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Matrices (hoja 1) 1. Dada la matriz , calcula . = 0 3 0 3 1 2 0 2 1 A 2 A 2. Dadas las matrices y , halla una matriz X que cumpla = 2 6 0 8 A = 3 9 4 0 B B A X 2 8 = . 3. Determina dos matrices X e Y tales que y . = 2 10 13 3 5 Y X = + 4 2 4 5 2Y X 4. Halla a y b de la matriz para que se cumpla que = b a A 0 0 I A = 2 . 5. Dadas las matrices y , calcula una matriz X que cumpla = 1 2 2 1 1 1 0 2 0 A = 7 3 6 B B X A = . 6. Calcula las inversas de: a) ; b) ; c) C = ; = 0 2 1 4 A = 3 4 1 1 1 3 1 1 0 B 3 2 3 2 1 2 1 3 1 = 2 1 1 0 0 1 1 1 1 D 7. Halla el rango de las matrices: a) ; b) ; c) . 1 3 2 1 3 9 6 3 2 6 4 2 1 2 1 1 3 2 1 1 0 2 1 2 1 0 3 1 2 1 8. Estudia el rango de la matriz en función de los valores de a. = 4 2 2 3 2 2 1 1 a A 9. Si , y , halla una matriz X que cumpla = 1 1 2 1 A ⎛− = 3 2 1 1 B = 2 1 1 0 C C B X A = . 10. Dadas las matrices A = , y , halla X sabiendo que . 1 0 2 1 = 1 1 1 2 B = 5 0 12 3 C C B X A = 2 11. Dada una matriz A = , encontrar una matriz B tal que . 1 2 2 1 = 0 3 3 0 B A 12. Dada la matriz , calcula, si existen, las matrices siguientes: = 0 1 6 1 0 2 2 1 1 A a) Una matriz X tal que ( ) 1 0 1 . = A X b) Una matriz Y tal que = 0 1 0 1 0 1 . Y A 13. Hallar el rango de la matriz A en función de los valores de m: A = 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 m SOLUCIONES 1. . 2. = 9 3 6 3 14 0 6 0 5 2 A = 2 1 3 1 1 X . 3. , Y . 4. = 0 2 2 1 X = 2 0 3 2 1 ± = = b a . 5. 6. a) = 1 3 1 X 2 1 2 1 0 , b) 3 1 11 3 1 8 0 1 1 3 1 , c) 7 7 7 0 6 12 7 11 1 42 1 , d) 7. a) 1; b) 2; c) 3. 8. Si a=–2, rg(A)=2; si a–2, rg(A)=3. 9. . 10. . 11. . 1 2 1 1 3 2 0 1 0 = 1 2 2 5 X = 6 1 11 9 X = 2 1 1 2 B 12. a) X = (1, 3, 1) b) Y no puede existir. 13. para = = = 3 1 2 1 r m r m

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  • Matrices (hoja 1)

    1. Dada la matriz , calcula .

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛−−−

    =030312021

    A2A

    2. Dadas las matrices y , halla una matriz X que cumpla ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    =26

    08A ⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    3940

    B BAX 28 =− .

    3. Determina dos matrices X e Y tales que y . ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−−

    =−210

    1335 YX ⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    −=+

    4245

    2YX

    4. Halla a y b de la matriz para que se cumpla que ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    ba

    A0

    0 IA =2 .

    5. Dadas las matrices y , calcula una matriz X que cumpla

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛−−=122111

    020A

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛=

    736

    B BXA =⋅ .

    6. Calcula las inversas de: a) ; b) ; c) C = ; ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    0214

    A⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛=

    341113110

    B⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−

    323212131

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛ −−=

    211001111

    D

    7. Halla el rango de las matrices: a) ; b) ; c) .

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−−−−

    132139632642

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−

    121132

    110

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−

    212103

    121

    8. Estudia el rango de la matriz en función de los valores de a.

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−

    −=

    42232

    211

    aA

    9. Si , y , halla una matriz X que cumpla ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−−

    =11

    21A ⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−=

    3211

    B ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−−

    =2110

    C CBXA =−⋅ .

    10. Dadas las matrices A = , y , halla X sabiendo que . ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −1021

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    1112

    B ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    50123

    C CBXA =−⋅2

    11. Dada una matriz A = , encontrar una matriz B tal que . ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛1221

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=⋅

    0330

    BA

    12. Dada la matriz , calcula, si existen, las matrices siguientes:

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−=

    016102

    211A

    a) Una matriz X tal que ( )101. −=AX b) Una matriz Y tal que

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    010101

    . YA

    13. Hallar el rango de la matriz A en función de los valores de m: A =

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    ⎛−

    21011211112

    m

    SOLUCIONES

    1. . 2.

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−−

    =9363140605

    2A ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    213

    11X . 3. , Y . 4. ⎟⎟

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    =0221

    X ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −=

    2032

    1±== ba . 5.

    6. a)

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −=

    131

    X

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    − 212

    10 , b)

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−

    −⋅

    3111318011

    31 , c)

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−

    77706127111

    421 , d) 7. a) 1; b) 2; c) 3. 8. Si a=–2, rg(A)=2; si a≠–2, rg(A)=3. 9.

    . 10. . 11. .

    ⎟⎟⎟

    ⎜⎜⎜

    −−−121132

    010

    ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛ −−=

    1225

    X ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛=

    61119

    X ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛−

    −=

    2112

    B

    12. a) X = (1, 3, 1) b) Y no puede existir. 13. para ⎩⎨⎧

    =−≠=−=

    3121

    rmrm

  • Sistemas de Ecuaciones Lineales (hoja 2)

    1. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales y los clasificas:

    a) ; b) ; c) ; d) ; e) ⎪⎭

    ⎪⎬

    −=++−−=−−=++

    22222

    123

    zyxzyxzyx

    ⎭⎬⎫

    =−−=++

    053202

    zyxzyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    −=++−−=−−

    =++

    1434532

    52

    zyxzyxzyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    =+=−=−

    136455

    yxyxyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    =+−=++=+−

    123

    322

    zyxzyxzyx

    2. Discute los sistemas según el valor del parámetro y resuélvelos en el caso de SCI:

    a) b) c) ⎪⎭

    ⎪⎬

    =++=+=−+

    1312

    12

    azyxyx

    zyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    =+−=+−

    =−+

    12022

    2

    zyxmzyxzyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    =+

    −=+−

    =−

    2

    221

    42

    kyx

    yx

    yx

    d) e) ⎪⎭

    ⎪⎬

    =++=++

    −=++

    12

    1

    zayxaazyx

    azyx

    ⎪⎭

    ⎪⎬

    =++=+−=−+

    0212

    zyxzyx

    zyx

    λ

    λ

    3. Reparte 17200 € entre Alberto, Bernardo y Carlos de forma que por cada 2 € que reciba Alberto ha de recibir Bernardo 3, y por cada 5 € de Bernardo, ha de recibir Carlos 6.

    4. Un número de tres cifras es tal que si lo leemos al revés el número que resulta es inferior al primitivo en 99 unidades; además, la cifra de las centenas es doble que la cifra de las unidades. ¿Cuál puede ser ese número? ¿Cuántas soluciones hay?

    5. Un inversor compra acciones de tres tipos por un importe total de 3500 €. Pasado un año, las acciones del primer tipo reparten un 6% de beneficios, las del segundo un 8% y las del tercero un 10%. La cuantía total de los beneficios es de 300 €. ¿Cuánto ha invertido en cada uno de los tipos si sabemos que lo invertido en el tercer tipo es 1000 € menos que lo invertido en los otros dos juntos?

    6. Ana se ha comprado dos pantalones, una blusa y un jersey; María, un pantalón, dos blusas y un jersey; y Eva, un pantalón, una blusa y dos jerseys. Se han gastado 130, 120 y 150 euros, respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada uno de los artículos?

    7. Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y la media de los dos últimos sea 80.

    8. En una compañía envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g, y 1 kg de peso. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones está a 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros, ¿cuántas cajas se han envasado de cada tipo?

    9. Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 20 euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego?

    10. La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda (centenas y decenas), el número aumenta en 90 unidades. Finalmente, si se intercambian la segunda y la tercera (decenas y unidades), el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número.

    11. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. a) Plantea un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resuelve el problema.

    12. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero y la suma de los tres era 24. ¿Cuáles son los tres números que faltan?

    SOLUCIONES 1. a) , , , SCD; b) 1=x 2−=y 3=z α=x , α−=y , =αz , SCI; c) α+=1x , α−= 2y , α=z , SCI; d) SI; e) SI. 2. a) Si SCD, (0,1,0); si SCI, 2≠a 2=a α2−=x , α41+=y , α=z ; b) Si 1≠m SCD, si SI; c) Si 1=m

    21

    −=k , SCI,

    ( )42, −αα ; si 21

    −≠k , SCD, (2,0); d) Si , SI, si 1=a 1≠a , SCD; e) Si 21

    −=λ , SI, si 21

    −≠λ , SCD. 3. Alberto 4000 €,

    Bernardo 6000 € y Carlos 7200 €. 4. Es de la forma 2y1, siendo y=0,1,2,...,9. 5. 250 €, 2000 € y 1250 €. 6. 30 € el pantalón, 20 € la blusa y 50 € el jersey. 7. A=50, B=120 y C=40 8. 25, 20 y 15 cajas, respectivamente. 9. 10 €, 17’5 € y 32’5 €. 10. 123. 11. 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. 12. Los números son el 4, 9 y 11.

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    Programación Lineal (hoja 3)

    1. Un autobús Murcia–La Coruña ofrece dos tipos de plazas: unas, al precio de 40 €, y otras más caras al precio de 50 €. En las primeras se puede llevar hasta 25 kg de equipaje y en las segundas hasta 35 kg. Si el autobús tiene 60 plazas y admite un equipaje de hasta 1750 kg, ¿cuántas plazas debe sacar la compañía de cada tipo para maximizar el beneficio?

    2. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos tendrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

    3. Un grupo de alumnos formado por 20 chicas y 10 chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos. Tipo A: parejas (una chica y un chico). Tipo B: equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 € por la tarde de la pareja y 50 € por la tarde del equipo de cuatro. a) ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad de dinero posible? b) ¿Y si les pagara 30 € tanto por la tarde de la pareja como por la tarde del equipo de cuatro?

    4. Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: tableros normales (una mano de imprimación más otra mano de pintura) y tableros extras (una mano de imprimación más tres manos de pintura). Disponen de imprimación para 10 000 m2, pintura para 20 000 m2 y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3 € por m2 de tablero normal y 5 € por m2 de tablero extra. a) ¿Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? b) ¿Y si ganara 1 euro por m2 de tablero normal y 4 € por m2 de tablero extra?

    5. Una persona tiene 500 000 € para invertir de dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastantes seguras con un interés anual del 7%.Decide invertir como máximo 300 000 € en las de tipo A y como mínimo 100 000 € en las de tipo B, e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. ¿Cómo debería invertir su 500 000 € para maximizar sus intereses anuales?

    6. Para la elaboración de dos tipos de refrescos R1 y R2 se utilizan (además de agua) dos tipos de productos A y B. Cada refresco R1 contiene 3 g de A y 3 g de B, y cada refresco R2 contiene 3 g de A y 6 g de B. Se dispone en total de 120 g del producto A y 180 g del B. ¿Cuántos refrescos de cada clase se han de elaborar para obtener un beneficio máximo sabiendo que con los refrescos R1 la ganancia es de 3 € y con los refrescos R2 la ganancia es de 4 €?

    7. Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas, mientras que cada caja B contiene 2 kg de chocolate, 1’5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas A y B son 130 € y 135 € respectivamente. a) ¿Cuántas cajas se debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia? b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

    8. En un taller de chapa se pueden fabricar dos tipos de carrocerías A y B. Cada carrocería de tipo A necesita 4 horas de pintura y cada carrocería de tipo B necesita 6 horas, disponiéndose de un máximo de 500 horas mensuales para la pintura de las carrocerías. Si los beneficios de cada carrocería son de 2000 € y 3500 € para los tipos A y B respectivamente: a) Calcular el número de carrocerías de cada tipo que deben producirse para obtener el máximo beneficio si tienen que fabricar un mínimo de 80 y un máximo de 100 carrocerías de tipo A. b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

  • 9. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas ni más de 300 adornadas, ni tampoco más de 500 en total. a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos beneficios?

    10. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15000 € y el modelo B a un precio de 20000 €. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo B como del modelo A. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de 60000 €. a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe?

    11. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2 , que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:

    Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 € y el de un bote del producto P2 es de 160 €, averiguar: a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio?

    b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible?

    A B C P1 4 1 6 P2 1 6 10

    12. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transportes dispone de 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande es de 80 € y el de uno pequeño de 60 €. a) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. b) ¿Cuántas plazas sobrarán? Identificar en el planteamiento las variables, las restricciones y la función a optimizar.

    SOLUCIONES PROGRAMACIÓN LINEAL 1) 35 plazas baratas y 25 caras. 2) 50 folletos de la empresa A y 100 de la B. 3) a) 5 equipos de cada tipo. b) con 10 parejas o con 5 parejas y 5 cuádruplos se obtiene el mismo beneficio. 4) a) 5000 m2 de cada tipo de tablero. b) 6666’67 m2 de tablero extra. 5) 300000 € en acciones del tipo A y 200000 € en acciones del tipo B. 6) 20 refrescos de cada tipo. 7) a) 30 cajas de bombones de tipo B y 55 de tipo A. b) 11200 €. 8) a) 80 carrocerías de tipo A y 30 de tipo B. b) 265000 €. 9) b) 200 sortijas sencillas y 300 adornadas. Beneficio de 2700 €. 10) b) 10 coches de cada modelo. Beneficio de 350000 €. 11) a) Ha de mezclar medio bote de P1 con dos botes de P2, y le costará 370 €.

    b) Tomará 4 unidades de A, 12’5 de B y 23 de C. 12) a) 5 autobuses pequeños y 4 grandes; costará 620 €.

    b) No sobrarán plazas.

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  • Funciones, límites y continuidad. Matemáticas de CCSS II. (Hoja 4)

    1. Halla el dominio de las siguientes funciones:

    a) xxf 26)( −= b) 65

    4)( 22

    −−−

    =xx

    xxf c) 4

    )( 2 +=

    xxxf

    Audiencia de una emisora de radio

    0123456789

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

    Horas del díaA

    udie

    ncia

    (en

    mile

    s)

    2. El número de personas afectadas por una cierta enfermedad viene dado por la función , siendo x el

    número de días transcurridos desde que apareció la enfermedad. ¿Cuántos días han de pasas para que desaparezca totalmente?

    243723)( 2 ++−= xxxf

    3. La audiencia (en miles de oyentes) de una emisora a lo largo de un día viene recogida en el gráfico adjunto. Indica el dominio, la imagen, los máximos y mínimos relativos y absolutos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

    4. Durante el periodo de rebajas, todos los artículos de una tienda se encuentran a un 15 % de descuento sobre el precio inicial. a) ¿Qué función describe la relación existente entre el precio inicial y el precio final rebajado? Encuentra su expresión analítica y represéntala gráficamente. b) ¿Cuánto habrá que pagar por un pantalón cuyo precio inicial era de 40 €? c) Si una camiseta nos ha costado 17 €, ¿cuál era su precio inicial?

    5. Al revisar dos facturas del agua, observamos que el mes pasado, con un consumo de 6 m3, pagamos 13 €, mientras que este mes hemos consumido 8 m3 y hemos pagado 14 €. Si sabemos que la tarifa se calcula con una cuota fija más una cantidad por cada m3 consumido, calcula la expresión analítica de la función que relaciona el consumo de agua y el pago, y realiza su representación gráfica.

    6. Representa gráficamente la función e indica sus características. 86)( 2 −+−= xxxf7. Un coche recorre una distancia de 200 km que separa entre sí dos ciudades. La relación entre la

    velocidad media, x, y el tiempo, y, empleado en cubrir dicha distancia es una función de

    proporcionalidad inversa del tipo xky = . a) Encuentra la expresión de la función. b) Si viajamos a

    100 km/h, ¿cuánto tardaremos en ir de una ciudad a otra? c) Si hemos tardado 4 h, ¿a qué velocidad media hemos circulado?

    8. Dada la función , estudia su continuidad y represéntala

    gráficamente. Indica sus características y propiedades principales.

    ⎪⎩

    ⎪⎨

    ≥−

  • 12. Durante los 60 minutos de duración de cierto programa de radio, su índice de audiencia viene dado por la función . Sabiendo que en el instante en que se inicia el programa (t=0) el índice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, de 36, se pide: a) calcula los valores de a, b y c. b) Representa gráficamente la función.

    cbtattI ++= 2)(

    13. Calcula los siguientes límites de funciones:

    a) 13

    23lim2

    2 −+−

    → xxx

    x b)

    365lim

    2

    3 −+−

    → xxx

    x c)

    431lim 2

    2

    1 −−−

    −→ xxx

    x d)

    123lim

    2

    1 −++

    −→ xxx

    x

    e) 2

    22lim2 −

    −+→ x

    xx

    f) 1

    23lim2

    1 −−+

    → xx

    x g)

    32

    3

    1lim−

    →⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    +

    x

    x x h)

    21

    2 23lim

    →⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛

    −−x

    x xx i)

    x

    x x

    3

    0 12lim

    →⎟⎠⎞

    ⎜⎝⎛−+

    14. Halla los límites de la función definida a trozos en los puntos:

    a) ; b) ; c) ;d) ; e)

    ⎪⎩

    ⎪⎨

    ≥−

  • tiene; b) AV en x = 2, AH en y = 1; c) AV en x= –1, AO en y = x–1; d) AV en x = 3 y x = –3, AH en y =2; e) AO en y = 2x. 18. Discontinuidad evitable en x = –3; discontinuidad de salto infinito en x = 3. 19. a = 2, b = 1. 20 a = 5, b = 4, c = 9, d = 2.

    DERIVADAS (Hoja 5)

    1. Calcula la derivada de la función en el punto 53)( 2 +−= xxxf 2=x , utilizando la definición de derivada. Comprueba el resultado derivando con las reglas de derivación.

    2. Halla las derivadas sucesivas de la función . 1523 34 −+−= xxxy

    3. Halla las derivadas de las siguientes funciones:

    a) 2

    2+

    =x

    xy b) 11

    2

    2

    +−

    =xxy c) 2

    23xxy +=

    4. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) 5 3xy = b) c) xy 3= ( ) xexxy ⋅−= 42 d)

    xxy += 1 e) xxy 5⋅= f)

    4 3

    32

    xxxy ⋅=

    5. Halla las derivadas de las siguientes funciones:

    a) b) xxy ln2 ⋅=1−

    =xey

    x

    c) 32 −= xy d)

    e) f) g)

    )1ln( 2 += xy

    ( 325 −= xy ) 12−= xey 1ln 2 −= xy h) 1

    ln 22

    +=

    xxy

    6. El perfil de una pista de montaña viene dado por la función xy ln= , donde x e y van en kms. a) Halla la pendiente media entre los kilómetros 3 y 6. b) Halla la pendiente tanto en el kilómetro 3 como en el 9.

    7. El crecimiento de una población bacteriana viene dado por la fórmula , donde t es el tiempo que transcurre, en días, y p es el número de miles de bacterias. a) Halla el crecimiento medio de esta población entre los días segundo y quinto. b) Halla la velocidad de crecimiento de esta población en el día quinto.

    425)( −⋅= ttp

    8. El espacio recorrido por un caminante durante 5 horas viene dado por la fórmula , donde t va en horas y e va en kilómetros. a) ¿Qué distancia ha recorrido? b) Calcula la velocidad media entre las horas 2ª y 5ª. c) Halla velocidad instantánea al empezar y al acabar la 5ª hora.

    210)( ttte −=

    _______________________________________Soluciones_____________________________________

    1. .

    3. a)

    1)2(' =f

    ( )224+x

    ; b) ( )22 14+xx ;c) 3

    43xx −−

    4. a) 5 253

    x⋅; b) ; c) 3ln3 ⋅x ( ) xexx ⋅−− 422 ; d)

    xxx

    21− ; e) ( )

    xxx

    25ln215 ⋅+⋅ ; f) 12 7

    1219 x⋅ .

    5. a) ; b) )1ln2( +⋅ xx( )21

    )2(−−⋅

    xxex ; c)

    321−x

    ; d) 1

    22 +x

    x ; e) ( )22515 −x ; f) ; g) 122 −⋅ xex12 −x

    x ; h) xx +3

    1

    6. a) 23’1%; b) 33’3% y 11’1%. -Página 3 de 7-

  • 7. a) 4667 bac/día; b) 110904 bac/día. 8. a) 25 km; b) 3km/h; c) 2km/h y 0 km/h.

    Aplicaciones de las derivadas (ejercicios de selectividad) (Hoja 6) Representación de Gráficas

    1. Dada la curva de ecuación 1

    32

    2

    +=

    xxy , determinar: a) el dominio; b) Máximos y mínimos; c)

    intervalos de crecimiento y de decrecimiento; d) asíntotas. [S09]

    2. Dada la curva 2

    12 −+

    +=

    xxxy calcular:

    a) el dominio; b) las asíntotas; c) hacer una representación gráfica de la misma. [J09]

    3. En una región, un río tiene la forma de la curva xxxy +−= 2341 y es cortada por un camino

    según el eje OX. Hacer un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento. [J08]

    4. Dada la curva 112

    +−

    =xxy calcular:

    a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las asíntotas. c) Hacer una representación gráfica de la misma. [J08]

    5. Dada la función ( )x

    xxf−+

    =2

    1 , se pide:

    a) Calcular su dominio. b) Calcular sus asíntotas. c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica aproximada. [S07]

    6. Dada la función ( )1

    2+−

    =x

    xxf , se pide:

    a) Calcular su dominio. b) Calcular sus asíntotas. c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica aproximada. [J07]

    7. Dada la función ( )8

    6 42 xxxf −= , se pide:

    (a) Calcular su dominio (b) Determinar las asíntotas y los cortes con los ejes (c) Determinar máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento (d) Hacer su representación gráfica aproximada [S06]

    8. Dada la función ( )12

    3

    −=

    xxxf , se pide:

    (a) Calcular su dominio (b) Determinar las asíntotas. (c) Estudiar la monotonía y los extremos (d) Hacer su representación gráfica aproximada [J06]

    9. Dada la función ( )12 −

    =x

    xxf , se pide:

    (a) Hallar el dominio y las asíntotas (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (c) Hacer una representación gráfica aproximada. [S05]

    -Página 4 de 7-

  • 10. Dada la función ( )1+

    =x

    xxf , se pide:

    (a) Calcular su dominio y asíntotas. (b) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Hacer su representación gráfica aproximada. [J05]

    11. Dada la curva 1

    1−

    =x

    y , se pide:

    (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproximada de la curva. [S04]

    12. Dada la curva 12 −

    =x

    xy se pide:

    (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproximada de la misma. [J04] Otras aplicaciones de las derivadas

    13. Dada la parábola de ecuación , hallar el punto en el que la recta tangente es paralela al eje de abcisas. [S09]

    1282 +−= xxy

    14. La función f (x) = x3 + px2 + q tiene un valor mínimo relativo igual a 3 en el punto de abscisa

    x = 2 . Hallar los valores de los parámetros p y q . [J09]

    15. Halla a y b para que la función tenga un mínimo en el punto ( [S06] baxxxf ++= 2)( 2 )2,1−

    16. Hallar los valores de a, b, c y d en la función sabiendo que su tangente en el punto es la recta

    dcxbxaxy +++= 23

    ( )1,1 2+−= xy y que tiene un extremo en el punto ( )2,0 . [J06]

    17. Dibuja la parábola 86)( 2 +−= xxxf(a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a ( )xf en el punto ( )0,2P . [S05]

    18. Dibuja la parábola 85)( 2 +−= xxxf(a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes? (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto ( )2,1P . [J05]

    19. Hallar los valores de a y b para que la función tenga un máximo en el punto y un mínimo en el punto . [S04]

    123 +++= xbxaxy1=x 2=x

    -Página 5 de 7-

  • Optimización

    1. La evolución del número de socios de un equipo de fútbol fundado en 1945 viene dada por ( )6042004522'0)( 23 −−−⋅−= ttttS , donde se expresa en años. Calcula el número mínimo y el

    número máximo de socios que ha tenido dicho club hasta el año 2000.

    2. Determinar las dimensiones de una ventana rectangular que permita pasar la máxima cantidad de luz, sabiendo que su marco debe medir 4 m.

    3. Un campesino dispone de 54000 kg de fruta que puede vender a 0’2 €/kg. Cada día que pasa el precio aumenta 0’025 €, pero se estropean 1000 kg. Calcula cuándo le interesa vender la fruta para obtener los máximos ingresos posibles y a cuánto ascenderán dichos ingresos.

    4. Una agencia inmobiliaria tiene 200 apartamentos para alquilar a 160 €/mes cada uno. Por cada 5 € de aumento en el alquiler, pierde un inquilino. ¿Cuál es el precio del alquiler que produce más beneficio a la agencia?

    5. Una esmeralda pesa 16 g y sabemos que su valor es cien veces el cuadrado de su peso (en €). Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que tiene que tener cada uno para que su valor sea mínimo.

    SOLUCIONES (del 1 al 5)

    1. 12 y 23287 socios. 2. Ventana cuadrada de 1m x 1m. 3. 23 días y 24025 €. 4. 580 €. 5. 8 g

    -Página 6 de 7-

  • PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD (representaciones gráficas) Representa la gráfica de las siguientes funciones:

    1.- 8

    1)( 2 +−

    =xxxf 2.- 21

    )(x

    xxf+

    = 3.- 8

    6)(42 xxxf −= 4.-

    1)( 2 −=

    xxxf

    5.- 1

    )(+

    =x

    xxf 6.- 1

    )( 23

    −=

    xxxf 7.- 8.- 424)( xxxf −= )93()( 2 −−= xxxxf

    SOLUCIONES 1.- 2.-

    3.- 4.- 5.-

    6.- 7.- 8.-

    -Página 7 de 7-

  • CÁLCULO DE PRIMITIVAS Resolver las siguientes integrales indefinidas: 1. ∫ −+ dxxx ).3).(34( 2

    ∫ ⎟⎠⎞

    ⎜⎝

    ⎛− dx

    xx .132.

    dxx

    x∫ + 5

    523.

    4. dxex x .. 142

    ∫ −

    5 ∫ dxxtg .

    dxx

    xsen·

    )3

    2cos(1

    )3

    2(∫

    ++

    +

    π

    π

    6.

    dxx .85∫ + 7.

    dxx .128 3 −∫8.

    dxxx

    x .32

    12∫ +−

    −9.

    dxxx .

    14 2∫ +10.

    SOLUCIONES:

    Ce x +−142

    81Cx ++ )5ln(

    25 2Cxx ++ 22 31. ; 2. Cxxxx +−−+ 96 234 ; 3. ; 4. ;

    ( ) Cx ++ 385152Cx +⎟

    ⎠⎞

    ⎜⎝⎛ ++− )

    32cos(1ln

    21 π

    5. – ln cos x + C ; 6. ; 7. ;

    Cxx ++− )32(ln21 2 Cx ++14

    41 2Cx +−3 4)12(3 ; 9. 10. 8.

  • PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD (Cálculo de áreas)

    1.- Calcula el área comprendida entre las siguientes curvas: y = x2 e y = x + 2 2.- Encuentra el área determinada por la parábola y = x2 + 5 y la recta y = 9. 3.- Calcula el área comprendida entre los semiejes positivos de abscisas y ordenadas y la gráfica de la parábola y = 4 − (x − 1)2

    34.- Hallar el área de la región limitada por las gráficas f (x) = x − x y g(x) = x2

    44+

    =x

    y5.- La curva , el eje OX, el eje OY y la recta x = 4 limitan una superficie S. Calcular el área

    de S. 6.- Hallar el área encerrada por la curva 4 = x·y, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 7.- Hallar el área limitada por las curvas y = x2 2 − 4 e y = 4 − x 8.- Calcula el área comprendida entre las curvas: y = x2 +1 e y = 6 - (x +1)2

    29.- Calcula el área comprendida entre las gráficas de las funciones: f(x) = 4 – x , g(x) = 2 + x

    310.- Halla el área de la región del plano limitada por el eje OX, la curva y = x - x y la recta x = 2. 11.- Hallar el área comprendida entre las dos parábolas y = x2 e y = −2x2 + 3. 12.- Determine el área del recinto OABCDO sabiendo que el segmento curvilíneo BC corresponde a un arco de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 10. 13.- Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones f (x) = x2 +1 y g(x) = 2x +1

    14.- Calcular el área limitada por la curva y = x3 el eje OX y las verticales x = -1, x = 2. 15.- Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones y = 3 - x2 e y = 1 – x.

    1.- A = 229 u 2.-A= 2

    332 u 3.- A =

    29u

    4.-A= 2083,1 u

    5.-A= 277,2 u

    6.-A= 277,2 u

    7.-A= 23

    64 u 8.- A = 29u

    9.- A = 2

    29 u 10.-A= 2

    411u

    SOLUCIONES

    14.-A = 2329 u 2

    34 u 2

    29 u11.- A =

    24u 12.-A= 13.-A= 15.-A= 2

    417 u

  • -Página 1 de 3-

    PROBABILIDAD Y REGLA DE LAPLACE 1 – Escribe el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara y más de 4 en el dado? 2 - Los artículos procedentes de una línea de producción se clasifican en defectuosos y no defectuosos. Se observan los artículos y se anota su condición. Este proceso se detiene cuando o bien aparecen dos artículos defectuosos consecutivos o bien se han verificado cuatro artículos. a) Describir el espacio muestral. b) Describir el suceso A = “ el proceso ha terminado debido solamente a la aparición de dos artículos defectuosos consecutivos. 3 - Se dispone de un lote de 20 piezas de las que 5 son defectuosas. Se extraen tres al azar. Se pide: a) Describir el espacio muestral. b) Si A = “ al menos una pieza es defectuosa “ y B = “ exactamente dos piezas son defectuosas” , describir los sucesos AC, A∪B , A ∩ B . c) Calcular las probabilidades de los sucesos A y B . 4 - Carmen y Pedro se presentan a una oposición en la que el temario consta de 100 temas. Si Carmen ha estudiado 50 temas, y Pedro 40 (coincidiendo ambos en 10 temas), calcula:

    a) Probabilidad de que apruebe Carmen b) Probabilidad de que apruebe Pedro c) Probabilidad de que aprueben ambos d) Probabilidad de que al menos apruebe uno e) Probabilidad de que no apruebe ninguno

    5 - En un dado trucado, se sabe en un lanzamiento que la probabilidad de que salga par es el doble que la probabilidad de que salga impar. ¿Cuáles son dichas probabilidades? 6 - Se lanzan tres dados al aire. Calcular la probabilidad de que se obtengan: a) 4 puntos en cada dado . b) Suma total de puntos igual a 8. (Ayuda: hay 216 casos posibles) 7 - Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja española se obtenga un basto o una figura. 8 - Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar . Se pide: a) Describir el espacio muestral de la experiencia. b) Calcular la probabilidad de tres sucesos elementales de S.

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    SELECTIVIDAD 2005-2009: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PROBLEMAS DE PROBABILIDAD (HOJA 8)

    1. [J05] Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: cada uno lanzará el dado a lo sumo una vez; si el primero en lanzar saca un 6, gana y acaba la partida; si no saca el 6, lanza el segundo, que gana si obtiene un 4 o un 5, acabando la partida; si tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene un 3, un 2 o un 1; aunque no gane el tercero, la partida se termina. Hallar la probabilidad que tiene cada uno de ganar y la de que no haya ganador.

    2. [J05] Una fábrica de tornillos dispone de tres máquinas: A1, A2 y A3. Se sabe que la máquina A1 produce un 1% de tornillos defectuosos, la A2 un 3% y la A3 un 2%. La máquina A1 produce el 25% de los tornillos, la A2 el 40% y la A3 el 35%. Al cabo de un día se toma un tornillo al azar. a) Calcular la probabilidad de que ese tornillo sea defectuoso. b) Si ha resultado defectuoso, calcular la probabilidad de que haya sido fabricado por A2.

    3. [S05] Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire, de manera que si las tres monedas aparecen de igual modo (tres caras o tres cruces) el jugador gana, y en caso contrario se vuelve a tirar. a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? b) ¿Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera?

    4. [S05] En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber peligro es 0.3. Hallar: a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione.

    5. [J06] De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos dispara simultáneamente, calcular: a) La probabilidad de que los dos acierten b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. c) La probabilidad de que ninguno de los dos acierte. d) La probabilidad de que alguno acierte.

    6. [J06] Tenemos una urna A con 3 bolas rojas y 5 azules, y una urna B con 6 bolas rojas y 4 azules. Si sacamos de ellas una bola al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

    7. [S06] En una ciudad se publican dos periódicos, el A y el B. La probabilidad de que una persona lea el periódico A es 0.1, la de que lea el B también 0.1, y la de que lea ambos es 0.02. a) Calcular la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcular la probabilidad de que una persona lea sólo un periódico.

    8. [S06] Tres máquinas A1, A2, y A3 producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de los artículos de una fábrica. A1 produce el 3% de los artículos defectuosos, A2 el 4% y A3 el 5%. Elegido un artículo al azar resulta defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que proceda de cada máquina?

    9. [J07] Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. El programa P1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0.9 y el programa P2 detecta el virus con una probabilidad de 0.8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un virus que haya sido detectado por el programa P1 sea detectado también por el programa P2?

    10. [J07] Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40% de los clientes paga sus compras con tarjeta de crédito y el 60% restante lo hace en efectivo. Ahora bien, si el importe de la compra es superior a 100 euros, la probabilidad de pagar con tarjeta pasa a ser 0.6. Si además sabemos que en el 30% de las compras el importe es superior a 100 euros, calcular:

  • -Página 3 de 3-

    a) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros y sea abonado con tarjeta. b) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros, sabiendo que fue abonado en efectivo.

    11. [S07] Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus evaluaciones, que la probabilidad de que resuelvan el problema de forma independiente es de 1/3 para Juan y de 1/4 para Pedro. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto por alguno de los dos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea resuelto por ninguno?

    12. [S07] El volumen diario de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 unidades en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2% respectivamente, calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.

    13. [J08] Tres personas disparan a un objetivo. Las probabilidades de que hagan blanco son 1/6, 1/4 y 1/3 respectivamente. Calcular: a) La probabilidad de que todos hagan blanco. b) La probabilidad de que ninguno haga blanco. c) La probabilidad de que al menos uno de ellos haga blanco.

    14. [J08] Se sabe que el 25% de los estudiantes suspenden matemáticas, el 15% suspenden química y el 10% suspenden ambas materias. Se selecciona un estudiante al azar. a) Calcular la probabilidad de que el estudiante no suspenda ni matemáticas ni química. b) Si sabemos que el estudiante ha suspendido química, ¿cuál es la probabilidad de que suspenda también matemáticas?

    15. [S08] El 70 % de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60 % aprueba otra asignatura B. Sabemos, además, que un 35 % del total aprueba ambas. a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe la asignatura B, supuesto que ha aprobado la A. b) Calcular la probabilidad de que dicho estudiante apruebe la asignatura B, supuesto que no ha aprobado la A.

    16. [S08] Una fábrica produce tornillos niquelados y dorados, siendo el 75 % de tos tornillos que produce niquelados. El porcentaje de tornillos defectuosos producidos es del 4 % para los tornillos niquelados y del 5 % para los dorados. Se elije al azar un tornillo y resulta no ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niquelado?

    17. [J09] En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los alumnos que estudian inglés son varones. De los que estudian francés, el 40% son chicos. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

    18. [J09] Se estima que la probabilidad de que un jugador de balonmano marque un gol al lanzar un tiro desde los siete m es del 75%. Si en un partido lanza tres de estos tiros, calcular: a) la probabilidad de marcar un gol tras realizar los tres lanzamientos b) la probabilidad de marcar dos goles tras realizar los tres lanzamientos c) la probabilidad de marcar tres goles tras realizar los tres lanzamientos d) la probabilidad de marcar sólo en el primer lanzamiento

    19. [S09] A un congreso de científicos asisten cien congresistas, de ellos ochenta hablan francés y cuarenta hablan inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérpretes?

    SOLUCIONES: #1 0’1667, 0’2778, 0’2778, 0’2778 #/2. 0’0215, 0’5581 #3 ¼, 9/64 #4 22’13%, 0’5% #5 ½, 5/12, 1/12, 11/12 #6 48’75% #7 0’82, 0’16 #8 15/37, 12/37, 10/37 #9 2%, 0’8 #10 18%, 20% #11 ½, ½ #12 2’37% #13 1/72, 30/72, 42/72 #14 0’7, 2/3 #15 0’5, 0’2 #16 75’2% #17 69% #18 9/64, 27/64, 27/64, 3/64 #19 16/99

  • MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II . 2º Bto.

    DISTRIBUCIÓN NORMAL

    1. En la distribución estándar , encuentra los valores: a) ; b) ;

    c) ; d) )1,0(N )43'2( ≤ZP )74'0( ≥ZP

    )54'1( −≤ZP )48'255'1( ≤≤ ZP ; e) )4'2( −≥ZP ; f) )81'053'1( ≤≤− ZP ; g) . )7( ≤ZP

    2. Halla el valor de x en los casos siguientes: a) 9871'0)( =≤ xZP ; b) ; c)

    2358'0)( =≤ xZP1680'0)47'0( =≤≤ xZP

    3. Si , mediante la tipificación de la v.a., calcula: a) ; b) .

    )4,14(NX ≈ )2215( ≤≤ XP)10( ≥XP

    4. Se ha aplicado a 300 alumnos de sexto de primaria un test de agresividad y se ha observado que se distribuyen normalmente con media 30 y desviación típica 12. Se pide: a) Qué proporción de alumnos tendrán puntuación entre 20 y 35?; b) ¿Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42?

    5. Las estaturas de 500 estudiantes están distribuidas normalmente con una media de 172 cm y una desviación típica de 5 cm. Hallar el número de estudiantes con estatura: a) Entre 170 y 175 cm; b) Mayor de 180 cm.

    6. En el proceso de fabricación de unas piezas intervienen dos máquinas: la A realiza un taladro cilíndrico y la B secciona las piezas con un grosor determinado. El diámetro del taladro producido por la máquina A, en mm, se distribuye según una N(23, 0’5), y el grosor producido por la máquina B, en mm, según una N(11’5, 0’4). a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre 21 y 24 mm; b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10’5 y 12’5 mm; c) Si sólo son aceptables las piezas cuyas medidas se encuentran dentro de los límites marcados por los apartados anteriores, ¿qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen?

    7. El cociente intelectual (CI)es el cociente entre la edad mental y la edad real, que se distribuye según una N(0’95, 0’22). En una población de 2600 personas se desea saber: a) ¿Cuántas tendrán un CI superior a 1’3? b) Cuántas tendrán un CI inferior a 0’5? c) ¿Cuántas tendrán un CI entre 0’8 y 1’15? d) ¿Cuál será el CI mínimo que deberemos exigir si queremos que el 70 % de la población sea apta para un determinado puesto de trabajo?

    ------------------------------------------ SOLUCIONES ---------------------------- 1) 0’9925; 0,2296; 0,0618; 0’054; 0’9918; 0,728; 1. 2) 2’23; –0’72; 1’03. 3) 0’3785; 0’8413. 4) 45’95 %; 15’87%=48 alumnos. 5) 191; 27. 6) 0’9772; 0,9876; 96’5%. 7) 5’59%=145; 2’02%=53; 57’03%=1483; 0’8345.

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  • Problemas de Distribuciones muestrales e Intervalos de confianza 1.-La estatura en cm de las mujeres mayores de edad de un cierto país sigue una distribución

    N(158, 8). ¿cuál es la probabilidad de que la estatura media de una muestra de tamaño 5 supere los 160 cm?, ¿y la de una muestra de tamaño 50?, ¿y la de una muestra de tamaño 500?. Explica por qué la probabilidad disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.

    (sol: 0’2877 ; 0’0384 ; 0 ) 2.-La puntuación que obtienen los niños en cierto test psicológico sigue una distribución

    N(85, 15). a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño elegido al azar obtenga más de 100 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación media en una muestra de 10 niños sea de

    más de 100 puntos? (sol: 0’157 ; 0’0008 ) 3.-El número de horas diarias que duermen los estudiantes de bachillerato de una cierta

    comunidad autónoma se distribuye según una ley normal de media desconocida y desviación típica 3. A partir de una muestra de tamaño 30 se ha obtenido una media muestral igual a 7 horas. Hallar un intervalo de confianza al nivel del 96% para media de horas diarias de sueño.

    (sol: [5’872, 8’126] ) 4.-Se ha aplicado a 300 alumnos de sexto de primaria un test de agresividad y se ha

    observado que se distribuyen normalmente con media 30 y desviación típica 12. Se pide: a) ¿Qué proporción de alumnos tendrán puntuación entre 20 y 35? b) ¿Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42? c) Si se toma una muestra de 40 alumnos, ¿qué distribución sigue su media muestral X ? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media X de estos 40 alumnos esté entre 29 y 31 puntos?

    (sol: 46%; 48 ; N(30, 0’3) ; 0’9992 ) 5.-Se eligió una muestra de 2000 personas de una determinada población y resultó que la

    talla media era de 170 cm, con una desviación típica de 10 cm. Sabiendo que la talla se distribuye normalmente, calcúlese: a) El número de personas que miden menos de 160 cm. b) El número de personas cuya altura supera los 2 m. c) El número de personas cuya altura se halla entre 160 cm y 190 cm.

    (sol: 159 ; 1 ; 818 ) 6.-El peso de los bebés al nacer (en gramos) sigue la distribución N(3200,312).

    a) ¿Qué porcentaje de bebés pesarán más de 3’4 kg al nacer? b)Para una muestra de 169 bebés, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio sea menor que 3150 g?

    (sol: 25’11% ; 0’0188 )

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  • 7.-Se ha elegido una muestra de 200 arandelas fabricadas por una máquina. La media de los diámetros interiores ha resultado ser de 13 mm, y la desviación típica de 0.1 mm. Las arandelas son inservibles si su diámetro es inferior a 12 mm o superior a 13 mm. Sabiendo que los diámetros se distribuyen normalmente: a) Halla el porcentaje de arandelas defectuosas. b) Si tomamos 30 arandelas, ¿qué probabilidad hay de que su diámetro medio se encuentre entre 12.8 y 13.1 mm?

    (sol: 50% ; 0’7976 ) 8.-Supóngase que la variable que expresa el número de años de vida de las personas es una

    variable normal del tipo N(62.5, 11.5). Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar viva más de 100 años

    (sol: 0’6% , es decir, 6 de cada mil ) 9.-Un novelista desea conocer el porcentaje de habitantes de su ciudad que comprará su

    próxima obra. Para ello, encarga a una empresa que entreviste a 100 habitantes. Sabiendo que 32 de ellos manifiestan estar interesados en adquirir la obra, averiguar cuál es el error máximo cometido en la predicción y a cuántos habitantes más habría que entrevistar para que, con un nivel de confianza del 90%, el error máximo sea del 5%.

    (sol: 7,7%; 137 habitantes más) 10.-Para estudiar la proporción de votos que obtendrá cierto partido político en unas

    elecciones, se hace un sondeo a 1000 personas. De ellas, el 30% votará a ese partido. Suponiendo que se mantiene la intención de voto, hallar el intervalo de confianza para la proporción de votos del partido, con un nivel de significación del 8%.

    (sol: [0’274, 0’326] ) 11.-En las pruebas de selección de personal de una empresa, las puntuaciones obtenidas por

    los candidatos siguen una distribución N(�, 35). Sabiendo que en una muestra de 50 candidatos se observó una media de 75 puntos, hallar el intervalo de confianza para la puntuación media correspondiente a los niveles de confianza del 99%, 95%, y 90%. Compara la amplitud de los intervalos y extrae conclusiones.

    (sol: [62’229, 87’771] , [65’298, 84’702] , [66’833, 83’168] ) 12.-El cociente intelectual de un cierto colectivo tiene una media desconocida y una

    desviación típica de 8. ¿De qué tamaño debe ser la muestra con la cual se estime la media con un nivel de confianza del 99% y un error máximo admisible de 3?

    (sol: 48 ) 13.-Si se quiere estimar la probabilidad de obtener cara con un nivel de confianza del 95% y

    con un error menor de 0’002 ¿cuántas veces habremos de lanzar la moneda? (sol: 226271 veces )

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  • 14.-Para estimar el número de peces que hay en un estanque se procede del siguiente modo: se pescan con red una cierta cantidad de ellos, 349, se marcan (con tinta indeleble que resiste al agua) y se devuelven al pantano. Al cabo de varios días se vuelve a pescar otro montón de ellos y se averigua qué proporción están marcados. En esta segunda pesca se ha obtenido 514 peces, de los cuales hay 37 marcados. a) Hallar un intervalo de confianza, al 90%, para proporción de peces marcados en el pantano. b) Hallar un intervalo de confianza, al 90%, para el número total de peces en el pantano

    (sol: [0’053, 0’091] ; [3835, 6585] ) 15.-Se realizó una encuesta a 314 familias preguntando si poseían ordenador en casa,

    encontrándose que 75 de ellas lo poseían. Estimar la proporción real de familias que disponen de ordenador con un nivel de confianza del 95%.

    (sol: [0’17, 0’26] ) 16.-Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la desviación típica de la duración de las pilas

    que fabrica es de 80 horas. Calcule el tamaño de la muestra que debe someterse a prueba para tener una confianza del 95% de que, al tomar la duración media de la muestra como valor de la duración media de la población total de pilas, el error que se cometa sea menor de 16 horas.

    (sol: 97 ) 17.-Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia,

    obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0,99?

    (sol: entre 94,85 y 105,15 puntos ) 18.-El peso de los niños varones a las 10 semanas de vida se distribuye según una normal

    con desviación típica de 87 gramos. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 gramos?

    (sol: 130) 19.-Se desea estimar la media de la producción diaria de leche de determinada raza de

    cabras, con un error menor que 0,25 litros y un nivel de confianza del 95 %. Si de estudios anteriores se sabe que la desviación típica de esa producción diaria de leche es de 0,5 litros, ¿qué tamaño de muestra debemos tomar?

    (sol: 16 ) 20.-Un fabricante de bombillas sabe que la desviación típica de la duración de esas

    bombillas es 100 horas. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de someter a prueba para tener una confianza del 95 % de que el error de la duración media que se calcula sea menor que 10 horas.

    (sol: 385 bombillas) 21.-El peso medio de una muestra de 64 jóvenes de 18 años ha sido de 70 kg. Sabiendo que

    los pesos de los jóvenes de 18 años se distribuyen con una desviación típica de 12 kg, encuentre el intervalo de confianza para la media de los pesos de la población de jóvenes de 18 años, con un nivel de confianza de 95 %. (sol: [67’06, 72’94] )

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  • 22.-[J05] Una m.a.s. de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia, obteniendo una

    media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica 10, pero se desconoce su media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0.99?

    (sol: 100+-2’58 ) 23.-[S05] Se desea estudiar el gasto anual de fotocopias (en euros) de los estudiantes de

    bachillerato en Murcia. Para ellos se ha elegido una muestra aleatoria de 9 estudiantes, resultando los valores siguientes: 100, 150, 90, 70, 75, 105, 200, 120, 80. Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 12. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del gasto anual en fotocopias por estudiante.

    (sol: [107’39,112’61] ) 24.-[J08] La puntuación media obtenida por una m.a.s. de 81 alumnos de secundaria en el

    examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones de la población es normal con desviación típica de 20,25 puntos, calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de significación de 0,01.

    (sol: [19’2, 30’81] ) 25.- [J09] Se sabe que el peso de los recién nacidos sigue una distribución normal con media

    desconocida y desviación típica igual a 0,75 kilogramos. Si en una muestra aleatoria simple de cien de ellos se obtiene una media muestral de 3 kilogramos, calcular un intervalo de confianza para la media poblacional que presente una confianza del 95%.

    (sol: [2’853, 3’147] ) 26.-[S09] Una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes responden a una prueba

    de inteligencia espacial, obteniendo una media de cien puntos. Se sabe que la variable inteligencia espacial de todos los alumnos es una variable normal con una desviación típica igual a diez, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de todos los alumnos, con un nivel de confianza de 0,99?

    27.-[S05] El peso de los niños varones a las 10 semanas de vida se distribuye según una

    normal con desviación típica de 87 g. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 g?

    28.-[S06] Un fabricante de bombillas sabe que la desviación típica de la duración de esas

    bombillas es 100 horas. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de someter a prueba para tener una confianza del 95% de que el error de la duración media que se calcula sea menor de 10 horas.

    29.- [S07] Supongamos una población N(µ, σ = 8). Se extrae de ella una m.a.s. Si se sabe

    que la probabilidad de cometer un error de 3.92 o más al estimar la media µ mediante la media muestral es de 0.05, ¿qué tamaño ha de tener la muestra?

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  • Problemas de Contraste de Hipótesis 1.-En una determinada población juvenil el peso, en kilos sigue una distribución normal con

    una desviación típica de 10 kg. Se extrae una muestra aleatoria de 25 jóvenes cuya media muestral es de 48 kg. Para un nivel de significación del 5 %, ¿podemos aceptar la hipótesis de que la media poblacional es de 50 kg?

    (sol: Podemos aceptar que la media poblacional es de 50 kg) 2.-El director de un centro escolar afirma que al 60% de sus alumnos les gusta el fútbol.

    Para estudiar la veracidad de tal afirmación se toma una muestra de 75 alumnos de ese centro y se obtiene que les gusta el fútbol a 40 de ellos. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0’05, la afirmación del director? (sol: se acepta)

    3.-Un directivo de cierta empresa de material eléctrico afirma que la vida media de cierto

    tipo de bombillas es de 1500 horas. Otro directivo de la misma empresa afirma que la vida media de dichas bombillas es igual o menor de 1500 horas. Elegida una muestra aleatoria simple de 81 bombillas de dicho tipo, vemos que su vida media ha sido de 1450 horas. Suponiendo que la vida de las bombillas sigue una distribución normal con desviación típica igual a 180 horas:

    a) ¿Es compatible la hipótesis 1500: =μoH , frente a la hipótesis 1500:1 ≠μH con

    una confianza del 99%, con el resultado experimental 1450=x ? b) ¿Es compatible la hipótesis 1500: =μoH , frente a la hipótesis 1500:1

  • 8.-El contenido de leche en las botellas llenadas por cierta máquina envasadora, antes de

    averiarse, se distribuía según una variable aleatoria normal de media 1000 cm3 y desviación típica 20 cm3. Tras la reparación de la avería, la distribución de los contenidos de las botellas envasadas por la máquina sigue siendo normal con desviación típica de 20 cm3, pero al tomar una muestra de 25 botellas llenadas por la máquina reparada se obtiene una media de sus contenidos de 1010 cm3.

    Determine si se debe aceptar la hipótesis de que la media de los volúmenes envasados por la máquina tras la reparación sigue siendo de 1000 cm3, o rechazarla a favor de que la media ha aumentado, con un nivel de significación del 5 %.

    (sol: Como ( 58,1006,1010 ∞−∉=x ) entonces aceptamos que la media de los volúmenes envasados por la máquina tras la reparación ha aumentado, con un nivel de significación de 5%)

    9.-Si al lanzar 80 veces una moneda se obtienen 45 caras, ¿se puede aceptar que la moneda

    está trucada, con un nivel de significación del 5%? (sol: Aceptamos Ho(bilateral): p=0’5 de que la moneda no está trucada ) 10.-Un dentista afirma que el 40% de los niños de 10 años presentan indicios de caries

    dental. Tomada una muestra de 100 niños, se observó que 30 presentaban indicios de caries. Comprobar al nivel de significación del 5% si el resultado proporciona evidencia que permita rechazar la afirmación del dentista.

    (sol: Se rechaza Ho : p=0’4) 11.-El 42% de los escolares de un cierto país suelen perder al menos un día de clase a causa

    de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para toda la población de escolares se ha mantenido.

    a) Contrasta con un nivel de significación del 5%, la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusión se llega.

    b) ¿Cómo se llama la probabilidad de concluir erróneamente que el tanto por ciento se ha mantenido?

    (sol: a) rechazamos Ho : p=0’42 b) error de Tipo II ) 12.-La misma carrera universitaria puede cursarse en dos facultades distintas. El tiempo en

    años que tardan los alumnos de de la facultad A en licenciarse sigue una distribución N( μ1, 0’8), y el que tardan los alumnos de la facultad B sigue una N(( μ2, 0’6). Si en una muestra de 50 alumnos de la facultad A se observó un tiempo medio de 5’1 años, y en una muestra de 75 alumnos de la facultad B se observó un tiempo medio de 4’9 años, ¿se puede aceptar, con nivel de significación del 2%, que los alumnos de B tardan al menos tanto tiempo como los de A en licenciarse, por término medio? (sol: se acepta Ho : μ1 - μ2

  • 14.-El nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg./100 ml. de plasma con una desviación típica de 4 mg./100 ml. Se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg./100 ml. ¿Es la muestra comparable con la población, con un nivel de significación de 0.05?

    (sol: Como ( 24,21,76,185,18 ∉=x ) entonces la muestra no es comparable con la población) 15.-En un laboratorio se someten a una misma prueba dos tipos de ratas. Dicha prueba

    consiste en colocar cada rata en el centro de un laberinto y medir el tiempo que tarda en salir. Los científicos opinan que los tiempos empleados por ambos tipos de ratas son iguales. Para confirmar su hipótesis, realizan la prueba con 200 ratas de cada tipo. Si la media del primer tipo de ratas fue de 6 minutos y 15 segundos y la media del segundo tipo fue de 5 minutos y 45 segundos, suponiendo que la distribución de tiempos empleados en tiene ambos tipos de ratas una desviación típica de de 2 minutos, ¿se puede aceptar la hipótesis de los científicos con un nivel de significación del 1%? (sol: se acepta)

    16.-El alcalde de una población desea conocer hasta qué punto sus conciudadanos están

    satisfechos con cierto ser vicio público. Al encuestar a 500 ciudadanos, 415 de ellos se manifestaron satisfechos. ¿Se puede aceptar, con nivel de significación del 1%, que la proporción de ciudadanos satisfechos es de, al menos, un 85%?

    (sol: se acepta) 17.-En la publicidad de una máquina que fabrica tornillos se asegura que las piezas

    producidas defectuosas no superan el 2%. Al revisar 1000 tornillos, se observa que 28 de ellos son defectuosos. ¿Es aceptable la publicidad de la máquina, con un nivel de significación del 5%?

    (sol: No ) 18.-El peso medio de los paquetes de café puestos a la venta por cierta casa comercial es

    supuestamente de 1 kg. Para comprobar esta suposición elegimos una m.a.s. de 100 paquetes y encontramos que su peso medio es de 0,978 kg. Suponiendo que la distribución del peso de los paquetes de café es normal y que la desviación típica de la población es de 0,10 kg, ¿es compatible este resultado con la hipótesis nula H0 : µ = 1 con un nivel de significación de 0,05?, ¿y con un nivel de significación de 0,01?

    19.-Se está calibrando una balanza. Para ello se pesa una “pesa de prueba” de 1000 gramos

    60 veces, obteniéndose un peso medio de 1000’6 gramos. Si la desviación típica de la población es

    de 2 gramos, ¿podemos aceptar la hipótesis nula 1000:0 =μH frente a la alternativa 1000:1 ≠μH con una confianza del 99 %?

    20.-El número de accidentes mortales en una ciudad es, en promedio, de doce mensuales.

    Tras una campaña de señalización y adecentamiento de las vías urbanas, se contabilizaron en seis meses sucesivos 8, 11, 9, 7, 10 y 9 accidentes mortales. Suponiendo que el número de accidentes mortales en dicha ciudad tiene una distribución normal con una desviación típica igual a 1,3 ¿podemos afirmar que la campaña fue efectiva con un nivel de significación de 0,01?

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  • 21.-Se sabe que las estaturas en cm de los bebés nacidos en dos maternidades A y B tienen,

    respectivamente, distribuciones N(μ1, 3) y N(μ 2, 3’2). Si una muestra de 25 bebés nacidos en A dio una estatura media de 50’4 cm y una muestra de 28 bebés nacidos en B dio una media de 49’8 cm, se puede aceptar con nivel de significación del 4% que no hay diferencia entre las estaturas medias de los bebés nacidos en las dos maternidades? (sol: Sí)

    22.-En una muestra de 98 televisores de la marca A se observó una duración media de 19

    años, y en una muestra de 45 televisores de la marca B la duración media observada fue de 17 años. Si en ambos casos la desviación típica poblacional es de 5 años, ¿se puede aceptar, con nivel de significación del 3%, que la duración media de los televisores de la marca A es menor o igual que la de los de B? (sol: NO)

    23.-El tiempo en segundos empleado por una máquina A en montar cierto mecanismo sigue

    una distribución N(μΑ, 12). Existe en el mercado otra máquina B que monta el mismo mecanismo en un tiempo distribuido según una N(μΒ, 12). Si en 80 pruebas para cada máquina se obtuvo un tiempo medio de 182 s para A y de 180 s para B, ¿se puede aceptar, con nivel de significación del 5 %, que la máquina A es al menos tan rápida como la B?, ¿y se puede aceptar, con nivel de significación del 2%, que la máquina B es al menos tan rápida como la A?

    (sol: SÍ ; SÍ )

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