TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

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  • 1. TEMA 1: MATRICES. OPERACIONE S CON MATRICES

2. INDICE DEL TEMA 3. 1.DEFINICIN DE MATRIZ.ELEMENTOS, DIMENSIN Y ORDEN. Def: Se denomina matriz a todo conjunto de nmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. 4. 1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS , DIMENSIN Y ORDEN.Elemento de una matriz Cada uno de los nmeros de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. Dimensin de una matriz El nmero de filas y columnas de una matriz se denomina dimensin de una matriz. As, una matriz de dimensin mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. 5. 1.DEFINICIN DE MATRIZ. ELEMENTOS , DIMENSIN Y ORDEN.Orden de una matriz. S la matriz tiene el mismo nmero de filas que de columnas, se dice que es de orden. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij). Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. 6. 2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA Distinguimos los siguientes tipos de matrices: -Matrices iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. -Matriz fila Una matriz fila est constituida por una sola fila. 7. 2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA-Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna-Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn. 8. 2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA-Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. 9. 2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADASe cumplen las siguientes propiedades: (At)t = A (A + B)t = At + Bt ( A)t = At (A B)t = Bt At -Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. 10. 2. TIPOS DE MATRICES. MATRIZ CUADRADA-Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo nmero de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz. 11. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS. Los tipos de matrices cuadradas son los siguientes: -Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. 12. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.-Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. -Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos que no estn situados en la diagonal principal son nulos. 13. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS-Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. -Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 14. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS-Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. -Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa. -Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A. 15. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS-Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I. -Matriz simtrica Una matriz simtrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. -Matriz antisimtrica Una matriz antisimtrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. 16. 3. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS-Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que: A At = I. 17. 4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensin, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como: A + B = (aij + bij) La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posicin. 18. 4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES EJ: 19. 4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES Las propiedades de la suma de matrices son: Interna La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n.Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + CElemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A. 20. 4.SUMA DE MATRICES. PROPIEDADES Elemento opuesto: A + (A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo.Conmutativa A+B=B+A 21. 5. PRODUCTO DE MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES.Producto de un escalar por una matrizDada una matriz A = (aij) y un nmero real k , se define el producto de un nmero real por una matriz: a la matriz de la misma dimensin que A, en la que cada elemento est multiplicado por k. k A = (k aij) 22. 5. PRODUCTO DE MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES.EJ: 23. 5. PRODUCTO DE MATRIZ POR UN ESCALAR. PROPIEDADES.Las propiedades que cumple el producto de un escalar por una matriz son: * a (b A) = (a b) A * a (A + B) = a A + a B * (a + b) A = a A + b A *1A=A Donde a y b son escalares y A,B matrices de orden mxn 24. 6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES. Def: Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B. Am x n x Bn x p = Cm x pEl elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumndolos. 25. 6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES. EJ: 26. 6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES. Las propiedades para el producto entre matrices son las siguientes: Asociativa: A (B C) = (A B) C Elemento neutro: A I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Distributiva del producto respecto de la suma: A (B + C) = A B + A C 27. 6. PRODUCTO ENTRE MATRICES. PROPIEDADES. No es Conmutativa: A B B A Ej:Podemos ver que en este caso, A B B A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensin, pues A B M2x2 y B A M3x3. 28. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSSDef: Se define la matriz inversa A-1 de una matriz cuadrada A es aquella que cumple. A A1 = A1 A = I Se cumplen las siguientes propiedades: * (A B)1 = B1 A1 * (A1)1 = A * (k A)1 = k1 A1 * (At)1 = (A1)t 29. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSSClculo por el mtodo de Gauss Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A1, seguiremos los siguientes pasos: a) Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 30. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSSConsideremos una matriz 3x3 arbitraria:La ampliamos con la matriz identidad de orden 3. 31. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSSb) Utilizando el mtodo Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A1. F2 = F 2 F1 32. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSS F3= F3 + F2 F2= F 2 F3 33. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSS F1= F1 + F2 F2= (1) F2 34. 7. CLCULO DE MATRIZ INVERSA. MTODO DEGAUSS Lamatriz inversa es: 35. 8. RANGO DE UNA MATRIZ. CLCULO DEL RANGO. MTODO DE GAUSS Def: Se define rango de una matriz como el nmero de filas o columnas (linea) que son linealmente independientes. Una lnea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. Una lnea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A). 36. 8. RANGO DE UNA MATRIZ. CLCULO DEL RANGO. MTODO DEGAUSSPodemos descartar una lnea si: 1 Todos sus coeficientes son ceros. 2 Hay dos lneas iguales. 3 Es proporcional a otra. 4 Una lnea es combinacin lineal de otras. 37. 8. RANGO DE UNA MATRIZ. CLCULO DEL RANGO. MTODO DEGAUSSEJ: F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 A=