Clase N° 16 LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Ecuaciones de Lam

LEY DE HOOKE La ecuacin = E se denomina LEY DE HOOKE

Manifiesta proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones unitarias.

El mdulo E es un valor caracterstico de los materiales.

Lmite de proporcionalidad (o inicio de la fluencia)

E

1 py

py

Zona de diseo elstico

E MDULO DE ELASTICIDAD LINEAL DEL MATERIAL

(Mdulo de Young)

Parte recta del Diagrama = E El mdulo de elasticidad E tiene dimensiones de Esfuerzo, y representa la pendiente de la porcin recta inicial del diagrama -

Ley Generalizada de Hooke

Coeficiente de Poisson

Es una constante elstica que proporciona una medida del estrechamiento de seccin de un prisma de material elstico lineal e istropo cuando se estira

longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de

estiramiento.



La ley de Hooke vista hasta ahora, se ha tratado de elementos sujetos a cargas axiales, con fuerzas dirigidas a un solo eje x = E , ahora consideraremos elementos sometidos a cargas en los tres ejes , es decir una carga multiaxial.

Estado uniaxial de esfuerzo normal


Para cada direccin, la deformacin unitaria total, es la suma de una DEFORMACIN UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por comodidad, puede usarse el Principio de Superposicin


Para cada direccin se aplica la ley de Hooke y la relacin de Poisson

Por el principio de superposicin las deformaciones unitarias totales, son:

1

E'''

E'''

E'''

E''

E''

E''

E'

E'

E'

zy

zy

zx

y

y

y

y

y

x

xy

xy

xx

2

''' '' '

''' '' '

''' '' '

zzzz

yyyy

xxxx


Reemplazando las ecs.1) en las ecs.2) y simplificando, obtenemos

Las ecuaciones (3) constituyen la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos normales en tres direcciones ortogonales).

3

E

1

E

1

E

1

yxzz

zxyy

zyxx


Si el material es elstico, lineal e isotrpico, los elementos de la matriz y sus correspondientes de la matriz , se relacionan mediante las ecuaciones:

Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y Cortantes, conociendo los esfuerzos y las caractersticas elsticas (E, G) del material.

4

G

1

G

1

G

1

E

1

E

1

E

1

yzyz

xzxz

xyxy

yxzz

zxyy

zyxx


Las ecuaciones (4) pueden invertirse para obtener los esfuerzos en

funcin de las deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen:

Las ecuaciones (5.1) para , , se denominan Ecuaciones de LAM (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elsticas estn dadas por:

1.5

2

2

2

zyxzz

zyxyy

zyxxx

2.5 G

G

G

zyzy

xzxz

xyxy

G

211

E ; G

12

E

Denominadas Constantes Elsticas de Lam.


INVARIANTE

Cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de referencia.

2r A Invariante Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.

La suma + + (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Esfuerzos:

=1 + +

La suma + + (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Deformaciones Unitarias.

1 = + +

Entre 1 1 se verifica la relacin

(La invarianza 1 demostrar al estudiar la Transformacin General de Esfuerzos).

El invariante 1 = + + es numricamente igual al cambio Unitario de Volumen.

0

zyx1V

V

0

zyx1V

V

Por consiguiente el variante 1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen.

11E

21

Un estado de esfuerzos definido por la matriz

0p

00

00

00

se llama ESTADO HIDROSTTICO DE ESFUERZOS.

(Estado volumtrico Estado de comprensin triaxial).

Recuerda al principio de Pascal: La presin hidrosttica es la misma en todas las direcciones.

Si el material es elstico, lineal e isotrpico, tenemos

pppE

211

1213E

p

1Kp siendo

213

EKes decir

el denominado mdulo de compresibilidad del material. (mdulo volumtrico, bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresin necesario para producir una deformacin volumtrica igual a la unidad (K es el valor de p para generar 1 = 1).

Ejercicio 1

Una varilla de latn AD est acoplada a cierto dispositivo que aplica un confinamiento (presin lateral) de 8,000 lb/pulg2 en la porcin BC de la varilla. Sabiendo que E = 15 106 lb/pulg2 y , determinar:

(i) El cambio en la longitud AD

(ii) El cambio en el dimetro en la seccin central de la varilla.

Usamos la ley generalizada de Hooke en direccin OY:

Tenemos :

Reemplazando valores:

En cambio en la longitud AD ser


(Notar que solo la longitud L = 10 est afectada por el confinamiento) ii) Cambio en el dimetro:

dimetro) del n(disminuci 10 x 33.357

800033.080001015

1

E

1

6-x

6x

zyxx

Luego xdd

61033.357''2d

adaslgpu 1066.714d 6

Ejercicio 2

Sobre un cubo de 1 m. de arista, cuyo material es elstico lineal quiere inducirse el Estado de Deformacin Unitaria dado por la matriz:

donde (x, y, z), son las coordenadas de cualquier punto del slido, expresadas en cm. Se conoce que ; ; Calcular los esfuerzos requeridos en las caras del bloque.

Con los valores E, determinamos las constantes de Lam

255

cm/Kg105.16.013.01

3.0106.2

211

E

25

5

cm/Kg103.012

106.2

12

E

Usamos las ecuaciones de Lam para calcular los esfuerzos requeridos en las caras del slido (Ecuaciones 5.1):

zyxxx 2 (y similares)

555555x 102y102x102105.1x102102 (Las deformaciones x, y, z, se obtienen de la matriz

Simplificando se obtiene :

De manera similar procedemos para las direcciones y,z. obtenemos:

3y7x3y 7y3x3z

A partir de las ecuaciones para esfuerzo cortante (ecs 5.2) obtenemos;

xyxy G

210210 55xy ( recordar que G = )

Kxy 2 , de la matriz

De manera similar tenemos: 0xz 0yz

Resumen de ecuaciones para los esfuerzos

3y3x7x

3y7x3y

7y3x3z

2xy

0xz

0yz

Ejercicio 3 Una placa rectangular de espesor d est comprendida entre dos planos paralelos rgidos cuya separacin es invariable. La placa est sometida a las fuerzas indicadas P y Q. Calcular la

presin que ejerce la placa sobre los planos rgidos.

De donde obtenemos:

Reemplazando los esfuerzos normales, obtenemos

ad

P

bd

Qz

La presin total ejercida sobre los planos rgidos, es:

abzPTOTAL (rea indicada).

d

aQ

d

bP

bd

Q

ad

Pab

TOTALP(compresin sobre los planos rgidos).

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