G01.Estática Estructural. Equilibrio de Fuerzas. Cuerpo Libre

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Asignatura: Esttica Estructural

Cdigo: CBES01/G01/Equilibrio de Fuerzas. Cuerpo Libre

Direccin de Construccin Pgina 1

Unidad de Aprendizaje N1:

Principios de la esttica de las partculas.

Aprendizajes Esperados

1. Analiza el equilibrio de una partcula en el plano y espacio, en distintos elementos que

componen una estructura, segn condiciones de equilibrio.

1. OBJETIVOS.

El objetivo de esta actividad es:

- Aplicar los principios de equilibrio de una partcula en el plano y espacio, en distintos

elementos de una estructura, adems de construir los diagramas de cuerpo libre.

2. ANTECEDENTES GENERALES.

La esttica, es la parte de la mecnica que estudia las condiciones de equilibrio de las fuerzas

sobre un cuerpo en reposo.

La esttica es la rama de la mecnica clsica que analiza las cargas (fuerza, par / momento) y

estudia el equilibrio de fuerzas en los sistemas fsicos en equilibrio esttico, es decir, en un estado

en el que las posiciones relativas de los subsistemas no varan con el tiempo.

La primera ley de Newton implica que la red de la fuerza y el par neto (tambin conocido

como momento de fuerza) de cada organismo en el sistema es igual a cero. De esta limitacin

pueden derivarse cantidades como la carga o la presin.

La red de fuerzas de igual a cero se conoce como la primera condicin de equilibrio, y el par neto

igual a cero se conoce como la segunda condicin de equilibrio.

La esttica proporciona, mediante el empleo de la mecnica del slido rgido, solucin a los

problemas denominados isostticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones

bsicas de equilibrio, que son:

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1. El resultado de la suma de fuerzas es nulo.

2. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.

Estas dos condiciones, mediante el lgebra vectorial, se convierten en un sistema de

ecuaciones; la resolucin de este sistema de ecuaciones es la solucin de la condicin de

equilibrio.

Existen mtodos de resolucin de este tipo de problemas estticos mediante grficos,

heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolucin de sistemas de ecuaciones se

evitaba mediante la geometra, si bien actualmente se tiende al clculo por medios

computacionales.

Para la resolucin de problemas hiperestticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar

con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad.

Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introduccin

de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los mtodos de

la mecnica de slidos deformables, que es una ampliacin de la mecnica del slido rgido que,

adems, da cuenta de la deformabilidad de los slidos y sus efectos internos.

Existen varios mtodos clsicos basados en la mecnica de slidos deformables, como

los teoremas de Castigliano o las frmulas de Navier-Bresse.

Como hemos mencionado, la esttica es una parte de la mecnica clsica que tiene como objeto

estudiar las condiciones que cumplen las fuerzas que actan sobre una partcula o un slido para

mantenerse en equilibrio.

Podemos definir fuerza, como toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento

de un cuerpo, o de producirle una deformacin.

Las unidades de Unidades de fuerza en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg

.m /s2

En el Sistema Tcnico la unidad es el KILOPONDIO (Kp) es la fuerza con que la Tierra atrae a una

masa de 1 Kg (es decir el peso correspondiente a una masa de 1 Kg)

W= m. g = 1. 9,8 = 9,8 N luego 1Kp=9,8N

La fuerza es una cantidad fsica vectorial. Sus efectos dependen de su intensidad (magnitud),

direccin, sentido y punto de aplicacin.

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= 1 + 2 + +

Un cuerpo est en equilibrio cuando permanece en reposo o su velocidad es constante.

La fuerza neta sobre el cuerpo es cero, la aceleracin es cero.

Las tres leyes del movimiento de Newton. Todo el tema de la mecnica del cuerpo rgido est

formulado con base en las tres leyes del movimiento de Newton, cuya validez se basa en la

observacin experimental.

Estas leyes se aplican al movimiento de una partcula medido desde un marco de referencia no

acelerado. Con relacin a la figura 1-1, las leyes del movimiento de Newton pueden ser enunciadas

brevemente como sigue.

Primera ley. Una partcula originalmente en reposo, o que se mueve en lnea recta con velocidad

constante, permanecer en este estado siempre que no est sometida a una fuerza que no est

balanceada.

Segunda ley. Una partcula sobre la que acta una fuerza desbalanceada F experimenta una

aceleracin a que tiene el mismo sentido que la fuerza y una magnitud que es directamente

proporcional a la fuerza: Si F es aplicada a una partcula de masa m, esta ley puede expresarse

matemticamente como:

F = m a

Tercera ley. Las fuerzas mutuas de accin y reaccin entre dos partculas son iguales, opuestas y

colineales.

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Escalares y Vectores.

La mayor parte de las cantidades fsicas en mecnica pueden ser expresadas matemticamente

por medio de escalares y vectores.

Escalar. Una cantidad caracterizada por un nmero positivo o negativo se denomina un escalar.

Por ejemplo, masa, volumen y longitud son cantidades escalares empleadas a menudo en esttica.

Los escalares estn indicados por letras en cursivas, tal como el escalar A.

Vector. Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como direccin. En esttica, las

cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son posicin, fuerza y momento. En trabajos

realizados a mano, un vector es representado generalmente por una letra con una lnea sobre ella,

tal como . La magnitud se designa mediante / / o simplemente con .

Los vectores se simbolizarn mediante tipos en negrita; por ejemplo, A se usa para designar el

vector "A". Su magnitud, que es siempre una cantidad positiva, se representa mediante cursivas,

tal como / /, o simplemente A cuando se sobreentienda que A es un escalar positivo.

Un vector se representa grficamente por medio de una flecha, la cual se usa para definir su

magnitud, direccin y sentido.

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La magnitud del vector es la longitud de la flecha, la direccin es definida por el ngulo entre un

eje de referencia y la lnea de accin de la flecha, y el sentido queda indicado por la cabeza de la

flecha.

Por ejemplo, el vector A mostrado en la figura tiene una magnitud de 4 unidades, una direccin de

20 medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje horizontal, y un sentido

que es hacia arriba y hacia la derecha. El punto O se llama la cola del vector y el punto P la punta o

cabeza del vector.

Suma de vectores.

La suma de dos vectores A y B es un nuevo vector S. A+B=S. Grficamente puede obtenerse

mediante la regla del paralelogramo, o bien usando el mtodo que consiste en colocar uno de

ellos y en el extremo de ste se coloca el origen del otro siendo el vector resultante aquel que

tiene de origen el del primero y de extremo el del segundo.

La suma de vectores posee la propiedad conmutativa y asociativa.

u+v=v+u

(u+v)+c=u+ (v+)

Diferencia de vectores.

La resta de dos vectores u y v (u - v) es igual a la suma de u con el opuesto de v [u + (-v)].

La suma de un vector con su opuesto nos da el vector cero (0).

u + (-u)=0

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Suma Vectorial de Fuerzas.

La evidencia experimental ha mostrado que una fuerza es una cantidad vectorial ya que tiene una

magnitud especfica, direccin y sentido, y que se suma de acuerdo con la ley del paralelogramo.

Dos problemas comunes en esttica implican encontrar la fuerza resultante, conocidas sus

componentes, o resolver una fuerza conocida en dos componentes.

Para la resolucin de estos problemas se emplea la ley del paralelogramo.

Si ms de dos fuerzas deben ser sumadas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley

del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F1, F2, F3 actan

en un punto 0, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, F1 + F2, Y luego esta

resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir, F R = (F1 +

F2) + F3.

Aplicar la ley del paralelogramo para sumar ms de dos fuerzas, a menudo requiere de extensos

clculos geomtricos y trigonomtricos para determinar los valores numricos de la magnitud y la

direccin de la resultante.

Ley del Paralelogramo.

Trace un croquis mostrando la adicin vectorial usando la ley del paralelogramo.

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Dos fuerzas "componentes" se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo,

produciendo una fuerza resultante que forma la diagonal del paralelogramo.

Si una fuerza debe resolverse en componentes a lo largo de dos ejes dirigidos desde la cola

de la fuerza, entonces comience en la cabeza de la fuerza y construya lneas paralelas a los

ejes, formando as el paralelogramo. Los lados del paralelogramo representan las

componentes.

Marque todas las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas y los ngulos sobre el

croquis e identifique las dos incgnitas.

Trigonometra.

Trace de nuevo media porcin del paralelogramo para ilustrar la adicin triangular cabeza

a cola de las componentes.

La magnitud de la fuerza resultante puede ser determinada con la ley de los cosenos, y su

direccin mediante la ley de los senos.

La magnitud de dos componentes de fuerza est determinada a partir de la ley de los

senos.

Aspectos Importantes.

Un escalar es un nmero positivo o negativo.

Un vector es una cantidad que tiene magnitud, direccin y sentido.

La multiplicacin o la divisin de un vector por, o entre, un escalar cambiar la

magnitud del vector. El sentido del vector cambiar si el escalar es negativo.

Como un caso especial, si los vectores son colineales, la resultante se obtiene con una

suma algebraica o escalar.

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Ejercicio de Vectores de Fuerza.

El cncamo roscado que se ve en la figura, est sometida a dos fuerzas, F1y F2.

Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante.

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La fuerza resultante se determina aplicando la ley de los cosenos:

= (100 )2 + (150 )2 2 (100 ) (150 ) cos 115

= 10 000 + 22 500 30 000 (0.4226)

= 213

El ngulo se determina aplicando la ley de los senos, usando el valor calculado de Fr.

150

=

213

sin 115

sin =150 0.906

213 = 0,638

= 39,6

As, la direccin (fi) de F r, medida desde la horizontal, es:

= 39.6 + 15.0 = 54.6

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Ejercicio de Vectores de Fuerza.

Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = F1 + F2 as como su direccin, medida en

sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Diagrama de Fuerzas.

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La fuerza resultante se determina aplicando la ley de los cosenos:

= (250 )2 + (375 )2 2 (250 ) (375 ) cos 75

= 62 500 + 140 625 187 500 (0,259)

= 393

El ngulo se determina aplicando la ley de los senos, usando el valor calculado de Fr.

250

=

393

sin 75

sin =250 0.966

393 = 0,614

= 37,87=38

As, la direccin (fi) de Fr, medida desde la horizontal, es:

= 45 - 38 = 7

Por lo que, el ngulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, es 353 .

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Fuerzas en el Espacio

Una fuerza F en un espacio tridimensional se pude descomponer en componentes rectangulares

Fx, Fy y Fz.

Al simbolizar por medio de x, y y z, respectivamente, los ngulos que F forma con los ejes x, y,

y z , se tiene

Fx = F cos x ---- Fy = F cos y ---- Fz = F cos z

Cosenos Directores.

Los coseno de x, y y z se conocen como los cosenos directores (direccionales) de la fuerza F.

Con la introduccin de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes coordenados, se escribe

F = Fxi + Fyj + Fzk

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0

F = F (cos xi + cos yj + cos zk)

F es el producto de su magnitud F y el vector unitario

= cos xi + cos yj + cos zk

Puesto que la magnitud de es igual a la unidad, se tiene que

cos x + cos y + cos z = 1

Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F se proporcionan, la magnitud F

de la fuerza se encuentra al escribir

F = Fx + Fy + Fz

y los cosenos directores de F se obtienen a partir de:

cos x = Fx/F ---------- cos y = Fy/F ------------ cos z = Fz/F

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Ejercicio.

Una fuerza F, tiene los componentes Fx = 20 N, Fy = - 30 N y Fz = 60 N.

Determine la magnitud de F y los ngulos que forma con los ejes coordenados.

= 2 +

2 + 2

= (20 )2 + (30 )2 + (60 )2

= 4900 = 70

Ahora determinamos los ngulos de los ejes coordenados.

cos =

=20

70 = 0,286 = 73,4

cos =

= 30

70 = 0,429 = 115,4

cos =

=60

70 = 0,857 = 31

Fuerzas definidas por su Magnitud y su Lnea de Accin.

Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de su magnitud F y de dos

puntos M y N sobre su lnea de accin, sus componentes rectangulares se pueden obtener de la

siguiente manera:

- Primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en trminos de sus componentes dx,

dy y dz.

= + +

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Despus se determina el vector unitario a lo largo de la lnea de accin de F al dividir MN entre

su magnitud MN = d:

=

=

1

( + + )

Recordando que F es igual al producto de F y , se tiene

= =

( + + )

Por lo cual se desprende que las componentes escalares de F son, respectivamente,

=

=

=

cos =

cos =

cos =

Ejercicio.

El alambre de una torre est anclado en A por medio de un perno.

La tensin en el alambre es de 2 500 N.

Determine los componentes Fx, Fy y Fz, de la fuerza que acta sobre el perno y los ngulos que

definen la direccin de la fuerza.

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La linea de accin de la fuerza que acta sobre el perno pasa por A y B y la fuerza est dirigida de A

haca B. Las componentes del vector , que tienen la misma direccin de la fuerza son:

= 40 = 80 = 30

La distancia total de A a B es:

= = 2 +

2 + 2 = 94,3

Al representar por i, j y k los vectores unitariops a lo largo de los ejes coordenados, se tiene:

= (40 ) + (80 ) + (30 )

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Introduciendo el vector unitario =

= =

=

2500

94,3

Si se sustituye la expresin de

= 2500

94,3 [(40 ) + (80 ) + (30 )]

= [(1060 ) + (2120 ) + (795 )]

Las componentes de F son:

= 1060 = 2120 = 795

Direccin de la Fuerza.

cos =

= 1060

2500 = 0,424 cos =

= 2120

2500 = 0,848

cos =

=795

2500 = 0,318

Calculando su respectivo arco seno se obtiene:

= 115.1 = 32 = 71,5

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Equilibrio de una Partcula en el Plano.

Una partcula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actan sobre la partcula, es igual al vector nulo.

Primera Condicin de Equilibrio

Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actan sobre l es igual a cero.

Matemticamente esta ley se expresa con la ecuacin:

= 0 = 0

Una partcula estar en equilibrio siempre que est en reposo si originalmente estaba en reposo, o siempre que tenga una velocidad constante si originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, ms a menudo, el trmino "equilibrio" o, ms especficamente, "equilibrio esttico" se usa para describir un objeto en reposo.

Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que acta sobre una partcula sea igual a cero.

La ecuacin = 0 no slo es una condicin necesaria para el equilibrio, tambin es una condicin suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley del movimiento de Newton, la cual puede escribirse como: F = ma.

Como el sistema de fuerzas satisface la ecuacin = 0, entonces m a = O, Y por tanto la aceleracin de la partcula a = O. En consecuencia, la partcula se mueve con velocidad constante o permanece en reposo.

Diagrama de Cuerpo Libre.

Para aplicar la ecuacin de equilibrio, debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y

desconocidas (F) que actan sobre la partcula.

La mejor manera de hacer esto es trazando el diagrama de cuerpo libre de la partcula. Este

diagrama es simplemente un croquis que muestra la partcula "libre" de su entorno con todas las

fuerzas que actan sobre ella.

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Antes de presentar un procedimiento formal de cmo trazar un diagrama de cuerpo libre,

consideraremos dos tipos de conexiones encontradas a menudo en problemas de equilibrio en

partculas.

Resortes.

Si un resorte elstico lineal se usa como soporte, su longitud cambiar en proporcin directa a la

fuerza que acte en l. Una caracterstica que define la "elasticidad" de un resorte es la constante

de resorte o rigidez k.

La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elstico lineal que tiene una rigidez k y es

deformado (alargado o acortado) una distancia s, medida sta desde su posicin descargada, es:

=

Aqu s est determinada a partir de la diferencia de la longitud del resorte deformado l y su

longitud no deformada lo, es decir, s = l - lo.

Si s es positiva, F "jala" al resorte, mientras que si es negativa, F lo "empuja".

Por ejemplo, el resorte mostrado en la siguiente figura, tiene una longitud no deformada lo = 0.4

m y rigidez k = 500 N/m.

Para alargarlo de manera que l = 0.6 m, se requiere una fuerza

F = k s = (500 N/m) (0.6 m - 0.4 m) = 100 N.

De la misma manera, para acortarlo a una longitud l = 0.2 m, se requiere una fuerza

F = k s = (500 N/m)(0.2 m - 0.4 m) = - 1 00 N.

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Cables y Poleas.

Para el estudio se supone que todos los cables (o cuerdas) tienen peso insignificante y que no

pueden estirarse. Adems, un cable puede soportar slo una tensin o jaln, y esta fuerza siempre

acta en la direccin del cable. En el captulo

La tensin desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin friccin debe tener una

magnitud constante para mantener al cable en equilibrio.

Por tanto, para cualquier ngulo, el cable est sometido a una tensin constante T en toda su

longitud.

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Procedimiento para trazar un Diagrama de Cuerpo Libre

Como al aplicar las ecuaciones de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que

actan sobre una partcula, debe enfatizarse la importancia de trazar primero un diagrama de

cuerpo libre.

Para construir un diagrama de cuerpo libre, son necesarios los siguientes tres pasos.

- Trace la forma delineada. Suponga que la partcula est aislada o "liberada" de su entorno

trazando su forma delineada.

- Mostrar todas las fuerzas. Indique sobre ese croquis todas las fuerzas que actan sobre la

partcula. stas pueden ser fuerzas activas, las cuales tienden a poner la partcula en movimiento,

o fuerzas reactivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a prevenir el

movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede ser conveniente delimitar los

alrededores de la partcula, sealando cuidadosamente cada fuerza que acta sobre ella.

- Identifique cada fuerza. Las fuerzas que son conocidas deben ser rotuladas con sus propias

magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas

desconocidas se usan letras.

Ejemplo de Equilibrio de una Partcula.

Por ejemplo, considrese el embalaje de madera de 75 kg mostrado en el diagrama espacial de la

figura. Este descansaba entre dos edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camin

que lo quitar de ah. El embalaje est soportado por un cable vertical unido en A, a dos cuerdas

que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensin en cada una de

las cuerdas AB y AC.

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Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partcula en

equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diagrama de cuerpo libre debe

incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo

libre para este problema.

El diagrama de cuerpo libre del punto A muestra al punto A y las fuerzas ejercidas sobre A por el

cable vertical y las dos cuerdas. La fuerza ejercida por el cable est dirigida hacia abajo y es igual al

peso W del contenedor. Por lo que tenemos:

W = mg = (75 kg) (9.81 m/s2) = 736 N

Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocen, pero como son iguales en magnitud a la

tensin en la cuerda AB y en la cuerda AC, se representan con TAB y TAC y se dibujan hacia fuera de

A en las direcciones mostradas por el diagrama espacial. No se incluyen otros detalles en el diagrama

de cuerpo libre.

Puesto que el punto A est en equilibrio, las tres fuerzas que actan sobre l deben formar un

tringulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola.

En este tringulo de fuerzas, los vectores TAB y TAc de las tensiones en las cuerdas pueden

encontrarse grficamente si el tringulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la

trigonometra.

Si se escoge el ltimo mtodo de solucin, con la ley de los senos se escribe

80

736

4060 Sen

N

Sen

T

Sen

T ACAB

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Cuando una partcula est en equilibrio bajo tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse

dibujando un tringulo de fuerzas. Cuando una partcula est en equilibrio bajo ms de tres fuerzas,

el problema puede resolverse grficamente dibujando un polgono de fuerzas.

Si se desea una solucin analtica, se deben resolver las ecuaciones de equilibrio:

0 xF 0 yF

Ejercicio.

Una seccin de un muro de Hormign Armado, se sostiene temporalmente durante el fraguado y

endurecimiento del mismo por cables.

En el cable AB la tensin es de 840 lb, y 1200 lb en el cable AC.

Determine la magnitud y la direccin de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y Ac

sobre la estaca A.

Solucin.

La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se debe descomponer en sus componentes x, y,

z.

Primero se debe determinar las componentes y la magnitud de los vectores .

Midindolos desde A hacia la seccin de la pared. Si se representa por i, j y k a los vectores a lo

largo de los ejes coordenados:

= (16 ) + (8) + (11) = 21

= (16 ) + (8) + (16) = 24

Representando por al vector unitario a lo largo de la lnea AB, obtenemos:

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= =

=

840

21

Sustituyendo el valor de , se obtiene:

= 840

21 ((16 ) + (8) + (11))

= ((640 ) + (320) + (440))

Representando por al vector unitario a lo largo de la lnea AC, obtenemos:

= =

=

1200

24

= ((800 ) + (400) + (800))

Resultante de las Fuerzas.

La resultante R de las fuerzas ejercidas por los cables es:

= + = (1440 ) + (720 ) (360 )

La magnitud y direccin de la resultante se determinan por:

= 2 +

2 + 2 = ( 1440)2 + (720)2 + ( 360)2 = 1650

cos =

= 1440

1650 = 0,873

cos =

= 720

1650 = 0,436

cos =

= 360

1650 = 0,218

Calculando en forma sucesiva cada cociente y su arco coseno, se obtiene:

= 150.8 = 64.1 = 102.6

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3. DESARROLLO

Ejercicios Propuestos.

1. Determine la magnitud de la fuerza resultante FR = Fl + Fz Y su direccin, medida en

sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Respuesta. FR = 867 N, 4> = 108

2. Calcular las tensiones de los hilos AB y BC del sistema de levantamiento de carga.

Respuesta. = 597 , = 2 230

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3. La placa abisagrada est soportada por la cuerda AB. Si la fuerza en la cuerda es F = 340 lb,

exprese esta fuerza dirigida de A hacia B, como un vector cartesiano.

Cul es la longitud de la cuerda?

4. Determine la fuerza que acta a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales

necesarios para dar soporte al bloque de 500 kg.

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4. INSUMOS

5. EQUIPAMIENTO

6. BIBLIOGRAFA

- http://es.wikipedia.org/wiki/Est%C3%A1tica_(mec%C3%A1nica)

- Fsica Tomo I, SERWAY, Cuarta Edicin. McGRAW HILL

- http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html8 Consultada 20/08/2014)

- http://estaticajoo.blogspot.com/2009/02/fuerzas-en-el-espacio.html

- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Beer Johnston.

Materiales. Unidad. Cantidad. # Alumnos.

Papel Bond resma 0,25 20

Equipos. CANTIDAD N MAX

ALUMNOS

Data Show. 1 20

Computador 1 20

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