapara ser sometidas a una operacin, aunque en si es un nmero finito,su tamao puede ser tan grande en relacin con la capacidad deservicio, que sin introducir un error apreciable puede considerarse aefectos de modelizacin como una poblacin infinita.

    II. El proceso de llegadas

    Se refiere a la formalizacin de la descripcin de cmo tienen lugarlas llegadas al sistema de colas de las unidades que requieren servicio,es decir la formalizacin de las reglas que rigen la generacin de lanecesidad de recibir un servicio. Los procesos de llegadas pueden serdeterministas o aleatorios. Un proceso de llegadas determinista es el queest sometido a unas reglas prefijadas, como por ejemplo un calendariode mantenimiento preventivo, que especifican en que momento precisose producir el acontecimiento de requerimiento del servicio.

  • 31La simulacin de sistemas

    En general los procesos de llegadas sern aleatorios, es decir quenuestro conocimiento del proceso nos permite, como mximo, establecercul es la probabilidad de que el suceso se produzca en un momentodado. As, por ejemplo la avera de una mquina no se puede predecircon exactitud, lo nico que se puede estimar es la vida media de la mquinay la ley de distribucin de probabilidad de los perodos de tiempo entreaveras de tal media.

    Para la descripcin formal de los procesos de llegada se puedenadoptar dos puntos de vista. Podemos observar los intervalos de tiempoentre llegadas consecutivas y ajustar una distribucin de probabilidadque los describa, de manera que el intervalo de tiempo, aleatorio, entreuna llegada al sistema y la inmediatamente posterior, pueda estimarsepor muestreo de la distribucin de probabilidad que los describe. Otraposibilidad es especificar un intervalo de tiempo de longitud dada T, ydeterminar la distribucin de probabilidad del nmero de llegadas quepueden ocurrir durante dicho intervalo de tiempo. La Figura 5 ilustragrficamente los dos procedimientos

    Un ejemplo tpico de modelizacin de llegadas aleatorias es elde los procesos de Poisson. Las llegadas de los clientes a la unidadde servicio pueden modelizarse mediante una distribucin de Poissoncuando:

    1) El nmero de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempoT es independiente de las que ocurren en cualquier otrointervalo de tiempo disjunto.

    2) La probabilidad de que se produzca una sola llegada en unintervalo de tiempo muy corto, es proporcional a la duracindel intervalo de tiempo, y no depende del nmero de llegadasfuera de este intervalo de tiempo.

    3) La probabilidad de que ocurra ms de una llegada en dichointervalo de tiempo corto es insignificante.

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS32

    La distribucin de Poisson es una distribucin discreta que puedeutilizarse en la modelizacin de procesos de llegadas en las que cadallegada es independiente de las restantes y tiene la misma probabilidadde producirse en cada instante. Se puede utilizar en la segunda clase deaproximacin que mencionbamos anteriormente, cuando estamosinteresados en el nmero de llegadas que se producen durante un intervalode tiempo T.

    La probabilidad de que se produzcan n llegadas durante elintervalo de tiempo T segn un proceso Poissoniano viene dada por:

    ( ) ( )P nT e

    nT

    n T

    =-l l

    !(1.1)

    siendo l la tasa media de llegadas por unidad de tiempo. La experienciaindica que muchos procesos de llegadas son razonablementerepresentados por procesos Poissonianos.

  • 33La simulacin de sistemas

    Hay una importante relacin entre la distribucin de Poisson y laexponencial, descrita por la funcin de probabilidad:

    ( )f t e t= -l l (1.2)

    Si las llegadas de los usuarios a un sistema ocurren de acuerdo conuna distribucin de Poisson, entonces la distribucin de probabilidad de losintervalos de tiempo entre llegadas consecutivas es exponencial, lo queproporciona una representacin del proceso aleatorio de llegadas de acuerdocon el primer punto de vista expuesto anteriormente. En este caso el tiempomedio entre dos llegadas consecutivas es de 1/l unidades de tiempo.

    III. Caractersticas fsicas de las colas

    Cuando la unidad que requiere el servicio llega al sistema puede ocu-rrir que la unidad de servicio se encuentre ocupada atendiendo a un reque-rimiento anterior, en cuyo caso la unidad recin llegada tendr que esperara que la unidad de servicio quede libre para pasar a ocuparla. La esperase realizar fsicamente en lo que denominamos cola o fila de espera.

    En la descripcin de la cola para proceder a su modelizacin unaprimera caracterstica a tener en cuenta es la longitud de la cola. Las dossituaciones relevantes que hay que distinguir son las que corresponden alas de colas de longitud infinita y finita respectivamente. En el primer casose supone que no hay ninguna restriccin prctica o terica que limite lalongitud de la cola, es decir el nmero de unidades a la espera de recibirservicio. Un ejemplo de tal situacin es la representacin como modelode colas del puesto de peaje de una autopista, en el que la poblacinfuente, constituida por todos los vehculos que circulan por la autopista,puede considerarse prcticamente infinita, y las longitudes de las colastambin, por no tener ninguna limitacin a priori.

    Sin embargo en otras situaciones las caractersticas fsicas delsistema limitan el nmero de unidades que pueden permanecer a la espera

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS34

    de recibir servicio, es, por ejemplo, el caso de los almacenes intermediosentre mquinas que realizan operaciones sobre piezas. En el caso decolas de longitud finita, cuando estas han alcanzado su lmite ha dedecidirse el tratamiento a dar a las unidades que por ello no pueden entraren el sistema.

    Otra caracterstica descriptiva del sistema de colas es si la cola esnica o mltiple, y las relaciones entre las colas y las unidades de serviciopuesto que caben varias posibilidades: cola y unidad de servicio nicos,varia colas y una sola unidad de servicio, una cola y varias unidades deservicio, etc.

    IV. Procedimiento de seleccin (poltica de gestin)

    La cuarta componente estructural de un sistema de colas, segn ladescripcin presentada en la Figura 4, es el sistema de seleccin, o polticade gestin del sistema de colas. Por tal entendemos el criterio seguidopara elegir la siguiente unidad que va a recibir servicio cuando la unidadde servicio queda libre al terminar el servicio de la unidad que estabasiendo atendida.

    La poltica de gestin queda definida mediante la especificacin dela disciplina de la cola, es decir, de la regla o reglas que determinan elorden por el que sor servidas las unidades que requieren servicio. Ejemplosde disciplinas de servicio son: el primero que llega es el primero que esservido, (FIFO: first-in-first-out), el ltimo que llega es el primero en serservido, (LIFO: last-in-first-out), por prioridades predefinidas, por tiemposde servicio mayores, por mayor tiempo de espera, etc.

    V. Unidades de servicio (servidores)

    Es una de las componentes estructurales ms importantes, suespecificacin requiere la definicin de la estructura fsica de la unidad

  • 35La simulacin de sistemas

    de servicio: estacin de servicio nica (servicio nico monofase),estaciones de servicio en tandem (servicio multifase, el servicio constade una secuencia de operaciones), mltiples estaciones monofsicasen paralelo, mltiples estaciones de servicio multifase en paralelo,sistemas mixtos, etc..

    La especificacin de la estructura fsica debe completarse mediantela descripcin de la ley de distribucin de probabilidad que rige la duracinde los procesos de servicio. Un caso tpico de distribucin de probabilidadde tiempos de servicio es la exponencial, segn la cual la probabilidad deque la duracin de un servicio sea de t unidades de tiempo es:

    ( )f et m mt= - (1.3)

    A partir de la especificacin de las componentes del sistema decolas los parmetros que describen su comportamiento y prestacionesson:

    l = tasa media de llegadas por unidad de tiempo.m = tasa media de servicio (nmero medio de servicios

    completados por unidad de tiempo).r = factor de utilizacin de la unidad de servicio.N = nmero de unidades en el sistema.P

    n= probabilidad de que cuando una unidad llega al sistema para

    recibir servicio haya exactamente n unidades en el sistema.L = nmero medio de unidades en el sistema.Lq = nmero medio de unidades en la cola a la espera de recibir

    servicio.W = tiempo medio de estancia en el sistema para cada unidad

    (tiempo de espera + tiempo de servicio).Wq = tiempo medio de espera en la cola (desde que llega hasta

    que empieza a ser servido).

    Parmetros cuyos valores fundamentarn los posibles procesosde decisin de sistemas modelizados mediante colas, como por

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS36

    ejemplo, evaluar los costes o las prdidas causados por tiempos dedesocupacin de mquinas, como medida de la ineficiencia del proceso,tiempos totales de produccin, identificacin y cuantificacin de cuellosde botella, etc.

    VI. Nomenclatura de los sistemas de colas

    La notacin que se utiliza para designar los diferentes tipos desistemas de colas, de acuerdo con las componentes que hemosdescrito, consisten en una serie de campos A/B/C/D/..., cada uno delos cuales especifica una de las componentes de acuerdo con lanotacin siguiente: los campos A y B describen las distribuciones deprobabilidad de los tiempos entre llegadas consecutivas y de serviciorespectivamente, el valor de C representa el nmero de servidoresmonofase idnticos, en paralelo, en el subsistema de servicio, el valorde D la longitud de la cola, cuando es finita, (si se omite, se asume quees infinita por defecto), etc.

    La notacin para identificar a las diferentes distribuciones deprobabilidad es la siguiente:

    M: Distribucin exponencial.D: Determinista (tiempos entre llegadas, o de servicio,

    constantes).Ek: Distribucin de Erlang de k etapas.Hk: Distribucin hiperexponencial de k etapas.G: Distribucin general (Normal, Weibull, etc.).GI: Distribucin general de llegadas.

    De acuerdo con esta notacin M/M/1 representa una colacon un nico sirviente, llegadas segn una distribucin de Poisson(y por lo tanto tiempos entre llegadas distribuidos exponen-cialmente), y tiempos de servicio distribuidos exponencialmente.M/M/m representa una cola de llegadas poissonianas, servicios

  • 37La simulacin de sistemas

    exponenciales idnticamente distribuidos, y m sirvientes enparalelo. M/G/1, seria una cola de llegadas poissonianas, serviciosegn una distribucin de probabilidad de carcter general, y unnico sirviente.

    Volviendo a nuestro ejemplo, el taller es modelizado como unsistema de colas al que los clientes llegan segn una corrientepoissoniana, pero no son homogneos sino de tres tipos distintoscuyas proporciones corresponden a los tipos de producto. El cliente(tipo de producto) es identificado y segn la clase a la que pertenecese le asigna una ruta dentro de la red, ruta que corresponde a lasecuencia de operaciones del proceso productivo del tipo deproducto en cuestin. Cada nodo de la red corresponde a un grupode mquinas, modelizado como una cola con tantos sirvientesidnticos como mquinas tiene el grupo. Con las hiptesispropuestas (t iempos de operacin en las mquinasexponencialmente distribuidos) cada nodo de la red corresponde auna cola M/M/n.

    La traduccin del modelo conceptual al modelo de ordenadorsuele comportar dos pasos, en el primero se formaliza el modelo yen el segundo se programa el modelo en un lenguaje apto para suejecucin en el ordenador.

    En lo que respecta a la formalizacin del modelo,tradicionalmente se han utilizado muchos tipos de modelos en elanlisis de sistemas, clasificados de diferentes modos. Para lospropsitos que nos interesan en esta descripcin vamos a considerarnicamente los modelos matemticos de los sistemas, es decirmodelos en los que la representacin formal del sistema queentendemos por modelo se hace en trminos del formalismo de lasmatemticas, los modelos matemticos pueden ser a su vezestticos o dinmicos. En el caso de los modelos matemticoshemos de hacer referencia a la tcnica utilizada para resolver elmodelo, segn la cual distinguiremos entre mtodos analticos y

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS38

    numricos. La simulacin de sistemas es una tcnica numrica queutiliza modelos matemticos dinmicos.

    En un modelo matemtico las entidades de un sistema y susatributos se representan mediante variables matemticas,clasificadas en variables de control y variables no controlables,segn que los valores que puedan tomar puedan ser el resultadode una decisin o vengan determinados por las caractersticas delpropio sistema. Las actividades que cambian el estado del sistemase describen por medio de funciones matemticas queinterrelacionan las variables. Los objetivos del sistema serepresentan mediante una funcin de utilidad, o funcin objetivo,que evala el rendimiento del sistema como una funcin de los dostipos de variables controlables y no controlables.

    La forma general de un modelo matemtico propuesta por Ackoff[5] es:

    U = f(X, Y) (1.4)sometida a:

    X W(Y) (1.5)

    donde U es la funcin de utilidad, dependiente de las variables decontrol X = (X1, X2, ...., Xn), y de la no controlables Y = (Y1, Y2, .....,Y

    m), donde las variables de control pueden tomar valores en el

    dominio de definicin W(Y), que depende de las variables nocontrolables.

    Puesto que en la mayor parte de los casos el objetivo que sepersigue es el de determinar cules son las mejores decisiones, o enotras palabras, que valores de las variables de decisin optimizan lafuncin de utilidad, y dado que como hemos dicho en los modelosmatemticos las relaciones entre las variables son funcionesmatemticas, la forma genrica que adoptaremos para los modelos

  • 39

    matemticos es:

    [OPT]U = f (X, Y) (1.6)sometida a:

    Rk (X, Y) (, =, ) bK (1.7)k = 1, 2, ..... K

    donde Rk(X, Y) es la k-sima ecuacin o inecuacin de condicinque traduce las relaciones funcionales entre las variables.

    Un modelo matemtico de tipo dinmico permite que loscambios en los atributos del sistema sean expresados como unafuncin del tiempo, bien mediante una solucin analtica o por mediode una computacin numrica, segn sea la complejidad del modelo.Supongamos, por ejemplo, el sistema correspondiente a la suspensinde una rueda de automvil cuando se supone que la carrocerapermanece inmvil en la direccin vertical. El sistema puede serrepresentado como el caso de una masa M, sometida a una fuerzaF(t), que varia con el tiempo, y ligada a un muelle cuya fuerza esproporcional a su extensin o contraccin, y al efecto de un absorbentede los impactos que ejerce una fuerza de amortiguacin proporcionala la velocidad de la masa. El movimiento del sistema puede describirsepor medio de la siguiente ecuacin diferencial:

    ( )Mx Dx Kx KF t&& &+ + = (1.8)

    donde x es la distancia que se ha desplazado, M es la masa, K es laconstante elstica del muelle, y D es el factor de amortiguacin de losimpactos. Las componentes del sistema son en este caso la rueda, elmuelle y el sistema amortiguador, y las hiptesis de modelizacin sonlas de la dinmica de un cuerpo sometido a la accin de fuerzaselsticas, que son las que conducen a la ecuacin diferencial queconfigura el modelo. Esta ecuacin es un ejemplo de modelomatemtico dinmico; una ecuacin que en este caso puede serresuelta analticamente.

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS40

    En otros casos la naturaleza de las ecuaciones queconstituyen el modelo continuo hace aconsejable recurrir aprocedimientos numricos para su integracin. Un ejemplointeresante de esta situacin lo constituyen los modelos utilizadospara estudiar la dinmica de poblaciones. Un caso tpico es el de ladinmica de la competicin entre dos poblaciones una pasiva, quesirve de presa, y otra activa, depredadora de la anterior. Modelosde este tipo fueron introducidos por Volterra [6] en 1926 como modelobiolgico para estudiar la evolucin de la poblacin pisccola en elAdritico. Supongamos un escenario que consiste en dospoblaciones que interaccionan la de los depredadores y la de laspresas. Denotemos por x(t) e y(t), respectivamente, el numero deindividuos de cada poblacin, presas y depredadores, en el instantet. Supongamos que, en ausencia de los depredadores lascondiciones de vida del escenario permiten que la poblacin de laspresas se incremente segn la tasa rx(t), para algn r positivo, donder puede interpretarse, por ejemplo, como la tasa natural denacimientos menos la de muertes naturales. Debido a la interaccinentre presas y depredadores es razonable suponer que la tasa demuertes de la poblacin de presas es proporcional al producto delas dimensiones de ambas poblaciones, x(t) y(t). Por lo cual la tasatotal de cambio del nmero de individuos de la poblacin de presas,dx/dt, viene dada por:

    ( ) ( ) ( )dxdt

    rx t ax t y t= - (1.9)

    donde a es una constante de proporcionalidad positiva. Puesto quelos depredadores dependen a su vez de las presas para perpetuarsu existencia, la tasa de variacin del nmero de individuos de lapoblacin de depredadores es -sy(t), para s positiva, en un escenarioen el que no haya presas, mientras que en el caso contrario lainteraccin entre ambas poblaciones har que la poblacin dedepredadores se incremente segn una tasa que tambin serproporcional a x(t)y(t). En consecuencia la variacin de la poblacinde depredadores se podr modelizar como:

  • 41

    ( ) ( ) ( )dydt

    sy t bx t y t= - + (1.10)

    donde b es una constante de proporcionalidad positiva. Este sistemade ecuaciones diferenciales modeliza el comportamiento de lapoblacin. Dadas unas condiciones iniciales x(0) > 0 e y(0) > 0, lassoluciones del modelo tienen la interesante propiedad de que x(t) > 0e y(t) > 0 para todo t 0.

    Modelos similares haban sido utilizados ya en 1920 por Lotka [7],para modelizar ciertos tipos de reacciones qumicas, por esta razn estetipo de modelos se conocen con el nombre de modelos de Lotka-Volterra.

    La Figura 6 presenta el resultado de la integracin del sistemade ecuaciones diferenciales de Lotka-Volterra para los valores delos parmetros r = 0,001, a = 2 x 10-6, b = 10-6, y s = 0,01. La curvasuperior representa la evolucin de la poblacin de presas en elintervalo de tiempo (0,4000), y la inferior la evolucin de la poblacin

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS42

    de depredadores en el mismo intervalo de tiempo. La Figura 7presenta la evolucin conjunta en el intervalo de tiempo (0,6000).

    Los resultados de la integracin del modelo dinmico presa-depredador de Lotka-Volterra, representados en las figurasanteriores, han sido obtenido mediante el software numricoMATLAB [8] .

    Modelos dinmicos del tipo de los anteriores constituyen enestos momentos una de las reas de investigacin de ms inters,no slo por la proliferacin de modelos de sistemas dinmicos quehan propiciado los avances tecnolgicos, sino tambin por que sesitan en el corazn de la teora del caos [9, 10] .

    En el caso del taller de manufactura modelizado como una redde colas podemos construir modelos analticos para los modelos decolas que representan cada uno de los grupos de mquinas. Para una

  • 43

    cola M/M/s, si el tiempo medio entre llegadas consecutivas es 1/l, y eltiempo medio de servicio es 1/m, y el factor de utilizacin, cuando hays unidades de servicio operando en idnticas condiciones es:

    rlm

    =s (1.11)

    una relacin fundamental es la que liga la longitud media de la cola, nmeromedio de unidades en la cola, con el tiempo medio de espera en ella:

    L Wq = l (1.12)

    anlogamente:

    L W y W Wq= = +l m1 (1.13)

    Son las relaciones entre el nmero total de clientes en elsistema (los que esperan ms los que estn siendo atendidos), L, yel tiempo total de permanencia en el sistema (espera ms servicio),W; y entre la permanencia en el sistema W, y la espera en la colaWq. Estas relaciones, correspondientes al Teorema de Little, sepuede comprobar que se verifican para todo sistema de colas, porlo que nicamente necesitamos determinar dos de los parmetros,L y Lq, por ejemplo, para poder determinar los restantes.

    El clculo de cualquiera de dichos parmetros puede realizarsemediante las ecuaciones del modelo terico correspondiente. Por ejemplopara una cola M/M/1 el modelo terico proporciona los valores:

    (1.14)

    ( )

    ( )

    ( )

    P

    W

    L

    nn

    q

    q

    = -

    =-

    =-

    1

    1

    1

    2

    r r

    rr m

    rr

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS44

    y para una cola M/M/s:

    ( ) ( )

    ( )

    ( )( )

    Ps

    k

    s

    s

    Ps

    kP s

    P P k s

    LP s

    sW

    L

    k

    k

    s s

    k

    k

    kk s

    s

    q

    s

    qq

    01

    11

    0

    02

    11

    1

    1 2

    1

    = + +-

    = =

    = >

    =-

    =

    =

    --

    -

    r r

    r

    r

    r

    r r

    r l

    ! !

    !, , ,

    !,

    k K(1.15)

    Estas son las soluciones analticas para un modelo terico quepuede ser resuelto exactamente [11,12], y corresponden a la situacinpara el estado estacionario, es decir cuando la evolucin del sistema haalcanzado el equilibrio.

    Las hiptesis simplificadoras que hemos introducido (llegadaspoissonianas, servicios exponenciales) permiten adems construirun modelo analtico para esta red de colas [11,12] . Este tipo demodelizacin analtica se puede conservar en este caso inclusocomplicando algunas de las hiptesis probabilsticas, como por ejemplolas de los tiempos de servicio, sustituyendo las distribucionesexponenciales por otras, cuyo requisito, de acuerdo con el Teorema deJackson, es que tengan Transformada de Laplace racional, aun cuando,como en el caso de las colas simples, la obtencin de la solucin analticase va haciendo cada vez ms compleja, llegamos pues, a una situacinque, aunque modelizable analticamente, llega rpidamente a los lmitesde lo que los modelos analticos nos permiten, bastara simplementecon suponer que los diferentes tipos de trabajo tienen distintas prioridadespara tener que sustituir la poltica de gestin FIFO en cada nodo por unapoltica segn prioridades y llegar a un modelo casi intratable.

    Cerraremos esta exposicin sobre modelos dinmicos con elejemplo de los Modelos Macroscpicos de Simulacin de Trfico. La

  • 45

    perspectiva de la modelizacin macroscpica de los flujos de trficoes la de adoptar un smil hidrulico, es decir visualizar el flujo devehculos como flujo o corriente de un fluido continuo, es unaasociacin natural bastante intuitiva, que de hecho ya se adoptacuando se tiende a describir el trfico en trminos de volmenes (oflujos), concentraciones (o densidades) y velocidades. En la analogacomo flujo de un fluido, el trfico es tratado como un fluidounidimensional comprensible, lo que conduce a dos hiptesis bsicasde modelizacin:

    a. El flujo de trfico se conserva.

    b. Hay una relacin en trminos de una funcin univaluadaentre la velocidad y la densidad, o entre el flujo y la densidad.

    En el modelo matemtico la primera hiptesis se traduce en ladenominada ecuacin de conservacin o de continuidad, que implicaque si el flujo disminuye con la distancia la densidad se incrementacon el tiempo. En trminos prcticos de ingeniera de trfico la ecuacinde conservacin implica que en cualquier sistema de trfico el flujo deentrada es igual al de salida ms el almacenado en el sistema. Esthiptesis se acepta, en general, sin mayor controversia, como unsupuesto obvio.

    No ocurre lo mismo, sin embargo, con la segunda hiptesis,que ha levantado y sigue levantando una gran controversia, en parteporque no siempre se entiende y porque las medidas soncontradictorias. Concretamente si la velocidad (u) es una funcin de ladensidad como consecuencia los conductores ajustan su velocidad deacuerdo con la densidad, es decir cuando la densidad aumenta lavelocidad disminuye. Esto es intuitivamente correcto pero tericamentepuede conducir a velocidades o densidades negativas. Por otra parte,se ha observado que para el mismo valor de la densidad puedenmedirse muchos valores de la velocidad. Todo ello conduce a lanecesidad de matizar esta hiptesis. La matizacin consiste en

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS46

    considerar que la velocidad (o el flujo) es una funcin de la densidadnicamente en el equilibrio, y puesto que es muy raro poder observarel equilibrio es difcil obtener una relacin velocidad-densidadsatisfactoria, lo que lleva en la prctica a proponer una relacin terica.Esta dificultad ha llevado a algunos investigadores a relativizar laimportancia de los modelos continuos o a tratar de simplificarlos. Sinembargo, como demuestran recientes aplicaciones al control y aestudios de simulacin los modelos continuos tienen todava un granpotencial de aplicaciones que an no ha sido explotado en todas susposibilidades.

    La exposicin del modelo continuo simple es un resumen demateriales procedentes de las referencias [13,14,15] .

    Admitiendo estas dos hiptesis de modelizacin la ecuacin decontinuidad puede derivarse fcilmente considerando una seccin decarretera continua unidireccional con dos estaciones de contaje 1 y 2aguas arriba y aguas abajo respectivamente, con un espaciado Dxentre ellas; suponemos adems que no hay fuentes ni sumideros en elespacio Dx, es decir que no hay generacin ni disipacin de flujo en laseccin considerada.

    Sea Ni el nmero de vehculos (volumen) que pasa por laestacin i durante el perodo de tiempo Dt, y qi el flujo que pasa porla estacin i; Dt es la duracin del contaje simultneo en lasestaciones 1 y 2. Sin prdida de generalidad podemos suponer queN1 > N2; puesto que no hay desaparicin de vehculos en Dx estahiptesis implica que hay un incremento del nmero de vehculosentre la estacin 1 y la 2. Sea DN = (N2 - N1), negativo. A partir deestas definiciones tenemos:

    N t q

    N t q

    N t qN N

    tN q t

    1 1

    2 2

    2 1

    /

    /

    /

    DD

    D D DD

    D D D

    ==

    = =-

    fi =(1.16)

  • 47La simulacin de sistemas

    Entonces el incremento del nmero de vehculos entre lasestaciones durante Dt ser de (-Dq) Dt. Si Dx es lo suficientementecorto como para que la densidad (concentracin) k en l seauniforme entonces el incremento de densidad Dk entre las estaciones1 y 2 durante el perodo Dt es

    ( )D

    DDD

    kN N

    xN

    x=

    - -=

    -2 1 (1.17)

    Esto significa que el incremento del nmero de vehculos es-DN = DkDx, y cmo el nmero de vehculos se conserva, entonces-(Dq Dt) = DkDx, de donde:

    DD

    DD

    qx

    kt

    + = 0 (1.18)

    Si ahora consideramos el medio continuo y permitimos que lospequeos incrementos se hagan infinitesimales, en el lmite:

    lx

    kt

    + = 0 (1.19)La ecuacin (1.19) expresa la ley de conservacin de una

    corriente de trfico y se conoce con el nombre de ecuacin deconservacin o de continuidad, es una ecuacin similar a lacorrespondiente para el flujo de un fluido. Si dentro de la seccin decarretera existen fuentes o sumideros, como por ejemplo rampas deentrada o salida, entonces la ecuacin de conservacin adopta laforma general:

    ( )

    lx

    kt

    g x t+ = , (1.20)

    donde g(x,t) es la tasa de generacin (o disipacin) expresada envehculos por unidad de tiempo y unidad de longitud.

    Los primeros que propusieron la resolucin de la ecuacin deconservacin y su aplicacin al trfico fueron Lighthill y Whitham [16]Michalopoulos et al. [8,17,18] han desarrollado una de las

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS48

    implantaciones ms recientes para el anlisis por simulacin de losflujos de trfico en autopistas, y sus aplicaciones al control de trfico,que ha dado lugar al software KRONOS [19] para simulacin de trfico.

    La ecuacin (1.20) es una ecuacin de estado que puede utilizarsepara determinar analtica o numricamente el flujo en cualquier seccinde la autopista. El atractivo de esta ecuacin reside en que relaciona dosvariables fundamentales dependientes, la densidad y el flujo, con dosindependientes, el tiempo t y el espacio x. La solucin de la ecuacin(1.20) es imposible sin una ecuacin, o hiptesis adicional. La primeraalternativa suele conducir a los denominados modelos de orden superiora travs de la consideracin de la denominada ecuacin de momento. Lasegunda opcin, la que se adopta habitualmente en los modelos continuossimples, establece que el flujo es una funcin de la densidad, es decirq = f(k). Esta hiptesis, o su equivalente u = f(k), es muy razonable, comohemos discutido un poco ms arriba, pero slo se verifica en el equilibrio.Esta hiptesis, combinada con la ecuacin fundamental q = ku, permitereescribir la ecuacin de conservacin de la forma:

    ( )f k k dfdk

    kx

    kt

    +

    + =dd

    dd

    0 (1.21)

    Debe observarse que f(k) puede ser una funcin cualquiera yno es necesario formular hiptesis adicionales para mantener lageneralidad de los resultados. Habitualmente se suele utilizar unarelacin lineal, como la propuesta por Greenshields:

    u ukkf j

    = -

    1 (1.22)

    donde uf es la velocidad en condiciones de flujo libre, y kj es ladensidad de congestin, aunque parece dar mejores resultadosuna relacin ms general como:

    u ukkf j

    = -

    1

    a b

    (1.23)

  • 49

    donde a y b son parmetros que se pueden calibrar.

    La ecuacin (1.21) es una ecuacin diferencial en derivadasparciales de primer orden, casi-lineal, que se puede resolver por elmtodo de las caractersticas. Los detalles de la solucin puedenencontrarse en la referencia citada de Lighthill y Whitham [16]. Lasolucin de la ecuacin sugiere que:

    1. La densidad k es una constante a lo largo de una familia decurvas denominadas caractersticas u ondas; una ondarepresenta la propagacin de un cambio de flujo y densidada lo largo de la autopista.

    2. La caractersticas son lneas rectas que parten de lasfronteras del dominio espacio-temporal.

    3. La pendiente de las caractersticas es ( )[ ]dxdt

    f k k f kdqdk

    = + =( ) ,

    lo que implica que las caractersticas tienen una pendienteigual a la de la tangente a la curva flujo-densidad en el puntoque representa las condiciones de flujo en la frontera dedonde parte la caracterstica.

    4. La densidad en cualquier punto (x, t) del dominio espaciotiempo puede obtenerse dibujando la caracterstica que pasapor dicho punto.

    5. Las caractersticas transportan el valor de la densidad (y elflujo) de la frontera de la que proceden.

    6. Cuando dos caractersticas se cortan entonces la densidad enel punto de interseccin debera tener dos valores, lo que noes factible fsicamente; esta discrepancia se puede explicarpor la generacin de ondas de choque. En otras palabras,cuando dos caractersticas intersectan se genera una onda de

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS50

    choque y se terminan las caractersticas. Una onda de choquerepresenta una discontinuidad matemtica (cambio abrupto)en k, q u.

    7. La velocidad de la onda de choque es u q qk kw

    d u

    d u

    =--

    , donde kd,

    qd representan las condiciones del flujo aguas abajo, y ku, quaguas arriba. En la curva flujo concentracin la velocidad dela onda de choque est representada por la pendiente de larecta que conecta ambos puntos, aguas arriba y aguas abajo.

    Hay que resaltar que cuando uw es positiva la onda de choque

    se desplaza aguas abajo con respecto a la autopista, mientras quecuando es negativa lo hace aguas arriba. El mero hecho de que existauna diferencia en las condiciones de flujo aguas arriba y aguas abajono implica que se genere una onda de choque a menos que suscaractersticas intersecten. Generalmente esto slo ocurre cuandola densidad aguas abajo es mayor que aguas arriba. Cuando ladensidad aguas abajo es menor que aguas arriba tenemos unfenmeno de difusin de flujo similar al que se observa en el procesode descarga de una cola. Cuando la densidad aguas abajo es mayorque aguas arriba, entonces se generan ondas de choque y en generalaparecen colas aunque vayan desplazndose aguas abajo.

    La aplicacin de la teora del modelo continuo simple asituaciones ms complejas, como cuando hay interrupciones delflujo (confluencias de flujos por carriles de acceso, derivaciones deflujo por rampas de salida, reducciones de capacidad por prdida decarriles, etc.) requiere la resolucin numrica de la ecuacin deconservacin [8], base del simulador KRONOS [19].

    Los procedimientos numricos para calcular k, u y q parten de ladiscretizacin de la autopista que se considera, en pequeos incrementosDx (del orden de entre 10 y 50 metros) y la actualizacin de los valoresde dichas variables de trfico a intervalos de tiempo consecutivos Dt

  • 51

    (del orden de un segundo ms o menos). Obviamente la discretizacinse realiza nicamente desde el punto de vista computacional. La densidaden cualquier segmento j, excepto en los segmentos frontera, en elintervalo de tiempo n+1 se calcula a partir de la densidad en lossegmentos inmediatamente adyacentes, aguas arriba y aguas abajo, j-1 y j+1 respectivamente, en el intervalo n, de acuerdo con la expresin:

    ( ) ( ) ( )k k k tx

    q qt

    g gjn

    jn

    jn

    jn

    jn

    jn

    jn+

    + - + - + -= + - - - +1

    1 1 1 1 1 112 2 2

    DD

    D (1.24)

    donde el subndice identifica el segmento y el superndice el intervalode tiempo, g representa la tasa de generacin o disipacin en elsegmento en el intervalo de tiempo considerado, si no hay fuentesni sumideros en el segmento, entonces g=0.

    Una vez que se ha determinado la densidad la velocidad puedecalcularse a partir de la relacin velocidad densidad en el equilibriou

    e(k): ( )u u kjn e jn+ +=1 1 en el caso de la resolucin numrica pueden

    utilizarse relaciones empricas que admitan discontinuidades.Finalmente, el flujo en el intervalo de tiempo n se obtiene a partir de larelacin fundamental: q k ujn jn jn+ + +=1 1 1 .

    Las ecuaciones (1.24) discretizacin de la ecuacin (1.21),convierten la ecuacin diferencial en derivadas parciales en unecuacin en diferencias finitas a la que se pueden aplicar diversosprocedimientos numricos [17] incluyendo posibilidades deparalelizacin del clculo [20] .

    1.3. Simulacin de sistemas continuos y simulacin de sistemasdiscretos

    En general los modelos matemticos de tipo dinmico representansistemas continuos, es decir sistemas en los que las actividades

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS52

    predominantes del sistema causan pequeos cambios en los atributosde sus entidades, cuando las relaciones entre ellas describen las tasaso ratios de cambio de los atributos, por lo que, en general, tales modelosestn definidos formalmente por ecuaciones diferenciales.

    En muchos casos a partir del modelo matemtico del sistemaes posible obtener informacin sobre el mismo por medios analticos,como en el caso del sistema de amortiguacin de un automvil,que acabamos de presentar como ejemplo de modelo dinmico.Cuando esto no es posible se recurre a procedimientos numricospara resolver las ecuaciones del modelo, especialmente en el casode los modelos dinmicos representados por ecuaciones o sistemasde ecuaciones diferenciales, como en los ejemplos de la dinmicade poblaciones y de trfico. Con el tiempo se ha ido desarrollandouna amplia variedad de mtodos numricos de clculo para resolverlas ecuaciones de los modelos, una tcnica numrica particular esla que denominamos Simulacin de Sistemas, que como veremosconsiste en un seguimiento a lo largo del tiempo de los cambiosque tienen lugar en el modelo dinmico del sistema. En losmodelos dinmicos, bien por la naturaleza del sistema modelizado,bien por las caractersticas del proceso numrico utilizado, laintroduccin de la aleatoriedad nos llevar a hablar de SimulacinEstocstica, que es la que va a ser objeto de estudio en estamonografa.

    La manera de efectuar el seguimiento temporal de los cambiosen el modelo, que supondremos en correspondencia con los cambiosen el sistema representado por el modelo, nos lleva a la aparicin dedos grandes categoras dentro de la Simulacin de Sistemas segnque los cambios sean continuos o discretos. En el primer caso sesupone que la naturaleza del sistema permite cambios de estadocontinuos, determinados por cambios continuos en los valores de lasvariables que representan el estado del sistema, mientras que en elsegundo los cambios solo pueden tener lugar en instantes discretosen el tiempo.

  • 53

    Para los sistemas con cambios continuos, dado que nuestroprincipal inters a la hora de simular su comportamiento serreproducirlos, los sistemas de ecuaciones diferenciales sern la formamas adecuada de representarlos. Denominaremos SimulacinContinua a la simulacin basada en este tipo de modelos. Lossimuladores analgicos han sido ampliamente utilizados en este tipode simulacin, aunque el desarrollo de las tcnicas numricas para laresolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales, el avancetecnolgico en los ordenadores digitales, y la evolucin de los lenguajesde programacin les han hecho perder protagonismo. SIMULINK,software para la simulacin de sistemas dinmicos integrado en elentorno de computacin numrica MATLAB [21] es un buen ejemplode esta tendencia.

    Para los sistemas discretos, el seguimiento de los cambios deestado requiere la identificacin de qu es lo que causa el cambio ycuando lo causa, lo que denominaremos un suceso, las ecuacionesdel modelo se convierten entonces en las ecuaciones y relacioneslgicas que determinan las condiciones en que tiene lugar la ocurrenciade un suceso. El modelo de red de colas del taller de manufactura, enel que los cambios de estado son producidos por sucesos discretoscomo las llegadas de las piezas o los finales de las operaciones,corresponde a esta clase de sistemas. Este tipo de simulacin, conocidacon el nombre de Simulacin Discreta, consiste en el seguimiento delos cambios de estado del sistema que tienen lugar como consecuenciade la ocurrencia de una secuencia de sucesos.

    La simulacin de sistemas estticos y dinmicos, especialmentelos continuos, y los lenguajes de simulacin para tales simulaciones,como por ejemplo el DYNAMO, han sido tratados con detalle en otrasmonografas de esta coleccin, vanse, por ejemplo, las nmeros 2(A. Sarabia, La Teora General de Sistemas), 3 (J. Aracil, Dinmica deSistemas), y 4 (D. R. Drew, Dinmica de Sistemas Aplicada), en lasque aparecen numerosos y bien ilustrados ejemplos de modelosdeterministas, y de modelos dinmicos de tipo continuo en los que se

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS54

    ha utilizado el DYNAMO (la monografa de Aracil es un buen ejemplode ello). Con objeto de proporcionar una visin complementaria vamosa centrar nuestra monografa en el tema de la Simulacin de SistemasDiscretos.

    1.4. La Simulacin como proceso experimental: experimentos yordenadores

    La prctica de la simulacin es una tcnica que no realiza ningnintento especifico para aislar las relaciones entre variables particulares,antes bien adopta un punto de vista global desde el que se intentaobservar como cambian conjuntamente todas las variables del modelocon el tiempo. En todo caso, las relaciones entre las variables debenobtenerse a partir de tales observaciones. Esta concepcin caracterizala simulacin como una tcnica experimental de resolucin de problemas,lo que comporta la necesidad de repetir mltiples ejecuciones de lasimulacin para poder entender las relaciones implicadas por el sistema,en consecuencia el uso de la simulacin en un estudio debe planificarsecomo una serie de experimentos cuyo diseo debe seguir las normasdel diseo de experimentos para que los resultados obtenidos puedanconducir a interpretaciones significativas de las relaciones de inters.

    La simulacin con computador es por lo tanto una tcnica querealiza experimentos en un computador con un modelo de un sistemadado. El modelo es el vehculo utilizado para la experimentacin ensustitucin del sistema real. Los experimentos pueden llegar a tenerun alto grado de sofisticacin que requiera la utilizacin de tcnicasestadsticas de diseo de experimentos. En la mayor parte de los casoslos experimentos de simulacin son la manera de obtener repuestas apreguntas del tipo "qu pasara s?", preguntas cuyo objetivo sueleser evaluar el impacto de una posible alternativa que sirva de soportea un proceso de toma de decisiones sobre un sistema, proceso quepuede representarse esquemticamente mediante el diagrama de laFigura 8 [22].

  • 55

    Volvemos a encontrar aqu, en la utilizacin de la simulacin, lascaractersticas de lo que hemos denominado ingeniera de sistemas, esdecir una visin globalizadora que utiliza un modelo para combinandoelementos de anlisis y diseo entender, por medio de experimentos,cmo un sistema existente funciona, o cmo puede funcionar un sistemaplaneado, y prever cmo las modificaciones del sistema pueden cambiarsu comportamiento.

    La simulacin, y los experimentos de simulacin, se conviertenas en una herramienta de anlisis de sistemas, para entender cmoopera un sistema existente, o cmo puede operar uno propuesto. Lasituacin ideal, en la cual el investigador realizara los experimentossobre el sistema real es sustituida por una en la que el investigadorconstruye un modelo del sistema y experimenta sobre l mediante lasimulacin, utilizando un ordenador, para investigar el comportamientodel modelo e interpretar los resultados en trminos del comportamientodel sistema objeto del estudio.

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS56

    La simulacin, y el procedimiento experimental asociado, seconvierten tambin en una herramienta de diseo de sistemas, cuyoobjetivo es la produccin de un sistema que satisfaga ciertasespecificaciones. El diseador puede seleccionar o planear como debenser las componentes del sistema y concebir cual debe ser lacombinacin de componentes y relaciones entre ellas que determinanel sistema propuesto. El diseo se traduce en un modelo cuyocomportamiento permite inducir el del sistema previsto. El diseo seacepta cuando las previsiones se ajustan adecuadamente a loscomportamientos deseados, en caso contrario se introducen lasmodificaciones pertinentes en el modelo y se repite el proceso.

    Otra posibilidad es la que se da en estudios econmicos,polticos, mdicos, etc. en los que se conoce el comportamiento delsistema pero no los procesos que producen tal comportamiento. Eneste caso se formulan hiptesis sobre las entidades y actividades quepueden explicar la conducta. El estudio de simulacin por medio delmodelo correspondiente permite comparar las respuestas de un modelobasado en tales hiptesis con el comportamiento conocido, de maneraque una concordancia adecuada lleva a suponer que la estructura delmodelo se corresponde con la del sistema real.

    La aplicacin de la simulacin a diferentes tipos de sistemascombinada con las diferentes clases de estudio que se pueden realizarconduce a una gran cantidad de variantes de la manera en que sepuede realizar un estudio de simulacin. Sin embargo hay determinadospasos bsicos del proceso que pueden identificarse como losconstituyentes de lo que denominaremos la metodologa de un estudiode simulacin, y son los siguientes:

    1. Definicin del problema y planificacin del estudio.2. Recogida de datos.3. Formulacin del modelo matemtico.4. Construccin y verificacin del programa para computador

    del modelo.

  • 57La simulacin de sistemas

    5. Ejecuciones de prueba del modelo.6. Validacin del modelo.7. Diseo de los experimentos de simulacin.8. Ejecucin de los experimentos.9. Anlisis de los resultados.

    El proceso no es, en general, secuencial, sino iterativo, en elque algunos de los pasos pueden tener que repetirse en funcin delos resultados intermedios tal como muestra la Figura 9.

    Ningn estudio de simulacin puede llevarse a cabo sin establecerclaramente una definicin precisa del problema que se pretende resolvery los objetivos del estudio. Los diseos alternativos del sistema que sehan de estudiar han de quedar claramente especificados, as como loscriterios para evaluar dichos diseos. Criterios que servirn de base alproceso de toma de decisiones para elegir uno de los diseos. Para laformulacin del modelo debe establecerse su estructura definiendocuales son los aspectos del funcionamiento del sistema que sonsignificativos para la resolucin del problema que tenemos entre manos,y que datos es necesario recoger para proporcionar al modelo lainformacin adecuada.

    La construccin del modelo de simulacin es en muchos casosms un arte que una ciencia, que combina aspectos matemticos ylgicos. En general la experiencia recomienda empezar con modelosmoderadamente detallados que paulatinamente se van haciendo mssofisticados. El modelo nicamente debe contener el nivel de detallerequerido por los objetivos del estudio. Dado un modelo matemtico laconstruccin del programa para computador es el requisito imprescindiblepara poder manipular numricamente el modelo para obtener lassoluciones que respondan a las preguntas que el analista se formulasobre el sistema.

    La validacin del modelo es uno de los pasos cruciales del proceso,suele ser uno de los ms difciles, pero es un requisito indispensable

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS58

  • 59

    para establecer si el modelo representa o no adecuadamente el sistemaobjeto del estudio, de manera que se puedan garantizar las induccionesy extrapolaciones sobre el comportamiento del sistema a partir de loobservado sobre el modelo.

    Disear los experimentos comporta, como hemos comentadoanteriormente, aplicar rigurosamente las tcnicas observacionales de laestadstica, propias del mtodo cientfico, que permitan garantizar lasignificacin de las respuestas producidas por la ejecucin del programaque implanta el modelo en el computador.

    1.5. Modelos de simulacin frente a soluciones analticas

    Aparentemente todos los modelos que hemos presentado hastaahora han podido ser resueltos exactamente, como en el caso de laecuacin diferencial que modeliza el sistema de amortiguacin de unautomvil o, en el peor de los casos, mediante mtodos numricos comoen las ecuaciones de Lotka-Volterra del modelo presa-depredador parala dinmica de poblaciones, o por mtodos numricos aproximados,como en el caso de los modelos de trfico.

    Estos procedimientos constituyen el primer atisbo de lo que hemosdenominado procedimientos de simulacin como alternativa a losmtodos analticos. La pregunta es en qu van a consistir y cuando hayque aplicar lo que propiamente vamos a denominar simulacin en elcaso de los sistemas discretos.

    Regresemos a nuestro modelo de taller de manufactura, el ltimocomentario apuntaba a que la modelizacin analtica como sistema deredes de colas poda presentar algunas dificultades. Para hacernos cargode que tipo de dificultades puede tratarse, consideremos el caso de unade las componentes, uno de los grupos de mquinas, lo que hemos llamadomodelo de colas M/M/s, y simplifiqumoslo al caso M/M/1, para el quehemos visto que la solucin analtica de equilibrio es bastante simple.

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS60

    Sin embargo bastara que para este caso, relativamente sencillo,nos preguntsemos por el comportamiento durante el perodo transitoriopara que la situacin, an siendo tratable analticamente, se compliquebastante. Pensemos, simplemente, que las preguntas que nos formu-lamos relativas al estado estacionario o de equilibrio, son aquellas quesuponen el funcionamiento del sistema a largo plazo, mientras que enotras ocasiones lo que nos interesa analizar es el proceso de arranquedel sistema, es decir lo que se denomina el estado transitorio antes deentrar en la supuesta condicin de equilibrio a largo plazo.

    Para responder a tal pregunta sobre el sistema tendramos queencontrar la solucin al sistema siguiente de ecuaciones diferencialesen diferencias (no olvidemos que se trata de un sistema dinmico perocuyos cambios de estado son discretos):

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    dP t

    dtP t P t P t k

    dP t

    dtP t P t k

    kk k k= - + + +

    = - + =

    - +l m l m

    l m

    1 1

    00 1

    1

    0

    ,

    ,(1.25)

    donde Pk(t) es la probabilidad de que el sistema se encuentre en elestado k en el instante t. Para obtener la distribucin de probabilidadde estados funcin del tiempo, que vendra dada por Kleinrock [11].

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P t e at at atkt k

    kk i

    k ik j

    j kj= + + -

    - + --

    - -+ +

    -

    = + +

    l m r r r r r1 2 1 1 2 1 21 2

    1/ / /I I I

    (1.26)donde a=2mr1/2, y ( ) ( )

    ( )x

    x

    k m mkk

    k m

    m

    =+

    -+

    =

    2

    0

    21

    /

    ! !, ,I (1.27)

    es la funcin de Bessel modificada de primera clase de orden k.

    Complicaciones analticas similares, o de orden superior, aparecencuando las hiptesis sobre las distribuciones de probabilidad de las llegadaso las duraciones de los servicios dejan de ser poissonianas o exponencialespara ser simplemente Normales o de Erlang, como corresponde a

  • 61

    bastantes situaciones reales. En este caso se puede comprobar, Kleinrock[11] que si A(t) y B(x) son las distribuciones de probabilidad de las llegadasal sistema de colas y duracin de los servicios respectivamente, y

    ( ) ( ) ( )C s A s B s* * *= - (1.28)

    es la transformada de Laplace de la distribucin de probabilidad de lavariable aleatoria

    u x tn n n= - + 1 (1.29)

    (tiempo de descarga del sistema entre el que le exige la duracin delservicio de n-simo cliente, x

    n, y la llegada del n+1-simo, en el instante

    tn+1), entonces la distribucin de probabilidad del tiempo de espera en

    la cola, en el estado estacionario, viene dada por:

    ( ) ( ) ( )W y W y u dC u yy= - - , 0 (1.30)

    que es una ecuacin integral de Lindley. Recordemos que la obtencinde esta distribucin es necesaria para calcular el tiempo medio deespera en la cola, que como hemos visto es uno de los parmetrosclave a la hora de estudiar el rendimiento del sistema.

    Estas dificultades inherentes a las soluciones analticaspueden ser solventadas, como veremos, con relativa facilidad, pormedio de la simulacin, para obtener soluciones numricas apro-ximadas.

    A pesar de su utilidad la simulacin no puede considerarse comouna panacea capaz de resolver todo tipo de situaciones, an contandocon la ayuda de los lenguajes especializados para la simulacin, o delos avances que han representado los entornos software parasimulacin, Henrikssen [23] el desarrollo de los generadores desimuladores, Mathewson [24] o de los simuladores visuales,SIMFACTORY [25], WITNESS [26], etc., la realizacin de un estudio

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS62

    de simulacin puede comportar un esfuerzo y un consumo de recursosno despreciable en cualquiera de las fases: definicin del problema,recogida de informacin, construccin del modelo y programacin delmismo, realizacin de los experimentos de simulacin en computador.Especialmente en este ltimo caso sistemas complejos pueden conducira programas largos y complejos que requieran cantidades importantesde recursos computacionales. Estas han sido algunas de las razonespor las que en ciertos dominios de aplicacin la simulacin ha sidoconsiderada como un ltimo recurso al que acudir cuando todo lodems falla.

    Sin embargo la simulacin, por sus caractersticas, y por losdesarrollos computacionales que se han conseguido en los ltimosaos, sigue presentando una serie de ventajas que no solo la conviertenen el procedimiento mas adecuado en muchos casos, sino que hacenque sea la nica alternativa tecnolgica en muchos otros.

    Esto resulta especialmente obvio en aquellos casos en los quelas caractersticas del sistema que se pretende estudiar hacen inviable,por razones fsicas o de coste, la experimentacin directa sobre elsistema. El mundo de la produccin industrial, del trfico, la aeronutica,la industria del automvil, etc. son claros ejemplos de esta situacin,en la que, si bien es cierto que en algunos casos se puede recurrir amodelos analticos, tambin lo es que tales modelos no siempre soncapaces de recoger todos los aspectos de inters del sistema, queconduciran a modelos inviables, o para los que no se dispone deherramientas adecuadas, obligando a introducir una serie de hiptesissimplificadoras que pueden resultar inadecuadas en funcin de losobjetivos del estudio. El ejemplo relativamente sencillo, de los modelosde colas que estamos discutiendo, puede ilustrar esta afirmacin. Losmodelos de colas son analticamente tratables bajo hiptesis demodelizacin relativamente simples: llegadas segn distribuciones dePoisson, tiempos de servicio exponenciales, disciplinas FIFO, etc.. Anen este caso las soluciones para los perodos transitorios pueden sercomplicadas de obtener analticamente, en contraste con la simplicidad

  • 63

    de los procedimientos para obtener las soluciones estacionarias, sinembargo, basta introducir hiptesis adicionales aparentementesencillas, que aproximan el modelo a otras situaciones reales, paraentrar rpidamente en el terreno de las dificultades analticas crecientes,los modelos con distribuciones de probabilidad de llegadas y serviciosde tipo general, inclusin de impaciencias o polticas basadas enprioridades, etc., son un buen ejemplo de ello.

    Incluso en aquellos casos en los que es posible laexperimentacin directa la simulacin puede ofrecer ventajas talescomo un coste inferior, tiempo, repeticiones y seguridad. An siendoviables los experimentos directos con el sistema fsico pueden confrecuencia tener un coste muy superior al de la simulacin a pesar delos esfuerzos para construir el modelo y el tiempo y recursoscomputacionales requeridos para la ejecucin de los experimentos.

    Aunque el desarrollo de un modelo adecuado y suprogramacin para ser ejecutado en un ordenador puede requeriruna cantidad de tiempo significativa, una vez construido y depuradoel modelo de simulacin representa una atractiva posibilidad paratrabajar con las ms variadas escalas de tiempo, minutos, horas,semanas, meses, aos, etc., en unos pocos segundos de tiempo decomputador, lo que permite comparar colecciones variadas dealternativas, a travs de experimentos de simulacin que siemprepueden repetirse en las ms diversas condiciones, lo que no siemprees posible en los experimentos con el sistema real, basta pensar ensistemas de manufactura, gestin de empresas, o militares (es difcilpensar en una situacin en la que el enemigo permite repetir unabatalla).

    Finalmente, es frecuente que los experimentos persigan el objetivode determinar la respuesta del sistema en condiciones extremas, lo quepuede resultar peligroso o incluso ilegal en la vida real. Las aplicacionesde la simulacin en aeronutica, o en la gestin de aeropuertosconstituyen buenos ejemplos de lo que queremos significar.

    La simulacin de sistemas

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS64

    El dilema modelos analticos frente a modelos de simulacin deberesolverse en cada caso atenindose al tiempo de sistema, los objetivosdel estudio, las caractersticas del modelo, los costes, etc. La cuestinclave es nuestra habilidad y capacidad para construir el modelo del sistema,si este es analtico y las hiptesis de modelizacin no obligan asimplificaciones que invaliden la capacidad del modelo para responder alas cuestiones de inters que nos planteamos sobre el sistema, entonceslas soluciones analticas del modelo matemtico pueden ser suficientes.

    Si nuestro conocimiento del sistema no nos permite formularhiptesis que conduzcan a una completa formalizacin del modelo entrminos analticos, o el requisito de no realizar hiptesis simplificadorasconduce a modelos matemticos de difcil, o imposible, tratamientomatemtico, entonces posiblemente la simulacin ser la alternativavlida, si no es la nica posible.

    El analista del sistema no debe olvidar que un mismo sistemapuede representarse formalmente mediante diversos modelos en fun-cin de los problemas que el analista se plantea sobre el sistema. Deacuerdo con Minsky, un objeto matemtico M es un modelo vlido de unsistema S para un observador O, si M es capaz de proporcionar res-puestas vlidas a las preguntas que O formula sobre S (Figura 10).

    Law y Kelton [27] formalizan el proceso de decisin modelomatemtico-modelo de simulacin, experimentacin sobre el sistemareal o sobre un modelo del sistema, como formas de estudiar unsistema, por medio del diagrama de la Figura 11.

    El desarrollo experimentado por el software de simulacin enestos ltimos aos ha hecho ms fcil el uso de la simulacin, lo queha incrementado notablemente su uso frente al de otros mtodos paraestudiar sistemas. De lo expuesto hasta aqu se desprende claramenteque si bien la simulacin tiene muchas ventajas, no deja de presentaralgunos problemas, especialmente cuando se usa indebidamente, quecabe tener en cuenta para paliarlos o, si es posible, evitarlos, pues de

  • 65La simulacin de sistemas

    lo contrario pueden invalidar los resultados de un proyecto desimulacin. Law y Kelton [27] resumen en su texto la situacin de lamanera siguiente.

    La simulacin es recomendable, o incluso puede ser la nicaalternativa posible, para investigar sistemas complejos en los que estnpresentes elementos estocsticos que difcilmente pueden ser tratadoscon la precisin adecuada en un modelo matemtico. La simulacinpermite con relativa facilidad estimar el funcionamiento del sistemabajo condiciones de operacin alternativas, o es la herramienta paracomparar diseos alternativos de un sistema que tengan que satisfacerrequerimientos especficos. La simulacin permite mantener un mayorcontrol sobre las condiciones experimentales que el que se puedemantener en la experimentacin con el sistema fsico. Por otra parte lasimulacin permite estudiar el comportamiento del sistema en perodosde tiempo de cualquier longitud, comprimidos a la duracin de laejecucin del simulador en un computador.

  • SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS66

    Sin