11/28/28

Modelo de Colas

SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS

Mg. Samuel Oporto Díaz

22/28/28

Objetivo de la Sesión• Exponer el modelo de colas para el tratamiento de sistemas

discretos.• Exponer el modelo de colas M/M/1.

33/28/28

Tabla de Contenido1. Formulación del modelo de colas

1. Población Fuente

2. Procesos de Llegada

3. Características de la Cola

4. Política de Gestión

5. Unidades de Servicio

2. Notación Kendall1. Notación Kendall

2. Modelo M/M/1

3. Variables de estado

4. Uso del Sistema.

3. Bibliografía

44/28/28

Mapa Conceptual del Curso

Modelado y Simulación

Simulación X Eventos

Proyectos Simulación

Colas en Serie

Colas con un servidor

Colas en Paralelo

Inventarios Series de Nro. Aleato

Validación de Series

Generación de VA

55/28/28

Mapa Conceptual de la Sesión

66/28/28

FORMULACIÓN DEL MODELO

77/28/28

Objetos en las colas

Donde se generan los

clientes

Donde los clientes dejan

el sistema

Objetos dinámicos

Objetos estáticos

88/28/28

Formulación del modeloComponentes de un modelo de colas.

99/28/28

1. Población FuenteEs el origen de las entidades que requieren algún servicio, pueden ser:Finitas:

– Su número se puede contar.– Por ejemplo el número que máquinas a ser atendidas por

un servicio de mantenimiento.

Infinitas:– Su número no se puede contar o su número es muy

grande en relación a la capacidad de servicio.– Por ejemplo piezas que llegan a una máquina para ser

procesadas, número de carros que se atienden en un grifo.

1010/28/28

2. Proceso de llegadas• Se refiere a la determinación de cómo se tiene lugar las

llegadas al sistema de colas de las unidades que requieren servicio, es decir la formalización de la necesidad de recibir un servicio. Puede ser:

• Determinístico. Regla pre-fijada. Ejemplo plan de mantenimiento preventivo.

• Probabilístico. No se sabe cuando va ha suceder el evento, solo se puede determinar el tiempo medio de ellos o la distribución de probabilidad del tiempo entre eventos

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2. Proceso de llegadasExponencial. Distribución de probabilidad del tiempo entre eventos.

Poisson. Distribución de probabilidad del número de eventos (λ) en un intervalo T

λ: Tasa media de llegadas por unidad de tiempo

1212/28/28

3. Características de la ColaEl tamaño de las colas pueden ser finitas o infinitas:• Cola finita. Existe restricción para el tamaño de la cola,

ejemplo la cola de un almacén intermedio entre dos máquina, si se llena se debe de detener la operación de la primera cola.

• Cola infinita. No hay restricción para el tamaño de la cola, ejemplo la cola de peaje de Villa. Se considera que es infinita si es que tiene gran capacidad.

1313/28/28

3. Características de la ColaLas colas pueden ser únicas o múltiples:

1414/28/28

4. Política de gestión• La política de gestión queda determinada por la disciplina

de la cola, es decir las reglas que determinan el orden en que deben ser atendidas las unidades que requieren servicios:– FIFO– LIFO– Por prioridades– Tiempo de servicio mayor.– Tiempo de espera mayor.

1515/28/28

5. Unidades de Servicio

Las unidades de servicio pueden ser:• Servidor único (servicio único monofase).

• Servidores en tandem (servicio multifase o servicio con múltiples operaciones).

• Múltiples servidores monofásicas en paralelo.

• Múltiples estaciones multifásicas en paralelo.

• Sistemas mixtos.

1616/28/28

5. Unidades de Servicio• Descripción de la distribución de probabilidad del tiempo de

duración del proceso de servicio:• El caso típico de distribución de probabilidad de tiempos de

servicio es la exponencial:

• Donde f(t) es la probabilidad de que la duración del servicios sea t unidades de tiempo.

1717/28/28

Ejercicio 1

A cierta cola llegan los clientes con un distribución Poisson con media 15 segundos.

– ¿Cuántos llegan cada 5 segundos?– ¿Cuántos llegan cada 60 segundos?– ¿Cuál es la tasa de llegadas por segundo?– ¿Cuál es la tasa de llegadas por minuto?

Media = λTVarianza = λT

La distribución Poisson es una distribución discreta frecuentemente usada para modelar el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo fijo de tiempo.

1818/28/28

NOTACION KENDALL

1919/28/28

Líneas de Espera

Para verificar si una situación determinada se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera.

– ¿Existe uno o varios puntos de servicio en secuencia?– ¿Existe uno o varios servidores que atienden a una

unidad?– ¿Las unidades que llegan, siguen algún patrón?– ¿El tiempo de servicio sigue algún patrón?

2020/28/28

Notación Kendall

A / B / C• A = distribución de llegada• B = distribución del servicio• C = Número de canales de servicio

M Markov

Distribución = D Determinista

G General

Se asume que existe sólo una línea de entrada

2121/28/28

Distribuciones de Probabilidad• Markov

– Corresponde a distribuciones de probabilidad de eventos sin memoria, no recuerdan el pasado.

• Determinista.– Ocurren en forma constante y sin cambio.

• General.– Otras distribuciones

2222/28/28

• Tiempo de llegadas aleatorias (Markoviano), independientes entre si.

• Tiempo de servicio Markoviano, es decir no depende de cuando ocurre sino de la longitud del intervalo

• 1 servidor

Modelo M/M/1

EXPPOISSON

2323/28/28

Modelo M/M/1• Si en un periodo T, existe λ llegadas en promedio, entonces

la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

• Si μ es la tasa de servicio promedio, entonces la probabilidad de que el tiempo de servicio sea t, está dado por:

f(t) = μ e -μt

2424/28/28

Variables de estado λ tasa media de llegadas por unidad de tiempo.μ tasa media de servicio (número medio de servicios completados por

unidad de tiempo).ρ factor de utilización de la unidad de servicio.N número de unidades en el sistema.

Pn probabilidad de que cuando una unidad llega al sistema para recibir servicio haya n unidades en el sistema.

L número medio de unidades en el sistema.

Lq número medio de unidades en la cola a la espera de recibir servicio.

W tiempo medio de estancia en el sistema para cada unidad (tiempo de espera + tiempo de servicio).

Wq tiempo medio de espera en la cola (desde que llega hasta que empieza a ser servido).

2525/28/28

Uso del Sistema

λ tasa media de llegadas. unidades/tiempo

μ tasa media de servicio. unidades/tiempo

ρ factor de utilización /

número medio de unidades atendidas por momento /

probabilidad de que el sistema esté ocupado

λ ≤ μ ¿qué pasaría si λ > μ?

Pw = ρ = λ / μ Prob. que el sistema esté ocupado.

P(0) = 1 - ρ Prob. que el sistema esté vacío.

P(n) = (1 - ρ)ρn Prob. que el sistema esté ocupado con n unid.

2626/28/28

Uso del Sistema• L = ρ/(1 - ρ) No de unidades en el sistema (promedio)

• Lq = L–ρ = ρ2 /(1- ρ) No de unidades en la cola

• ρ No de unidades atendidas por momento

• W = L / λ Tiempo de una unidad en el sistema (prom)

• Wq= Lq/λ Tiempo de espera antes de ser atendido

2727/28/28

Ejercicio 2• A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el

tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar el análisis de esta línea de espera.

• Datos:

λ = 20 u/hora μ = 30 u/hora

2828/28/28

Ejercicio 3• Debido a un reciente incremento en el negocio una

secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson).

• A ella le toma aproximadamente 10 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja 8 horas diarias.

• Calcule la probabilidad de que la secretaria tenga más de 5 cartas que mecanografiar.

2929/28/28

Ejercicio 3• λ = 20 /8 = 2.5 cartas / hora• μ = (1/20 min)(60 min/1 hora) = 3 cartas / hora• Tasa de uso de la secretaria.

– ρ = λ/ μ = 2.5 /3 = 0.84

• Tiempo antes de mecanografiar una carta:– Wq = λ/(μ*(μ- λ)) = 1.67

• Número promedio de cartas en espera:– Lq = λ2/(μ*(μ- λ)) = 4.17

• Probabilidad de que la secretaria tenga k cartas que mecanografiar

0 0.167 3 0.518 6 0.721 9 0.838 12 0.907 15 0.946

1 0.306 4 0.598 7 0.767 10 0.865 13 0.922 16 0.955

2 0.421 5 0.665 8 0.806 11 0.888 14 0.935 17 0.962

3030/28/28

Ejercicio 4• Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una

tasa de dos por minuto, el tiempo promedio para manejar cada llamada es de 20 segundos. Actualmente sólo hay un operador del conmutador.

• Calcular:– La probabilidad de que el operador esté ocupado.– El número de llamadas que esperan ser contestadas.– El tiempo promedio que espera una llamada antes de

ser atendida.

3131/28/28

BibliografíaSimulation with Arena Third Edition. Appendix D

3232/28/28

PREGUNTAS