LEY DE HOOKE Y CAMBIOS DE ENERGIA POTENCIAL

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Segunda Ley de newton, Trabajo, Energía potencial elástica, Energía potencialgravitatoria, Conservación de la energía, Estática, Oscilaciones.

1 .   I N T R O D U C C I Ó N :

La ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuándo no se sobrepase el límite de elasticidad.En la práctica se busca haciendo uso de la ley de Hooke y de la ecuación del movimiento armónico simple de un resorte sometido a un esfuerzo hallar experimentalmente la constante de elasticidad de un resorte del cual conocemos su masa

2. OBJETIVOS:

- Evaluar la constante de elasticidad de un resorte mediante la Leyde Hooke.- Investigar los cambios de energía potencial elástica en un sistemamasa – resorte.

3. MATERIALES:

1. Resorte helicoidal ( 1 )

2. Juego de masas

3. Porta masas ( 1 )

4. Soporte universal ( 1 )

5. Balanza de tres brazos ( 1 )

6 .  W incha

3. FUNDAMENTO TEORICO:

1..Energía potencial

En un sistema físico, la energía potencial es

energía que mide la capacidad que tiene dicho

sistema para realizar un trabajo en función

exclusivamente de su posición o configuración.

Puede pensarse como la energía almacenada en

el sistema, o como una medida del trabajo que un

sistema puede entregar. Suele abreviarse con la

letra   o  .

La energía potencial puede presentarse

como energía potencial gravitatoria, energía

potencial electrostática, y energía potencial

elástica.

Más rigurosamente, la energía potencial es

una magnitud escalar asociada a un campo de

fuerzas (o como en elasticidad un campo

tensorial de tensiones). Cuando la energía

potencial está asociada a un campo de fuerzas, la

diferencia entre los valores del campo en dos

puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

Ley de Hooke:

“La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada”.

En f í s i ca , l a ley de elasticidad de Hooke o l ey de Hooke , originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional ala fuerza aplicada

F :

Donde δ: alargamiento longitudinal, L : Longitud original, E : módulo de Youngo módulo de elasticidad, A: sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite de elasticidad.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneod e   I s a a c   N e w t o n .   A n t e   e l   t e m o r   d e   q u e  a l g u i e n   s e   a p o d e r a r a   d e   s u descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv , revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensión sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material .Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sé le quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico

Elasticidad:Prop iedad de camb ia r de f o rma cuando ac túa una f ue rza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación.

Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla, plastilina y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente. 

Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico.  

*Cuando se t i r a o se es t i r a de l ago se d i ce que es tá en tensión (largas y delgadas).

*Cuando se ap r i e ta o se compr ime a lgo se d i ce que es tá en compresión (cortas y gruesas).

Se denomina deformación elástica aquella que desaparece al retirar la fuerza que la provoca.

Comúnmente se entiende por materiales elásticos, aquellos que sufren grandes elongaciones cuando se les aplica una fuerza, es el caso por ejemlo de la goma elástica que puede estirarse sin dificultad recuperando su longitud original una vez que desaparece la carga.

Este comportamiento, sin embargo, no es exclusivo de estos materiales, de modo que los metales y aleaciones de aplicación técnica, piedras, hormigones y maderas empleados en constucción y en general cualquier material presenta este comportamiento hasta un cierto valor de la fuerza aplicada; si bien en los casos apuntados las deformaciones son pequeñas, al retirar la carga desaparecen.

Al valor máximo de la fuerza aplicada para el que la deformación es elástica se le denomina límite elástico y es de gran importancia en el diseño mecánico, ya que en la mayoría de aplicaciones es éste y no el de la rotura, el que se adopta como límite de servicio, pues una vez superado aparecen deformaciones plásticas (remanentes tras retirar la carga) de mayor magnitud que las elásticas comprometiendo la funcionalidad de los elementos mecánicos.

LEY DE HOOKE PARA LOS RESORTES

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la

ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza   ejercida sobre el resorte con

la elongación o alargamiento   producido:

Donde   se llama constante elástica del resorte y   es su elongación o variación que

experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica   asociada al estiramiento del resorte

viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la   antes definida depende de la longitud del muelle y de su

constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la

longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle.

Multiplicando   por la longitud total, y llamando al producto   o   intrínseca, se tiene:

Llamaremos   a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de

sus extremos que tomamos como origen de coordenadas,   a la constante de un pequeño

trozo de muelle de longitud   a la misma distancia y   al alargamiento de ese pequeño

trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se

integra para todo , de obtiene como ecuación

de onda unidimensional que describe los

fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico).

La velocidad de propagación de las vibraciones

en un resorte se calcula como:

Una masa m se sostiene en x0, luego se le hace descender al punto x1, estirando el resorte una pequeña distancia. Cuando a la masa se le deje libre caerá a una posición x2, luego continuará vibrando entre posiciones cercanas a x1 y x2, después la masa llegará al reposo.

Bajo estas condiciones el trabajo realizado para estirar el resorte de x1 a x2 está dado por:

Esto, además define el cambio de energía potencial elástica Us producido en el resorte al cambiar su estiramiento. Se expresa en joules.Por otro lado, el cambio de energía potencial gravitatoria, Ug experimentada por la masa m está dada por:

( ) 2 1 U mg x mg x x g

−Además, si y0 es considerado un sistema de referencia para medir las energías potenciales gravitatorias Ug = m g y, otra forma de escribir la ecuación anterior es

( ) 1 2 1 2 U mgy mgy mg y y g

−−

Donde y1 e y2 pueden ser determinadas una vez conocidas x1 y x2, ya que llamamos H a la distancia comprendida entre x0 e y0 se cumple que:

1 1 y H −x 2 2 y H −x

H es una cantidad fácilmente medible.

Ley de Hooke en sólidos elásticos

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el modulo se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como

límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

PROCEDIMIENTO:

1. Monte el equipo tal como se muestra en la figura Nº 1 y haga coincidir el extremo inferior del resorte con el cero de la escala graduada o un punto de ésta, que le permita fáciles lecturas, tal como x0 = 40 cm. Este será el sistema de referencia para medir los estiramientos del resorte.

2. Suspenda la porta pesas del extremo inferior del resorte. Es posible que en estas condiciones se produzca un pequeño estiramiento en el resorte. Si es así, anote la masa de la porta pesas y el estiramiento producido en el resorte en la Tabla Nº 1.3. Adicione sucesivamente masas y registre los estiramientos del resorte para cada uno de ellas. Cuide de no pasar el límite elástico del resorte.

4. Cuando el peso máximo que ha considerado este aún suspendido, retire una a una las masas y registre nuevamente los estiramientos producidos en el resorte para cada caso.

5. Complete la Tabla Nº 1, calculando el promedio de las lecturas y determinando los correspondientes estiramientos para cada masa usada.

6. Suspende ahora una masa de 0,5 kg (u otra sugerida por su profesor) del extremo inferior del resorte y mientras la sostiene con la mano hágala descender de tal manera que el resorte se estire unos 2 cm. Registre este valor como x1.

7. Suelte la masa de manera que caiga libremente. Después de dos o más intentos observe la posición aproximada del punto más bajo de caída. Registre la lectura como x2.

8. Repita los pasos (6) y (7) considerando nuevos valores para x1, tales como: 4 cm, 6 cm, 8 cm y 10 cm. Anote todos estos valores en la Tabla Nº 2 y complete según la información que ha recibido.

TABLA N°1: Medida de la Elongación en un Resorte

MasaSuspendida

M (kg)

FuerzaAplicada

F (N)

Estiramientos del ResortesAdicionando

MasasX (cm)

RetirandoMasa

X' (cm)

PromedioX (cm)

M ± △M F ± △ F x ± △ x X ± △ x X ± △ x0.054 kg 0.52812 N 0.06 m 0.005 m 0.0055 m0.079 kg 0.77262 N 0.010 m 0.007 m 0.0085 m0.093 kg 0.90954 N 0.012 m 0.013 m 0.0125 m0.113 kg 1.10514 N 0.018 m 0.017 m 0.0175 m0.133 kg 1.30074 N 0.026 m 0.026 m 0.026 m0.186 kg 1.81908 N 0.042 m 0.045 m 0.0435 m0.231 kg 2.25918 N 0.060 m 0.059 m 0.0595 m0.281 kg 2.74818 N 0.074 m 0.074 m 0.074 m

TABLA N°2: Comparación entre las energías potencial elástica y gravitatoria

x1± ∆ x1(m) 0.031 m 0.047 mx2± ∆ x2(m) 0.068 m 0.131 m

U e1=1

2k X 1

2(J ) 0.014756155 J 0.033919195

U e2=1

2k X 2

2(J ) 0.07100152 J 0.0263507155

∆ U e(J ) 0.056245365 J 0.0075684795y1 ± ∆ y1(m) 0.05 m 0.064 my2 ± ∆ y2(m) 0.115 m 0.075

U g1=mg y1(J ) 0.1467 m 0.4304178

U g2=mg y2(J ) 0.3374 m 0.22005

∆ U g(J ) 0.1905 0.2103

CUESTIONARIO:

1) Grafique e interprete las fuerzas aplicadas vs. Los es t i r am ien tos de l r eso r t e , usando l os va lo res de l a t ab la n º1 . De l experimento desarrollado, ¿F es proporcional a X?

Por l a g ra f i ca se puede ve r , que F y X f o rman una ecuac ión F=mX+b siendo esta (F=31.2X+0.4) aproximadamente

2 )   A p a r t i r d e l a p e n d i e n t e   d e   l a   g r a f i c a F   v s . X , d e t e r m i n e   l a constante elástica del resorte.

La pendiente de la grafica anterior representa la constante de elasticidaddel resorte utilizado en la experiencia.Esta constante se halla en la grafica y es de K=31.2N/cm

3)  Ha l l e   e l   á rea  ba jo   l a   cu rva  F   vs .  X .  ¿F ís i camen te  que  s i gn i f i ca esta área?

El area bajo la curva representa el trabajo (W) realizado por el resorte, otambien se podria decir a la energia interna del resorte (U).En nuestra experiencia el trabajo será: W=57.86Nxm

4 )   S i   l a   g r a f i c a   F   v s .   X   n o   f u e r a   l i n e a l   p a r a   e l   e s t i r a m i e n t o  d a d o d e   c i e r t o   r e s o r t e .   ¿ C ó m o   p o d r í a   e n c o n t r a r   l a   e n e r g í a   po t e n c i a l almacenada?

S i   l a   g r a f i c a   n o   e s   l i n e a l   s e   p o d r í a   c a l c u l a  i n f i n i t e s i m a l m e n t e   c o n   l a suma to r i a de a reas , a es te a r t i f i c i o en l as ma temá t i cas l l amamos “LA INTEGRAL

5 )   O b s e r v e d e s u s   r e s u l t a d o s   l a   p e r d i d a d e e n e r g í a p o t e n c i a l gravitatoria y el aumento de la energía potencial del resorte cuandola masa cae. ¿Qué relación hay entre ellas?

Hay una relación de clara proporcionalidad en esta grafica

6 )Gra f i que   s imu l t áneamen te   l as  2   f o rmas  de  ene rg ía  en   f unc ion de los estiramientos del resorte. De una interpretación adecuada

La energía potencial gravitatoria es máxima cuando la deformación del resorte es igual a cero y va disminuyendo a medida que va bajando hacia el punto de referencia. La energía potencial elástica es mínima cuando la deformación del resorte es igual a cero y va aumentando hasta llegar al punto de referencia

7 )¿Se  conse rva   l a   ene rg ía  en  es tas   i n te racc iones  en t re   l a  masa y el resorte?

S i se conse rva ya que ac túa l a f ue rza e lás t i ca , y es ta es una f ue rza conservativa de la energía.

8)¿Cuál es la suma de las energías potenciales cuando la masa de 5kg (o la que considero en su experimento) ha llegado a la mitad de su caída?

Cuando llegue a la mitad la suma de sus energías potenciales seria:

E = Ep+ Ee=> E = mgh

 De esto llegamos que:

E = 5(9.81) h+

9 )   G r a f i q u e   l a   s u m a   d e   l a s   e n e r g í a s   p o t e n c i a l e s   e n   f u n c i ó n  d e los estiramientos del resorte. ¿que puede deducir del grafico?

1 0 )   ¿ b a j o q u e   c o n d i c i o n e s l a s u m a d e l a e n e r g í a c i n é t i c a y potencial de un sistema permanecen constantes?

La suma de la energía cinética y potencial de un sistema permanecenconstantes si y solo si no actúan en el sistema fuerzas no conservativascomo lo son la fuerza de rozamiento, la fuerza de resistencia del aire.

11 )  De te rm ine  expe r imen ta lmen te  e l   va lo r   de   l a   cons tan te  K .

Segun los datos que tenemos en la grafica, experimentalmente el K seriaigual a 31.2N/m

12)  ¿Qué  o t ras   f o rmas  de  ene rg ía  po tenc ia l   ex i s t en  que  no  sen gravitatoria ni elástica?

Energía potencial electrostática y la energía potencial magnética.

1 3 )   S i s e s a b e q u e e s c e r o l a f u e r z a s o b r e u n c u e r p o e n determinado punto. ¿Implica necesariamente que la energíapotencial es nula en ese punto?

No porque el que un cuerpo no tenga una fuerza aceleradora o este enequ i l i b r i o no es mo t i vo su f i c i en te pa ra dec i r que no p resen ta ene rg ía potencial ya que esta se debe la a posición mas no tiene relación con lafuerza.

14)Considero un resorte de constante elástica K. si el resorte se cortaexactamente por la mitad de su longitud ¿Qué ocurre con el valor  del K? muestre su respuesta analíticamente.

E l v a l o r s e d u p l i c a . Y a q u e t e n i e n d o l a f o r m u l a F = k x s i s e c o r t a e l resorte, se llega a la coclusion que la deformación será la mitad;

peroc o m o   n u e s t r a   f u e r z a   e s   c o n s t a n t e   e l   K   s e   d u p l i c a   p a r a  m a n t e n e r   invariable la fuerza.

CONCLUSIONES:

-Al realizar el proyecto hemos podido darnos cuenta que las deformaciones mayor si el peso aumenta

-Idealmente la energía se conserva, por lo tanto podemos decir que la fuerza elástica es una fuerza conservativa a la par de la fuerza gravitatoria.

-A l t ene r e l va lo r de l os resu l t ados muy ce rca de l os va lo res i dea les podemos decir se cumple la ley de Hook y que también se desarrollo el laboratorio de forma eficiente.

OBSERVASIONES:

-Al Iniciar el proyecto tenemos que pesar nuestros materiales; Pesas. La balanza debe estar debidamente calibrada.

-El resorte a utilizar no debe mostrar signos de deformación antes de iniciar el experimento, no debe de estar muy gastada.

-Tratar que las mediciones con la wincha sean las más precisas

RECOMENDACIONES:

-siempre preguntar al profesor cualquier duda que se tenga en lo que concierne al uso de las herramientas de trabajo.

-Las pesas deben estar colocadas de manera que quede sujeta al resorte en movimiento.