Laboratorio de Física II, Marzo 2011

EL PÉNDULO SIMPLE

Castañeda Gómez H.1, Orozco De la Cruz L.1, Polo Cano K.1, Roa Escobar E.1, Robles Montoya G.1

Martín Morales Fontalvo 2

Universidad Del Atlántico

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Mecánica

Martes, Marzo 29 del 2011, 12:30 P.M

RESUMEN

n el presente informe se realiza un detallado análisis cuantitativo y cualitativo de la práctica

número dos, titulada, “Péndulo Simple”. Ésta fue desarrollada el día quince de marzo del año

lectivo en las instalaciones del laboratorio de física de la Universidad Del Atlántico.

El objetivo primordial de dicha experiencia, fue comprobar la primera y segunda ley del

péndulo simple y consiguientemente, calcular el valor de la aceleración debida a la gravedad.

Para ello, se contó con un sistema que constaba de un soporte universal, un hilo inextensible,

una cinta métrica, un juego de tres masas diferentes, un transportador y un cronómetro.

1. INTRODUCCIÓN

Todo movimiento o suceso que se repite a intervalos regulares se dice que es periódico. En

ciertos movimientos periódicos, un cuerpo se mueve hacia adelante y hacia atrás siguiendo

una trayectoria determinada, entre una posición fija (sobre la cual pasa un eje perpendicular) y

dos posiciones extremas, tal es el caso del péndulo simple, un sistema idealizado en el que una

masa puntual está suspendida del extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable

(cotejada con la masa del cuerpo).

El motivo que estímulo el desarrollo de este sucinto informe, fue reconocer los factores y

variables que intervienen en este sistema mecánico, estudiar sí efectivamente su

comportamiento cumple con las características para catalogársele como oscilador armónico

simple (poder establecer comparaciones entre el movimiento del péndulo simple con el

sistema físico masa – resorte, ambos movimientos periódicos oscilatorios) y determinar

E

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experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad, aprovechando la relación entre el

período y la longitud del mismo.

2. DISCUSIÓN TEÓRICA

Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sometidos a una fuerza restauradora, si

pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple o matemático es

uno de estos.

Se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que

pueden construirse.

Éste sistema, como se había mencionado

anteriormente, se compone de una pequeña pesa de

masa m suspendida de un cordel fino de longitud L

fijo por su extremo superior. (Cordel fino significa

suponer que la masa del cordel es muy pequeña en

comparación con la masa de la pesa y que, por tanto,

es posible no tomarla en cuenta.) Cuando se deja en

libertad, la masa se balancea hacia un lado y otro

sobre la misma trayectoria, este movimiento ocurre

en un plano vertical y es accionado por la fuerza

gravitacional. Examinando la fuerza que actúa como

fuerza restauradora sobre el péndulo (componente

tangencial de la fuerza gravitacional), se puede

aseverar que este describe un movimiento armónico

simple, pues esta fuerza es proporcional al

desplazamiento s, y es de la forma de la ley de Hooke,

. Por otra parte, puesto que en este

caso, se observa que el movimiento es armónico simple si es proporcional al ángulo

La componente de la fuerza de gravedad tangencial a la trayectoria circular es la fuerza que

devuelve el péndulo a su posición de equilibrio. Por tanto, la fuerza restauradora es

Con base en esta ecuación se aprecia que la fuerza restauradora es proporcional a , no a

Ello conduce a concluir que el movimiento de un péndulo no es armónico simple. Sin

embargo, cuando el ángulo es significativamente pequeño, menor a quince grados, el ángulo

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medido en radianes y el seno del ángulo son aproximadamente iguales. En definitiva, si

restringimos el movimiento a ángulos pequeños (menores a quince grados), la fuerza

restauradora se puede escribir como

Y teniendo en cuenta se puede denotar

(

)

Esta ecuación sigue la forma general de la fuerza de la ley de Hooke, dada por ,

con

. Por esto, se justifica afirmar que un péndulo experimenta un movimiento

armónico simple sólo cuando oscila de un lado a otro con amplitudes muy pequeñas (o, en este

caso, valores pequeños de , de modo que ).

El período de un péndulo se puede determinar si se recuerda en primer lugar que el período de

un sistema de masa-resorte es

√

Si se sustituye por su equivalente,

, se nota claramente que el período de un péndulo

simple es

√

√

Esta ecuación pone de manifiesto el resultado, sorprendente en alguna medida, de que el

período de un péndulo simple no depende de la masa sino de la longitud del péndulo y de la

aceleración de la gravedad. Por otro lado, la amplitud no es un factor importante en tanto sea

relativamente pequeño. En la siguiente figura se ilustra la analogía entre el movimiento de un

péndulo simple y el sistema de masa-resorte.

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3. PROCEDIMIENTOS.

En la realización de la práctica de Laboratorio de Física II concerniente a “Péndulo Simple”, en

primera instancia se llevo a cabo la fase de instalación de los instrumentos con la finalidad de

demostrar experimentalmente la independencia del Periodo con la masa oscilante en el Péndulo,

para ello, se emplearon los siguientes instrumentos:

Un soporte universal.

Una cuerda inextensible de longitud no menor a 150 cms.

Bloques de masa de 50, 100 y 200 grms.

Cinta métrica.

Transportador.

Cronómetro.

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La instalación se realizó

tomando una medida

exacta de longitud de la

cuerda valorada desde el

extremo superior del

soporte universal hasta el

centro de masa del bloque

colgante de 50 gramos. La

longitud tomada fue de 51

cms, y el procedimiento de

medición se realizo en

primera instancia con un

bloque de 50 gramos, luego

con uno de 100 gramos y

finalmente con uno de 200

gramos, manteniendo

invariable el valor de la

longitud.

La medición del periodo se hizo posible, halando la masa colgante con un ángulo

aproximadamente igual o mayor a 15° respecto a la vertical, soltándose para que empezara a

oscilar. Se tomó el tiempo transcurrido en 10 oscilaciones para lograr finalmente la relación T =

t/10. Los resultados fueron tabulados y el procedimiento se realizo sucesivamente diez veces para

obtener un valor promedio. Así mismo se realizó aumentando el valor de la masa, con una de 100

y 200 gramos.

Para la segunda etapa de la medición se realizó exactamente lo mismo que en la etapa anterior, lo

que marcó la diferencia fue el valor fijo de la masa, y el aumento durante la medición del valor de

la longitud de la cuerda para calcular el periodo respectivo. Se inició con 30 cms de longitud, se fue

aumentando en 20 cms hasta llegar finalmente a 150 cms. Los parámetros de medición fueron

exactamente los mismos.

4. ANÁLISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS.

En la realización de los cálculos correspondientes en la determinación experimental de los

fundamentos del M.A.S. asociado a un Péndulo simple se tomaron los siguientes datos iniciales:

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Tabla 1: Determinación experimental de los valores del Periodo para un “Péndulo

simple” variando la masa colgante, y dejando constante la longitud de la cuerda.

M1 M2 M3

t T(s) t T(s) t T(s)

14.10 1.41 14.23 1.42 14.40 1.44

14.12 1.41 14.40 1.44 14.46 1.45

14.60 1.46 14.50 1.45 14.50 1.45

14.30 1.43 13.93 1.40 14.43 1.44

14.60 1.46 14.30 1.43 14.51 1.45

= 1.43 = 1.43 = 1.45

En la fase de medición respectiva hay que tener en cuenta que el valor del periodo con cada Masa

colgante se determinó tomando el tiempo de diez oscilaciones para disminuir el índice de error, de

esta forma el valor registrado fue dividido entre diez (10) obteniéndose asi la magnitud de un

periodo de oscilación, los valores de las masas son respectivamente M1 = 50g, M2 = 100g y M3 =

200 g. podemos notar que aunque se varió la masa el valor del Periodo presentó pequeñísimas

desviaciones, independientemente de la amplitud utilizada, se procuró siempre empezar las

mediciones con el mismo valor; pero la tendencia es a un valor de Periodo perfectamente

constante.

A partir de estos resultados es posible comprobar el valor de la aceleración de gravedad que actúa

siempre sobre un sistema en oscilación, la fuerza de gravedad acciona el movimiento y siempre

que sea un ángulo pequeño éste será Armónico simple, este requisito fue tenido en cuenta debido

al valor de amplitud pequeño utilizado para la toma de mediciones. La longitud medida de la

cuerda fue de 51 cms. Partimos entonces de la ecuación que define al Periodo de un Péndulo

simple:

√

Donde L es la longitud de la cuerda del péndulo y g la aceleración de la gravedad. De esta forma si

despejamos g de la ecuación anterior tenemos:

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Si aplicamos la formula en cada uno de los casos anteriores obtenemos los siguientes valores:

Tabla 2: Determinación de los valores experimentales de la aceleración de gravedad

teniendo en cuenta los vales promedios de los Periodos con cada Masa

correspondiente.

MASA (Gramos) PERIODO PROMEDIO (S) g GRAVEDAD (

)

50 1.43 984.59

100 1.43 984.59

200 1.45 976.39

Sabemos que el valor científico de la gravedad es de 980.66

. Con estos valores entonces

podemos encontrar los porcentajes de desviación entre uno y otro valor y de esta forma analizar

el índice de error en la práctica:

|

|

Donde el valor teórico corresponde al valor científico de la gravedad y los valores experimentales

aquellos tomados en el laboratorio, la siguiente tabla muestra los resultados una vez aplicada la

fórmula anterior:

Tabla 3: Determinación de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido

en el cálculo de la aceleración de la gravedad.

Valor experimental: g

(

)

Valor Teórico (Científico) (

) %Desviación

984.59

980.66

0.43%

984.59 0.43%

976.39 0.38%

Es apreciable una vez vistos los resultados de la tabla, que los valores de la aceleración de

gravedad obtenidos experimentalmente son muy aproximados al valor científico de la misma, lo

que garantiza un porcentaje de desviación bastante insignificante demostrando que la práctica se

realizó bajo procedimientos acertados y correctos.

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La segunda parte de la experiencia consistió en determinar los valores del Periodo para diferentes

longitudes, es decir la magnitud de ésta fue variable para cada etapa de medición manteniendo

constante el valor de la masa colgante. Los datos obtenidos se ilustran el la siguiente tabla:

Si analizamos los resultados obtenidos, en primera noción podemos observar que si variamos los

valores de la longitud de la cuerda asi mismo varía el valor del periodo no de una forma directa

debido a la relación entre T y L. Para poder comprender mejor la información que proporciona la

gráfica es conveniente realizar una representación gráfica de T Vs. L, y T 2 vs L para observar su

comportamiento:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Pe

rio

do

T (

seg)

Longitud (Cms)

Periodo T(s) vs Longitud (Cms)

Tabla 4: determinación del Periodo de osilación variando la longitud de la cuerda.

LONGITUD

(Cms)

Tiempo 10 oscilaciones (s) Periodo T(s) Cuadrado Periodo T 2(s2)

30 11.20 11.09 11.10 11.02 11.09 1.11 1.23

50 14.44 14.50 14.35 14.60 14.46 1.45 2.10

70 16.84 16.80 16.80 17.10 16.74 1.69 2.86

90 19.18 19.20 19.25 19.30 19.10 1.92 3.69

110 21.03 21.30 21.20 21.06 21.10 2.11 4.45

130 23.09 23.00 23.08 23.20 23.10 2.31 5.34

150 25.00 24.86 24.91 24.60 24.90 2.48 6.15

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Realizando un análisis gráfico podemos observar que la gráfica representa una curva cóncava hacia

abajo que indica que a medida que aumenta la Longitud de la cuerda del Péndula aumenta

también el valor del periodo de oscilación pero no de manera proporcional debido a la relación

entre T y L. Podemos apreciar, que la curva tiene la forma de una función que lleva un termino de

raíz cuadrada, y esto es justificable ya que T , por lo tanto la gráfica no puede ser lineal, es

ascendente también.

Ahora podemos apreciar la gráfica del Periodo al Cuadrad contra la Longitud:

El ideal de realizar un gráfico que relacione el Cuadrado del Periodo contra la Longitud es linealizar

los puntos obtenidos en la gráfica anterior. Si apreciamos la gráfica vemos que la rectitud aumenta

respecto a la primera gráfica, sin embargo existe una pequeña desviación debida al índice de error

por tratarse de una práctica experimental, sin embargo la tendencia es significativa. Si se unieran

los puntos extremos, los puntos que se encuentran entre éstos quedarían dispersos y de esta

forma se pueden inferir que esto es posible por la fuente de error, que pudo deberse a

perturbaciones externas, variación brusca en la precisión a la hora de soltar la masa colgante con

un valor de amplitud específico, si esto fuera asi, el sistema podría experimentar pérdida de

energía mecánica en el cambio de la trayectoria y de esta forma el movimiento no sería Armónico

simple, sin embargo el ángulo de amplitud fue mayor o igual a 15°.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Cu

adra

do

Pe

rid

o T

2(s

2)

LONGITUD (Cms)

Cuadrado Perido T 2(s2) vs Longitud (Cms)

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Es un gráfico aproximadamente lineal, que indica que a medida que aumenta la longitud

idealmente aumenta el cuadrado del periodo de una forma proporcional. Aunque

experimentalmente esta apreciación es significativamente aproximada. Todo esto debido a que:

Como la relación es directamente proporcional, y la grafica entre el cuadrado del periodo y la

longitud es lineal, podemos hallar entonces el valor de la pendiente.

Si tomamos el valor científico de g, y sustituimos su valor obtenemos que m = 0.040. Y este valor

es consistente, ya que por ser una línea recta la pendiente también puede hallarse como el

cociente entre la diferencia de los valores mayor y menor del cuadrado del periodo, y la diferencia

de los valores mayor y menor de la longitud; entonces el valor de dicha operación es 0.041, muy

aproximado al primer valor (Véase Tabla 4)

El valor de la gravedad también puede ser determinado utilizando los valores experimentales

tomados en la segunda parte de la práctica, para de esta forma lograr la comparación con el valor

científico y calcular el índice de error:

Tabla 5: Determinación del valor de la aceleración de gravedad con los datos experimentales tomasdos en la medición.

Longitud (Cms) Periodo T(s) Gravedad g (

)

30 1.11 961.24

50 1.45 938.84

70 1.69 967.57

90 1.92 963.83

110 2.11 975.41

130 2.31 961.79

150 2.48 962.83

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Si observamos la tabla vemos una aproximación bastante cercana de la magnitud de la aceleración

de la gravedad respecto al valor científico de la misma. Sin embargo el índice de error puede ser

conocido mediante el porcentaje de desviación entre dichos valores. Se usa entonces la siguiente

fórmula:

|

|

.

Los valores obtenidos son los que se muestran en la siguiente tabla que se muestra

Tabla 3: Determinación de los valores de los %Desv. Para cada valor experimental obtenido

en el cálculo de la aceleración de la gravedad.

Valor experimental: g

(

)

Valor Teórico (Científico) (

) %Desviación

961.24

980.66

1.98%

938.84 4.26%

967.57 1.34%

963.83 1.72%

975.41 0.53%

961.79 1.92%

962.83 1.82%

Si apreciamos los valores de los porcentajes de desviación para esta segunda etapa de la práctica

observamos una tendencia mayor del índice de error, sin embargo, los valores de la aceleración de

la gravedad respecto al valor científico son bastante próximos pues oscila ente 0.5% y 4%, lo que

puede garantizar éxito a la práctica. El índice de error es debido a la imprecisión a la hora de soltar

la masa oscilante desde su amplitud pequeña, o la variación de su ángulo por encima de los 15°, lo

que puede hacer que el sistema no describa un Movimiento armónico Simple.

5. CONCLUSIONES

A través de esta experiencia de laboratorio de Física II podemos deducir que el periodo medido en

un Péndulo simple no depende para nada de la masa colgante del sistema ni de la amplitud, sin

embargo ésta no debe tener un valor elevado pues modifica el ángulo de elongación que no puede

ser superior a 15°. Con ángulos mayores el sistema no se mueve con M.A.S. y la energía mecánica

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del mismo se disipa alterándose así su sentido físico. La relación entre Periodo y Longitud no es

lineal como apreciamos en el gráfico, pero entre el cuadrado del periodo y la longitud es

directamente proporcional. El valor de la aceleración de la gravedad fue comprobado

experimentalmente con una proximidad bastante significativa, sin embargo el error debido a la

imprecisión en la determinación empírica del valor del ángulo de elongación produjo pequeñas

desviaciones, haciéndose su magnitud físicamente despreciable.

REFERENCIAS

RAYMOND A. Serway. J Jewett. Física: Para ciencias e ingeniería, Vol 1, 4ª edición. Editorial

MC GRAW-HILL. México D.F., México, 2003.

Web Física de Franco: acienciasgalilei.com

http://www.meteored.com/