Pgina 2 APUNTES MATEMATICAS II ALBERTO GARCIA JARIA

Colegio Sagrado Corazn .Zaragoza

1.MATRICES

1. DEFINICION, TERMINOLOGIA, TIPOS DE MATRICES Y OPERACIONES LINEALES:

Definicin : Se llama matriz de dimensiones m x n ( m filas y n columnas) a una

coleccin de datos expresados de la siguiente forma A=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

....

...

...

21

22221

11211

Nota: Si m=n se dice que la matriz es de orden n .Como es lgico, el nmero total

de elementos es mn.

Definicin : Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los

elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales .

Ejemplo : Las matrices A=

5043

2219y B =

5043

1922 son distintas aunque posean

los mismos elementos.

2. TIPOS DE MATRICES 1.- Atendiendo a su forma

Matriz fila :Es aquella que solo tiene una fila . A= 4321

Matriz columna : Es aquella que solo tiene una columna.B=

5

3

1

Matriz cuadrada. Si el nmero de filas es igual al de columnas .En caso de

que m y n sean distintas se dice rectangular.

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Ejemplos :

642

220

742

es una matriz cuadrada de orden 3 .

4032

10

41

es una matriz rectangular con tres filas y dos columnas.

Matriz traspuesta :.Dada una matriz A se llama matriz traspuesta de A ( At)

a aquella que surge tras cambiar las filas por columnas y viceversa.

Si B=

43

53

41

su traspuesta es Bt =

454

331.

Propiedades de la trasposicin de matrices .

1) (A+B)t=At +Bt

2) (kA)t =k At siendo k un nmero.

3) (At)t =A

4) (AB)t=BtAt

Matriz simtrica :Es aquella matriz cuadrada que coincide con su traspuesta

, es decir que cumple que St=S. Por ejemplo S=

647

424

742

Matriz antisimtrica: Es aquella matriz cuadrada que su opuesta coincide

con su traspuesta , es decir que cumple que Ht=-H .Por ejemplo :

H=

017

104

740

2.-Atendiendo a sus elementos

Matriz nula :O=

000

000

000

000

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Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos. A=

600

020

002

Matriz escalar :es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal

iguales .A=

200

020

002

Matriz identidad: es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal

iguales a 1. I=

100

010

001

Matriz triangular: son aquellas matrices en las que todos los elementos por debajo (

o por encima) de la diagonal principal son nulos

A=

600

120

532

3. OPERACIONES LINEALES CON MATRICES Suma / resta : Deben ser de la misma dimensin .Slo hay que sumar elemento

a elemento

717

414

147

223

650

231

Multiplicacin por nmeros : Se multiplica cada elemento por el nmero .

3

650

231=

18150

693

4. PRODUCTO DE MATRICES: a) Producto escalar : (x , y , z ) ( x , y , z ) = xx +yy + zz .

EJEMPLO ( 1, 2 , 3 ) ( 4 , 5 , 6 ) = 4 + 10 + 18 = 32.

b) Producto de matriz fila por matriz columna : Exactamente igual.

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( x , y , z)

'z

'y

'x

= xx + yy +zz

EJEMPLO : ( 1 , 2 , 3)

6

5

4

= 4 + 10 +18 = 32

c) Producto de dos matrices cualesquiera: Dada una matriz A( mxn) y otra B ( nxp)

se llama matriz C = AB a otra de dimensiones ( mxp ) de modo que cada elemento

cij se obtiene como producto escalar de la fila i de A por la columna j de B.

EJEMPLOS:

1.

43

21

87

65=

32182815

166145=

5043

2219. A( 2x2) B(2x2)

C(2x2)

2.

4

2

3

3

1

1

021

001=

087

043

062

. A( 3x2) B(2x3) C(3x3)

5. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

a. Asociativa (AB)C = A(BC)

b. Distributiva respecto a la suma de matrices A(B + C ) = AB + AC

c. El producto no es conmutativo es decir AB BA

43

21

87

65=

5043

2219

87

65

43

21=

4631

3423

d. Dada A Mn siempre existe una matriz IMn t.q AI = IA = A

e. Dada A Mn no siempre existe una matriz A-1Mn (llamada matriz inversa de

A)t.q A A-1 = A-1 A = I. Si esta matriz existe a la matriz A se la llama inversible o

regular .En caso contrario no inversible o singular.

Existen varios mtodos para calcular la matriz inversa

1. Aplicando la definicin.

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2. Mtodo de Gauss

3. Mediante determinantes

EJEMPLO : Calcular la matriz inversa mediante la definicin

A

43

21, necesitamos calcular una matriz A que cumpla que A A-1 =I.

Sea esta matriz

dc

ba, se cumple que

43

21

dc

ba=

10

01, es decir

dbca

dbca

4343

22=

10

01, pasando al sistema

02

143

043

12

db

db

ca

ca

con solucin

50

51

1

2

,d

,c

b

a

, luego la matriz es A-1

5051

12

,,

6. RANGO DE UNA MATRIZ.

DEF: Se llama RANGO de una matriz al n mximo de filas o columnas que son

linealmente independientes

DEF: Un conjunto de filas o columnas se dicen linealmente dependientes si una de

ellas se puede escribir como combinacin lineal del resto. En caso contrario se dicen

linealmente independientes

DEF: Una fila( o columna ) F se puede escribir como combinacin lineal de {F1 ,

F2 , ..Fn} si a1, a2, .,an R que cumplen que F=a1F1+a2F2+..+anFn

NOTAS:

1. En el caso de dos filas o columnas se dicen independientes si no son

proporcionales y son dependientes si son proporcionales.

2. Una fila o columna es l.i si no es nula. En caso contrario ser dependiente.

3. Un conjunto de filas o columnas que contenga una fila( o columna nula )

ser siempre l.d pues O = 0F1 +0F2 +.+0Fn

4. EL RANGO POR FILAS ES EL MISMO QUE EL RANGO POR

COLUMNAS

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EJEMPLOS:

1.

63

21 tiene dos filas dependientes pues F2=3F1 , luego el n mximo de

filas o columnas es 1 ,es decir el rango es 1.

2.

73

21 tiene dos filas independientes pues F2 aF1 sea quien sea a, luego el

n mximo de filas o columnas es 2 , es decir el rango es 2.

3.

4444

8765

4321

tiene tres filas y cuatro columnas con lo que el rango

mximo puede ser slo tres. Adems tiene tres filas dependientes pues F3=F2-

F1 ,es decir el rango no es 3.Como F1 y F2 no son proporcionales el rango

termina siendo 2

7. METODO DE GAUSS

En una matriz cualquiera determinar su rango no es siempre igual de fcil que en

estos ejemplos, bien porque las dimensiones pueden ser mayores que 3, bien porque

las combinaciones lineales usen coeficientes no enteros como fracciones o

irracionales. Por todo ello, para determinar el rango de una matriz se usa el mtodo

de Gauss.

METODO DE GAUSS :

Consiste en convertir la matriz dada en triangular mediante operaciones elementales

aplicadas a filas o a columnas.

DEF : Se consideran operaciones elementales a aquellas que no varan el rango de la

matriz y son:

1. Permutar dos filas o columnas.

2. Sumar dos filas o columnas.

3. Multiplicar una fila o columna por un n real distinto de 0

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4. =2+3 . Sumarle a una fila o columna otra previamente multiplicada por un

n real no nulo

NOTA : Durante el proceso se pueden suprimir

1. Filas o columnas nulas.

2. Filas o columnas proporcionales a otras.

3. Filas o columnas combinacin lineal de otras.

NOTA : El proceso finaliza cuando la matriz es triangular superior y no podemos

suprimir ninguna fila o columna .El nde filas que queden coincide con el rango de la

matriz.

EJEMPLOS

1. A

43

21[F2=F2-3F1]

20

21 Rango 2.

2. B

987

654

321

133

122

7

4

FFF

FFF

1260

630

321

6

3

3

2

0

1Rango 2.

NOTA : Conviene que el elemento pivote que es de la columna el de la diagonal

principal sea un 1 , -1 o un divisor del resto de elementos de la columna, para que las

operaciones sean ms sencillas .En caso negativo se pueden hacer permutaciones de

filas y/o columnas para obtener un buen elemento pivote.

3. B

413

112

012

12 CC

431

121

021

133

122

7

4

FFF

FFF

410

140

021

.

32 FF

140

410

021

[F3=F3+4F2]

1700

410

021