Ecuaciones lineales

5/8/2018 Ecuaciones lineales - slidepdf.com

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Exposición de unExposición de un modeladomodeladoGustavo Canales Rivera



EnunciadoEnunciado

El isotopo radiactivo del plomo, Pb-209,

decae a una rapidez proporcional a la

cantidad presente en el tiempo ´tµ y tiene

una vida media de 3.3 horas . Si al inicio

esta presente un gramo de este isotopo.

y ¿Cuánto tiempo tardara en decaer 90%

del plomo?



DatosDatos

-Velocidad a la que decae

-Valores iníciales

kP V !

2

1)3.3( ! P

1)0( ! P



Ecuación diferencialEcuación diferencial

P= cantidad de plomo gramos (g)

(variable dependiente)

t= tiempo segundos (s)

(variable independiente)

k= constante de proporcionalidad

kP dt

dP !



Ecuaciones linealesEcuaciones lineales

Forma estándar de una E. lineal

-Homogéneas ( no existe f(x) )

-No homogéneas ( existe f(x) )

)()( x f y x P d x

d y!

d x x f eece y

ce y

d x x P d x x P d x x P

d x x P

)()()()(

)(

´´´´!

´!



AcomodamosAcomodamos

P(x)=k f(x)=0

Como f(x) no existe entonces decimos que nuestra

ecuación es homogénea y obtenemos la solución general:

k dt

d ! 0! k

dt

d

dt k

ce P ´!

kt cet P

!)(



Obtenemos constantes ́ kµ y ́ cµObtenemos constantes ́ kµ y ́ cµ

1)0( ! P kt cet P !)(-

Solución particular 1

)0(

1

k

ce

!

01 ce!

)1(1 c! 1!c

kt

et P

!

)(



-

Solución particular 2

kt et P !)(

2

1)3.3( ! P

)3.3(

2

1 k e!

)3.3(21 k In !

k

In

! 3.3

2

1

2100446.!k

t et P 2100446.

)(

!



Regresando al problemaRegresando al problema

¿Cuánto tiempo tardara en decaer 90% del plomo?

- t et P 2100446.)( !

10

1)( !t P

t

e2100446.

10

1

!

t In 2100446.

10

1!



El tiempo que tarda en decaer el 90% del

plomo es de 10.96 hrs ó

10: 57:36 (hrs:min:s)

t

In

! 2100446. 10

1

96.10!t



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