Matrices+y+determinantes 1

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MATRICES Y DETERMINANTES Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a ij ), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

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  • 1. MATRICES Y DETERMINANTES Definicin de matriz Se llama matriz de orden m n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de la fila 2 y columna 5.

2. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. naaaa 1131211 Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. 1 31 21 11 ma a a a Tipos de matrices: 3. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo nmero de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 321 3333231 2232221 1131211 4. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definicin se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. Tipos de matrices: Matriz simtrica: Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j. Matriz antisimtrica: Una matriz cuadrada es antisimtrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j. 5. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0 La matriz La matriz es una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x 4 Tipos de matrices: 6. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 7. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que estn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que estn por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que estn por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior 8. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Trasposicin de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un nmero Propiedades simplificativas Producto de matrices Matrices inversibles 9. MATRICES Y DETERMINANTES Trasposicin de matrices Operaciones con matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposicin de matrices: 1.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y adems es nica. 2.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A. 10. MATRICES Y DETERMINANTES La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensin, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensin que los sumandos y con trmino genrico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensin. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Sin embargo, no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por AB, y se define como: AB = A + (B) 11. MATRICES Y DETERMINANTES 4. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (A) = 0. Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices 1. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2. A + B = B + A Propiedad conmutativa Matriz Nula3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 12. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un nmero Operaciones con matrices El producto de una matriz A = (aij) por un nmero real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensin que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = kaij. Ejemplo: El producto de la matriz A por el nmero real k se designa por kA. Al nmero real k se le llama tambin escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices 13. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un nmero Operaciones con matrices Propiedades del producto de una matriz por un escalar . 1. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1 2. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2 Propiedad asociativa mixta3. k [h A] = (k h) A Elemento unidad4. 1 A = A 1 = A 14. MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades simplificativas Operaciones con matrices Si A + C = B + C A = B Si k A = k B A = B si k es distinto de 0 Si k A = h A h = k si A es distinto de 0 15. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de matrices Operaciones con matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera ms formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el nmero de columnas de A debe coincidir con el nmero de filas de B. Es ms, si A tiene dimensin m x n y B dimensin n x p, la matriz P ser de orden m x p, Es decir: no se pueden multiplicar Ejemplo: Pij = S aik bkj 16. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Propiedades del producto de matrices A(BC) = (AB)C (Propiedad asociativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AIn = InA = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AB = BA = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A(B + C) = AB + AC El producto de matrices en general no es conmutativo. 17. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Consecuencias de las Propiedades Si A B = 0 no implica que A = 0 B = 0 Si A B = A C no implica que B = C En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A B B A En general (A+B) (AB) A2 B2, ya que A B B A 18. MATRICES Y DETERMINANTES Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Matrices inversibles 19. MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades de la inversin de matrices (At) 1 = (A-1) t La matriz inversa, si existe, es nica A-1A = AA-1= I (AB)-1 = B-1A-1 (A-1)-1 = A (kA)-1 = (1/k) A-1 20. MATRICES Y DETERMINANTES Por el mtodo de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente Observacin: Podemos encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios mtodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: 21. MATRICES Y DETERMINANTES La matriz que se ha calculado realmente sera la inversa por la "derecha", pero es fcil comprobar que tambin cumple A-1 A = I, con lo cual es realmente la inversa de A. Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla AA-1 = I, es decir Para ello planteamos el sistema de ecuaciones: Clculo Directo de la Matriz Inversa 22. MATRICES Y DETERMINANTES Por el mtodo de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente Observacin: Podemos encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios mtodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: 23. MATRICES Y DETERMINANTES Para aplicar el mtodo se necesita una matriz cuadrada de rango mximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango mximo al aplicar el mtodo de Gauss para realizar la triangulacin superior. Si al aplicar el mtodo de Gauss (triangulacin inferior) se obtiene una lnea de ceros, la matriz no tiene inversa. Mtodo de Gauss-Jordan para el clculo de la matriz inversa El mtodo de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulacin superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B ser, evidentemente, la inversa de A. VOLVER 24. En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones: A-1A= In y A-1 In = A-1=B Cuando hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo: 211 112 011 220 110 011 F2 2F1 g F2 F1 + F3 g F3 220 110 011 211 112 011 101 012 001 Esta transformacin es equivalente a la siguiente multiplicacin: Clculo de la Matriz Inversa por el mtodo de Gauss - Jordan VOLVER 25. Aplicando el mtodo de Gauss-Jordan a la matriz En primer lugar triangulamos inferiormente: Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente: Por ltimo, habr que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad: De donde, la matriz inversa de A es Clculo de la Matriz Inversa por el mtodo de Gauss - Jordan VOLVER 26. Aplicando el mtodo de Gauss-Jordan a la matriz se tiene: Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango mximo, en este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular Clculo de la Matriz Inversa por el mtodo de Gauss - Jordan VOLVER 27. Gauss, Carl Friedrich b. April 30, 1777, Brunswick [Germany] d. Feb. 23, 1855, Gttingen, Hanover Original name JOHANN FRIEDRICH CARL GAUSS German mathematician who also made contributions to other sciences. VOLVER 28. Clculo de la Matriz Inversa por el mtodo de Gauss - Jordan 2.- Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha. Queremos calcular la inversa de 1.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad, Como podemos observar el rango de la matriz es mximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa. 3.- Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha. 4.- Por ltimo se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente. VOLVER 29. MATRICES Y DETERMINANTES Para aplicar el mtodo se necesita una matriz cuadrada de rango mximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango mximo al aplicar el mtodo de Gauss para realizar la triangulacin superior. Si al aplicar el mtodo de Gauss (triangulacin inferior) se obtiene una lnea de ceros, la matriz no tiene inversa. Mtodo de Gauss-Jordan para el clculo de la matriz inversa El mtodo de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulacin superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B ser, evidentemente, la inversa de A. VOLVER 30. MATRICES Y DETERMINANTES Por el mtodo de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente Observacin: Podemos encontrar matrices que cumplen AB = I, pero que BA I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios mtodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: 31. VOLVER MATRICES Y DETERMINANTES 32. MATRICES Y DETERMINANTES VOLVER 33. Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Esto es fcil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sera el desarrollo de un determinante, que tiene dos filas iguales, por los adjuntos de una de ellas). MATRICES Y DETERMINANTES Clculo de la matriz inversa usando determinantes Si tenemos una matriz tal que det (A) 0, se verifica: Ejemplo Ejemplo 34. MATRICES Y DETERMINANTES VOLVER 35. Por tanto, el rango no puede ser mayor al nmero de filas o de columnas. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera A mn puede haber varios menores de un cierto orden p dado. Definicin: El RANGO (o caracterstica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o caracterstica de una matriz A se representa por rg(A). Consecuencia 36. Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo: Las dos primeras lneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras Sus dos filas son linealmente independientes 2431 5232 A 43 50 12 31 B 158 209 351 C 2123 FFF 214 FFF 312 FFF Se llama rango de una matriz al nmero de filas Linealmente Independientes 37. Teorema En una matriz el nmero de filas L.I. coincide con el nmero de columnas L.I. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Vectores columna de una matriz: Tambin las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podramos definir rango de la matriz como el nmero de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definicin puede contradecir en algn caso la anterior. Es decir: Es posible que en una matriz el nmero de filas linealmente independientes sea distinto del nmero de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no. Por esto podemos dar una nueva definicin de Rango: Rango de una matriz es el nmero de filas, o columnas, linealmente independientes. 38. El rango de una matriz lo podemos calcular por dos mtodos diferentes: MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Por el mtodo de Gauss Usando Determinantes 39. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Clculo del rango de una matriz por el mtodo de Gauss Transformaciones elementales: Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango vare. Las transformaciones elementales son las siguientes: Permutar 2 filas 2 columnas. Multiplicar o dividir una lnea por un nmero no nulo. Sumar o restar a una lnea otra paralela multiplicada por un nmero no nulo. Suprimir las filas o columnas que sean nulas, Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras. 40. El mtodo de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que estn por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j). Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangulacin, el rango de la matriz es el nmero de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fcil probarlo usando las propiedades de los determinantes. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Clculo del rango de una matriz por el mtodo de Gauss Ejemplo Ms Ejemplos 41. VOLVER MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Clculo del rango de una matriz por el mtodo de Gauss 42. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Clculo del rango de una matriz por el mtodo de Gauss VOLVER 43. El mtodo de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que estn por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j). Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangulacin, el rango de la matriz es el nmero de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fcil probarlo usando las propiedades de los determinantes. MATRICES Y DETERMINANTES Rango de una matriz Clculo del rango de una matriz por el mtodo de Gauss Ejemplo Ms Ejemplos 44. Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por |A| det(A), al nmero: , con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i (s) es la signatura de la permutacin) MATRICES Y DETERMINANTES Determinantes