1.Matrices de Rotacion

8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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Ingeniera deSistemas y

AutomticaControl de Robots y

Sistemas Sensoriales

TEMA 3: HERRAMIENTAS

MATEMTICAS PARA LALOCALIZACIN INDUSTRIAL

Robtica IndustrialRobtica Industrial

ISA.- Ingeniera de Sistemas y Automtica


2/34

Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 2

Herramientas matemticaspara la localizacin espacial

Representacin de la posicin

Representacin de la orientacin

Matrices de transformacin homogneaCuaternios

Relacin y comparacin entre mtodos


3/34


Localizacin espacial

Manipulacinde

piezas

Movimientoespacialdel extremo

del robot

Necesidad de

herramientas matemticaspara especificar

posicin y orientacin


4/34



en coordenadas cartesianas

2 dimensiones 3 dimensiones

x a

yp(x,y)

X X

o

p(x,y,z)

z

Z

Y

Y

xy0


5/34



en coordenadas polares/cilndricas

Polares Cilndricas

Y

XO X

Y

Z

zO

p(r,0)

r

00

r

p(r,0,z)


6/34



en coordenadas esfricasZ

X

YO

0

r

0 p(r,0,0)


7/34


8/34


Representacin de la orientacin.

Matrices de Rotacin 3D (I)

X X

Z Z

Y YO

OU

W

V

U

W

V

a) b )

uvw u v w

T

u u v v w w

xyw x y z

T

x x y y z z

[ , , ]

[ , , ]

p i j k

p i j k

= = + +

= = + +

p p p p p p

p p p p p p

x

y

z

u

v

w

p

p

p

p

p

p

=

R

R

i i i j i k

j i j j j k

k i k j k k

=

x u x v x w

y u y v y w

z u z v z w

R x( , )

1 0 0

0 - sen

0 sen

=

cos

cos


9/34



Matrices de Rotacin 3D (II)

X X

Z Z

Y YO O

U

W

V

U

W

V

a ) b )

R y( , )

=

cos sen

sen cos

0

0 1 0

0

R z( , )

=

cos sen

sen cos

0

0

0 0 1


10/34



Composicin de rotaciones

T R z R y R x= =

=

= + +

+ +

( , ) ( , ) ( , )

C S 0

S C 0

0 0 1

C 0 S

0 1 0

S 0 C

1 0 0

0 C S

0 S C

C C S C C S S S S C S C

S C C C S S S C S S S C

S C S C C

Orden de la composicin:

Rotacin sobre OX Rotacin sobre YO Rotacin sobre OZ


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Angulos de Euler Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OZ,

convirtindose as en el OU'V'W'.

Girar el sistema OU'V'W' un ngulo con respecto al eje OU',convirtindose as en el OU''V''W''.

Girar el sistema OU''V''W'' un ngulo respecto al eje OW''convirtindose finalmente en el OU'''V'''W'''

Z

YO

XU U ' U ''

U ' ' '

W W 'W ' ' W '''

V

V '

V ''

V ' ' '


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Roll, Pitch y Yaw Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OX. (Yaw)

Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OY. (Pitch) Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OZ. (Roll)

X

Z

YO

R o l l

P i tch

Ya w

W

U

V


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Par de rotacins Mediante la definicin de un vector k (kx,ky.kz) y un ngulo de giro ,

tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado unngulo sobre el eje k

kx

kyX

Z

YO

b )

kz

W

V

U

k

Rot k p p k p k k p( , ) ( ) sen ( )(1 ) = + cos cos


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Cuaternioss Alta eficiencia computacional

s Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB)

Q [ , , , ] [s, ]0 1 2 3= =q q q q v

Q ( , ) 2 , sen2= = Rot k k

cos

Giro de un ngulo 2 sobre el vector k:


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Coordenadas homogneass Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para

representar slidos en el espacio n-dimensionals p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala

s Vector en coordenadas homogneas:

s Ejemplo: 2i+3j+4k [4,6,8,2]T [-6,-9,-12,-3]T

s Vector nulo:[0,0,0,n]T

p =

=

=

x

y

z

w

aw

bw

cw

w

a

b

c

1


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Matrices de transformacin

homogneas Matriz 4x4 que representa la transformacin de un vector en

coordenadas homogneas de un sistema de coordenadas a otro

s R3x3: matriz de rotacin

s p3x1

: vector de traslacin

s f1x3: transformacin de perspectiva

s w1x1: escalado global (1)

TR p

f w

=

=

3x3 3x1

1x3 1x1

Rotacion Traslacion

Perspectiva Escalado


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Aplicacin de las matrices de

transformacin homognea

Representar la posicin y orientacin de un sistema girado y trasladado

O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lomismo que representar una rotacin y traslacin realizada sobre unsistema de referencia.

Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un

sistema O'UVW, a su expresin en coordenadas del sistema dereferencia OXYZ.

Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijoOXYZ

T

R p

=

=

3x3 3x1

0 1

Rotacion Traslacion

0 1


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Traslacin con matrices

homogneass Matriz bsica de traslacin:

s Cambio de sistema de coordenadas:

T p( ) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

x

y

z

p

p

p

x

y

z

x

y

z

u

v

w

u x

v y

w z

+

+

+

r

r

r

p

pp

r

r

r

r p

r p

r p

1

1 0 0

0 1 00 0 1

0 0 0 1 1 1

=

=


19/34


Ejemplo de traslacin (I)Segn la figura el sistema O'UVW est trasladado un vector p(6,-3,8) con

respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (r

x ,r

y,r

z) del vectorr

cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

x

y

z

1

1 0 0 60 1 0 3

0 0 1 8

0 0 0 1

27

3

1

44

11

1

r

r

r

=

=


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21/34


Rotacin con matrices homogneass Matrices de rotacin bsicas:

s Cambio de sistema de coordenadas:

( )T x,

1 0 0 0

0 - sen 0

0 sen 0

0 0 0 1

=

cos

cos( )T y,

=

cos sen

sen cos

0 0

0 1 0 0

0 0

0 0 0 1

( )T z,

=

cos sen

sen cos

0 0

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x

y

z

u

v

w

1

1

r

r

r

r

r

r

=

T


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Ejemplo de rotacins Segn la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90 alrededor

del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadasdel vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

x

y

z

1

0 1 0 0

- 1 0 0 00 0 1 0

0 0 0 1

4

812

1

8

- 412

1

r

rr

=

=


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Combinacin de rotaciones y

traslaciones (I)s Es posible combinar rotaciones y traslaciones

bsicas multiplicando las matrices correspondientess El producto no es conmutativo:

rotar y trasladar = trasladar y rotar


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Combinacin de rotaciones y

traslaciones (II)s Rotacin seguida de traslacin:

s Traslacin seguida de rotacin:

( )( )T x p, ,

1 0 0

0 sen

0 sen

0 0 0 1

x

y

z

=

p

p

p

cos

cos

( )( )T p x, ,

1 0 0

0 sen sen

0 sen sen

0 0 0 1

x

y z

y z

=

+

p

p p

cos p p

cos cos

cos


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Ejemplo de combinacin

traslacin-rotacin (I)Un sistema OUVW ha sido girado 90 alrededor del eje OX y posteriormente

trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular lascoordenadas (rx,ry,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

x

y

z

1

1 0 0 8

0 0 1 4

0 1 0 12

0 0 0 1

3

4

11

1

5

7

16

1

rr

r

=

=


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Ejemplo de combinacin

traslacin-rotacin (II)Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al

sistema OXYZ y girado 90 alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas(rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

x

y

z

1

1 0 0 8

0 0 1

0 1 0

0 0 0 1

3

4

11

1

5

1

r

r

r

=

=

12

4

1

0


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Significado geomtrico de las

matrices homogneas

n,o,a terna ortonormal que representa la orientacin

p vector que representa la posicin||n||=||o||=||a||=1

n x o = a

[n o a]-1=[n o a]T

Tn o a p

=

=

x x x x

y y y y

z z z zp

0 0 0 1

0 0 0 1

n o a pn o a p

n o a


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Inversa de una matriz de

transformacin homognea

-1

x y zT

x y zT

x y z

T

0 0 0 1

T

n p

o p

a p

=

n n n

o o o

a a a

-1 xyz uvwT r r= xyz uvwr T r=


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Composicin de matrices

homogneass Una transformacin compleja puede descomponerse en la aplicacin

consecutiva de transformaciones simples (giros bsicos y traslaciones)

s Una matriz que representa un giro de un ngulo sobre el eje OX,seguido de un giro de ngulo sobre el eje OY y de un giro de unngulo sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composicin de lasmatrices bsicas de rotacin

T T z T y T x= =

=

=

+ +

( , ) ( , ) ( , )

C S 0 0

S C 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C 0 S 0

0 1 0 0

S 0 C 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 C S 0

0 S C 0

0 0 0 1

C C S C C S S S S C S C 0

S C C C S S S C S S S C 0

S C S C C 0

0 0 0 1

+ +


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Criterios de composicin de matrices

homogneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son

coincidentes, la matriz homognea de transformacin ser la matriz 4 x4 unidad, I4

Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones

definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homognea querepresenta cada transformacin se deber premultiplicar sobre lasmatrices de las transformaciones previas.

Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslacionesdefinidas con respecto al sistema mvil, la matriz homognea querepresenta cada transformacin se deber postmultiplicar sobre lasmatrices de las transformaciones previas.


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Ejemplo de composicin de matrices

homogneas (I)PREMULTIPLICACIN

s Obtener la matriz de transformacin que representa al sistema O'UVWobtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ngulo -90alrededor del eje OX, de una traslacin de vector pxyz(5,5,10) y un giro

de 90 sobre el eje OZ

T T z T p T x= =

=

( ,90 ) ( ) ( ,-90 )

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 5

0 1 0 5

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 5

1 0 0 5

0 1 0 10

0 0 0 1

o o


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Ejemplo de composicin de matrices

homogneas (II)POSMULTIPLICACIN

s Obtener la matriz de transformacin que representa las siguientestransformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslacinde un vector pxyz(-3,10,10); giro de -90 sobre el eje O'U del sistema

trasladado y giro de 90 sobre el eje O'V del sistema girado

T T p T u T v= =

=

( ) ( ,-90 ) ( ,90 )

1 0 0 3

0 1 0 10

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 3

1 0 0 10

0 1 0 10

0 0 0 1


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Grficos de transformacin

( )M O M R R E E H O HT T T T T

=1

( )R O R E E H O HT T T T=1

( )R O M R M OT T T= 1


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Comparacin entre mtodos de

localizacin espacialMtodo Ventajas Inconvenientes

Matrices detransformacinhomognea

Posicin y orientacinde forma conjunta Comodidad

Alto nivel de redundancia(12 compon. para 6 gdl) Coste computacional

Angulos de

Euler

Notacin compacta Slo orientacin

Dificultad de manejopara composicin

Par derotacin

Notacin compacta Slo orientacin Dificultad de manejo

para composicinCuaternios Composicin simple y

eficiente de rotaciones ytraslaciones

Slo orientacin relativa

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Notacion 1 Matrices

Rotacion Segundo Periodo

IVU ROTACION UT

Rotacion externa- Dinamarca

# Movimiento de Rotacion

Rotacion de Personal!

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1604 cartel rotacion

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1.Capitulo 10 Rotacion Cuerpo Rigido

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TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES