Generación de números pseudoaleatorios

Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 7 de junio 2005

SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS

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Tabla de Contenido1. Mapa Conceptual

2. Generación de Series de Números Aleatorios.

3. Generadores no congruenciales

4. Generadores congruenciales

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Mapa Conceptual

Fenómenos FísicosProcedimientos

Matemáticos

NúmerosAleatorios

Validación deSeries de NA

VariablesU (0,1)

VariablesAleatorias

Tabla de Nros. aleatorios

Xi+1=(aXi+c) mod m

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GENERACIÓN DE SERIES DE NÚMEROS ALEATORIOS

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Generación de Números Aleatorios• Rol preponderante en el proceso de simulación.

• Para simular necesitamos de números aleatorios como semillas para generar muestras de V.A.

• Características de un generador de nros aleatorios:

• 1) Muestrea valores de Distribución Uniforme. 

• 2) Asegura la NO Correlación Serial.

•

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Algunas Propiedades de Nros Aleatorios 1. Distribución Uniforme.

Cualquier número que pertenezca al rango de interés debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado. 

2. NO Correlación Serial.

La aparición de un número en la secuencia, no afecta la probabilidad de que aparesca otro (o el mismo) número.

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EjemploLa sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...

es uniforme

pero

está correlacionada.

 

Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad y correlación serial, temas que veremos mas adelante.

Series de números aleatorios• No tiene sentido el concepto de “número aleatorios”.• Se usa el concepto de “serie de números aleatorios”

• “Una sucesión de números es aleatoria si no puede reproducirse eficientemente mediante un programa más corto que la propia seria”

• “Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice recursos computacionales razonables en tiempo razonable puede distinguir entre la serie y una sucesión verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando una moneda fiel para decidir cuál es cuál”

Definiciones provenientes de la teoría computacional

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Serie de Números Aleatorios• Son números que deben de cumplir los requisitos de

espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.

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Propiedades deseables1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes (no correlación).

3. Periodo largo (sin repetición).

4. Reproducibles y mutables.

5. Sencillo en su implementación.

6. Portabilidad.

7. Método rápido de generación.

8. Poca memoria para la generación.

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Mecanismos de generación• Tablas de números aleatorios

– RAND (1955), 100,000 números aleatorios (ruido electrónico)

• Fenómenos físicos– Ruido blanco producido por circuitos

electrónicos– Recuento de partículas emitidas– Lanzamiento de monedas– Rueda de la fortuna

• Procedimientos matemáticos– Se usa algoritmos para la generación de

números aparentemente aleatorios, se entrega una semilla y se generan los sucesores mediante una función

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadísticamente independientes.

3. Periodo largo (sin repetición).

4. Reproducibles y mutables.

5. Sencillo en su implementación.

6. Portabilidad.

7. Método rápido de generación.

8. Poca memoria para la generación.

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Generación de Series de Nros. Aleatorios• Es un proceso fundamental en la simulación.• ¿Por qué?

• Para simular el comportamiento de variables aleatorias.– El comportamiento de un sistema depende del comportamiento de sus

variables (variables aleatorias).

• ¿Qué sucede si en un modelo en lugar de usar una distribución Normal usamos una Poisson?

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GENERADORES NO CONGRUENCIALES

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Método del cuadrado medio• Fue propuesto inicialmente por Von Newman y Metrópolis

en el año 1946.

• Para generar el siguiente número pseudo-aleatorio, se toman los n dígitos centrales del cuadrado del número anterior de n dígitos.

• Se requiere una semilla.

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Método del cuadrado medio

2n R(n) R(n)2 M.R(n)2 Random 1 Random 20 147 21,609 160 0 1601 160 25,600 560 0 5602 560 313,600 1,360 136 3603 136 18,496 849 0 8494 849 720,801 2,080 208 805 208 43,264 326 0 3266 326 106,276 627 0 6277 627 393,129 9,312 931 3128 931 866,761 6,676 667 6769 667 444,889 4,488 448 488

10 448 200,704 70 0 7011 70 4,900 90 0 9012 90 8,100 10 0 10

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Análisis• El problema con este método es que tiende a degenerar

rápidamente. Dependiendo del valor inicial el método puede degenerar al cabo de ≈20 términos.

• Por ejemplo, supóngase que se quiere generar una serie de números pseudo-aleatorios de cuatro dígitos y se tiene como i-ésimo termino generado es 3500, luego se tendrá:

• Se puede observar que hemos llegado a una condición degenerada. Por la tanto, es necesario verificar siempre la serie de números y protegerse contra este fenómeno

n R(n) R(n)2 M.R(n)2 Random 1 Random 2

i 3500 12250000 2500 0 2500

i+1 2500 6250000 2500 0 2500

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Método del Producto Medio• Este método es muy similar al anterior ya que se tomará

como número aleatorio siguiente de la serie, a los n dígitos centrales del resultado de una multiplicación previa.

• Se requiere dos semillas.

Método del Producto Medio2

n R(n) R(n+1) R(n)2 M.R(n)2 Random 1 Random 20 157 173 27,161 716 0 7161 173 716 123,868 2,386 238 3862 716 238 170,408 7,040 704 403 238 704 167,552 6,755 675 7554 704 675 475,200 7,520 752 5205 675 752 507,600 760 0 7606 752 760 571,520 7,152 715 1527 760 715 543,400 4,340 434 3408 715 434 310,310 1,031 103 319 434 103 44,702 470 0 470

10 103 470 48,410 841 0 84111 470 841 395,270 9,527 952 52712 841 952 800,632 63 0 6313 952 63 59,976 997 0 99714 63 997 62,811 281 0 28115 997 281 280,157 8,015 801 1516 281 801 225,081 2,508 250 50817 801 250 200,250 25 0 2518 250 25 6,250 25 0 2519 25 25 625 2 0 2

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Análisis• Una modificación para este método consiste en utilizar un

multiplicador constante, en lugar de dos números aleatorios como se muestra a continuación:

Rn+1 = K * Rn

• Estos métodos son similares al cuadrado medio.• Sin embargo los dos tienen periodos más extensos y los

números parecen estar distribuidos uniformemente. • Este método tiende a degenerar a un valor constante. • Tanto el método de cuadrados medios como el de

producto medio tienen un periodo corto para la cantidad de números aleatorios que vamos a necesitaremos generar en cada uno de nuestros Modelos.

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GENERADORES CONGRUENCIALES

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Generadores Congruenciales• Congruencial Lineal (Mixto).• Congruencial Multiplicativo.

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Método Congruencial Lineal (MCL)• Los generadores congruenciales lineales generan una serie

de números pseudo - aleatorios de tal forma que se puede generar el siguiente a partir del ultimo número derivado, es decir, que el número Xn+1 es generado a partir de Xn.

• La relación de recurrencia para el método congruencial mixto es:

Xn+1 = (aXn + c) mod m

Donde:X0 = semilla (X0 >0)

a = multiplicador (a >0)c = constante aditiva (c >0)m = módulo (m >X0, m >a y m>c)

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Método Congruencial Lineal (MCL)• Si se quiere obtener números Uniformes (0,1) se

normaliza el resultado:

Un = Xn / m

• En el MCL, si se repite un número ya se repite toda la secuencia.

• Ventajas:1. utiliza poca memoria y es muy rápido. 2. fácil de volver a generar la misma secuencia, guardando un solo

número, (se alcanza con partir desde la misma semilla: X0).

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Ejemploa c m1 7 13

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m0 7 14 11 1 8 82 8 15 23 2 9 94 9 16 35 3 10 106 10 17 47 4 11 118 11 18 59 5 12 12

10 12 19 611 6 13 012 0 7 713 7 14 114 1 8 815 8 15 2

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• Si no se escogen los valores adecuados de los parámetros el período del generador de números pseudo – aleatorios, será menor que m.

• En la Tabla A se muestra los valores obtenidos para un generador con parámetros: a = 7, c = 9, X0 = 5 y m = 11. Como puede apreciarse en la tabla el período del generador es 10 que es menor que el módulo que es 11.

• Si bien este caso no es crítico si lo es el que se presenta en la Tabla B donde los parámetros toman los valores de a = X0 = c = 7 y m=10 cuyo período es de 4, que es un caso muy critico que nos puede llevar a resultados no deseables y poco confiables

Análisis

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Tabla Aa c m7 9 11

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m0 5 44 01 0 9 92 9 72 63 6 51 74 7 58 35 3 30 86 8 65 107 10 79 28 2 23 19 1 16 5

10 5 44 0

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Tabla Ba c m7 7 10

n X(n) a*X(n)+c [a*X(n)+c] mod m0 7 56 61 6 49 92 9 70 03 0 7 74 7 56 65 6 49 96 9 70 0

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Selección de m, a, c, X0

a) Selección de módulo (m). Existen dos opciones que son las siguientes:

a.1) Escoger al azar el módulo m.

a.2) Tomar m de tal manera que sea el número primo más grande posible y además que sea menor que pd-1, donde p es la base del sistema que se esta usando y d es el número de bits que tiene una palabra de computadora en el sistema que se esta usando.

Por ejemplo una computadora XT que trabaja en el sistema binario entonces se tiene que p = 2 y d = 16.

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b) Selección de a.• El valor de a debe ser un número entero impar, que no

deberá ser divisible por 3 ó 5. Pero además, para asegurarnos que el generador tenga período completo, el valor que se tome para a deberá escogerse según el siguiente criterio:

(a-1) mod 4 = 0 si 4 es un factor de m.(a-1) mod b = 0 si b es un factor primo de m.

• Generalmente se toma a igual a 2k + 1 cuando se trabaja en el sistema binario. En ambos casos el valor que se asigne a k deberá ser mayor o igual que 2.

Selección de m, a, c, X0

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c) Selección de c.• Este parámetro puede tomar cualquier valor. Pero para

asegurarnos de tener buenos resultados se deberá seleccionar según la siguiente regla:

c mod 8 = 5

• En consecuencia c deberá tomar un valor entero impar y relativamente primo a m.

Selección de m, a, c, X0

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d) Selección de X0

• Se tiene que para el generador congruencial el valor que tome X0 es irrelevante y tiene poca o ninguna influencia sobre las propiedades estadísticas de las series de números pseudo - aleatorios que se generen.

Selección de m, a, c, X0

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Método Congruencial Lineal (MCL)• Para terminar esta parte se debe señalar que existen otras

formas matemáticas de representar este generador, que son las siguientes:

Xn = [anX0 + c{(an - 1)/(a - 1)}] mod m

Xn+k =[anXk + c{(an - 1)/(a - 1)}] mod m

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Método Congruencial Multiplicativo• En forma semejante al método anterior el generador

congruencial multiplicativo genera el próximo número pseudo - aleatorio a partir del último número calculado, siguiendo la siguiente relación de recurrencia:

Xn+1 = aXnmod m

• Para este generador también se deben escoger adecuadamente los valores de a, X0, y m, con la finalidad de que se pueda asegurar un período máximo para la series pseudo - aleatorias generadas por este método. A continuación se dan las reglas que indican como se deben escoger estos valores.

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Selección de m, a, X0

• Para trabajar en el sistema binario los valores de los parámetros deberán escogerse siguiendo las siguientes reglas:

– El valor de X0 debe ser un número entero impar y relativamente primo a m.

– El valor de a debe ser obtenido a partir de la siguiente expresión:a = 8t ± 3

Donde t es cualquier entero.– El valor de m puede ser 2d .

• Si m = 2d el período del generador es 2d-2 ó m/4. • A modo de ejemplo se obtendremos el período de un

generador cuyos parámetros son: a = 5, X0 = 5 y m = 32. En la siguiente tabla se muestra los elementos que componen la serie generada cuyo período es de 8

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Tabla Ca m5 32

n X(n) a*X(n)[a*X(n)] mod m

0 5 25 251 25 125 292 29 145 173 17 85 214 21 105 95 9 45 136 13 65 17 1 5 58 5 25 259 25 125 29

10 29 145 17

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Tabla DParámetros

a b m xo6 0 13 17 0 13 105 0 13 57 0 11 56 0 11 3

Caso Salidas1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1 6 102 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1 7 10 5 93 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 84 2 3 10 4 6 9 8 1 7 5 2 3 10 45 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 4

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Caso1234

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Streams - Torrentes• Un generador de números aleatorios que comience con la

misma semilla, siempre producirá la misma torrente o secuencia de números.

• Diferentes semillas generarán diferentes secuencias. Si las semillas se eligen con valores no cercanos (en el ciclo del generador), entonces las secuencias de números generados (torrentes) parecerán y actuarán como números aleatorios independientes entre sí con lo que colaborarán en la generación de v.a. Independientes entre sí.

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Tarea 4• Implementar en el XLS estos 4 generadores y probar los

métodos de selección.

• Probar que ante la misma semilla, se genera el mismo stream. Identificar los casos en que está situación no se

presenta, explique