Matrices.dviMatrices
1 Conceptos Basicos
Definicion 1 Se definen los siguientes conceptos:
(a) Una matriz es un arreglo bidimensional de un conjunto de ele- mentos, denominados entradas, en filas y columnas.
(b) Mm×n(K) es el conjunto de las matrices de m filas y n columnas con entradas en K.
Notacion 1 Una matriz se representa por medio de una letra mayusucla A, B, C, ... mientras que sus elementos con la misma letra minuscula a, b, c, ... con un doble subndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
Ejemplos 1
(1) A =

∈M3×2(R), porque tiene 3 filas y 2 columnas.
Observemos que A tambien podra pertenecer a los conjuntos M3×2(Z) y M3×2(Q).
(2) B =
2 5 3− i
)
MATRICES 2 ALGEBRA DE MATRICES
Definicion 2 A ∈ Mm×n(K) es cuadrada, si m = n. Este hecho se denota por A ∈Mn(K).
Ejemplos 2
(1) A =
2 5 3− i
∈ M3(C).
Notacion 2 Dada la matriz A ∈ Mm×n(K), se denota por aij a la entrada ubicada en la fila i y la columna j.
Ejemplos 3 Dada la matriz
B =
2 5 3− i
(4) b34 no existe.
2 Algebra de Matrices
Definicion 3 La traspuesta de una matriz A, denotada por AT , es aquella matriz que se obtiene al intercambiar las filas de A por sus columnas.
Ejemplos 4 Al determinar las traspuestas de las matrices
A =
0 5 3

,

)
.
Como al trasponer una matriz estamos intercambiando filas por colum- nas, entonces estamos invirtiendo el orden de dicha matriz. En nuestro ejemplo, como A ∈ M3(R) y B ∈ M3×2(R), entonces AT ∈ M3(R) y BT ∈ M2×3(R). En general, si A ∈ Mm×n(K), en- tonces AT ∈Mn×m(K).
Por otro lado, consideremos la matriz C =
(
)

.
(


)
Propiedades 1 Para toda A ∈Mm×n(K), se tiene que (
AT )T
= A.
Esta proposicion nos senala que la traspuesta de la traspuesta de una matriz vuelve a ser la matriz original.
2
Hay matrices cuya matriz traspuesta tiene caractersticas especiales, para visualizar una de estas caractersticas traspongamos la matriz
A =

.



= A.
A las matrices que coinciden con su traspuesta, es decir AT = A,
reciben el nombre de matriz simetrica.
2.1 Suma de Matrices y Producto por un es- calar
Dadas A,B ∈Mm×n(K) de la forma
A =
... . . .
... . . .





.
La suma de A y B, denotado por A + B, es la matriz que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de ambas, es decir:
A+B =





... ...
. . . ...





.
Como la suma de matrices es entrada a entrada, entonces las matrices deben tener el mismo tamano para poder sumarlas.
El producto de un escalar k por la matriz A, denotado por kA, es la matriz que se obtiene al multiplicar cada entrada de A por k, es decir:
kA =
... . . .
A =
)




2 0




+





2 0
2 0





(2) A + B no se puede calcular, por las matrices tienen distintas dimensiones.
(3) 3A = 3
)
=
(
)
)
=
(
)
(5) −6B = −6




=












2 0
2 0





El siguiente resultado muestra algunas propiedades de la traspuesta de una matriz.
Teorema 1 Sea A,B ∈Mm×n(K) y k ∈ (K), se tiene que:
(1) (A± B)T = AT ±BT .
(2) (kA)T = kAT .
2.2 Producto de Matrices
Definicion 4 Sean A ∈M1×n(K) y B ∈ Mn×1(K), es decir A es una matriz fila y B una matriz columna de la forma:
A = (





.
El producto de A con B, denotado por AB, se define como:
AB = (
A = (
AB = (
(2) Calculemos el producto BA,
BA =
= (
.
Del ejemplo podemos deducir que AB no necesariamente es igual a BA. Esto quiere decir que el producto de matrices no es conmu-
tativo.
Observemos, ademas, que el unico requisito para realizar el producto AB es que el numero de columnas de A debe coincidir con el numero de filas de B. Es decir, dadas las matrices
A = (
MATRICES 2 ALGEBRA DE MATRICES
podemos calcular BA, pero no AB. Una vez dicho esto, podemos generalizar el producto de matrices.
Definicion 5 Sean A ∈Mm×p(K) y B ∈Mp×n(K), es decir A es una matriz fila y B una matriz columna de la forma:
A =
... . . .
... . . .





.
El producto de A con B, denotado por AB, se define como:
AB =
... . . .
... . . .
... . . .
(1) A =
)
)
.
El producto AB no se puede realizar, porque la cantidad de colum- nas de la matriz A no coincide con la cantidad de filas de la matriz B. Sin embargo, s podemos calcular BA.
BA =
)
=
(
)
,
Es decir,
)
)

.
En este caso podemos calcular AB y BA.
AB =
)



=
(


(
)
=



∈M3(R).
Observemos que la cantidad de filas de AB coinciden con la cantidad de filas de A y la cantidad de columnas de AB coincide con la cantidad de columnas de B. Es decir, si A ∈ M m ×p
(K) y B ∈ M p× n (K),
entonces AB ∈M m × n (K).
Por otro lado, si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, podemos calcular tanto AB como BA. Luego tiene sentido pregun- tarnos por las potencias de una matriz cuadrada A e introducimos la notacion:
A1 = A, A2 = AA, A3 = A2A, · · · , An = An−1A.
Ejemplos 8 Considerando A =






=










=










=




Para finalizar esta seccion presentamos la relacion entre la traspuesta de una matriz y el producto de matrices.
Propiedades 2 Sean A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×p(K), entonces (AB)T = BTAT .
Ejemplos 9 Dadas las matrices
A =
)

.
AB =
)



=
(
luego (AB)T =
)



=
(
Definicion 6 Sea A ∈ Mn(K), se denomina:
(a) diagonal principal a los elementos situados en las entradas aii con i = 1, ..., n
(b) diagonal secundaria a los elementos situados en las entradas a1n, a2(n−1), a3(n−2), .., an1
Ejemplos 10 Observemos que:
cipal de A, mientras que A =


)
no es una matriz cuadrada, por lo tanto
no posee ni diagonal principal, ni diagonal secundaria.
Definicion 7 La traza de A ∈ Mn(K), denotada por Tr(A), es la suma de los elementos de su diagonal principal. Es decir,
Tr(A) = n ∑
i=1
A =
2 1
3 2

.
Definicion 8 A ∈Mn(K) es una matriz:
(a) triangular superior, si todos los elementos bajo la diagonal prin- cipal son nulos.
(b) triangular inferior, si todos los elementos sobre la diagonal prin- cipal son nulos.
(c) diagonal, si todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos.
Ejemplos 12 La matriz:
(3) C =
es diagonal.
Observemos que una matriz diagonal, ademas de ser simetrica, es tringular superior y triangular inferior a la vez. Por otro lado, la traspuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior, y viceversa. En nuestro ejemplo
A =



AT =



son triangular inferior y triangular superior, respectivamente.
Por otro lado, la traspuesta de una matriz diagonal vuelve a hacer la matriz diagonal original, es decir, toda matriz diagonal es simetrica. En nuestro ejemplo
C =

= CT .
Propiedades 3 La suma de dos matrices diagonales del mismo orden, es una matriz diagonal. Esto tambien ocurre para la suma de matrices triangulares superiores y para la suma de matrices triangulares infe- riores.
Definicion 9 La matriz nula es aquella matriz cuya entradas son todas nulas.
4 Matriz Identidad y Matriz Inversa
Para comenzar esta seccion calculemos el producto entre las matrices
A =


.





=








=



= A.
Es decir, la matriz B no altera a la matriz A. Esta matriz es conocida como identidad y se denota por In, donde n es el orden de la matriz, o simplemente I cuando el orden se obvia.
Por lo tanto, la matriz identidad es tal que AI = IA = A.
Ahora es natural preguntarse, ¿sabiendo que I es la matriz identidad, existira una matriz B tal que AB = BA = I? La respuesta es afirma- tiva, bajo ciertas condiciones, esta matriz se denomina inversa de A y
se denota por A−1. Para la matriz A =



8
MATRICES 4 MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ INVERSA
En este captulo estudiaremos las condiciones necesarias para que la matriz inversa de A exista, ademas de describir dos algoritmos que permiten calcularla.
El primer metodo que utilizaremos para invertir matrices es el denom- inado Metodo de Gauss-Jordan.
4.1 Metodo de Gauss-Jordan
Iniciaremos el estudio de este metodo introduciendo el concepto de operaciones elementales entre filas y columnas, para esto denotare- mos por fi y ci a la fila i y columna i de una matriz A, respectivamente.
Definicion 10 Una operacion elemental entre filas de una matriz es alguna de las siguientes transformaciones:
(1) intercambiar filas: podemos intercambiar la fila i por la fila j, este hecho se denota por fi ∼ fj.
Por ejemplo, al intercambiar la fila 1 con la fila 3 de la matriz
A =



3 2 1

.
(2) multiplicar fila: podemos multiplicar una fila i por un numero real α no nulo, este hecho se denota por αfi.







.
(3) sumar a una fila el multiplo de otra: podemos sumar a una fila i k-veces la fila j, este hecho se denota por fi + kfj .



f1 → f2 →



.
Se pueden realizar las mismas operaciones con columnas.
La idea principal del metodo de Gauss-Jordan para invertir una matriz cuadrada A es considerar una matriz de la forma [A | I ] y a traves de operaciones elementales entre filas y/o columnas convertirla en [ I |B ]. Es decir, transformar de alguna manera la matriz A en la identidad de orden n.
Veamos un ejemplo, consideremos la matriz A =



.
| | |

.
Como necesitamos transformar A en I, tenemos que hacer aparecer un 1 en la primera entrada de la diagonal principal de A. Para esto
podemos multiplicar por 1
3 la fila 1 o intercambiar fila 1 con fila 3.
9
Tomando la segunda opcion, nos resulta lo siguiente:
[A | I ] =
| | |


| | |


| | |




| | |


| | |


Lo proximo es hacer aparecer un 1 en la segunda entrada de la diagonal principal en la matriz de la izquierda y hacer 0 en las demas entradas de la segunda columna.
En nuestro caso,
| | |


| | |
| | |




| | |
| | |
| | |


Finalmente, la matriz que obtenemos a la derecha es la inversa de la matriz A.
10

.
[B | I ] =
| | |


| | |


| | |


| | |


Como la tercera fila de la matriz de la izquierda es nula, entonces no podemos hacer aparecer un 1 en la tercera entrada de la diagonal principal. Por lo tanto, la matriz B no tiene inversa.
5 Determinante
5.1 Algoritmo
Primer caso: Si A es una matriz cuadrada de orden 2, luego
det(A) =
(1) Para A =
(2) Para B =
= −10− (−10) = 0.
Segundo caso: Si A es una matriz cuadrada de orden 3, tenemos varias opciones. La primera es la siguiente:
det(A) =










Como podemos observar, hemos utilizado la primera fila de A para calcular su determinante. Sin embargo, podemos realizar el mismo calculo utilizando tanto la segunda fila como la tercera.
11






(2)






= −6 + 2(−15 + 18) = 0.
En el caso que utilicemos la segunda fila, el determinante se calcula con:
det(A) =






det(A) =























= 0.
Calculemos el primer determinante utilizando la segunda fila y el se- gundo determinante utilizando la tercera fila. Es decir,
(1)












5.2 Regla de Sarrus
Esta regla nos permite calcular, de una manera mas simple, el deter- minante de matrices cuaradas solo de orden 3.
Para esto, podemos copiar las dos primeras columnas de la matriz y operar como sigue:
12






=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a11.
det(A) =






= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a11.
Definicion 11 Una matriz A es singular, si |A| = 0.
Luego, podemos concluir que una matriz A es invertible si y solo si A es no singular (det(A) 6= 0).
5.4 Metodo de la Matriz Adjunta
En esta seccion estudiaremos un segundo metodo para invertir matri- ces, en el caso que la matriz inversa exista, para esto introduciremos algunos conceptos previos.
Definicion 12 El menor del elemento aij de una matriz cuadrada A
de orden n, es el determinante Mij de orden (n − 1)(n − 1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.
Ejemplos 16 Dada la matriz A =



M11 =
M32 =
= 1.
Definicion 13 El menor del elemento aij de una matriz cuadrada A
de orden n, es el menor Mij con el signo (−1)i+j. Este elemento se denota por Dij .
Ejemplos 17 Considerando la matriz A =



(2) M32 = 1, luego
13
MATRICES 5 DETERMINANTE
Definicion 14 La matriz de cofactores de una matriz cuadrada A
de orden n, denotada por cof(A), es aquella matriz que se obtiene al ubicar los cofactores de A en sus respectivas entradas.
Ejemplos 18 Para determinar la matriz de cofactores de
A =




Definicion 15 La matriz adjunta de una matriz cuadrada A de orden n, denotada por Adj(A), es la matriz que se obtiene al trasponer la matriz de cofactores. Es decir, Adj(A) = (cof(A))T .
Ejemplos 19 Del ejemplo anterior tenemos que
cof(A) =

.




Teorema 2 Si A es una matriz no singular, entonces
A−1 = 1






. Por lo tanto, A−1 existe y por teorema anterior
A−1 = 1




=





Consideremos las matrices A =










podemos afirmar que x = 3, y = 2 y z = 1.






y − z

.
Luego, para que se cumpla la igualdad de matrices es necesario que
3x− 2y = 5 x+ 5y + 3z = 16
y − z = 1



Por lo tanto, un sistema de ecuaciones lineales podemos expresarlo utilizando matrices.









En general, el sistema de ecuaciones lineales



puede expresarse






En este apunte estudiaremos cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene solucion y dos metodos para determinar estas soluciones.
6.1 Conceptos Basicos
Un sistema de ecuaciones lineales de n por n es un conjunto de n ecuaciones lineales con n incognitas cada uno. Y es de la forma:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
... ...




... . . .
... . . .
6.2 Metodos de Resolucion
6.2.1 Metodo de Gauss-Jordan
Definicion 16 Una matriz triangular superior A es escalonada, si los elementos de la diagonal principal son 1.
Ejemplos 21 La matriz A =




no lo es.
Definicion 17 Se denomina escalonar una matriz A al proceso de convertir A en una matriz escalonada a traves de operaciones elemen- tales.
La idea de este metodo es escalonar la matriz A a traves de la matriz
ampliada [A ...b].
Ejemplos 22 Determinemos, si es que existen, las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:



[A ...b] =
Observemos que:
[A ...b] =
− 1
La segunda fila es equivalente a:
y − 3
8 z =
y − 3
Por ultimo, la primera fila es equivalente a:
x+ 3y − z = 2
y utilizando el hecho que y = 1 y z = 1, obtenemos que:
x+ 3− 1 = 2, lo cual implica que x=0 .
Es decir, el sistema tiene solucion unica.
(2) x+ y + z = 5
3x− 2y + 4z = 8 2x− 3y + 3z = 3



[A ...b] =
Observemos que:
[A ...b] =
−5y + z = −7
x+ y + z = 5
−5y + z = −7
⇒ −5y + t = −7
⇒ −5y = −7 − t
⇒ y = 7 + t
5 .
Es decir, existen infinitas soluciones para el sistema de ecua- ciones lineales y son de la forma
x = 18− 6t
(3) x+ y + z = −3
3x− 2y + 4z = 6 2x− 3y + 3z = 1







De la tercera fila tenemos que 0 = −8 lo cual es una contradiccion. En este caso el sistema de ecuaciones no tiene solucion.
18
MATRICES 6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El ejemplo anterior nos indica que un sistema de ecuaciones lineales puede
(1) Tener solucion unica, denominado sistema compatible deter-
minado.
determinado.
(3) No tener solucion, denominado sistema incompatible.
El siguiente resultado nos permite determinar el tipo de solucion de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b.
Propiedades 4 El sistema de ecuaciones lineales Ax = b:
(1) Tiene solucion unica, si det(A) 6= 0.
(2) No tiene solucion o tiene infinitas soluciones, si det(A) = 0.
6.3 Metodo de Cramer
La regla de Cramer afirma que, si det(A) 6= 0, entonces las xi solu- ciones son de la forma
xi = det(Ai)
det(A) ,
donde la matriz Ai se obtiene al reemplazar la columna i por la matriz b.
Ejemplos 23 Apliquemos esta regla a los siguientes sistemas de ecua- ciones lineales:
(1) 2x− 2y + z =











solucion unica.





















−4 =
1
2 .



Sabemos que las soluciones de este sistema son x = 0, y = 1 y z = 1.
19
MATRICES 7 EJERCICIOS
Utilicemos ahora la regla de Cramer para comprobar estas solu- ciones.
Como det(A) =






solucion unica.


















−4 = 0,
y = det(A2)
det(A) = −4
−4 = 1,
z = det(A3)
det(A) = −4
−4 = 1.
Si det(A) = 0, no podemos utilizar el metodo de Cramer, ya que el sistema podra no tener solucion o tener infinitas soluciones. En tal caso utilizamos el metodo de Gauss-Jordan.
7 Ejercicios
)



.
(2) E2 −EF + FD
III. Dadas las matrices:


.
)


.
(6) Tr(AC +B)
(7) Tr(CA+B)
V. Para cada una de las siguientes matrices, calcular la matriz inversa utilizando el metodo de Gauss-Jordan. Una vez calculada, verificar que es efectivamente la inversa.
(1) A =













.








.



.


































VIII. Para cada una de las siguientes matrices, calcular la inversa y comprobar que la matriz calculada es efectivamente la inversa:
(1) A =








IX. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
(a) Determinar si tiene solucion unica.
(b) Determinar las soluciones ya sea con el metodo de Cramer o Gauss-Jordan.
(c) Comprobar que las soluciones calculadas en el item anterior sa-tisfacen el sistema.
(1) x+ y + z = 2
2x+ 3y + 5z = 11 x− 5y + 6z = 29












4x+ 5y − 3z = −10 2x+ 3y − 5z = −12






2x+ 3y + 5z = 11 x− 5y + 6z = 29












)


;


;
7 2


;
2






0 5i 2− 2i
6 + 2i 5 + 5i 2 + 6i


4i −5 2− 2i
(2) 14.

(7) 14.


;





















;


(3) C−1 =


(2) x = 1
(5) x = 15− 8t, y = −14 + 7t y z = t.
(6) No tiene solucion.
(8) x = 1
Referencias
[1] Kolman Bernard, “Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab” Prentice-Hall, 1991.
[2] Lang Serge, ”Algebra Lineal”, Editorial Fondo Educativo Inter- americano, 1980.
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