MODULO I ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El estudio de los sistemas...

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MODULO I

ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El estudio de los sistemas de Ecuaciones Lineales y sus soluciones es uno de los temas mas importantes del Algebra Lineal.

Una recta en el plano x,y puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma:

Este tipo de ecuaciones se denomina ecuación lineal en las variables x e y .Las variables en una ecuación lineal se denominan incógnitasDe una manera mas general en n variables se puede representar como:

En este Curso nos limitaremos al estudio de Ecuaciones Lineales en dos dimensiones, es decir en el plano.

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Un conjunto de ecuaciones lineales en las variables x e y se denomina Sistema de Ecuaciones Lineales, para el cual existe una sucesión de números que se denomina solución del sistema. Las letras utilizadas en este tipo de ecuaciones tienen el siguiente significado: Constantes arbitrarias

Incógnitas

El siguiente sistema no tiene una solución:

Ya que dividimos la segunda ecuación por 2 tendremos

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Que evidentemente esta compuesto por ecuaciones contradictorias.Como hemos visto las graficas de estas ecuaciones son rectas todo punto del plano se encuentra sobre cada recta si o si los números y satisfacen la ecuación de la recta.Los casos que pueden presentarse son los siguientes:a) Las rectas son paralelas( no se cortan) y el sistema no tiene solución.b) Las rectas se cortan y tienen una única solución.c) Las rectas coinciden y por lo tanto existen infinitas soluciones.

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La primer figura representa el primer caso (no hay solución)La segunda es el caso mas importante y la que prestaremos mas atención

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Ahora entraremos directamente en la metodología para resolver los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas que como se vera mas adelante tiene aplicación practica en el Modelado del par de cobre.Antes que nada hay que definir una estructura nueva y que denomina determinante.En el siguiente sistema:

Podemos considerar el conjunto de números formados por las constantes del mismo de la siguiente manera:

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Esto también puede escribirse como:

D= =

Entonces D es denominado determinante de segundo orden.

Con esta introducción podemos ahora analizar un sistema de ecuaciones lineales como el anterior:

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Si multiplicamos la primer ecuación por d y la siguiente por -b y sumamos ambas ecuaciones tendremos:

De aquí:

Si ahora multiplicamos la primer ecuación por –c y la segunda por a y nuevamente las sumamos:

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Ese conjunto de números se denomina determinante y puede simbolizarse de la siguiente manera:

En realidad lo que tenemos es el cociente de dos determinantes.Para la incógnita En el numerador el determinante compuesto en la primera columna por los coeficientes del lado derecho del sistema de ecuacionesY en la segunda columna por los coeficientes de la incógnita Como denominador el definido Determinante del Sistema (D).El mismo procedimiento para la otra incógnita

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Si en la ecuación anterior los coeficientes son nulos se tiene:

El sistema de ecuaciones se dice que es homogéneo.Se presentan dos casos posibles:a) D≠0

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b) D=0Si suponemos que por lo menos uno de los coeficientes es distinto de cero. Por ejemplo a≠0

Reemplazamos este valor en la segunda de las ecuaciones:

Y sacando factor común

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El método anterior de calculo se denomina Regla de Cramer.Este método puede extenderse a determinantes de n dimensiones. Siendo el orden de un determinante el numero de filas o columnas del mismo.

=

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Volvamos ahora a los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. La notación empleada es la siguiente para un sistema de ecuaciones lineales de 3 dimensiones:

Este sistema puede también denotarse por:

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Analizamos ahora otra manera de resolver estos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. El método se conoce como Método de Triangulacion:

Ahora multiplicamos la primera ecuación (fila 1) por -2 y la sumamos a la segunda:

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Si ahora multiplicamos la primera ecuación por -1 y la sumamos a la tercera tendremos:

Dividamos la segunda ecuación por 3 y obtendremos:

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Multipliquemos ahora la segunda ecuación por 3 y se la sumamos a la tercera resultando:

De aquí se puede despejar de la tercera ecuación y tendremos:

Reemplazamos el valor obtenido de en la segunda ecuación:

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Finalmente reemplazamos en la primera ecuación los valores encontrados para las incógnitas , de esta manera obtendremos finalmente :

Es decir que la solución del sistema que ha sido encontrar los valores de las primitivas incógnitas será :

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Ahora como aplicación practica se debe resolver los siguientes ejercicios:

a) Evaluar el siguiente Determinante:

b) Demuestran que el siguiente Determinante tiene el siguiente valor:

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c) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

d) Resolver el siguiente sistema por el Método Triangulacion:

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APLICACIÓN A CIRCUITOS ELECTRICOS Y TELEFONICOS

Consideremos ahora la siguiente red de cuatro terminales (cuadripolo) que puede fácilmente representar un circuito telefónico:

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La descripción de los parámetros que aparecen en la ecuación anterior son los siguientes:

Tensión de entrada:Corriente de entrada:Tensión de salida:Corriente de salida:

Los parámetros A,B,C y D son en general números complejos .A y D son adimensionales,mientras que B tiene la dimensión de una Impedancia y C la de una -admitancia

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Reemplacemos en la segunda ecuación este valor:

Agrupando términos:

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Podemos representar estas ecuaciones en notación matricial:

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Lo que aquí tenemos representado es una ecuación que pone las corrientes en función de las tensiones.

Si a la ecuación anterior la dividimos por B:

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ATU-C ATU-R

26 AWG DW 10 1,3 km 30 m24 AWG 200 m

Sección 1 Sección 2 Sección 3

Representación esquemática de un bucle de abonado para líneas ADSL

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I1 I2A B

C D

V1 V2

2

2

1

1

I

V

DC

BA

I

V 221 BIAVV

221 DICVI

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)(

)(

)0(

)0(

lxI

lxV

DC

BA

xI

xV

)cosh( lA )sinh(0 lZB

)sinh(1

0

lZ

C )cosh( lD

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a par trenzado americano de diámetro 0,405 mm.b par trenzado americano de diámetro 0,51 mm.c cable de distribución de British Telecom de 0,5 mm de diámetro.d cable de bajada reforzado de British Telecom de 0,5mm de diámetro y aislado con PVC.e cable de bajada plano (no trenzado) de 1,14 mm. de diámetro.

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CjG

LjRfZ

)(0

CjGLjRf )(

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Utilizando las expresiones para la Impedancia Característica y la Constante de Propagación anteriores ,calcular los siguientes elementos de la Matriz de Transmisión:Considerar

)(

)(

)0(

)0(

lxI

lxV

DC

BA

xI

xV

)cosh( lA )sinh(0 lZB

)sinh(1

0

lZ

C )cosh( lD

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El vector resultante de la suma de los tres vectores es:

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Se denomina impedancia del circuito al término:

de modo que se cumpla una relación análoga a la de los circuitos de corriente continua:

V0=I0·Z.

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El ángulo que forma el vector resultante de longitud V0 con el vector que representa la intensidad I0 es:

Las expresiones de la fem y de la intensidad del circuito son:

La intensidad de la corriente en el circuito está atrasada un ángulo j respecto de la fem que suministra el generador.

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Ley de Nodos de KirchofEn cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.

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Ley de las Tensiones de Kirchoff

En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a cero.

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