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Colegio Sagrado Corazón .Zaragoza

1.MATRICES

1. DEFINICION, TERMINOLOGIA, TIPOS DE MATRICES Y

OPERACIONES LINEALES:

Definición : Se llama matriz de dimensiones m x n ( m filas y n columnas) a una

colección de datos expresados de la siguiente forma A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

....

...

...

21

22221

11211

Nota: Si m=n se dice que la matriz es de orden n .Como es lógico, el número total

de elementos es mn.

Definición : Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los

elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales .

Ejemplo : Las matrices A=

5043

2219y B =

5043

1922 son distintas aunque posean

los mismos elementos.

2. TIPOS DE MATRICES

1.- Atendiendo a su forma

Matriz fila :Es aquella que solo tiene una fila . A= 4321

Matriz columna : Es aquella que solo tiene una columna.B=

5

3

1

Matriz cuadrada. Si el número de filas es igual al de columnas .En caso de

que m y n sean distintas se dice rectangular.

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Ejemplos :

642

220

742

es una matriz cuadrada de orden 3 .

4032

10

41

es una matriz rectangular con tres filas y dos columnas.

Matriz traspuesta :.Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A ( At)

a aquella que surge tras cambiar las filas por columnas y viceversa.

Si B=

43

53

41

su traspuesta es Bt =

454

331.

Propiedades de la trasposición de matrices .

1) (A+B)t=At +Bt

2) (kA)t =k At siendo k un número.

3) (At)t =A

4) (AB)t=BtAt

Matriz simétrica :Es aquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta

, es decir que cumple que St=S. Por ejemplo S=

647

424

742

Matriz antisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que su opuesta coincide

con su traspuesta , es decir que cumple que Ht=-H .Por ejemplo :

H=

017

104

740

2.-Atendiendo a sus elementos

Matriz nula :O=

000

000

000

000

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Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos. A=

600

020

002

Matriz escalar :es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal

iguales .A=

200

020

002

Matriz identidad: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal

iguales a 1. I=

100

010

001

Matriz triangular: son aquellas matrices en las que todos los elementos por debajo (

o por encima) de la diagonal principal son nulos

A=

600

120

532

3. OPERACIONES LINEALES CON MATRICES

Suma / resta : Deben ser de la misma dimensión .Sólo hay que sumar elemento

a elemento

717

414

147

223

650

231

Multiplicación por números : Se multiplica cada elemento por el número .

3

650

231=

18150

693

4. PRODUCTO DE MATRICES:

a) Producto escalar : (x , y , z ) ( x’ , y’ , z’ ) = xx’ +yy’ + zz’ .

EJEMPLO ( 1, 2 , 3 ) ( 4 , 5 , 6 ) = 4 + 10 + 18 = 32.

b) Producto de matriz fila por matriz columna : Exactamente igual.

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( x , y , z)

'z

'y

'x

= xx’ + yy’ +zz’

EJEMPLO : ( 1 , 2 , 3)

6

5

4

= 4 + 10 +18 = 32

c) Producto de dos matrices cualesquiera: Dada una matriz A( mxn) y otra B ( nxp)

se llama matriz C = AB a otra de dimensiones ( mxp ) de modo que cada elemento

cij se obtiene como producto escalar de la fila i de A por la columna j de B.

EJEMPLOS:

1.

43

21

87

65=

32182815

166145=

5043

2219. A( 2x2) B(2x2)

C(2x2)

2.

4

2

3

3

1

1

021

001=

087

043

062

. A( 3x2) B(2x3) C(3x3)

5. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

a. Asociativa (AB)C = A(BC)

b. Distributiva respecto a la suma de matrices A(B + C ) = AB + AC

c. El producto no es conmutativo es decir AB BA

43

21

87

65=

5043

2219

87

65

43

21=

4631

3423

d. Dada A Mn siempre existe una matriz IMn t.q AI = IA = A

e. Dada A Mn no siempre existe una matriz A-1Mn (llamada matriz inversa de

A)t.q A A-1 = A-1 A = I. Si esta matriz existe a la matriz A se la llama inversible o

regular .En caso contrario no inversible o singular.

Existen varios métodos para calcular la matriz inversa

1. Aplicando la definición.

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2. Método de Gauss

3. Mediante determinantes

EJEMPLO : Calcular la matriz inversa mediante la definición

A

43

21, necesitamos calcular una matriz A que cumpla que A A-1 =I.

Sea esta matriz

dc

ba, se cumple que

43

21

dc

ba=

10

01, es decir

dbca

dbca

4343

22=

10

01, pasando al sistema

02

143

043

12

db

db

ca

ca

con solución

50

51

1

2

,d

,c

b

a

, luego la matriz es A-1

5051

12

,,

6. RANGO DE UNA MATRIZ.

DEF: Se llama RANGO de una matriz al nº máximo de filas o columnas que son

linealmente independientes

DEF: Un conjunto de filas o columnas se dicen linealmente dependientes si una de

ellas se puede escribir como combinación lineal del resto. En caso contrario se dicen

linealmente independientes

DEF: Una fila( o columna ) F se puede escribir como combinación lineal de {F1 ,

F2 , …..Fn} si a1, a2, ….,an R que cumplen que F=a1F1+a2F2+……..+anFn

NOTAS:

1. En el caso de dos filas o columnas se dicen independientes si no son

proporcionales y son dependientes si son proporcionales.

2. Una fila o columna es l.i si no es nula. En caso contrario será dependiente.

3. Un conjunto de filas o columnas que contenga una fila( o columna nula )

será siempre l.d pues O = 0F1 +0F2 +….+0Fn

4. EL RANGO POR FILAS ES EL MISMO QUE EL RANGO POR

COLUMNAS

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EJEMPLOS:

1.

63

21 tiene dos filas dependientes pues F2=3F1 , luego el nº máximo de

filas o columnas es 1 ,es decir el rango es 1.

2.

73

21 tiene dos filas independientes pues F2 aF1 sea quien sea a, luego el

nº máximo de filas o columnas es 2 , es decir el rango es 2.

3.

4444

8765

4321

tiene tres filas y cuatro columnas con lo que el rango

máximo puede ser sólo tres. Además tiene tres filas dependientes pues F3=F2-

F1 ,es decir el rango no es 3.Como F1 y F2 no son proporcionales el rango

termina siendo 2

7. METODO DE GAUSS

En una matriz cualquiera determinar su rango no es siempre igual de fácil que en

estos ejemplos, bien porque las dimensiones pueden ser mayores que 3, bien porque

las combinaciones lineales usen coeficientes no enteros como fracciones o

irracionales. Por todo ello, para determinar el rango de una matriz se usa el método

de Gauss.

METODO DE GAUSS :

Consiste en convertir la matriz dada en triangular mediante operaciones elementales

aplicadas a filas o a columnas.

DEF : Se consideran operaciones elementales a aquellas que no varían el rango de la

matriz y son:

1. Permutar dos filas o columnas.

2. Sumar dos filas o columnas.

3. Multiplicar una fila o columna por un nº real distinto de 0

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4. =2+3 . Sumarle a una fila o columna otra previamente multiplicada por un

nº real no nulo

NOTA : Durante el proceso se pueden suprimir

1. Filas o columnas nulas.

2. Filas o columnas proporcionales a otras.

3. Filas o columnas combinación lineal de otras.

NOTA : El proceso finaliza cuando la matriz es triangular superior y no podemos

suprimir ninguna fila o columna .El nºde filas que queden coincide con el rango de la

matriz.

EJEMPLOS

1. A

43

21[F2=F2-3F1]

20

21 Rango 2.

2. B

987

654

321

133

122

7

4

FFF

FFF

1260

630

321

6

3

3

2

0

1Rango 2.

NOTA : Conviene que el elemento pivote que es de la columna el de la diagonal

principal sea un 1 , -1 o un divisor del resto de elementos de la columna, para que las

operaciones sean más sencillas .En caso negativo se pueden hacer permutaciones de

filas y/o columnas para obtener un buen elemento pivote.

3. B

413

112

012

12 CC

431

121

021

133

122

7

4

FFF

FFF

410

140

021

.

32 FF

140

410

021

[F3=F3+4F2]

1700

410

021

Rango 3

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8. METODO DE GAUSS PARA EL CALCULO DE LA MATRIZ

INVERSA

Consiste en transformar (si es posible ) la matriz que nos den en la matriz identidad

usando operaciones elementales aplicadas únicamente en filas .Mientras ,

aplicando esas mismas operaciones a la matriz identidad nos la transformarán en la

matriz inversa A -1.

EJEMPLO

100

010

001

431

341

331

133

122

FFF

FFF

101

011

001

100

010

331

[F1=F1-3F3]

101

011

304

100

010

031

[F1=F1-3F2]

101

011

337

100

010

001

Como ya hemos llegado a la matriz identidad A-1

101

011

337

Para comprobar si la matriz inversa es correcta o no se debe comprobar , aplicando

la definición es decir A A-1=I

431

341

331

101

011

337

=

100

010

001

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2.DETERMINANTES

1. NOTAS PREVIAS

El determinante de una matriz es un número no otra matriz.

No existen determinantes de matrices rectangulares, sólo de

matrices cuadradas.

2. PRIMERAS PROPIEDADES

Det (O) = 0.

Det (I) = 1.

Det (A) = producto de elementos de la diagonal principal, siendo A

una matriz diagonal o triangular.

700

350

652

=2 5 7 =70

Det ( A ) = Det ( At).

3. DETERMINANTES DE ORDEN 2

DEF: Dada A M2 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación

zytxtz

yx

EJEMPLO : 324143

21 = 4 - 6 = -2

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4. DETERMINANTES DE ORDEN 3

DEF: Dada A M3 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación

usando la llamada regla de Sarrus

h

e

b

g

d

a

ihg

fed

cba

ihg

fed

cba

-

h

e

b

g

d

a

ihg

fed

cba

EJEMPLO :

8

5

2

7

4

1

987

654

321

987

654

321

=159 +267+348-357-168-

249=45+84+96-105-72-48 = 225-225 = 0.

5. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Todas las propiedades que se enuncian a continuación son ciertas para determinantes

de cualquier orden y tanto para filas como para columnas.

1. Det ( F1+F1’,F2,F3)= Det ( F1,F2,F3) + Det ( F1’,F2,F3)

tz

'y'x

tz

yx

tz

'yy'xx

2. Det (F1,K F2,F3)=K Det (F1,F2,F3)

tz

yxk

tz

kykx .En general 2k

ktkz

yxk

ktkz

kykx

tz

yx

3. El determinante del producto de matrices es igual al producto de

los determinantes, es decir, Det(AB)=Det(A) Det(B)

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4. Si en un determinante permutamos dos filas o columnas, el

determinante cambia de signo

En efecto

031

020

321

=0+0+0+6-0-0=6. Si permutamos dos

filas

020

031

321

=0-6-0-0-0-0-0=-6

5. Un determinante con una fila o columna nula, igual o proporcional

a otra, o combinación lineal de otras vale 0.

Es decir Det(A)=0 Rango A <Máximo y por tanto

Det(A)0 Rango A =Máximo

6. Si a una fila o columna se le suma otra el determinante resultante

no varía

031

020

321

=6 . Si hacemos F2=F2+F1

031

301

321

=0+9+6-0-0-9=6.

7. Si a una fila o columna se le suma otra previamente multiplicada

por un nº real el determinante resultante no varía.

031

020

321

=6 . Si hacemos F3=F3+2F1

611

020

321

=12+0+0-6-0-0=6

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6. DETERMINATES DE ORDEN >3

DEF: Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama MATRIZ

COMPLEMENTERIA del elemento aij (Cij) a la que surge tras suprimir la fila i y la

columna j de la matriz A

EJEMPLO :

54

21

98

32

987

654

321

3321 C,CA

DEF : Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama ADJUNTO del

elemento aij (Aij) al determinante de la matriz complementaria precedido de un signo

, que será más(+) si i+j es par y menos(-)si i+j es impar

EJEMPLO :

38554

2162418

98

32

987

654

321

3321

C,)(AA

DEF: Dada A M4 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente

operación |A|= a11A11+a12A12+a13A13+a14A14=a12A12+a22A22+a32A32+a42A42=……

NOTA : Conviene por tanto ,para que este proceso resulte lo más sencillo posible

que la matriz posea la mayor cantidad de ceros posibles.

Si no los hay , se pueden obtener mediante operaciones del método de Gauss

Si permutamos dos filas o columnas el valor del determinante cambia de signo.

Si a una fila o columna le sumamos otra el valor del determinante no varía

Si a una fila o columna le sumamos otra previamente multiplicada por un nº no

nulo el valor del determinante no varía

Se puede con estas operaciones llevar el determinante a una reducción parcial o a una

reducción total

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###

###

###

###a

0

0

0(REDUCCION PARCIAL)

d

#c

##b

###a

000

00

0(REDUCCION TOTAL)

EJEMPLO:

1012

2231

1211

2101

=

3212

0131

1311

0001

2 144

133

CCC

CCC=DESARROLLANDO

POR ADJUNTOS =1A11+0A12+0A13+0A14=1

321

013

131

=-3-6+1+27=19.

7. APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES PARA EL

CÁLCULO DEL RANGO

Se ha visto que Det(A)=0 Rango A <Máximo y por tanto Det(A)0 Rango A

=Máximo

Esto lógicamente sólo se puede y debe aplicar a matrices cuadradas :por el contrario

en matrices rectangulares es cierto lo siguiente :

Se ha visto que si todos los Det(Ak)=0 Rango A <k y por tanto si existe

Det(Ak)0 Rango A k

Entonces para calcular el rango por determinantes se actúa del siguiente modo:

a) Matrices 3x4,3x5,3x6…Se toman dos columnas no

proporcionales C1 y C2 y se añaden una a una todas las

columnas restantes .Si alguno de estos determinantes es

distinto de cero, el rango es tres y si todos son iguales a cero

el rango es menor que tres.

b) Matrices 4x5,4x6, …Se toman tres columnas l.i C1 ,C2 ,C3

y se añaden una a una todas las columnas restantes .Si

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alguno de estos determinantes es distinto de cero, el rango

es cuatro y si todos son iguales a cero el rango es menor que

cuatro.

8. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR

DETERMINANTES

DEF : Dada la matriz A se llama MATRIZ ADJUNTA de A ( Adj(A) ) a aquella

que surge tras sustituir cada elemento por su adjunto.

NOTA :Todas las matrices cumplen que si las multiplicamos por la traspuesta de su

adjunta sale como resultado una matriz diagonal con Det (A) en ella , es decir :

A (Adj(A))t =

)A(Det

)A(Det

)A(Det

00

00

00

)A(Det

))A(Adj(A

t

=

100

010

001

de

donde se deduce que A-1= )A(Det

))A( Adj( t

NOTA : Para calcular la matriz inversa es condición necesaria y suficiente que tanto

Det(A)0 Rango A =Máximo

EJEMPLO: A

223

012

222

Adj (A)=

642

220

742

. (Adj (A))t=

327

224

102

.Por tanto en nuestro caso como Det (A) =

223

012

222

=-2

entonces la inversa de A es A-1=

312

7

212

101

.

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3.SISTEMAS DE ECUACIONES

1. GENERALIDADES

DEF : Se llama sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas a :

mnmnmm

nn

nn

bxa.......xaxa

.....................................................

bxa.......xaxa

bxa.......xaxa

2211

22222121

11212111

(1)

NOTA :Una ecuación es lineal si las incógnitas se hallan en combinación lineal

NOTA : Un sistema se dice lineal si todas las ecuaciones son lineales.

EJEMPLO : linealSistema zyx

zyx

85

32lineal noSistema

zyx

zyx

85

322

DEF: Se llama solución de un sistema como (1) a un conjunto de m números que

verifican a la vez a las m ecuaciones.

Según el nº de soluciones los sistemas se clasifican en :

1. COMPATIBLES: Si poseen alguna solución .Pueden ser:

i) COMPATIBLES DETERMINADOS ( S.C.D) : Si la solución es

única 1 y2x soluciónúnica como Tieneyx

yx

1

3

ii) COMPATIBLES INDETERMINADOS ( S.C.I) : Si hay varias

soluciones ( en nuestro caso, infinitas)

.........

2z1,y1,x

0z1,y3,x

1z0,y2,x

soluciones onS zy

zx

1

3

2. INCOMPATIBLES(S.I) : Si no poseen ninguna

solución 1. y 3 la veza sumar puden no números Tres zyx

zyx

1

3

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2. NOTACION MATRICIAL Y VECTORIAL DE UN SISTEMA

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede escribir en:

a) Notación estándar:

mnmnmm

nn

nn

bxa.......xaxa

.....................................................

bxa.......xaxa

bxa.......xaxa

2211

22222121

11212111

b) Notación matricial :Mx =b donde

M=(matriz de coeficientes)=

mnmm

n

n

a......aa

.................

a.......aa

a.......aa

21

22221

11211

x=

nx

.....

x

x

2

1

,b=

mb

.....

b

b

2

1

Si a la matriz de coeficientes le añadimos la columna de términos

independientes, aparece una nueva ,matriz llamada MATRIZ AMPLIADA

M*=

mmnmm

n

n

b

.....

b

b

a......aa

.................

a.......aa

a.......aa

2

1

21

22221

11211

c) Notación vectorial: C1x1+C2x2+……….+Cnxn=b siendo Ci y b las

columnas de la matriz M*.

3. SISTEMAS EQUIVALENTES

DEF: Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Es decir ,

toda solución del primero es solución del segundo y viceversa.

NOTA : Operaciones como sumar ecuaciones, cambiar de orden las ecuaciones o

multiplicar ecuaciones por números no nulos permiten pasar de un sistema a otro

equivalente :También suprimir ecuaciones iguales, proporcionales o combinación

lineal de otras causan el mismo efecto. En esto se basa el método de Gauss para

resolver sistemas lineales.

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4. TEOREMA DE ROUCHE

TEOREMA : Un sistema es compatible Rango M = Rango M*

CONSECUENCIAS

a. Rango M Rango M* El sistema es incompatible

b. Rango M = Rango M* nº incógnitas S.C.I (el nº de parámetros =nº

incógnitas-rango)

c. Rango M = Rango M*= nº incógnitas S.C.D

NOTA : Un sistema se dice homogéneo si todos sus términos independientes son

cero. Debido a esto al añadir una columna llena de ceros a la matriz M, el rango de

M*, no puede aumentar. Y se cumple que siempre Rango M = Rango M* por tanto

el sistema homogéneo es siempre compatible y posee siempre la solución trivial

es decir x=0,y=0,z=0,….

5. METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMAS

a) Método de Gauss :Consiste en triangularizar mediante operaciones

elementales aplicadas sólo a filas (en columnas sólo podemos permutar) a la

matriz ampliada M* para que así resulte inmediata su resolución .Se puede

aplicar a sistemas determinados e indeterminados.

i. S.C.D

4

6

2

8

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

Escribimos la matriz ampliada

M*

122020

142200

100220

811111

41111

61111

21111

81111

144

133

22

FFF

FFF

FFF

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164000

142200

100220

81111

22200

142200

100220

81111

344244 FFFFFF

Pasamos otra vez al sistema

164

1422

1022

8

t

tz

zy

tzyx

,es decir

123488

21062

314824

yztx

1 ECLA EN SUSTyy

2 ECLA EN SUSTzz3 ECLA EN SUSTt

en definitiva la solución es

4

3

2

1

t

z

y

x

ii. S.C.I

025

038

032

zyx

zyx

zyx

Pasamos a la matriz ampliada (en este caso como es un sistema

homogéneo, no es necesario escribir los ceros de los términos

independientes)

710

710

2313

521

183

231

125

381

132

133

122

13FFF

FFFCC

Pasamos al sistema

07

023

xy

xyzComo las matrices tienen rango 2

y el nº de incógnitas es 3 , hay que elegir un parámetro , en este caso

x=t.

ty

tyz

7

23y=7tz= 3y - 2t =19t.En definitiva

tz

ty

tx

19

7

Página 20 APUNTES MATEMATICAS II ALBERTO GARCIA

JARIA

Colegio Sagrado Corazón .Zaragoza

Método de Cramer

Se llama sistema de Cramer a aquel que cumple :

i. Es un sistema de n ecuaciones y n incógnitas.

ii. Tiene determinante distinto de cero

Esto trae como consecuencia que sólo se pueda aplicar para sistemas

S.C.D.Si tenemos un sistema en notación vectorial

C1x1+C2x2+…….+Cnxn=B , la solución se puede conseguir del

siguiente modo

x1=)C,.....,C,Cdet(

)C,.....,C,Bdet(

n

n

21

2 , x2=)C,.....,C,Cdet(

)C,.....,B,Cdet(

n

n

21

1 ,…,

xn=)C,.....,C,Cdet(

)B,.....,C,Cdet(

n21

21

Ejemplo :

223

4

72

zyx

zx

zyx

Entonces aplicando la regla de Cramer:

x=

14

4

410320

1440280

123

101

112

122

104

117

y=

24

8

410320

47122218

123

101

112

123

141

172

z=

34

12

410320

162012140

123

101

112

223

401

712