Simulacion de material granularutilizando el metodo de elementos

discretos paralelizado con GPU

ISUM–2012

Faustino Neri (CIMAT, A. C.),Carlos Labra (CIMNE) ySalvador Botello (CIMAT, A. C.).

Resumen

Material granular

Colisiones entre particulas

Fuerzas entre partıculas

Un poco de CUDA

Simulaciones

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Metodo de elementos discretos

Caracterısticas

I El material es representado por una coleccion de partıculas.

I La formulacion presente utiliza partıculas esfericas (3D).

I Las partıculas se modelan como cuerpos rıgidos [1].

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Ecuaciones Newton-Euler

mi ri = Fi, (1)

Ii ωi = Ti. (2)

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Contactos de una partıcula

Dado un sistema de n partıculas, la etapa mas costosa del metodoDEM, es detectar todas las colisiones, es decir los pares departıculas que se sobreponen

Vi ∩ Vj 6= ∅ (3)

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Ordenamiento espacial

0 1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11

12 13 14 15

0

1

2

3

4

5

6

I Dimension de la celda

h = 2 max(R).

I Funcion hash:

H (ri ) = rzi (lx ly lz)+ryi (lx ly )+rxi .

I Espacio de simulacion:

b ≤ ri ≤ e.

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Sistema de partıculas

Sistema de partıculas

A = {p1, . . . , pn},

donde pi = {ri , ri , ω,Ri ,mi ,Fi ,Ti}.Las partıculas se ordenan en funcion del valor H [3], resultando unsistema A ordenado

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Ejemplo

1 2 3

5 6 7

9 10 11

0

1

2

4

6

El vecindario de la partıcula 4 es

N4 = {p4, p6},

N4 ∈ C 96 .

donde el espacio de vecinospotenciales C 9

6 se define como

C 96 =

i=2,j=3⋃i=0,j=1

g(i , j).

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Fuerzas

La fuerza total Ftotali que actua sobre una partıcula pi , esta formada

por dos tipos de fuerzas

I Fuerzas debido a colisiones entre partıculas.

I Fuerzas externas (e.g., gravedad, colision con muros,amortiguado y potenciales fısico/quımicos).

Ftotali =

∑j∈Ni

Fi ,j + Fexti .

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Balance de fuerzas

La colision de dos partıculas del sistema, satisface la tercera ley deNewton

Fi + Fi = 0.

Division de la fuerza de contacto

F = Fn + FT .

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Modelo reologico

Los parametros del modelo reologico, son derivados de experimentosde laboratorio sobre especımenes del material a simular [2]

los parametros del modelo son: kn rigidez normal, cn amortiguado,kT rigidez tangencial y µ coeficiente de Coulomb.

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Penetracion entre partıculas

Dos partıculas pi y pj , estan en contacto si

di ,j < (Ri + Rj),

donde la distancia entre partıculas esta definida como

di ,j =‖ rj − ri ‖2 .

La penetracion entre partıculas, se define como

δi ,j = (Ri + Rj)− di ,j .

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Fuerza normal

La fuerza normal, se descompone en una fuerza elastica y una fuerzade amortiguado

Fn = ( δi ,jkn︸ ︷︷ ︸el astica

− cnvrn︸ ︷︷ ︸amortiguado

)n,

donde la velocidad normal relativa se deriva como

vrn = (rj − ri ) · n,

y el coeficiente de amortiguado, es proporcional al amortiguadocrıtico

cn ∝ 2

√mimjknmi + mj

.

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Fuerza tangencial

La fuerza tangencial aparece debido a la friccion, resultado de laoposicion al movimiento relativo en el punto de contacto, paraderivarla utilizamos la ley de Coulomb

FT = − mın(µ ‖ fn ‖, kt ‖ vrT ‖)vrT‖ vrT ‖

,

donde la velocidad tangencial relativa vrT al punto de contacto, sedefine como

vrT = vr − (vr · n)n,

vr = (rj + ωj × rcj)− (ri + ωi × rci ).

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Amortiguado

Un estado casi estatico de equilibrio de todo el sistema de partıculas,puede ser alcanzado aplicandole un amortiguado apropiado.El amortiguado viscoso se define como

Fdampi = −αvtmi ui , Tdamp

i = −αvr Iiωi ,

y el amortiguado no viscoso esta definido como

Fdampi = −αnvt‖Fi‖

ui

‖ui‖, Tdamp

i = −αnvt‖Ti‖ωi

‖ωi‖.

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Integracion numerica

I Ecuacion de traslacion

rn+1i = rni +

∆t

mi,Fi , rn+1

i = rni + ∆t rn+1i .

I Ecuacion de rotacion

ωn+1i = ωn

i +∆t

IiTi .

I Tamano de paso de tiempo

∆t = α2√

kn/ mın(m)

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CUDA

CUDA organiza la computacion en paralelo utilizando la abstraccionde hilos, bloques, y rejillas.

Block(0,0)

Thread(0,0)

Block(0,1)

Block(2,0)

Block(1,2)

Block(1,1)

Block(1,0)

Block(0,2)

Block(2,1)

Block(2,2)

Thread(0,2)

Thread(1,0)

Thread(2,0)

Thread(2,1)

Block(1,3)

Block(0,3)

Block(2,3)

Thread(0,1)

Thread(1,1)

Thread(1,2)

Thread(2,2)

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Modelo de programacion

A continuacion se describen cada uno de los componentesprincipales del modelo de programacion utilizado en CUDA

I Hilo: es una ejecucion de una funcion kernel con un ındice unicoasociado. Cada hilo usa su ındice para acceder a ciertaslocalidades de memoria.

I Bloque: es un grupo de hilos, los cuales se ejecutan en paraleloo en serie, dependiendo de la carga en cada core del GPU.

I Rejilla: es un grupo de bloques, no existe sincronıa entre losbloques de hilos.

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Simulaciones

In

we trust!19/23

Contenedor rotando

Caracterısticas

I Dimensiones del contenedor:radio = 0.5 m, ancho = 1.0 m

I Velocidad angular: 2π◦

I Numero de partıculas: 154,373

I Radio promedio: 0.00916 m

I Masa promedio: 0.00807 kg

I Incremento de tiempo:7.1×−6 s

I Iteraciones: 500,000 (3.5 s)

I Tiempo de procesamiento:94.9 m

Figura: Contenedor (vıdeo 1,vıdeo 2).

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Pala industrial

Caracterısticas

I Numero de partıculas: 216,838

I Radio promedio: 0.019 m

I Masa promedio: 0.0754 kg

I Incremento de tiempo:1.5×−5 s

I Iteraciones: 300,000 (4.48 s)

I Tiempo de procesamiento:77.2 minutos

Figura: Pala industrial (vıdeo 1,vıdeo 2).

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Referencias

[1] P. A. Cundall and O. D. L. Strack. Discrete numerical modelfor granular assemblies. Geotechnique, 29:47–64, 1979.

[2] Eugenio Onate and Jerzy Rojek, Combination of Discrete Ele-ment and Finite Element Methods for Dynamic Analysis of Geo-mechanics Problems”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.193, 3087-3128, 2004.

[3] Ericson. C, Real-Time Collision Detection, Morgan Kaufmann2005.

[4] Faustino Neri Larios 2011, Caracterizacion de la onda de cho-que sobre estructuras, Tesis de Maestrıa, Centro de Investiga-cion en Matematicas.

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Science is what we understand well enough to explain to acomputer. Art is everything else we do.

– Donald Knuth

Gracias!

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