6. DEFORMACIONES y ESTABILIDAD

El concepto de deformacin es de fundamental importancia para el ingeniero en lo que respecta al estudio de las deflexiones. Es bien sabido que una pieza de mquina puede fallar en servicio si sufre deformaciones excesivas, an cuando los esfuerzos asociados permanezcan por debajo de los valores de fluencia o fractura. Lo que es ms, el concepto de deformacin juega un papel preponderante en las tcnicas experimentales utilizadas en los problemas de resistencia de materiales puesto que los esfuerzos no son, en general, cantidades medibles directamente, mientras que las deformaciones si lo son. Usualmente, esto implica el obtener datos experimentales de deformaciones que luego sern transformados en trminos de esfuerzos.

CONCEPTO DE DEFORMACIN Y DE ESTADO DE DEFORMACINCualquier cuerpo sujeto a fuerzas, vale decir; a esfuerzos se deforma bajo la accin de estos. Strain es la direccin e intensidad de la deformacin en cualquier punto respecto de un plano especfico que pasa por dicho punto. Por ende la deformacin es una cantidad anloga el esfuerzo. El estado de deformacin se define completamente tanto en magnitud como en direccin en cualquier punto respecto de todos los planos que pasan a travs del mismo. De aqu que el estado de deformacin es un tensor y es anlogo al del estado de esfuerzos

Por conveniencia, las deformaciones son siempre representadas mediante sus componentes normal y cortante

Para deformaciones suficientemente pequeas (incluyendo aquellas que ocurren dentro del rango elstico), las ecuaciones que vinculan los esfuerzos normal y cortante con la orientacin de los planos de corte son anlogas a las halladas para los esfuerzos.

De ah que el estado de deformaciones puede ser convenientemente escrito como tensor:

x 1 S = 2 yx 1 zx 2

1 2

xy y 1 2 zy

1 2 1 2

xz yz z

Observar que mientras x , y y z son anlogos a x, y y z, respectivamente, la mitad de xy , xz y yz lo es a xy, xz, y yz. Puede ser de utilidad analizar el significado fsico de porqu es anlogo a /2 en vez de . Esto se visualiza en la fig., cada lado del elemento diferencial vara un ngulo de /2 cuando se le somete a corte puro:

DEFORMACIONES Y PLANOS PRINCIPALES; ANLISIS GRFICO Y ANALTICOHabiendo observado la correspondencia entre deformaciones y esfuerzos, es evidente que, mediante alguna transformacin conveniente se obtienen las expresiones del tensor de deformaciones S , el cual es idntico al T hallado para los esfuerzos, excepto que en la diagonal principal estn 1 , 2 y 3 .Deformaciones principales en el plano xy Mxima deformacin cortante en el plano xy

1 , 2 =

z +y2

(

1 2

xy ) + 2

z y 22

2

max

x y 2 1 = 2 ( 2 xy ) + 2

Orientacin de los ejes principales

xy 2 = arctg ( ) x y

Anlogamente:

2 2 1 2 = sin 2 2

=

1 + 2

+

1 2

cos 2

2 2 = ( 1 2 ) sin 2

=

1 + 2

+

1 2

cos 2

(1) (2)

Representacin de un estado plano de deformacin mediante el crculo de Mohr

Mohr strain circle drawn for known values of x, y, and zy.

Anlisis de deformaciones mediante rosetasEl uso prctico de las relaciones desarrolladas en este captulo es comunmente realizado en conexin con procedimientos experimentales de anlisis de esfuerzos basados en la utilizacin de los llamados strain gages. Dichos indicadores marcan deformaciones normales en direcciones especficas en la vecindad del punto de inters. Los strain gages son usualmente montados sobre una superficie sin cargas, de forma que se sepa que el estado de esfuerzos sea plano.

Configuraciones de grillas de strain gages de lminas metlicas.

En cualquiera de los casos, ser posible establecer el estado de deformaciones en el punto, vale decir; el definir los crculos de Mohr para deformaciones en dicho punto midiendo directamente las dos deformaciones principales que actan en planos perpendiculares a la superficie. Desafortunadamente, la determinacin directa y precisa de los esfuerzos principales no es prctica. Lo que es ms, las deformaciones cortantes no pueden ser medidas directamente. Cuando se trabaja con strain-gages sobre una superficie libre, la construccin de los crculos de Mohr de deformaciones en un punto involucra la determinacin de 3 incgnitas: los valores de dos de las deformaciones ppales. y su ngulo de orientacin respecto a alguna direccin arbitraria de referencia. Dicha determinacin de las incgnitas requiere la medida de 3 deformaciones independientes. Las mismas son elegidas para ser las componentes normales de deformacin en 3 direcciones (que es lo usualmente realizado con los strain-gages convencionales)

Superficie de una pieza y localizacin del punto O donde son realizadas las medidas de deformacin. El plano de la superficie es arbitrariamente llamado xy. Tres strain-gages miden las deformaciones normales en direcciones arbitrarias aa, bb, y cc, las cuales estn separadas por los ngulos conocidos 1 y 2. La direccin aa forma un ngulo desconocido a con el eje 1-1 de la deformacin principal mayor. La ecuacin (1) da la deformacin de la deformacin normal actuante en la direccin , donde dicho ngulo es medido positivo en el sentido CCW desde el eje principal 1. Aplicando dicha ecuacin a cada uno de los 3 strain-gages de la Fig. queda:

2 2 1 + 2 1 2 b = + cos 2( a + 1 ) 2 2 1 + 2 1 2 b = + cos 2( a + 2 ) 2 2

a =

1 + 2

+

1 2

cos 2 a

(3)

Claramente, dichas ecuaciones pueden ser resueltas para 1 , 2 y a . En algunos casos un cuarto medidor se utiliza para verificacin.

Anlisis de deformaciones - rosetas equiangulares

La solucin simultnea de las ecuaciones (3) para el caso: 1 = 120 , 2 = 240 , a = 0 , b = 120 , c = 240 es

1, 2 =

0 + 120 + 2403 3

(2 0 120 240 ) 2 ( 120 240 ) 2 9 3 ( 120 240 )

tan 2 a =

2 0 120 240

Recordar que a es positivo cuando es medido en sentido CW desde 0 a los ejes principales de deformacin. La deformacin defermacin principal mayor forma30 con el mayor valor entre 0 , 120 y 240 .

(a) 1, 2 = ( b) 0 =

0 + 120 + 2403

R + R cos 2 a

0 + 120 + 240

3 2 cos 2 a = 0 120 240 3R + + (c) 120 = 0 120 240 R cos(2 a 120 ) 3 + + (d) 240 = 0 120 240 R cos(2 a + 120 ) 3 (e) Usando la relacin : cos( A B ) = cos A cos B m sin A sin B, (c) y (d)

120 = 240 =

0 + 120 + 2403

+ R (0.5 cos 2 a + 0.866 sin 2 a ) + R(0.5 cos 2 a 0.866 sin 2 a )

0 + 120 + 240

3 (f) Restando las ecuaciones anteriores :

120 240 = 3R sin 2 a sin 2 a =

120 2403R

Ejemplo - de un sistema equiangular de strain-gages se obtuvo:

0 = 0.00075in / in 120 = +0.0004in / in 240 = +0.00185in / in

Determinar analticamente las magnitudes y orientaciones de las deformaciones principales y verificar los resultados utilizando un crculo de Mohr.

Anlisis de deformaciones - rosetas rectangulares

( (3) + ( + La solucin simultnea de las ecuaciones ) parael )caso: = 2 1 = 45 , 2 = 90 , a = 0 , b = 45 2, c = 90 es2 2 0 90 0 45 45 90 1, 2

tan 2 a =

( 0 45 ) 2 + ( 45 90 ) 2 1, 2 = 2 2 0 2 45 + 90 tan 2 a = 0 90Notar cuidadosamente que cuando a es positivo uno mide en sentido CCW desde el eje de deformacin al eje 0 o CW desde 0 al eje de la deformacin principal. Se y 2 . A los efectos de ver cual direccin coincide con la de los ejes principales de aplica la regla de que la deformacin principal deber formar un ngulo menor a 45 con la mayor de las deformaciones principales normales 0 y 90.

0 + 90

0 2 45 + 90 0 90

definen direcciones perpendiculares para 1

Ejemplo- Las lecturas obtenidas con una roseta rectangular se muestran en las figuras (las lecturas son en m por m ). Determnese la magnitud y orientacin de las deformaciones principales y verifique mediante el crculo de Mohr.

(a) Gage readings. (b) Equivalent rosettes. 1. Con objeto de adecuarse al incremento de 45 en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, las calibraciones deben designarse como se muestra en (b). 2.Sustituyendo en las ecuaciones se obtienen 1,2 y los y se representan. 3. Se dibuja el crculo de Mohr con base a los valores calculados.

RELACIONES ESFUERZODEFORMACIN ELSTICALos dos captulos precedentes trataban separadamente con los conceptos de esfuerzo y deformacin en un punto. Las relaciones entre dichas cantidades tienen gran importancia para el diseo y el anlisis de esfuerzos. Aparecen dos tipos de problemas:1. Determinacin del estado de esfuerzos en un punto desde un estado de deformaciones conocido. Se da cuando hay que evaluar esfuerzos a partir de deformaciones halladas experimentalmente. 2. Determinacin del estado de deformaciones en un punto desde una estado conocido de esfuerzos, esto problema se encuentra durante el diseo de partes, cuando se asume que actan ciertas cargas y se quiere chequear holguras crticas y rigideces.

Ley de Hooke generalizada y ecuaciones esfuerzo vs. deformacin x = C11 x + C12 y + C13 z + C14 xy + C15 yz + C16 zxPara el estado general de esfuerzos en tres dimensiones, la ley de Hooke fue generalizada por Louis Cauchy (1891857) diciendo que cada una de las seis componentes de esfuerzo es funcin lineal de todas las componentes de deformacin:

y = C21 x + C22 y + C23 z + C24 xy + C25 yz + C26 zx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

zx = C61 x + C62 y + C63 z + C64 xy + C65 yz + C66 zxAfortunadamente, se puede deducir de la teora de elasticidad que materiales elsticos e isotrpicos slo 2 de dichas constantes son independientes : C15 = C16 = C25 = C26 = C35 = C36 = C45 = C46 = 0 C14 = C24 = C34 = C41 = C42 = C43 = C56 = C65 = 0 C51 = C52 = C53 = C54 = C61 = C62 = C63 = C64 = 0 C12 = C13 = C21 = C23 = C31 = C32 C11 = C22 = C33 C44 = C55 = C66 C44 = 1 (C11 C12 ) 2

Sea C12 = y C44 = G, las ecuaciones anteriores se reducen a :

x = (2G + ) x + ( y + z ) y = (2G + ) y + ( x + z ) z = (2G + ) z + ( x + y ) xy = G xy yz = G yz zx = G zxLa constante G se llama usualmente mdulo de corte o mdulo de rigidez. Es definida por las tres ltimas ecuaciones como el cociente entre el esfuerzo cortante aplicado y la correspondiente deformacin cortante asociada. La constante se conoce como la constante de Lam.

Ecuaciones esfuerzo vs. Deformacin en funcin de E y (coef. de Poisson)x =1 x ( y + z ) E 1 y = y ( x + z ) E 1 z = [ z ( x + z )] E 2(1 + ) xy = xy = xy E G yz 2(1 + ) yz = yz = E G 2(1 + ) zx = zx = zx E G

[

]

[

]

E (1 ) x + ( y + z ) (1 + )(1 2 ) E (1 ) y + ( x + z ) y = (1 + )(1 2 ) E (1 ) z + ( x + y ) z = (1 + )(1 2 ) E xy = xy = G xy 2(1 + ) E yz = yz = G yz 2(1 + ) E zx = zx = G zx 2(1 + )

x =

[

] ]

[

[

]

Para el caso especial en que los ejes x, y , z sean coincidentes con los ejes principales 1, 2 y 3, las ecuaciones anteriores pueden simplificarse puesto que tanto las deformaciones cortantes cono los esfuerzos cortantes son cero

Para el caso particular de esfuerzos biaxiales: uno de los esfuerzos principales (3 = 0), entonces:

1 E 1 2 = (2 1) E

1 = (1 2 )

Resolviendo y simplificando:

3 = (1 +2 )EPara el caso de esfuerzos uniaxiales:

(1 2 ) 3 = 1 E 1 = (1 +2 ) 2 1 E 2 = (2 +1) 2 1 3 = 0

1 1 = 1 E

2 = 3 =

E

1

1 = E 1 2 = 3 = 0

Deflexin y razn de elasticidadLas frmulas bsicas de deflexin y elasticidad se dan en la tabla 5.1, complementadas por las tablas de torsin (5.2)

Los tres primeros casos consideran la deflexin en el punto de aplicacin de la carga y en la direccin de aplicacin de la carga. En cada uno de estos casos, al ecuacin solo establece que la deflexin vara en forma lineal con la carga y con la longitud, y en forma inversa con una propiedad geomtrica de rigidez de la seccin transversal. La razn de elasticidad tambin se conoce como una constante del resorte o constante de elasticidad. Para las deflexiones lineales, la constante elstica se designa por k (N/m o lb/in). Para las deflexiones angulares, se usa el smbolo K (lb.ft/rad, etc.). En el caso 4 obsrvese que la longitud debe elevarse al cuadrado. esto debe ser as debido a que la deflexin lineal aumenta con la longitud y con la inclinacin del extremo. En 5, la long debe elevarse al cubo porque el momento de flexin es un factor adicional que se incrementa con la longitud.

Deflexin en vigasLas vigas son elementos estructurales sujetos a cargas transversales. Los ejemplos incluyen ejes de mquinas, resortes de ballesta, elementos del chasis de los automviles y otras piezas de mquinas y estructuras. Con frecuencia una viga requiere una seccin transversal mayor para limitar la deflexin que la necesaria para limitar el esfuerzo. Por lo tanto, muchas vigas de acero se fabrican con aleaciones de bajo costo debido a que tienen el mismo mdulo de elasticidad (por lo tanto la misma resistencia a la deflexin elstica) que los aceros mas resistentes de costo elevado. Existen muchos mtodos para calcular deflexiones de vigas: reamomento, integracin por funciones de singularidad, integracin grfica, intergracin numrica, etc)

Figure 5.13 (p. 183)State of (a) stress and (b) strain for Sample Problem 5.1 and aluminum material.

Ecuaciones fundamentales:Intensidad de carga Esfuerzo cortante Momento flector Pendiente Deflexin

x= x= x= x=

d 4 EI = w 4 dx d 3 EI = V 3 dx d 2 EI = M 2 dx d EI = dx

x =

Deflection determination for an end-supported stepped steel shaft with two concentrated loads

Determinacin de las deflexiones elsticas por el mtodo de Castigliano

Teorema de CastiglianoEn la figura se muestra una curva carga-deflexin general para un sistema elstico. Los smbolos Q y son generales y pueden indicar cualquier tipo de carga (axial, torsional, flexin o cortante transversal) y su correspondiente deflexin (lineal o angular). El nico requerimiento es el de relacionamiento lineal , lo que implica que todos los esfuerzos estn dentro del rango elstico y no ocurren inestabilidades.

Trabajo = QdQue corresponde al rea bajo la curva de la figura. Si el material es perfectamente elstico, dicha rea es tambin igual a la energa elstica U almacenada dentro del material

Adems, debido a que el sistema es lineal, dicha energa tambin ser igual al rea U' (energa complementaria) : Vale decir que la energa elstica almacenada es igual a la deflexin multiplicada por la fuerza promedio. La energa adicional Q U '= U = 2 asociada con la carga incremental dQ es: La tasa de cambio de la energa con la carga cuando acta dicha carga Q es:

Q U '= U = 2

dU ' = dU = dQ

dU dQ = = dQ dQ

=

dU dQ

De aqu que la deflexin elstica en este sistema simple es la derivada de la energa de deformacin respecto de la carga aplicada 2 TEOREMA DE CASTIGLIANO: Cuando un cuerpo es deformado elsticamente mediante cualquier sistema de cargas, la deflexin en cualquier punto P y en cualquier direccin a, es igual a la derivada parcial de la energa de deformacin (con el sistema de cargas actuando) respecto de la carga P actuando en la direccin a .

Matemticamente, dicho teorema puede expresarse como:

U = Q

Cuando Q es una fuerza, es una deflexin lineal (). Cuando Q es un momento, es una deflexin angular (). El teorema puede ser aplicado incluso si el sistema de carga no incluye la carga en el punto P en la direccin a. En dicho caso es necesario aplicar una carga imaginaria (fuerza o momento fantasma), comnmente designada Q. Luego de que se obtenga su expresin, la misma ser igualada a cero para obtener el resultado final.

1er TEOREMA DE CASTIGLIANO:

U Q=

Ejemplo 1: determinar la deflexin vertical en el extremo libre

Ejemplo 2: deflexin tangencial de un anillo abierto

Ejemplo 3: determinar la deflexin de un soporte con apoyos redundantes

Figure 5.21c (p. 201)Deflection of piston ring versus ring radius (F = 1 lb.)

Figure 5.21d (p. 201)Deflection of piston ring versus ring thickness b and ring width h.

INESTABILIDAD ELSTICA-PANDEO

(a-d) Elastically stable and (d-e) potentially elastically unstable loaded members.

Initially straight column in Euler buckling.

Log-log plot of Euler eq. 5-11 (dimensionless, hence applies to all materials within their elastic range.

Euler column buckling curves illustrated for two values of E and Sy.

Equivalent column lengths for various end conditions.

Euler and Johnson column curves illustrated for two values of E and Sy

Solid round steel connecting rod in compression

Aluminum connecting rod

Comparison of secant and Euler formulas for E = 207 GPa. Sy = 400 MPa.

Examples of local buckling.

Figure P5.3 (p. 221)

Figure P5.7 (p. 221)

La solucin simultnea de las ecuaciones (3) para el caso particular: 1 = 45 , 2 = 90 , a = 0 , b = 45 , c = 90 es

( 0 45 ) 2 + ( 45 90 ) 2 1, 2 = 2 2 0 2 45 + 90 tan 2 a = 0 90Hay que notar que, cuando a es positivo, uno mide en sentido CCW desde la deformacin principal al eje 0 o CW desde el eje 0 al eje de la deformacin principal. Se definen dos

0 + 90

direcciones perpendiculares para 1 y 2. Para poder encontrar cual direccin coincide con que eje de deformacin principal, se aplica la regla de que la deformacin principal mas grande en valor absoluto debe formar un ngulo menor a 45 con la mas grande de las deformaciones normales 0 y 90 .