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Sistemas de Colas con un Servidor

Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 26 Abril 2005

SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS

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Tabla de Contenido

Pág.

1. Tarea 2 3

2. Notación Kendall 9

3. Colas con un servidor22

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TAREA 2

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Tarea 2• Suponga que usted es el gerente de operaciones del

Banco de Crédito de Lima. El Banco de Crédito de Puno tiene un terminal remoto conectado al computador central de cuentas nacionales. Las últimas fluctuaciones de la bolsa en el mercado internacional (y por ende en el mercado interno) han causado un incremento considerable en el volumen de transacciones de cuentas nacionales en Puno. Esto ha tenido como consecuencia que se considere si se debe o no adicionar más terminales remotos, en la agencia de Puno debido a:

• Los clientes en Puno se quejan del gran tiempo de espera (el tiempo que un cliente gasta en el sistema) por servicio

• El gerente del Banco en Puno tiene la opinión que los cajeros tienen que esperar demasiado en la línea para utilizar el terminal.

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Tarea 2• El tiempo esperado (tiempo promedio) entre solicitudes

(tiempo esperado entre llegadas) de clientes para modificaciones en sus cuentas nacionales se estima en 50 segundos. El tiempo esperado (promedio) requerido (teclear, calcular e imprimir), para procesar a cada uno de los clientes se estima en 60 segundos. Puesto que un terminal se alquila a $4 por hora y el costo del tiempo improductivo de un cajero es de $7 por hora, ¿Cuál de las tres alternativas siguientes podrá elegir? – Alternativa 1: Adicionar 1 terminal – Alternativa 2: Adicionar 2 terminales – Alternativa 3: Adicionar 3 terminales

• Utilice las medidas de uso del sistema para tomar está decisión.• Realice los supuestos necesarios y presente sus conclusiones.

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Tarea 2λ = 1.2 cli/mit

μ = 1 cli/mit

λ = 1.2 cli/mitμ = 1 cli/mit

μ = 1 cli/mit

λ = 0.6 cli/mit

λ = 0.6 cli/mit

μ = 1 cli/mit

μ = 1 cli/mit

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Tarea 2

λ = 1.2 cli/mitμ = 1 cli/mit

μ = 1 cli/mit

λ = 0.6 cli/mit μ = 1 cli/mit

μ = 1 cli/mit

λ = 0.6 cli/mit

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Tarea 2

CajerosTiempo Servicio

Tiempo Inactivo

Tiempo Total

Costo Servicio

Costo Inactivo

Total costo

1 58.6 3.8 62.4 234.4 26.3 261

2 57.1 39.4 96.4 228.3 275.5 504

2 59.7 44.5 104.2 238.8 311.5 550

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NOTACION KENDALL

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Líneas de Espera

• Para verificar si una situación determinada se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera.

– ¿Existe uno o varios puntos de servicio en secuencia?– ¿Existe uno o varios servidores que atienden a una

unidad?– ¿Las unidades que llegan, siguen algún patrón?– ¿El tiempo de servicio sigue algún patrón?

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Notación Kendall

A / B / C• A = distribución de llegada• B = distribución del servicio• C = Número de canales de servicio

M Markov

Distribución =D Determinista

G General

Se asume que existe sólo una línea de entrada

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Distribuciones de Probabilidad

• Markov– Corresponde a distribuciones de probabilidad de

eventos sin memoria, no recuerdan el pasado.

• Determinista.– Ocurren en forma constante y sin cambio.

• General.– Otras distribuciones

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Modelo M/M/1

• Tiempo de llegadas aleatorias (Markoviano), independientes entre si.

• Tiempo de servicio Markoviano, es decir no depende de cuando ocurre sino de la longitud del intervalo

• 1 servidor

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Modelo M/M/1

• Si en un periodo T, existe λ llegadas en promedio, entonces la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

• Si μ es la tasa de servicio promedio, entonces la probabilidad de que el tiempo de servicio sea t, está dado por:

f(t) = μ e -μt

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Variables de estado λ tasa media de llegadas por unidad de tiempo.μ tasa media de servicio (número medio de servicios

completados por unidad de tiempo).ρ factor de utilización de la unidad de servicio.N número de unidades en el sistema.

Pn probabilidad de que cuando una unidad llega al sistema para recibir servicio haya n unidades en el sistema.

L número medio de unidades en el sistema.

Lq número medio de unidades en la cola a la espera de recibir servicio.

W tiempo medio de estancia en el sistema para cada unidad (tiempo de espera + tiempo de servicio).

Wq tiempo medio de espera en la cola (desde que llega hasta que empieza a ser servido).

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Uso del Sistemaλ tasa media de llegadas.

μ tasa media de servicio.

ρ factor de utilización /

número medio de unidades atendidas por momento /

probabilidad de que el sistema esté ocupado

λ ≤ μ ¿qué pasaría si λ > μ?

Pw = ρ = λ / μ Prob. que el sistema esté ocupado.

P(0) = 1 - ρ Prob. que el sistema esté vacío.

P(n) = (1 - ρ)ρn Prob. que el sistema esté ocupado con n unidades

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Uso del Sistema• L = ρ/(1 - ρ) No de unidades en el sistema (promedio)

• Lq = L–ρ = ρ2 /(1- ρ) No de unidades en la cola

• ρ No de unidades atendidas por momento

• W = L / λ Tiempo de una unidad en el sistema (prom)

• Wq= Lq/λ Tiempo de espera antes de ser atendido

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Ejemplo 1• A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el

tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar el análisis de esta línea de espera.

• Datos:• λ = 20 u/hora• μ = 30 u/hora

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Ejemplo 2

• Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tieen que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 10 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas diarias.

• Calcule la probabilidad de que la secretaria tenga más de 5 cartas que mecanografiar.

Ejercicio 2• λ = 20 /8 = 2.5 cartas / hora• μ = (1/20 min)(60 min/1 hora) = 3 cartas / hora• Tasa de uso de la secretaria.

– ρ = λ/ μ = 2.5 /3 = 0.84

• Tiempo antes de mecanografiar una carta:– Wq = λ/(μ*(μ- λ)) = 1.67

• Número promedio de cartas en espera:– Lq = λ2/(μ*(μ- λ)) = 4.17

• Probabilidad de que la secretaria tenga k cartas que mecanografiar

0 0.167 3 0.518 6 0.721 9 0.838 12 0.907 15 0.946

1 0.306 4 0.598 7 0.767 10 0.865 13 0.922 16 0.955

2 0.421 5 0.665 8 0.806 11 0.888 14 0.935 17 0.962

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Ejercicio 3

• Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, el tiempo promedio para manejar cada llamada es de 20 segundos. Actualmente sólo hay un operador del conmutador.

• Calcular:– La probabilidad de que el operador esté ocupado.– El número de llamadas que esperan ser contestadas.– El tiempo promedio que espera una llamada antes de

ser atendida.

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COLAS CON UN SERVIDOR

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Colas con un procesador

• Resolver ejercicio adjunto

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PREGUNTAS