Profesor: Ing. Martín Casado Márquez 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA

Curso: Resistencia de Materiales I (M 5122) PERIODO ACADÉMICO 2013-A

LEY DE HOOKE GENERALIZADA Consideremos el estado general triaxial de esfuerzo en un material homogéneo e isotrópico, según se aprecia en la figura 1, para determinar los efectos de deformación producidos por todos los esfuerzos. Se tendrá en consideración los efectos de cada esfuerzo axial.

Figura 1

En la dirección x, la deformación unitaria es εx = σx/E, y en las direcciones y y z son εy = -νεx y εz = -νεx. Así, las deformaciones totales resultantes serán:

δx = εxdx, δy = -νεxdy δz = -νεxdz

Análogamente, en la dirección y las deformaciones serán:

δy = εydy, δx = -νεydx δz = -νεydz

Y en la dirección z las deformaciones serán:

δZ = εZdz, δx = -νεzdx δy = -νεydy Así entonces, la deformación global que sufre el elemento en la dirección x será:

( ) ( ) ( )zyx

xxzyx

x EEdxdx

Edx

Edx

Eσσνσε

δσνσ

νσδ +−==⇒−−=total

totaltotal (IV)

Análogamente, las deformaciones unitarias globales en las otras direcciones son:

( )zxyzxy

y EEEEEσσνσσνσν

σε +−=−−=total

(V)

( )yxzyxz

z EEEEEσσνσσ

νσνσε +−=−−=total

(VI)

Si consideramos que hay cambio de temperatura ∆T, las fórmulas (IV), (V) y (VI) pasan a ser las siguientes:

( ) TEE zy

xx ∆++−= ασσνσε

total

(VII)

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( ) TEE zx

yy ∆++−= ασσνσ

εtotal

(VIII)

( ) TEE yx

zz ∆++−= ασσνσε

total (IX)

Cambio de volumen.- Consideremos que las dimensiones del cuerpo prismático dado en la figura 1 son a, b y c respectivamente. Su volumen inicial será: V0 = abc.

Debido a las cargas aplicadas, las nuevas dimensiones del cuerpo serán:

a' = a(1 + εx); b’ = b(1 + εy); c’ = c(1 + εz)

El volumen final del cuerpo será: Vf = a’b’c’ = abc(1 + εεεεx)(1 + εεεεy)(1 + εεεεz)

= V0(1 + εεεεx)(1 + εεεεy)(1 + εεεεz) Considerando deformaciones pequeñas, al cancelar los términos de segundo y tercer orden, la expresión anterior queda:

Vf = V0(1 + εεεεx + εεεεy + εεεεz)

Sumando IV, V y VI se obtiene el cambio unitario en dicho volumen, conocido como deformación volumétrica (e).

( )zyxf

EV

VV

V

Ve σ+σ+συ−=

−=∆= 21

0

0

0

(X)

Si el elemento es sometido mas bien a una presión uniforme p de un líquido, la presión sobre él es la misma en todas direcciones; es decir: σσσσx = σσσσy = σσσσz = -p. Como en este caso el elemento solo puede reducir su volumen, al reemplazar en (VII) queda:

)21(3 υ−= Ee

p

Así entonces, se define el módulo volumétrico o de compresibilidad (k) del material como:

e

pk = ⇒

)21(3 υ−= E

k

Para la mayoría de metales ν ≈ 1/3, y por tanto k ≈ E. En los cuerpos rígidos k → ∞. Las relaciones inversas de (IV), (V) y (VI), es decir, las que nos permitirán hallar los esfuerzos en función a las deformaciones, son:

[ ])()1()21)(1( zyxx

E εευευυυ

σ ++−−+

= (XII)

[ ])()1()21)(1( zxyy

E εευευυυ

σ ++−−+

= (XII)

[ ])()1()21)(1( yxzz

E εευευυυ

σ ++−−+

= (XIII)

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Si en el cálculo de los esfuerzos se involucra a la temperatura, las fórmulas (XI), (XII) y (XIII) toman la siguiente forma.

[ ]TE

zyxx ∆+−++−−+

= αυεευευυυ

σ )1()()1()21)(1(

(XIV)

[ ]TE

zxyy ∆+−++−−+

= αυεευευυυ

σ )1()()1()21)(1(

(XV)

[ ]TE

yxzz ∆+−++−−+

= αυεευευυυ

σ )1()()1()21)(1(

(XVI)

En cuanto a las deformaciones angulares, si sobre el material se aplican esfuerzos cortantes, éstos producirán las deformaciones que se aprecian en las figuras 2a, 2b y 2c.

Figura 2a Figura 2b Figura 2c Así entonces, las deformaciones angulares del material serán:

Gxy

xy

τγ = ;

Gyz

yz

τγ = ;

Gzx

zx

τγ = (XVII)

PROBLEMAS

1. Un cubo de fierro fundido de lado L = 4”

se prueba en el laboratorio bajo la acción de una carga triaxial. Sobre tres caras ad-yacentes se colocan medidores de deforma-ción (extensómetros, uno en cada cara), cada uno paralelo a una arista, registrando las siguientes deformaciones unitarias:

6

6

10.5,37

10.225−

−

−=ε=ε

−=ε

zy

x

Calcular:

a) Los esfuerzos normales σx, σy y σz. b) El cambio de volumen del cubo.

2. Se sabe que los esfuerzos en un punto

sobre un cuerpo de acero son: σx = 15 ksi (T), σy = 30 ksi (C) y τxy = 25 ksi. Si E = 30 mil ksi y G = 12 000 ksi, calcular todas las deformaciones unitarias, suponiendo que el punto se encuentra:

a) En estado de esfuerzo en un plano. b) En estado de deformación en un plano.

3. Un cilindro de caucho A de diámetro d = 2” se comprime dentro de un cilindro de acero B por una fuerza F = 1 000 lb. Si ν = 0,45, determinar la presión lateral entre el caucho y el acero.

4. Un bloque A de caucho duro, cuyo módulo de Poisson es ν, está confinado entre paredes planas rígidas paralelas B. El material no está confinado en la dirección normal al plano del papel. Una presión uniformemente distribuido p0 se aplica en la parte superior del bloque de caucho. Determinar:

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a) La presión lateral p entre el caucho y las paredes rígidas.

b) La deformación volumétrica (e). c) El valor de e sin suponer deformaciones

pequeñas.

5. Una esfera sólida de acero (E = 30 000 psi; ν = 0,3) se somete a presión hidrostática p

de tal forma que su volumen se reduce en 0,5%. Calcular:

a) La presión p. b) El módulo de compresibilidad.

6. Un cubo de magnesio de 25 cm de lado se

sumerge en aguas tranquilas a una pro-fundidad tal que la longitud de cada lado se acorta 0,05 mm. Si E = 45 GPa y ν = 0,35, calcular:

a) La profundidad a la que se sumerge el

cubo. b) El incremento porcentual en la densidad

del magnesio. 7. Un soporte aislante de vibración consta de

una barra A de radio R1 = 10 mm y un tubo de radio interior R2 = 25 mm adherido a un cilindro hueco de 80 mm de longitud, y G = 12 MPa. Calcular la máxima fuerza ad-misible P que se puede aplicar a la barra A, si su deflexión no debe exceder de 2,5 mm.

8. El material mostrado tiene las siguientes

características: G = 50 GPa, ν = 1/3. Si se sabe que σx = - 180 MPa, y que su espesor es 25 mm, calcular:

a) La magnitud de σy para el cual el cambio de altura del bloque será cero (A se halla en el eje y).

b) El cambio correspondiente en el área de la cara ABCD.

c) El cambio correspondiente en el volumen del bloque.

Y

B D C 40

mm

x

100 mm

z

9. Una barra tiene forma de un doble tronco

de cono circular recto de radios r = 20 cm, 2r y longitud L = 2 m, unidos por sus bases mayores. Si a la barra se le somete a una fuerza axial P = 60 kN en sus extremos, E

= 200 GPa; ν = 0,3, calcular:

a) La variación unitaria del área de la sección recta.

b) La variación del volumen de la barra. 10. Las dimensiones de un tronco de cono

circular recto apoyado en su base mayor sobre una superficie rígida, y sujeta a su propio peso, son: R = 75 mm; r = 25 mm; h = 60 cm. Si el eje del tronco coincide con el eje y, se pide determinar lo siguiente en la sección que se encuentra a 20 cm de la base mayor:

a) La deformación unitaria del diámetro

de la sección. b) Los esfuerzos normal y cortante en la

sección que forma 30º con el plano xz.

Considerar: E = 200 GPa; γ = 7 830 N/m3; ν = 0,25.

EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Bellavista, 27 de abril del 2013