Control PD de un pendulo simple
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA LAGUNA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN Materia: Control Inteligente Tarea # 2 Catedrático: Dr. Miguel Ángel Llama Leal Alumno: Ing. Erasmo Daniel R eyes Jaramillo M1413033 A 4 de Marzo del 2015. Torreón, Coahuila. México.
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Se describe el modelado y el controlador utilizado para un pendulo simple
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE LA LAGUNA
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS DE POSGRADO E
INVESTIGACIN
Materia: Control Inteligente
Tarea # 2
Catedrtico: Dr. Miguel ngel Llama Leal
Alumno: Ing. Erasmo Daniel Reyes Jaramillo M1413033
A 4 de Marzo del 2015. Torren, Coahuila. Mxico.
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1-. Introduccin
Objetivos.
1.- Desarrollar un controlador PD clsico con compensacin de gravedad y aplicarlo al pndulo simple visto en clase. 2.- Desarrollar un controlador PD difuso directo con compensacin de gravedad y aplicarlo al pndulo simple visto en clase. 3.- Desarrollar un controlador PD difuso supervisorio con compensacin de gravedad y aplicarlo al pndulo simple visto en clase.
2-. Desarrollo
a) Modelo dinmico de un pndulo simple
Figura 1. Pndulo simple.
Donde
=
=
=
=
Luego
= [] = [
()cos ()
]
= = [
] = [
cos ()()
]
Usando la metodologa de modelacin Lagrangiana:
-
=
Donde
=
=
Ecuacin del movimiento de Lagrange:
=
(
)
=1
2+ +
1
22
= [ cos() ()] [cos()sen()
]
= 22[2() + 2()]
= 22
=1
2
22 +1
22
=1
22[
2 + ]
= = ()
= =1
22[
2 + ] ()
= [
2 + ]
(
) = [
2 + ]
= ()
Modelo dinmico del pndulo
= [2 + ] () (1)
En variables de estado
-
[] = [
+ ()
2 +
]
Para los puntos de equilibro
[00] = [
+ ()
2 +
]
Por lo tanto
= 0
= ()
b) Diseo de un controlador tipo PD con compensacin de gravedad
El siguiente paso es proponer una Ley de Control PD con compensacin de gravedad.
Ley de control
= + () (3)
Donde
=
=
Ecuacin de lazo cerrado
Igualando ec.1 y ec. 3 tenemos:
[2 + ] () = + ()
[[2 + ] = 0
El error de aceleracin se define como = , luego =
[2 + ] = 0
Por facilidad, y sin prdida de generalidad, asumimos que
-
= 1
= 1
= 0
Entonces la ecuacin caracterstica del sistema lineal de 2do orden es
+ + = 0
Aplicando la Transformada de Laplace y factorizando
2 + + = 0
Ahora se propone colocar los polos en 1 = 4, 2 = 5
Entonces 2 + 9 + 20 = 0
Por lo tanto
= 9
= 20
En la figura 2 se muestra el diagrama a bloques del controlador
Figura 2. Diagrama a bloques de un controlador PD con compensacin de gravedad.
En la figura 3 se muestra la respuesta del sistema ante una entrada de 45, as como el par
generado por el controlador. En la figura 4 se muestra la respuesta del sistema ante una entrada
de 90, as como el par generado por el controlador.
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Figura 3. Grficas ante una entrada de 45. De arriba hacia abajo: Posicin deseada, salida del sistema, par.
Figura 4. Grficas ante una entrada de 90. De arriba hacia abajo: Posicin deseada, salida del sistema, par.
c) Diseo de un controlador PD difuso directo
En este controlador, se tienen dos entradas (erros de posicin y error de velocidad); se tiene una
salida (par aplicado al pndulo).
Las funciones de membresa de la entrada 1 (error de posicin) se muestran en la figura 5:
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Figura 5. Funciones de membresa de entrada 1.
Las funciones de membresa de la entrada 2 (error de velocidad) se muestran en la figura 6:
Figura 6. Funciones de membresa de la entrada 2.
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Las funciones de membresa de la salida (par) se muestran en la figura 7.
Figura 8. Funciones de membresa de la salida.
En la figura 8 se muestran las reglas que se usan en el controlador
Figura 8. Reglas que se usan en el controlador.
A continuacin, se muestra un diagrama a bloques del sistema implementado. As como la
respuesta del sistema y el par generado por el controlador.
N Z P
N NB NS ZE
Z NS ZE PS
P ZE PS PB
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Figura 9. Diagrama a bloques de un controlador PD difuso directo.
Figura 10. Grficas ante una entrada de 90. De arriba hacia abajo: Par, salida del sistema, posicin deseada.
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Figura 11. Grficas ante una entrada de 60. De arriba hacia abajo: Par, salida del sistema, posicin deseada.
d) Diseo de un controlador PD difuso supervisorio
En este controlador, se tiene una entrada (error de la posicin) y dos salidas (ganancia .
En la figura 12 se muestra las funciones de membresa de la entrada
Figura 12. Funciones de membresa de la entrada.
En las funciones de membresa de la salida 1 (ganancia Kp), se asignaron tres valores: = 5, =
20, = 250. Y en la salida 2 (ganancia Kv) = 25, = 220, = 2250.
Las reglas utilizadas fueron las siguientes:
IF qt is big THEN Kp, Kv is small.
-
IF qt is mdium THEN p, v is mdium.
IF qt is small THEN Kp, Kv is big.
Donde qt es el error de la posicin.
En la figura 13 se muestra un diagrama a bloques del controlador.
Figura 13. Diagrama a bloques de un controlador PD difuso supervisorio.
En las imgenes 14 y 15 se muestran la salida del sistema y el par generada para una entrada de
90 Y 20 , respectivamente.
Figura 14. Grficas ante una entrada de 90. De arriba hacia abajo: Par, salida del sistema, posicin deseada.
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Figura 15. Grficas ante una entrada de 60. De arriba hacia abajo: Par, salida del sistema, posicin deseada.
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3-. Conclusiones
Los tres controladores diseados funcionaron correctamente y as se cumplieron los objetivos
planteados al principio de este trabajo.
El controlador PD directo mostro una respuesta satisfactoria, sin embargo, las ganancias Kp y Kv
tienen que ser ajustadas manualmente. Este hecho hace que este tipo de controladores sean
imprcticos en situaciones donde los valores de estas ganancias tienen que ser ajustados en lnea.
Debido al problema antes mencionado, se dise un controlador PD difuso supervisorio, en el cual
el controlador difuso ajusta las ganancias Kp y Kv en lnea.
El diseo de controladores difusos supervisorios es sin duda una herramienta muy til a la hora de
disear controladores donde las ganancias se necesiten ajustar automticamente.
4-. Bibliografa
Apuntes de clase. Materia: Control Inteligente.
Dr. Miguel ngel Llama Leal.
Semestre Enero-Junio del 2015. Instituto Tecnolgico de la Laguna.
