MaterialesdidcticosBachilleratoProblemas de Matemticas Aplicadas a las Ciencias Sociales IIAutores:Ana Yolanda Alvero ColomaJavier Goicoechea Lpez-VailoMara Teresa Gonzlez LamuelaJess Javier Jimnez IbezJos Javier Labarga lavaJos Mara Mateo RubioCoordinacin:Jos Mara Mateo RubioEdita:Departamento de Educacin y Cultura. Gobierno de NavarraISBN:84-235-2079-XDL: NA-3385-2000Imprime: Grficas OnaPresentacinCon su publicacin y distribucin, el Departamento de Educacin y Culturadel Gobierno de Navarra pretende proporcionar a los profesores y profeso-ras que van a impartir el Bachillerato un instrumento que les ayude a desa-rrollar el nuevo currculo y a planificar su prctica docente.Esta serie de materiales didcticos ofrece propuestas de programacin y eldesarrollo de unidades didcticas que incluyen sugerencias, orientaciones yactividades que pueden ser aprovechadas de diversos modos por el profe-sorado, bien incorporndolas a sus propias programaciones, bien adaptn-dolas a las caractersticas de sus alumnos.Esta iniciativa se enmarca en la voluntad del Departamento de publicar yponer en manos del profesorado todo aquel material didctico y curricular,elaborado por equipos docentes o por los propios centros, que sirva deejemplificacin y orientacin para los diferentes departamentos didcticos. Jess Laguna PeaConsejero de Educacin y CulturaNDICEINTRODUCCIN ............................................................................................................7ILGEBRAA. Matrices y determinantes....................................................................................11B. Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas.......................................................17C. Cuestiones terico-prcticas ................................................................................21D. Programacin lineal............................................................................................25IIANLISISA. Lmites y continuidad ..........................................................................................35B. Derivadas aplicaciones ........................................................................................38C. Cuestiones de tipo test sobre funciones ...............................................................49D. Problemas de mximos y mnimos ......................................................................53E. Integrales. Aplicaciones .......................................................................................59IIIPROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADSTICAA. Probabilidad........................................................................................................69B. Distribuciones discretas. Binomial ......................................................................79C. Distribuciones continuas. Normal.......................................................................84D. Problemas de inferencia estadstica....................................................................91EXMENES DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UPNA. CURSO 99/2000Examen junio UPNA Curso 99/2000 ........................................................................99Examen septiembre UPNACurso 99/2000 ............................................................... 1017INTRODUCCINLa idea de esta sencilla publicacin surgi como una de las varias actividades adesarrollar en nuestro grupo de trabajo, grupo que tiene su origen en una de las primerasreunionesdecoordinacindelasMatemticasaplicadasalasCienciasSociales.EsinteresanteresaltarqueelgrupoloformamosTODOSlosprofesoresdelmbitodelCAPdeTudelaqueimpartimoslaasignaturaMatemticasaplicadasalasCienciasSociales en 2 de Bachillerato.stossonlosobjetivosquenosplanteamosconestacoleccindecuestionesyproblemas con soluciones:1.Tenerunabasededatosconactividadescontrastadasennuestroscentrosquenosfaciliteneltrabajoencursossucesivosalosprofesoresdeestaasignaturaenlaelaboracin de pruebas, cuestiones y problemas a proponer, etc.2.Serunaayudaparalosalumnosensuaprendizajedelosdistintostemasdeestaasignaturayquelessirvadereferenciaenlapreparacindecualquierexamenparcial,final o de Selectividad. Por esta razn, damos las soluciones de las actividades.3.TransmitirenciertomodoalosotrosCentrosdeNavarrayalaUniversidadloquehacemos y entendemos que son actividades propias del Programa de esta Asignatura enNavarra.Poresohemosdescartadocualquiercuestinqueanuestromododevernoest integrado en dicho programa.Noesnuestrapretensinconestecuadernosustituirlasactividadesdeunlibrodetextoenelquenormalmentevanapareciendoenordenprogresivodedificultad,empezando por cuestiones muy triviales, pero que al principio son necesarias. Nosotroshemos obviado este tipo de cuestiones porque los objetivos son distintos.Esperamosqueestecuadernoseatilenlaenseanzayaprendizajedeestaasignatura a todo el que lo utilice. Con esto quedaremos satisfechos.Slo nos queda animar a otros posibles grupos a tareas semejantes para entre todostener una visin ms amplia de lo que hacemos y podemos hacer los que nos dedicamosa ensear esta asignatura.Paraterminar,agradeceratodoslosquenoshananimadoenestetrabajo,yenespecialaMaraLuisaEraso,asesoradelasMatemticasAplicadasalasCienciasSociales.9I.lgebra1011A.Matrices y determinantes1.-a)Averigua para qu valores detla matriz A =

,_

tt1 43 01 0 1 no tiene inversab)Si se puede, calcula la inversa deA para t =2.Sol:a)t=3 t=1 b) A1 =

,_

2 1 83 2 122 1 72.- Dadas las matrices:A=3 0 - 21 1 0 B=1 08 20 -1C=

_,

_,

_,

1 11 0Calcular, si es posible:a) A + 6 Bt,b)(A B) C, c)(B A) C , d)C4Sol: a)9 48 21 13 6

_,b)5 311 9

_,c)(B A) C no se puede d) 5 33 2

_,

3.SeaA=(aij)unamatrizdeordentres,cuyoselementosvienendadosporlaexpresin aij = 2i - j - 2. Calcular la inversa de A.Sol:A =

,_

1 2 31 0 13 2 1 No tiene inversa por ser A = 04.- Sea la matrizA =

,_

1 01 1. Hallalas matrices B que conmutan con A ( es decir AB = BA) Sol: B =

,_

ab a0 cona, bR125.- Dadas las matrices:A=1 2 -12 4 mm 2 -1B=1 0 -12 0 03 1 0

_,

_,

a)Hallar los valores de m para los que la matriz A no es inversible.b)Hallar la matriz X que es solucin de la ecuacin: X A + 2 B = I siendo A la matrizdada para m = 3Sol:a) m = 1 m = - 2;b) X = 120 - 6 8 - 1051 2 - 4530 0 - 50

_,

6.-a)Encuentre una matrizXque verifique la igualdadA B X = A2 SiendoA =

,_

0 0 11 0 10 1 1 y B =

,_

0 1 11 1 01 0 1b) Calcula el determinante deX c) Calcula, si es posible, la inversa deXSol: a)

,_

1 1 01 2 01 0 1 b) 1c)

,_

2 1 01 1 02 1 17.-Dadas la matriz A = 1 2 2 0 k-6 k 01

_,

y B= 1 2 10

- 21301

_,

a) Estudiar los valores de k para los cuales existe la matriz inversa de A.b) Si k = -1, calcular si existeA1.c)ResolverlaecuacinmatricialX A I B 22,siendoIlamatrizidentidaddeorden 3yA la matriz inicial para k = -1.Sol:a) k 0y k -2 b)A

_,

11 - 2 -1 6 12 5-2 - 5 - 2c)X

_,

12- 24- 10 35 7129 30 6024138.- Sea la matriz Aaa aa

_,

1 111 1, donde a es un nmero real:a) Calcular el valor o los valores reales de a para los que A no tiene inversa.b) Resolver la ecuacinAX + B = I, donde A es la matriz inicial para a = 0, I es lamatriz identidad yB

_,

3 2 10 1 12 1 1 .Sol:a) a=1 ya=-1b)X=

_,

2 2 02 1 10 0 19.-a) En la ecuacinX A + B = Cse sabe que:A =2 11 1

_, B =

_,

2 32 1C = 4 02 2

_,

1) Despejar X en esa ecuacin. 2) Calcular X.b) Cunto debe valer a en la matriz M = 3 0 11 21 1 0a

_,

para que M tenga inversa?Sol: a)1) X=(C-B)A-12) X = 3 01 2

_, b) a -510.-Determinarla matrizXque satisface la ecuacin 3 X + I = A . B - A2 siendo:A =

,_

2 1 33 0 22 1 1B =

,_

1 2 31 1 22 0 1eIla matriz unidad de orden 3. Sol: X =

,_

3 0 03 0 038343111.-Determina la matriz desconocida M en el siguiente producto:2 13 25 4

_,

M = 7 714 016 22

_,

Sol:M = 4 21 3

_,

1412.-Resolver la ecuacin matricial: AX + B2 = 3 I siendoA = 1 0 01 1 01 1 1

_,

B = 0 1 11 0 00 0 1

_,

Sol:X = 2 0 12 2 00 2 3

_,

13.- Halla la matriz X que cumple la igualdadAX + B = 2C, sabiendo que:A=

,_

3 15 2 B=

,_

1 1 02 1 3C=

,_

3 5 13 2 1Sol:X=

,_

6 13 313 30 714.- Sean AaB C

_,

_,

_,

21 13 1 01 2 14 1 20 0 1a) Para qu valor del parmetro a la ecuacin AX + B = 2Cno tiene solucin?.b) Resolver la ecuacin del apartado anterior para el valor a = 0.Sol:a) a=-2 b)X=5 2 3 2 23 2 1 2 1/ // /

_,

15.- Hallar una matriz X tal que0 1 21 1 34 1 51 0 2 01 3 1 05 1 4 0

_,

_,

XSol:X =

_,

10 8 3 025 22 2 012 11 2 016.-DespejaXenestaecuacinmatricial:AX+X-3I=0,sabiendoqueA+Itieneinversa.Sol:X=(A+I)1 31517.- En un colegio se imparten los cursos 1,2 y 3. Los profesores tienen asignado unnmero de horas de clase, tutoras y guardias de acuerdo con la siguiente matriz:Clase GuardiasTutorasM= 3 2 1

221820 165

,_253El colegio paga cada hora de clase a 2000 ptas., cada hora de guardia a 500 ptas. ycada hora de tutora a 1000 ptas. segn el vector:C=

,_

10005002000El colegio dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero,representados por el vectorP= ( 5 4 6).Calcula cada uno de los siguientes productos de matrices e interpreta los resultados:a)PM b)MC c)PMCSol:a)PM=

,_

47 55 304TUTOR GUARD CLASERepresentanlashorastotalesde:clases, guardias y tutoras.b) MC=

,_

465004400045500cursocursocurso 3 2 1Representa el precio total de cada curso.c)PMC= 682500 ptas. Es el precio total de todas las actividades de todos los cursos.18.-LacadenadehotelesNHposeetreshotelesenunaciudad:Excelsior,ParasoyOasis. Cada hotel dispone de tres tipos de habitaciones: de lujo, doble e individual. ElExcelsior posee 6 habitaciones de lujo, 30 dobles y 10 individuales. El Paraso 4, 50 y10respectivamenteyelOasis4,50y8.Elprecioporhabitacinynochees10.000ptas. la de lujo, 7.000 ptas. la doble y 5.000 ptas. la individual.a) Recoge estos datos en dos matrices indicando qu significa cada fila y columna.b)Suponiendoqueestuvierancompletosunanoche,expresarmedianteunamatrizlos ingresos obtenidos por cada hotel.Sol:a) A matriz que indica el n de habitaciones de cada hotel. B matriz que indica elprecio por habitacin .b) A . B matriz que indica los ingresos obtenidos por cada hotel. LDIPtasPtasA =6301045010450 8

_,

Exc.Par.Oas.B=1000070005000

_,

LujoDobleIndiv. A B

_,

3200004400004300001619.- En un centro educativo los datos de matrcula por cursos son: 3 de secundaria: 50alumnosy70alumnas;4desecundaria:65alumnosy50alumnas;1debachillerato:35 alumnos y 38 alumnas; y en 2 de bachillerato: 32 alumnos y 30 alumnas.Unestudiorealizadoenelcentroindicaquecadaalumno/ade3leeporao2libros de novela, ninguno de poesa y un libro de otros temas. Cada alumno/a de 4 lee3 novelas, 1 de poesa y 2 de otros temas. Un alumno/a de 1 lee slo 4 novelas, y unalumno/a de 2 lee 4 novelas, 3 de poesa y 4 de otros temas.a) Disponer la informacin acerca de matrcula y lectura en dos matrices.b)Explicaqurepresentancadaunodeloselementosdelamatrizproductodelasdosmatrices anteriores.c) Cuntos libros de novela leen por curso todas las alumnas matriculadas en el centro?Sol:a) M =

,_

30 38 50 7032 35 65 50L =

,_

4 3 40 0 42 1 31 0 2b)M L =

,_

290 140 562308 161 563c)562,yaqueelelementoa21delamatrizproductorepresentaelndelibrosde novela que leen entre todas las alumnas por ao20.-LacarnequeseconsumeendosresidenciasAyBconsisteenhamburguesasypollo. Los precios por Kg. de ambos productos en el hipermercado durante los mesesde octubre y noviembre fueron:Pollo Hamb.octnov 150 200160 190

_,

El consumo mensual de las dos residencias en carne fu:Kg pollo Kg hambresid Aresid B

800 600700 400

_,

Medianteoperacionesconlasmatricesanteriores,encuentraunamatrizqueexpreseel gasto de ambas residencias en carne durante los dos meses. octnov Sol: ReResAsB

,_

188000 185000242000 24000017B.Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas1.- Resolver el sistema: 2x+3y-6z=24- 3x+5y+9z=40x+2y-3z=16;Sol:x = 3,y = 8 ,z = con 2.- a) Resuelve y clasifica el sistema de ecuaciones lineales : 2 32 63 6 3x yx yy x+ + 'b) Representa grficamente el sistema e interpreta la solucin.Sol:Sistema incompatible. Dos rectas son paralelas y la otra las corta.3.- Clasifica y resuelve los siguientes sistemas: a )3x+y-z=6x-2y+z=32x+3y-4z= -9;

b )3x- 2y-2z= -2x+y-2z=-4x-4y+2z=6;Sol:a) compatible determinado: x = 3 ,y = 3 , z = 6b) compatible indeterminado: x =6 -105 , y = 4 105 , z =con 4.- Interpreta grficamente y resuelve el sistema:; + +11 5 313 53 3y xy xy xSol:Sistema incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.5.-Resuelve este sistema: x+ y- 2z= 12x- y+ 4z=74x+y=9;Sol:Sist. compat. Indet.x=32 8 w ,y=38 5 w + ,z= w conw 186.- Resuelve el sistema: ; + + + + +1 42 2 21 2z y xz y xz y xSol: Sistema compatible indeterminado de solucin ( 1-, /3, ) con .7.- Resuelve y clasifica el siguiente sistema de ecuaciones: ; + + + +2 2 32 20 3 2z y xz y xz y xSol:Sistema compatible indeterminado de solucin (54 z ,-52 7 + z,z) con z8.- Los 32 alumnos de una clase tienen edades de 18, 19y20 aos. Si la media de susedades es de18,5 aos. Cuntos alumnos hay de cada edad si de 18 aos hay 6 msque entre 19 y 20 aos?Sol:19de 18 aos, 10 de 19 aos y 3 de 20 aos9.- Los estudiantes de cierto curso venden camisetas, gorros y banderines para ayudarseapagarunviaje.Cadacamisetasevendea800ptas,cadagorraa120ptas.ycadabanderna200ptas.Loscostesdecadaprendasonde300ptas.porcamiseta,20ptas. por gorra y 80 ptas. por bandern.Elbeneficionetoobtenidoesde67400ptas.yelgastototalesde34600ptas.Sabiendoquesehanvendidountotalde270unidades,calclesecuntassehanvendido de cada clase.Sol:100 camisetas, 150 gorros y 20 banderines.10-Nuestro proveedor de pilas nos cobra por una pequea, dos medianas y una grande,305 ptas. En otra ocasin, por dos pequeas, tres medianas y dos grandes, 540 ptas.a)Cunto nos cuestan 5 pequeas, 9 medianas y 5 grandes?b) Cul es el precio de una pila mediana?c)Cunto vale una pequea ms una grande?d) Podemos calcular el precio de una pila pequea?e)Si aadimos la condicin que una grande vale el doble de una pequea, cul es elprecio de cada uno de los tipos de pilas?Sol:a) 1455 ptas.b) 70 ptas.c) 165 ptas.d) no podemos e) 110 ptas. la pila grandey 55 ptas. la pila pequea.1911.-UnaempresacinematogrficadisponedetressalasA,B,yC.Lospreciosdeentrada a cada una de estassalas son 100 , 200 y 300 ptas., respectivamente. Un da,larecaudacinconjuntadelastressalasfuede42.500ptas.yelnmerototaldeespectadoresqueacudieronfuede200.SilosespectadoresdelasalaAhubiesenasistido a la sala B y los de la sala Ba la sala A, se obtendra una recaudacin totalde 40.000 ptas. Calcula el nmero de espectadores que acudi a cada sala.Sol: 50 espectadores a la sala A, 75 a la sala By 75 a la sala C12.- Un fabricante de esprragos de Navarra fabrica tres clases de latas: lata de calidadextrade1kga500ptas,latadecalidadsupremade500gr.a300ptas.ylatadecalidad primera de 250 gr a 100 ptas.Tiene un pedido de un cliente de 300 kg por valor de 150.000 ptas, si se utilizanpara envasarlo 700 latas, calcular cuntos envases de cada tipo se necesitan.Sol: 100 latas extra, 200 latas calidad suprema y 400 latas calidad primera13.-UnatiendaposeetrestiposdeconservasA,ByC.Elpreciomediodelastresconservasesde150pts.Unclientecompra30unidadesdeA,20deBy10deC,debiendoabonar8400pts.Otrocompra20unidadesdeAy25deCyabona6900pts. Calcula el precio de una unidad de A, otra de B y otra de C.Sol:A: 120 pts,B: 150 pts y C: 180 pts.14.- Lasumadelasedadesdetrespersonases,enelmomentoactual,73aos.Dentrode diez aos la edad de la mayor de ellas ser el doble de la edad de la persona msjoven.Hacedoceaoslapersonaconedadintermediatenaeldobledeaosquelams joven. Hallar las edades de las tres personas.Sol:40, 18 y 15 aos15.-Uncapitntienetrescompaas:unadesuizos,otradezuavosyunaterceradesajones.Alasaltarunafortalezaelcapitnprometeunarecompensade901escudosque se repartirn de la siguiente forma: el soldado que primero suba y todos los de sucompaa recibirn un escudo, el resto de la recompensa se repartir a partes igualesentre el resto de los soldados. Sabiendo que si el primero que sube es un suizo, los delasdemscompaasrecibenmedioescudo;sielprimeroeszuavo,losrestantesrecibenunterciodeescudoysielprimeroessajn,uncuartodeescudo,cuntoshombres hay en cada compaa?Sol:265 suizos, 583 zuavos y 689 sajones2016.- Alfredo va al mercado y compra naranjas, pltanos y berenjenas. Si el peso total delacompraes6kg.,ysabemosque,compra1kg.msdenaranjasquedepltanos,quelospreciosson120,250y90porkg.denaranjas,pltanosyberenjenasrespectivamente,yqueentotalhapagado950ptas.,calculalascantidadesrespectivas de los productos adquiridos.Sol:3 kg. de naranjas, 2 kg. de pltanos y 1 kg. de berenjena.17.-AVictorialevanaconfeccionarsuvestidodenovia,porelquetendrquepagar174200ptas.Enlaconfeccinseutilizan15metrosentreraso,sedaypasamanerabordada. Los metros de raso sern el doble que los de seda. Los precios del raso, sedaypasamanerason5500,6200y6800ptas.elmetrorespectivamente.Sidelpreciototal50000ptas.sedestinanalamanodeobray35000ptas.parabeneficiodelcomerciante, cuntos metros de cada material sern necesarios?Sol:8 m de raso, 4 m de seda y 3 m de pasamanera.18.-JuanyPedroinvierten2000000deptas.cadauno.JuancolocaunacantidadAal4%deinters,unacantidadBal5%yelrestoal6%.PedroinviertelamismacantidadAal5%,laBal6%yelrestoal4%.DeterminarlacantidadB,sabiendoqueJuan obtiene unos intereses de 105000 ptas. y Pedro de 95000 ptas.Sol:A=500.000 , B=500.000yC=1.000.00019.- Ayer se agotaron en la Oficina de Turismo todos los folletos que quedaban. Habafolletosenespaol,francseingls,entotal80.Sesabequesienespaolhubiesehabido10folletosmenosyenfrancs20mshubierahabidoelmismonmeroenlosdosidiomas.Porotraparte,conelmismonmerodefolletosquelosquehaba,tanto en espaol como en ingls, pero doble nmero de folletos en francs, el nmerode folletos en ingls hubiese sido exactamente un tercio del total. Queremos calcularcuntosfolletoshabaexactamenteencadaidiomaalcomienzodelda.Planteaelsistema adecuado y resulvelo.Sol:40 enespaol,30 en ingls y 10 en francs.21C. Cuestiones terico-prcticas1.- a)Forma un sistema de dos ecuaciones que tenga como solucin x=2, y=-1, z=3b) Encuentra todas las soluciones del anterior sistema.c) Forma un sistema homogneo de tres ecuaciones que tenga como solucin: x=2, y=-1,z=3d) Resuelve dicho sistema.2.- Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:a)Siunamatriztienetresfilasmenosquecolumnas,cultienemayordimensin(A At )(At A)?b)Poner un ejemplo de dos matrices A y B de forma que el multiplicar(B A) elresultado sea una matriz cuadrada de orden(1x1)c)Cmo debe ser unamatriz A para que se cumpla: A + At = I ?.Sol:a) mayor dimensin At Ab) B dimensin 1xn y A nx1c) A cuadrada aii=1/2 ylos aij=-aji3.- Comentar brevemente estas frases:a)ElproductodedosmatricesdiagonalesMyNesunamatrizdiagonalyMN=NMb)Los productos AAty AtA siempre se pueden realizar y tienen el mismo orden.c)Todo sistema homogneo es compatible.d)El determinante de una matriz de orden tres es igual que el determinante de suopuesta.Sol:a)ciertob)LosproductossiempresepuedenrealizarperonotienenelmismoordenmsquecuandoAescuadrada.c)Verdaderod)Falso.Losdeterminantes son tambin opuestos.4.-Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:a)Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar?.b)Todo sistema homogneo es compatible determinado. Verdadero o falso?.c)DadaunamatrizAdedimensin(mxn)siendomn,sepuedecalcularlaexpresin:A At -At A?.Sol:a) S,b) falso, c) no se puede calcular puesto que m n225.- Razonar las respuestas:a) Si tenemos un sistema compatible indeterminado de dos ecuaciones lineales con dosincgnitas.Sepuedeobtenerunsistemaincompatibleaadiendounaterceraecuacin?b)Ponunejemplodesistemahomogneodetresecuacionescontresincgnitasquesea incompatible.c)AlaplicarelmtododeGaussatressistemasdeecuacioneslinealesheobtenidoestas situaciones :i) 13- 2 |4021| - 2001|0

_,

ii) 11 - 2 |5001| 1002| 4

_,

iii) 111 |3001 | 0002 | 0

_,

Clasifica estos sistemas en funcin del n de soluciones.Sol:a)S.Lainterpretacingrficadelsistemadadosondosrectascoincidentes,paraqueseaincompatiblebastaaadirunaecuacincuyarepresentacingrficaseauna recta paralela a las anteriores.b) Imposible pues todo sistema homogneo es compatible pues tiene por lo menosla solucin trivial ( 0,0,0 ) c) i) Compatible determinado ii) Incompatible iii) Compatible indeterminado6.-a)SeaAunamatrizde3filasy4columnasyCunamatrizdedimensin2x3CuntasfilasycolumnastieneBsabiendoqueexistelamatrizA B C ?.Qudimensin tiene la matrizA B C ?.b)SeaDunamatriztalquealmultiplicarlaporsutraspuestadaunamatrizdedimensin1x1yelproductodelatraspuestadeDporDes3x3.Calcularladimensin de la matriz D . Tiene D inversa ?c) SiendoEt = ( 123 ) la traspuesta de la matriz E. Calcular el determinante de lamatrizE Etd) Sean A y B dos matrices cuadradas cualesquiera de orden 2. Es cierta la igualdadsiguiente: ( ) A B A AB B + + +2 2 22 ?Sol: a) B tiene 4 filas y 2 columnas.A B C es de dimensin 3 x 3 . b) D es de dimensin 1 x 3. Como no es cuadrada no tiene inversa. c) Cero.d) No.( No se cumple la propiedad conmutativa en el producto de matrices).23 7.-Decirsisonverdaderasofalsaslassiguientesafirmacionesyponerunejemploocontraejemplo:a)Unsistemadeecuacioneslinealesconmsecuacionesqueincgnitas,puedeser incompatible.b)Siaunsistemadedosecuacionesytresincgnitasqueescompatibleindeterminado,leaadimosunanuevaecuacinelnuevosistemasersiemprecompatible determinado.Sol:a) Verdad,b) Falso8.- Escribe un sistema homogneo de tres ecuaciones que tenga como solucin:x = 1 ,y = 2 ,z = -1Sol:Hay infinitas soluciones, por ejemplo ' + + +0 20 20 3z yy xz y x9.-SeanAunamatrizdedimensin5x4,BunamatrizdedimensinmxnyCdedimensin3x7.SisesabequesepuedeobtenerlamatrizproductoABC,culesladimensin de la matriz B? Y la de la matriz ABC?Sol:B dimensin4x3 y ABC dimensin 5x710.-Sitenemosunsistemacompatibleindeterminadodedosecuacioneslinealescondosincgnitas.Sepuedeconseguirunsistemaincompatibleaadiendounaterceraecuacin?Sol:s11.- SeanA, B y C matrices cuadradas de orden n. SiAB = AC se puede concluir queB = C ?Sol:si A tiene inversa s, en general NO2412.- Dado el sistema; + + 4 3 25 2 3z y xz y xa)Aadirunaecuacinlinealalsistemadado,demodoqueelsistemaresultantesea incompatible.b)Aadirunaecuacinlinealalsistemadado,demodoqueelsistemaresultantesea compatible e indeterminado. Resolverel sistema as formadoSol:a) hay infinitas, por ejemplo 2x - 3y = 7b) (57 z ,52 z , z) con z13.-ElsiguientesistemadeecuacioneslinealesescompatibledeterminadoSx y zx y zx y z+ + + + '2 042 0a)SiseeliminaenelsistemaSunadelasecuacionescmoeselsistemaqueresulta?b) Qu ecuacindebe quitarse a S para que x = 0, y = 0, z = 0sea una solucin delnuevo sistema.c) Sise aade una ecuacina S, el sistema resultante puede ser....i) ...compatible determinado?ii)....compatible indeterminado?iii) ...incompatible?Justificar las respuestas y poner un ejemplo si es posible.Sol:a) compatibleindeterminadob) x+ y - z = 4c) compatible determinado o incompatible14.- Sean S y S dos sistemas de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones y 3 incgnitas, conla misma matriz de coeficientes.a)Justificaconunejemploqueunodelossistemaspuedesercompatibleyotroincompatible.b) Si ambos son compatibles, puede uno ser determinado y otro indeterminado?Sol:b) No25D. Programacin lineal1.- Maximiza y minimiza la funcin3 2 + y x p con las siguientesrestricciones:; 2 39 50 3 2xyy xSol:Mximo (2/3,4/9) y no existe mnimo2.- En la regin determinada por2 + y x ,y x ,0 x ,0 yhalla el punto en elquelafunciny x y x f4 3 ) , (+ alcanzasuvalormnimo.Puedealcanzarsumximo en esa regin?Sol: Mnimo (1 , 1). No hay mximo3.- Una persona tiene 500.000 ptas.para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipoAtienebastanteriesgoconunintersanualdel10%yeltipoBesbastanteseguroconunintersanualdel7%.Decideinvertircomomximo300.000ptas.enAycomomnimo100.000ptas.enB,einvertirenAporlomenostantocomoenB.Cmodeberinvertirsudineroparamaximizarsusinteresesanuales?Acuntoascendern stos?Sol:El mximo lo obtendr invirtiendo 300.000 ptas. en acciones tipo A y 200.000 ptas.en acciones tipo B. Ascender a 44.000 ptas.4.- Una fbrica textil elabora prendas de punto de calidades A y B. Las de calidad A sefabrican con 1 unidad de lana y 2 unidades de fibra sinttica y las de calidad B con 2unidadesdelanay1defibrasinttica.Losbeneficiosobtenidosenlaventadelasprendassonde1500ptas.paralasdecalidadAy1000ptas.paralasdecalidadB.Sabiendoqueslosedisponede180unidadesdelanay240defibrasinttica,sepide:a)Determinarcuntasprendasdecadatipodebenelaborarseparaobtenerunbeneficio mximo si la produccin no puede ser superior a 1000 prendas.b)A cunto ascender dicho beneficio?. Justificar las respuestas.Sol:Se deben elaborar 100 prendas de calidad A y 40 de calidad B.Los beneficios sern 190.000 pesetas.265.-Unjoyeroproducedosmodelosdepulseras:elmodeloMODERNyelmodeloCLASSIC.Ensuproduccinseutilizantrestiposdemquinas,P,QyR.Elsiguientecuadroespecificacuntotiempo(enhoras)necesitacadaunadelasmquinas para fabricar cada uno de los modelos:PQ R MODERN2 31CLASSIC4 15Cada mquina puede trabajar un mximo de 60 horas semanales. Si sabemos que porcada una de las pulseras del modelo MODERN obtiene un beneficio de 10000 ptas. ypor cada una de las del modelo CLASSIC un beneficio de 12000 ptas. cuntas ha defabricar de cadamodelo para maximizar su beneficio?Sol:18 modern y 6 classic.6.- Dadas las funcionesf(x , y ) = 2x + 7yg(x, y) = 2x - y h(x , y) = y - xi(x , y) = x - 4y j(x, y) = x + 2yen qu puntos se dan elmximo y mnimo, si existen, de cada una de esasfunciones en la regin factible de la figura?Sol:a) mnimo en C b) ni mximo ni mnimoc) ni mximo ni mnimod) mximo en De) todos los puntos del segmento BC son mnimos7.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La joya del primer tipo se hace con 1 g de oroy 1,5 g de plata y se vende a 4000 ptas. La del segundo tipo se vende a 5000 ptas. Ylleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Sislodisponede750gdecadametalcuntasjoyashadefabricardecadatipopara obtenerel mximo beneficio?Sol:300 de cada tipo.278.-Una ganadera desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mnimode 24 unidades del pienso A y un mnimo de 25 unidades del pienso B. En elmercado se comercializan dos tipos de compuestos: C1 y C2, elaborados con ambospiensos. El paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, siendo su precio de 100ptas., y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 300 ptas.QucantidadesdeC1ydeC2deberemplearlaganaderaparaprepararsudietacon el mnimo coste?Sol: 4 paquetes de C1 y 5 de C29 .- Una empresa fabrica dos tipos de componentes para ordenador A y B que vende a 32euros y 18 euros respectivamente. El coste de fabricacin es de 2 euros lacomponente A y 1 euro la B. La empresa dispone de 3.000 euros para la produccindiaria de ambas componentes, y puede almacenar, como mucho, 2.000 componentes.Halla el nmero de componentes de cada tipo que deber producir al da para obtenerel mximo beneficio.Sol:1.000 componentes de cada clase10.- Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de quesocon los que quiere preparar dos tipos de lotes.El lote A consta de un jamn y 2 botellas de vino; el lote B consta de 2 jamones, unabotelladevinoyunaboladequeso.PorcadalotetipoAobtieneunbeneficiode2000 ptas. y 3000 ptas. por cada uno tipo B.Cuntos lotes de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? . Cul esel beneficio mximo?.Sol:100 lotes tipo A y 200 lotes tipo B Beneficio mximo 800.000 ptas.11.-Unaempresadeaviacincomercialtienequeatenderunalneaquepresentaunademandede800plazasdiariasparaundeterminadotrayecto.Paraatenderlatiene8aviones de 80 plazas y 7 aviones de 100 plazas. Adems dispone de 9 tripulaciones.El coste por avin pequeo es de 600.000 ptas. y por avin grande de 800.000 ptas.Calcula cuntos aviones grandes y cuntos pequeos debe disponer diariamente paraque el coste sea mnimo.Sol:5 aviones de 80 plazas y 4 aviones de 100 plazas2812.- Determina el mximo y el mnimo valor de la funcin f (x,y) = 5x + 2y sujeta a lasrestricciones:

x-y0x+2y12 x 4yx 3y 2;Sol: mnimo valor de 19 en x = 3y = 2mximo valor de 44 en x = 8y = 213.- Un atleta debe tener al da al menos doce vitaminas del tipo A, cuatro del B y ochodel tipo C. Para ello dispone de dos tipos de comprimidos C1 y C2, cada uno de loscuales contiene las siguientes unidades de estas vitaminas:A B CC1 3 2 4C2 4 1 3SicadacomprimidoC1cuesta10pts.ycadacomprimidoC25pts.,cuntoscomprimidos de cada clase debe tomar al da para obtener las vitaminas indicadas almnimo coste?Sol: segmento de recta 2x + y = 4 comprendido entre x=0 y x= 4/514.-Unafbricadejuguetesproducedostiposdecochesteledirigidos.AyB.Porrazonescomerciales,lasunidadesproducidasdeAyBestnlimitadas,respecti-vamente, a 200 y 300.La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fabricar los juguetes y conoce quelaproduccindecadaunidaddeAprecisade3horasdetrabajoyreportaunosbeneficiosde1500pts.,mientrasquecadaunidaddetipoBconsume6horasdetrabajo y supone un beneficio de 2300pts.Determinar, justificando la respuesta, los niveles ptimos de produccin de A y B demanera que el beneficio global sea mximo.Sol:200 unidades de cada tipo2915.- Se considera la regin del plano determinada por las inecuaciones:0 y;0 x ;3 x y; yx 8 ; y3 x + +a) Dibujar la regin que definen y calcular sus vrtices.b)HallarelpuntodeestareginenelquelafuncinF(x,y)=6x+4yalcanzaelvalor mximo y calcular dicho valor.Sol.a) (3 ,0) , (5'5 , 2'5) , (2'5 , 5'5) , (0 , 3) , (0 , 0) b) mximo valor de 43 en el vrtice (5'5 , 2'5)16.-Unafbricadecarrocerasdecochesycamionestienedosnaves.EnlanaveA,parafabricarlacarroceradeuncaminseinvierten7das/operarioyparafabricarladeuncoche2das/operario.EnlanaveBseinvierte3das/operariotantoencarrocerasdecamionescomodecoches.Porlimitacionesdemanodeobraymaquinaria,lanaveAdisponede300das/operario,ylaBde270das/operario.Silosbeneficiosqueseobtienenporcadacaminsonde6millonesdepesetasyporcadacochede2millonesdepesetas.Cuntasunidadesdecadaunosedebenproducir para maximizar las ganancias?Sol:66 automviles y 24 camiones17.- Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas de ncorasy 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacersusnecesidades,peroslovendendichomariscoencontenedorescompletos.ElmayoristaAenvaencadacontenedor8cajasdelangostinos,1dencorasy2depercebes,yelBenva2,1y7cajasrespectivamente.CadacontenedorquesuministraAcuesta210000ptas.YcadaunodelosquesuministraB300000ptas.Cuntoscontenedoresdebepedirelhipermercadoacadamayoristaparasatisfacersus necesidades mnimas con el menor coste? Sol:3 contenedores al A y 2 al BCoste mnimo de 1.230.000 ptas.18.-UnaempresadeproductosqumicoselaboradosproductosAyB.ElproductoAllevaun10%defsforo,un20%depotasioyelrestodeagua.ElproductoBllevaun30%defsforo,un10%depotasioyelrestodeagua.Disponende1800kg.defsforoyde1600kg.depotasio.Porotrapartelaempresanodebefabricarunacantidad del producto B que sea ms del doble de la cantidad que fabrique del A. Laempresa vende el producto A a 75 ptas/kg. y el producto B a 150 ptas/kg. CuntosKg de cada producto ha de fabricar para que el importe de la venta sea mximo?Sol:6.000 del tipo A y 4.000 del B3019.-Unpastelerotiene150kg.deharina,22kg.deazcary27,5kg.demantequillapara hacer dos tipos de pasteles P1 y P2 . Para hacer una docena de pasteles de tipo P1necesita3kg.deharina,1kg.deazcary1kg.demantequillayparahacerunadocena del tipo P2 necesita 6 kg. de harina, 0,5 kg. de azcar y 1 kg. de mantequilla.El beneficio que obtiene por una docena de tipo P1 es 20 y por una docena de tipo P2es30.Hallaelnmerodedocenasquetienequehacerdecadaclaseparaqueelbeneficio sea mximo.Sol:5 docenas del tipo P1 y 22 docenas y media del tipoP2.20.- Minimizar y maximizar la funcin f (x , y ) = x + y en la regin determinada por lasinecuaciones siguientes x+2y 803x+2y 1605x+2y 200x0y 0 'Sol:Mnimo ( 40 , 20 ) y no hay mximo.21.-Unalmacndeconfeccinquedisponede70camisetas,120camisasy110pantalones, hace liquidacin de existencias. Quiere ponerlo a la venta en dos tipos delotes:elloteA,formadopor2camisas,1pantalny1camisetasevendera600ptas. ; el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta, se vender a 700ptas. Calcula cuntos lotes conviene que hagan de cada clase para obtener el mximode ganancias y cuanto dinero ingresarn.sol: x = 30 y = 40El dinero que se ingresa es 46.000 ptas.22.- En una fbrica se construyen sillas grandes y pequeas. Las sillas grandes necesitan4m2demaderaylaspequeas3m2.Elfabricantenecesitaconstruiralmenostressillas grandes y al menos el doble de pequeas que de grandes. Se dispone de 60 m2demaderaylosbeneficiossonde200ptas.y300ptas.porsillapequeaygranderespectivamente.Cuntassillasdecadatiposedebenfabricarparaobtenerelbeneficio mximo?.Sol:Deben fabricarse 6 sillas grandes y 12 pequeasBeneficio mximo 4200 ptas.3123.-Unaganaderadeseaproporcionarasuganadounadietaquecontengaunmnimode24unidadesdelpiensoAyunmnimode24unidadesdelpiensoB.Enelmercadosecomercializandostiposdecompuesto:C1yC2,elaboradosconambospiensos.ElpaquetedeC1contiene1unidaddeAy5deB,siendosuprecio100ptas., y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 300 ptas. QucantidadesdeC1yC2deberemplearlaganaderaparaprepararsudietaconelmnimo coste?Sol:Deben fabricarse 4 paquetes de C1 y 5 de C2El coste mnimo es 1900 ptas.24.-Sequiereelaborarunadietadiariaparaganadoquesatisfagaunascondicionesmnimas de contenidos vitamnicos al da: 2 mg de vitamina A , 3 mg de vitamina B ,30 de la C y2 de la D. Para ello se van a mezclar piensos de dos tipos , P y Q , cuyoprecioporkg.paraambosesde30ptas.ycuyocontenidovitamnicoporkg.eselsiguiente:A B C DP 1 mg 1 mg 20 mg 2 mgQ 1 mg 3 mg 7,5 mg 0 mgCmodebenmezclarselospiensosparaqueelgastoseamnimo?Culesestegasto mnimo?Sol:El mnimo gasto lo dan todos los puntos del segmento que une65 ,45 con32 ,12

_,

_,

Ese gasto mnimo es de 60 ptas.25.-Uncomerciantedeseacomprardostiposdefrigorficos,F1yF2.LosdeltipoF1cuestan 30.000 ptas. y los del tipo F2 cuestan 50.000 ptas. Slo dispone sitio para 20frigorficosyde700.000ptas.parahacerlascompras.Cuntosfrigorficoshadecomprardecadatipoparaobtenerbeneficiosmximosconsuventaposterior,sabiendo que en cada frigorfico gana el 30% del precio de compra?. Sol.:Todos los puntos del segmento (0,14) al (15,5)de coordenadas enteras.Es decir: 0 del tipo F1y14 del tipo F2 10 del tipo F1y8 del tipo F25 del tipo F1y11 del tipo F2 15 del tipo F1y5 del tipo F233II.Anlisis3435A.Lmites y continuidad1.-Algunosexpertosestimaronacomienzosdelosaos90queelsidacrecaarazndel20%anual.Sisuponemosqueenesafecha,enunadeterminadaciudad,haba1000enfermosdesidaylafrmuladecrecimientovienedadaporE(t)=1000(1+0,20)t, se pide:a) Cuntos enfermos habra a comienzos de 1993?b) Cuntos habr a principios del 2000?c) Cunto tardar en duplicarse el nmero de afectados? Sol:a) 1728b) 6192c)aproximadamente38aos2.-Unaempresademontajesencadena,hadeterminadoqueelnmerodemontajesrealizados por un trabajador sin experiencia depende de los das de entrenamiento, deacuerdo con la funcinM(t) =430+ ttdonde t es el tiempo en das.a)Cuntos montajes realizar el primer da? Y el dcimo?b)Qu ocurrira con el nmero de montajes, si nunca acabara el entrenamiento?c)Dibuja la funcin. Sol:a) 6; aproximadamente 21b) como mucho 30 montajes.3.- Las prdidas o ganancias de una empresa,en cientos de millones de ptas, siguen unaleyy = 24 2+xx siendo x losaos de vida de la empresa.a)Determina el ao en que la empresa deja de tener prdidasb)Estn sus beneficios limitados? Si lo estn, cul es su lmite?Sol:a) a los 2 aos b) estn limitados por 200 millones de ptas.4.- Calcula los siguientes lmites:a) xxe lm b) ,_

111lm21x xxx c) 111lm+xxe d)111lmxxee)xxxx33 21 2lm ,_

f)xxxx

,_

+++ 5 23lm NOTA: Puedes ayudarte con calculadora.Sol : a)0 b) +1lmx( ) x f( ) + x fx 1lm c) + d) 0 e)e3f)0.365.- Calcula los lmites siguientes:a) xlmxxx31 21 2

,_

+ b) xlm

,_

+ xx12 c)+ xlm ,_

+ x 12Sol:a) e3b) -c)06.- Calcula el valor de los siguientes lmites. Caso de no existir , explica por qu:a) xxxx

,_

+ 2211 2lim b) 3311 limxxx

,_

+ c) 13322 41 2lim

,_

+xxxx d) 11lim1xxSol:a) No existe b) e c) 0 d) No existe.7.-Realiza, con todos los pasos, los lmites:a) xxxx

,_

+ 1 23 2lim b),_

1211lim21xxxxc) 722213lim+

,_

++xxxxSol:a) 2eb) 21 c) 2e8.- Dada la funcin f(x)='< < 4 54 2 3 22 12x six si xx si x Dibuja la funcin y estudia su continuidad.Sol: en x=2discontinuidad no evitable de salto 29.-Considreselafuncindefinidaporf xxx x( ) +2295 6.Hallarlospuntosdediscontinuidad y clasificarlos.Sol:x = 3 disc evitable yx = 2 disc. inevitable de salto infinito3710.-Dibuja y estudia la continuidad de la funcin:'>< < 3523 0 1 30 1 3) (2x sixx si x xx si xx fSi la funcin es discontinua para algn valor de x, indica qu tipo de discontinuidadpresenta y cmo se evitara.Sol:En x=3 no est definida la funcin y hay una discontinuidad evitable y en x=5 hayuna discontinuidad inevitable.11.-Seaf(x)=x xx x x44 422 3+ .Hallalospuntosdediscontinuidad,clasifcalos,hallalasasntotas y suposicin respecto de la funcin. Sol: Puntos de discontinuidad: x=0, x=4 ; en x=0 discont evitable; en x=4 discontno evitable asinttica (de salto) ; asntota vertical x=4 ; posicin: a la derecha+y a la izquierda - ;asntotaoblicuay=x;posicin:cuandoxtiendea+lacurva encima de la asntota; cuando x tiende a -, la curva debajo de la asntota.12.-a) Calcula las ecuaciones de las asntotas de la funcin: f(x) = 122 xxb) Con las asntotas y algn punto auxiliar dibuja aproximadamente su grfica.Sol:AV:x = -1,x = 1 AH:y = 113.-Calcula los siguientes lmites e interpreta grficamente el resultado:a)lim x4x-2x 22+b)lim x2x-3x-3x 32Sol:a) No existe, los lmites laterales son distintos;en x=2 hay una asntota verticalb) El lmite es 4. En x=3 hay una discontinuidad evitable.38B.Derivadas y aplicaciones1.-Aplicando la definicin de derivada, hallala de la funcin:xx f3) ( .Sol: 23) ( 'xx f2.-Dada la parbola2 22 x x y, se traza la cuerda que une los puntos de abscisas1 x y3 x .Hallalaecuacindelarectatangentealaparbola,paralelaaestacuerda.Sol:6 2 x y3.- Dada la funcinf ( x )=2x1-x2a) Hallar sus asntotas verticales y horizontales.b) Hallar la ecuacin de la recta tangente en x = 2Sol:a) x = 1, x = - 1 ,y = 0b)y = 932- x 9104.-Hallalaecuacindelarectatangentealacurva 12ln2+xxy enelpuntodeabscisa x =1.Sol: y= 23 ( x - 1)5.- Calcular la ecuacin de la recta tangente af xxx( )( )12 en x = 2Sol: y - 2 = -3 ( x - 2)6.- Sea la funcin f(x)=3) 2 (2xxhalla las asntotas de la funciny calcula la ecuacinde la recta tangente en x=2.Sol:Asntotas x = 3;y = x-1 Ec. De la recta tangente:y = 07.- Derivar las siguientes funciones:39a)f ( x)=3 ( 2x-7 )55b)f ( x )=2 ln 4x-1x

_,

c)f ( x )=( 1-5x ) e3x d)f ( x )=1-x sen x e)f ( x )=3x( 2x-3 )23Sol:a) y = 47) - 6(2x b) y = 1) - x(4x2c) y =) 2 15 ( e -3x+ xd) y = x - 1 2sen xcos x - 1 x e) y = 4) 3 2 (3) 6x(x-+x8.- Halla la derivada tercera de la funciny=2x+12xSol:y''' = 4x3 -9.- Calcula las derivadas de las funciones:a)y = sen25xen el punto x = 4b)y = xetgen el punto x =Sol:a)y = 5 b)y = 2110.- Calcula las siguientes derivadas:a)y = sen3(2x+1)2b) y = ln311+xx c)y = xxxe2 Sol:a) 12 ( 2x+1 ) sen2( 2x+1 )2cos (2x+1)2b) ( ) 1 322 x c),_

+ ,_

2ln 12exex11. Derivary e x xx +25 3 ( cos sen )+ ln(1- x)40Sol: xx x e x x xe yx x + + + 11) 3 cos 3 sen 5 ( ) 3 sen cos 5 ( 2 2 212.- Deriva y simplifica las siguientes funciones: a) y=ex 3sen2xb) y = lnxxsen 1sen 1+Sol:a) ex 3sen x ( 3 sen x + 2 cos x )b)x cos113. Calcular las derivadas: a)y x x + ( ) 1 5 1 2b)y x x + + 4 1 32 2ln( ) (sen )Sol: a) xxy2 115 4+ b)) 3 cos( ) 3 sen( 6182x xxxy ++14. - Hallar asntotas ymximos y mnimos y de yxx229 .Sol:asntotas: x = 3, x = -3, y = 1 mximo: (0,0)15. Dada la grfica de la funcin f(x) , se pide ( justificando la respuesta )a) Dominio de f(x)b) Qu puedes decir de: f(0) ,f(-1) ,f(-2),f(-3),f(1) ?c) En algn punto f(x) = 0 ?d)Calcularlim f x x ( ),) (-x x f lim ylim f x x 1( )Sol:a) - {1 }b) f(0) < 0,f(-1) = 0 , f(-2) >0 , f(-3) > 0 ,f(1) no existec) S, aproximadamente en el ( -2 , 0 ) d) 0,+ , no existe ( 1zda -y derecha +)4116.-Determinarlosvaloresdeaybparaquelafuncinf x x ax b ( ) + +3tengaunmnimo en el punto ( -1 , 4 ).Sol:a=-3, b=217.-Hallaraybparaquelafuncinf(x)=x3+ax2+bx+1tengaunpuntodeinflexin en x = 3 y un mnimo relativo en x = 1.Sol:a= -9 , b=1518.- Hallar la ecuacin de la recta tangente a la funcinf x x x ( ) +3 23 2 en su puntode inflexin.Sol: y = -3x+319.- La funcin f(x) = 3x2+mx+8presentaunmnimoenx=1.Calculamyelvalordel mnimo.Sol:m = -6;f (1)= 520.- La grfica de la funciny x ax bx c + + +3 2 pasa por el punto ( -1 , 0 ) y tiene unmximo en el punto ( 0 , 4 ). Hallar los coeficientes a , b y c.Sol:a = -3, b = 0, c = 421.-Dada la funcin f ( x ) = a x2 - 5x + ba)Halla el valor de a y b sabiendo que f ( 0 ) = 6yf ' ( 1 ) = - 3b)En qu punto la recta tangente ala grfica de la funcn tiene pendiente 3 ?Sol:a = 1 b = 6, en el punto x = 422.Lafuncinf x x ax x b ( ) + +3 24 cortaalejedeabscisasenx=3ytieneunpunto de inflexin enx 23. Hallar a y b.Sol:a = 2 , b = -214223.- Representa la funcin f(x)='< +0 10 12x si xx si x Estudia su continuidady derivabilidad, su crecimiento, sus mximos y mnimos.Sol:Discont y no derivable en x = 0 , siempre creciente, ni mximos ni mnimos24.- Sea f(x)='< < 4 54 2 3 22 12x six si xx si x a)Estudia su continuidad y su derivabilidadb)Dibuja su grficaSol:Discont y por tanto no derivable en x =2 , continua y no derivable en x = 425.- a) Escribe una funcin que sea discontinua evitable en el punto x = 1 ydiscontinuano evitable en x = -2. Represntala grficamente. b) Pon un ejemplo de funcin que sea continua pero no derivable en el punto x = 3,y dibuja su grfica.26.- La funcin 1 ) ( + x x f presenta un mnimo relativo en algn punto?. En qupuntos es derivable?Raznalo.Sol:Mnimo (-1,0). Derivable: R-{ } 1 27.-Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcin:'> < 11 0 10) (2x si xx si xx si ex fxSi la funcin es discontinua para algn valor de x, indica qu tipo dediscontinuidad presenta y cmo se evitara. Si en algn punto la funcin no fuesederivable indica la razn.4328.- Estudiar la derivabilidad de la funcinf xexx( ) + + ' si x22Sol:x=2 discontinuidad evitable ( por lo tanto no derivable ). En x = 0 continua perono derivable. En los dems puntos continua y derivable.31.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin:'< + < + x2 si 3x 2x2 x1 si10 - 3x1xsi8 9x = ) x( f23Sol: Continua en R - {1}. Discontinuidad inevitable de salto finito en x=1. Derivable en R-{ } 2 , 14432- Estudia la continuidad y la derivabilidad de la funcinf(x) = '>+0012x si ex sixxxSol: f(x) es discontinua no evitable con salto infinito en x = -1f(x) es discontinua no evitable con salto finito en x = 0f(x) no es derivable en x = -1 ni en x = 0 por no ser continua.33. - Dada la funcin:f(x) = ;'> +1 1 21123x si xx sixxa) En qu punto o puntos es discontinua?. De qu tipo?b) Esderivable en x=1?. Y en x = -1?. Por qu?Sol:a) Continua en x=1. Discontinua no evitable en x=-1.b) No derivable en x=-1 por no ser continua. No derivable en x=1 por ser f (1) f (1+)34.- Dada la funcin: f(x) = '+ + + + 4) = 277853.-La demanda diaria de un determinado producto sigue una probabilidad dada por lasiguiente funcin de densidad:f(x) = '> 10.Setratadeuncontrasteunilateral,porloquesecalculaenlatablanormalz 1=z95 . 0=1.65.Laregindeaceptacinalniveldadoser +z95 . 0n=10.22.Comox =10.2esmenor que 10.22, hay que rechazar H1 y aceptar H0 al nivel de confianza del 95 %.12.-Elsalariomediodeunamuestraaleatoriade1600personasdeciertapoblacinesde859euros.Sesabequeladesviacintpicadelossalariosdelapoblacines120euros. Se podr afirmar con un nivel de significacin de un 1 % que el salario medio enla poblacin es de 868 euros?. De qu tipo de contraste se trata?Sol:hayquerechazarlahiptesisnula,esdecir,nosepuedeafirmarqueelsalariomediodelapoblacinsea868eurosalniveldesignificacindel1%.Setratadeuncontraste bilateral, con lmites 860.26 y 875.74.13.-Lashiptesisnulayalternativasobreelpromediodeunapoblacinnormalconvarianza 100 son: H0:30 yH1:40 . Si extraemos una muestra aleatoria de 25sujetos, qu valor debe tomar el error de tipo I para que al contrastar esas hiptesis laprobabilidad de rechazar H0 siendo falsa sea 0.99621?. (El contraste es unilateral).Sol:el error de tipo I es01 . 0 14.-Sean H0:30 yH1: 38 lashiptesisnulayalternativadeunapoblacinnormalconvarianzade320.a)Siintentamosponerapruebaambashiptesisconunamuestra de 20 sujetos y un nivel de confianza del 95 %, cul ser el error de tipo II enelcontraste?.b)Sifijamoselniveldesignificacinen0.0668,qutamaodebertenerunamuestraaleatoriaextradadeesapoblacinparaquelaprobabilidadderechazar H0 siendo falsa valga 0.6915.Sol:a)el error de tipo II es 0.3594. b)el tamao es de 20 sujetos.9415.- Los alumnos del ltimo curso de Primaria aumentan su velocidad lectora a lo largodel curso en 50 palabras como promedio. Esta variable se distribuye normalmente en lapoblacin, con una desviacin tpica igual a 12. Se ensaya un nuevo mtodo pedaggicoparacompararsusresultados.a)Averiguaeltamaodelamuestraadecuadaparadescubrirunadiferenciadet 3palabrasrespectoalmtodohabitual,conunerrordetipo I = 0.05y un error de tipo II = 0.05.b) Si extrada esa muestra se encuentra unamediade53palabras,sepuededecirquelaeficaciadelnuevomtodoessignificativamente diferente de la del mtodo anterior?.Sol:a) n = 208 sujetos b)Hayquerechazarlahiptesisnulayaceptarlaalternativa (H1: 50) al nivel de significacin del 5 %.16 .- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16comercioselegidosalazarenunbarriodeunaciudad,ysehanencontradolossiguientes precios:95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110Suponiendoquelospreciosdeesteproductosedistribuyensegnunaleynormaldevarianza 25 y media desconocida:a)Cul es la distribucin de la media muestral?b)Determine el intervalo de confianza, al 95 %, para la media poblacional.Sol:a) N( 104; 125)b) (10155; 10645)17.- La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue unadistribucinnormaldemedia162mydesviacintpica012m.Culeslaprobabilidaddequelamediadeunamuestraaleatoriade100alumnasseamayorque160 m?Sol:095159518.- El estudio de un test de satisfaccin de usuario que rellenan todos los demandantesdeserviciosdeunagranempresarevelaquelanotamediaqueotorganesde570puntos con una desviacin tpica de 05.Posteriormente,seharealizadounmuestreoa100usuariosdelazonadeinfluenciaA,ya49usuariosdelazonaB,obtenindosepuntuacionesmediasrespectivas de 56 y 585.Conunaconfianzadel95%,sepuedeafirmarquelasdiferenciasentrelasmediasdecadamuestraydelapoblacinsondebidasalazar,osepuedeafirmarqueson diferentes la nota media de la poblacin y la de cada muestra?Formula las hiptesis nula y alternativa.Define error de tipo I y error de tipo II.Sol:Ho: = 5 7 H1: 5 7 intervalo de confianza en la zonaA:(5602;5798).H0se rechaza para esta zona . Intervalo de confianza en la zonaB:(5563;5837) .H0se rechaza tambin para esta zona.Error de tipo I consiste en rechazar H0 cuando es verdadera.Error de tipo II consiste en aceptar H0 cuando es falsa.19.- Enunaciudad,elpesodelosrecinnacidossehadistribuidosegnlaleynormalde media = 3100g y desviacin = 150g.Halla los parmetros de la distribucin que siguen las medias de las muestras de tamao100.Sol:N(3100; 15)20.-Sesuponequelaestaturadeloschicosde18aosdeciertapoblacinsigueunadistribucin normal de media 162 cm y desviacin tpica 12cm. Se toma una muestra alazar de 100 de estos chicos encuestados y se calcula la media.Cul es la probabilidad de que esta media est entre 159 y 165 cm?Sol:0987621.-Unaencuestarealizadasobre40avionescomercialesrevelaquelaantigedadmediadestosesde1341aosconunadesviacintpicamuestralde828aos.Sepide:a)Entre qu valores, con un 90 % de confianza, se encuentra la antigedad media de laflota comercial?b)Sisequisieraobtenerunniveldeconfianzadel95%cometiendoelmismoerrordeestimacinqueenelapartadoanteriorysuponiendotambinques=828aos,cuntos elementos deberan componer la muestra?Sol:a) (1126; 1556)b) al menos 57 aviones9622.-Sedeseahacerunestudiodemercadoparaconocerelpreciomediodeloslibroscientficos.Paraello,seeligeunamuestraaleatoriaformadapor34librosysedeterminaque la media muestral es de 3490 pesetas con unadesviacin tpica de 450 pta.Hallaelintervalodeconfianzaparaelpreciomediodeloslibroscientficosalnivel del 99%.Sol:(32901; 36891)23.-Unfabricantedeelectrodomsticossabequelavidamediadestossigueunadistribucin normal con media = 100 meses y desviacin tpica = 12 meses.Determnese el mnimo tamao muestral que garantiza, con una probabilidad de098, que la vida media de los electrodomsticos en dicha muestra se encuentra entre 90y 110 meses.Sol:al menos 8 electrodomsticos24.-Enlosltimostiempos,lasventasmediasenuncomerciorondabanlas120000ptas. diarias. Sin embargo, hace unos meses se abri una superficie comercial cerca delmismo. El establecimiento defiende que las ventas medias se mantienen o, incluso, hanaumentado, pero que no han disminuido.Para contrastar estadsticamente este supuesto se ha seleccionado una muestra delas ventas diarias realizadas despus de la apertura de la superficie comercial.a)Establecer las hiptesis nula y alternativa.b) Qu nombre recibe la probabilidad de que el establecimiento concluya errneamenteque las ventas medias han disminuido? Explica cmo se denomina y en qu consiste elotro error posible.c)Elestablecimientohaencargadoelestudioaunespecialistayensuinformeafirmatextualmentequeelvalorobtenidoalrealizarelcontrasteessignificativo,peroelestablecimientonoentiendeelsignificadodelafrase.Significaqueelestableci-miento debe concluir que sus ventas medias disminuyeron, o locontrario?.Sol:a) H0= las ventas no han disminuidoH1=las ventas han disminuidob) nivel de significacin que es la probabilidad de cometer error de tipoI . El otro errorposible error de tipo II consiste en aceptar H0 siendo falsac) Puede aceptar H0 pero debera exigir al especialista el nivel de significacin.25.- La desviacin tpica de la altura de los habitantes de un pas es de 10 cm. Calcularel tamaomnimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho pas para que elerrorcometidoalestimarlaalturamediaseainferiora1cmconunniveldeconfianzadel99%.Ysielniveldeconfianzaesdel95%?Explicarlospasosseguidosparaobtener las respuestas. Sol:a) al menos 664 personas b) al menos 385 personasJUNIOMATEMTICAS APLICADAS ALAS CIENCIAS SOCIALES IICurso 1999-2000El alumno elegir una opcin de cada uno de estos tres ejerciciosEjercicio 1Opcin A)Dado el sistema:x + y + z = 3x y + z = 1i) Aadir una ecuacin tal que el sistema resultante sea incompatible. (3 puntos)ii) Idem para sistema compatible indeterrninado. (3 puntos)iii) Idem para sistema compatible determinado. (4 puntos)Opcin B)El departamento de produccin de una empresa recibe un contrato para fabricar contenedores emplean-do dos clases de material Ay B. El material Acuesta 30 pesetas por unidad y el material B tiene un coste de 80pesetas por unidad. Para cada contenedor puede usarse un mximo de 12 unidades de A y como mnimo 16unidades de B. Cada unidad de Apesa 4 kilos y cada unidad de B pesa 6 kilos Si el contenedor ha de pesar almenos 120 kilos, Cul debe ser la composicin de dichos materiales para minimizar costes?i) Planlear el problema. (4 puntos)ii) Resolucin grfica. (6 puntos)Ejercicio 2Opcin A)Determinar la ecuacin de la funcin polinmica que pasa por los puntos (0,1) y (1,1) y tal que:y = 6 x + 4 (10 puntos)Opcin B)i) Calcular las derivadas de las siguientes funciones:1y1= 4 + 2x+ 1n(3 puntos) y2= sen2(2x + 1)3(2 puntos)1 + xii) Aplicando la definicin de derivada calcular la derivada de f(x) = x2 2x, en x = 2. (5 puntos)Ejercicio 3Opcin A)Dos compaeros de estudios comparten piso. El primero prepara la comida el 40% de los das y el restode los das lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema la comida al primero es el 5% mientrasque el del segundo es el 8%. Calcular la probabilidad de que un da, elegido al azar, la comida est quemada.(5 puntos) Si cierto da se ha quemado, calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero. (5 puntos)Opcin B)Un tratamiento contra el cncer produce mejora en el 80% de los enfermos a los que se les aplica. Sesuministra a 5 enfermos.i) Probabilidad de que los cinco pacientes mejoren. (4 puntos)ii) Calcular la probabilidad de que al menos tres no experimenten mejora. (4 puntos)iii) Cuntos pacientes se espera que mejoren? (2 puntos)Soluciones prueba de selectividad de junioEjercicio 1Opcin A)i) Infinitas soluciones. Por ejemplo: x + y + z = 4ii) Infinitas soluciones. Por ejemplo: x + z = 2 (sumando las dos ecuaciones)iii) Infinitas soluciones. Por ejemplo: x 2y + z = 0Opcin B)i) Funcin objetivo: F(x, y) = 30 x + 80 y0 x 12Restricciones y 164x + 6y 120ii) Se minimiza el coste para 6 unidades de Ay 16 de B.Ejercicio 2Opcin A)y = x3+ 2x2 3x + 1Opcin B)2x1n 2 1i) y1= y2= 12(2x + 1)2sen(2x + 1)3cos(2x + 1)32 4 + 2x1 + xf (2 + h) f (2)ii) f (2) = lim = 2h 0 hEjercicio 3Opcin A)17 5a) b) 250 17Opcin B)5 5 5i)(08)5ii)() (02)3(08)2+ () (02)4(08) + () (02)5iii)43 4 5SEPTIEMBREMATEMTICAS APLICADAS ALAS CIENCIAS SOCIALES IICurso 1999-2000El alumno elegir una opcin de cada uno de estos tres ejerciciosEjercicio 1Opcin A)Una empresa textil fabrica tres modelos de camisetas A, B y C. Los precios de venta de cada una de estascamisetas son 1.000, 2.000 y 3.000 pesetas respectivamente. Una semana vendi 200 camisetas en total y ob-tuvo unos ingresos de 425.000 pesetas. Si el nmero de camisetas vendidas del modelo Ahubiera sido el delmodelo B y el nmero de camisetas vendidas del modelo B hubiera sido el del A, los ingresos hubieran as-cendido a 400.000 pesetas. Hallar el nmero de camisetas vendidas de cada modelo.(planteamiento: 5 puntos; resolucin 5 puntos)Opcin B)Un almacenista desea liquidar 2 toneladas de manzanas y 1 tonelada de peras. Para ello lanza dos ofertas,la oferta 1 consiste en un lote de 10 kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 750 pesetas, la oferta 2 consis-te en 30 kilos de manzanas y 10 de peras por 1.250 pesetas. Se desea ofrecer al menos 20 lotes de la oferta 1y al menos 10 lotes de la 2. Cuntos lotes de cada oferta ha de ofrecer para maximizar los ingresos (supo-niendo que se venden todos)?i) Plantear el problema. (4 puntos)ii) Resolucin grfica. (6 puntos)Ejercicio 2Opcin A)Calcular las siguientes integrales:10 1 2xi) xex2dx(3 puntos) ii) dx (3 puntos) iii) dx (4 puntos)5x + 2 x + 1Opcin B)x2 1 x < 2Dada la funcin f(x) = 2x 1 2 x < 5 i) Representarla grficamente. (5 puntos)x + 1 x 5ii) Estudiar su continuidad en R. (5 puntos)Ejercicio 3Opcin A)De dos sucesos aleatorios independientes de un experimento se sabe que la probabilidad de que ocurranlos dos simultneamente es 1/6 y la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es 1/3. Calcular la pro-babilidad de cada uno de estos sucesos. (10 puntos)Opcin B)La puntuacin que obtienen los alumnos de bachillerato en un test psicolgico sigue una distribucin nor-mal N (150, 30). Cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar obtenga una puntuacin:i) superior a 170? (4 puntos) ii) entre 140 y 160?(4 puntos) iii) igual a 150?(2 puntos)Soluciones prueba de selectividad de septiembreEjercicio 1Opcin A)50 camisetas del modelo A75 camisetas del modelo B75 camisetas del modelo COpcin Bi) Funcin objetivo: F (x, y) = 750 x + 1250 y10x + 30y 2000Restricciones 10x + 30y 1000x 20y 10ii) Se maximizan los ingresos con 50 lotes de cada oferta.Ejercicio 2Opcin Ai)1e-x2+ k ii) 4 5x + 2 + k iii) 2x + 3 ln | x + 1 | + k2Opcin Bi)ii) Continua en todo R menos en x = 5 (discontinua no evitable de salto 3)Ejercicio 3Opcin Aa) p (A) = 1/2 y p (B) = 1/3 p (A) = 1/3 y p (B) = 1/2Opcin Bi) 02546 ii) 02586 iii) 0