TEMAS

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

PRUEBA DE INDEPENDENCIA

LOGRO DEL TEMA

Al finalizar la sesión,

el estudiante será capaz de:Aplicar los diferentes usos de la distribución chi – cuadrado para Bondad de ajuste de una variable e independencia de dos variables categóricas

Pruebas Chi cuadradoPrueba de bondad de ajuste a la Poisson

Observemos la variable:

X= Número de defectos por mayólica de 30x30

¿Qué distribución presenta esta variable?

¿Cómo probar que posee esa distribución?

Mayólica

Número

defectos: X

i 1 02 03 14 25 36 17 08 2

…..  100 3

Comparamos valores observados con valores esperados.

Tabla resumen

Xi o i

0 45

1 30

2 15

3 10

  100

0 1 2 305

101520253035404550 45

30

1510

40.736.6

16.5

6.3

Comparaciones entre valores observados y valores esperados

o ie i

Número de defectos

Núm

ero

de m

ayólicas

¿Qué tan buen ajuste logramos?

Prueba de bondad de ajuste a la Poisson

Sirve para probar si una variable sigue una distribución determinada en este caso Poisson Hipótesis:

H0: X sigue una distribución de Poisson

H1: X no sigue una distribución de Poisson

Estadístico de prueba:

22 2( 1)

1

~k

i ic k m

i i

o e

e

i ie np

Criterio de rechazo:2

)1,(2

mkc

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Density

0

Distribution PlotF; df1=15; df2=23

Z.R.Z.N.R α

2)1,( mk

EJEMPLO Pág. 96

Número de rayos

gamma: X

Frecuencia

observada: Probabilida

dFrecuencia esperada:

0 20      1 48      2 65 0,239505 71,8514 0,653323 75 0,222207 66,6622 1,042874 45 0,154619 46,3858 0,041405 34 0,086071 25,8214 2,590476 9 0,039928 11,9783 0,74051

7 o más 4      Total 300      

ioie

2i i

i

o e

e

Se desea probar si el número de rayos gamma emitidos por segundo por cierta sustancia radiactiva es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson. Utilice los siguientes datos obtenidos en 300 intervalos de segundo para probar dicha hipótesis a un nivel de significación 0,05.

Prueba de bondad de ajuste para distribución de Poisson  Columna Datos: Número de rayos gammaColumna Frecuencia: Frecuencia observada Media de Poisson para Número de rayos gamma = 2,78333 Númerode rayos Probabilidad Contribucióngamma Obs de Poisson Esperado a Chi-cuad.0 20 0,061832 18,5496 0,113401 48 0,172099 51,6298 0,255192 65 0,239505 71,8514 0,653323 75 0,222207 66,6622 1,042874 45 0,154619 46,3858 0,041405 34 0,086071 25,8214 2,590476 9 0,039928 11,9783 0,74051>=7 4 0,023739 7,1216 1,36830   N N* GL Chi-cuad. Valor P300 0 6 6,80545 0,339

Pruebas de normalidad Shapiro Wilks y Anderson Darling

Prueba de normalidad

Sirve para probar si una muestra de datos sigue una distribución normal Hipótesis:

H0: X sigue una distribución normal

H1: X no sigue una distribución normal

Existen dos pruebas muy conocidas para probar la normalidad de una muestra de datos.

Prueba de normalidad de Shapiro WilksSe considera una de las pruebas más potentes para el contraste de normalidad, sobre todo para muestras pequeñas (n<30)

12 15 16 18 19 14 10 15 16 14

Pruebe que si las siguientes edades provienen de una distribución normal. Use un nivel de significación del 1%.

22,520,017,515,012,510,0

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Edades

Porc

enta

je

Media 14,9Desv.Est. 2,644N 10RJ 0,990Valor P >0,100

Gráfica de probabilidad de EdadesNormal

EJEMPLOPág.99

Prueba de normalidad de Anderson Darling

Esta prueba se aplica para evaluar el ajuste a cualquier distribución de probabilidades.

Cuando se aplica para probar si se ajusta un conjunto de datos a una distribución normal, es una herramienta poderosa para la detección de la mayoría de las desviaciones de la normalidad.

Es una prueba de normalidad considerada como una modificación de la prueba de Kolmogorov.

Durante un periodo de tres semanas se observó el número de averías de una máquina. Contrastar la hipótesis de que los datos provienen de una distribución normal. Use un nivel de significación del 1%.

EJEMPLO Pág 101

Prueba de independencia

RendimientoAlto

MedioBajo

Tipo de música Rock Pop Clásica

¿Están relacionadas estas variables?

Debido a la cercanía de los exámenes finales, se hizo una encuesta a los alumnos de la UPC para saber si su rendimiento en los exámenes esta relacionado con el tipo de música que escuchan en sus horas de estudio.

Prueba de independencia

Hipótesis:

Estadístico de prueba:

Criterio de rechazo:

n

nne ji

ij

2

111 1

2

2 ~

cr

r

i

c

j ij

ijijc e

eo

H0: X e Y son independientes (no están relacionados)

H1: X e Y no son independientes (están relacionados)

2

11,2

crc

Sirve para probar si dos variables categóricas son independientes entre sí.

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Density

0

Distribution PlotF; df1=15; df2=23

Z.R.Z.N.R.

α

2

11, cr

Tabla de contingencia

Variable 2TotalColumn

a 1Columna

2 . . Columna c

Variable 1

Fila 1

Fila 2

.

.

Fila r

Total n

La tabla se construye con la información de una muestra.

La variable 1 con r categorías se ordena en las filas (tendremos r filas)La variable 2 con c categorías se ordena en las columnas (tendremos c columnas)

EJEMPLOPág. 103Para determinar si en realidad existe una relación entre el aprovechamiento de un empleado en el programa de capacitación y su rendimiento real en el trabajo, consideramos una muestra de 400 casos de sus archivos y obtenemos las frecuencias observadas que se presentan en la siguiente tabla  

Calificación en el programa de capacitación

TotalDebajo del

promedio

Promedio

Sobre el promedi

o

Rendimiento real en el trabajo (calificación del empleador)

Deficiente 23 60 29 112

Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total 60 188 152 400Con un nivel de significación del 0.01, ¿la calificación del rendimiento del trabajador está asociada a la calificación en el programa de capacitación?

Debajo

del pro

medio

Pro

medio

Sobre

el pro

medio

Calificación en el programa de capacitación

0

20

40

60

80

23

60

2928

79

60

9

49

63

Distribución del rendimiento real en el traba-jo con respecto a la calificación en el pro-

grama

Rendimiento real en el trabajo (calificación del empleador) DeficienteRendimiento real en el trabajo (calificación del empleador) PromedioRendimiento real en el trabajo (calificación del empleador) Muy bueno

Núm

ero

de t

rabaja

dore

s

¿Qué aprendimos hoy?