I. OBJETIVO GENERAL:

1. Verificar experimentalmente la ley de Hooke.

2. Describir los posibles errores de esta medición y sus posibles causas.

3. Representar gráficamente los esfuerzos aplicados a un resorte en función de las

deformaciones que le producen y a partir de la gráfica, determinar la constante elástica

de los resortes.

4. Calcular experimentalmente la constante K de un resorte por medio del método recta mínimo cuadrática.

5. Verificar la primera condición de equilibrio y segunda condición .

6. Diferenciar las condiciones para que un sistema mantenga un equilibrio estático o

rotacional.

7. Verificar la igualdad de momentos respecto a un punto en un cuerpo.

8. Establecer las condiciones necesarias para que un sistema se encuentra en equilibrio.

II. MATERIALES A UTILIZAR

a. Tres resortes helicoidales.

b. Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez.

c. Una regla graduada en milímetros.

d. Un juego de pesas calibradas con portapesas.

e. Una argolla.

f. Un soporte de madera.

g. Una prensa.

h. Una barra metálica con orificios.

i. 3 ganchos y 3 clavos.

j. Un tablero.

III. MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL

Ley de Hooke

Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo.

No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento producido:

Donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Todos los cuerpos en el universo interaccionan los unos con los otros, influyéndose mutuamente en sus movimientos. Pero podríamos imaginarnos una situación tal en que sobre un cuerpo no se ejerciera una interacción o en que el efecto combinado de varias se anulara; tendríamos entonces lo que se llama " partícula libre" .

            La experiencia nos enseña que si en un instante dado cesa la acción que se ejerce sobre una partícula, de modo que ésta se convierta en libre, su movimiento a partir de ese instante será rectilíneo uniforme con la velocidad que tenía en el momento en que dejaron de actuar los agentes exteriores. Esta tendencia de un cuerpo a mantener su velocidad cuando no se ejercen acciones sobre él se llama INERCIA.

Definición de Equilibrio Estático

Cuando un cuerpo rígido está en reposo o en movimiento rectilíneo a velocidad constante, relativo a un sistema de referencia, se dice que dicho cuero está e equilibrio estático. Para tal cuerpo tanto la aceleración lineal de su centro de masa como su aceleración angular relativa a cualquier punto son nulas. Obviamente este estado de equilibrio estático tiene su fundamento en la primera Ley de Newton, cuyo enunciado es: " Todo cuerpo en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, permanece en dicho estado, a menos que sobre ella actúe una fuerza" .

        

Condiciones de Equilibrio

  Las condiciones para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio son:

 

Primera Condición de Equilibrio (Equilibrio de traslación)

" La suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es igual a cero" . Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o cuando e mueve a velocidad constante; es decir cuando la aceleración lineal del centro de masa es cero al ser observado desde un sistema de referencia inercial.

  = `D1 + `F2 +`F3  +  ..... + `FN = 0

En esta ecuación de equilibrio no aparecen las fuerzas internas ya que ellas se cancelan mutuamente en pares debido a la tercera Ley de Newton. Si las fuerzas estuvieran en el espacio, la ecuación anterior ha de ser expresada por las siguientes relaciones:

 = F1x + F2x + F3x  +…. +  Fx           =          0

 = F1y + F2y + F3y +..... + FNy         =          0

 = F1z + F2z + F3z +..... + FNz        =          0

Obviamente en dos dimensiones (o sea en el plano) tendríamos solamente dos ecuaciones y en una dimensión se tendría una única ecuación.

           

Segunda Condición de Equilibrio  (Equilibrio de rotación)

" La suma vectorial de todos los torques o momentos de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, relativos a cualquier punto dado, sea cero" .  Esto ocurre cuando la aceleración angular alrededor de cualquier eje es igual a cero.

                       `ti = `ti  +`t2i  +`t3i  + .... + `tni       =          0

IV. METODOLOGIA

4.1 Para verificar experimentalmente la Ley de Hooke.

a. Utilizando el resorte helicoidal, realice el montaje como se indica en la figura. 2 el

resorte debe estar asegurado firmemente a la varilla horizontal.

b. Con la regla mida por tres veces la longitud del resorte sin carga externa,

llamando esta longitud L0

c. En el extremo libre del resorte cuelgue el portapesas.

d. Coloque una pesa m1 en el portapesa, el resorte se estirara y espere que se

alcance el equilibrio estático. Con la regla mida la nueva longitud del resorte,L1.

La diferencia L1 – L0 = ΔX1, es el alargamiento producido por el peso m1. Registre

sus valores en la tabla I.

e. Agregue al portapesas sucesivamente, sin quitar los anteriores, pesas m2, m3,

etc. y calcule los alargamientos producidos en todos los casos con respecto a L0.

Registre sus valores en la tabla I.

f. A efectos de reducir errores es conveniente efectuar, en la escala lecturas

ascendentes (para cargas agregadas) y descendentes (quitando sucesivamente

cargas). Para cada valor de peso agregado, se tomara como lectura x el

promedio de las lecturas ascendentes y descendentes correspondientes a un

mismo valor de peso.

g. Repita los pasos “a” hasta “f” con los otros dos resortes. Registre sus valores en

la tabla I.

PROCEDIMIENTO.

Se instaló el equipo para verificar la ley de Hooke y calcular la constante elástica k.

Con la regla se midió la longitud inicial del resorte sin carga.

Luego en el extremo libre del resorte se insertó el portapesas.

Del juego de pesas se empezó a colocar cada uno en los portapesas en forma

ascendente y descendentes con la regla se medió la nueva longitud del resorte para

cada caso.

Se agregó al portapesas masas y se calculó los alargamientos producidos.

Se hiso el mismo paso para los resortes 1,2 y 3.

Tabla I. Datos y cálculos para verificar la Ley de Hooke

RESORTE I Longitud Inicial (cm) L0 = 6.4 cm

RESORTE II Longitud Inicial (cm) L0 = 6.5 cm

N° Masa (gr.)Longitud Final LF (cm)

N° Masa (gr.)Longitud Final LF (cm)

Cargaascendente

Carga descendente

Cargaascendente

Carga descendente

1 5 6.7 6.7 1 5 6.6 6.7

2 20 6.7 6.8 2 20 6.7 6.8

3 30 6.8 7.0 3 30 6.9 7.0

4 70 8.0 8.4 4 70 7.5 7.6

5 100 9.2 9.2 5 100 8.6 8.8

6 130 10.2 10.4 6 130 9.9 9.9

7 180 12.2 12.3 7 180 12.1 12.2

8 280 15.8 15.8 8 280 16.8 16.8

RESORTE III Longitud Inicial (cm) L0 = 6.8 cm

N° Masa (gr.)Longitud Final LF (cm)

Cargaascendente

Carga descendente

1 5 7.4 7.6

2 20 7.8 8.0

3 30 8.2 8.3

4 70 9.8 9.9

5 100 11.0 11.0

6 130 12.2 12.3

7 180 14.1 14.1

8 280 18.2 18.2

4.2 Para verificar la primera condición de equilibrio

a. Con la regla mida por 3 veces la longitud propia (sin estirar ni comprimir de cada resorte). Registre sus valores en la tabla II

b. Fije uno de los extremos de cada resorte a la argolla y el otro extremo a la base del soporte, tal como se muestra en la gráfica.

c. Al realizar el paso “b” los resortes se deben estirar. Mida con la regla la longitud final del resorte y a partir de ella determine la deformación Δx =LF – L0. Con el valor de k obtenido en el procedimiento (4.1). determine la fuerza del resorte.

d. En una hoja de papel milimetrado, colocada debajo de los resortes, trace un sistema de referencia OXY y en el grafique las direcciones de las fuerzas.

e. Proceda a verificar la validez de las condiciones de equilibrio.

PROCEDIMIENTO.Se midió con la regla la longitud inicial de cada resorte.

Se fijó en los extremos de cada resorte a la argolla y en el otro extremo a la base

del soporte.

Se estiro cada resorte y se midió la longitud final de cada resorte y se calculo la

deformación o el Δx = LF – L0 y con el valor de k obtenido en el experimento

anterior se calculó la fuerza en los resortes.

Se procedió a hacer los cálculos correspondientes para demostrar la primera

condición de equilibrio.

Resorte Longitud Inicial del resorte L0 (cm) Longitud Inicial del resorte L1 (cm)

1 2 3 1 2 3

R1 6.9 6.9 6.9 10.9 15.4 20.4

R2 6.6 6.6 6.6 9.0 14.2 21.1

R3 6.4 6.4 6.4 11.6 17.8 25.3

4.4.

Para verificar la segunda condición de equilibrio

a. Fije el soporte de madera a la mesa y asegúrelo mediante la prensa.b. Suspenda la varilla de la cuchilla por su orificio central (centro de gravedad) tal como

se muestra.c. Utilizando ganchos, cuelgue de la palanca, a izquierda y a derecha del eje, portapesas

y pesas hasta que la barra quede en equilibrio, en posición horizontal.d. Con la regla mida las distancias de las cargas al eje de rotación. registre su lectura en

la tabla III.e. Con la balanza mida la masa total de las pesas m1, m2 y m3 conjuntamente con los

ganchos. Registre sus lecturas en la tabla III.

Tabla III. Datos para verificar la segunda condición de equilibrio

Masa de la barra m1 (g) m2 (g) m3 (g)

1837,3 42,7 37,6 58,7

Longitud OA (cm) OB (cm) OC (cm) OD (cm) CE (cm)

1 28.7 43.8 55,3 43,8 110.5

2 7.7 44.3 55,3 32,7 110.5

3 14.2 51.3 55,3 40.6 110.5

PROCEDIMIENTO

Se fijó el soporte de madera a la mesa y se aseguró con la prensa.

Se suspendió la barrilla por su orificio central (centro de gravedad) tal como se

muestra.

Se utilizó los ganchos

para se cuelgue las pesas y luego ver que la barra quede en equilibrio.

Se midió las distancias de cada pesa con respecto al centro de gravedad de la

varilla y se tomó nota en la tabla III.

Por ultimo con la balanza se midió el peso de las pesas m1,m2 y m3,

conjuntamente con los ganchos.

V. CUESTIONARIO

a) En papel milimetrado trace una gráfica fuerza vs desplazamiento, para cada uno de los resortes R1, R2 y R3 y a partir de ella determine la constante elástica de los resortes. Use mínimos cuadrados.

RESORTE (R1)

k=n¿¿ k=8×45,2907−24,9×7,987

8×149,335−¿¿

K 1=28,442Nm

b=¿¿ b=7,987×149,335– 45,2907×24,9

8×149,335−¿¿

RESORTE (R2)

N° mi fi = mig LF promedio Xi (cm) Xi2 (cm)2 Xifi (N.cm)

1 5 0,049 6,7 0,30 0,09 0,01472 20 0,196 6,75 0,35 0,1225 0,06863 30 0,294 6,9 0,5 0,25 0,1474 70 0,686 8,2 1,8 3,24 1,23485 100 0,980 9,2 2,8 7,84 2,7446 130 1,274 10,3 3,9 15,21 4,96867 180 1,764 12,25 5,85 34,2225 10,31948 280 2,744 15,8 9,4 88,36 25,7936

∑ 7,987 24,9 149,335 45,2907

N° mi fi = mig LF promedio Xi (cm) Xi2 (cm)2 Xifi (N.cm)

1 5 0,049 6,65 0,15 0,0225 0,007352 20 0,196 6,75 0,25 0,0625 0,0493 30 0,294 6,95 0,45 0,2025 0,13234 70 0,686 7,55 1,05 1,1025 0,72035 100 0,980 8,7 2,2 4,84 2,1566 130 1,274 9,9 3,4 11,56 4,33167 180 1,764 12,15 5,65 31,9225 9,96668 280 2,744 16,8 10,3 106,39 28,2632

∑ 7,987 23,45 156,1025 45,62635

k=n¿¿ k=8×45,62635−23,45×7,987

8×156,1025−¿¿

K 2=25,427Nm

b=¿¿ b=7,987×156,1025−45,62635×23,45

8×156,1025−¿¿

RESORTE (R3)

k=n¿¿ k=8×57,9866 –34,65×7,987

8×243,6975−¿¿

K 3=26,199Nm

b=¿¿ b=7,987×243,6975−57,9866×34,65

8×243,6975−¿¿

b) ¿se cumple la ley de Hooke? Explique

Si se cumple la ley de Hooke porque luego de hallar las constantes de elasticidad de cada resorte con el método de los mínimos cuadrados se puede comprobar la ley de Hooke que dice que la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo es proporcional y tiene el sentido opuesto a la deformación del resorte, tendiendo a que el resorte recupere su longitud original

En cada caso los resultados son aproximaciones al resultado original esto debido a los errores cometidos en las mediciones y estos se transforman en desviaciones ortogonales y esto altera los resultados pero estos son mínimos.

N° mi fi = mig LF promedio Xi (cm) Xi2 (cm)2 Xifi (N/ cm)

1 5 0,049 7,5 0,7 0,49 0,03432 20 0,196 7,9 1,10 1,21 0,21563 30 0,294 8,25 1,45 2,1025 0,42634 70 0,686 9,85 3,05 9,3025 2,09235 100 0,980 11 4,20 17,64 4,1166 130 1,274 12,25 5,45 29,7025 6,94337 180 1,764 14,1 7,30 53,29 12,87728 280 2,744 18,2 11,4 129,96 31,2816

∑ 7.987 34,65 243,6975 57,9866

Pendiente =F / x = K

c) Utilizando la gráfica como determinaría el peso de un cuerpo si se conoce la deformación. Explique

FE =K.Δx

1. Lo primero es buscar el equilibrio estático.2. Como vemos no hay fuerzas en el eje X entonces la

La resultante en el eje X es cero.3. En el eje Y las suma de fuerzas debe ser cero y se

Obtiene una relación entre el peso del bloque y laDeformación del resorte.

FE - mbg = 0

FE = mbg ------ k.Δx = mbg

Wb = k(l –l0)

4. El peso del bloque se calculara con la siguiente ecuación. F = mg = Wb

Wb = k(l –l0)

Wb = peso del bloque K = constante elastica l = longitud inicial l0 = longitude final

d) Indique las posibles fuentes de error de la experiencia

a) El proceso de pesaje va a tener una incertidumbre b) Las medidas realizadas con la regla milimetrada tienen un porcentaje de error y puede

modificar los resultados al calcularlos.c) El hecho de que el resorte sea un cuerpo con masa produce ciertamente una deformación

en el mismo cuando es colgado y cambia su longitud inicial.d) Teóricamente los puntos que resultan deberían estar sobre una recta de pendiente k según

predice la Ley de Hooke, pero los errores experimentales hacen que queden fuera de ella. e) Debemos encontrar una recta que pase por unos puntos que se separen lo menos posible

de todos los medidos, que quede lo más equidistante posible de todos ellos. Esto es lo que se llama "ajuste de la recta por el método de mínimos cuadrados"

5.2. Verificación de la primera condición de Equilibrio

a) ¿Qué entiende por sistema de fuerzas?

Se llama sistema de fuerzas   al conjunto de fuerzas que actúan simultáneamente sobre un mismo cuerpo. Cada una de las fuerzas actuantes recibe el nombre de componente del sistema. Cuando varias fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo, siempre es posible sustituirlas por una única fuerza capaz de producir el mismo efecto. Esa fuerza única que puede sustituir a todas las componentes de un sistema de fuerzas y que produce el mismo efecto, recibe el nombre de resultante. Se llama fuerza equilibrante la fuerza igual y contraria a la resultante.

b) ¿se cumpliría la regla del paralelogramo en la experiencia realizada? Justifique su respuesta.

En la experiencia realizada no se cumple el método del paralelogramo porque en la experiencia se tiene más de dos fuerzas en este caso se cumple el método del polígono cerrado por que se tiene tres fuerzas.

El método del paralelogramo se utiliza solo para calcular la resultante de dos vectores dado sus módulos y el ángulo que forman.

…………………………

Ө Ө

R=√A2+B2+2 ABcos∝

En este caso se cumple el teorema de Lamy o el teorema del polígono cerrado por que se tiene tres fuerzas concurrentes y coplanares que actúan en el sistema en equilibrio.

F3 F2

88°

138° 134° F1

sen88 °= F 2sen138 °

= F 3sen134 °

F1

c) Con los datos de la Tabla II descomponga las fuerzas en componentes x e y y verifique la condición de equilibrio.Sistema de fuerzas:

Calculo de las fuerzas elásticas:

F1 = K3ΔX = 26,199(10,9 - 6,9)10-2m = 1,047 NF2 = K2ΔX = 25,427(9,0 - 6,6)10-2m = 0,610 NF3 = K1ΔX = 28,442(11,6 - 6,4)10-2m = 1,478 N

Por la primera condición de equilibrio:

∑Y = 0 F3 - F2sen48° - F1sen44° = 0 1,478 – 0,610(sen48°) – 1,047(sen44°) = 0 0,297 ≈ 0

∑X = 0 F1cos44° - F2cos48° = 0 1,047cos44° - 0,610cos48° = 0 0,344 ≈ 0

Calcular la desviación relativa en las dos direcciones ortogonales. A que se atribuye Ud. las desviaciones observadas? Físicamente, ¿Cuál es la principal causa de la desviación?

Desviación relativa de la fuerza:

εt (Fx )= ∆ FXF 1cos 48 °+F2 cos44 °

= 0,3441,1613

=0,30

Y

F2 = 0,610 N F2sen48° F1sen44° F1 = 1,047 N

48° 44°

F2cos48° F1cos44° X

F3 = 1,478 N

εt (FY )=∆ FYF3

=0,2971,478

=0,20

Estas desviaciones se dan a consecuencia de las malas mediciones de las medidas de longitud de los resortes también por el error en el cálculo de los pesos de cada pesa, pero el error es mínimo. Y la principal causa de estas desviaciones son por ejemplo el utilizar la gravedad a nivel del mar y no la gravedad del lugar y otro es que se toma las medidas cuando no se desprecia el aire.

5.3. Verificación de la segunda condición de Equilibrio

a) Dibuje un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la barra (incluidos las pesas y los ganchos)

Para 1: solo para el primer caso: g= 10 m/s2 0,438m Ry 0,438m

B A O D

0,287m

F2 = m2g F1 = m1g F3 = m3g

F2 =0,376N F1 = 0,427N FB= 18,023N F3 = 0,587N

b) Calcule la reacción en el eje.

Se halla aplicando la primera condición de equilibrio o aplicando la segunda condición de equilibrio en el diagrama de la barra.

RX

Masa de la barra m1 (g) m2 (g) m3 (g)

1837,3 42,7 37,6 58,7

Longitud OA (cm) OB (cm) OC (cm) OD (cm) CE (cm)

1 28.7 43.8 55,3 43,8 110.5

2 7.7 44.3 55,3 32,7 110.5

3 14.2 51.3 55,3 40.6 110.5

Solución: ∑Xi = 0 entonces Rx = 0

∑Yi = 0 entonces F1 + F2 + F3 + FB –Ry =0

Ry = 0,368 + 0,418 + 18,023 + 0,575, N

R y = 19,384N

c) Con los datos de la tabla III calcule la suma algebraica de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la barra, con respecto al eje.

∑MoF = 0 ……….. M0

F = F.d

F1(0,287m) + F2(0,438m) - F3(0,438m) = 0

(0,427N)(0,287m) + (0,376N)(0,438m) – (0,587N)(0,438m) = 0

0,123 + 0,165 - 0,257 = 0,03

Para 2: solo para el primer caso: g= 10 m/s2 0,443m Ry 0,327m

B A O D

0,077m

F2 = m2g F1 = m1g F3 = m3g

F2 =0,376N F1 = 0,427N FB= 18,023N F3 = 0,587N

d) Calcule la reacción en el eje.

Se halla aplicando la primera condición de equilibrio o aplicando la segunda condición de equilibrio en el diagrama de la barra.

Solución: ∑Xi = 0 entonces Rx = 0

∑Yi = 0 entonces F1 + F2 + F3 + FB –Ry =0

Ry = 0,368 + 0,418 + 18,023 + 0,575, N

R y = 19,384N

RX

e) Con los datos de la tabla III calcule la suma algebraica de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la barra, con respecto al eje.

∑MoF = 0 ……….. M0

F = F.d

F1(0,287m) + F2(0,438m) - F3(0,438m) = 0

(0,427N)(0,077m) + (0,376N)(0,443m) – (0,587N)(0,327m) = 0

0,032 + 0,16 - 0,192 = 0

En este caso si se cumple la segunda condición de equilibrio porque el momento resultante es cero

f) Verifique si se cumple la segunda condición de equilibrio. ¿Cuál será la desviación relativa? ¿a qué atribuye estas desviaciones observadas?

Para 2: solo para el primer caso: g= 10 m/s2 0,443m Ry 0,327m

B A O D

0,077m

F2 = m2g F1 = m1g F3 = m3g

F2 =0,376N F1 = 0,427N FB= 18,023N F3 = 0,587N

∑MoF = 0 ……….. M0

F = F.d

(0,427N)(0,077m) + (0,376N)(0,443m) – (0,587N)(0,327m) = 0

0,032 + 0,16 - 0,192 = 0

Las desviaciones se les atribuye a que no siempre se consigue el equilibrio estático además no se utiliza la gravedad del lugar (Huaraz)

VI. RECOMENDACIONES

6.1. Dejar limpio el laboratorio antes de retirarnos de cada práctica.6.2. No hacer desorden cuando el profesor explica o realiza una experiencia.6.3. Cuidar todo el material del laboratorio6.4 Manipula con precaución los instrumentos de medida.

RX

VII. CONCLUSIONES

1. Las deformaciones sufridas por un resorte son proporcionales a la masa.

2. Se observó que al utilizar el método de mínimos cuadrados las incertidumbres asociadas a las pendientes y puntos de corte son mucho menores.

3. Si estiramos un material elástico hasta un punto en que ya no regresa ese se le llama limite elástico, en ese punto se convierte en un material inelástico.

4. Si la deformación supera un cierto umbral (límite de elasticidad) el resorte queda permanentemente deformado.

5. La suma algebraica de las componentes (rectangulares) de todas las fuerzas según cualquier línea es igual a cero.

6. La suma algebraica de los momentos respecto cualquier punto (no en la línea de acción) es cero.

7. La línea de acción de una fuerza es aquella línea imaginaria que se prolonga a lo largo del vector en los dos sentidos y por la cual se puede desplazar la fuerza sin alterar el efecto de la misma.

8. Al obtener errores tan bajos podemos concluir que el método de elaboración de la práctica es confiable y sus resultados son producto de la buena elaboración en el laboratorio

9. De que todo cuerpo y en todo momento y a cada momento están interactuando diferentes tipos de fuerza, las cuales ayudan a los cuerpos a realizar determinados movimientos o, a mantenerse en estado de equilibrio, ya sea estático o dinámico.

VIII. BIBLIOGRAFIA

a. GIANBERNANDINO, V. ¨Teoría de errores¨ Edit. Reverte. España 1987b. GOLDEMBERG, J. ¨Física General y experimental¨, Vol. 1c. B. L. WORSNOP Curso superior de física práctica. d. Física, Curso Elemental: Mecánica – Alonso Marceloe. Física Wilson Jerryf. Física Tomo I Serway Raymond