Resi Ley de Hooke

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Resistencia de Resistencia de Materiales Materiales Tema 2 Estructuras Estaticamente indeterminadas

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Resistencia de MaterialesResistencia de MaterialesTema 2

Estructuras Estaticamente indeterminadas

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Índice de contenido

•Introducción

•Sección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

•Sección 6 - Tensiones de origen térmico

•Sección 7 - Resumen de ecuaciones

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RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosRESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos

Las Condiciones de equilibrioLas Condiciones de equilibrio

Se usa para determinar las fuerzas Se usa para determinar las fuerzas resistentesresistentes

Utiliza las ecuaciones de equilibrio de la Utiliza las ecuaciones de equilibrio de la estáticaestática

Relaciones Compatibilidad y geometríaRelaciones Compatibilidad y geometría

Se usa para deducir el cambio en la longitud Se usa para deducir el cambio en la longitud de la barra debido a fuerzas axiales.de la barra debido a fuerzas axiales.

Relaciona la geometría y compatibilidad de Relaciona la geometría y compatibilidad de las barras a nivel de desplazamientoslas barras a nivel de desplazamientos

Condición ConstitutivaCondición Constitutiva

Ley de Hooke (Esf- Deformación)Ley de Hooke (Esf- Deformación)

Permite calcular las deformaciones axiales Permite calcular las deformaciones axiales entre secciones.entre secciones.

Δ= PL/EA

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RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosRESISTENCIA. Problemas HiperestaticosTracción y compresión hiperestáticas.Tracción y compresión hiperestáticas.

Cuando las reacciones de las ligaduras no pueden determinarse utilizando únicamente las ecuaciones de la Estática, se dice que el sistema es hiperestático.

Sistema Isostático

Sistema Hiperestático

Válida solo una ecuación de la estática

0R P R P

Son necesarias ecuaciones en deformaciones

Ecuación de la estática

A BR R P

Estas ecuaciones deben expresar que: las las deformaciones del sistema deformaciones del sistema deben ser compatibles con deben ser compatibles con las ligaduras del mismolas ligaduras del mismo

0AB

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RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosRESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos Tracción y compresión hiperestáticas. Ejemplos.Tracción y compresión hiperestáticas. Ejemplos.

Sistemas de barras con extremos articuladosCondición: Después de la deformación, las tres barras deben seguir unidas por su extremo inferior.

Zunchados

Condición: Después de la deformación, las superficies de ambos sólidos deben seguir en contacto.

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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos Variaciones térmicas y defectos de montaje.Variaciones térmicas y defectos de montaje.

Cuando las deformaciones producidas por variaciones de temperatura están total o parcialmente impedidas aparecen tensiones.

Deformación que se impide:

L T

Compatibilidad de deformaciones. NL

L TE

Problema Hiperestático

( )E

N L TL

0L T N

0L T N

T

Si la barra debe quedar montada entre las dos paredes, y fuese “” cm corta, debemos aplicarle una carga P que le produzca esa deformación. Esta carga queda en la barra después de montada y se superpone con las demás cargas aplicadas a la barra. E

PL

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Estructuras estáticamente indeterminadas

Tema 1 - Esfuerzo y Deformación - Estructuras estáticamente indeterminadas

Al plantear las condiciones de equilibrio para la barra doblemente empotrada que se muestra en la figura, despreciando su peso, nos queda:

Notemos que las condiciones de estática no son suficientes para resolver este sistema. Tenemos dos incógnitas (la carga F es conocida), y apenas una ecuación que las relaciona.

0 CA RFR

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Sabemos que la barra, por estar doblemente empotrada, no puede sufrir ningún alargamiento, bien sea positivo o negativo. Entonces, sería útil establecer alguna relación entre las cargas a las que está sometida la barra y las deformaciones que ésta experimenta. Asumiendo que dichas deformaciones ocurren en el rango elástico, se cumpliría la ley de Hooke:

Sustituyendo los términos σ y ε, nos quedaría:

Finalmente:

E

L

LE

A

P

AE

LPL

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónEstructuras estáticamente indeterminadas

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Hemos conseguido una expresión que nos permite determinar el alargamiento en una barra, si conocemos sus características geométricas (L, A), el módulo de rigidez del material (E) y la carga axial a la que está sometida (P).

Recordando el problema propuesto, condición del mismo era que el alargamiento total de la barra fuese nulo. A partir de la figura, podemos observar que el tramo AB está sometido a una carga axial distinta a la del tramo BC. Entonces, la segunda condición se basaría en las deformaciones y sería la siguiente:

Nuestro interés reside ahora en encontrar las cargas axiales a las que están sometidos los tramos AB y BC.

0 BCAB

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

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Para calcular la fuerza axial sobre el tramo AB de la barra, tomamos la carga que hay aplicada en el extremo A (RA) y planteamos una fuerza imaginaria (PAB) en B, justo antes del punto de aplicación de la carga F. Esta fuerza imaginaria, la asumiremos siempre como una carga de tracción.

Entonces, establecemos la condición de equilibrio del tramo AB, tomando el sentido izquierdo (tracción PAB) como positivo:

Y planteamos la ecuación del Alargamiento del tramo AB:

AABABA RPPR 0

AB

ABA

AB

ABABAB AE

LR

AE

LP

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

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Procediendo de forma similar con el tramo BC, se tendría:

Igualmente, planteamos la deformación de la barra para el tramo BC:

0 BCA PFR

BC

BCA

BC

BCBCBC AE

LFR

AE

LP

)(

FRP ABC

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

Y recordando la condición de equilibrio:

Tenemos ahora un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas. Podemos hallar las reacciones RA y RC.

0)()(

BC

BCA

AB

ABABCAB AE

LFR

AE

LR

0 CA RFR

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 5 - Estructuras estáticamente indeterminadas

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Tensiones de origen térmico

Tema 1 - Esfuerzo y Deformación Sección 6 - Tensiones de origen térmico

Cuando un cuerpo experimenta cambios de temperatura, sufre variaciones en sus dimensiones (dilataciones y contracciones).

En el caso de una barra que experimente una variación de temperatura, se puede determinar el alargamiento de la misma mediante la relación:

Donde α es el coeficiente de dilatación térmica y ΔT es la variación de temperatura que experimenta el cuerpo.

Cuando el alargamiento está restringido (existe algún(os) elemento(s) que lo prohíben), pueden generarse esfuerzos en el material. Si el alargamiento producido por ΔT se halla dentro del rango elástico, el esfuerzo generado puede encontrarse utilizando la ley de Hooke.

TL

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Ejemplo 1

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

La figura muestra dos barras empotradas como se muestra en la figura. La barra AB está hecha de Acero ( E = 200E6 MPa) y tiene un diámetro de 2 cm. La barra BC, de Aluminio ( E = 70E6 Mpa), tiene un diámetro de 4 cm. Ambas barras tienen 10 cm de longitud. Se aplica una carga F = 5000 N entre ambas, como se muestra.

Determine las reacciones en los empotramientos y las deformaciones de las barras.

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En primer lugar, establecemos la condición de equilibrio estático en el sistema:

Donde tenemos dos incógnitas. Procederemos ahora a utilizar las condiciones de deformación para encontrar una relación más.

05000 CA RR

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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En la barra AB se tendría:

Planteamos la deformación de la barra AB:

0 ABA PR

AB

ABA

AB

ABABAB AE

LR

AE

LP

)(

AAB RP

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

Page 17: Resi Ley de Hooke

En el tramo BC, se tendría:

Igualmente, planteamos la deformación de la barra BC:

05000 BCA PR

BC

BCA

BC

BCBCBC AE

LR

AE

LP

)5000(

5000 ABC RP

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Finalmente, como la deformación total debe ser cero, nos queda:

Sustituyendo todos los términos, resulta:

RA = - 2083,33 N

El signo negativo indica que el sentido real de RA es contrario al propuesto en el esquema.

0)5000()(

BC

BCA

AB

ABABCAB AE

LR

AE

LR

0))04,0(25,0()970(

)1,0()5000(

))02,0(25,0()9200(

)1,0()(22

mPaE

mR

mPaE

mR AA

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Ahora, utilizando la condición de equilibrio, obtenemos RC:

Sustituyendo, nos queda:

RC = 2916,67 N

0 AA RFR

0500033,2083 AR

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Para el cálculo de las deformaciones, recordamos la condición de deformación:

Esto significa que el valor de ambos alargamientos es el mismo; sólo que uno es positivo (producido por tracción) y el otro es negativo (debido a compresión). La barra AB está sometida a tracción y la barra BC a compresión.

BCABBCAB

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

Page 21: Resi Ley de Hooke

El valor de la deformación será:

Sustituyendo todos los términos, resulta:

AB = BC = 3,3157E-6 m

AB

ABABCAB AE

LR

)(

))2,0(25,0()9200(

)1,0()33,2083(2mPaE

mNBCAB

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Ejemplo 2

Un tubo de aluminio (E = 73,1E9 Pa; α = 23E-6 ºC-1) con área transversal de 600 mm2 se usa como camisa para un perno de acero (E = 200E9 Pa; α = 12E-6 ºC-1) con área transversal de 400 mm2. La longitud de la camisa es de 15 cm.

Inicialmente, la temperatura es de 15ºC y la fuerza axial debido al apriete en el perno es despreciable. Luego se incrementa la temperatura a 80ºC. Determine el esfuerzo normal promedio en el perno y la camisa.

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Condición de equilibrio en este problema, es que la carga axial sobre el tornillo (Fp) debe ser de igual magnitud que la carga sobre la camisa (Fc), con la diferencia de que el tornillo estará a tracción y la camisa a compresión. Podemos plantear entonces:

Por otro lado, el alargamiento debe también ser igual para ambos. En este caso, dicho alargamiento será producido por cambio de temperatura y por carga axial. Por superposición de efectos, nos queda:

Desarrollando cada término:

cp FF

tempcfuerzactemppfuerzapcp )()()()(

TLAE

LFTL

AE

LFc

cc

cp

pp

p

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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Utilizando la condición de equilibrio y sustituyendo cada término, nos queda:

Fp = Fc = 20,26E3 N

Podemos calcular ahora el esfuerzo normal en el perno:

)º75()15,0()º623()6600()91,73(

)15,0(

)º75()15,0()º612()6400()9200(

)15,0(

12

12

CmCEmEPaE

mF

CmCEmEPaE

mF

p

p

A

P

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1

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σp = 50,6E6 Pa

Y en la camisa:

σc = - 33,8E6 Pa

)6400(

)326,20(2mE

NE

)6600(

)326,20(2mE

NE

Tema 1 - Esfuerzo y DeformaciónSección 8 - Ejemplo 1