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1.MATRICES
1. DEFINICION, TERMINOLOGIA, TIPOS DE MATRICES Y
OPERACIONES LINEALES:
Definición : Se llama matriz de dimensiones m x n ( m filas y n columnas) a una
colección de datos expresados de la siguiente forma A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
....
...
...
21
22221
11211
Nota: Si m=n se dice que la matriz es de orden n .Como es lógico, el número total
de elementos es mn.
Definición : Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los
elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales .
Ejemplo : Las matrices A=
5043
2219y B =
5043
1922 son distintas aunque posean
los mismos elementos.
2. TIPOS DE MATRICES
1.- Atendiendo a su forma
Matriz fila :Es aquella que solo tiene una fila . A= 4321
Matriz columna : Es aquella que solo tiene una columna.B=
5
3
1
Matriz cuadrada. Si el número de filas es igual al de columnas .En caso de
que m y n sean distintas se dice rectangular.
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Ejemplos :
642
220
742
es una matriz cuadrada de orden 3 .
4032
10
41
es una matriz rectangular con tres filas y dos columnas.
Matriz traspuesta :.Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A ( At)
a aquella que surge tras cambiar las filas por columnas y viceversa.
Si B=
43
53
41
su traspuesta es Bt =
454
331.
Propiedades de la trasposición de matrices .
1) (A+B)t=At +Bt
2) (kA)t =k At siendo k un número.
3) (At)t =A
4) (AB)t=BtAt
Matriz simétrica :Es aquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta
, es decir que cumple que St=S. Por ejemplo S=
647
424
742
Matriz antisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que su opuesta coincide
con su traspuesta , es decir que cumple que Ht=-H .Por ejemplo :
H=
017
104
740
2.-Atendiendo a sus elementos
Matriz nula :O=
000
000
000
000
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Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos. A=
600
020
002
Matriz escalar :es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales .A=
200
020
002
Matriz identidad: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales a 1. I=
100
010
001
Matriz triangular: son aquellas matrices en las que todos los elementos por debajo (
o por encima) de la diagonal principal son nulos
A=
600
120
532
3. OPERACIONES LINEALES CON MATRICES
Suma / resta : Deben ser de la misma dimensión .Sólo hay que sumar elemento
a elemento
717
414
147
223
650
231
Multiplicación por números : Se multiplica cada elemento por el número .
3
650
231=
18150
693
4. PRODUCTO DE MATRICES:
a) Producto escalar : (x , y , z ) ( x’ , y’ , z’ ) = xx’ +yy’ + zz’ .
EJEMPLO ( 1, 2 , 3 ) ( 4 , 5 , 6 ) = 4 + 10 + 18 = 32.
b) Producto de matriz fila por matriz columna : Exactamente igual.
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( x , y , z)
'z
'y
'x
= xx’ + yy’ +zz’
EJEMPLO : ( 1 , 2 , 3)
6
5
4
= 4 + 10 +18 = 32
c) Producto de dos matrices cualesquiera: Dada una matriz A( mxn) y otra B ( nxp)
se llama matriz C = AB a otra de dimensiones ( mxp ) de modo que cada elemento
cij se obtiene como producto escalar de la fila i de A por la columna j de B.
EJEMPLOS:
1.
43
21
87
65=
32182815
166145=
5043
2219. A( 2x2) B(2x2)
C(2x2)
2.
4
2
3
3
1
1
021
001=
087
043
062
. A( 3x2) B(2x3) C(3x3)
5. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
a. Asociativa (AB)C = A(BC)
b. Distributiva respecto a la suma de matrices A(B + C ) = AB + AC
c. El producto no es conmutativo es decir AB BA
43
21
87
65=
5043
2219
87
65
43
21=
4631
3423
d. Dada A Mn siempre existe una matriz IMn t.q AI = IA = A
e. Dada A Mn no siempre existe una matriz A-1Mn (llamada matriz inversa de
A)t.q A A-1 = A-1 A = I. Si esta matriz existe a la matriz A se la llama inversible o
regular .En caso contrario no inversible o singular.
Existen varios métodos para calcular la matriz inversa
1. Aplicando la definición.
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2. Método de Gauss
3. Mediante determinantes
EJEMPLO : Calcular la matriz inversa mediante la definición
A
43
21, necesitamos calcular una matriz A que cumpla que A A-1 =I.
Sea esta matriz
dc
ba, se cumple que
43
21
dc
ba=
10
01, es decir
dbca
dbca
4343
22=
10
01, pasando al sistema
02
143
043
12
db
db
ca
ca
con solución
50
51
1
2
,d
,c
b
a
, luego la matriz es A-1
5051
12
,,
6. RANGO DE UNA MATRIZ.
DEF: Se llama RANGO de una matriz al nº máximo de filas o columnas que son
linealmente independientes
DEF: Un conjunto de filas o columnas se dicen linealmente dependientes si una de
ellas se puede escribir como combinación lineal del resto. En caso contrario se dicen
linealmente independientes
DEF: Una fila( o columna ) F se puede escribir como combinación lineal de {F1 ,
F2 , …..Fn} si a1, a2, ….,an R que cumplen que F=a1F1+a2F2+……..+anFn
NOTAS:
1. En el caso de dos filas o columnas se dicen independientes si no son
proporcionales y son dependientes si son proporcionales.
2. Una fila o columna es l.i si no es nula. En caso contrario será dependiente.
3. Un conjunto de filas o columnas que contenga una fila( o columna nula )
será siempre l.d pues O = 0F1 +0F2 +….+0Fn
4. EL RANGO POR FILAS ES EL MISMO QUE EL RANGO POR
COLUMNAS
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EJEMPLOS:
1.
63
21 tiene dos filas dependientes pues F2=3F1 , luego el nº máximo de
filas o columnas es 1 ,es decir el rango es 1.
2.
73
21 tiene dos filas independientes pues F2 aF1 sea quien sea a, luego el
nº máximo de filas o columnas es 2 , es decir el rango es 2.
3.
4444
8765
4321
tiene tres filas y cuatro columnas con lo que el rango
máximo puede ser sólo tres. Además tiene tres filas dependientes pues F3=F2-
F1 ,es decir el rango no es 3.Como F1 y F2 no son proporcionales el rango
termina siendo 2
7. METODO DE GAUSS
En una matriz cualquiera determinar su rango no es siempre igual de fácil que en
estos ejemplos, bien porque las dimensiones pueden ser mayores que 3, bien porque
las combinaciones lineales usen coeficientes no enteros como fracciones o
irracionales. Por todo ello, para determinar el rango de una matriz se usa el método
de Gauss.
METODO DE GAUSS :
Consiste en convertir la matriz dada en triangular mediante operaciones elementales
aplicadas a filas o a columnas.
DEF : Se consideran operaciones elementales a aquellas que no varían el rango de la
matriz y son:
1. Permutar dos filas o columnas.
2. Sumar dos filas o columnas.
3. Multiplicar una fila o columna por un nº real distinto de 0
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4. =2+3 . Sumarle a una fila o columna otra previamente multiplicada por un
nº real no nulo
NOTA : Durante el proceso se pueden suprimir
1. Filas o columnas nulas.
2. Filas o columnas proporcionales a otras.
3. Filas o columnas combinación lineal de otras.
NOTA : El proceso finaliza cuando la matriz es triangular superior y no podemos
suprimir ninguna fila o columna .El nºde filas que queden coincide con el rango de la
matriz.
EJEMPLOS
1. A
43
21[F2=F2-3F1]
20
21 Rango 2.
2. B
987
654
321
133
122
7
4
FFF
FFF
1260
630
321
6
3
3
2
0
1Rango 2.
NOTA : Conviene que el elemento pivote que es de la columna el de la diagonal
principal sea un 1 , -1 o un divisor del resto de elementos de la columna, para que las
operaciones sean más sencillas .En caso negativo se pueden hacer permutaciones de
filas y/o columnas para obtener un buen elemento pivote.
3. B
413
112
012
12 CC
431
121
021
133
122
7
4
FFF
FFF
410
140
021
.
32 FF
140
410
021
[F3=F3+4F2]
1700
410
021
Rango 3
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8. METODO DE GAUSS PARA EL CALCULO DE LA MATRIZ
INVERSA
Consiste en transformar (si es posible ) la matriz que nos den en la matriz identidad
usando operaciones elementales aplicadas únicamente en filas .Mientras ,
aplicando esas mismas operaciones a la matriz identidad nos la transformarán en la
matriz inversa A -1.
EJEMPLO
100
010
001
431
341
331
133
122
FFF
FFF
101
011
001
100
010
331
[F1=F1-3F3]
101
011
304
100
010
031
[F1=F1-3F2]
101
011
337
100
010
001
Como ya hemos llegado a la matriz identidad A-1
101
011
337
Para comprobar si la matriz inversa es correcta o no se debe comprobar , aplicando
la definición es decir A A-1=I
431
341
331
101
011
337
=
100
010
001
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2.DETERMINANTES
1. NOTAS PREVIAS
El determinante de una matriz es un número no otra matriz.
No existen determinantes de matrices rectangulares, sólo de
matrices cuadradas.
2. PRIMERAS PROPIEDADES
Det (O) = 0.
Det (I) = 1.
Det (A) = producto de elementos de la diagonal principal, siendo A
una matriz diagonal o triangular.
700
350
652
=2 5 7 =70
Det ( A ) = Det ( At).
3. DETERMINANTES DE ORDEN 2
DEF: Dada A M2 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación
zytxtz
yx
EJEMPLO : 324143
21 = 4 - 6 = -2
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4. DETERMINANTES DE ORDEN 3
DEF: Dada A M3 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente operación
usando la llamada regla de Sarrus
h
e
b
g
d
a
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
-
h
e
b
g
d
a
ihg
fed
cba
EJEMPLO :
8
5
2
7
4
1
987
654
321
987
654
321
=159 +267+348-357-168-
249=45+84+96-105-72-48 = 225-225 = 0.
5. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Todas las propiedades que se enuncian a continuación son ciertas para determinantes
de cualquier orden y tanto para filas como para columnas.
1. Det ( F1+F1’,F2,F3)= Det ( F1,F2,F3) + Det ( F1’,F2,F3)
tz
'y'x
tz
yx
tz
'yy'xx
2. Det (F1,K F2,F3)=K Det (F1,F2,F3)
tz
yxk
tz
kykx .En general 2k
ktkz
yxk
ktkz
kykx
tz
yx
3. El determinante del producto de matrices es igual al producto de
los determinantes, es decir, Det(AB)=Det(A) Det(B)
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4. Si en un determinante permutamos dos filas o columnas, el
determinante cambia de signo
En efecto
031
020
321
=0+0+0+6-0-0=6. Si permutamos dos
filas
020
031
321
=0-6-0-0-0-0-0=-6
5. Un determinante con una fila o columna nula, igual o proporcional
a otra, o combinación lineal de otras vale 0.
Es decir Det(A)=0 Rango A <Máximo y por tanto
Det(A)0 Rango A =Máximo
6. Si a una fila o columna se le suma otra el determinante resultante
no varía
031
020
321
=6 . Si hacemos F2=F2+F1
031
301
321
=0+9+6-0-0-9=6.
7. Si a una fila o columna se le suma otra previamente multiplicada
por un nº real el determinante resultante no varía.
031
020
321
=6 . Si hacemos F3=F3+2F1
611
020
321
=12+0+0-6-0-0=6
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6. DETERMINATES DE ORDEN >3
DEF: Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama MATRIZ
COMPLEMENTERIA del elemento aij (Cij) a la que surge tras suprimir la fila i y la
columna j de la matriz A
EJEMPLO :
54
21
98
32
987
654
321
3321 C,CA
DEF : Dada A Mn , y aij un elemento de dicha matriz, se llama ADJUNTO del
elemento aij (Aij) al determinante de la matriz complementaria precedido de un signo
, que será más(+) si i+j es par y menos(-)si i+j es impar
EJEMPLO :
38554
2162418
98
32
987
654
321
3321
C,)(AA
DEF: Dada A M4 ,se llama determinante de A al resultado de la siguiente
operación |A|= a11A11+a12A12+a13A13+a14A14=a12A12+a22A22+a32A32+a42A42=……
NOTA : Conviene por tanto ,para que este proceso resulte lo más sencillo posible
que la matriz posea la mayor cantidad de ceros posibles.
Si no los hay , se pueden obtener mediante operaciones del método de Gauss
Si permutamos dos filas o columnas el valor del determinante cambia de signo.
Si a una fila o columna le sumamos otra el valor del determinante no varía
Si a una fila o columna le sumamos otra previamente multiplicada por un nº no
nulo el valor del determinante no varía
Se puede con estas operaciones llevar el determinante a una reducción parcial o a una
reducción total
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###
###
###
###a
0
0
0(REDUCCION PARCIAL)
d
#c
##b
###a
000
00
0(REDUCCION TOTAL)
EJEMPLO:
1012
2231
1211
2101
=
3212
0131
1311
0001
2 144
133
CCC
CCC=DESARROLLANDO
POR ADJUNTOS =1A11+0A12+0A13+0A14=1
321
013
131
=-3-6+1+27=19.
7. APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES PARA EL
CÁLCULO DEL RANGO
Se ha visto que Det(A)=0 Rango A <Máximo y por tanto Det(A)0 Rango A
=Máximo
Esto lógicamente sólo se puede y debe aplicar a matrices cuadradas :por el contrario
en matrices rectangulares es cierto lo siguiente :
Se ha visto que si todos los Det(Ak)=0 Rango A <k y por tanto si existe
Det(Ak)0 Rango A k
Entonces para calcular el rango por determinantes se actúa del siguiente modo:
a) Matrices 3x4,3x5,3x6…Se toman dos columnas no
proporcionales C1 y C2 y se añaden una a una todas las
columnas restantes .Si alguno de estos determinantes es
distinto de cero, el rango es tres y si todos son iguales a cero
el rango es menor que tres.
b) Matrices 4x5,4x6, …Se toman tres columnas l.i C1 ,C2 ,C3
y se añaden una a una todas las columnas restantes .Si
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alguno de estos determinantes es distinto de cero, el rango
es cuatro y si todos son iguales a cero el rango es menor que
cuatro.
8. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR
DETERMINANTES
DEF : Dada la matriz A se llama MATRIZ ADJUNTA de A ( Adj(A) ) a aquella
que surge tras sustituir cada elemento por su adjunto.
NOTA :Todas las matrices cumplen que si las multiplicamos por la traspuesta de su
adjunta sale como resultado una matriz diagonal con Det (A) en ella , es decir :
A (Adj(A))t =
)A(Det
)A(Det
)A(Det
00
00
00
)A(Det
))A(Adj(A
t
=
100
010
001
de
donde se deduce que A-1= )A(Det
))A( Adj( t
NOTA : Para calcular la matriz inversa es condición necesaria y suficiente que tanto
Det(A)0 Rango A =Máximo
EJEMPLO: A
223
012
222
Adj (A)=
642
220
742
. (Adj (A))t=
327
224
102
.Por tanto en nuestro caso como Det (A) =
223
012
222
=-2
entonces la inversa de A es A-1=
312
7
212
101
.
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3.SISTEMAS DE ECUACIONES
1. GENERALIDADES
DEF : Se llama sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas a :
mnmnmm
nn
nn
bxa.......xaxa
.....................................................
bxa.......xaxa
bxa.......xaxa
2211
22222121
11212111
(1)
NOTA :Una ecuación es lineal si las incógnitas se hallan en combinación lineal
NOTA : Un sistema se dice lineal si todas las ecuaciones son lineales.
EJEMPLO : linealSistema zyx
zyx
85
32lineal noSistema
zyx
zyx
85
322
DEF: Se llama solución de un sistema como (1) a un conjunto de m números que
verifican a la vez a las m ecuaciones.
Según el nº de soluciones los sistemas se clasifican en :
1. COMPATIBLES: Si poseen alguna solución .Pueden ser:
i) COMPATIBLES DETERMINADOS ( S.C.D) : Si la solución es
única 1 y2x soluciónúnica como Tieneyx
yx
1
3
ii) COMPATIBLES INDETERMINADOS ( S.C.I) : Si hay varias
soluciones ( en nuestro caso, infinitas)
.........
2z1,y1,x
0z1,y3,x
1z0,y2,x
soluciones onS zy
zx
1
3
2. INCOMPATIBLES(S.I) : Si no poseen ninguna
solución 1. y 3 la veza sumar puden no números Tres zyx
zyx
1
3
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2. NOTACION MATRICIAL Y VECTORIAL DE UN SISTEMA
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede escribir en:
a) Notación estándar:
mnmnmm
nn
nn
bxa.......xaxa
.....................................................
bxa.......xaxa
bxa.......xaxa
2211
22222121
11212111
b) Notación matricial :Mx =b donde
M=(matriz de coeficientes)=
mnmm
n
n
a......aa
.................
a.......aa
a.......aa
21
22221
11211
x=
nx
.....
x
x
2
1
,b=
mb
.....
b
b
2
1
Si a la matriz de coeficientes le añadimos la columna de términos
independientes, aparece una nueva ,matriz llamada MATRIZ AMPLIADA
M*=
mmnmm
n
n
b
.....
b
b
a......aa
.................
a.......aa
a.......aa
2
1
21
22221
11211
c) Notación vectorial: C1x1+C2x2+……….+Cnxn=b siendo Ci y b las
columnas de la matriz M*.
3. SISTEMAS EQUIVALENTES
DEF: Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Es decir ,
toda solución del primero es solución del segundo y viceversa.
NOTA : Operaciones como sumar ecuaciones, cambiar de orden las ecuaciones o
multiplicar ecuaciones por números no nulos permiten pasar de un sistema a otro
equivalente :También suprimir ecuaciones iguales, proporcionales o combinación
lineal de otras causan el mismo efecto. En esto se basa el método de Gauss para
resolver sistemas lineales.
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4. TEOREMA DE ROUCHE
TEOREMA : Un sistema es compatible Rango M = Rango M*
CONSECUENCIAS
a. Rango M Rango M* El sistema es incompatible
b. Rango M = Rango M* nº incógnitas S.C.I (el nº de parámetros =nº
incógnitas-rango)
c. Rango M = Rango M*= nº incógnitas S.C.D
NOTA : Un sistema se dice homogéneo si todos sus términos independientes son
cero. Debido a esto al añadir una columna llena de ceros a la matriz M, el rango de
M*, no puede aumentar. Y se cumple que siempre Rango M = Rango M* por tanto
el sistema homogéneo es siempre compatible y posee siempre la solución trivial
es decir x=0,y=0,z=0,….
5. METODOS DE RESOLUCION DE SISTEMAS
a) Método de Gauss :Consiste en triangularizar mediante operaciones
elementales aplicadas sólo a filas (en columnas sólo podemos permutar) a la
matriz ampliada M* para que así resulte inmediata su resolución .Se puede
aplicar a sistemas determinados e indeterminados.
i. S.C.D
4
6
2
8
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
Escribimos la matriz ampliada
M*
122020
142200
100220
811111
41111
61111
21111
81111
144
133
22
FFF
FFF
FFF
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164000
142200
100220
81111
22200
142200
100220
81111
344244 FFFFFF
Pasamos otra vez al sistema
164
1422
1022
8
t
tz
zy
tzyx
,es decir
123488
21062
314824
yztx
1 ECLA EN SUSTyy
2 ECLA EN SUSTzz3 ECLA EN SUSTt
en definitiva la solución es
4
3
2
1
t
z
y
x
ii. S.C.I
025
038
032
zyx
zyx
zyx
Pasamos a la matriz ampliada (en este caso como es un sistema
homogéneo, no es necesario escribir los ceros de los términos
independientes)
710
710
2313
521
183
231
125
381
132
133
122
13FFF
FFFCC
Pasamos al sistema
07
023
xy
xyzComo las matrices tienen rango 2
y el nº de incógnitas es 3 , hay que elegir un parámetro , en este caso
x=t.
ty
tyz
7
23y=7tz= 3y - 2t =19t.En definitiva
tz
ty
tx
19
7
Página 20 APUNTES MATEMATICAS II ALBERTO GARCIA
JARIA
Colegio Sagrado Corazón .Zaragoza
Método de Cramer
Se llama sistema de Cramer a aquel que cumple :
i. Es un sistema de n ecuaciones y n incógnitas.
ii. Tiene determinante distinto de cero
Esto trae como consecuencia que sólo se pueda aplicar para sistemas
S.C.D.Si tenemos un sistema en notación vectorial
C1x1+C2x2+…….+Cnxn=B , la solución se puede conseguir del
siguiente modo
x1=)C,.....,C,Cdet(
)C,.....,C,Bdet(
n
n
21
2 , x2=)C,.....,C,Cdet(
)C,.....,B,Cdet(
n
n
21
1 ,…,
xn=)C,.....,C,Cdet(
)B,.....,C,Cdet(
n21
21
Ejemplo :
223
4
72
zyx
zx
zyx
Entonces aplicando la regla de Cramer:
x=
14
4
410320
1440280
123
101
112
122
104
117
y=
24
8
410320
47122218
123
101
112
123
141
172
z=
34
12
410320
162012140
123
101
112
223
401
712