Sistemas LTI en espacio de estado

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ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORÍA DE CONTROL IV Profr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A – página 1 de 26 SISTEMAS LINEALES MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO En el año 1960 R. Kalman introdujo el álgebra lineal y los modelos con variables de estado en la teoría de sistemas. El mostró la potencia de dicho modelo en los problemas de control automático y en los problemas de estimación y de filtraje. La gran ventaja que ofrece es que se pueden manejar sistemas con varias entradas y varias salidas, tales como sistemas para controlar aviones, satélites, automóviles de inyección óptima de combustible, y otros semejantes. La descripción de estado espacio es directa en su derivación usando el Lagrangiano o el Hamiltoniano de un sistema físico, los cuales dependen de las energías cinética y potencial del sistema. Una vez que se obtiene la descripción, las técnicas modernas permiten el diseño de una variedad de esquemas de control para muchas aplicaciones. El diseño a menudo se basa en métodos matriciales, para lo cual se cuenta con una serie muy amplia de paquetes comerciales, entre los que destacan ORACLS, IMSL, MATRIX, MathCAD y sobre todo MATLAB. En la teoría de control clásica los sistemas multivariables son tratados cerrando un solo lazo de control a la vez. En contraste, en la teoría de control moderno las ganancias se calculan a partir de las matrices del sistema, de tal modo que todos los lazos de control se cierran simultáneamente. Una de las desventajas iniciales de método moderno era la gran cantidad de cálculos a realizar, pero con los avances de las computadoras en cuanto a velocidad, almacenamiento y abaratamiento, dicha desventaja ha desaparecido, por lo que se puede decir que la teoria de control moderno y la computadora guardan una relación muy estrecha entre sí. Sistemas continuos en el tiempo El modelo lineal de variables de estado Bu Ax x = (1.1) donde el punto denota derivada con respecto al tiempo, ofrece una gran simplicidad, lo que ha permitido el diseño de sistemas de control com múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO) de manera directa. La función x(t) es el estado del sistema. El estado describe donde se almacena la energía en un sistema. Por ejemplo, en un diagrama a bloques los estado son las salidas de los integradores. En un circuito los estados son los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores. La señal u(t) es la entrada de control. El modelo de estado viene dado por ecuaciones diferenciales de primer orden. La diferencia con la teoría de control clásico estriba en x(t) y u (t) son vectores, no escalares. Denotamos el número de componentes de x como n y el de u como r; lo que implica que A es una matriz cuadrada de orden n y B es una matriz de n por r. Se acostumbra llamar a A la

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Notas 1 del Dr. Salvador Saucedo Flores de teoría del control moderno

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ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 1 de 26SISTEMAS LINEALES MEDIANTE VARIABLES DE ESTADOEnelao1960R.Kalmanintrodujoellgebralinealylosmodelosconvariablesde estado en la teora de sistemas. El mostr la potencia de dicho modelo en los problemasdecontrolautomticoyenlosproblemasdeestimacinydefiltraje.Lagranventajaqueofreceesquesepuedenmanejarsistemasconvariasentradasyvariassalidas,talescomosistemas para controlar aviones, satlites, automviles de inyeccin ptima de combustible,y otros semejantes.La descripcin de estado espacio es directa en su derivacin usando el LagrangianooelHamiltonianodeunsistemafsico,loscualesdependendelasenergascinticaypotencialdelsistema.Unavezqueseobtieneladescripcin,lastcnicasmodernaspermiteneldiseodeunavariedaddeesquemasdecontrolparamuchasaplicaciones.Eldiseoamenudosebasaenmtodosmatriciales,paralocualsecuentaconunaseriemuyampliadepaquetescomerciales,entrelosquedestacanORACLS,IMSL,MATRIX,MathCADysobretodoMATLAB.Enlateoradecontrolclsicalossistemasmultivariablessontratadoscerrandounsololazodecontrolalavez.Encontraste,enlateorade controlmodernolasganancias se calculan a partir de las matrices del sistema, detal modo que todos los lazos de control se cierran simultneamente.Una de las desventajas iniciales de mtodo moderno era la gran cantidad de clculosarealizar,peroconlosavancesdelascomputadorasencuantoavelocidad,almacenamientoyabaratamiento,dichadesventajahadesaparecido,porloquesepuededecir que la teoria de control moderno y la computadora guardan una relacin muy estrechaentre s.Sistemas continuos en el tiempoEl modelo lineal de variables de estadoBu Ax x + (1.1)donde el punto denota derivada con respecto al tiempo, ofrece una gran simplicidad,lo que ha permitido el diseo de sistemas de control com mltiples entradas y mltiplessalidas (MIMO) de manera directa.La funcin x(t) es el estado del sistema. El estado describe donde se almacena laenerga en un sistema. Por ejemplo, en un diagrama a bloques los estado son las salidas delos integradores. En un circuito los estados son los voltajes en los capacitores y lascorrientes en los inductores. La sealu(t) es la entrada de control.El modelo de estado viene dado por ecuaciones diferenciales de primer orden. Ladiferencia con la teora de control clsico estriba en x(t) yu(t) son vectores, no escalares.Denotamos el nmero de componentes de x como n y el deu como r; lo que implica queAes una matriz cuadrada de orden n yB es una matriz de n por r. Se acostumbra llamar aA laESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 2 de 26matriz del sistema o de la planta y a B la matriz de entrada o de control. CuandoA y B sonconstantes el sistema ser invariante en el tiempo.Para resolver la ecuacin (1.1), es necesario conocer u(t) as como la condicininicial x(0). La definicin de estado es la informacin mnima requerida para determinar latrayectoria del sistema a partir de t = 0 junto con el conocimiento de u(t).La ecuacin de saliday=Cx + Du (1.2)describe como la salida medida y(t) se obtiene del estado x(t) y de las entradasu(t).Las salidas pueden ser elegidas en cierto grado por el diseador del sistema, dependiendode los sensores que tenga disponibles. El numero de componentes del vector de salida es m.La matriz C, de orden m por n, es llamada matriz de salida o de medicin, y la matriz D, dem filas por r columnas, se llama matriz de transmisin directa.Por lo tanto el modelo de estado espacio viene dado por las matricesA, B, C y D loque produce una representacin muy conveniente para un sistema con r entradas y msalidas. La siguiente figura muestra un diagrama a bloques del modelo de estado espaciodado por (1.1) y (1.2). Notar que hay n integradores, puesto que tenemos un diagrama abloques de vectores. Cada salida de un integrador es un componente del estado.Figura 1.1 Diagrama a bloques de un sistema lineal mediante variables de estadoMatriz de TransferenciaLa matriz Gs(s) que relaciona a la salida y(t) con el vector de entrada u(t), en eldominio de Laplace es una matriz de orden m x r, que la llamaremos matriz detransferencia.Y(s)= Gs(s)U(s) (1.3)La ecuacin (1.3) se puede expresar de manera explcita comoESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 3 de 2611111]1

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) (..) () () ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) () (..) () (212 12 22 211 12 1121s Us Us Us G s G s Gs G s G s Gs G s G s Gs Ys Ys Yrmr m mrrmLM M MLL(1.4)El elemento Gij(s) de Gs(s) es la funcin de transferencia que relaciona la salida i,con la entrada j. La matriz de transferencia Gs(s) est relacionada con las matricesA, B, Cy D del siguiente modoLa transformada de Laplace de (1.1) y (1.2) viene dada por: sX(s) x(0)= AX(s) + BU(s) (1.5)Y(s)=CX(s) + DU(s) (1.6)Al igual que cuando se define la funcin de transferencia, se toma a la condicininicial x(0) como cero o nula. Eliminando aX(s) de (1.5) y (1.6) nos resultaY(s)=[C(sI A)-1B +D]U(s) (1.7)Comparando (1.3) y (1.7) resulta queGs(s)=C(sI A)-1B + D (1.8)Para pasar del modelo de estado espacio a la funcin de transferencia se puede usarel comando ss2tf de MATLAB o con ALIN, empleando el comando inicia seguido de F9.Discretizacin de un sistema continuoComo se mencion al principio la gran ventaja de la teora de control moderno espoder aplicar la computadora digital al control de los sistemas, por lo que es esencial poderexpresar el modelo matemtico de manera discreta en el tiempo por lo que se crea un ndiceentero k, tal que el tiempo se exprese mediante: t = kT, donde T es el periodo de muestreo yk es k-simo periodo de muestreo del proceso por parte del algoritmo de control digital.El procedimiento usual es retener la entrada de control u(t) entre periodos demuestreo, lo que quiere decir que se le mantiene constante. Ello se logra empleandoretenedores de orden cero (ROC) en la salida de la computadora, o sea a la entrada delproceso, segn muestra la figura siguiente. Entonces la seal de controlu(t) est dado entrmino del control en tiempo discreto: u(t)=u(k) ; kT# t< (k+1)TESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 4 de 26Tambin en la figura se exhibe el muestreador de periodo T que se agrega a lassalidas del proceso para su alimentacin al computador. Estos dispositivos de conversinA/D generan las muestras y(k)=y(kT)en la salida. Si definimos el estado en los periodos de muestreo x(k) como x(kT)tendremos el modelo discretizadox(k+1) = Fx(k) + Gu(k)(1.9) y(k)= Cx(k) + Du(k)(1.10)Figura 1.2 Planta con un muestreador retenedor de orden ceroLa matriz de estadoF, de n por n, viene dada por la serie convergenteLj j TTjT T T e A A A A I FA!1. .! 31! 213 3 2 2+ + + + + (1.11)La nueva matriz de control viene dada porL L + + + + + j jTjT T T B A B A AB B G1 3 2 2!1! 31! 21(1.12)Basados en las dos ecuaciones anteriores es fcil escribir un programa que discreticeel modelo continuo, en efecto usaremos el comando c2d de MATLAB (ALIN tambinbrinda dicha capacidad) para discretizar los modelos que se estudiarn aqu. Las matricesCy D no cambian al discretizar el modelo.Los polos del sistema continuo son los valores principales de A. Los polos delsistema discretizado son los valores principales de la matrizF. Si los valores principales deA se denotan por i, entonces los valores principales deF, vienen dados por: zi=exp(iT) (1.13)Sin embargoESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 5 de 26] ) ) sen(Im( ) ) cos(Im( [) Re( ) Im( ) Re(T j T e e e zi iT T Tii i i + (1.14)donde el segundo factor tiene magnitud de uno. Se concluye que si el sistemacontinuo es estable tambin lo ser el sistema discretizado, ya que si los polos continuosestn en el lado izquierdo del plano s, los polos discretos estarn dentro del crculo unitario.Ello implica que la estabilidad se preserva al discretizar.Caso 1: Modelo de Estado-Espacio de un circuito a base de amplificadoresoperacionales.Examinemos un sistema con dos seales de entrada y dos seales de salida. Elsistema es de tercer orden y las variables de estado son las salidas de los amplificadoresoperacionales.Figura 1.3 Sistema con dos entradas y dos salidas, de tres variables de estadoSe consideran amplificadores operacionales ideales, esto es, con impedancia deentrada infinita, ancho de banda infinito y ganancia muy alta.Las matrices de estado y de control son:ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 6 de 261111111]1

3 3 3 11 1 1 22 110121 10010C R C RC R C RC RA11111]1

3 11 1200010C RC RBLas matrices de salida y de transmisin directa son:1]1

0 1 00 0 1C1]1

0 00 0DSustituyendo los valores de los elementos del circuito:111]1

50 0 5050 66 . 66 00 100 0A111]1

1000001000BPara obtener la respuesta del sistema anterior se puede usar MATLAB:A =0 -100.0000 00-66.6667-50.0000-50.00000-50.0000B 0 0-100 0 0-100C = [1 0 0 ;0 1 0];Figura 1.4 Respuesta al escaln unitario con MATLABESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 7 de 26D = zeros(2);t = 0:0.001:0.65; %Para definir la variable tiempo[Y1,X1] = step(A,B,C,D,1,t); %Respuesta al escaln unitario en u1:plot(t,X1(:,1)) %Para ver grfica de primera variable de estadoplot(t,X1(:,2))Figura 1.5 Respuesta com MATLAB para escaln unitario% Las figuras pueden ser enviadas al Portapapeles de donde pueden serpegadas desde PAINT para aadirles anotaciones, flechas, etc.plot(t,X1(:,3))[Y2,X2] = step(A,B,C,D,2,t); %Para obtener respuesta para u2plot(t,X2(:,1))Figura 1.6 Respuesta al escaln en u2plot(t,X2(:,2))plot(t,X2(:,3))eig(A) 1.0e+002 *-0.0468 + 0.4804i-0.0468 - 0.4804i-1.0731ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 8 de 26Como puede apreciarse los polos dominantes son complejosy su parte real es muy pequea en relacin con su parteimaginaria lo que produce un sistema bajo amortiguado,estable pero muy oscilatorio.Para obtener la funcin de transferencia se usa el comando ss2tf deMATLAB:[num1,den1] = ss2tf(A,B,C,D,1) % para U1(s):num1 = 1.0e+005 * 00.00000.10005.0000 0 -0.0010 -0.05000.0000den1 = 1.0e+005 *0.00000.00120.03332.5000000 , 250 3 . 333 , 3 6 . 116000 , 500 000 , 10) (2 311+ + ++s s sss G = Y1(s) /U1(s)[num2,den2] = ss2tf(A,B,C,D,2) % Para U2(s):num2 = 1.0e+005 * 0 -0.00000.0000 -5.0000 %Para Y1(s) 0 -0.00000.0500 -0.0000 %Para Y2(s)den2 = %Denominador comn para Y1(s)y Y2(s):1.0e+005 *0.00000.00120.03332.5000Representacin en la forma discreta: x(k+1) = Fx(k) + Gu(k) y(k)=Hx(k) + Du(k)T = 0.004; %Periodo de muestreo de 4ms[F,G] = c2d(A,B,T)F =0.9976 -0.35090.03430.01710.7637 -0.1583 -0.18120.03430.8165G =0.0733 -0.0048 -0.35090.0343 -0.0048 -0.3623ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 9 de 26eig(F)%Los polos en el dominio de z deben estar dentro del crculounitario para que el sistema sea estable. 0.9634 + 0.1874i =0.981511.01 0.9634 - 0.1874i =0.9815-11.01 0.6510 =0.65100La magnitud de los polos se obtiene con abs(eig(A)) y el ngulo en gradoscon 180*angle(eig(A))/pi.H = C; %La matriz de salida es idntica para el caso discretoCaso 2: Circuito con fuente dependiente (3er. Orden)Se definen las variables de estado como: x1 = voltaje en capacitor 1, x2 como voltaje encapacitor 2 y x3 como corriente en el inductor. La salida y es la cada de voltaje en R3.Figura 1.7 Circuito activo de tercer ordenLas matrices de estado y de entrada son:11111111]1

,_

++ +++32 12 12 1121 2 111 2 1) ( 111 1) (1110 0) ( 110) (1RR RR RL L R R LRCC R RRC R RA11111]1

++) (0) (12 121 2 1R R LRC R RBLas matrices de salida y de transmisin directa son:C=[ 00R3 ] D=0Sustituyendo valores de los elementos:ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 10 de 26111]1

606 , 10 10 333 . 3455 , 45 0 0303 , 30 0 3 . 333A111]1

666 . 603 . 333BC=[ 001000] D=0%Con MATLAB:R1 = 1000;R2 = 2000;R3 = 1000;C1 = 1E-6;C2 = 2*1E-6;L = 0.1;format longA = [-1/((R1+R2)*C1) 0 -R1/(11*((R1+R2)*C1));0 0 1/(11*C2);R1/(L*(R1+R2)) -1/L -(R1*R2/(11*(R1+R2)) +R3)/L]1.0e+004 *-0.03333333330-3.030303030300 4.5454545455 0.0003333333-0.0010000000-1.0606060606B = [1/(C1*(R1+R2));0;R2/(L*(R1+R2))]1.0e+002 * 3.33333333330 0.0666666667C = [00R3] 0 01000D = 0;x0 = [5 0 0.005]'; %Condiciones inicialest = 0:0.001:0.015;y = initial(A,B,C,D,x0,t) %Respuesta a las condiciones iniciales 5.00000000000000 1.08394357485109 0.71087342493114 0.44894878397576 0.26561129517121 0.13786042107093 0.04940438357282-0.01129570503725-0.05241153466482-0.07972933145942-0.09734539425799-0.10815886504720-0.11422084334659-0.11698172287903ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 11 de 26-0.11746642064118-0.11639851914340eig(A)1.0e+004 *-0.03446288565293-1.05531046112403-0.00416604716243El sistema slo tiene races reales negativas, por lo que su respuesta es estable y sobreamortiguada.Funcin de Transferencia[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)num = 1.0e+006 * 0 0.006666666667 3.333333333334 0.00000000000033den = 1.0e+008 * 0.000000010 0.000109393939 0.0409090909 1.51515151515Obviamente, los polos de la funcin de transferencia son los valoresprincipales de la matriz A:Format shortroots(den) =1.0e+004 * -1.0553 -0.0345 -0.0042Discretizacin del modeloT = 0.001; %Periodo de muestreo de un ms.[F,G] = c2d(A,B,T)F = 0.7103077143 0.0218555516-2.0119461658 0.0109277758 0.9619224141 4.1106968295 0.0002213140-0.0009043533-0.0045253632G = 0.2678367340 0.0271498100 0.0006830392H = C;eig(F)0.708483ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 12 de 260.9591950.000026Respuesta a las condiciones iniciales en el caso discreto:[Yd,Xd] = dinitial(F,G,H,D,x0,26);[y Yd(1:16)] %Para comparar casos continuo y discreto:5.00005.00001.08391.08390.71090.71090.44890.44890.26560.26560.13790.13790.04940.0494 -0.0113 -0.0113 -0.0524 -0.0524 -0.0797 -0.0797 -0.0973 -0.0973 -0.1082 -0.1082 -0.1142 -0.1142 -0.1170 -0.1170 -0.1175 -0.1175 -0.1164 -0.1164Caso 3: Sistema pasivo de cuarto orden con dos entradas y dos salidasSe acostumbra representar el voltaje de cada capacitor y la corriente en cadainductor mediante sendas variables de estado, por lo que en este caso hay tres variables deestado para la cada de voltaje en los tres capacitores y una variable de estado ms para lacorriente en el inductor.Figura 1.8 Sistema de cuarto orden, con dos entradas y dos salidasLas matrices de estado y de entrada vienen dadas por:ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 13 de 26111111111]1

3 3 3221 1 110100 0101 1 10 01 1C R CCL L LRLC C RA111111]1

3 31 110000001C RC RBLas matrices de medicin y de transmisin directa son:1]1

11010001C1]1

0 00 0DUsando MATLAB:R1 = 10000;R2 = 5000;R3 = 20000;C1 = 10E-6;C2 = 2E-6;C3 = 10E-6;L = 0.2;A = [-1/(R1*C1)-1/C1 0 0; 1/L -R2/L-1/L-1/L;0 1/C2 0 0;01/C3 0 -1/(R3*C3)]=1.0e+005 *-0.0001 -1.000000 0.0001 -0.2500-0.0001-0.000105.00000001.00000-0.0001eig(A) = 1.0e+004 *-2.4859-0.0143-0.0009-0.0004format longeig(A)1.0e+004 * -2.48591948847648 -0.01430461214020 -0.00087345420702 -0.00040244517630B = [1/(R1*C1) 0;0 0;0 0;0 1/(R3*C3)]10 0 0 0 0 0 0 5ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 14 de 26C = [1 0 -1 1;0 0 0 1];D = zeros(2);t = 0:0.001:1.2;Se define una matriz para aplicar la excitacin en ambas entradas (u1 = sen(4t) y u2 = 2*cos(4t) ):U = [sin(4*pi*t) ; 2*cos(4*pi*t)]';[Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,t); %Se consideran CI nulasplot(t,Y(:,1)) %Para grfica de y1(t)Figura 1.9 Respuesta de y1 a entradas tipo senoidalplot(t,Y(:,2))Figura 1.10 Respuesta de y2 a entradas tipo senoidalsave mod3 %Se salvan las matrices en archivo mod3.matDiscretizacin del modelo de cuarto ordenT = 0.002; %Periodo de muestreo de 2 ms[F,G] = c2d(A,B,T)F = 0.9464466667 -2.9863897726 0.0341005171 0.0339256788 0.0001493195 -0.0042804018-0.0001527295-0.0001510158 0.1705025856 15.2729540344 0.8277431724-0.1713767770 0.03392567883.0203154515-0.0342753554 0.9559499011G = 0.0194528161 0.0001748382 0.0000034100-0.0000017138 0.0017542420-0.0008800506 0.0003496766 0.0097747435ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 15 de 26H = C;k = 0:600;%Para tener 600 periodos de muestreoUd = [sin(4*pi*k*T); 2*cos(4*pi*k*T)]'; %Se discretiza la mismaexcitacin usada en el caso continuo[Yd,Xd] = dlsim(F,G,H,D,Ud);%Se resuelve modelo discreto[Y(1:2:23,:) Yd(1:12,:)]%Para contrastar soluciones continua y discretase despliegan los primeros doce valores: 0 0 0 0 -0.01720.0196 -0.01740.0195 -0.02960.0383 -0.03000.0383 -0.03840.0564 -0.03890.0564 -0.04440.0740 -0.04500.0740 -0.04840.0912 -0.04910.0912 -0.05080.1081 -0.05160.1081 -0.05210.1246 -0.05290.1246 -0.05250.1408 -0.05340.1408 -0.05220.1567 -0.05310.1568 -0.05150.1725 -0.05240.1725 -0.05030.1879 -0.05130.1880Caso 4: Sistema mecnico con amortiguamiento viscoso. Respuesta a lafrecuencia.Si un sistema mecnico presenta friccin newtoniana entonces se producirn fuerzasque se oponen al movimiento en el sentido contrario a la velocidad a la que est sujeto elelemento que disipa la energa, en este caso el amortiguador viscoso. El sistema queveremos aqu cuenta con dos grados de libertad pues cada masa que se mueve de maneraindependiente sobre una lnea representa un grado de libertad, por lo que el sistema es decuarto orden. La constante de rigidez de los resortes viene dada por ki.Figura 1.11 Sistema con excitacin forzada de dos grados de libertadPara este sistema las ecuaciones de movimiento se obtienen al aplicar la segunda leyde Newton a cada masa12.1.21.1 2 1 2 1 11..1) ( ) ( f z z b z b z z k z k z M + + + +21.2.22.3 1 2 2 2 32..2) ( ) ( f z z b z b z z k z k z M + + + +ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 16 de 26Si definimos a las variables de estado: x1 = desplazamiento de masa 1= z1, x2 =velocidad de masa 1, x3 = desplazamiento de masa 2 = z2 y a x4 como la velocidad de lasegunda masa resulta:1]1

1111]1

+1111]1

1111]1

+ + + + 11111]1

212143212 2 3 2 2 3 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 14321/ 1 00 00 / 10 0/ ) ( / ) ( / /1 0 0 0/ / / ) ( / ) (0 0 1 0ffMMxxxxM b b M k k M b M kM b M k M b b M k kxxxxSi suponemos que tenemos sensores de posicin (en mm) y de velocidad (en mm/s)slo para la segunda masa, tendremos la ecuacin de salida1111]1

1]1

1]1

4321211000 0 0 00 1000 0 0xxxxyyValores de los elementos k1 = 1,000N/mk2 = 2,000N/m ; N = newton = 1kg-m/s k3 =500N/mM1 = 10kg M2 =5kgb1 = 40Ns/m b2 = 50Ns/mb3 = 20Ns/mcon MATLAB:k1=1000k2=2000k3= 500M1= 10M2=5b1= 40b2= 50b3=20A = [0 1 0 0;-(k1+k2)/M1 -(b1+b2)/M1 k2/M1 b2/M1;0 0 0 1;k2/M2 b2/M2 -(k3+k2)/M2 -(b3+b2)/M2] 0 1 0 0-300-9 200 5 0 0 0 1 40010-500 -14eig(A) %Valores principales del sistema-9.5000 +24.6931i -9.5000 -24.6931i-2.0000 + 9.7980i -2.0000 - 9.7980iESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 17 de 26Como las races slo tienen parte real negativa elmovimiento debido a las condiciones iniciales tender a ceroal transcurrir el tiempo.%Para hallar frecuencias de oscilacin y los coeficientes deamortiguamiento:damp(A)EigenvalueDamping Freq. (rad/s) -2.00e+000 + 9.80e+000i 2.00e-0011.00e+001 -2.00e+000 - 9.80e+000i 2.00e-0011.00e+001 -9.50e+000 + 2.47e+001i 3.59e-0012.65e+001 -9.50e+000 - 2.47e+001i 3.59e-0012.65e+001Como se aprecia las frecuencias amortiguadas (onaturales) son 10.0 y 26.5 rad/seg, respectivamente. Como losdos coeficientes de amortiguamiento son muy bajos(0.2 y0.359) las frecuencias de resonancia son casi las mismas quelas naturales.B = [0 0;1/M1 0;0 0;0 1/M2];C = [0 0 1000 0;0 0 0 1000];D = zeros(2);Respuesta a la frecuencia con MATLAB Para determinar la respuesta de estado permanente cuando se aplica una entradasenoidal, se puede efectuar el anlisis de Bode para las salidas del sistema para cada una delas entradas del mismo. Suponer que la entrada i es la senoide Ui(t) =Uisen(it)Una vez terminado el transitorio, la salida j vendr dada por Yj(t)= magjiUisen(it + faseji)donde magji es la ganancia de la respuesta en frecuencia de la salida j respecto de laentrada i, yfaseji es el defasamiento entre dicha salida respecto de la misma entrada. Laganancia y el defasamiento dependen de i , la frecuencia de la entrada.W = logspace(0,2); %Para definir 50 valores entre 1 y 100 rad/seg[mag1,fase1] = bode(A,B,C,D,1,W); %Para u1[mag2,fase2] = bode(A,B,C,D,2,W); %Para u2plotyy(W,mag2(:,1),W,mag2(:,2),'semilogx')title('Ganancia de la respuesta a la frecuencia para fuerza f2')xlabel('Frecuencia en radianes/seg.')ylabel('Magnitud en mm/N')grid onESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 18 de 26Figura 1.12 Ganancia de la respuesta en frecuencia para segunda entradaEn la grfica anterior 1 significa la ganancia mag12, con unidadesfsicas de mm/N, y 2 es el valor de mag22. Notar que la escala para 1(posicin) est en el lado izquierdo y para 2 (velocidad) est en ellado derecho de la grfica.plotyy(W,mag1(:,1),W,mag1(:,2),'semilogx')title('Ganancia de la respuesta a la frecuencia para fuerza f1')xlabel('Frecuencia en radianes/seg.')ylabel('Magnitud en mm/N')grid onEn la teora de control clsico es comn expresar la magnitud endecibeles o dB, definidos stos como 20log10(mag)Figura 1.13 Ganancia para la respuesta en frecuencia para la fuerza 1semilogx(W,fase2)title('Fase de la respuesta a la frecuencia para fuerza f2')ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 19 de 26ylabel('Grados')xlabel('Frecuencia en rad/seg.')grid onFigura 1.14 Defasamiento de y1 y y2 para la entrada senoidal en f2semilogx(W,fase1)title('Fase de la respuesta a la frecuencia para fuerza f1')ylabel('Grados')xlabel('Frecuencia en rad/seg.')grid onFigura 1.15 Defasamiento de y1 y y2 para la entrada senoidal en f1En las dos grficas anteriores 1 es el defasamiento en grados dela salida 1 respecto de la entrada f2 y f1 respectivamente. Y 2 es eldefasamiento en grados de la salida 2 respecto de la entrada f2 y f1respectivamente.ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 20 de 26Representacin en la forma cannica modal con MATLAB [A,B,C,D] = canon(A,B,C,D,'modal')A = -9.5000 24.6931 0 0-24.6931 -9.5000 0 0 0 0 -2.00009.7980 0 0 -9.7980 -2.0000B =0.0569 -0.11390.0561 -0.1122 -0.0169 -0.01690.09520.0952C =-23.709924.063869.278312.2890 -368.9676-814.0772-258.9633 654.2075D = 0000EL GIRSCOPO VERTICALUna de las aplicaciones ms interesantes de las ecuaciones de movimiento deEuleres el estudio del girscopo, que ha maravillado a matemticos y fsicos por ms de un siglo.Estedispositivoesunsensormuytilenaeronavesysatlitesespaciales.Sudiseoycontrol constituyen un problema tecnolgico importante desde hace mas de 50 aos.Enungirscopoidealelrotororuedaesmantenidogirandoaunavelocidadangularconstantemedianteelusodeunmotorquecompensalosparesdebidosalafriccin. Suponer que el eje de giro de la rueda es el eje Z. Si asumimos queTzBestalque0 zB , esto esHz= Jzz = constanteDondeJzeselmomentopolardeinercia.Siademssuponemosqueelrotordelgirscopo es realmente simtrico respecto del eje de giro Z, y puesto queJx=Jy=Jd(momento diametral de inercia)Las primeras dos ecuaciones del girscopo vienen dadas pordxyBdxBJTJH ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 21 de 26dyxBdyBJTJH + Figura 1.16 Girscopo de dos grados de libertad.Donde H=Hz(1 Jz/Jd )Parausarungirscopocomosensor,laruedasemontaenunsistemaapropiadodesoportes(rodamientos)quelepermitanmoverserespectodesucubiertaexterior.Enungirscopodedosejes,laruedapuedemoversecondosgradosdelibertadrespectodelacubierta,segnmuestralafiguraanterior.Lacubiertaestfirmementesujetaalcuerpocuyo movimiento se desea medir.Figura 1.17 Diagrama a bloques de un girscopo de dos ejes con sistema de capturaElrangodemovimientodeunaruedaalrededordesusejesXyYrelativoasucubierta es muy pequeo ( menos de dos grados). Por ello el girscopo debe ser mantenidoESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 22 de 26normalasuejedegiromediantepares(torques)detalmodoquelamagnituddedichospares sea proporcional a las velocidades angulares de la cubierta.Las otras dos ecuaciones para definir la dinmica del girscopo sonxE xBx d yE yBy d donde xE yyEsonlasvelocidadesangularesexternasquesedeseanmedirconelgirscopo.Lascuatroecuacionesconstituyenlasecuacionesbsicasdeungirscopoideal.Lafiguraanteriorrepresentaeldiagramaacuadrosdelascuatroecuacionesademsdeagregarlarealimentacinnecesariaparacontrolarelgirscopo.EldiagramaexhibelosparesTx yTygeneradoscomofuncionesdelosdesplazamientosangularesdx ydy,paramanteneralosmismosdentrodelrangoprevisto.Dichosdesplazamientospuedensermedidosusandopequeossensoresmagnticosinstaladosenlacubierta,capacesdedetectar pequeas inclinaciones de la misma. El sistema de control que realiza la capturade la rueda es una parte muy importante de un girscopo con valor comercial.Lascuatroecuacionesvistasestnenciertomodoidealizadasporloqueungirscopomsprcticopresentaotrosparesdebidoapequeosresortesaadidosalossoportesdelacubierta,ademsdeofrecerresistenciaaloscambiosdevelocidadpuesexistenunafriccinviscosa,demagnitudpequeaperonodeltodoinsignificantequegenera pares proporcionales a las velocidades angulares.dxydQxdDxE xBddyBdxBJTdJKdJKJDJH+ ) ( dyxdQydDyE yBddxBdyBJTdJKdJKJDJH+ + ) ( El modelo de estado espacio viene dado por dx/dt = Aox + Bou + Ev, donde vesunavariable externa.Si definimos al vector de estado como1111]1

11111]1

4321xxxxddyBxByxxEl vector de controluvienedadopor[TxTy]t,mientrasqueelvectorexternov,viene dado por [xE yE]t. Las matrices Bo y E vienen dadas porESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 23 de 261111]1

1111]1

d dd dddoJ DJ DJJ/ 00 /1 00 1;/ 1 00 / 10 00 0E BLa matriz de 4 x 4 de estado Ao, sin captura, viene dada por1111111]1

ddd dDdQd dddQdDoJDJHJKJKJHJDJKJK1 0 0 00 1 0 0ASuponer que los parmetros del diseo sonH/Jd = 2,000 seg-1KQ/Jd = 40 seg-2Dd/Jd = 250 seg-1KD/Jd = 20 seg-2Si el vector de control se genera mediante Kx, y si hacemos quedJ1]1

20220002000202158040401580KLa matriz de estado resulta serAo BoK igual a1111]1

48 0 1600 00 48 0 16001 0 0 00 1 0 0ACon races complejas repetidas en 24 t 32j, esto es, polos con frecuencia natural de40 rad/seg y 0.6 de coeficiente de amortiguamiento. La matriz de entrada B es igual a lamatriz E.Cul ser la respuesta a un escaln unitario en xE? ?Veamos cmo obtener dicha respuesta con MATLABt = 0:0.001:0.5;B-1 0 0-1ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 24 de 26 250 00250C = [1 0 0 0; 0 1 00];[Y1,X1] = step(A,B,C,D,1,t); %Respuesta e escaln unitario para wxE[Y2,X2] = step(A,B,C,D,2,t);%Respuesta e escaln unitario para wyEplot(t,Y1)grid onxlabel('tiempo')title('Respuesta a escaln unitario en WxE')ylabel('y1 y2')Figura 1.18 Respuesta del girscopo a una entrada en escaln en wxENotar que la entrada en el eje X slo afecta a la salidacorrespondiente. Por simetra, un cambio en el eje Y sloafectar a la salida 2, con la misma dinmica de la figura1.18. La ganancia esttica que relaciona salida y entrada esigual a 0.12625s.PROBLEMAS1.Considerar el sistema del pndulo invertido que se monta en un carro que rueda sinfriccin, movido por un motor controlado que produce una fuerza u. Si se consideran slopequeos ngulos de giro respecto de la posicin vertical de tal modo de obtener unmodelo lineal, y asumiendo que la masa m del pndulo se concentra en la parte superiorde la varilla, ver pginas 803-805 de [1].a) Demostrar que las ecuaciones exactas del movimiento sonu md md x m M + + sen cos ) (20 sen sen cos2 + mgd md y md y mdESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 25 de 26donde g es la constante gravitacional. El sistema es no lineal. Los valores de losparmetros son M = 1kg; m = 0.2kg; d = 0.4m; g = 9.8ms-2Si el estado se define como x = [x1 x2 x3 x4 ]T = [ x x ]Tb) Determinar el modelo de estado espacio (de cuarto orden), asumiendo que hayun sensor para el desplazamiento x, y otro para el ngulo .2. La figura siguiente es la analoga elctrica aproximada de un sistema trmico,donde C1 y C2 son capacidades trmicas de dos masas, R3 es la resistencia al paso de calorentre ambas masas, mientras que R1 y R2 son resistencias al flujo de calor entre las masas yla fuente de calor.Determinar a) Modelo de estado-espacio, tomando al voltaje en loscapacitorescomo las variables de estado y que existe un sensor de temperatura en la masa 1; y b)Respuesta al escaln unitario, si R1 = R2 = 20, R3 = 50, C1 = 10 y C2 = 5. Las R tienenunidades fsicas degrado-s/calora, y las C, de calora/grado.3Suponer que los parmetros del diseo del girscoposon H/Jd =1,500 seg-1KQ/Jd = 30 seg-2 Dd/Jd=8 seg-1KD/Jd = 20 seg-2Demostrar que la matriz de estado es:ESIME ZACATENCO Modelo de Estado-Espacio de Sistemas TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A1M A pgina 26 de 26

1111]1

8 1500 20 301500 8 30 201 0 0 00 1 0 0oALas races de Ao se obtienen con el comando eig(Ao):-8.0251t1500.016i 0.020 t0.01342iRespuesta del girscopo sin capturaObtener con MATLAB la respuesta a un escaln unitario enxEparacorroborarlainutilidaddeungirscoposinsistemadecapturapuespresentadosdificultadesserias:laprimeraesqueunaexcitacinenunodelosejesafectaaambassalidas;laotraesqueelgirscopo responde como si fuera un integrador, de manera muy lenta.Segnindicanlasracesdelazoabiertoelgirscoposincapturaesinestable.Pararemediartalsituacinsepuedeagregaramortiguamientoviscosoperoparalograrlaestabilidadsepagaraunpreciomuyaltopueselsistemaseharaderespuestademasiadolenta.Respuesta del girscopo con capturaSielvectordecontrolsegeneramediante:Kx,ysihacemosqueKpresenteciertassimetrasparadesacoplarlosmovimientosderotacinenambosejes,modificamosmediante ensayos el valor tentativo de K:

dJ1]1

2215001500226053030605KObtener con MATLAB matriz de estado, A = Ao BoK, y la respuesta a un escalnunitario en xE