CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS Osear Reinoso UniversidadMiguelHemndez Jos Mara Sebastin yZiga Rafael Aracil Santoja UniversidadPolitcnicadeMadrid Fernando Torres Medina Universidadde Alicante MADRID BUENOS AIRESCARACAS GUATEMALA LISBOA MXICO NUEVAYORK PANAM SANJUAN SANTAFDEBOGOT SANTIAGO. SAOPAULO AUCKLANDHAMBURGO LONDRESMILN MONTREAL NUEVA DELHI PARs SANFRANCISCOSIDNEY SINGAPUR SToLOUIS TOKIO TORONTO , PROLOGO El control automtico de sistemas es actualmente una tecnologa imprescindible en una amplia varie-dad de procesos cotidianos, con especialimportancia en elmundo industrial.Siinicialmente dicho control se realizaba mediante los ya clsicos bucles de control analgicos, el espectacular desarrollo deloscomputadoresydemssistemasdigitalesbasadosenficroprocesadores,acaecidodurante losltimostreintaaos,hapropiciadosumasivautilizacinentareasdecontroLDichoscompu-tadorespennitennosloresolversatisfactoriamentelosproblemasespecficosderegulacin,en algunasocasiones conunalto grado de complejidad,sino que posibilitan ademsuna amplia gama de funciones de supervisin y tratamiento de datos con un reducido coste adicional. Por tales motivos, los sistemas discretos de control fonnan parte fundamental delplan de estudios de numerosas escuelas de ingeniera de primer y segundo ciclo, as como de las facultades de ciencias. Normalmente,seestructuracomounsegundocursodecontrol,enelquesepartedelosconoci-mientos previos aportados por elestudio de la teora de sistemas y seales, as como delcontrol de sistemascontinuos.Estelibroestescritodeacuerdoconelcontenidodedichosegundocursoy recoge una amplia variedad de problemas de complejidad creciente.Se ha procurado que los enun-ciados recojan unextenso abanico de situaciones que incluye tanto modelos tericos como sistemas reales, habiendo sido validada su resolucin mediante unsoftware de simulacin. Desdeelpuntodevista educativo,esnecesariodestacar elprimordialpapelqueocupalaresolu-cin de problemas en la enseanza de materias cientficas y tcnicas.A lo largo de su resolucin, el alumno contrasta no slo el resultado final,sino tambin los conceptos y metodologa empleada. De aqu la importancia de la existencia de un texto con problemas resueltos que pennite, en una primera etapa de]aprendizaje, comprender y afianzar Josconceptos tericos aprendidos para, posteriormen-te,realizar losproblemaspropuestosycontrastarJosresultadosfinales.Ambosaspectoshansido tenidosencuenta a la hora de elaborar este texto por parte de los autores.Existen en la actualidad, enelcampodelcontroldesistemasdiscretos,variostextosdeprestigioenfocadosfundamental-mente aldesarrolloexhaustivoyprecisodetodalafundamentacinterica consusconsiguientes demostraciones.Por ello,se ha considerado interesante introducir solamente en cada uno delos te-masun resumen terico que sin nimo de ser un encuentro exhaustivo dellector conlos contenidos puramente tericos y sus demostraciones, s que supone una gua que permite recordar los aspectos fundamentales para abordar con xito la resolucin de los problemas. Eltextose hadivididoentrece captulos.Lostresprimerosestnfundamentalmenteorientadosa recordar los conceptos matemticos en los que posterionnente se cimentarn los siguientes captulos. Es en el captulo primero el que aborda los conceptos de secuencias y sistemas discretos, permitiendo afianzar conceptos tales como respuesta de unsistema ante una secuencia de entrada, estabilidad de unsistemadiscretoytransformadasdeFourieryLaplacedeunasecuencia.LatransfonnadaZ esdeespecialimportanciaenJossistemasdiscretos,porloqueelsegundocaptulosededicaa el1a,transfonnada Zde secuencias tipo,inversa,clculo, propiedades, etc.Yaen el captulo tresse planteanlosconceptos de muestreoy reconstruccinde seales, planteando problemasentomo al teorema de muestreo y al concepto de bloqueador y sus tipos. v VIPRLOGO A continuacin, los captulos cuatro y cinco se dedican a los sistemas muestreados y la estabilidad de los sistemas discretos.Por primera vez aparece el concepto de realimentacin en el captulo cuarto, queversatambinsobre sistema discretoequivalenteytransfonnadaZmodificada.Ladefinicin ycondicionesdeestabilidaddesistemasdiscretossontratadasenelquintocaptuloatravsdel criterio de Jury. Los siguientes captulos estn dedicados alanlisis.En el seis se repasanlas respuestastemporales antesecuenciasimpulsoyescaln,ascomoelconceptodesistemareducidoequivalente.Esel sptimo captuloe]destinadoaestudiar e]comportamiento esttico de lossistemas realimentados anterealimentacin unitaria y no unitaria,erroresy tipo deunsistema.Elcaptulo ocho abarca el comportamiento dinmico de los sistemas realimentados a travs de la tcnica del lugar de las races. Ya en el captulo noveno, se realiza el anlisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia, haciendo uso del criterio de Nyquist. Los cuatro ltimos captulos estn destinados aldiseo de reguladores.En eldcimo atravs de la discretizacindereguladores por mtodosbasadosenlaaproximacindela evolucin temporalola discretizacindereguladores,considerandoaspectostalescomolasaturacinen el actuadorolacorrectaeleccindelperododemuestreo.Enelsiguientecaptulo,elonceavo,se estudia la fonna de aadir polos y ceros a la funcin de transferencia en bucle abierto para modificar losdebucle cerrado.Para ello,se emplea eneste captulo como herramienta de diseo ellugar de lasraces.Yaenelcaptulodoceseaborda eldiseodereguladoresalgebraicospor elmtodo de asignacindepolosoporsntesisdirectabasadaenelmtododeTruxal.Finalmente,elltimo captulo est destinado al diseo de reguladores de tiempo de mnimo. Los autores deseanmostrar suagradecimiento a todaslaspersonas que de alguna u otra fonna han colaborado enque este librosalga publicado.Sin elapoyo y las observaciones de otrosprofesores pertenecientes ala Universidad MiguelHemndez de Elche,laUniversidadPolitcnica de Madrid yla UniversidaddeAlicanteestelibronotendraelrigory]aamplitudactual.Adems,muchos delosproblemasseleccionadoshansidopuestosencomnconalumnospertenecientesadichas universidades, lo que sin duda ha permitido valorar cules de los problemas propuestos resultan ms clarificadores para afianzar los conceptos del control de sistemas discretos. Confiamosenquelosproblemasseleccionadoseincluidosen estelibroseandeutilidadparalos lectores que se embarcan en el estudio de los sistemas discretos.Asimismo, esperamos que,tras los procesosderevisinllevadosacabo,losinevitableserroresquesiempreaparecensehayanvisto reducidos al mnimo. Los autores ~ Indice general @SECUENCIAS ySISTEMAS DISCRETOS 1. 1.Respuesta de unsistema discreto ante una secuencia de entrada 1.2.Estabilidad de un sistema discreto (1)............. . 1.3.Estabilidad de unsistema discreto (I1)............ . 1.4.Convolucin discreta.Transfonnada de Fourier y de Lap]ace 1.5.Respuesta de unsistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderacin.............................. 1.6.Sistemas discretos:estudh? comparativo de la estabiJdad, ]a respuesta y ]a energa 1.7.Problema propuesto................... 1.8.Problema propuesto........... ".... 1.9.Problema propuesto...................... 1.10.Problema propuesto 1.11.Problema propuesto 1.12.Problema propuesto () TRANSFORMADA Z 2.1.Transfonnada Zde secuencias tipo.............. . 2.2.Transfonnada Zinversa de una secuencia.... . 2.3.Funcin de transferencia de unsistema discreto... . Anlisis de una fundicin............. . Evolucin de la poblacin de ballenas.......... . Explotacin de la madera enunbosque..... ,... . Evaluacin del stock en unalmacn.......... ....... .. 1 5 7 8 9 10 11 15 15 15 16 16 17 19 21 24 25 28 32 35 38 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.1 ]. 2.12. 2.13. Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidad4] Problema propuesto.................. Problema propuesto...... Problema propuesto.... Problema propuesto.......... Problema propuesto......... 2.14.Problema propuesto 2.15.Problema propuesto 2. ] 6.Problema propuesto 48 48 49 49 50 51 51 52 VII VIIINDICE GENERAL 3.MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALES 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. Diversas configuraciones de sistemas........... .. Bloqueador, sistema continuo y muestreador...,..... Teorema del muestreo..................... Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1).. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (ll)..... Existencia de funcin de transferencia Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto 4.SISTEMAS MUESTREADOS 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (1) Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (ll).. Funcin de transferencia en Zmodificada................... Sistema depsito-computador Influencia del captador en la funcin de transferencia de un sistema realimentado Problema propuesto.......... . Problema propuesto.......... . Problema propuesto........ . Problema propuesto.................. Problema propuesto..... 5.ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 5.1.Criterio de Jury (1)............ 5.2.Criterio de Jury en). . . . . . . . . . . . . 5.3.Estabilidad en sistemas muestreados.... 5.4.Estabilidad en funcin del tiempo de clculo 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. Proceso de fabricacin. Problema propuesto Problema propuesto..... Problema propuesto..... Problema propuesto Problema propuesto..... 6.ANLISIS DINMICO DE SISTEMAS 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. Respuesta temporal de sistemas discretos.. Sistema reducido equivalente (1)... . Sistema reducido equivalente (ll).... . Criterio de Jury y respuesta temporal... . Identificacin de sistemas conociendo su respuesta.. Problema propuesto................. . 53 59 60 62 65 69 70 73 74 75 76 77 80 82 84 87 91 93 94 94 94 95 97 99 101 102 105 107 109 110 110 111 111 113 119 121 123 125 129 131 NDICE GENERAL 6.7. 6.8. 6.9. Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto 6.10.Problema propuesto 7.COMPORTAMIENTO ESTTICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 7.1.Error de velocidad............... 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. Sistemas con dinmica en la realimentacin.. Estabilidad y errores en rgimen pennanente.. Sistema de control de unbarco........ . Comportamiento esttico ensistemas con realimentacin constante. Errores y sistemas equivalentes de orden reducido Errores en un sistema multivariable. Problema propuesto.... 7.9.Problema propuesto 7.10.Problema propuesto 8.COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. Comportamiento esttico y dinmico al variar un polo.......... Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema con-tinuo......................................... Comportamiento de unsistema muestreado en funcin de la ganancia y del perodo de muestreo..................................... Comportamiento de unsistema muestreado en funcindel regulador y del perodo de muestreo............................ Control de velocidad de un sistema fsico....... . Problema propuesto........... . Prob1ema propuesto........ Problema propuesto.................... . Problema propuesto 9.CRITERIO DE NYQUIST 9.1.Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discreto .. 9.2.Criterio de Nyquist con un polo en elcamino........ 9.3.Criterio de Nyquist con dos polos en el camino....... 9.4.Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1)........ . 9.5.Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11)... . 9.6.Problema propuesto.....,. . 9.7.Problema propuesto................ 9.8.Problema propuesto......'"...... . 9.9.Problema propuesto........... . 9.10.Problema propuesto......... . IX 132 133 133 134 137 140 141 144 146 149 151 155 158 ]59 159 163 166 169 173 177 179 184 184 186 186 189 191 193 195 199 201 206 207-207 208 210 xNDICE GENERAL @DlSCRETIZACIN DE REGULADORES CONTINUOS 10.1.Discretizacin de unregulador por diversos mtodos............... . 10.2.Comparacin de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizando unregu-lador continuo y su equivalente discretizado............. . 10.3.Comparacin entre un regulador continuo y el equivalente discretizado 10.4.Comparacin mtodos de discretizacin y perodos de muestreo.. 10.5.Regulador I-PD...................... . 10.6.Saturaciones de la accin de control..... 10.7.Problema propuesto.............. . 10.8.Problema propuesto.............. . 10.9.Problema propuesto.................... . DE DISCRETOS MEDIANTE VLUGAR DE LAS RAICES 11.1.Clculo de un regulador discreto para obtener un error de posicin nulo. 11.2.Diseo de unregulador discreto mediante lugar de las races...... 11.3.Diseo de un regulador discreto enunsistema con seales retardadas...... . 11.4.Regulador discreto con captador variable...................... 11.5.Control de unservomecanismo 11.6.Problema propuesto........ . 11.7.Problema propuesto............ . 11.8.Problema propuesto...... 11.9.Problema propuesto.......... . 11.10.Problema propuesto............. (2:, DISEO DE REGULADORES ALGEBRAICOS \/ ,-.r12.1.Diseo por asignacin de polos... 12.2.Diseo por sntesis directa (1).... 12.3.Influencia de una falsa cancelacin.......... 12.4.Diseo por sntesis directa (11).... 12.5.Sntesis directa con seal de salida conocida..... 12.6.Problema propuesto...................... 12.7.Problema propuesto............... 12.8.Problema propuesto............... 12.9.Problema propuesto.............. DE REGULADORES DE TIEMPO MNIMO 13.1.Anulacin del error ante entrada escaln..... . 13.2.Reguladores discretos.......... . 13.3.Anlisis regulador tiempo mnimo........... . 13.4.Regulador discreto con captador variable.. 13.5.Reguladores discretos segn especificaciones .. 13.6.Regulador de tiempo mnimo con dinmica en la realimentacin 213 220 222 226 231 234 238 242 243 244 247 251 254 257 266 269 275 276 276 277 278 281 284 287 289 292 295 297 298 299 300 303 306 309 313 315 319 322 NDICE GENERAL 13.7.Problema propuesto 13.8.Problema propuesto 13.9.Problema propuesto 13.10.Problema propuesto 13.11.Problema propuesto 13.12.Problema propuesto 13.13.Problema propuesto BIBLIOGRAFA XI 324 325 325 326 327 328 329 331 , Indice de figuras (1.1. ) 1.2. \1.3. (I ! : ~ : 1.6. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Sistema discreto................................. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin........ Respuesta impulsional delsistema.......................... Secuencia de ponderacin{9k}del sistema y entrada considerada {Uk}. Secuencia de ponderacin {9k}y entrada delsistema {Uk}........ Sistema discreto........ Mtodo de la divisin larga... Funcionamiento de una fundicin....... Diagrama de bloques de la fundicin.......... Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibrio. Toneladas demadera anteunadisminucindeun10 %enlacantidad talada:(a) toneladas totales; (b) respecto alequilibrio...................... Toneladas de madera ante un incremento de un4 % en elnmero de toneladas:(a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio................. 2 4 9 9 16 17 25 29 30 34 37 38 2.7.Diagrama de bloques stock/ventas...................... ..40 2.8.Evolucin del stock tras la variacin de las ventas.............41 2.9.Diagrama de bloques general........................44 2.10.Diagrama de bloquesP(z)/TN N(z).................44 2.11.Diagrama de bloques P(z) / I(z)...................44 2.12.Evolucin de la poblacin relativa alrededor delpunto de equilibrio considerando nicamente la accin de la industrializacin.....................46 2.13.Evolucin de la poblacin relativa alrededor delpunto de equilibrio considerando nicamente la accin de T N N................ 2.14.Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones .. 2.15.Seal de salida.................. . 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Muestreador.......................... Mdulo de la transfonnada de Fourier de una seal continua..... Mdulo de la transfonnada de Fourier de una secuencia...... . Sistema hbrido...............o. 3.5.Bloqueador............. 3.6.Conjunto muestreador-bloqueador. 47 47 48 53 54 54 55 56 56 XIII XIVNDICE DE FIGURAS 3.7.Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia....57 3.8.Bloqueador de orden cero...............................57 3.9.Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo yen el dominio de la frecuencia IHo(w)l, (T ==71")......................58 3.10.Bloqueador de orden uno....................... 3.11.Opciones deinterconectar en serie los tres bloques......... . 3.12.Seales de los sistemas vlidos: caso1 (a), caso 4(b) Y caso 5 (e). 3.13.Sistema propuesto......................... 3.14.Transformada de Fourier de la seal de entrada................ . 3.15.Transfonnada de Fourier a la salida delmuestreador.............. . 3.16.Transfonnada de Fourier de laseal de entrada UB(W)alsistema continuo G(w). 3.17.Respuesta en frecuencia de G(w) . .................... . 3.18.Mdu]o de ]a respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo...... . 3.19.Salida delsistema ante la entrada propuesta.... . 3.20.Diagrama de bloques considerado............. . 3.21.Seal x(t) en funcindeltiempo.............. . 3.22.Muestreo de la seal x(t) con perodo T= 1,5 segundos. 3.23.Representacin grfica de y(t)...... . 3.24.Muestreo de la seal u( t)....... . 3.25.Diagrama de bloques inicial.......... . 3.26.Sistema propuesto........ . 3.27.Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. Sistema muestreado................. . Estudio de sistemas muestreados con las tcnicas de los sistemas discretos .. Transfonnada Zmodificada.......................... Sistema realimentado......... Diagrama de bloques entrada/salida. Elemento a aadir a la salida..... . 4.7.Diagrama de bloques correspondiente a la ecuacin 4.19. 4.8.Esquema tradicional de undiagrama de bloques realimentado. 4.9.Esquema de realimentacin .................. . 4.10.Control de caudal de undepsito mediante un computador. 4. l l.Diagrama simplificado delsistema propuesto. 4.12.Diagrama de bloques de la parte continua...... 4.13.Esquema de realimentacin .. 4.14.Sistema propuesto........ 4.15.Sistema propuesto ... 4. 16.Sistema propuesto .. 4.17.Sistema propuesto.... 5.1.Diagrama de bloques considerado. 58 61 62 63 63 64 64 64 65 66 66 67 67 68 69 71 74 75 77 78 79 80 81 81 83 84 85 88 90 90 92 94 94 95 95 99 NDICE DE FIGURAS 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. Diagrama de bloques considerado. Diagrama de bloques considerado....................... . Seal de salida w(t) tras el bloqueador y elbloque constante de ganancia 3. Diagrama de bloques considerado............ . Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin. Diagrama de bloques del sistema ............. . Sistema propuesto... . Sistema propuesto... . 5.10.Sistema propuesto................... . 5.11.Diagrama de bloques................... . 6.1.Respuesta impulsional de unsistema de pnmer orden para diferentesvalores de la xv 101 102 104 106 107 108 110 l lO 111 JII posicin del polo (O< a < 1; a> l;a < -1; -1 < a < O) ............116 6.2.Respuesta ante escaln unitario de unsistema estable de primer orden (O< a < 1; -1 O y cuando a 1............................ ~10.13.Lugar de ]as races del sistema diseretizado con aproximacin del operador deriva-da cuando:(a) a< e-l y (b) a> e-l....................... . 221 221 222 223 223 224 225 XVIIINDICE DE FIGURAS l10.14.Lugar delasraces del sistema discreto con aproximacin trapezoidal cuando:(a) "2-a-1(b)2-a-1 2+a> ey2+a< e.......................... .226 227 227 228 229 231 234 235 10.15.Sistema continuo................... 10.16.Lugar de lasraces para elsistema continuo. 10.17.Criterio del argumento..........o 10.18.Respuesta ante escaln unitano con regulador PIDo 10.19.Respuesta ante escaln unitario con regulador discretizado. 10.20.Diagrama de bloques propuesto.... o 10.21.Seal de salida continua con el regulador R(s)..... 10.22.Secuencia de salida con T==0,2 sega.............o236 10.23.Secuencia de salida con T==0,05 sega.......... o 236 10.24.Diagrama debloques con la estructura I-PO..................237 10.25.Secuencia de salida con la estructura I-PD y T==0,2 sega.. o 237 10.26.Secuencia de salida con la estructura I-PD y T==0,05 sega 10.27.Sistema discreto de control................... 237 238 10.28.Secuencia de salida (superior) y secuencia de control (inferior) ante escaln.239 10.29.Secuencia de salida (superior), secuencia de control antes de saturacin(centro)y secuencia de control despus de saturacin (inferior) ante entrada escaln.....240 10.30.Secuencia de salida (superior), secuencia de control(inferior) ante entrada escaln.241 10.31.Secuencias de salida ante entrada escaln......... . 10.32.Diagrama de bloques propuesto......... . 10.33.Diagrama de bloques propuesto.............. . 10.34.Variacin de la seal de salida ante perturbacin.. 10.35.Diagrama de bloques con el computador..... . 11.1.Polo dominante delsistema........ 11.2.Diagrama de bloques entrada/salida... 242 243 244 245 245 I11.3.Lugar de lasraces delsistema con regulador proporcional. 248 251 252 253 253 254 255 255 256 257 258 260 261 262 263 264 266 11.4.Criterio del argumento con el regulador........... . 11.5.Lugar de las races del sistema con regulador po..... . . 11.6.Respuesta ante escaln unitario con elregulador PO diseado. I ,11.7.Diagrama de bloques entrada/salida.................... . J11.8.Lugar de lasraces para elsistema de la Figura11.7.............. I 11.9.Criterio del argumento...................... . 11.10.Seal de salida ante entrada escaln unitario con el regulador diseado... 11.11.Diagrama de bloques entrada/salida............... . 11.12.Lugar de las races para M2(z) . ................. . 11.13.Lugar de las races para M3 (z)........................ 11.14.Respuesta del sistema con R( z)==4,H 3 (s).... ... 11.15.Respuesta del sistema con R(z)==4,H2(s)......... . 11.16.Posicin de polos y ceros en bucle abierto. 11.17.Diagrama de bloques entrada/salida...... NDICE DE FIGURAS 11.18.Diagrama de bloques entrada/salida. 11.19.Diagrama delservomecanismo a controlar.. 11.20.Diagrama de bloques delsistema...... . 11.21.Lugar de las races del sistema........ 11.22.Respuesta ante entrada escaln con elregulador proporcionaL. 11.23.Principio del argumento para el clculo del cero delregulador. 11.24.Secuencia desalida con regulador PO....... 11.25.Sistema a controlar................ 1 ] .26.Respuesta ante escaln con elregulador P D(z). 11.27.Control continuo. 11.28.Control discreto... 11.29.Sistema discreto... 11.30.Sistema discreto... 11.31.Respuesta ante entrada escaln ... 11.32.Diagrama de bloques propuesto..... 11.33.Secuencia de salida ante entrada escaln con el regulador propuesto. 12.1.Sistema discreto en bucle cerrado. 12.2.Sistema discreto......... 12.3.Sistema discreto... 12.4.Sistema discreto .. 12.5.Sistema discreto.... 12.6.Sistema discreto... 12.7.Seal de salida deseada ante escaln unitario. 12.8.Diagrama de bloques delsistema....... . 12.9.Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador proporcionaL...... . 12.10.Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador por asignacin de polos.. 12.11.Sistema en bucle cerrado............................. 12.12.Sistema propuesto... 12.13.Sistema propuesto... 12.14.Secuencia de salida .. XIX 267 269 271 272 273 273 274 275 275 276 276 277 277 278 278 279 281 284 287 289 292 296 296 297 298 299 299 300 300 301 13.1.Sistema discreto en bucle cerrado............303 13.2.Diagrama de bloques de unsistema hbrido.....305 13.3.Diagrama de bloques de unsistema hbrido.....307 13.4.Seal de salida del sistema ante entrada escaln con elregulador calculado.308 13.5.Seal de error ante el regulador calculado enla primera etapa...311 13.6.Seal de error y accin de control ante elregulador calculado..........313 13.7.Sistema discreto con regulador discreto....................313 13.8.Seal de salida ante entrada escaln con elregulador de tiempo mnimo calculado.315 13.9.Diagrama de bloques entrada/salida..........,. ..315 13.10.Lugar de las races delsistema de la Figura13.9...................3] 6 xx 13.11.Sistema propuesto....... . 13.12.Lugar de las races del sistema. 13.13.Criterio del argumento......... . 13.14.Sistema propuesto....... . 13.15.Diagrama de bloques..... . 13.16.Diagrama de bloques en bucle cerrado.... . 13.17.Sistema en bucle cerrado..... . 13.18.Sistema en bucle cerrado.......... . 13.19.Valores para T==1 seg .. . 13.20.Valores para T==0,5 seg ....... . 13.21.Sistema en bucle cerrado. 13.22.Sistema en bucle cerrado. 13.23.Sistema en bucle cerrado. NDICE DE FIGURAS 319 320 321 323 324 325 326 326 327 327 328 328 329 , Indice de Tablas 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. .2.1. :2.2. Respuesta ante entrada impulso.. Respuesta ante entrada escaln.. Secuencia de salida ante escaln Secuencia de salida ante entrada impulso.. Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin) Secuencia de saJida delsistema..... . Transformadas Zde secuencias bsicas.. Propiedades de la transfonnada Z..... ? 2.3.Nivel de hierro en los cinco primeros das tras una reduccin de 10 kg. en elsumi-nistro..................... 2.4.Variacin en la caza de ballenas..... . 2.5. 2.6. 2.7. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 6.1. Variacin en la caza de ballenas..... Variacin de la poblacin entre 80 y 85.. Variacin de la poblacin entre 80 y 85.Variables absolutas y relativas Tabla de coeficientes de Jury.......... . Criterio de Jury para elsistema de la Figura 5.1 Criterio de Jury para el sistema Criterio de Jury para el sistema.......... . Intervalo de pico y sobreosciJacin de los sistemas. 6 7 8 8 12 12 19 20 31 34 35 42 45 98 100 102 109 121 6.2.Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden.121 6.3.eri terio de J ury para el sistema......................126 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 9.1. 9.2. Errores en estado pennanente en respuesta a diferentes entradas. Criterio de Jury........., .......... eriteno de Jury para elsistema..... Tabla de Jury para elsistema..... . Tabla de Jueypara el sistema.. Respuesta ante entrada impulso...... . Mdulos y argumentos para eltramo I 139 144 145 151 155 ]95 198 XXI XXII 9.3.Mdulos y argumentos para el tramo TII..... 13.1.Criterio de Jury para elpolinomio caracterstico NDICE DE TABLAS 198 317 CAPTULO 1 SECUENCIAS ySISTEMAS DISCRETOS ., DEFINICION DE SECUENCIA Una secuencia se puede definir como cualquier conjunto ordenado de elementos.La forma general de representar una secuencia es{Xk},siendo k elndice que indica el orden delelemento dentro de la secuencia: (1.1 ) Secuencia impulso: {8k}= {l, 0, 0, 0, ... }(1.2) Secuencia escaln unitario: {Uk}= {l,l,l,l,l, ... }(1.3) Secuencia rampa: {rk}= {0,1,2,3,4,5, ... }(1.4) PROPIEDADES DE LAS SECUENCIAS Algunas propiedades caractersticas de lassecuencias sonlas siguientes: Unasecuencia{Yk}esla secuenciaretrasada nposicionesdeotra{Uk}sientreellasse verifica que para todo k Yk=Uk-n (1.5) Unasecuencia{Yk}esla secuencia adelantada nposicionesdeotra{Uk}sientre ellasse verifica que para todo k (1.6) Una secuencia {Yk}es suma de otras dos{Xk}{Vk}si (1.7) 1 2Control de sistemas discretos Una secuencia es{Yk}producto de otra {Xk}por una constante m si se cumple (1.8) Se dice que unasecuencia{Xk}esacotada siexisteunvalor e talquepara cualquier k se cumple IXkl< c. Energa de una secuencia {Xk}: (1.9) n=-(X) Se dice que una secuencia es secuencia temporizada cuando proviene del muestreo pendico (T) de una seaJcontinua. SISTEMAS DISCRETOS Unsistema discreto (Figura1.1) es unalgoritmo que pennite transfonnar una secuencia de entrada {Uk}en otra secuencia de salida {Yk}. Caractersticas de los sistemas: {Uk}Sistema ..Discreto {yJ .. Figura1.1.Sistema discreto. (1.10) Unsistemadiscretoesestticocuandoelelementodelasecuenciadesalidadeuncierto ndice depende nicamente del elemento de la secuencia de entrada del mismo ndice. Unsistemadiscretoesdinmico cuandoel elemento de lasecuencia desalida deuncierto ndiceesfuncindeelementosdelassecuenciasdeentradaysalidadendicesdistintosal suyo. Unsistema discreto dinmico escausal sielvalor de unelemento dela secuencia desalida dependenicamentedelosdestade ndicemenorydelosdelasecuenciadeentrada de ndice menor o igual. Secuencias y sistemas discretos3 Si la funcinque define cada elemento de la secuencia de salida es lineal, elsistema se deno-mina asimismo lineal: Yk==alYk-1 + a2Yk-2+ .,. + anYk-n + bOUk+ blUk-1+ ... + bmUk-m (l.ll) Siloscoeficientes ai, bi de la ecuacin previa (1.11)sonindependientes deltiempo,se dice que elsistema lineales invariante.La ecuacin (1.11)usada para estudiar estossistemasse denomina ECUACIN EN DIFERENCIAS. , SECUENCIA DE PONDERACION Se denomina secuencia de ponderacin de unsistema ala secuencia de salida cuando la secuencia de entrada es una secuencia impulso. Se representa por {g k}. Conocida la secuencia de ponderacin deunsistema discreto,esposibledetenninar la secuencia de salida de cualquier sistema ante una secuencia de entrada detenninada.AS,la secuencia desalida de unsistema ante una secuencia de entrada {Uk}ser: n = ~n = ~ {Yk}=LUn{gk-n}::::{Uk}* {9k}==L9n{Uk-n}=={9k}* {Uk} (] .12) n=-oon = - ~ donde* denota laoperacinde convolucin entre dossecuencias.La secuencia de ponderacin es una manera de representar el comportamiento de unsistema discreto. ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETO Un sistema discreto es estable siante cualquier secuencia de entrada acotada la secuencia de salida estambinacotada.Paraqueelsistemaseaestableesnecesarioysuficientequelasecuenciade ponderacin sea absolutamente sumable: n=oo L19n1< 00 ( 1.13) n = - ~ RESPUESTA EN FRECUENCIA La respuestaenfrecuenciadeunsistema discretocaracterizadopor susecuencia deponderacin {9k}viene dada por: k=oo Q(w)==L9ke-jwkT (1.14) k=-oo donde Trepresenta la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia de ponderacin. 4Control de sistemas discretos TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNASECUENCIA La transformada de Fourier de una secuencia temporizada {x k}se define como: nex> X(w)=lm~xke-jwkT =~xke-jwkT n-+-ooL...,.L...,. ( 1.15) k=-nk=-oo donde Trepresentaladiferencia detiemposparacada elementodelasecuenciatemporizada.La transfonnada inversa de Fourier se define como: TJ1r/T Xk==- X(w)eiwkT dJJJ 27r-1r/T (1.16) Una condicinsuficienteparalaconvergenciadelatransformadadeFourier esquelasecuencia {Xk}sea absolutamente sumable: 00 ( 1.17) {yJ .. Figura1.2.Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin. Relacin fundamental de los sistemas discretos.En un sistema discreto (Figura1.2), la transfor-madadeFouner dela secuencia desalida y (w)esigualalproducto de la respuesta en fre-cuencia delsistema 9 (w)por la transformada de Fourier de la secuencia de entrada U (w ): Y(w)==Q(w)U(w)( 1.18) Frmula de ParsevaI.Pennite calcular la energa de unasecuencia apartir de la transfonnada de Fourier de ]a misma: ( 1.19) TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNASECUENCIA La transformada de Lap]ace de una secuencia {Xk}tal que Xk==O para k< O se define como: ex:> X(s)= LXke-skT(1.20) k=O Secuencias y sistemas discretos5 siendo s==a+ JWuna variable compleja. Para que la transformada de Laplace converja (condicin suficiente) debe cumplir (depende de a): (X) L IXke-ukTI< 00 k=O (1.21 ) Estaexpresinsedenominacondicindeconvergenciaabsolutaydependedea.Igualmente,se denominaabscisadeconvergenciaabsoluta,(fe,alnfimodelosvaloresaE~quesatisfacenla anterior condicin de convergencia. El dominio de convergencia absoluta es elsemi plano complejo definido por lospuntossEe con parte realmayor que (fe.La convergencia dela transfonnada de Laplace est asegurada en su dominio de convergencia absoluta, pero puede converger en un dominio ms amplio. La transformada de Laplace de una secuencia es una funcin peridica respecto a la parte imaginaria de perodo2.;: 21r X(s + rj)= X(s) La transformada inversa de Laplace se define para todo (JE~que verifique: como; L IXke-ukTI< 00 k=O TU+7rj/T Xk==-2.X(s)eskT ds 'Ir]u-7rj/T 1.1Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada Para el sistema defi nido por: Yk==Yk-l- O,5Yk-2+ Uk-2 l.Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia impulso. 2.Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia escaln. (1.22) (1.23 ) ( 1.24) (1.25) 6Control de sistemas discretos Solucin 1.1 Los apartados solicitados son: 1.Para calcular la respuesta directamente se construye la Tabla1.1, donde { k}es la secuencia impulsoy{9k}esla sealde salida.Dado quela sealde entrada eslasecuenciaimpulso, esta seal de salida ser la secuencia de ponderacin. I kI kI k-2I 9k-2I 9k-lI 9k o1OOOO 1OOOOO 2O1OO1 3OOO11 4OO110,5 5OO10,5O 6OO0,5O-1/4 7OOO-1/4-1/4 8OO-1/4-1/4-1/8 9OO-1/4-1/8O 10OO-1/8O11]6 Tabla1 l. Respuesta ante entrada impulso Por tanto, la respuesta del sistema es la secuencia de ponderacin: {9k}=={D;O;1; 1;0,5;0; -1/4; -1/4; -1/8;0; 1/16;0; ... }(1.26) 2.Igualmente, se construye la Tabla1.2 para obtener la respuesta del sistema {Yk}ante entrada escaln {Uk}de fonna directa. Tambin es posible obtener la respuesta mediante el uso de la convolucin discreta: 00 {Yk}==L9n{Uk-n} (1.27) n=-oo teniendo en cuenta la secuencia de ponderacin {9k}dada en1.26, se tiene: 00 Yo L 9nUO-n==90Uo==O (1.28) n=-(X) 00 Yl L 9nUl-n ==90Ul+ 91UO==O (1.29) n=-oo 00 Y2 L 9nU2-n==90U2 + 91 Ul+ 92UO==1 ( 1.30) n=-(X) Secuencias y sistemas di seretos7 kUkUk-2Yk-2Yk-lIYk o1OOOO 11OOOO 211OO1 311O12 411122,5 51122,52,5 6112,52,52,25 7112,52,252 8112,2521,875 91121,8751,875 10111,8751,8751,9375 Tabla1.2.Respuesta ante entrada escaln CX) Y3- L9nU3-n =90U3+ 92Ul+ gl U2+ 93UO= 2 (1.31 ) n=-oo n=-oo ( 1.32) y as sucesivamente. Como se puede apreciar,los resultados son coincidentes independiente-mente del mtodo empleado. 1.2Estabilidad de un sistema discreto (1) Dada la ecuacin en diferencias: Yk==-3Yk-l - 2Yk-2 + Uk(1.33) obtenerlasecuencia desalida{Yk}cuandola secuencia deentrada es{Uk}- {lk}.Deducirla estabilidad del sistema. Solucin 1.2 En primer lugar, la secuencia {Yk}se puede obtener a partir de la Tabla 1.3. Observando la secuencia de salida, se puede deducir la siguiente ley: Yo- 1 Yk-2Yk-l Yk- -2Yk-l + 1 (k impar) (k par)(1.34) 8Control de sistemas discretos I kI UkYk-2Yk-lYk oIOOI 1IO1-2 2II-25 31-25-10 4I5-lO21 51-1021-42 Tablal.3. Secuencia de salida ante escaln kkI 9k-2I 9k-lI 9k OIOOI 1OO1-3 2OI-37 3O-37-15 4O7-1531 5O-1531-63 Tabla1.4.Secuencia de salida ante entrada impulso que altender k a 00, la secuencia de salida tendera tambin a oo.Por tanto, elsistema es inestable. Tambin se puede deducir hallando{9k}, que se encuentra en la Tabla1.4. Se observa que: 00 ( 1.35) n=-oo no est acotado. Se cumplir: lm9n=1=O ( 1.36) n-oo por lo que resultar un sistema inestable. 1.3Estabilidad de un sistema discreto (11) Un sistema tiene por respuesta impulsionalla representada en la Figura1.3.Discutir su estabilidad. Solucin 1.3 Se aprecia que no es estable dado que: lm9n=1=O ( 1.37) n--+oo Secuencias y sistemas discretos9 0,8 0,6 04 0,2 o ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ..o2345618910 Figura]3Respuesta impulsional delsistema. condicinnecesana, y: (1.38) condicin necesaria y suficiente. 1.4Convolucin discreta. Transformada de Fourier y de Laplace Para unsistema cuya secuencia de ponderacin es{9k}, hallar la respuesta de]sistema ante la entra-da{Uk}(Figura1.4). Calcular igualmente las transfonnadas de Fourier y Laplace de dicha salida. {gk} 2 2 1 123 --+--- 123 -1 -1 Figura] .4.Secuencia de ponderacin{gk} del sistema y entrada considerada {Uk}. 10Control de sistemas discretos Solucin 1.4 Mediante la aplicacin de la convolucin discreta, se tiene: CXJ {Yk}==L9n{Uk-n} n=-CXJ Se obtiene para los tnninos de{Yk}: CXJ YoL9n UO- n==90Uo ==- 2 n=-CXJ CXJ YlL9nUl-n ==91UO + 90Ul=5 n=-CXJ CXJ L9nU2-n==92UO + 9U+ 90U2==O n=-CXJ CXJ Y3L9nU3-n==93UO + 92U+ 9U2+ 90U3==-1 n=-CXJ CXJ Y4L9nU4-n==94UO + 93U+ 92U2+ 91U3+ 90U4==O n=-CXJ CXJ L9nU5-n==O n=-CXJ por tanto: {Yk}=={- 2; 5; O;1; O;... } Para hallar la transfonnada de Fourier se aplica la siguiente fnnula: CXJ Y(w)==LYke-jwkT==-2 + 5e-jwT - e-jw3T k=-CXJ ypara la transfonnada de Laplace: CXJ Y(s)==LYke-SkT ==-2 + 5e-sT _e-3sT k=O (1.39) ( 1.40) (1.41) ( 1.42) ( 1.43) (1.44) ( 1.45) (1.46) (1.47) (1.48) (1.49) 1.5Respuestadeunsistemadiscretoantecualquiersecuenciadeentradaa partir de la secuencia de ponderacin Un sistema responde ante una secuencia escaln unitario con la secuencia: {013444" .},,,,,,(1.50) Secuencias y sistemas discretos11 Obtener el valor de los elementos de la secuencia de salida ante la entrada {2, 2, 1}. Solucin 1.5 Ante escaln, la seal de salida es: {Yk}~{O;1;3;4;4;4; ... } La respuesta impulsionaJ, por tanto, ser: {gk}={O;1; 2;1; O;O;... } Si la entrada es {Uk}={2, 2, 1}, la salida {Yk}se puede obtener apartir de: {Yk}={Uk}* {9k} Descomponemos {Uk}en funcin de {k}: Entonces: {Yk}2{O;1;2;1;0;0; ... } +2{O;O;1;2;1;O, ... } + 1{O;O;O;1;2;1; ... } {O;2;6;7;4;1;O;O; ... } (] .51) (1.52) (1.53) (1.54) ( 1.55) 1.6Sistemas discretos: estudio comparativo de la estabilidad, la respuesta y la , energIa Dado elsistema discreto definido por la ecuacin en diferencias: y siendo {Uk}={O;1; -1; 1/4; O;O;... } Se pide: 1.Estudiar la estabilidad delsistema. 2.Calcular la respuesta delsistema: a)Directamente. b)Utilizando la convolucin discreta. e)Atravs de la transfonnada de Fourier. d)Atravs de la transformada de Laplace. 3.Calcular la energa de la secuencia de salida: (1.56) (1.57) 12Control de sistemas discretos a)Directamente. b)Utilizando la fnnula de ParsevaL Solucin 1.6 Los apartados solicitados son: l.Para calcular la estabilidad,hallamosla respuesta ante entrada secuencia impulso.Para ello, se construye la Tabla1.5,siendo{k}la secuencia impulso y{9k}la salida delsistema ante entr-ada escaln o secuencia de ponderacin. I kI kI gk-lI 9k o1O1 1O11/2 2O1/21/4 3O1/41/8 4O1/81/16 5O1/161/32 Tabla1 5Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin) De esta forma: {gk}= {1;1/2;1/4;1/8;1/16; ... } y como se cumple que: LI9kl < 00 se puede deducir que elsistema es estable. (1.58) (1.59) 2.a)Para calcular la respuesta directamente, se fonna la Tabla 1.6, donde {Uk}es la secuencia de entrada e{y k}es la secuencia de salida. I kI UkI Yk-lI Yk oOOO 1IO1 2-J1-1/2 31/4-1/2O 4OOO 5OOO Tablal6.Secuencia de salida delsistema Por tanto: {Yk}={O;1; -1/2; O;O;... }(1.60) Secuencias y sistemas discretos13 b)Tambin se puede calcular mediante la convolucin discreta: ex:> {Yk}=Lgn{Uk-n} n=-ex:> y dando valores akse tiene: Yo -Yl Y2 Y3 Y4 Por tanto: ex:> L 9nUo-n=10==0 n=-ex:> ex:> L gnUl-n=1 . 1 + 1/2 . O =1 n=-ex:> ex:> L gnU2-n= n=-ex:> 1 . (-1) + 1/21 + 1/4 O =-1/2 ex:> L 9nU3-n = n=-ex:> 1 . 1/4 + 1/2 . (-1) + 1/4 1 + 1/16 . O =O 00 L 9nu3-n = n=-oo 1 . O + 1/2 1/4 + 1/4 . (-1) + 1/8 . 1 + 1/16 . O = O {Yk}={O;1; -1/2; O;O;... } (1.61) (1.62) ( 1.63) (1.64) ( 1.65) (1.66) (1.67) e)La respuesta del sistema tambin se puede obtener a travs de la transformada de Fourier. Para ello, se debe hallar Q(w)y U(w). 00 Q(w)L9ke-jwkT = k=-(X) leo + 1/2e-jwT + 1/4e-2jwT + 1/8e-3jwT + ... == 1-02 1 - 1/2e-jwT 2 - e-jwT (1.68) ex:> U(w) Luke-jwkT= e-jwT - e-2jwT + 1/4e-3jwT (1.69) k=-oo Por tanto: y(w)Q(w). U(w)== 14Control de sistemas discretos 2.. (e-iwT _e-2jwT + 1/4e-3jWT)== 2 - e-JwT _e-jwT _1/2e-2jwT ( 1.70) De aqu se deduce que: {Yk}= {O;1; -1/2;0;0; ... }(1.71) d)Tambinsepuede obtener atravsdelatransfonnadadeLaplace.Paraello)sehade calcular Q(s)y U(s). 00 g(s)- L9ke,skT == k==O leo + 1/2e-sT + 1/4e-2sT + 1/8e-3sT + ... == 1-02 1 - 1/2e-sT 2 - e-sT (1.72) 00 U(s)==L Uke-sT==e-sT - e-2sT + 1/4e-3sT (1.73) k=O Pudindose obtener, por tanto: Y(s)- 9(s), U(s)= 2 ___ . (e-sT _e-2sT + 1/4e-3ST)== 2 - e-sT _e-sT _1/2e-2sT (1.74) Luego 1 {Yk}={O;1; -1/2; O; O;... }(1.75) 3.a)En este apartado se pide calcular la energa de la secuencia de salida. El primer mtodo a aplicar es mediante clculo directo: L 215 E==IYk I==1 + - = -44 (1.76) b)Ensegundolugarsevaaobtenerlaenergamediantelaaplicacindelafnnulade Parseval: E-1J1I" - Y(w) Y(-w)dw = 21r-1f ~J1I"(e-jWT - 1/2e-2jwT).(ejwT - 1/2e2jwT)dw = 27r-1f ~J1I"(5/4 - 1/2ejwT - 1/2e-jWT)dw= 27r-11" _~[ ~ w ] 1 f_ ~[ei.WT]1I"+ ~[eJ.WT]1I"_~(1.77) 27l'4-1f47rJT-11"471"JT-11"4 1Tambin se podra haber aplicado Yk= 2T.I.U+i1T//TT Y(s)eskT ds. 1t]U-J1r Secuencias y sistemas discretos15 1.7Problema propuesto Dada la ecuacin en diferencias: 311 Yk==-Yk1- -Yk2+ Uk- -Uk1 4- 8- 2-( 1.78) Obtener la secuencia de salida {y k}cuando la secuencia de entrada es{Uk}=={O;1;1;1; 1; ... }. Solucin 1.7 La secuencia de salida es: {Yk}=={O;1;1,25; 1,312; 1,328; 1,332; 1,333; ... }(1.79) 1.8Problema propuesto Calcular la secuencia de ponderacin del sistema definido por: (1.80) Estudiar su estabilidad. Solucin 1.8 La secuencia de ponderacin es: {gk}=={1;3; 11;39; 139;495; 1763; ... }(1.81 ) El sistema es inestable. 1.9Problema propuesto Utilizando la convolucin discreta, hallar la respuesta delsistema cuya secuencia de ponderacin es {gk}ante la entrada { Uk}Y calcular la energa de dicha respuesta. Solucin 1.9 La respuesta delsistema es: {Yk}=={O;2;1; O;O;O;O;... }( 1.82) 16Control de sistemas discretos { g ~ J {lit} 25 ..--"'T"""--12 2t 15 0,8 06 04 05 02 o - -.... o ..... _- --...a__L-o0511522,533,54455 o0511522,53354455 k k Figura1.5.Secuencia de ponderacin{gk}y entrada delsistema {Uk}. La energa es 5. 1.10Problema propuesto Estudiar la estabilidad yla respuesta 3.Qte entrada escaln de un sistema cuya secuencia de pondera-cin es: {gk}= {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ... }(1.83) Solucin 1.10 Elsistema es inestable, pues:-00 Ignl ~00 ( 1.84) n=O La seal de salida es: {Yk}={1; 1,5; 1,833; 2,083; 2,283; 2,450; 2,592; 2,71 7;... }( 1.85) 1.11Problema propuesto Un sistema discreto tiene la siguiente secuencia de ponderacin: (1.86) Se pide: 1.Aplicar elteorema de convolucin para obtener la secuencia de salida {Yk}ante una entrada {Uk}=={1; 1;-1; -1}. Secuencias y sistemas discretos17 2.Funcin de transferencia G (z)y ecuacin en diferencias. 3.aplicar los teoremas delvalor inicial y finalpara calcular ]osvalores inicial y finalde la seal de salida {Yk}cuando ]a seal de entrada {Uk} es un escaln unitarIo. Solucin 1.11 l. 2. 3. 1.12Problema propuesto {Yk}= {l; 3; 2;-2; -3: -l} G(z)=(z+ 1)2 z2 Yk=uk + 2Uk-l+ Uk-2 Yo= 1 YOCl= 4 ( 1.87) (1.88) ( 1.89) Dado elsistema representado enlaFigura1.6,calcular lasecuencia de salida{Yk}sila secuencia de entrada es la secuencia impulso. Discutir la estabilidad delsistema. FiguraI 6.Sistema discreto. Solucin 1.12 {Yk}= {1;1;1;1;1;1; ... }(1.92) Elsistema es inestable dado que la secuencia de ponderacin no esuna suma finita. , CAPITULO 2 TRANSFORMADA Z DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA Z La transfonnada Zde una secuencia temporizada {Xk}se define como: 00 X(z)==Z[{Xk}]=LXk Z -k (2.1 ) k=-oo Las transfonnadas de Fourier y de Lap]ace se relacionan con la transfonnada Zmediante z:=ejwT yZ::::esT,respectivamente. TRANSFORMADAS ZBSICAS Las transformadasZde algunas secuencias bsicas se encuentran en la Tabla 2.1. {k}=={l;O;O;O;O; ... } {Uk}=={1; 1; 1; 1; 1; ... } {Xk}= {1;a;a2;a3;a4; ... } {Xk}==KT ={O;T; 2T; 3T; 4T; ... } {Xk}= (KT)2= {O; T2; 4T2; 9T2; 16T2; .. . } {Xk}==e-aKT =={1; e-aT; e-2aT; e-3aT; e-4aT; ... } 6(z) =1 U(z)=X(z)==_z z-a X(z)==Tz

X() - Tz(z+l) Z- (z-1)3 X(z)==z_ez- aT Tabla 2.1.Transformadas Zde secuencias bsicas 19 20Control de sistemas discretos PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Las propiedades fundamentales de la transfonnada Zse encuentran resumidas en la Tabla 2.2. , Nombre Linealidad Desplazamiento Desplazamiento Multiplicacin por una exponencial Diferenciacin Convolucin de secuencias Teorema delvalor inicial Teorema del valor final Descripcin Z[a{Xk} + t1{Yk}]= aZ[{xk}] + ,BZ[{Yk}] Z[{Xk-n}]=z-n Z[{Xk}] Z[{Xk+n}]=ZnZ[{Xk}]- XiZn-i Z[{akxk}]=:X(a-1 z) = -z-lZ[kxkJ Y(z)=G(z)U(z)Residuo en a =f(a) z-a Elresiduo de unpolo de multiplicidad mse puede calcular como: /(z).1[dm-1/(Z)] X(z)=(z_a)m=>Residuo en a=(m - 1)'dzm- Iz=a (2.3) (2.4) 2.Silassecuenciastienennicamentetnninosdendicepositivo(dominiodeconvergencia Izl>1/p), se puede usar el mtodo de la divisin larga. Para obtenerla, se expresa la trans-fonnada Zcomo el cociente de los polinomios en Z-l y se dividen: N(z-1)00-k X(z) =D(Z-l)=(2.5) Transfonnada Z21 3.Descomposicin en fraccionessimples: (2.6) FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN Z La funcinde transferencia enZde unsistema definido por la ecuacin en diferencias: (2.7) es: G(z)=Y(z)=bo + b1z-1 + ... + bmz-m U(z)1 + alz-1 + ... + anz-n (2.8) 2.1Transformada Zde secuencias tipo Encontrar la transfonnada Zde las siguientes secuencias: l.Secuencia impulso{k}={1; O;O;O;... }. 2.Secuencia escaln{Uk}= {1; 1; 1; 1; ... }. 3.Secuencia rampa {Tk}= {O;1; 2; 3; ... }. a)Directamente. b)Apartir de la anterior. 4.Secuencia parablica {Pk}= {O;1; 4; 9; ... }: a)Directamente. b)A partir de la anterior. 5.Secuencia exponencial{ ek}= {O;O;O;O;e; 2e2; 3e3;.. . }. 22Control de sistemas discretos Solucin 2.1 Se tiene: l.Para la secuencia impulso se tiene: 00 6(z) ==2:8nz-n ==1z-o + OZ-l + OZ-2 + ... ==1 n=-(X) 2.Para la secuencia escaln: 00 "'"-n-1-21 U(z)==~UnZ==1 + z+ z+ ... ==1 _z-l n=-oo siempre y cuando se cumpla Iz-11< 1. 3.Para la secuencia rampa se tienen dos posibilidades: a)Directamente: ex) z z-l (2.9) (2.10) R(z) ==2:rnz-n ==0+ z-l + 2z-2 + 3z-3 + ...(2.11) n=-(X) Fonnando: zR(z) - R(z)1+2-1+3-2+-12-2 3-3 ZZ... -z- z- z... == 1 + Z-l + Z-2 + z-3 + ... ==z z-l siempre y cuando se cumpla Iz-11= 00 2.12Problema propuesto Dado el sistema discreto definido por la siguiente ecuacin en diferencias: Se pide: l.Calcular su funcin de transferencia. 2.Calcular elvalor inicial y finalde su respuesta ante un escaln: a)Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b)Calculando la antitransfonnada. (2.134) (2.135) (2.136) (2.137) (2.138) 50Control de sistemas discretos Solucin 2.12 l. 2. 2.13Problema propuesto Jr(z)1 U(z)z2-z+0,5 Yo= O Yoo=2 (2.139) (2.140) (2.141) En cierta regin coexisten dos especies animales, una de insectos y otra de gusanos. Los nmeros de individuos se designanpor xey,respectivamente.Los insectos se comen alosgusanos,loscuales se alimentan de la hierba que existe en cantidad constante. LatasadenatalidaddelosinsectosesA=0,8insectos/insectos-da(80 % diario).Sutasade mortalidad es de la forma(B +siendo B=0,2 insectos/insectos-da la mortalidad natural y e =1,2 insectos-gusano/insectos2-da la debida a la dificultad para conseguir gusanos. La tasa de natalidad delosgusanos es D=0,3gusanos/gusanos-da.Su tasa de mortalidad esde la forma(E ++ GY), siendoE=0,1gusanos/gusanos-dalamortalidadnatural,F=0,2 gusanos/insectos-daladebida alosataquesdelosinsectosyG=10-3 gusanos/gusanos2-dala debida a la dificultad para conseguir hierba. Se pide: l.Plantear las ecuaciones en diferencias del sistema. 2.Calcular el punto de equilibrio. 3.Linealizar las ecuaciones en dicho punto. 4.Calcular la funcin de transferencia en Zentre los gusanos e insectos. 5.Cmo variar la poblacin de gusanos si se produce una plaga con unaumento de la pobla-cin de insectos dellO %? Solucin 2.13 l. X2 Xk+l=1,6xk- 1,2-.k Yk Yk+l=1,2Yk- 0,2Xk- (2.142) (2.143) Transfonnada ZSI 2. Xo= 50 (2.144) Yo==100 (2.145) 3. Xk+l==O,4Xk + O,3Yk (2.146) Yk+l==Yk- O,2Xk (2.147) 4. Y(z)O,2z-1 0,2 (2.148) X(z) -1- Z-l z-1 5.Con elmodelo 1ineal, la poblacin de gllsanos disminuira hasta desaparecer. 2.14Problema propuesto Usandoelmtododela divisinlarga,calcularloscuatroprimerosvaloresdelasecuencia{Xk} cuya transfonnada Zes la siguiente: x_10z + 5 (z)- (z- l)(z - 0,2) (2.149) Solucin 2.14 Los primeros valores son: {Xk}=={O;10; 17; 18,4; ... }(2.150) 2.15Problema propuesto Detenninar los cuatro primeros valores de la secuencia de salida {y k}del sistema discreto G (z)ante entrada escaln unitario utilizando elmtodo de la divisinlarga. Solucin 2.15 Los primeros valores son: 2 G(z)==2z - 1 {Yk}=={O;1; 1,5; 1,75; ... } (2.151) (2.152) 52Control de sistemas discretos 2.16Problema propuesto Determinar el valor finalal que tiende la secuencia {Xk}cuya transformada Zes la siguiente: 11 X(z)= 1 _Z-l1 - e-2 z- 1 (2.153) Solucin 2.16 Elvalor finalde la secuencia es1. CAPTULO 3 MUESTREO Y ,,.", RECONSTRUCCION DE SENALES , DEFINICION DE MUESTREO Por muestreo se entiende el proceso de obtencin de una secuencia temporizada a partir de una seal continua. Los elementos de la secuencia se corresponden con los valores de la seal en determinados instantes de tiempo. Muestreo peridico.Los instantes detomas de muestrasse encuentran igualmente espaciados.El intervalo de tiempo entre dos muestras sucesivas se denomina perodo de muestreo T. Muestreo aperidico.Los instantes de tomas de muestras no estn igualmente espaciados. El dispositivo que realiza el proceso de muestreo recibe el nombre de muestreador (Figura 3.1). Figura 3.1.Muestreador. Xk==x( t) It==kT (3.1) ESTUDIO FRECUENCIAL DEL MUESTREO La relacin entre la transformada de Fourier X(w)de una seal continua x (t)Y la transformada de Fourier X (w)deuna secuencia temporizada {x k},que proviene delmuestreo con perodo Tdela seal continua previa, viene dada por: 1~21fT X(w)==T~X(w+ T) (3.2) r==-oo 53 54Control de sistemas discretos As,sila transformada deFourier deuna seal continua X(w)viene representada (mdulo) por la Figura 3.2,la transformada de Fourier delasecuencia X(w)muestreada con perodo Tvendr de-............terminada en la Figura 3.3 siempre que se cumpla las condiciones dadas por el teorema de muestreo (expuesto ms adelante). J ~IX(ro)1 1 ro Figura 3.2.Mdulo de la transformada de Fourier de una seal continua. ~ ~l2l(ro)1 lIT n... III ~ -31t/T -1t/T 1t/T ro Figura 3.3.Mdulo de la transformada de Fourier de una secuencia. La relacin existente entre la transformada deLaplaceX (s)deuna seal continua x (t)Y la trans-formada de Laplace X (s)de la secuencia procedente del muestreo con perodo Tes: 1~27rT X(s)==T~X(s + jT) (3.3) r=-CX) TEOREMA DE MUESTREO Siunasealcontinuax(t)tienetransformadadeFourierX(w),cumpliendoqueX(w)==O para valoresIwl>wo,entoncesdichasealestarcompletamentedeterminada por lasecuencia{Xk} obtenida por muestreo de la misma con perodo T==7r /Wo. Muestreo y reconstruccin de seales55 En general, las seales muestreadas son las salidas de sistemas fsicos,cuyas transformadas de Fou-rier tendern a cero segn aumenta la frecuencia (aunque estrictamente sean distintas de cero).Por tal motivo, ser necesario llegar a un compromiso entre un perodo muy estricto (con un mayor coste) o un perodo menos exigente (con una prdida de informacin). Uncriterioaproximadoparalaeleccindeesteperododemuestreoconsisteenelegirelmismo como: siendo Bel ancho de banda de la seal. 1 WT==- ==10B T ,, (3.4) ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS HIBRIDOS Sedenominasistemahbridoaaquelcuyaentradaesunasecuenciaycuyasalidaesunaseal continua (Figura 3.4). {Xk}S- H'b-dy(t) ---1'-.11St.1r1O~ Figura 3.4.Sistema hbrido. Respuesta impulsional de un sistema hbrido: Salida h(t) cuando la entrada es una secuen-cia impulso. Convolucin hbrida: La respuesta impulsional de un sistema hbrido caracteriza el compor-tamiento de este sistema. Para cualquier entrada {x k}, la salida del mismo y ( t)ser: 00 y(t)==Lxnh(t - nT)(3.5) n=-CX) siendo h(t) su respuesta impulsional. Esta expresin se conoce como convolucin hbrida. RespuestaenfrecuenciadelsistemahbridoH (w ):EslatransformadadeFourierdela respuesta impulsional.Sise denominaX (w)a la transformada de Fourier de la secuencia de entrada e Y (w)a la transformada de Fourier de la seal de salida, se cumple: Y(w)==H(w)X(w)(3.6) siendo Y (w)y H (w)funcionesno peridicas y X (w)peridica. El operador H ( s)se denomina funcin de transferencia del sistema hbrido.Igualmente, se cumple Y(s)==H(s)X(s). 56Control de sistemas discretos , DEFINICION DE BLOQUEADOR Elbloqueador eseldispositivoquepermitereconstruirunasealcontinuaapartirdelosvalores discretos deuna secuencia (Figura 3.5). Figura 3.5.Bloqueador. Elobjetivo deldiseo de unbloqueador esobtener unsistema hbrido que,teniendo como entrada una secuencia{x k}obtenida por muestreoconperodo Tdeunasealx (t),presente enla salida una seal xr(t) que sea idntica o tenga el mayor parecido posible a la seal x(t). Se cumplir: Xr(w)==H(w)X(w) Xr(s)==H(s)X(s) (3.7) (3.8) siendoH (w)yH ( s)la respuesta en frecuencia y la funcindetransferencia,respectivamente,del bloqueador como sistema hbrido. x(t).1~_1{Xk }..._ Bloqueador X(ro)TX(ro) L--_____~ Figura 3.6.Conjunto muestreador-bloqueador. (3.9) BLOQUEADOR IDEAL A fin de obtener una reconstruccin ideal, y siempre que se cumpla el teorema de muestreo, se define el bloqueador ideal como aquel cuya transformada de Fourier es: (3.10) siendo Tel perodo de muestreo de la secuencia. Muestreo y reconstruccin de seales57 La respuesta impulsional del bloqueador ideal es: (3.11 ) con Wo= 1f /T. La representacin grfica de estos bloqueadores se observa en la Figura 3.7. 0,80,8 0,60,6 0,40,4 0,20,2 oo ~ , 2~ , 2 ~ ' ~ 1 0 -8-6-4-2o246810 ~ , 4 -10-8-6-4-2o246810 Figura 3.7.Bloqueador ideal en el dominio deltiempo y en eldominio de la frecuencia. Este bloqueador nocumple la condicin de causalidad,ya queh(t)no esnulo para tiemposnega-tivos. BLOQUEADOR DE ORDEN CERO Este bloqueador slo utiliza el ltimo valor de la secuencia de entrada mantenindolo hasta una nue-va muestra xr(t)=x(kT) =Xken el intervalo[kT, (k + l)T], siendo Tel perodo de muestreo. Figura 3.8.Bloqueador de orden cero. Su respuesta impulsional es: {Ot< O ho(t)=1O < t< T OT< t (3.12) 58Control de sistemas discretos Mientras que la respuesta en frecuencia es: 1 - e-jwT Ho(w)==--.--JW (3.13) EnlaFigura3.9serepresentaelbloqueador deordenceroconsiderandounperododemuestreo T==1r. 33 2,52,5 22 1,51,5 0,50,5 o ~ ~ ~ ~ - - ~ ~ ~ - - ~ ~ ~ ~ -10-8~-4-2o246810-8~-4-2o246810 Figura3.9.Bloqueador deordenceroeneldominiodeltiempoyeneldominiodela frecuencia IHo(w)l, (T ==71"). BLOQUEADORDEORDENUNO Este bloqueador slo utiliza lasdosltimas muestras de la secuencia de entrada.Halla la recta que pasa por ellas y extrapola el resultado hasta una nueva muestra: Xr(t)= x(kT) +x(kT) - x,j,(k - l)T) (t- kT) (3.14) en el intervalo[kT, (k + l)T], siendo Tel perodo de muestreo. ~ ( t ) ~ Figura 3.10.Bloqueador de orden uno. Muestreo y reconstruccin de seales59 Su respuesta impulsional es: otz- 1,5 + K z+ 1,5K ==O =>(1+ K)z + 1,5K - 1,5==O(5.41) , Para que sea estable se ha de cumplir: P(l)>O ~1 + K+ 1,5K - 1,5> O ~K>0,2(5.42) P(-l) < O ~-1- K+ 1,5K -1,5 < O ~K< 5(5.43) 1 5K - 1 5 , K+ l'< 1 ----->1,51K - 11< K+ 1(5.44) Estas condiciones se satisfacen si 0,2< K< 5, que son los lmites de estabilidad del sistema. Si el tiempo de clculo es de 0,1seg., se produce un retraso de z -1 : BGH(z) = Z-l BG(z) =~z + 1,5 zz- 1,5 El polinomio caracterstico ser: (5.45) l+KBGH(z) ==O =>z(z-1,5)+K(z+1,5) ==O ~z2+(K -1,5)z+1,5K ==O(5.46) Para que el sistema sea estable se ha de cumplir: P(l)> O ~-0,5 + 2,5K > O ~K> 0,2(5.47) P( -1) > O ~1 - K+ 1,5 + 1,5K > O ~K> -5(5.48) 1,5K < 1 ~K< 1/5 ==0,6666(5.49) Por tanto, el rango de valores de Kque hace estable el sistema es 0,2< K< 1/5. Se observa cmo si aumenta el tiempo de clculo (aumenta el retraso en la llegada de informacin de la realimentacin sobre el sistema), disminuye el intervalo de estabilidad del sistema. Estabilidad de sistemas discretos107 1 semana Dpto.20% Reparac. Dpto. Control Dpto. Fabric. 1 semana Dpto.Dpto.800 o Calidad t + 1 semana AlmacnI + Pedido+ Figura 5.6.Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin. 5.5Proceso de fabricacin Producido Embalaje 1 semana El diagrama de bloques de la Figura 5.6 representa de forma simplificada el proceso seguido en una empresa de fabricacin. Su funcionamiento sera el siguiente: Eldepartamento decontrolgenera sinretrasouna leydecontrol,proporcionalK(K>O), segn la diferencia entre lo pedido y lo producido. El departamento de fabricacin tarda una semana en reparar los productos defectuosos. Losfabricadosylosreparadosvanaldepartamentodecalidad,que,sinretraso,detectalos defectuosos (20 % segn la experiencia). El20 % delosproductosvlidosesalmacenado durante una semana a findeevitar posibles prdidas de clientes ante fallosen el proceso de fabricacin. El 80 % de los productos vlidos es sumado a los almacenados la semana anterior e introduci-dos en el departamento de embalaje, que tarda una semana en llevar a cabo su cometido. El balance de todas las variables se realiza al finalde cada semana. Se pide: 1.Funcin de transferencia en Zentre lo producido y lo pedido. 2.Determinar el rango de Kpara que el sistema sea estable. Solucin 5.5 Se tiene: 1.Se emplea la siguiente nomenclatura: PkMaterial pedido en el perodo k. 108Control de sistemas discretos VkMaterial producido en el perodo k. CkMaterial ordenado al departamento de fabricacin en el perodo k. fkMaterial que entra al departamento de calidad en el perodo k. bkMaterial que se embala en el perodo k. Las ecuaciones en diferencias que describen el comportamiento son: K(pk- Vk) Ck-l+ 0,2fk-l 0,64fk + 0,16fk-l bk-1 Las ecuaciones son lineales. Se puede hallar directamente su transformada Z. K(P(z) - V(z))=C(z) F(z)(l - 0,2z-1)=z-lC(z) B(z) =(0,64 + 0,16z-1)F(z) V(z)=z-l B(z) El diagrama de bloques en Zquedara como el representado en la Figura 5.7. P(z) +--E]C(Z) ~ IF(z)B(Z)0 ~K~--1 ~O.64+0.16z1 ZI 1-O.2z Vez) Figura 5.7.Diagrama de bloques delsistema. La funcin de transferencia sera: K z-2(O,64+0,16z-1) P(z) V(z) 1-O,2z-1 = K0,64z + 0,16 1 +Kz-2(O,64+0,16z-1)z3- 0,2z2 + 0,64Kz + 0,16K 1-O,2z-1 2.Para comprobar el rango de estabilidad de Kse aplica el criterio de Jury,siendo: P(z)=z3- 0,2z2 + 0,64Kz + 0,16 Las condiciones a cumplir son: P(l)= 1 - 0,2 + 0,64K + 0,16K > ~0,8 + 0,8K > ~K,>-1 (5.50) (5.51) (5.52) (5.53) (5.54) (5.55) (5.56) (5.57) (5.58) (5.59) (5.60) Estabilidad de sistemas discretos109 Por otro lado, P( -1) ==-1 - 0,2- 0,64K + 0,16K< ---t-1,2 - 0,48K < ---tK> -2,5(5.61) Adems: 10,16KI ~1 + 1,9 + 1,56 + 0,2K + 0,504> =>K> -24,82 P( -1) < ~-1 + 1,9 - 1,56 - 0,2K + 0,504< =>K> -0,78 1- 0,6024 - 0,2KI-0,78, elprimer trminodela anteriorexpresinsiempreesnegativo.Por tanto: 0,6024 + 0,2K < 0,745984=>K< 0,71792(7.86) Uniendo todas las posibilidades obtenidas previamente, se tiene: -0,78 < K< 0,71792(7.87) 3.La K1 es 0,71792. Por tanto: K2 K==- ==35896 2' (7.88) Para K==0,35896 y h==1000, la ecuacin caracterstica del sistema en bucle cerrado es: 1 + K0,2z1000== (z + 0,7)(z2 + 1,2z + 0,72) (7.89) Los polos del sistema se encuentran en -0,95j8,51 y -0,007, con lo que el comportamiento del sistema es inestable para estos valores.Al ser el sistema inestable, no tiene sentido hablar de errores en rgimen permanente. 7.6Errores y sistemas equivalentes de orden reducido Para los tres sistemas siguientes: 2 G(z)- -------1- (z + 0,1)(2z2 - 2,8z + 2,1) (7.90) 152Control de sistemas discretos G2(z)=z + 1,7 z+0,7 z G3(z)=(z- 0,1)(z2- Z+ 0,5) Se pide: 1.Calcular en cada caso la sobreoscilacin (Mp)y el intervalo de pico (np). (7.91) (7.92) 2.Para cada sistema, determinar si es posible hallar un sistema equivalente de orden reducido. En caso afirmativo,comparar el margen de sobreoscilacn y el intervalo de pico de los sistemas reducidos con losiniciales. 3.Para lossistemasanteriores que admitensistema equivalente deorden reducido,realizar una realimentacin unitaria y hallar el error en rgimen permanente ante entrada escaln tanto para los sistemas iniciales como para los reducidos. Solucin 7.6 Se tiene: 1.Elprimer sistema esinestable,ya que en el polinomio 2z2 - 2,8z +2,1se cumple 2,1>2, luego algn polo del sistema tiene un mdulo mayor que 1. El segundo sistema es un sistema de primer orden: z + 1,7 G2(z)===*Y(z)==G2(z)X(z) z+0,7 Ante entrada escaln, se tiene: X(z) Y(z) z=} Y(z)=z + 1,7._z_ ==1 +1,7z-1 z-lz+0,7z-l1-0,3z-1 1 +2z-1 +1,3z-2 +1,79z-3 +... El valor final(dado que el sistema es estable) ser: ,(1)z+1,7z Yoo==11m1 - z- 7. --1 ==1,588 z ~ lz +,z-M==Mximo valor - Valor final.100 (JI==2 - 1,588. 100 o/c==259 o/c p2Valor final101,588o, o (7.93) (7.94) (7.95) (7.96) El intervalo de pico de sobreoscilacin, como se observa en la ecuacin 7.94, ser np2==1. Eltercersistemaesdesegundoorden,conunpoloadicional.Tienedospoloscomplejos conjugados (0,5 0,5j) y uno real (0,1).El sistema es, por tanto, estable. En este caso: X(z) Y(z) Y(z) zzz -- =*Y(z)==. --z- 1(z - 0,1)(z2- Z+ 0,5)z- 1 z-2 1 - 2,lz-1 + 1,7z-2 - 0,65z-3 + 0,06z-4 z-2 +2,lz-3 +2,71z-4 +2,77z-5 +...(7.97) Comportamiento esttico de sistemas realimentados153 El valor finalcon entrada escaln (dado que el sistema es estable): l'(-1)Z.Z= 2 22 Yoo=1m1 - Z2' z ~ l(Z- O,l)(z- z + 0,5)z- 1 (7.98) M- Mximo valor - Valor final.10001 _2,77 - 2,22.01_4701 p3- Valor final70- 2,22100 70- 2,7 10 (7.99) El intervalo de pico de sobreoscilacin, como se observa en la ecuacin 7.97, es np3= 5. 2.Aunque se puede hallar elsistema reducido equivalente del primer sistema (G 1 (z ), no tiene sentido hablar de intervalo de pico de sobreoscilacin nide margen de sobreoscilacin, dado que este sistema es inestable. G(z) _2_1,82 1- (1+0,1)(2z2 - 2,8z +2,1)- 2z2 - 2,8z +2,1 (7.100) El sistema G2(z)no se puede reducir. G(z) _1_1,111 3- (1- 0,1)(z2- Z+0,5)- z2- Z+0,5 (7.101) Para esteltimosistema reducidoequivalenteG;(z), setienecomo cerosy polos:Zk=O, Pj=0,1, Pr=0,5 0,5j. Para que sea vlida la sustitucin, se debe cumplir: (Pj- Zj)-t o.Por tanto:0,1- O =0,1=}Es aceptable . La contribucin de los otros polos Pr= 0,5 0,5j, se debe cumplir: Pr- Zk1 - Zk___ r-v__ Pr- Pjr-v1 - Pj (7.102) As: 0,5 +0,5j - O= 1 097 _O 121.1 - O= 1 111 05+05'-01',J{::}1-01' ,,J,, 0,5 - 0,5j - O=1 097 +O 121. {::}1 - O=1111 05-05'-01',J1-01' ,,J,, (7.103) Cada uno por separado es parecido. La suma tambin. Por tanto, la aproximacin puede ser vlida. Para hallar elmargendesobreoscilacinyelintervalodepicopara elsistema reducido,se identificarn en primer lugar los valores de la Figura 7.13. {)=7r 4 37r "1=-4 Ipl=0,707(7.104) 154Control de sistemas discretos p e -O' Ip-11 e Figura 7.13.Parmetros de un sistema discreto de segundo orden. AS: _7r np3==- ==4 7r/4 - - 4 Mp3==Iplnp 3 ==0,7071. 100 % ==25 %(7.105) El sistema reducido posee mayor margen de sobreoscilacin y menor intervalo de pico que el sistema inicial. Es esperable por la accin del polo real positivo. 3.El primer sistema admite sistema reducido equivalente.Sin embargo,no tiene sentido hablar deerror enrgimenpermanente,ya quetambinencadena cerrada elsistema esinestable. Faltaporcomprobareltercersistema.Sielsistemaesestableencadenacerrada,elerror ser elmismo tanto para el sistema original como para elreducido,ya queambos poseen el mismo valor para Kp. K- lm G(z)- 1- 2222 p3- z ~ l3- 0,9(1- 1 +0,5)- , - - 1111 Kp3==lm G3(z)=='==2,222 z ~ l1-1+0,5 El error de posicin ser: 1 ep3==1K==0,310==31 % +p3 (7.106) (7.107) (7.108) Pero hay que comprobar que lossistemas son estables, pues en caso contrario no son vlidas estas frmulas.En el sistema inicial: z M_(z-O,1)(z2- z +0,5)Z 3- 1 +(z-O,1)(:2-z+0,5)z3- 1,lz2 - 1,6z - 0,05 P(z)==z3- 1,lz2 + 1,6z - 0,05(7.109) Comportamiento esttico de sistemas realimentados155 Por el criterio de Jury,las condiciones a imponer al polinomio caracterstico P( z)son: 1 > 1- 0,051 P(1)==1 - 1,1+ 1,6 - 0,05==1,45> P( -1) ==-1 - 1,1- 1,6 - 0,05==-3,75 < Asimismo, se puede formar la Tabla 7.5. 1 -0,05 -1,545 -11, 1,6 1,02 1,6 -11, -0,9975 -O 05, 1 Tabla 7.5.Tabla de Jury para el sistema. Una de las condiciones que se deben imponer es: 1 - 0,99751> 1 - 1,5451 Dado que esta condicin no se cumple, se puede deducir que no es estable el sistema. Por este motivo no se puede hablar de error de posicin. Para el sistema reducido: 1,111 M- z2-z+0,5 3== 1 +1,111 z2- z +0,5 1,111 Z2- Z+ 1,611 P(z)==Z2- Z+ 1,611 (7.110) (7.111) (7.112) Como se observa, 1,611> 1; por tanto, el sistema no es estable. No se puede hablar, por tanto, de error de posicin. 7.7Errores en un sistema multivariable Para el sistema multivariable de la Figura 7.14, se pide: 1.Calcular el polinomio caracterstico del sistema en cadena cerrada. 2.Obtener los valores de K1 y K2 que hacen estable al sistema en cadena cerrada. 3.Calcular la matriz de error en rgimen permanente delsistema en cadena cerrada cuando las entradas son escalones unitarios. Solucin 7.7 Se tiene: 156Control de sistemas discretos Z U(4 1 1 5 z-3 Y(z) K .. , z-O.5 z-O.8 U2(z4 Y2(z) z O lIo. K2 .. ,, (Z-O.7)2 Figura 7.14.Sistema en bucle cerrado. 1.En el sistema representado en la Figura 7.14 se tiene: R(z)=((7.113) y G(z)==(Z_50,5(7.114) El sistema en cadena cerrada tendr como funcin de transferencia: M(z)==G(z)R(z) [1 + G(z)R(z)]-1(7.115) Se cumplir que: det[I + G(z)R(z)]= (7.116) dondePe (z)es el polinomio caracterstico en cadena cerrada y Pa (z)es el polinomio carac-terstico en cadena abierta. El polinomio Pa (z)se obtiene como el mnimo comn denominador de todos los menores de todos los rdenes de G(z)R(z). En este caso, sera: Pa(z)==(z- 0,5)(z - 0,8)(z - 0,7)2(7.117) El determinante se calcula como: det[1 + G(z)R(z)]== det[1 + (z_50,5 (KI0)] == K2 (1 + z(1 + (z )= (z- 0,5 + 5KI) (z2 - 1,4z + 0,49 + K2Z) z--0,5(z --0,7)2(7.118) lIo. , .. , Comportamiento esttico de sistemas realimentados157 As, Pc(z)= Pa(z)det[I +G(z)R(z)]= (z - 0,8)(z - 0,5 +5KI)(Z2- 1,4z +K2z+0,49) (7.119) 2.Para que el sistema en cadena cerrada sea estable, todas las races del polinomio caracterstico deben estar en el crculo unidad.Analizando cada trmino, se tiene: 10,81< 1.Siempre se cumple. El segundo factor: -1 < 0,5- 5KI < 1 ~-1,5 < -5KI < 0,5~-0,1 < KI< 0,3 Para el tercer factor,se puede aplicar Jury. P(z)=z2- 1,4z + K2z+ 0,49 P(l) > ~1 - 1,4 + K2 + 0,49> ~K2 > -0,09 P( -1) > ~1 + 1,4 - K2+ 0,49> ~K2< 2,89 Por tanto, las condiciones de estabilidad son: -0,1 < KI< 0,3 -0,09 O)ala diferenciaacumulada (sumatorio delactualyanterioresintervalos)entre lasreferenciasy losvalorescalculados en cada lectura.El computador lee lassealesy,ua la vezy la x0,1seg.antes.Elsistema se linealiza en tomo al punto de equilibrio definido por r x==0,02, r y ==0,04, u==10. Se pide: 1.Diagrama de bloques del sistema linealizado en torno al punto de equilibrio. 2.Para elsistema lienalizado,hallar las funcionesdetransferencia enZdelasvariables(x, y) en funcin de(tx, ty)tal y como las vera el computador. 3.Rango de valores de Kque hacen estable el sistema. 4.SiK==10,obtener elvalor en rgimen permanente dexeycuando upasa bruscamente de valer 10 a valer 20. 5.Si K==10, obtener elvalor en rgimen permanente de xe ycuando rx pasa bruscamente de valer 0,02 a valer 0,03. 160Control de sistemas discretos I AZCAR I CACAO ~ . ~ x ... JBlL ~.... T ............ j{ ..... .COMPUTADOR ...................... x MEZCLADOR CHOCOLATE Figura 7.17.Homogeneizador de chocolate. Nota:Todas las variables son dimensionalmente correctas. Solucin 7.10 1.El diagrama de bloques viene representado en la Figura 7.18. 2. [X ()][0,26Z+0,023 Z_z(z-0,716) Y(z)- 0,283 (z-0,716) 1 [ Tx(z)] Ty(z) 3.El rango devalores de estabilidad es < K< 121,27. 4.xvale en rgimen permanente 0,4, yvale en rgimen permanente 0,8. 5.xvale en rgimen permanente 0,3,yvale en rgimen permanente 0,4. LECHE u (7.128) Comportamiento esttico de sistemas realimentados161 ~ - - - .0.002-8. I-{ -l1e-Ol.r-., 14 0.0041- .-.-l-z1+3s o-G.I - { - I ~ ~-1 Figura 7.18.Diagrama de bloques. X(z) Y(z) , CAPITULO 8 COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS INTRODUCCIN El comportamiento dinmico de lossistemas de regulacin viene dado por la posicin delospolos y ceros en el plano complejo. Para el sistema representado en la Figura 8.1se tiene como funcin de transferencia: Mz_R(z)BG(z) ()- 1 + R(z)BGH(z) __T__Figura 8.1.Diagrama de bloques. T (8.1) Y(z) Los polos de este sistema vendrn determinados por los ceros de su ecuacin caracterstica: 1 + R(z)BGH(z) :=:O(8.2) que tambin se puede expresar como: M rr (Z- Zi) 1 + Ki=l:=:O N (8.3) rr (Z- Pi) i=l 163 164Control de sistemas discretos Para el clculo de las races de la ecuacin caracterstica (polos del sistema en bucle cerrado) ser ne-cesario resolver esta ecuacin. Su obtencin se complica si existe algn parmetro que pueda variar, ya sea la ganancia, unpolo o un cero en cadena abierta. , LUGAR DE LAS RAICES Paraunmejorconocimientodelaposicindelasracesdelaecuacincaracterstica,seemplea la tcnicadellugar delasraces.Dichomtodopermiteelclculo delaposicindelospolosdel sistema realimentadoenfuncindeunodelosparmetros.As,laevolucindelasracesdeesta ecuacin(polosdelsistema encadena cerrada),alvariarKdeO a00,sededucenatravsdelos conocidos criterios del mdulo y del argumento. ElcriteriodelmduloestablecequesiunpuntoZperteneceallugardelasraces,elvalordel parmetro Kse determina por: N II!z - Pi! K==_i=_l___ M (8.4) II!Z-Zi! i=l Elcriterio delargumento establece que para que unpunto pertenezca allugar de lasracesse debe verificar: MN L L(Z - Zi)- L L(Z - Pi)==(2r+ 1)7r (8.5) i=li=l REGLAS PARA EL TRAZADO DEL LUGAR DIRECTO , DE LAS RAICES Se derivan directamente de los criterios anteriores (K > O): Regla 1.Elnmeroderamasdellugar delasracesesigualalnmerodepolosdelafuncinde transferencia en bucle abierto. Regla 2.Cada rama comienza enunpolo(K==O)yterminaenuncero(K==(0).Siesdistin-toelnmerodepolosdelnmerodecerosdelafuncindetransferenciaenbucleabierto, habr ramas que partan o terminen en puntos del infinito. Regla 3.Unpunto deleje real pertenece allugar delasracessielnmero de ceros y polos reales situado a su derecha es impar. Regla 4.El lugar es simtrico respecto al eje real. Comportamiento dinmico de sistemas realimentados165 Regla 5.El nmero de ramas que termina en el infinito es igual ala diferencia entre el nmero de polosyelnmero de ceros.Estasramasson asintticascon rectascuyosnguloscon eleje real son: ()a=(2r + 1)71" d siendo d ==(N - M) el nmero de asntotas y run entero que vara de O a d - 1. (8.6) Regla 6.Todas las asntotas se cortan en un punto del eje real, denominado centroide, determinado por: (8.7) Regla 7.Los ngulos de salida de los polos complejos (}Pjyllegada de losceros complejos (}Zjse determinan por el criterio del argumento. MN (}Pj==L L(pj - Zi)- LL(pj- Pi)+ (2r+ 1)1r(8.8) i=li=l, ii-j MN (}Zj==L L(Zj- Pi)- LL(zj - Zi)+ (2r+ 1)1r (8.9) i=li=l, ii-j Regla 8.Los puntos de dispersin y de confluencia de las ramas son soluciones de: N d rr (z- Pi) i=l ==0 (8.10) dz M rr (z- Zi) i=l Regla 9.Los puntos de interseccin con el crculo de radio unidad pueden encontrarse mediante el criterio de estabilidad de Jury. Para representar el lugar inverso de las races (K < O)se derivan reglas similares a las presentadas. 166Control de sistemas discretos 8.1Comportamiento esttico y dinmico al variar un polo Analizar elcomportamiento esttico ydinmicodelsistema dela Figura8.2alvariar KentreO e oo. + z . ---------------- ~ ~ - - ~ (z+K)(z-O.6)(z-O.7) Figura 8.2.Diagrama de bloques. Solucin 8.1 En primer lugar,se analizar elcomportamiento esttico delsistema.Para unvalor deKde forma tal que el sistema sea estable, se tiene: 1 Kp= l ~G(z) =(1+ K) ~0,4.0,3 Siendo el error de posicin: 8,33 l+K (8.11 ) (8.12) 1l+K ep =1 + ~9,33 + K(8.13) l+K Al aumentar el valor de K, el error pasa de valer 0,107 (para K==O)a valer 1 (para K==(0). El error de velocidad ser: yel error de aceleracin: T ev ==-Kv Kv==lm(z - l)G(z)==O z ~ l (8.14) Comportamiento dinmico de sistemas realimentados167 Ka=lm(z - 1)2G(z)= (8.15) Estos valores de los errores slo sern vlidos para el rango de Kque hace el sistema estable. Para el anlisisdel comportamiento dinmicoser necesario determinar la posicin de lospolosy ceros del sistema en bucle cerrado: z M(z)=1(z+K)(z-O,61(z-O,7) +(z+K)(z-O,6)(z-O,7) z (8.16) (z + K)(z - 0,6)(z - 0,7) + z El sistema posee un cero en z= 0, para cualquier valor de K. La posicin de los polos depender del valor de K. Para ver su evolucin, ser necesario representar el c@JQmo de las races. Del polinomio caracterstico se tiene: P(z)=(z+K)(z-0,6)(z-0,7)+z =z(z-0,6)(z-0,7)+z+K(z-0,6)(z-0,7) = (8.17) que se puede expresar como: 1K (z- 0,6)(z - 0,7)K(z- 0,6)(z - 0,7) +=1+ z [(z- 0,6)(z - 0,7) + 1](z2- 1,3z + 1,42)z (8.18) Este sistema posee en cadena cerrada los mismos polos que el original.El lugar de las races viene representado en la Figura 8.3. 08 0,6 0,4 0,2 ...................... ..t"..'."'. //....I........... :K2 .................. . ..0,2 -06 -1 -1,5 " " -1 " ", -' ... " ...................... t .... .. .. -O,SO,'>Figura 8.3.Lugar de las races del sistema. 1,5 El sistema posee tres polos. Inicialmente, uno es real (O)y los otros dos polos complejos conjugados (0,65 jO,9987)producenuncomportamientoinestablehastaunvalordeK=K 1.Apartir de 168Control de sistemas discretos este valor existen dos polos complejos dominantes con un comportamiento estable, hasta un valor de K==K2 en que el sistema vuelve a ser inestable.Para el clculo de estos valores se proceder me-diante un mtodo de tanteo. Valor K1 El punto aproximadamente valdr 0,65 + jy, cumplindose: 0,652 + y2==1 y==0,76 (8.19) (8.20) Para este punto, y supuesto que el lugar de las races pasase por l, el criterio del mdulo proporciona como valor de K 1 : K1 =1(0,9987 - 0,76)(0,9987 + 0,76)=O 7237 JO,052 + 0,762JO,052 + 0,762 ' Para este valor de K 1, el polinomio caracterstico ser: P(z)==z3- 0,5763z2 + 0,4792z + 0,3039 Los polos sern(0,4721 0,7769j) y -0,3678. (8.21) (8.22) El mdulo de los polos complejos es 0,9090, que, aunque cercano a la circunferencia de radio unidad, no pertenece a ella. Unvalormsexactoseobtendraenunanuevaiteracinsisesuponequeelpolocomplejose encuentra en 0,47 jy, teniendo: 0,472 + y2==1 y==0,8827 (8.23) (8.24) Para este punto, y supuesto que el lugar de las races pasase por l, el criterio del mdulo proporciona como valor de K 1 : K=1J(0,65 - 0,47)2+ (0,9987 - 0,8827)2J(0,65 - 0,47)2+ (0,9987 + 0,8827)2=04973 1J(0,6 - 0,47)2+ 0,88272J(0,7 - 0,47)2+ 0,88272 ' (8.25) Para este valor de K 1, el polinomio caracterstico ser: P(z)==z3- 0,8027z2 + 0,7735z + 0,2089(8.26) Los polos sern(0,5071 0,8549j) y -0,2114. El mdulo de los polos complejos es 0,9939, por lo que ya s se puede suponer que se encuentran sobre la circunferencia de radio unidad. Valor K2 Para calcular el valor de K 2se tiene por el criterio del mdulo: K=J1,652 + 0,99872J1,652 + 0,99872 . 1=1 3676 216.17' ,, (8.27) Comportamiento dinmico de sistemas realimentados169 Para este valor,el polinomio caracterstico resulta: P(z)Z3+ 0,0676z2 - 0,3579z + 0,5743= (z + 1)[(z- 0,4662)2+ 0,59762](8.28) Asumiendo los valores previos, se tiene que para los valores e-T ~T> 0,6931 Segunda.Adems, el polo en cadena cerrada debe situarse en el semiplano izquierdo: e-T KLR>1- 2e-T KL'R==K 0,5 2e-T T>0,6931~K>1 _2e-T 4.Al ser el sistema estable en cadena cerrada, el error de posicin ser: 1 Ep=1 +hKp Kp=lm KBG(z)=lmz + (1- 2e-T) K= 2K z ~ lz ~ lz- e-T con h==0,5. Por tanto: 1 Ep==1 + K Veamos sise puede conseguir anular la diferencia entre la entrada y la salida: X(z)U(z)- Y(z)== [ 1 - 1 +: : ; ~ ~ ~ ~ : ~ ; T )]1 _1z-l [1 _K(z + (1- 2e-T))].1 (z- e-T)+ 0,5K(z + (1- 2e-T))1 - Z-l Xoo =lm(1- Z-l)X(Z)= 1 - 12KK z ~ l+ Para que se anule este valor,se ha de producir K==1. (8.52) (8.53) (8.54) (8.55) (8.56) (8.57) (8.58) Por tanto, se anula la diferencia entre la seal de entrada y la seal de salida siempre y cuando K==1,independientemente del valor de T. Aunque elerror de posicin noseanule,s 10puede hacer la diferencia entre la entrada y la Comportamiento dinmico de sistemas realimentados177 salida, pues la realimentacin no esunitaria (h=0,5).El error {ek}={Uk}- h{Yk} es la sealqueactasobre elregulador.Marca la diferencia entrela entrada yla salida adaptada (multiplicada por h).Esnecesariodestacar que en la presente estructura de controlnotiene sentido calcular {Uk}- {Yk}. 8.4Comportamiento de un sistema muestreado en funcin del regulador y del perodo de muestreo La Figura 8.9 representa unsistema decontrol realimentado enelquesedesea ajustar losvalores del perodo de muestreo T(en el rango comprendido entre 0,3 y1 seg.) y la constante K(K > O). U(z)+ Se pide: -- __Bo{ S) H T Figura 8.9.Diagrama de bloques. T Y(z) 1.Valoresde Kque hacen estable elsistema en funcindel perodo demuestreo Ty delpolo del regulador (parmetro a,O < a< 1). 2.Calcular el error de posicin en funcindel perodo de muestreo T, de la constante K, y del parmetro a (O< a< 1). Razonar la respuesta. 3.Si a=0,8, disear un valor de KyTque permita que elsistema tenga un error de posicin menor del12 %. Solucin 8.4 Se tiene: 1.El sistema en cadena cerrada es: Mz_R(z)BG(z) ()- 1 + R(z)BG(z) donde: BG(z) (1- z -1 )2:Residuos[G (p )1TI] = P1 - eP z-polos G(p), p=o (1_z-l) .(1_1)_1 - e-T 1 - z-l1 - e-T Z-l- Z- e-T (8.59) (8.60) 178Control de sistemas discretos Por tanto: Kl-e-T M(z)==z=a z-e-T 1 + JL l-e-T z-a z-e-T (8.61) (z- a)(z - e-T)+ K(l - e-T) Elsistema encadena abiertatienedospolos:enayene-T (ambosvaloressonpositivos). La distribucin de lospolos en cadena cerrada vendr representada por el lugar delasraces (Figura 8.10). 0,8 0,6 0.4 ... 0,2 -0,2 -0,4 ..0,6 -08 1. Figura 8.10.Lugar de las races del sistema. El polinomio caracterstico vendr dado por: P(z)==(z-a)(z-e-T)+K(l-e-T)==z2_(a+e-T)z+ae-T +K -Ke-T ==O (8.62) El sistema se hace inestable a partir de unvalor de Ken el cual los polos dominantes(com-plejos) tienen mdulo mayor que 1.Esta situacin se da cuando: Por tanto, el sistema ser estable si: 2.Para calcular el error de posicin: 1 - ae-T OOK O y para K< o. Si K> -1/2, entonces N=O: Z=N+P=1(9.10) Luego el polo en cadena cerrada se encuentra dentro del camino de Nyquist elegido. El sistema ser estable. Reuniendo todaslascondiciones analizadaspreviamente,setiene que elsistema esestable para el rango de valores: -1/2 < K(9.11) 9.2Criterio de Nyquist con un polo en el camino Determinar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema representado en la Figura 9.6 (siendo K> O). Solucin 9.2 Enprimerlugar,sernecesariocalcularelequivalentediscretodelconjuntoBloqueador-Sistema continuo-Muestreador. BG(z) =(1- Z-l) 1Ir1] PP- eP z-p=o (9.12) Como se observa en la expresin previa, es necesario calcular el residuo de un polo doble: (9.13) 194Control de sistemas discretos + -180(s) Ii ~ ' - - - - I ~I ~ Figura 9.6.Diagrama de bloques. -1KTz-1 BG(z) = (1- z) (1_ Z-1 )2 KT z-l (9.14) A continuacin se aplicar el criterio de Nyquist, eligiendo como camino el representado en la Figura 9.7 para evitar el polo en z==1. TRAMOI -1 TRAMO11 Figura 9.7.Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6. De esta forma,el camino de Nyquist se divide en dos tramos: Tramo 1:z==ejO, cuando ()vara entre O y 360 . Tramo 11:z==1 + rejO, cuando ()vara entre[-90, 90]y r---+O. A continuacin se calcular el nmero de vueltasNque recorre la imagen alrededor del punto-1, teniendo en cuenta la funcin de transferencia en bucle abierto dada por la expresin 9.14. Para el tramo 1,y de acuerdo con la Figura 9.8, se puede construir la Tabla 9.1. Tambin esposible calcular la imagendelcamino de Nyquist sustituyendo en la expresinBG(z) de la ecuacin 9.14,z==ejo. Para el tramo 11,se tiene: z==1 + rejO r---+O, Criterio de Nyquist195 1 Figura 9.8.Forma vectorial de ejO- 1. () 090180270360 L(ejO-1) 90135180225270 L(BG(z))27023518013590 IBG(z)1 00 KTKTKT 00 ~ -2-~ Tabla 9.1.Respuesta ante entrada impulso (9.15) Elmdulosiemprevaatener valoroo.Elngulovariar entre90hacia-90. De esta forma,la imagen del camino de Nyquist viene representada en la Figura 9.9. Las vueltas que da la imagen en tomo al punto -1 depender del valor de K. Si K< 2/T, la imagen da una vuelta (es decir, N=1).Si K> 2/T, la imagen no da ninguna vuelta (es decir,N=O). De esta forma,se tiene: (9.16) ConP=O,el polo enz=1 queda fuera del dominio.SiK2/T,Z=O.AS,elnmerodepolosdelsistema encadena cerrada es cero.Ningnpolodelsistema encadena cerradaseencuentra dentrodelcaminodeNyquist.Por este motivo, el sistema ser inestable en este rango de valores. 9.3Criterio de Nyquist con dos polos en el camino Determinar por el criterio de N yquist la estabilidad del sistema representado en la Figura 9.10 (siendo K> O). 196Control de sistemas discretos Figura 9.9.Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K>o. + K ~----------------- ~ - - ~ - - ~ z2-1.2z+1 Figura 9.10.Diagrama de bloques del sistema. Solucin 9.3 La funcin de transferencia en bucle abierto del sistema es: K G(z)------ z2- 1,2z + 1 (9.17) con los polos en 0,6 0,8j. Para poder aplicar el criterio de Nyquist es necesario definir un camino de N yquist que encierre el crculo unidad y no presente singularidades en su recorrido por los polos del sistema en cadena abierta.Por este motivo,se elige como camino de Nyquist el representado en la Figura 9.11. Sobre este camino de Nyquist se distinguen cuatro tramos (vanse Figuras 9.11y 9.12): Tramo 1:z= ejO, cuando (jvara entre-53 y +53 , pasando por 0 . Tramo 11:z=0,6 +0,8j +rejO, cuando (jvara entre[-37, -127, 143]Y r---+O. Criterio de Nyquist197 TRAMO III 0.6+0.8J -1 1TRAMO I Figura 9.11.Camino de Nyquist seleccionado. 0.6+0.j 53 ~ ~ j i g U r a9.12.Detalle de los tramos 11y IV. Tramo 111:z= ejO,cuando ()vara entre 53y-53, pasando por 180. 198Control de sistemas discretos Tramo IV:z==0,6- 0,8j + rejO, cuando (jvara entre[-143,127,37]y r--+O. Para los tramos I y III se pueden construir las Tablas 9.2 y 9.3. (j==-53(j==0(j==53 11 L 11 L 11 ~ ~ ejO- 0,6 + 0,8j O370,89631,6/190 "O 1,6 -9 0,89-63O-37el- O 6 - O 8j,, TOTAL00531,26K000-53 Tabla 9.2.Mdulos y argumentos para el tramo I (j==53(j==180(j==-53 11 ~ 11 L 11 L ejO- 0,6 + 0,8j1,6 \ ~ 1,8153O37 "O O-371,8-1531,6 ~ el- O 6 - O 8j,, TOTAL001270,308K000-127 Tabla 9.3.Mdulos y argumentos para el tramo III Para el tramo II se tiene: K G(z)=(1,6j + reJfJ)rejIJ (9.18) El mdulosiempre valdr00,mientrasque el argumento ser-90 - (j.AS,sobre eltramo 11,el argumento pasa por los puntos-53,37,127. Para el tramo IV se tiene como imagen: K G(z) =(-1,6j + rejIJ)rejIJ (9.19) Elmdulosiemprevaldr00,mientrasqueelargumentoser 90- (j.AS,sobreeltramoIV,el argumento pasa por los puntos-127, -37, 53. Con estos datos se puede representar de forma aproximada (r ==0,5) la imagen al recorrer el camino de Nyquist por la funcin de transferencia en bucle abierto (Figura 9.13). Como se observa, no da ninguna vuelta en tomo al punto -1. Por tanto,N==O.El nmero de polos de la funcin de transferencia en bucle abierto dentro del camino de Nyquist elegido es P==O.AS, Z==N+ P==O:no existe ningn polo del sistema en bucle cerrado dentro del camino de Nyquist, por 10que el sistema ser inestable.Con una sencilla comprobacin mediante el criterio de Juryse puede obtener el mismo resultado. Criterio de Nyquist199 1 5 ~ - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ Tramo11 10 5 o -5 -10 TramoIV - 1 5 ~ - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ -10-5o51015 Figura 9.13.Diagrama de Nyquist para el sistema. 9.4Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1) Dado el sistema multivariable en cadena abierta: [ 3+5z G(z)=0:5 ! ] (9.20) estudiar su estabilidad por el criterio de Nyquist cuando se realimenta negativa y unitariamente. Solucin 9.4 Para poder aplicar el criterio de Nyquist hay que calcular el determinante: AS: det[I + G(z)] Por lo que: Pc(z) det[I + G(z)]=Pa(z) [1 + 3+5z 1 deto 5 z z -' 1+ zz (3+ 6z)(3 + z)0,5 --z2Z2 ]= 6z2 +21z+8,5 z2 (9.21) (9.22) (9.23) 200Control de sistemas discretos Pc(z)= 6z2 + 21z + 8,5(9.24) Donde Pa (z)es el mnimo comn denominador de todos los menores de todos los rdenes de G (z ). Se elige como camino el representado en la Figura 9.14, con z=ejOy ()que vara entre 0y 360 . El determinante ser: -1 ........... ...... ..... .. .... .... 1 Figura 9.14.Camino de Nyquist elegido. 6e2jO + 21ejo+8,5.. det[I + G(z )llz=ej8=e2j(}=6 + 21e-J(}+ 8,5e-2JI!(9.25) Este resultado se puede representar como la suma del punto 6,una circunferencia de radio 21que da una vuelta y de otra circunferencia de radio 8,5 que da dos vueltas (Figura 9.15). Algunos puntos sern: Para ()= 0, det[I + G(z)]= 35,5. Para ()= 90, det[I + G(z)]=-2,5 - 21j. Para ()=180, det[I + G(z)]=-6,5. Para ()=270, det[I + G(z)]=-2,5 + 21j. Las vueltas alrededor del O son:N=-1. Como P= 2 (races de Pa(z) en D). Entonces, Z=N+P=-1+2=1(9.26) Slo hayunpolo dentro delcrculounidad para elsistema realimentado.Como existendospolos, uno ser inestable. Al mismo resultado se llega factorizando: 6z2 + 21z + 8,5= O (9.27) obteniendo como races-0,46 y-3,03. Criterio de Nyquist201

20 10 o -10 -20

-10-5o510152025303540 Figura 9.15.Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist. 9.5Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11) El sistema de la Figura 9.16 es estable en cadena abierta, siendo: R(z) =:2] (9.28) y BG(z) =[O ] X22(Z) (9.29) + ==B .. 1BG(z) 1 Figura 9.16.Sistema multivariable. Cada elemento de BG(z) posee como respuesta en frecuencia las indicadas en la Figura 9.17 (mdu-lo y fase). 202Control de sistemas discretos A ~ x 12 2 __------......2 O. 5 O. 5 -, O 21t/T O 21t/T 1t1t O -, O 21t/TO21t/T (a)(b) 3 __------....3 OO,... , O 21t/T O 21t/T 1t O , O21t/T -1t (e)(d) Figura 9.17.Respuesta en frecuencia (mdulo y fase) de XII (a),Xl2 (b),X21 (c) y X22 (d). Criterio de Nyquist203 Se pide: 1.Valores de KI (KI > 0,5) que hacen estable el sistema en cadena cerrada, si K2 =1. 2.Valores de K2 (K2 > 0,5) que hacen estable el sistema en cadena cerrada, si KI =1. 3.Obtener las funciones de transferencia Xij (z)y determinar el polinomio caracterstico en ca-dena cerrada. Para qu valores de KI y K2 el sistema ser estable en cadena cerrada? Solucin 9.5 La funcinsobre la que se aplica el criterio de Nyquist en sistemas multivariables es: [ 1 + KlXII(Z) det!! + BG(z)R(z)]=detK1X21(Z) K2X I2 (Z)] 1 + K2X22(Z) (9.30) ElcaminodeNyquistelegidoser la circunferencia deradiounidadz=ejOcon()entre y27r. La imagen delcamino a travsde las funcionesXij(z)esequivalente a la respuesta en frecuencia de Xij(z)lz=eiwT,con el cambio ()= wT. Por tanto,el conocimiento de la respuesta en frecuencia permite aplicar el criterio de Nyquist. Como el sistema es estable en cadena abierta,P=n(nmero de polos del sistema). Al ser Z=N+P(9.31) para que el sistema sea estable en cadena cerrada, se deber cumplir que Z= n, lo que obliga a: N=Z-P=n-n=O(9.32) Luego no deber dar ninguna vuelta alrededor del origen. Para hallar Nhay que comprobar para cada apartadosies de diagonal dominante y as poder sim-plificar el clculo con las vueltas de cada elemento de la diagonal principal. 1.Si KI > 0,5, K2 =1, la respuesta en frecuencia de los elementos de[1+ BG(z)R(z)] en el diagrama polar ser la representada en la Figura 9.18. Si KI > 0,5, se cumple: (9.33) (9.34) El sistema es de diagonal dominante por columnas (no as por filas). Luego N= Nl + N2NI=-1 (si KI > 0,5) y N2 =-1. Por tanto, N=-2, de lo que se deduce que el sistema es inestable bajo las condiciones de este apartado. 204Control de sistemas discretos 1-2K 1 -0.5 -2 4 Figura 9.18.Respuesta en frecuencia de los elementos de[1 + BG(z)R(z)] cuando K1 > 0,5 yK2 = 1. .2.SiKI==1 Y K2 > 0,5,la respuesta en frecuencia de los elementos de[1+ BG(z)R(z)] en el diagrama polar vienen representados en la Figura 9.19. SiK2 > 0,5, se cumple: 11+ XIII> IX211para cualquier w (9.35) (9.36) Es de diagonal dominante por columnas. Luego N==NI + N2Como NI==-1 Y N2 ==-1 (si K2 > 0,5), N==-2. Por tanto, el sistema es inestable bajo las condiciones del apartado. 3.Las funciones de transferencia de cada Xij(z) sern: 2 XII(Z) ==-Z pues es una circunferencia de radio 2 y recorrido inverso. (9.37) (9.38) Criterio de Nyquist205 -13 1+ Xll 1-3K2 - = - + - - + - - - - ~ Figura 9.19.Respuesta en frecuencia de los elementos de[1+ BG(z)R(z)] cuando K1 = 1 Y K2 >0,5. X2(z)=O 3 X22(Z)= --Z (9.39) (9.40) pues es una circunferencia de radio 3 y recorrido inverso.El signo menos se debe a que para w =O se parte de 1r. Se puede calcular: [ 1 + K ~ det[I + BG(z)R(z)]= detOZ como Pc(z) det[I + BG(z)R(z)]=Pa(z) (9.41) (9.42) Pa (z)se determina como el mnimo comn denominador de todoslosmenores de todoslos rdenes deBG(z)R(z). En este caso,Pa(z)=z2.Por tanto,Pc(z)=(z + 2K)(z - 3K2). Para que el sistema sea estable deber ser: 12K1< 1 ~-0,5 < K< 0,5 13K21 < 1 ~-1/3 < K2 < 1/3 que confirma los resultados de los primeros apartados. (9.43) (9.44) 206Control de sistemas discretos 9.6Problema propuesto Determinar por el criterio de Nyquist la estabilidad delsistema representado en la Figura 9.20 para K>O. + z-O.5 K (z+O.6)(z-l) Figura 9.20.Diagrama de bloques en bucle cerrado. Solucin 9.6 El sistema ser inestable para K> 2.El diagrama de Nyquist viene representado en la Figura 9.21. 4 ,-- -- -- -- - r-- -- -- -- -- --- --r---- -- -- -- - ... -- - -- --- ----4 '- - -- -- -- -- J_ - --w1o2345678 Figura 9.21.Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z=1 por la izquierda. Criterio de Nyquist207 9.7Problema propuesto Analizar la estabilidad delsistema dela Figura 9.22mediante el criterio deNyquist para T=0,5 seg.y K> O. x (z)+--0 1 Y(z) ~K 1110.Bo(s) .... ... , " -(s+2) ~ ~ ~ -T Figura 9.22.Diagrama de bloques delsistema. Solucin 9.7 Elsistema ser inestable para K>4,327.El diagrama de Nyquist viene representado en la Figura 9.23. 1, , 0,8 ~ 0,6 ~ 0,4, 0,2' -0,231 K o.. -0.2' -0.4: -0,6 ~ -0.8' -1~ __.1.-1-0,5o0,5 Figura 9.23.Diagrama de Nyquist para elsistema propuesto. 9.8Problema propuesto Analizar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema realimentado negativa y unitariamente, cuyos elementos de la matriz: BG(z) =(9.45) se encuentran representados en la Figura 9.24 208Control de sistemas discretos 22 o21t1T o oo o21t/To21t/T (a)(b) X21X22 33 2 0,50,5 O 21t/T O 21t/T 1t1t -1t-1t (e)(d) Figura 9.24.Respuesta en frecuencia del sistema (mdulo y argumento). Tngase en cuenta que el sistema es estable en cadena abierta. Solucin 9.8 La respuestaenfrecuenciaeneldiagramapolarde[1+ BG(z)]seencuentra representadaenla Figura 9.25. Se cumple 11+ Xlll >IX2l 1y 11+ X 22 1 >IXl21.As: N=Nl +N2 =-2 Z=N+P=n-2 El sistema en cad