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Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo 1 TEMA 8: MATRICES 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ 2. IGUALDAD DE MATRICES 3. TIPOS DE MATRICES 4. OPERACIONES CON MATRICES 4.1.- SUMA DE MATRICES 4.2.- PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ 4.3.- PRODUCTO DE MATRICES 5. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ 6. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ (REGULAR) 7. ECUACIONES MATRICIALES 8. SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES 9. CÁLCULO DE POTENCIAS DE MATRICES 10. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ 11. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de números reales colocados “rectangularmente” encerrados entre paréntesis, corchete o doble barra. Fila de una matriz son las líneas horizontales y columnas las verticales. Ejemplo: 1 5 8 2 3 0 4 1 1 1 5 8 2 3 0 4 1 1 1 5 8 2 3 0 4 1 1 Para notar una matriz se utiliza o: una letra mayúscula, por ejemplo A, o también ij a Ejemplo: ij a A 1 5 8 2 3 0 4 1 1 Si queremos referirnos a un único elemento o entrada de una matriz, se utiliza la misma letra que la de todo la matriz sin doble paréntesis con doble subíndice ij a el primero " " i se refiere a la fila y el segundo " " j a la columna. Ejemplo: 1 2 0 5 1 1 5 8 2 3 0 4 1 1 33 23 21 32 12 a a a a a A Se llama dimensión de una matriz al número (sin efectuar) de filas por columnas n x m dimensión de A n x m tiene “m” filas y “n” columnas.

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Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

TEMA 8: MATRICES

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

2. IGUALDAD DE MATRICES

3. TIPOS DE MATRICES

4. OPERACIONES CON MATRICES

4.1.- SUMA DE MATRICES

4.2.- PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ

4.3.- PRODUCTO DE MATRICES

5. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ

6. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ (REGULAR)

7. ECUACIONES MATRICIALES

8. SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES

9. CÁLCULO DE POTENCIAS DE MATRICES

10. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ

11. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es un conjunto de números reales colocados “rectangularmente” encerrados entre paréntesis, corchete o doble barra. Fila de una matriz son las líneas horizontales y columnas las verticales. Ejemplo:

158

230

411

158

230

411

158

230

411

Para notar una matriz se utiliza o: una letra mayúscula, por ejemplo A, o también

ija

Ejemplo:

ijaA

158

230

411

Si queremos referirnos a un único elemento o entrada de una matriz, se utiliza la

misma letra que la de todo la matriz sin doble paréntesis con doble subíndice ija el

primero ""i se refiere a la fila y el segundo "" j a la columna.

Ejemplo:

12051

158

230

411

3323213212

aaaaaA

Se llama dimensión de una matriz al número (sin efectuar) de filas por columnas

nxmdimensióndeA nxm tiene “m” filas y “n” columnas.

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2

Cuando mn se denomina matriz rectangular y cuando mn se denomina matriz cuadrada de orden “n”. Ejemplo:

2 3 3

1 1 42 5 0

rectangular 2 x3 0 3 2 35 1 3

8 5 1xA B cuadrada de orden

Sea A una

matriz cuadrada de orden “n”, esto es nA , se denomina:

Diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos de la forma

niaii ,....3,2,1

Ejemplo: 431

452

230

411

3322113

aaaB

Diagonal secundaria son los elementos de la forma 1 njiconaij

Ejemplo: 234

452

230

411

3122133

aaaB

2. IGUALDAD DE MATRICES

Sean A y B dos matrices, diremos que son iguales cuando sean del mismo orden mxn

y además n,.......,jm,......,iba ijij 2121

Ejemplo:

2 1 4 /2 log 10

1,2 1,20 1 0 1 ij ijA B a b i j

3. TIPOS DE MATRICES

Matriz fila es la que tiene una única fila, esto es mxA 1

Ejemplo: 108241 xA

Matriz columna es la que tiene una sola columna, esto es 1xnA

Ejemplo:

3

0

9

13 xA

Matriz traspuesta de una matriz dada es la que resulta de cambiar filas por

columnas. Si la matriz dada es A, notaremos su transpuesta como AoA t

Se verifica que: tttttttt ABBABABAAA

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3

Ejemplo:

60

24

13

621

043

en elser a pasaA de elemento El

n xmorden de es Simxnorden de es Si

2332 xt

x

t

jiij

t

AA

Aaa

AA

Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su

transpuesta, esto es: tAA , para lo cual necesariamente jiaa ji ij

Ejemplo: 4 2 3 4 2 3

2 0 0 2 0 0

3 0 1 3 0 1

tA A

Matriz nula es la que tiene todos sus elementos nulos.

Ejemplo: 23

00

00

00

23 xordendenulamatrizN x

Matriz diagonal es una matriz cuadrada en que todas las entradas que no son

de la diagonal principal son nulas, esto es jia 0ij

Ejemplo: jiaD

0

100

000

004

ij3

Matriz escalar es una matriz diagonal en que todas las entradas son iguales, esto es

Rkka ii

Ejemplo: jiayaE ii

04

400

040

004

ij3

Matriz unidad o identidad es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal valen 1 uno. se representa por In

Ejemplo:

100

010

001

10

0132 II

Matriz triangular superior es una matriz cuadrada en que todos los elementos

por debajo de la diagonal principal son nulos, esto es jia 0ij

Ejemplo: jiaT

0

100

000

324

ij3

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4

Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en que todos los elementos

por encima de la diagonal principal son nulos, esto es jia 0ij

Ejemplo: jiaS

0

140

003

004

ij3

4. OPERACIONES CON MATRICES

Denotemos por M m x n al conjunto de matrices de orden m x n. Sean nxmMB,A

4.1.- SUMA DE MATRICES

La matriz suma C = A + B es aquella cuyas entradas son las sumas de las entradas, esto

es n,......,jm,....,ibac ijijij 2121

Nota: para poder sumar dos matrices han de tener la misma dimensión.

Ejemplo:

425

113

113

012

312

101BABA

4.2.- PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ

Sea n,....,jm,....,iaAMAyR ijnxm 2121

Esto es, los elementos de la matriz ijaA se obtienen multiplicando los

elementos de la matriz A por el escalar R .

Ejemplo:

624

2022

312

1012 AA

4.3.- PRODUCTO DE MATRICES

El producto de matrices no siempre está definido. Para que dos matrices sean multiplicables, el número de columnas del primer factor tiene que coincidir con el de filas del segundo factor, y el matriz producto tendrá dimensión filas del primero por columnas del segundo, esto es:

pxmpxnnxm MBACMBMA

Se multiplican filas de la primera matriz por columnas de la segunda matriz.

p,.......,,jm,.......,,ibacBAC

MBACMBMA

n

k

kjikij

pxmpxnnxm

21211

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5

Ejemplo:

Puede existir el producto BA y no AB , y pueden existir ambos y no ser iguales. Por tanto, en general, el producto de matrices no es conmutativo. Curiosidad: Cuando se trata de números reales si el producto de dos factores es nulo entonces necesariamente al menos ha de ser nulo uno de los factores, esto es:

000 boaba

Sin embargo cuando se trabaja con matrices NO tiene porqué ser así, esto es

ByAyBA:Ejemplo

BoA que mente necesariaimplica no nula)(matrizBA

00

00

10

00

00

01

Ejemplo:

e realizarspuede noABBA

MBAMB,MABA xxx

237

132

120

113

012

312

101323332

Ejemplo:

26

68

2

1

0

3

2

1

141

301

2

1

0

3

2

1

141

301

222332

BA

MBAMB,MA

BA

xxx

781

541

301

141

301

2

1

0

3

2

1

, 332332

AB

MABMBMA xxx

22121211

1

2112

22221221

1

2222

bababac

bababac

n

k

kk

n

k

kk

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6

Ejemplo:

14

3

2

1

321

963

642

321

321

3

2

1

321

3

2

1

111331

333113

AB

)ºn(MABMA,MB

)simétrica(BA

MBAMB,MA

BA

xxx

xxx

Ejemplo:

ACI2C2

:unidad matrizla2 por ar multiplicde resultaque

C matrizla por A matrizla ar multiplicde también resultaA2 matrizla que Comprobar

A2A2 matrizla calcular ASea

226

604

422

113

302

211

200

020

002

200

020

002

226

604

422

113

302

211

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Suponiendo que las expresiones siguientes son posibles, se tiene que el producto de matrices verifica las propiedades siguientes:

1. Asociativa: CBACBA

2. En general No es conmutativo: ABBA 3. Existe elemento neutro (para matrices cuadradas)

AAIIA norden de unidad matrizIMA

diagonal la en 1 con escalar matriz.......II

nn

100

010

001

10

0132

4. Para matrices cuadradas: dada una matriz A de orden “n”, diremos que A tiene inversa, cuando existe una matriz B tal que:

nIABBA

A la matriz inversa B se la denota por 1A No siempre dada una matriz A ésta tiene inversa. Cuando A tiene inversa se dice que A es una matriz regular o invertible. Cuando no existe inversa, se denomina matriz singular.

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5. El producto de matrices es distributivo: CBCACBA

Teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con matrices vistas anteriormente, se puede comprobar lo siguiente:

BoAentenecesariamimplicanoBA

CBAexistesiyCABA 1

BABA ser porqué tiene o n

BABBAABABABA

222

222

BABA

BABBAABABABA

2ser porqué tieneno 22

222

22

22

BA ser porqué tiene no

BABBAABABA

111 ABBA

DEFINICIÓN

Una matriz se dice ortogonal cuando la inversa coincide con la traspuesta tAA 1 Ejercicio: Calcular, a partir de la definición, la inversa de la matriz A:

2

10

11

102

112

2

112

002

02

12

10

01

22

22

22

22

20

21

20

21

1

1

2

111

Abdb

aca

dd

cc

db

ca

:entradas as respectivsus iguales son cuando iguales son matricesdos

dc

dbca

dc

dbca

dc

baAA

IAAAA :qie tal dc

baA calculemos A

Nota: para calcular la inversa, en general, no se utiliza éste procedimiento.

5. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ Dada una matriz cualquiera, son transformaciones elementales de dicha matriz las siguientes:

1. Cambiar dos filas entre si: cambia entre si las filas p y q

cambia entre si las columnas p y q

p q

p q

F

K

2. Multiplicar la fila o la columna por un nº 0a : "p" por " "

"q" por " "

p

q

a F multiplicar la fila a

a K multiplicar la columna a

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3. Sumar a la fila (columna) “p” la fila (columna) “q” multiplicada ésta por

el nº 0a :

" " " " " "

" " " " " "

p q pq

p q pq

F a F fila p fila q multiplicada por a F a

K a K columna p columna q multiplicada por a K a

Notación: qp bFaF significa que a la fila “p” multiplicada por el nº “a” le sumamos la

fila q multiplicada por el nº “b” Ejemplo de transformaciones elementales:

1 3 2 2 1

3 2

1 1 0 4 0 1 4 0 1 4 0 1

2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 6 1 1

4 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0

4 0 1

6 1 1

7 2 1

F F F F

F F

MATRICES ELEMENTALES Son las matrices obtenidas sometiendo a la matriz unidad, del orden correspondiente, a una transformación elemental. Ejemplo de matrices elementales:

312

3 12 3 1 2

4 2

1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0

0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 2 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 0 1E E

I E F F F

Dada una matriz cuadrada, cualquier transformación elemental por filas, se puede conseguir multiplicando dicha matriz por la elemental (a izquierda) correspondiente a dicha transformación. Si la transformación es de columna entonces se multiplica por la elemental correspondiente pero por la derecha. Ejemplo:

2121

2121

3

104

321

311

100

001

010

104

312

011

104

011

312

104

312

011

100

001

010

100

010

001

104

312

011

KEA

FAE

IA

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6. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ (REGULAR) Sabemos que, dada una matriz cuadrada A de orden “n”, diremos que A tiene inversa,

cuando existe una matriz B tal que: nIABBA

¿Cómo podemos obtener la matriz B denominada inversa de la matriz A?: Para calcular la inversa de la matriz A, el método de Gauss consiste en hacer transformaciones elementales en la matriz A para transformarla en la matriz unidad In. Estas mismas transformaciones elementales también las aplicaremos a la matriz unidad In, obteniéndose como resultado la inversa de la matriz A dada:

1 2 3 4 1 2 3 4

sucesivas transformacione elementales sucesivas transformacione elementales

1 2 3

........ ........

.....

n

n

A B I

E E E E A B E E E E I

E E E

n

4 1 2 3 4

I sucesivas transformacione elementales

1 2 3 4

sucesivas transformacione elementales

... ........

........

n

n n

E A B E E E E I

I B E E E E I

11 2 3 4

sucesivas transformacione elementales

........

la inversa de A es la matriz que resulta de aplicar esas mismas

transformaciones pero a l

nB E E E E I A

a matriz unidad nI

Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz

20

21A

122 1 2 2 1

2

1

12

1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1( 1)

0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0

1 1

0

A I F F F

A

Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz

41

23A

2 2 1 1 2

6 321 21

1 121 141 2 31

14 14

6 3 6 121 21 21 71

3 31 114 14 14 14

3 2 1 0 3 2 1 0 21 0 6 33 7

1 4 0 1 0 14 1 3 0 14 1 3

1 0,

0 1

A I F F F F

F F

A

Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz

353

231

012

A

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10

574

463

231

574

463

231

100

010

001

10148

203015

203010

200

050

0010

5

10148

203015

001

200

050

012

2

10148

021

001

200

450

012

75

203

021

001

670

450

012

32

100

021

001

353

450

012

2

100

010

001

353

231

012

1

321

251

1101

21

3223

13123

A

F,F,FFF

FFFF

FFFFIA

7. ECUACIONES MATRICIALES

Son aquellas en las que intervienen matrices en lugar de números, se trata de buscar una matriz X que verifique la ecuación. Ejemplos: sean las matrices

31

21

11

12

43

11CBA

Obtener la matriz X en los siguientes casos: Ecuación 1: IBAX

despejamos la matriz X y luego hacemos las operaciones:

1

1

1

1

1111

43

11

43

11

10

01

11

12

2

A Calculamos

XAIBX

AIBAAXAIBAAXIBAXI

12

29

12

29

13

14

21

13

43

11

10

01

11

12

13

14

43

11

13

14

10

01

13

01

10

113

10

01

43

11

1

1

1

1

2112

XSolución X

AIBXLuego

A

FFFF

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11

Ecuación 2:

13

24

13

24

20

11

13

14

11

12

31

21

43

11

13

14

43

11

1

1

1

11

11

2

XSolución

BCAX

AcomoBCAX

BCAXAABCXACBXAI

8. SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES

Son aquellos en que intervienen matrices. Se resuelven análogamente a los sistemas de ecuaciones numéricos. Ejemplo: Obtener las matrices X e Y que verifiquen el sistema:

101

234

012

221

101

2343

012

2212

ByA sdenominamo

YX

YX

2Hacemos por reducción:

3

2 1Y 2

2 6 2 7

6 3 3 1X 3

3 7

1 2 2 4 3 2 1 3 41 1 1X 3 3

2 1 0 1 0 1 7 3 17 7 7:

4 3 21 1Y 2 2

17 7

X Y A

X Y B

X Y AB A

X Y B

X Y AA B

X Y B

A B

Luego

B A

1 2 2 9 8 61

0 1 2 1 0 0 1 27

1 3 4 9 8 61 1:

7 3 1 0 1 27 7Soluciones X Y

9. CÁLCULO DE POTENCIAS DE MATRICES

Dada una matriz A cuadrada, se trata de dar una expresión para la potencia n-ésima,

esto es, para NnA n

Ejemplo: Sea

11

11A Obtener 120A

Utilizaremos el método de inducción completa (Newton): 1º.- Calculamos las primeras potencias:

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12

22

22

34

22

22

23

11

11

2

00

00

1

22

22

88

88

11

11

44

44

22

22

44

44

11

11

22

22

22

22

22

22

11

11

11

11

22

22

11

11

AAA

AAA

A

A

2º.- Damos una expresión para nA

AA nn

nn

nnn

11

11

11

211

112

22

22

Ejemplo: Sea

100

010

101

A Obtener nA

1º.- Calculamos las primeras potencias:

100

010

1011A

100

010

401

100

010

101

100

010

301

100

010

301

100

010

101

100

010

201

100

010

201

100

010

101

100

010

101

34

23

2

AAA

AAA

A

2º.- Damos una expresión para nA

100

010

01 n

A n

10. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes que tiene, es decir, el número de filas que no se pueden expresar como combinación lineal de las demás. Ejemplos:

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Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo

13

El rango de matrices escalonadas, es el número de filas distintas de la fila (0,0,0,…….0)

TEOREMA DEL RANGO En cualquier matriz, el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes, es decir, el rango de una matriz y el rango de la transpuesta son coincidentes: ( ) ( )

11. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ Las transformaciones a las que sometemos una matriz al aplicar el método de Gauss no modifican el rango, por tanto para hallar el rango de una matriz podemos proceder a “hacer ceros” para transformar la matriz en una escalonada.

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Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo

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Ejemplo: Calcular el rango de la matriz A

14271550

323426100

16171350

11131031

2

3

1

81512

15413

54321

11131031

11131031

15413

54321

81512

41

31

21

14

F

F

F

FA

00000

15100

16171350

11131031

00000

210200

16171350

11131031

210200

00000

16171350

11131031

1

232

134

42

32FF

F

F

A la vista del resultado podemos decir que el rango de la matriz M es 3, esto es:

3Mrg , 3 es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes.