Unidad iv procedimiento general LEY DE HOOKE

Facultad de Ingeniería - UNA

UNIDAD IV

1. Hipótesis Simplificadoras.

2. Procedimiento general de la Mecánica de los sólidos

3. Problemas Principales

4. Diferentes casos de Resistencia.


Hipótesis simplificadoras

Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre

Hipótesis fundamentales de la Resistencia

de Materiales

LEY DE HOOKE

HIPOTESIS DE NAVIER BERNOULLI


LEY DE ROBERT HOOKE (1676)

Anagrama:

“ceiiinosssttuv”

Latin: “Ut tensio sic Vis”

Traducido:

“Como la deformación así la tensión”


Anagrama: De Galileo Galilei a Johannes Kepler(Septiembre 1610)

“Haec immatura a me iam frustra leguntur o.y.”

(“En vano estas cosas son leídas pormi, prematuramente, o.y.”)

Clave del anagrama: “Cynthiae figuras aemulaturmater amorum”

(“la madre de los amores imita las figuras de Diana”)

Venus (la madre de los amores) cambia de forma igualque la luna (Diana). Es decir tiene fases como la luna.


de

dσEtg α

0

0

0

LANG deLey

Hodkinson deLey

BACH deLey

2

ba

ba

Am

LEY DE HOOKE

G.

Tensiones normales Tensiones tangenciales


=E.


Coeficiente de Poisson “µ”


1233

3122

3211

321

1

1

1

1

EE

Eε

Eε

Eε

Eε

Ley de Hooke Generalizada

EJES

PRINCIPALES


Módulo de Elasticidad Volumétrico

3 .

lidadcompresibi deFactor k

1

oVolumétric dElasticida de Módulo 213

213

21363

ica)hidroestát(Presión

321

mm

321

V

321V

321

Vk

Ek

E

EEE

si


Ley de Hooke Generalizada (ejes no

principales)

G

G

G

Eε

Eε

Eε

zy

zy

xz

xz

xy

xy

z

y

x

xyz

zxy

zyx

1

1

1


Deformaciones Térmicas

tE

ε

tE

ε

tE

ε

t

t

εtεεε

t

z

y

x

zyxzxy

Tzyx

.1

.1

.1

n disminució

aumento

0

.

ra temperatudeVariación

xyz

zxy

zyx


La Ley de Hooke presupone que:

El cuerpo se deforma idealmente

El cuerpo es elástico. Las deformaciones

producidas por cualquier sistema de carga que

se aplica gradualmente, desaparece al dejar de

actuar este (Reversibilidad del proceso de

deformación), del cual se concluye la relación

unívoca entre una determinada tensión con su

deformación.


zxyzxyzyx

zx

zxyzxyzyx

xz

zxyzxyzyx

xy

zxyzxyzyxz

zxyzxyzyxy

zxyzxyzyxx

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

2

2

2

Ley de Hooke para materiales anisotrópos


La ley de Hooke generalizada es función lineal homogénea de las seis

deformaciones (lineales y angulares)

“Existiendo una función lineal de deformaciones, son iguales los coeficientes de

cada pareja, que llevan los mismos subíndices cambiados de orden respecto al

guión que los separa por la propiedad de aquellas funciones de ser iguales sus

derivadas cruzadas (Por ejemplo A12= A21)Ñ; y el número de coeficientes se

reduce de 36 a 21.

En los materiales ortotrópicos, es decir que tienen propiedades diferentes según

tres direcciones ortogonales (como por ejemplo la madera) el número de

constantes independientes se reduce a nueve.

En los materiales isotrópicos el número de constantes independientes se reduce

a tres ya que se puede demostrar que : A11= A22= A33; A12= A13= A23; A44= A55=

A66 y además A12= A21; A13= A31; A23= A32

Entonces:

GA

EA

EA

2

1

1141211


Isotropismo

La tensión normal no produce deformaciones angulares en el mismo sistema de referencia. Esto es las tensiones normales solamente producen deformaciones lineales en sus mismas direcciones.

La tensión tangencial no produce deformaciones lineales en el mismo sistema de referencia. Las tensiones tangenciales producen solamente deformaciones anglaresen el mismo sistema coordenado.


HIPOTESIS DE NAVIER-BERNOULLI

En el transcurso de la

deformación, la sección

recta de una pieza

permanece:

-Plana

-Idéntica a si misma

-Normal a la fibra media

deformada


CONDICIÓN DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE

HOOKE Y DE NAVIER

Forma

Cuerpo en forma de barra

Dimensiones de la sección recta del mismo orden de magnitud y pequeñas con respecto a la longitud – 1/10, 1/15

Variación de la sección lenta, contínua

Radio de curvatura grande en relación a las dimensiones de la sección >5.h

Material

Continuo

Homogéneo

Isótropo

Elástico

Fuerzas

Aplicación lenta

Deformaciones locales no permanentes

No debe impedir deformaciones transversales

Debe variar según funciones continuas


Procedimiento General de la

Mecánica de los Sólidos


Método de las Secciones

G x

y

z

x

yQ

N

T

My

Mz

t


Procedimiento General1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas

a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas

dAdq

dAdf

i

i

.

.

G x

y

z

x

y

dfl = da

dql = dA

dft


G x

y

z

x

y

df

Q

N

T

My

Mz

dft

TdA

MzdA

MydA

QdA

NdA

A

y

A

z

A

A

A

..

.

.

.

.

1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas

b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas

dql


2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones

a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo

= f (y;z) g = f ( j )

Como se cumple la Hipótesis de Navier

dx

dxx

dx = (A1 + B1y + C1z) dx (a)


b) Hallar la relación entre tensión y deformación

= f ( ) = f ( )

Si se cumple la Ley de Hooke

= E = G .

c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando

la expresión (a) en (b)

(b)

= E. = E (A1 + B1y + C1z) dx

= f ( y ; z ) = f ( )

d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto

etc . .; QdAfNdAzyf

AA


3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto

en función de las fuerzas internas

a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:

= f (y ; z ; d ; Fi)

= f (y ; z ; d ; Fi)

S y t ; en función de las coordenadas del punto ( y ; z ) de alguna

Característica Geométrica de la sección y de las fuerzas internas

b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones

Tensiones normales Tensiones tangenciales


Problemas Principales


Problemas principales

a)Verificación de tensiones

b) Dimensionamiento

a)Verificación de desplazamientos


Los diferentes casos de

Resistencia


Diferentes casos de Resistencia

Estado de Tensión Simple: N

Q

M (My, Mx)

Mt

Resistencia Compuesta: Combinación de dos estados simples

Tensiones Normales: N, M

Tensión Normal con Tangencial: M, T; M, Mt; N, T; N, Mt

Tensiones Tangenciales T, Mt

Tensioens normales en piezas de gran longitud

Combinación de tres estados simples N, T, M

N, T, Mt

N, M, Mt

T, M, Mt

Combinación de cuatro estados simples N, T, M, Mt


Próxima Clase: Piezas cargadas

axialmente

Fin

Unidad iv procedimiento general LEY DE HOOKE

Engineering

Transcript of Unidad iv procedimiento general LEY DE HOOKE