Notacion 1 Matrices

UNIVERSIDAD ARTURO PRATFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

Matrices

Autor: Francisco Cartes ArenasColaborador: Camilo Munoz Hidalgo

1 Conceptos Basicos

Definicion 1 Se definen los siguientes conceptos:

(a) Una matriz es un arreglo bidimensional de un conjunto de ele-mentos, denominados entradas, en filas y columnas.

(b) Mm×n(K) es el conjunto de las matrices de m filas y n columnascon entradas en K.

Notacion 1 Una matriz se representa por medio de una letramayusucla A, B, C, ... mientras que sus elementos con la mismaletra minuscula a, b, c, ... con un doble subındice donde el primeroindica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Ejemplos 1

(1) A =

1 2−1 02 5

∈M3×2(R), porque tiene 3 filas y 2 columnas.

Observemos que A tambien podrıa pertenecer a los conjuntosM3×2(Z) y M3×2(Q).

(2) B =

1 2 −1−1 0 i

2 5 3− i

∈M3×3(C).

(3) C =

(

1 2 −1−1 0 i

)

∈M2×3(C).

MATRICES 2 ALGEBRA DE MATRICES

Definicion 2 A ∈ Mm×n(K) es cuadrada, si m = n. Este hecho sedenota por A ∈Mn(K).

Ejemplos 2

(1) A =

(

1 2−1 0

)

∈M2(R).

(2) B =

1 2 −1−1 0 i

2 5 3− i

∈ M3(C).

Notacion 2 Dada la matriz A ∈ Mm×n(K), se denota por aij a laentrada ubicada en la fila i y la columna j.

Ejemplos 3 Dada la matriz

B =

1 2 −1−1 0 i

2 5 3− i

∈M3(C),

tenemos que:

(1) b12 = 0

(2) b33 = 3− i

(3) b31 = 2

(4) b34 no existe.

2 Algebra de Matrices

Definicion 3 La traspuesta de una matriz A, denotada por AT , esaquella matriz que se obtiene al intercambiar las filas de A por suscolumnas.

Ejemplos 4 Al determinar las traspuestas de las matrices

A =

1 2 6−1 −4 i

0 5 3

y B =

1 0, 6−12 −40 4

,

obtenemos que

AT =

1 −1 02 −4 56 i 3

y BT =

(

1 −12 00, 62 −4 4

)

.

Como al trasponer una matriz estamos intercambiando filas por colum-nas, entonces estamos invirtiendo el orden de dicha matriz. Ennuestro ejemplo, como A ∈ M3(R) y B ∈ M3×2(R), entoncesAT ∈ M3(R) y BT ∈ M2×3(R). En general, si A ∈ Mm×n(K), en-tonces AT ∈Mn×m(K).

Por otro lado, consideremos la matriz C =

(

1 −12 34 −4 5

)

, luego

CT =

1 4−12 −43 5

.

Al trasponer CT obtenemos que:

(

CT)T

=

1 4−12 −43 5

T

=

(

1 −12 34 −4 5

)

= C.

Este ejemplo nos permite enunciar el siguiente resultado.

Propiedades 1 Para toda A ∈Mm×n(K), se tiene que(

AT)T

= A.

Esta proposicion nos senala que la traspuesta de la traspuesta de unamatriz vuelve a ser la matriz original.

2


Hay matrices cuya matriz traspuesta tiene caracterısticas especiales,para visualizar una de estas caracterısticas traspongamos la matriz

A =

3 −1 0−1 3 40 4 3

.

AT =

3 −1 0−1 3 40 4 3

T

=

3 −1 0−1 3 40 4 3

= A.

A las matrices que coinciden con su traspuesta, es decir AT = A,

reciben el nombre de matriz simetrica.

2.1 Suma de Matrices y Producto por un es-calar

Dadas A,B ∈Mm×n(K) de la forma

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

y B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

.

La suma de A y B, denotado por A + B, es la matriz que se obtieneal sumar las entradas correspondientes de ambas, es decir:

A+B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

.

Como la suma de matrices es entrada a entrada, entonces las matricesdeben tener el mismo tamano para poder sumarlas.

El producto de un escalar k por la matriz A, denotado por kA, es lamatriz que se obtiene al multiplicar cada entrada de A por k, es decir:

kA =

ka11 ka12 . . . ka1nka21 ka22 . . . ka2n...

.... . .

...kam1 kam2 . . . kamn

.

Ejemplos 5 Dadas las matrices

A =

(

4 0 63 −3 0

)

, B =

4 03 −32 −51 0

y C =

1 00 −36 11

20

.

(1) B + C =

4 03 −32 −51 0

+

1 00 −36 11

20

=

5 03 −68 −43

20

(2) A + B no se puede calcular, por las matrices tienen distintasdimensiones.

(3) 3A = 3

(

4 0 63 −3 0

)

=

(

12 0 189 −9 0

)

(4) −1A = −A = −

(

4 0 63 −3 0

)

=

(

−4 0 −6−3 3 0

)

3


(5) −6B = −6

4 03 −32 −51 0

=

−24 0−18 18−12 30−6 0

(6) 2B − 3C = 2

4 03 −32 −51 0

− 3

1 00 −36 11

20

=

5 06 3−14 −131

20

El siguiente resultado muestra algunas propiedades de la traspuesta deuna matriz.

Teorema 1 Sea A,B ∈Mm×n(K) y k ∈ (K), se tiene que:

(1) (A± B)T = AT ±BT .

(2) (kA)T = kAT .

2.2 Producto de Matrices

Definicion 4 Sean A ∈M1×n(K) y B ∈ Mn×1(K), es decir A es unamatriz fila y B una matriz columna de la forma:

A =(

a1 a2 . . . an)

y B =

b1b2...bn

.

El producto de A con B, denotado por AB, se define como:

AB =(

a1 a2 . . . an)

b1b2...bn

= a1b1 + a2b2 + . . . anbn.

Ejemplos 6 Dadas las matrices:

A =(

−4 2 1 0)

y B =

530−6

(1) Calculemos el producto AB,

AB =(

−4 2 1 0)

530−6

= −4 · 5 + 2 · 3 + 1 · 0 + 0 · (−6) = −14.

(2) Calculemos el producto BA,

BA =

530−6

(

−4 2 1 0)

=(

5 · (−4) 3 · 2 0 · 1 −6 · 0)

=(

−20 6 0 0)

.

Del ejemplo podemos deducir que AB no necesariamente es igual aBA. Esto quiere decir que el producto de matrices no es conmu-

tativo.

Observemos, ademas, que el unico requisito para realizar el productoAB es que el numero de columnas de A debe coincidir con el numerode filas de B. Es decir, dadas las matrices

A =(

−4 2 1 0)

y B =

530

,

4


podemos calcular BA, pero no AB. Una vez dicho esto, podemosgeneralizar el producto de matrices.

Definicion 5 Sean A ∈Mm×p(K) y B ∈Mp×n(K), es decir A es unamatriz fila y B una matriz columna de la forma:

A =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

.... . .

...am1 am2 . . . amp

y B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bp1 bp2 . . . bpn

.

El producto de A con B, denotado por AB, se define como:

AB =

a11 a12 . . . a1pa21 a22 . . . a2p...

.... . .

...am1 am2 . . . amp

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bp1 bp2 . . . bpn

= C.

Donde

C =

c11 c12 . . . c1nc21 c22 . . . c2n...

.... . .

...cm1 cm2 . . . cmn

tal que

c11 = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1pbp1,

c12 = a11b12 + a12b22 + · · ·+ a1pbp2,

...

c1n = a11b1n + a12b2n + · · ·+ a1pbpn,

c21 = a21b11 + a22b21 + · · ·+ a2pbp1,

...

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj

Ejemplos 7 Dadas las matrices:

(1) A =

(

3 1 −2 20 1 5 1

)

y B =

(

3 10 1

)

.

El producto AB no se puede realizar, porque la cantidad de colum-nas de la matriz A no coincide con la cantidad de filas de la matrizB. Sin embargo, sı podemos calcular BA.

BA =

(

3 10 1

)(

3 1 −2 20 1 5 1

)

=

(

c11 c12 c13 c14c21 c22 c23 c24

)

,

donde

c11 = 3 · 3 + 1 · 0 = 9,

c12 = 3 · 1 + 1 · 1 = 4,

c13 = 3 · −2 + 1 · 5 = −1,

c14 = 3 · 2 + 1 · 1 = 7,

c21 = 0 · 3 + 1 · 0 = 0,

c22 = 0 · 1 + 1 · 1 = 1,

c23 = 0 · −2 + 1 · 5 = 5,

c24 = 0 · 2 + 1 · 1 = 1.

Es decir,

BA =

(

9 4 −1 70 1 5 1

)

∈M2×4(R).

(2) A =

(

3 −3 −20 1 2

)

y B =

3 14 1−3 2

.

5


En este caso podemos calcular AB y BA.

AB =

(

3 −3 −20 1 2

)

3 14 1−3 2

=

(

3 −4−2 5

)

∈M2(R)

y

BA =

3 14 1−3 2

(

3 −3 −20 1 2

)

=

9 −8 −412 −11 −6−9 11 10

∈M3(R).

Observemos que la cantidad de filas de AB coinciden con la cantidadde filas de A y la cantidad de columnas de AB coincide con la cantidadde columnas de B. Es decir, si A ∈ M m ×p

(K) y B ∈ Mp× n (K),

entonces AB ∈M m × n (K).

Por otro lado, si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden,podemos calcular tanto AB como BA. Luego tiene sentido pregun-tarnos por las potencias de una matriz cuadrada A e introducimos lanotacion:

A1 = A, A2 = AA, A3 = A2A, · · · , An = An−1A.

Ejemplos 8 Considerando A =

1 1 −1−3 0 21 1 0

, obtenemos que:

(a)

A2 =

1 1 −1−3 0 21 1 0

1 1 −1−3 0 21 1 0

=

−3 0 1−1 −1 3−2 1 1

(b)

A3 = A2A =

−3 0 1−1 −1 3−2 1 1

1 1 −1−3 0 21 1 0

=

−2 −2 35 2 −1−4 −1 4

(c)

A4 = A3A =

−2 −2 35 2 −1−4 −1 4

1 1 −1−3 0 21 1 0

=

7 1 −2−2 4 −13 0 2

Para finalizar esta seccion presentamos la relacion entre la traspuestade una matriz y el producto de matrices.

Propiedades 2 Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), entonces(AB)T = BTAT .


A =

(

−1 3 −64 −5 7

)

y B =

2 −13 −1−2 1

.

Calculemos (AB)T , para esto observemos que

AB =

(

−1 3 −64 −5 7

)

2 −13 −1−2 1

=

(

19 −8−21 8

)

,

6

MATRICES 3 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

luego (AB)T =

(

19 −21−8 8

)

.

Por otro lado,

BTAT =

(

2 3 −2−1 −1 1

)

−1 43 −5−6 7

=

(

19 −21−8 8

)

.

3 Matrices Cuadradas Especiales

Definicion 6 Sea A ∈ Mn(K), se denomina:

(a) diagonal principal a los elementos situados en las entradas aiicon i = 1, ..., n

(b) diagonal secundaria a los elementos situados en las entradasa1n, a2(n−1), a3(n−2), .., an1

Ejemplos 10 Observemos que:

(1) A =

1 2 −1

−1 5 i

2 5 0

son los elementos de la diagonal prin-

cipal de A, mientras que A =

1 2 -1

−1 5 i

2 5 0

conforman la

diagonal secundaria.

(2) C =

(

1 2 −1−1 0 i

)

no es una matriz cuadrada, por lo tanto

no posee ni diagonal principal, ni diagonal secundaria.

Definicion 7 La traza de A ∈ Mn(K), denotada por Tr(A), es lasuma de los elementos de su diagonal principal. Es decir,

Tr(A) =n∑

i=1

aii.


A =

(

1 53 −3

)

, B =

−3 8 101 0 9

21

32

y C =

0 3 12 0 30 0 1

.

Vemos que

Tr(A) = −2, T r(B) = −1 y Tr(C) = 1.

Definicion 8 A ∈Mn(K) es una matriz:

(a) triangular superior, si todos los elementos bajo la diagonal prin-cipal son nulos.

(b) triangular inferior, si todos los elementos sobre la diagonal prin-cipal son nulos.

(c) diagonal, si todos los elementos fuera de la diagonal principal sonnulos.

Ejemplos 12 La matriz:

(1) A =

3 −1 0

0 0 4

0 0 1

es triangular superior.

(2) B =

3 0 0

0 0 0

6 0 1

es triangular inferior.

7

MATRICES 4 MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ INVERSA

(3) C =

3 0 0

0 0 0

0 0 1

es diagonal.

Observemos que una matriz diagonal, ademas de ser simetrica, estringular superior y triangular inferior a la vez. Por otro lado, latraspuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior, yviceversa. En nuestro ejemplo

A =

3 −1 00 0 40 0 1

y B =

3 0 00 0 06 0 1

son triangular superior y triangular inferior, respectivamente. Luego

AT =

3 0 0−1 0 00 4 1

y BT =

3 0 60 0 00 0 1

son triangular inferior y triangular superior, respectivamente.

Por otro lado, la traspuesta de una matriz diagonal vuelve a hacer lamatriz diagonal original, es decir, toda matriz diagonal es simetrica.En nuestro ejemplo

C =

3 0 00 0 00 0 1

= CT .

Propiedades 3 La suma de dos matrices diagonales del mismo orden,es una matriz diagonal. Esto tambien ocurre para la suma de matricestriangulares superiores y para la suma de matrices triangulares infe-riores.

Definicion 9 La matriz nula es aquella matriz cuya entradas sontodas nulas.

4 Matriz Identidad y Matriz Inversa

Para comenzar esta seccion calculemos el producto entre las matrices

A =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

y B =

1 0 00 1 00 0 1

.

Primero

AB =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

1 0 00 1 00 0 1

=

3 2 −13 0 −3−1 1 3

= A.

Por otro lado,

BA =

1 0 00 1 00 0 1

3 2 −13 0 −3−1 1 3

=

3 2 −13 0 −3−1 1 3

= A.

Es decir, la matriz B no altera a la matriz A. Esta matriz es conocidacomo identidad y se denota por In, donde n es el orden de la matriz,o simplemente I cuando el orden se obvia.

Por lo tanto, la matriz identidad es tal que AI = IA = A.

Ahora es natural preguntarse, ¿sabiendo que I es la matriz identidad,existira una matriz B tal que AB = BA = I? La respuesta es afirma-tiva, bajo ciertas condiciones, esta matriz se denomina inversa de A y

se denota por A−1. Para la matriz A =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

la inversa es

A−1 =

−1

2

7

61

1 −4

3−1

−1

2

5

61

. ¿Como calcular la inversa de una matriz?

8


En este capıtulo estudiaremos las condiciones necesarias para que lamatriz inversa de A exista, ademas de describir dos algoritmos quepermiten calcularla.

El primer metodo que utilizaremos para invertir matrices es el denom-inado Metodo de Gauss-Jordan.

4.1 Metodo de Gauss-Jordan

Iniciaremos el estudio de este metodo introduciendo el concepto deoperaciones elementales entre filas y columnas, para esto denotare-mos por fi y ci a la fila i y columna i de una matriz A, respectivamente.

Definicion 10 Una operacion elemental entre filas de una matrizes alguna de las siguientes transformaciones:

(1) intercambiar filas: podemos intercambiar la fila i por la fila j,este hecho se denota por fi ∼ fj.

Por ejemplo, al intercambiar la fila 1 con la fila 3 de la matriz

A =

3 2 11 −1 90 0 1

, obtenemos que:

f1 →

f3 →

3 2 11 −1 90© 0© 1©

f1 ∼ f3=

0© 0© 1©1 −1 9

3 2 1

.

(2) multiplicar fila: podemos multiplicar una fila i por un numeroreal α no nulo, este hecho se denota por αfi.

Por ejemplo, al multiplicar la fila 2 de la matriz A =

3 2 11 −1 90 0 1

por −3, obtenemos que:

f2 →

3 2 1

1 -1 90 0 1

−3f2=

3 2 1

-3 3 -270 0 1

.

(3) sumar a una fila el multiplo de otra: podemos sumar a unafila i k-veces la fila j, este hecho se denota por fi + kfj .

Por ejemplo, a la fila 2 de la matriz A =

3 2 11 −1 90 0 1

le vamos

a sumar 3 veces la fila 1, obteneniendo:

f1 →f2 →

3 2 1

1 -1 90 0 1

f2 + 3f1=

3 2 1

10 5 120 0 1

.

Se pueden realizar las mismas operaciones con columnas.

La idea principal del metodo de Gauss-Jordan para invertir una matrizcuadrada A es considerar una matriz de la forma [A | I ] y a traves deoperaciones elementales entre filas y/o columnas convertirla en [ I |B ].Es decir, transformar de alguna manera la matriz A en la identidad deorden n.

Veamos un ejemplo, consideremos la matriz A =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

.

Luego,

[A | I ] =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

|||

1 0 00 1 00 0 1

.

Como necesitamos transformar A en I, tenemos que hacer aparecerun 1 en la primera entrada de la diagonal principal de A. Para esto

podemos multiplicar por1

3la fila 1 o intercambiar fila 1 con fila 3.

9


Tomando la segunda opcion, nos resulta lo siguiente:

[A | I ] =

3 2 −13 0 −3−1 1 3

|||

1 0 00 1 00 0 1

f1 ∼ f3=

−1 1 33 0 −33 2 −1

|||

0 0 10 1 01 0 0

−f1=

1 −1 −33 0 −33 2 −1

|||

0 0 −10 1 01 0 0

Una vez que tengamos un 1 en la primera entrada de la diagonal prin-cipal, hacemos 0 todas las entradas de la primera columna de la matrizde la izquierda.

1 −1 −33 0 −33 2 −1

|||

0 0 −10 1 01 0 0

f2 − 3f1=

f3 − 3f1

1 −1 −30 3 60 5 8

|||

0 0 −10 1 31 0 3

Lo proximo es hacer aparecer un 1 en la segunda entrada de la diagonalprincipal en la matriz de la izquierda y hacer 0 en las demas entradasde la segunda columna.

En nuestro caso,

1 −1 −30 3 60 5 8

|||

0 0 −10 1 31 0 3

1

3f2

=

1 −1 −30 1 20 5 8

|||

0 0 −1

01

31

1 0 3

f1 + f2=

f3 − 5f2

1 0 −10 1 20 0 −2

|||

0 13

00 1

31

1 −53−2

Y utilizamos la misma logica para la tercera columna de la matriz dela izquierda.

1 0 −10 1 20 0 −2

|||

0 13

00 1

31

1 −53−2

−1

2f3

=

1 0 −10 1 20 0 1

|||

0 13

00 1

31

−12

56

1

f1 + f3=

f2 − 2f3

1 0 00 1 00 0 1

|||

−12

76

11 −4

3−1

−12

56

1

Finalmente, la matriz que obtenemos a la derecha es la inversa de lamatriz A.

10

MATRICES 5 DETERMINANTE

Es decir,

A−1 =

−1

2

7

61

1 −4

3−1

−1

2

5

61

.

Analicemos un segundo ejemplo,

B =

−1 4 11 −3 00 1 1

.

Aplicando el metodo anterior, vemos que:

[B | I ] =

−1 4 11 −3 00 1 1

|||

1 0 00 1 00 0 1

−f1=

1 −4 −11 −3 00 1 1

|||

−1 0 00 1 00 0 1

f2 − f1=

1 −4 −10 1 10 1 1

|||

−1 0 01 1 00 0 1

f1 + 4f2=

f3 − f2

1 0 30 1 10 0 0

|||

3 4 01 1 0−1 −1 1

Como la tercera fila de la matriz de la izquierda es nula, entoncesno podemos hacer aparecer un 1 en la tercera entrada de la diagonalprincipal. Por lo tanto, la matriz B no tiene inversa.

5 Determinante

5.1 Algoritmo

Primer caso: Si A es una matriz cuadrada de orden 2, luego

det(A) =

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11a22 − a21a12.

Ejemplos 13 Calculemos algunos determinantes:

(1) Para A =

(

7 −53 0

)

, tenemos que:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

7 −53 0

∣

∣

∣

∣

= 7 · 0− 3 · (−5) = 15.

(2) Para B =

(

2 −101 −5

)

, tenemos que:

det(B) =

∣

∣

∣

∣

2 −101 −5

∣

∣

∣

∣

= −10− (−10) = 0.

Segundo caso: Si A es una matriz cuadrada de orden 3, tenemosvarias opciones. La primera es la siguiente:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

← f1

=a11

∣

∣

∣

∣

a22 a23a32 a33

∣

∣

∣

∣

− a12

∣

∣

∣

∣

a21 a23a31 a33

∣

∣

∣

∣

+ a13

∣

∣

∣

∣

a21 a22a31 a32

∣

∣

∣

∣

Como podemos observar, hemos utilizado la primera fila de A paracalcular su determinante. Sin embargo, podemos realizar el mismocalculo utilizando tanto la segunda fila como la tercera.

11


Ejemplos 14

(1)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −30 3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1

∣

∣

∣

∣

2 −33 1

∣

∣

∣

∣

− (−2)

∣

∣

∣

∣

5 −30 1

∣

∣

∣

∣

+ 0

∣

∣

∣

∣

5 20 3

∣

∣

∣

∣

= 2 + 9 + 2 · 5 = 21.

(2)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −36 0 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1

∣

∣

∣

∣

2 −30 −3

∣

∣

∣

∣

− (−2)

∣

∣

∣

∣

5 −36 −3

∣

∣

∣

∣

+ 0

∣

∣

∣

∣

5 26 0

∣

∣

∣

∣

= −6 + 2(−15 + 18) = 0.

En el caso que utilicemos la segunda fila, el determinante se calculacon:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

← f2

=− a21

∣

∣

∣

∣

a12 a13a32 a33

∣

∣

∣

∣

+ a22

∣

∣

∣

∣

a11 a13a31 a33

∣

∣

∣

∣

− a23

∣

∣

∣

∣

a11 a12a31 a32

∣

∣

∣

∣

Y por la tercera fila, resulta:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣← f3

=a31

∣

∣

∣

∣

a12 a13a22 a23

∣

∣

∣

∣

− a32

∣

∣

∣

∣

a11 a13a21 a23

∣

∣

∣

∣

+ a33

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

Ejemplos 15 Del ejemplo anterior, sabemos que

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −30 3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 21 y

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −36 0 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Calculemos el primer determinante utilizando la segunda fila y el se-gundo determinante utilizando la tercera fila. Es decir,

(1)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −30 3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −5

∣

∣

∣

∣

−2 03 1

∣

∣

∣

∣

+ 2

∣

∣

∣

∣

1 00 1

∣

∣

∣

∣

− (−3)

∣

∣

∣

∣

1 −20 3

∣

∣

∣

∣

= 10 + 2 + 9 = 21.

(2)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 05 2 −36 0 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 6

∣

∣

∣

∣

−2 02 −3

∣

∣

∣

∣

+ 0

∣

∣

∣

∣

1 05 −3

∣

∣

∣

∣

+ (−3)

∣

∣

∣

∣

1 −25 2

∣

∣

∣

∣

= 36− 36 = 0.

5.2 Regla de Sarrus

Esta regla nos permite calcular, de una manera mas simple, el deter-minante de matrices cuaradas solo de orden 3.

Para esto, podemos copiar las dos primeras columnas de la matriz yoperar como sigue:

12


det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22a31 a32

=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a11.

O podemos copiar las dos primeras filas:

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a11.

5.3 Relacion con la Matriz Inversa

Definicion 11 Una matriz A es singular, si |A| = 0.

Luego, podemos concluir que una matriz A es invertible si y solo si Aes no singular (det(A) 6= 0).

5.4 Metodo de la Matriz Adjunta

En esta seccion estudiaremos un segundo metodo para invertir matri-ces, en el caso que la matriz inversa exista, para esto introduciremosalgunos conceptos previos.

Definicion 12 El menor del elemento aij de una matriz cuadrada A

de orden n, es el determinante Mij de orden (n − 1)(n − 1) que seobtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.

Ejemplos 16 Dada la matriz A =

1 1 −30 −1 12 1 0

, vemos que el

menor:

(1) M11 se obtiene al calcular el determinante

M11 =

∣

∣

∣

∣

−1 11 0

∣

∣

∣

∣

= −1.

(2 M32 se obtiene al calcular el determinante

M32 =

∣

∣

∣

∣

1 −30 1

∣

∣

∣

∣

= 1.

Definicion 13 El menor del elemento aij de una matriz cuadrada A

de orden n, es el menor Mij con el signo (−1)i+j. Este elemento sedenota por Dij .

Ejemplos 17 Considerando la matriz A =

1 1 −30 −1 12 1 0

del ejem-

plo anterior, sabemos que:

(1) M11 = −1, luego

D11 = (−1)1+1M11 = (−1)2M11 = −1.

(2) M32 = 1, luego

D32 = (−1)3+2M32 = (−1)5M32 = −1.

13


Definicion 14 La matriz de cofactores de una matriz cuadrada A

de orden n, denotada por cof(A), es aquella matriz que se obtiene alubicar los cofactores de A en sus respectivas entradas.

Ejemplos 18 Para determinar la matriz de cofactores de

A =

1 1 −30 −1 12 1 0

calculamos:

D11 = (−1)2∣

∣

∣

∣

−1 11 0

∣

∣

∣

∣

= 1 · −1 = −1,

D12 = (−1)3∣

∣

∣

∣

0 12 0

∣

∣

∣

∣

= −1 · −2 = 2,

D13 = (−1)4∣

∣

∣

∣

0 −12 1

∣

∣

∣

∣

= 1 · 2 = 2,

D21 = (−1)3∣

∣

∣

∣

1 −31 0

∣

∣

∣

∣

= −1 · 3 = −3,

D22 = (−1)4∣

∣

∣

∣

1 −32 0

∣

∣

∣

∣

= 1 · 6 = 6,

D23 = (−1)5∣

∣

∣

∣

1 12 1

∣

∣

∣

∣

= −1 · −1 = 1,

D31 = (−1)4∣

∣

∣

∣

1 −3−1 1

∣

∣

∣

∣

= 1 · −2 = −2,

D32 = (−1)5∣

∣

∣

∣

1 −30 1

∣

∣

∣

∣

= −1 · 1 = −1,

D33 = (−1)6∣

∣

∣

∣

1 10 −1

∣

∣

∣

∣

= 1 · −1 = −1.

Luego,

cof(A) =

−1 2 2−3 6 1−2 −1 −1

Definicion 15 La matriz adjunta de una matriz cuadrada A de ordenn, denotada por Adj(A), es la matriz que se obtiene al trasponer lamatriz de cofactores. Es decir, Adj(A) = (cof(A))T .

Ejemplos 19 Del ejemplo anterior tenemos que

cof(A) =

−1 2 2−3 6 1−2 −1 −1

.

Por lo tanto,

Adj(A) =

−1 2 2−3 6 1−2 −1 −1

T

=

−1 −3 −22 6 −12 1 −1

Teorema 2 Si A es una matriz no singular, entonces

A−1 =1

det(A)Adj(A).

Ejemplos 20 Observemos que

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −30 −1 12 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −5 6= 0

14

MATRICES 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

. Por lo tanto, A−1 existe y por teorema anterior

A−1 =1

det(A)Adj(A)

=1

−5

−1 −3 −22 6 −12 1 −1

−1

5

−1 2 −22 6 −12 1 −1

=

15

35

25

−25−6

515

−25 −

15

15

6 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Consideremos las matrices A =

3 −2 01 5 30 1 −1

y B =

321

, luego

3 −2 01 5 30 1 −1

321

=

5161

.

Es decir, si tuviesemos la situacion

3 −2 01 5 30 1 −1

x

y

z

=

5161

,

podemos afirmar que x = 3, y = 2 y z = 1.

Suponiendo que no conocemos los valores de x, y y z, tendrıamos quedeterminar algun proceso para calcularlos.

3 −2 01 5 30 1 −1

x

y

z

=

5161

3x− 2yx+ 5y + 3z

y − z

=

5161

.

Luego, para que se cumpla la igualdad de matrices es necesario que

3x− 2y = 5x+ 5y + 3z = 16

y − z = 1

Por lo tanto, un sistema de ecuaciones lineales podemos expresarloutilizando matrices.

De esta forma4x+ y − 3z = −1x− y + z = −2x+ 3y − 2z = 0

tiene la siguiente representacion matricial

4 1 −31 −1 11 3 −2

x

y

z

=

−1−20

En general, el sistema de ecuaciones lineales

a11x+ a12y + a13z = b1a21x+ a22y + a33z = b2a31x+ a32y + a33z = b3

15


puede expresarse

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x

y

z

=

b1b2b3

En este apunte estudiaremos cuando un sistema de ecuaciones linealestiene solucion y dos metodos para determinar estas soluciones.

6.1 Conceptos Basicos

Un sistema de ecuaciones lineales de n por n es un conjunto de necuaciones lineales con n incognitas cada uno. Y es de la forma:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

El cual tiene la siguiente representacion matricial

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

x1

x2...xn

=

b1b2...bn

.

Si hacemos

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

, x =

x1

x2...xn

y b =

b1b2...bn

entonces el sistema queda expresado como Ax = b.

6.2 Metodos de Resolucion

6.2.1 Metodo de Gauss-Jordan

Definicion 16 Una matriz triangular superior A es escalonada, si loselementos de la diagonal principal son 1.

Ejemplos 21 La matriz A =

1 3 00 1 −30 0 1

es escacolanada, mientras

que B =

4 6 −20 1 10 0 1

no lo es.

Definicion 17 Se denomina escalonar una matriz A al proceso deconvertir A en una matriz escalonada a traves de operaciones elemen-tales.

La idea de este metodo es escalonar la matriz A a traves de la matriz

ampliada [A...b].

Ejemplos 22 Determinemos, si es que existen, las soluciones de lossiguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(1)2x− 2y + z = −1x+ 3y − z = 2−x+ y − z = 0

Expresamos el sistema de ecuaciones de forma matricial:

[A...b] =

2 −2 1... −1

1 3 −1... 2

−1 1 −1... 0

16


Observemos que:

[A...b] =

2 −2 1... −1

1 3 −1... 2

−1 1 −1... 0

f1 ∼ f2=

1 3 −1... 2

2 −2 1... −1

−1 1 −1... 0

f2 − 2f1=

f3 + f1

1 3 −1... 2

0 −8 3... −5

0 4 −2... 2

−1

8f1

=

1 3 −1... 2

0 1 −3

8

...5

80 4 −2

... 2

f3 − 4f2=

1 3 −1... 2

0 1 −3

8

...5

8

0 0 −1

2

... −1

2

La tercera fila es equivalente a:

−1

2z = −

1

2, lo cual implica que z=1 .

La segunda fila es equivalente a:

y −3

8z =

5

8

y utilizando el hecho que z = 1, obtenemos que

y −3

8=

5

8, lo cual implica que y=1 .

Por ultimo, la primera fila es equivalente a:

x+ 3y − z = 2

y utilizando el hecho que y = 1 y z = 1, obtenemos que:

x+ 3− 1 = 2, lo cual implica que x=0 .

Es decir, el sistema tiene solucion unica.

(2)x+ y + z = 5

3x− 2y + 4z = 82x− 3y + 3z = 3

Expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

[A...b] =

1 1 1... 5

3 −2 4... 8

2 −3 3... 3

17


Observemos que:

[A...b] =

1 1 1... 5

3 −2 4... 8

2 −3 3... 3

f2 − 3f1=

f3 − 2f1

1 1 1... 5

0 −5 1... −7

0 −5 1... −7

f3 − f2=

1 1 1... 5

0 −5 1... −7

0 0 0... 0

De esta ultima matriz, tenemos que:

La segunda fila es equivalente a:

−5y + z = −7

Mientras que la primera fila es equivalente a:

x+ y + z = 5

Considerando z = t, vemos que

−5y + z = −7

⇒ −5y + t = −7

⇒ −5y = −7 − t

⇒ y =7 + t

5.

Luego,

x+ y + z = 5

⇒ x = 5− y − z

⇒ x = 5−7 + t

5− t

⇒ x =18− 6t

5.

Es decir, existen infinitas soluciones para el sistema de ecua-ciones lineales y son de la forma

x =18− 6t

5, y =

7 + t

5y z = t, donde t ∈ R.

(3)x+ y + z = −3

3x− 2y + 4z = 62x− 3y + 3z = 1

Observemos que:

[A...b] =

1 1 1... −3

3 −2 4... 6

2 −3 3... 1

f2 − 3f1=

f3 − 2f1

1 1 1... 5

0 −5 1... 15

0 −5 1... 7

f3 − f2=

1 1 1... 5

0 −5 1... −7

0 0 0... −8

De la tercera fila tenemos que 0 = −8 lo cual es una contradiccion.En este caso el sistema de ecuaciones no tiene solucion.

18


El ejemplo anterior nos indica que un sistema de ecuaciones linealespuede

(1) Tener solucion unica, denominado sistema compatible deter-

minado.

(2) Tener infinitas soluciones, denominado sistema compatible in-

determinado.

(3) No tener solucion, denominado sistema incompatible.

El siguiente resultado nos permite determinar el tipo de solucion de unsistema de ecuaciones lineales Ax = b.

Propiedades 4 El sistema de ecuaciones lineales Ax = b:

(1) Tiene solucion unica, si det(A) 6= 0.

(2) No tiene solucion o tiene infinitas soluciones, si det(A) = 0.

6.3 Metodo de Cramer

La regla de Cramer afirma que, si det(A) 6= 0, entonces las xi solu-ciones son de la forma

xi =det(Ai)

det(A),

donde la matriz Ai se obtiene al reemplazar la columna i por la matrizb.

Ejemplos 23 Apliquemos esta regla a los siguientes sistemas de ecua-ciones lineales:

(1)2x− 2y + z =

11

2x+ 3y − z = −2−x+ y − z = −3

Como det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −2 11 3 −1−1 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −4, entonces el sistema tiene

solucion unica.

Luego,

det(A1) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

11

2−2 1

−2 3 −1−3 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −6,

det(A2) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

211

21

1 −2 −1−1 −3 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 4,

det(A3) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −211

21 3 −2−1 1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2.

Por lo tanto,

x =det(A1)

det(A)=−6

−4=

3

2,

y =det(A2)

det(A)=

4

−4= −1,

z =det(A3)

det(A)=−2

−4=

1

2.

(2)2x− 2y + z = −1x+ 3y − z = 2−x+ y − z = 0

Sabemos que las soluciones de este sistema son x = 0, y = 1 yz = 1.

19

MATRICES 7 EJERCICIOS

Utilicemos ahora la regla de Cramer para comprobar estas solu-ciones.

Como det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −2 11 3 −1−1 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −4, entonces el sistema tiene

solucion unica.

Luego,

det(A1) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 −2 12 3 −10 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0,

det(A2) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −1 11 2 −1−1 0 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −4,

det(A3) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 −2 −11 3 2−1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −4.

Por lo tanto,

x =det(A1)

det(A)=

0

−4= 0,

y =det(A2)

det(A)=−4

−4= 1,

z =det(A3)

det(A)=−4

−4= 1.

Si det(A) = 0, no podemos utilizar el metodo de Cramer, ya que elsistema podrıa no tener solucion o tener infinitas soluciones. En talcaso utilizamos el metodo de Gauss-Jordan.

7 Ejercicios

I. Dadas las matrices:

A =

(

−1 20 4

)

, B =

(

−3 212−1

)

y C =

(

−23

0−5 2

)

.

Calcular:

(1) 3A− 2B

(2) A− B + 4C

(3)1

2A+

2

3B − C

(4) AB − C

(5) AB +BA− 5BC

(6) A2 − 3B + CB

(7) A2 −B2 + C2

(8) A3 −B2C + C2A

II. Dadas las matrices:

D =

−1 3 21 0 10 1 −1

, E =

2 −3 14 1 01 0 2

y

F =

−2 0 112

3 2−1 0 0

.

Calcular:

(1) DT − 4E + F 2

(2) E2 −EF + FD

20


(3) D3 − 2E3 + 4F 3

III. Dadas las matrices:

A =

i −i 01 + i 3 02 5 2

y B =

1 0 10 i 0−1 0 −i

.

Calcular:

(1) A+B

(2) AB

(3) A− iB

(3) (1 + i)A− 4B

(4) iABT

IV. Dadas las matrices

A =

(

1 −3 80 −1 4

)

, B =

4 0 −14 10 36 −1 0

y C =

3 1−3 0−1 −1

.

Calcular cuando sea posible:

(1) Tr(A)

(2) Tr(B)

(3) Tr(AC)

(4) Tr(BT )

(5) Tr(CA)

(6) Tr(AC +B)

(7) Tr(CA+B)

V. Para cada una de las siguientes matrices, calcular la matriz inversautilizando el metodo de Gauss-Jordan. Una vez calculada, verificarque es efectivamente la inversa.

(1) A =

1 3 40 −1 30 0 6

(2) B =

(

3 61 −5

)

(3) C =

1 −3 24 5 22 11 −2

(4) D =

3 0 00 −4 00 0 −10

(5) E =

1 1 −23 0 14 1 −1

(6) F =

1 1 23 0 14 1 −1

VI. Calcular:

(1) A5, sabiendo que A =

0 −1 10 1 −10 0 1

.

(2) B4, sabiendo B =

0 0 0 02 0 0 02 2 0 02 2 0 0

.

21


(3) C4, sabiendo que C =

1 1 11 1 11 1 1

.

VII. Calcular:

(1)

∣

∣

∣

∣

1 −45 −3

∣

∣

∣

∣

(2)

∣

∣

∣

∣

3− x 6x 7

∣

∣

∣

∣

(3)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 −5 3−3 1 0−1 4 8

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(4)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 1 −12 −2 1−1 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(5)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 3 −13 −x 01 x 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(6)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 3−1 3 −23 −2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

− 3

∣

∣

∣

∣

4 32 1

∣

∣

∣

∣

(7)

∣

∣

∣

∣

2 −11 4

∣

∣

∣

∣

− 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 0 54 −2 1−2 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

VIII. Para cada una de las siguientes matrices, calcular la inversa ycomprobar que la matriz calculada es efectivamente la inversa:

(1) A =

(

1 2−3 1

)

(2) B =

(

3 −2−3 2

)

(3) C =

1 0 00 3 00 0 −1

(4) D =

4 3 10 −2 00 0 4

(5) E =

0 2 44 0 62 −3 0

(6) F =

1 0 00 1 02 0 −1

IX. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a) Determinar si tiene solucion unica.

(b) Determinar las soluciones ya sea con el metodo de Cramer oGauss-Jordan.

(c) Comprobar que las soluciones calculadas en el item anteriorsa-tisfacen el sistema.

(1)x+ y + z = 2

2x+ 3y + 5z = 11x− 5y + 6z = 29

(2)3x− y + z = 1x+ 2y − 2z = −12x− 3y + z = −1

22

MATRICES 8 RESPUESTAS

(3)x− y = 1

2x+ 6y − 5z = −4x+ y − z = 0

(4)x+ y + z = 2−2x+ y + 2z = 23x− 2y − z = 4

(5)x+ y + z = 1

4x+ 5y − 3z = −102x+ 3y − 5z = −12

(6)3x+ y − 2z = 7x+ 2y + z = 42x− y − 3z = 2

(7)x+ y + z = 2

2x+ 3y + 5z = 11x− 5y + 6z = 29

(8)3x− y + z = 1x+ 2y − 2z = −12x− 3y + z = −1

(9)x− y = 1

2x+ 6y − 5z = −4x+ y − z = 0

(10)x+ y + z = 2−2x+ y + 2z = 23x− 2y − z = 4

8 Respuestas

I.

(1)

(

3 2−1 14

)

(2)

(

−23

0−41

213

)

(3)

(

−116

73

163−2

3

)

(4) AB =

(

4 −42 −4

)

; AB − C =

(

143−4

7 −6

)

(5) AB =

(

4 −42 −4

)

; BA =

(

3 2−1

2−3

)

;

BC =

(

−8 4143−2

)

; AB +BA− 5BC =

(

47 −22−131

63

)

(6) A2 =

(

1 60 16

)

; CB =

(

2 −43

16 −12

)

;

A2 − 3B + CB =

(

12 −43

292

7

)

(7) A2 =

(

1 60 16

)

; B2 =

(

10 −8−2 2

)

;

C2 =

(

49

0−20

34

)

; A2 −B2 + C2 =

(

−779

14−14

318

)

(8) A3 =

(

−1 260 64

)

; B2C =

(

1003−16

−263

4

)

;

23


C2A =

(

−49

89

203

83

)

; A3 − B2C + C2A =

(

−3139

3869

463

1883

)

II.

(1) DT =

−1 1 03 0 12 1 −1

; 4E =

8 −12 416 4 04 0 8

;

F 2 =

3 0 −2−3

29 13

2

2 0 −1

;DT−4E+F 2 =

−6 13 −6−29

25 15

2

0 1 −10

(2) E2 =

−7 −9 412 −11 44 −3 5

; EF =

−132−9 −4

−152

3 6−4 0 1

;

FD =

2 −5 −552

72

21 −3 −2

; E2−EF +FD =

32−5 3

22 −212

09 −6 2

(3) D3 =

−5 11 85 −2 1−2 5 −1

; E3 =

−46 12 1−16 −47 201 −15 14

;

F 3 =

−4 0 31 27 33

2

−3 0 2

;

D3 − 2E3 + 4F 3 =

71 −13 1841 200 27−16 35 −21

III.

(1)

1 + i −i 11 + i 3 + i 01 5 2− i

(2)

i 1 i

1 + i 3i 1 + i

0 5i 2− 2i

(3)

−5 + i 1− i −42i 3− i 0

6 + 2i 5 + 5i 2 + 6i

(4)

−1 i 1−1 + i −3 1− i

4i −5 2− 2i

IV.

(1) No se puede calcular.

(2) 14.

(3) Como AC =

(

4 −7−1 −4

)

, entonces 0.

(4) 14.

(5) Como CA =

3 −10 28−3 9 −24−1 4 −12

, entonces 0.

(6) No se puede calcular.

(7) 14.

24


V.

(1) A−1 =

1 3 −13

6

0 −11

2

0 01

6

(2) B−1 =

5

21

2

71

21−1

7

(3) No tiene inversa.

(4) D−1 =

1

30 0

0 −1

40

0 0 −1

10

(5) No tiene inversa.

(6) F =

− 112

14

112

712

−34

512

14

14−1

4

VI.

(1) A2 =

0 −1 20 1 −20 0 1

;A3 =

0 −1 30 1 −30 0 1

;

A4 =

0 −1 40 1 −40 0 1

; A5 =

0 −1 50 1 −50 0 1

(2) B2 =

0 0 0 00 0 0 04 0 0 04 0 0 0

;B3 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

= B4

(3) C2 =

3 3 33 3 33 3 3

;C3 =

9 9 99 9 99 9 9

;

C4 =

27 27 2727 27 2727 27 27

VII.

(a) 17

(b) 21− 13x

(c) −121

(d) −1

(e) −4x2 − 4x− 36

(f) −6

(g) −71

VIII.

(1) A−1 =

(

1

7−2

73

7

1

7

)

(2) B−1 no existe.

(3) C−1 =

1 0 0

01

30

0 0 −1

25

MATRICES REFERENCIAS

(4) D−1 =

1

4

3

8− 1

16

0 −1

20

0 0 1

4

(5) E−1 =

−34

12−1

2

−12

13 −2

312−1

613

(6) F−1 =

1 0 00 1 02 0 −1

IX. (1) x = 1, y = −2 y z = 3.

(2) x =1

7, y =

13

14y z =

3

2.

(3) x =3

2, y =

1

2y z = 2.

(4) x = 1, y = −2 y z = 3.

(5) x = 15− 8t, y = −14 + 7t y z = t.

(6) No tiene solucion.

(7) x = 1, y = −2 y z = 3.

(8) x =1

7, y =

13

14y z =

3

2.

(9) x =3

2, y =

1

2y z = 2.

(10) x = 1, y = −2 y z = 3.

Referencias

[1] Kolman Bernard, “Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab”Prentice-Hall, 1991.

[2] Lang Serge, ”Algebra Lineal”, Editorial Fondo Educativo Inter-americano, 1980.

26

Notacion 1 Matrices

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