Pendulo de Foucault

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El Pndulo de FoucaultPresentado por: Leonel Mximo Pauro Velsquez Dnilson Manuel Lobo Llacza1

1. OBJETIVOS:

Demostrar que la tierra esta girando sobre s misma.

Utilizar el mtodo de RK de 4to orden para resolver las ecuaciones diferenciales del movimiento del pndulo Foucault.

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2. Resea Histrica

En 1851 Jean Len Foucault colg un pndulo de 67 metros de largo de la cpula de los Invlidos en Paris. Un recipiente que contena arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caa del cubo mientras oscilaba el pndulo sealaba la trayectoria. Demostr experimentalmente que el plano de oscilacin del pndulo giraba 11 15 cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotacin de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotacin.3

3. FUNDAMENTO TERICO

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotacin del plano del pndulo de Foucault, la circulacin del aire alrededor de los centros de baja o alta presin, la desviacin de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotacin del agua cuando sale por el desage de la baera, etc.

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3.1 PARA RECORDAR

La frmula general que relaciona la aceleracin aparente (medida en el sistema no inercial) con la aceleracin verdadera (medida en el sistema inercial F) es la siguiente:

d 2r d 2 r dw dr = 2 + r + 2w + w (w r ) 2 dt F dt dt dt

......(I)5

Cuando los orgenes de los sistemas XYZ y xyz no coinciden

En este caso, introducimos:

= R+r

Entonces:

2 2 d d R d r = 2 + 2 2 dt F dt F dt F d 2r d 2 w dr = R + 2 + 2 r + 2w + w ( w r ) ...( II ) dt dt dt26

3.2 ECUACIN DE MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA CON RELACION A UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA

Tenemos:

=0 R = ( R ) GMm F = 3

Por la SLN y la ec. (I): F = ma d 2r GMm = m( R + 2 + 2 w v + w ( w r )) ...( III ) dt7

3.3 El Pndulo de Foucault

Suponemos que el origen O es la posicin de equilibrio de la perilla B. El punto de suspensin es A y la longitud de la cuerda AB es l. Para la tensin: )i + (T . ) + (T .k )k T = (T .i j j = T cos i + T cos + T cos k j x y lz = T i T + T j k l l l

Fuerza neta sobre B: T+mg8

3.2.1 ECUACIONES A UTILIZAR

De (III), cambiando la fuerza d 2r m 2 = T + mg 2m( w v ) mw ( w r ) de gravedad por la fuerza dt neta, llegamos a la siguiente ecuacin de movimiento: Despreciamos el ultimo termino ya que w=0.00007292 Rad./s y hacemos g=-gk, nuestras componentes sern: Pero podemos simplificar estas ecuaciones suponiendo que el movimiento se realiza en el plano XY, entonces: z=0.

m = T ( x / l ) + 2mwy cos x m = T ( y / l ) 2mw( x cos + zsen ) y m = T (l z / l ) mg + 2mwysen z T = mg 2mwysen

= gx / l + 2 wy cos + 2 wxysen / l x = gy / l 2 wx cos + 2 wyysen / l y 9

USANDO EL MTODO DE RUNGE-KUTTA

Realizamos los siguientes cambios de variable:

x1 = x x2 = y x3 = x x4 = y

Para luego obtener:

x1 = x3 x2 = x4 x3 = gx1 / l + 2w cos x4 x4 = gx2 / l 2 w cos x3

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PROGRAMA UTILIZADO

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Para poder determinar los puntos en la trayectoria del pndulo se hemos implementado en el MATLAB el metodo de Runge Kutta de cuarto orden mediante el programa ROTACIN. Su sintaxis es :12

function Rotacion%Simulacion del Pndulo de Foulcault clc;clear all; fprintf('\nSIMULACIN DEL PENDULO DE FOUCAULD \n\n\n') fprintf('Mediante el pndulo de Foucauld se puede demostrar que\n') fprintf('la tierra esta girando. Para realizar la simulacin,\n') fprintf('ingrese los parmetros que se piden:\n\n') %Ingreso de parametros experimentales N=input('Nmero de puntos dato :\nN='); L=input('Longitud del pendulo(en metros):\nL='); w=input('Frecuencia angular de la tierra(~10^( 5)rad/segundo):\nw='); landa=input('ngulo de colatitud (en grados sexagesimales):\nlanda='); landa=landa*(pi/180); h=input('Intervalo de tiempo(