Estática...Estática Fuerzas distribuidas Las fuerzas en general son proporcionales al volumen de...

Estática

Fuerzas distribuidasLas fuerzas en general son proporcionales al volumen de los cuerpos, a las áreas de contactoentre ellos y a la longitud de los mismos En muchas aplicaciones de ingeniería se requieretrabajar con los datos de las fuerzas distribuidas y, a partir de ellas, determinar las fuerzas netasequivalentes para realizar los análisis estáticos que permitan calcular las reacciones en losapoyos

𝑊

𝑾 = 𝑷𝒆𝒔𝒐_𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒇𝒊𝒄𝒐 ∙ 𝑽𝑶𝑳

𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 ∙ Á𝒓𝒆𝒂

𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 = 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 ∙ 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅

http://www.google.com.co/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=ZdkXanifcWx6QM&tbnid=iTrhwgcGBzdpyM:&ved=0CAUQjRw&url=http://listas.20minutos.es/lista/fernando-botero-sus-mejores-esculturas-95591/&ei=gektU6LRPJLK0AHq5IDwAw&psig=AFQjCNEM6i5A0L47ZsQLwbVnacsSLaYS0Q&ust=1395604222019330

Material 𝝆

Τ𝒌𝒈 𝒎𝟑

𝜸ൣ𝒈 =

Mercurio 13 600 133 420

Acero 7 800 76 518

Aluminio 2 700 26 487

Tierra depositada sin compactar seca 1 300 12 753

Agua líquida (4°C) 1 000 9 810

Hielo 917 8 995

Pino Americano 800 7 848

Aire frio (0°C, 1 atm) 1,4 13,64

Aire Caliente (100°C, 1 atm) 0,95 9,32

Estática

Fuerzas distribuidasFuerza por unidad de volumen

El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción neta que la tierra ejerce sobreel cuerpo

Y

X

Y

X

𝑊

Peso específico, Τ𝑵 𝒎𝟑

𝑾 = 𝜸 ∙ 𝑽𝑶𝑳

𝑾 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝑽𝑶𝑳

http://www.google.com.co/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=ZdkXanifcWx6QM&tbnid=iTrhwgcGBzdpyM:&ved=0CAUQjRw&url=http://listas.20minutos.es/lista/fernando-botero-sus-mejores-esculturas-95591/&ei=gektU6LRPJLK0AHq5IDwAw&psig=AFQjCNEM6i5A0L47ZsQLwbVnacsSLaYS0Q&ust=1395604222019330

Estática

Fuerzas distribuidasFuerza por unidad de área

La presión de un fluido (líquido o gas) es la fuerza por unidad de área que elfluido ejerce sobre los elementos en contacto

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝑽𝑶𝑳

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 ∙ 𝑨𝒓𝒆𝒂

𝑭 = 𝒑 ∙ 𝑨𝒓𝒆𝒂Everest

P = 300 mm Hg

P = 760 mm Hg

El Pozo Superprofundode Kola (KSDB) en URSS

P = ? mm Hg

760 mm Hg = 101,330 Pa

𝐹

Presión de un fluido (hidrostática), [ Τ𝑵 𝒎𝟐 , 𝑷𝒂]

𝒑

𝒑 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 + 𝒑𝒂𝒕𝒎

𝒑

𝒑 =𝟏

𝟐𝝆 ∙ 𝒗𝟐

𝒘𝟎

𝒍 𝒍

𝒘

Estática

Fuerzas distribuidasFuerza por unidad de longitud

En el diseño de algunos elementos (vigas, cables, sistemas de tuberías) la fuerzaque estos soportan (debido a su propio peso o a otros efectos) se suele expresarcomo una fuerza por unidad de longitud

𝑭 = 𝒘𝟎 ∙ 𝒍

𝑭𝑭

𝑭 =𝟏

𝟐𝒘𝟎 ∙ 𝒍

𝑭 = න0

𝑙

𝑤 𝑥 𝑑 𝑥

𝑭𝟐

𝑭𝟏𝑭𝟑

𝒘𝟎

𝒘𝟏

𝒍𝟏 𝒍𝟐

𝑭𝟐

𝑹𝑨𝒚

𝑹𝑩

𝑭𝟏

𝑹𝑨𝒙

Estática

Fuerzas distribuidasPresión hidrostática, (Fuerza por unidad de área)

La presión hidrostática es la fuerza por unidad de área que el fluido (líquido o gas)ejerce sobre los elementos en contacto

Presión de un fluido (hidrostática)


𝒉

𝒑 [Atm, Pa]1,0 atm = 101330 Pa

10 m = 2 atm

𝒚

𝒑𝒂𝒕𝒎 = 𝑷𝟎 ∗ 𝒆−

𝒈.𝒚𝑹𝒅𝒂𝑻𝒎

Presión atmosférica

Medellín, 0,84 atm

Bogotá, 0,74 atm

100 m = 2 atm

Estática


La presión hidrostática es la fuerza por unidad de área que el fluido (líquido o gas)ejerce sobre los elementos en contacto



𝑭 = 𝒑 ∙ 𝐴

𝒉

𝒑, [Pa]

𝒑 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉

𝒅𝑭 = 𝒑 ∗ 𝑑 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝒑, constante𝒑, variable

𝑭 = 𝒑 ∙ 𝜋𝑟2

dh

ancho

𝑭 = න𝒔

𝒑 ∗ 𝑑 𝐴𝑟𝑒𝑎

Estática

Fuerzas distribuidas

Ejemplo 1 (resuelto)Presión hidrostática, (Fuerza por unidad de área)

Ejercicio: La compuerta del estanque de la figura está conformada por 5 láminas de madera.Determinar la presión que ejerce el agua en la línea media de cada una de las láminas si el nivel delagua está 10 cm por debajo del punto superior de la compuerta.

= 997𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 9,78𝑚

𝑠2∙ 0 𝑚

= 0 𝑃𝑎

𝒉

𝒑

𝒑 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉

𝒈 = 9,78𝑚

𝑠3

𝝆 = 997𝑘𝑔

𝑚3

20 cm

22 cm

24 cm

26 cm

28 cm

1

2

3

4

5

𝒑𝟐 = 997𝑘𝑔

𝑚3∙ 9,78

𝑚

𝑠2∙ 0,21 𝑚

= 2048 𝑃𝑎

𝒑𝟓 = 997𝑘𝑔

𝑚3∙ 9,78

𝑚

𝑠2∙ 0,96 𝑚

= 9360 𝑃𝑎

𝒑𝟏 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉𝟏

𝒅𝑭

𝒉

Estática


Cálculo de la FUERZA total debida a la presión del fluido sobre una superficiesumergida (compuerta, vertedero, etc.).



𝑭 = 𝒑𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝒊𝒅𝒆á𝒓𝒆𝒂

∗ Á𝑟𝑒𝑎𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∗ න0

ℎ𝑚á𝑥

𝒉 ∗ 𝑑𝐴

𝑭 = න0

ℎ𝑚á𝑥

𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 ∗ 𝑑𝐴

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∗ ഥ𝒉 ∗ 𝐴

𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∗ ഥ𝒉 ∗ 𝐴

dh

ancho

𝒉

𝒉𝒄𝒑

𝑭

𝒅𝑭 = 𝒑 ∗ 𝑑𝐴

𝑭 = න0

ℎ𝑚á𝑥

𝒅𝑭

𝑭 = න0

ℎ𝑚á𝑥

𝒑 ∗ 𝑑𝐴𝑭

𝒑𝒄

𝒉

𝑭 = ?𝒉𝒄𝒑 = ?

𝑦 ∙ 𝑑𝐴

𝑨= ത𝑦

න𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = ത𝑦 ∙ 𝐴

𝒉

𝒙

𝑭𝑭

Estática



Ejercicio: Calcular la fuerza total, debida a la presión hidrostática del agua paracada una de las compuertas que se muestran en la figura.

ഥ𝒑 = 𝝆𝒈ഥ𝒉



ഥ𝒉 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 = 3,5𝑚

𝒉

4 m

1 m

2 m

8 m

ഥ𝒑 = 998 Τ𝑘𝑔 𝑚3 ∗ 9,78 Τ𝑚 𝑠2 ∗ 3,5𝑚

𝑭 = 34161 𝑃𝑎 ∗ 7,07𝑚2 = 241,5 𝑘𝑁

𝒉Diámetro de la compuerta 3 m

2 m

ഥ𝒉 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 = 2,67𝑚ഥ𝒑 = 998 Τ𝑘𝑔 𝑚3 ∗ 9,78 Τ𝑚 𝑠2 ∗ 2,67𝑚

𝑭 = 26028 𝑃𝑎 ∗ 16,0𝑚2 = 416𝑘𝑁


𝑭 = 26492 𝑃𝑎 ∗ 14,0𝑚2 = 370𝑘𝑁

𝝆𝒈ഥ𝒉 𝝆𝒈ഥ𝒉𝑭

𝒉

Distancia del nivel del agua al punto superior de

la compuerta

10

m

5 m

2 m𝝆𝒈ഥ𝒉

𝑭

Estática



Ejercicio: Calcular la fuerza total, debida a la presión hidrostática del agua paracada una de las compuertas que se muestran en la figura.

ഥ𝒑 = 𝝆𝒈ഥ𝒉



𝒉

4 m

1 m

2 m

8 m


𝑭 = 26492 𝑃𝑎 ∗ 14,0𝑚2 = 370𝑘𝑁

𝝆𝒈ഥ𝒉

4 m

2 m

8 m

1m

A1=4*2 = 8 m2 ഥ𝒚 = 𝟏𝒎

A2=6*1 = 6 m2 ഥ𝒚 = 𝟓𝒎

ഥ𝒉 =σ 𝐴𝑖𝑦𝑖σ 𝐴𝑖

=8∗1+6∗5

8+6=2.78m

Estática


Cálculo de la ubicación de la fuerza debida a la presión del fluido sobre unasuperficie sumergida (compuerta, vertedero, etc.), centro de presión, hcp.

𝒉𝒄𝒑 ∗ 𝑭 = න𝐴

𝒉 ∗ 𝛾 ∙ 𝒉 ∗ 𝑑𝐴


𝛾 ∗ 𝒉𝟐 ∗ 𝑑𝐴


𝒉 ∗ 𝒅𝑭


𝒉 ∗ 𝑝 ∗ 𝑑𝐴

𝒉𝒄𝒑 =𝑰𝒛

ഥ𝒉 ∗ 𝐴



𝒉 𝒉

𝒉𝒄𝒑

𝑭

𝑴 = න0

ℎ𝑚á𝑥

𝒅𝑴

M

𝑴 = 𝒉𝒄𝒑 ∗ 𝑭

𝑴 = 𝒉𝒄𝒑 ∗ 𝑭 = න𝐴

𝒅𝑴

𝒅𝑭

dh

ancho

𝒉

𝒅𝑭 = 𝒑 ∗ 𝑑𝐴

𝒅𝑴

𝒅𝑭

𝒅𝑴 = 𝒉 ∗ 𝒅𝑭

න𝐴

𝒉𝟐 ∗ 𝑑𝐴𝒉𝒄𝒑 ∗ 𝑭 = 𝛾 ∗

𝑰𝒛𝒉𝒄𝒑 ∗ 𝛾 ∗ ഥ𝒉 ∗ 𝐴 = 𝛾 ∗

𝒉𝒄𝒑𝑭

Eje zSobre la superficie

libre del líquido

𝑭 = ഥ𝒑 ∗ 𝑨

𝒉

𝒙

Estática


Cálculo de la FUERZA total debida a la presión del fluido sobre una superficiesumergida (compuerta, vertedero, etc.).

𝒉

𝒉𝒄𝒑

𝑭

𝑭

𝒉

𝒑𝒄

𝒉

𝒉𝒄𝒑 =𝑰𝒛

ഥ𝒉 ∗ 𝐴

𝑭 = ഥ𝒑 ∗ 𝑨

𝒉𝒄𝒑: el punto de aplicación de la fuerza

equivalente medido desde la superficie del fluido𝑰𝒛: Segundo momento de área con respecto a eje Z (superficie de fluido) ഥ𝒉: profundidad a la que se encuentra el centroide (medida desde la superficie del fluido)𝐴: área de la superficie sumergida

Estática

Segundos momentos de áreas

(con respecto al eje que pasa por el centroide)

Teorema de Steiner/Teorema de los ejes paralelos

• 𝑰𝒛: Segundo momento de área con respecto a eje Z (paralelo a Z´)

• 𝑰𝒛′: Segundo momento de área con respecto al centroide (pasa por el eje Z’)

• 𝒅: distancia del eje Z al eje Z’

• 𝑨: área de la región

𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨 (teorema de Steiner)


Ejemplo 3 (resuelto)Cálculo del momento de Inercia, Ieje.

Estática𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨 (teorema de Steiner)

𝑰𝒛 =𝟏

𝟏𝟐∗ 𝒃𝒉𝟑 +

𝒉

𝟐

𝟐

𝒉𝒅 =𝟏

𝟏𝟐∗ 𝒃𝒉𝟑 +

𝟏

𝟒∗ 𝒃𝒉𝟑 =

𝟏

𝟑∗ 𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒛 =𝟏

𝟑∗ 𝒃𝒉𝟑

Siendo 𝒛′ un eje que pasa por el centroide de la figura

Siendo 𝒛 un eje en el plano de la compuerta ubicado enla superficie libre del líquido

𝑰𝒛 = න𝐴

𝒉𝟐 ∗ 𝑑𝐴

𝒉

𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒

𝑰𝒙′ =𝟏

𝟏𝟐𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒚′ =𝟏

𝟏𝟐𝒃𝟑𝒉

𝑰𝒙 =𝟏

𝟑𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒚 =𝟏

𝟑𝒃𝟑𝒉

Estática



Fuerza y centro de presión en una superficie sumergida rectangular.



𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙𝟏

𝟐𝒃 ∗ 𝒕 ∗ 𝒃

En una compuerta rectangular el centro de presiones, 𝒉𝒄𝒑,está ubicado en el centroide de la gráfica de presiones(carga distribuida).

𝒉𝒄𝒑 =𝟐

𝟑𝒃

𝒉𝒄𝒑 =13∗ 𝑡∗𝑏3

𝑏2∗ 𝑡∗𝑏

𝒉

𝒉𝒄𝒑

𝒉𝒄𝒑 =𝐼𝑧

തℎ ∗ 𝐴

𝒉𝒄𝒑 =23𝑏

𝝆𝒈ഥ𝒉

Altura, b

Ancho, tNivel del agua

𝑭

𝒉

𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


𝑰𝒙′ =𝟏


𝑰𝒚′ =𝟏


𝑰𝒙 =𝟏

𝟑𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒚 =𝟏

𝟑𝒃𝟑𝒉



Cálculo del momento de Inercia, Ieje.

𝑰𝒛 =𝟏

𝟖∗ 𝝅𝒓𝟒


𝑰𝒛 = න𝐴


𝒉𝑰𝒙′ = 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟖𝑹𝟒

𝑰𝒚′ =𝝅

𝟖𝑹𝟒

𝑰𝒙 =𝝅

𝟖𝑹𝟒

Estática

𝒙′

𝒚′

𝒙

𝑅


4𝑟

3𝜋

𝑰𝒙 = 𝑰𝒙′ + 𝒅𝟐𝑨 (teorema de Steiner)

𝑰𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟖𝑹𝟒 +𝟒𝑹

𝟑𝝅

𝟐

∗𝝅𝑹𝟐

𝟐= 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟖𝑹𝟒 +

𝟏𝟔

𝟗𝝅∗ 𝑹𝟒 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟐𝟕𝑹𝟒 =

𝝅

𝟖𝑹𝟒

Estática



Fuerza y centro de presión en una superficie sumergida circular.



𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙𝟒𝒓

𝟑𝝅∗

𝝅𝒓𝟐

𝟐

En una superficie sumergida circular el centro de presiones,

𝒉𝒄𝒑, NO está ubicado en el centroide de la gráfica de presiones.

𝒉 =𝟐

𝟑𝒃

𝒉𝒄𝒑 =

18∗ 𝜋∗𝑟4

4𝑟3𝜋

∗𝜋𝑟2

2

𝒉

𝒉𝒄𝒑


തℎ ∗ 𝐴

𝒉𝒄𝒑 =316𝜋𝑟

𝑭

Nivel del agua

𝒉

𝝆𝒈ഥ𝒉

𝑰𝒙′ = 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟖𝑹𝟒

𝑰𝒚′ =𝝅

𝟖𝑹𝟒

𝑰𝒙 =𝝅

𝟖𝑹𝟒𝒙′

𝒚′

𝒙

𝑅


4𝑟

3𝜋



Cálculo del momento de Inercia, Ieje.

𝑰𝒛 =𝟏

𝟏𝟐∗ 𝒃𝒉𝟑


𝑰𝒛 = න𝐴


𝒉

Estática

𝑰𝒙′ =𝟏

𝟑𝟔𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒚′ =𝟏

𝟑𝟔𝒃𝟑𝒉

𝑰𝒙 =𝟏


𝑰𝒚 =𝟏


𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


1

3ℎ

1

3𝑏

𝑰𝒙 = 𝑰𝒙′ + 𝒅𝟐𝑨 (teorema de Steiner)

𝑰𝒙 =𝟏

𝟑𝟔𝒃𝒉𝟑 +

𝟏

𝟑𝒉

𝟐𝒃𝒉

𝟐=

𝟏

𝟑𝟔𝒃𝒉𝟑 +

𝒃𝒉𝟑

𝟏𝟖=

𝟏


Estática



Fuerza y centro de presión en una superficie sumergida triangular.



𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙𝟏

𝟑𝒃 ∗

𝟏

𝟐𝒕 ∗ 𝒃 =

𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒃𝟐∙ 𝒕𝟔

𝒉𝒄𝒑 =112

∗ 𝑡∗𝑏3

𝑏3∗12𝑡∗𝑏

𝒉

𝒉𝒄𝒑


തℎ ∗ 𝐴

𝒉𝒄𝒑 =12𝑏

Fondo, b

Nivel del agua

𝑭𝝆𝒈ഥ𝒉

Ancho, t

𝒉

𝑰𝒙′ =𝟏


𝑰𝒚′ =𝟏


𝑰𝒙 =𝟏


𝑰𝒚 =𝟏


𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


1

3ℎ

1

3𝑏

𝑭

Estática



Fuerza y centro de presión en una superficie sumergida rectangular.



𝑭 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒃𝟏 +𝒃𝟐 − 𝒃𝟏

𝟐∗ 𝒕 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙

𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝟐

∗ 𝒕 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏

En una compuerta rectangular el centro de presiones, 𝒉𝒄𝒑,está ubicado en el centroide de la gráfica de presiones.

𝒉𝒄𝒑 =112

∗𝑡∗ 𝑏2−𝑏13 + 𝑏2+𝑏1

2

2𝑡 𝑏2 − 𝑏1

𝑏2+𝑏12

𝑡 𝑏2 − 𝑏1


തℎ ∗ 𝐴𝒉𝒄𝒑 =

ഥ𝐼𝑍 + തℎ2𝐴

തℎ ∗ 𝐴

𝝆𝒈ഥ𝒉

𝒉

𝒉𝒄𝒑

𝑭

Nivel del agua

𝒉

𝑏2

𝑏1

t

𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


𝑰𝒙′ =𝟏


𝑰𝒚′ =𝟏


𝑰𝒙 =𝟏

𝟑𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒚 =𝟏

𝟑𝒃𝟑𝒉

(teorema de Steiner)

𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨

𝑭

Estática



Ejercicio: Calcular la fuerza total, debida a la presión hidrostática del agua sobrela compuerta de la figura y determinar la posición del centro de presión,


𝒉Diámetro de la compuerta 3 m

2 m


∗ Á𝑟𝑒𝑎𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒉𝒄𝒑 =

𝐼𝑧തℎ ∗ 𝐴

𝒉𝒄𝒑

𝒉𝒄𝒑

ഥ𝐼𝑧 =14𝜋 1,5𝑚 4

𝐼𝑧 = 3,976𝑚4 + തℎ2 ∗ 𝐴

𝐼𝑧 = 3,976𝑚4 + 3,5 𝑚 2 ∗ 7,07 𝑚2 = 90,58𝑚4

𝒉𝒄𝒑 =90,58 𝑚4

3,5 𝑚∗7,07 𝑚2

𝒉𝒄𝒑 = 3,66 𝑚

𝑭 = 34161 𝑝𝑎 ∗ 7,07𝑚2 = 𝟐𝟒𝟏, 𝟓 𝒌𝑵

𝑰𝒙′ =𝝅

𝟒𝑹𝟒

𝑰𝒚′ =𝝅

𝟒𝑹𝟒𝒙′

𝒚′

𝑅


𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨 (teorema de Steiner)

(teorema de Steiner)

𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨

𝑭

Estática



Ejercicio: Calcular la fuerza total, debida a la presión hidrostática del agua sobrela compuerta de la figura.

𝒉

Distancia del nivel del agua al punto superior de

la compuerta

10

m

5 m

2 m


𝑭 = 26028 𝑃𝑎 ∗ 16,0𝑚2 = 𝟒𝟏𝟔𝒌𝑵




𝐼𝑧 =1

124 𝑚 8𝑚 3=170,67 𝑚4

𝒉𝒄𝒑 =170,67 𝑚4

2,67 𝑚∗16,0 𝑚2

𝒉𝒄𝒑 = 4,00 𝑚𝑰𝒙′ =

𝟏


𝑰𝒚′ =𝟏


𝑰𝒙 =𝟏


𝑰𝒚 =𝟏


𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


1

3ℎ

1

3𝑏

𝑭

Estática



Ejercicio: Calcular la fuerza total, debida a la presión hidrostática del agua sobrela compuerta de la figura.

𝒉

4 m

1 m

2 m

8 m


𝑭 = 26492 𝑃𝑎 ∗ 14,0𝑚2 = 𝟑𝟕𝟎𝒌𝑵




𝐼𝑧 = 10,67𝑚4 + 168𝑚4 = 178,67𝑚4

𝒉𝒄𝒑 =178,67 𝑚4

2,78 𝑚∗14,0 𝑚2

𝒉𝒄𝒑 = 4,71 𝑚

𝐼1𝑧 =134 𝑚 2𝑚 3 = 10,67𝑚4

𝐼2𝑧 =112

1 𝑚 6𝑚 3 + 5𝑚 2 ∗ 6𝑚2 = 168𝑚4

1

2

z

𝐼𝑧 = 𝐼1𝑧 + 𝐼2𝑧

𝒙′

𝒚′

𝒙

𝒚

ℎ

𝑏


𝑰𝒙′ =𝟏


𝑰𝒙 =𝟏

𝟑𝒃𝒉𝟑

𝑰𝒛 = 𝑰𝒛′ + 𝒅𝟐𝑨(teorema de Steiner)

Estática


Ejemplo 12 (resuelto)La compuerta sumergida de 3.0 ft de longitud (medidos perpendicularmente a la pantalla) se apoya medianteuna articulación de pasador en la parte superior y descansa sobre un suelo liso, el lado izquierdo de lacompuerta se encuentra sometido a la presión de un liquido de peso especifico 62.4 Lb/ft3. Si la medida de a es2.0 ft, Determinar:a. La fuerza horizontal ejercida sobre la compuerta, por el líquido.b. La fuerza vertical ejercida sobre la compuerta, por el líquido.c. La fuerza resultante ejercida sobre la compuerta, por el liquido.d. La magnitud de la reacción sobre la articulación de pasador.e. La magnitud de la reacción sobre el suelo liso.

Estática


Ejemplo 12 (resuelto)La compuerta sumergida de 3.0 ft de longitud (medidos perpendicularmente a la pantalla) se apoya medianteuna articulación de pasador en la parte superior y descansa sobre un suelo liso, el lado izquierdo de lacompuerta se encuentra sometido a la presión de un liquido de peso especifico () 62.4 Lb/ft3. Si la medida de aes 2.0 ft, Determinar:a. La fuerza horizontal ejercida sobre la compuerta, por el líquido. 13104.0 Lbb. La fuerza vertical ejercida sobre la compuerta, por el líquido. 6739.2 Lbc. La fuerza resultante ejercida sobre la compuerta, por el liquido. 14735.39 Lb

𝒅𝟏 𝑭𝟏

𝒅𝟐

𝑭𝟐

𝒅𝟑

𝑭𝟑

𝑭𝟏 𝑭𝟐

Fuerza horizontal, 𝑭𝒉 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐

𝑭𝟏 = 𝒑𝒄𝟏∗𝑨𝟏 = ∗2𝑎 ∗ 2𝑎 ∗ 3 =2995,2lb

𝑭𝟐 = 𝒑𝒄𝟐∗𝑨𝟐 = ∗4,5𝑎 ∗ 3𝑎 ∗ 3 =10108,8lb

Fuerza vertical, 𝑭𝒗 = 𝑭𝟑

𝑭𝟑 = 𝒑𝟑∗𝑨𝟑 = ∗3𝑎 ∗ 3𝑎 ∗ 3 =6739,2lb

𝑭𝒉

𝑭𝒗

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

𝒄𝟏

𝒄𝟐

Estática


Ejemplo 12 (resuelto)La compuerta sumergida de 3.0 ft de longitud (medidos perpendicularmente a la pantalla) se apoya medianteuna articulación de pasador en la parte superior y descansa sobre un suelo liso, el lado izquierdo de lacompuerta se encuentra sometido a la presión de un liquido de peso especifico () 62.4 Lb/ft3. Si la medida de aes 2.0 ft, Determinar:a. La fuerza horizontal ejercida sobre la compuerta, por el líquido. 13104.0 Lbb. La fuerza vertical ejercida sobre la compuerta, por el líquido. 6739.2 Lbc. La fuerza resultante ejercida sobre la compuerta, por el liquido. 14735.39 Lb

𝒅𝟏 𝑭𝟏

𝒅𝟐

𝑭𝟐

𝒅𝟑

𝑭𝟑

𝑭𝟏 = 𝒑𝒄𝟏∗𝑨𝟏 = ∗2𝑎 ∗ 2𝑎 ∗ 3 =2995,2lb 𝑭𝟐 = 𝒑𝒄𝟐∗𝑨𝟐 = ∗4,5𝑎 ∗ 3𝑎 ∗ 3 =10108,8lb 𝑭𝟑 = 𝒑𝟑∗𝑨𝟑 = ∗3𝑎 ∗ 3𝑎 ∗ 3 =6739,2lb

𝑭𝒉

𝑭𝒗

𝑭𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

𝒉𝒄𝒑𝟏 = 𝑎 + 𝑑1 =𝐼𝑧ഥℎ∗𝐴

=𝐼𝑍+ഥℎ

2𝐴

ഥℎ∗𝐴=

3∗(2𝑎)3

12+(2𝑎)2∗2𝑎∗3

2𝑎∗2𝑎∗3=4,33m 𝑑1 =2,33m

𝒉𝒄𝒑𝟐 = 𝑎 + 𝑑2 =𝐼𝑧ഥℎ∗𝐴

=𝐼𝑍+ഥℎ

2𝐴

ഥℎ∗𝐴=

3∗(3𝑎)3

12+(4,5𝑎)2∗3𝑎∗3

4,5𝑎∗3𝑎∗3=9,33m 𝑑2 =7,33m

𝑑3 = 1.5𝑎 = 3𝑚

Estática


Ejemplo 12 (resuelto)La compuerta sumergida de 3.0 ft de longitud (medidos perpendicularmente a la pantalla) se apoya medianteuna articulación de pasador en la parte superior y descansa sobre un suelo liso, el lado izquierdo de lacompuerta se encuentra sometido a la presión de un liquido de peso especifico 62.4 Lb/ft3. Si la medida de a es2.0 ft, Determinar:a. La magnitud de la reacción sobre la articulación de pasador. 16570,3 lbb. La magnitud de la reacción sobre el suelo liso. 16881.7 lb

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑦 = 0

𝑀𝑝 = 0

𝒅𝟏 ∗ 𝑭𝟏 + 𝒅𝟐 ∗ 𝑭𝟐 + 𝒅𝟑 ∗ 𝑭𝟑 − 𝟑𝒂 ∗ 𝑹𝒑𝒊𝒔𝒐 = 0

2,33*2995,2+7,33*10108,8+3*6739,2-3*2*𝑹𝒑𝒊𝒔𝒐=0

𝑹𝒑𝒊𝒔𝒐=16881,7lb

𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑹𝒑𝒙 = 0

2995,2+10108,8+𝑹𝒑𝒙=0

𝑹𝒑𝒙=13104lb

−𝑭𝟑 + 𝑹𝒑𝒚 + 𝑹𝒑𝒊𝒔𝒐 = 0

-6739,2+𝑹𝒑𝒚+16881,7=0

𝑹𝒑𝒚=-10142,5lb

𝑭𝟏𝑭𝟑

𝑭𝟐

𝑹𝒑𝒙

𝑹𝒑𝒊𝒔𝒐

𝒅𝟏

𝒅𝟐

𝒅𝟑

𝑹𝒑𝒚

𝒑

Estática


Ejemplo 13 (resuelto)La placa mostrada en la figura tiene un espesor t = 0.1 m, se encuentra pivotada en A por medio de un pasador,Si la densidad del agua es de 1000 Kg/m3 y la gravedad es de 9.81 m/s2 y las medidas a = 0.2 m, b = 1.9 m, c =0.9 m y d = 1.2 m. Determinar:a. La fuerza vertical que ejerce el agua sobre la placa. 1388.12 Nb. La fuerza horizontal que ejerce el agua sobre la placa. 2143.48 Nc. La magnitud de la fuerza resultante ejercida por el agua. 2553.7 Nd. La magnitud del contrapeso en C para que la compuerta comience a abrirse. 4552.53e. La magnitud de la reacción en el pasador A. 6315.52 N

Estática


Ejemplo 13 (resuelto)La placa mostrada en la figura tiene un espesor t = 0.1 m, se encuentra pivotada en A por medio de un pasador,Si la densidad del agua es de 1000 Kg/m3 y la gravedad es de 9.81 m/s2 y las medidas a = 0.2 m, b = 1.9 m, c =0.9 m y d = 1.2 m. Determinar:a. La fuerza vertical que ejerce el agua sobre la placa. 1388.12 Nb. La fuerza horizontal que ejerce el agua sobre la placa. 2143.48 Nc. La magnitud de la fuerza resultante ejercida por el agua. 2553.7 Nd. La magnitud del contrapeso en C para que la compuerta comience a abrirse. 4552.53e. La magnitud de la reacción en el pasador A. 6315.52 N

𝒅𝒉

𝑭𝒉

𝒅𝒗

Rpx

𝑹𝒑𝒚

Rc

𝑭𝒗

𝒅𝟑

F3

𝒅𝟐

Rpx

Rpy

𝒅𝟏

F1

Rc

F2

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑥 = 0

𝑀𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 = 0

Estática


Ejemplo 13 (resuelto)La placa mostrada en la figura tiene un espesor t = 0.1 m, se encuentra pivotada en A por medio de un pasador,Si la densidad del agua es de 1000 Kg/m3 y la gravedad es de 9.81 m/s2, Determinar:a. La fuerza vertical que ejerce el agua sobre la placa. 1388.12 Nb. La fuerza horizontal que ejerce el agua sobre la placa. 2143.48 Nc. La magnitud de la fuerza resultante ejercida por el agua. 2553.7 N

𝐹1

𝒅𝟏Nivel del agua

𝐹2𝑅

𝒅𝟐𝑹

𝐹2𝑇

𝒅𝟐𝑻

Nivel del agua

𝒅𝟑𝑻𝒅𝟑𝑹

𝐹3𝑅

𝐹3𝑇

𝛾 = 1000 Τ𝑘𝑔 𝑚3 ∙ 9.81 Τ𝑚 𝑠2

a = 0.2 mb = 1.9 mc = 0.9 md = 1.2 m

Estática



𝐹1 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝛾 ∗ 𝑉1𝑉1 = 0.1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝑑1 =𝑏2

𝛾 = 1000 Τ𝑘𝑔 𝑚3 ∙ 9.81 Τ𝑚 𝑠2

a = 0.2 mb = 1.9 mc = 0.9 md = 1.2 m

𝐹1

𝒅𝟏Nivel del agua

𝐹2𝑅

𝑑2𝑅

𝐹2𝑇

𝑑2𝑇

𝐹2𝑅 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝛾 ∗ 𝑉2𝑅𝑉2𝑅 = 0.1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐

𝐹2𝑇 = 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝛾 ∗ 𝑉2𝑇𝑉2𝑇 = 0.1 ∗ 1

2𝑐 ∗ 𝑏

𝑑2𝑅 = 𝑏 + 𝑐2

𝑑2𝑇 = 𝑏 + 23𝐶

Fuerza vertical, 𝐹1 + 𝐹2𝑅 + 𝐹2𝑇

Estática



𝛾 = 1000 Τ𝑘𝑔 𝑚3 ∙ 9.81 Τ𝑚 𝑠2

a = 0.2 mb = 1.9 mc = 0.9 md = 1.2 m

Fuerza horizontal, 𝐹3𝑅 + 𝐹3𝑇

𝐹3 = 𝑝𝑐3 ∗ 𝐴3𝐴3 = 0.1 ∗ 𝑏 (área proyectada)

𝑝𝑐3 = 𝛾 ∗ 𝑎 +𝑏

2

𝑑3𝑅 = 𝑏2

𝑑3 =Á𝑟𝑒𝑎𝑅 ∗ 𝑑3𝑅 + Á𝑟𝑒𝑎𝑇 ∗ 𝑑3𝑇

Á𝑟𝑒𝑎𝑅 + Á𝑟𝑒𝑎𝑇

Nivel del agua

𝒅𝟑

𝐹3𝑐3

Posición del centroide, 𝑑3

𝛾 ∗ 𝑎 + 𝑏

𝒅𝟑𝒅𝟑𝑹

𝒅𝟑𝑻

𝛾 ∗ 𝑎

𝑑3 =𝑏 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎 ∗

𝑏2+

12𝑏 ∗ 𝛾 ∗ 𝑏 ∗

23𝑏

𝑏 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎 +12 𝑏 ∗ 𝛾 ∗ 𝑏

Estática


Ejemplo 13 (resuelto)La placa mostrada en la figura tiene un espesor t = 0.1 m, se encuentra pivotada en A por medio de un pasador,Si la densidad del agua es de 1000 Kg/m3 y la gravedad es de 9.81 m/s2 y las medidas a = 0.2 m, b = 1.9 m, c =0.9 m y d = 1.2 m. Determinar:a. La magnitud del contrapeso en C para que la compuerta comience a abrirse. 4552.53b. La magnitud de la reacción en el pasador A. 6315.52 N

𝒅𝟑

𝐹3

𝑅𝑝𝑥

𝑅𝑝𝑦

𝒅𝟏

𝐹1

𝑅𝑐

𝐹2𝑅

𝑑2𝑅

𝐹2𝑇

𝑑2𝑇

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐴 = 0

Estática...Estática Fuerzas distribuidas Las fuerzas en general son proporcionales al volumen de...

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