LABORATORIO DE FÍSICA I PENDULO SIMPLE Y COMPUESTO

“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD

ALIMENTARIA"

Curso : Laboratorio de Física II

Profesor :

Informe Nro. : 1

Tema : Péndulo Compuesto

Mesa Nro : 3

Integrantes : García Dante, Juan Noriega Mendoza, Felipe Obregón Huamán, Miguel Montenegro Ramírez, Mario

Fecha del Experimento : Jueves 5de Diciembre de 2013

Hora : De 14:40 a 16:20

Fecha de entregadel informe : Lunes 24 de Diciembre de 2013

Hora : De 14:40 a 16:20

2013-III

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERÚFACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA

LABORATORIO DE FÍSICA I PENDULO SIMPLE Y COMPUESTO

INTRODUCCIÓN

En el mundo los casos de balanceo son muchos y uno de ellos por ejemplo: sería el de un niño jugando al columpio, como nosotros desde pequeños jugábamos pero con algún amigo el cual nos aplicaba una fuerza he impulsaba hasta llegar a cesar la fuerza y poder descender por acción de la gravedad este principio se aplica para estudiar el tema de péndulo.

Pero en este caso analizaremos el péndulo matemático el cual nos dice que al soltar una masa desde un punto ubicado a una cierta amplitud ( ángulo) de la vertical, este describe un movimiento de péndulo simple el cual pasa por su punto inicial con una cierta velocidad dado por su propio peso que pasa por el punto que antes estaba en reposo, en el movimiento el móvil describe un semi-circulo en su trayectoria, el cual para estudiarlo mejor se podría hacer una descomposición vectorial, haciendo un diagrama de cuerpo libre para desarrollarlo.

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PENDULO SIMPLE Y COMPUESTO

OBJETIVOS:

Medición del periodo de un péndulo como una función de la amplitud y longitud.

Determinar la aceleración de la gravedad obtenida a través del péndulo simple.

Revisar el concepto de Inercia. Calcular los momentos de inercia a partir de estos periodos de

oscilación.

EQUIPOS Y MATERIALES : SOPORTE UNIVERSAL

Un soporte de laboratorio, soporte universal o pie universal es una pieza del equipamiento de laboratorio donde se sujetan las pinzas de laboratorio, mediante dobles nueces.El soporte universal es una herramienta que se utiliza en laboratorios para realizar montajes con los materiales presentes en el laboratorio y obtener sistemas de mediciones o de diversas funciones. No se tiene datos de quién haya sido el inventor del soporte.

UNA (01) PLOMADA – DISCO

Una plomada es una pesa normalmente de metal de forma cilíndrica

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EQUIPOS Y MATERIALES : UNA (01) BARRA METÁLICA

BALANZA:

Equipo utilizado para determinar la masa de un cuerpo, la utilizada en el laboratorio puede medir hasta 2.600 g. y tiene una apreciación de 0,1 gr

C RONOMETRO:

Es un reloj o una función de reloj para medir fracciones temporales, normalmente breves y precisas.

Regla Metálica Acero Inoxidable

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EQUIPOS Y MATERIALES :

Wincha

Es una cinta métrica flexible, enrollada dentro de una caja de plástico o metal, que generalmente está graduada en centímetros en un costado de la cinta y en pulgadas en el otro.

Para longitudes cortas de 3 m, 5 m y hasta 8 m, las cintas son metálicas. Para longitudes mayores a 10 m, existen de plástico o lona reforzada. Las más confiables son las metálicas porque no se deforman al estirarse.

La wincha se debe mantener limpia y protegida de la humedad. Cuando no se use, se debe enrollar y guardar dentro de su caja o estuche.

Un (01) Transportador

Un transportador es un instrumento de medición de ángulos en grados que viene en dos presentaciones básicas:

Transportador con forma semicircular graduado en 180° (grados sexagesimales) o 200g (grados centesimales). Es más común que el circular, pero tiene la limitación de que al medir ángulos cóncavos (de más de 180° y menos de 360°), se tiene que realizar una doble medición.

Transportador con forma circular graduado en 360°, o 400g.

FUNDAMENTO TEÓRICO

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Un péndulo compuesto o físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, que no pasa por su centro de masa. En consecuencia, la posición de este cuerpo está determinada, en cualquier instante de tiempo, por el ángulo θ que dicho cuerpo forma con la vertical, tal como se indica en la figura adjunta. Así, debemos notar que cuando este cuerpo está desviado de su posición de equilibrio, tal como se ve en la figura, actúa sobre el mismo un par de fuerzas (la normal y el peso).

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

IO·ϴ= -mgxsenϴ

Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O.

IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial:

d2ϴd t2 + mgx

IO

sin ϴ=0

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes  senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces:

d2ϴd t2 + mgx

IO

ϴ=0

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

w2=mgxI O

P=2 π √ IO

mgx

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Por el teorema de Steiner 

IO = IC+mx2= mR2+mx2

 R se denomina radio de giro, para una varilla R2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe:

P=2 π √ R2+X2

gx

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

d P2

dx=4 π2 2 g x2−(R2+x2)

g2 x2 =0 xm=R Pm=2 π √ 2 Rg

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Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo .Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado:

x2− P2

4 π2 x+R2=0

La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).

 

 De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado:

Midiendo en la gráfica x1y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo

Ic=mR2

compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el  péndulo y calculando R2 mediante el producto de x1por x2.

PROCEDIMIENTO DEL EXPERIMENTO – PÉNDULO COMPUESTO

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Prepare el péndulo de barra (compuesto).

El péndulo compuesto está constituido por una barra rígida de sección rectangular y de longitud Lb, y una masa (disco D) deslizante sobre la misma, apoyándose la barra mediante una cuchilla de acero (N) en una placa metálica. La arista de la cuchilla de acero, que está dirigida hacia abajo, constituye el eje de giro del péndulo.

Una vez conseguida la verticalidad de la barra, que es su posición de equilibrio, se separa de dicha posición oscilando con amplitudes pequeñas (ɵ<< 10o) en un plano que debe ser paralelo al perfil de la mesa del laboratorio, evitando cualquier movimiento lateral de la barra.

Deslizando la masa a través de la barra de obtienen diferentes longitudes “La” del péndulo. Las longitudes Lb y La se miden con una regla graduada milimétrica.

Con un cronómetro manual se mide el periodo de oscilación (T).

CALCULOS DEL EXPERIMENTO – PENDULO COMPUESTO

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Gráficos

TABLA 1T(s) 12.09 14.47 17.13 19.16L(m) 0.29 0.55 0.77 0.99

TABLA 2T(s) 11.97 14.59 17.06 19.25L(m) 0.29 0.55 0.77 0.99

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CUESTIONARIO – PÉNDULO COMPUESTO

TABLA 3T(s) 11.82 14.66 17.41 19.52L(m) 0.29 0.55 0.77 0.99

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1.-¿Se solapan las bandas de error del valor de “g” obtenido en el péndulo simple y gm en el péndulo compuesto?, explique.

Si se solapan las bandas de error por ser estas relativamente bajas. Los valores obtenidos de acuerdo a las experiencias demuestran que los errores relativos y absolutos son bajos y que casi la medición de la gravedad experimental iguala a la gravedad ya conocida.

Una experiencia con osciladores acoplados que se realiza en el aula suele sorprender a los estudiantes. Consiste en una cuerda que se sujeta por sus extremos situados a la misma altura. Se atan dos péndulos iguales, a dos puntos simétricos de la cuerda, tal como se indica en la figura. Se desplaza uno de los péndulos, por ejemplo el de color rojo, de su posición de equilibrio y se suelta.

2.- Investigue sobre los péndulos físicos acoplados. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, ¿cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique.

Un sistema oscilatorio formado por dos péndulos simples idénticos, fijos a un mismo soporte con un resorte de constante elástica k colocado entre ellos, se le conoce con el nombre de péndulos acoplados.

La inclusión del resorte entre los péndulos hace que sus movimientos no sean independientes. El movimiento de uno de ellos influye en el movimiento del otro y viceversa dando como resultado un movimiento que se conoce como oscilaciones acopladas.

La dinámica asociada al movimiento de cada uno de los péndulos puede resumirse de la siguiente manera: cuando la masa se separa de la posición de equilibrio una cierta cantidad angular, aparece sobre ella un torque restaurador τ que tiende a llevarla de nuevo a dicha posición, causándole una aceleración angular α, la cual se relaciona con dicho torque a través de la expresión:

τ=Iα

I: es el momento de inercia de la masa M respecto al eje de rotación.De la definición de I y de α, la anterior ecuación se escribe como:

τ= ML²θ’’

Utilizando esta ecuación y la definición de τ, se encuentra que para el péndulo cuyo desplazamiento es θ1 se tiene la siguiente ecuación de movimiento:

ML²θ’’1 = −MgLsenθ1 +kℓ²sen (θ2− θ1) (2.1)

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Y  para el otro ML²θ’’2 = −MgLsenθ2− kℓ² sen(θ2− θ1) (2.2)

Si los desplazamientos θ1 y θ2 son pequeños la aproximación Senθ ≈θ será válida con lo cual las expresiones (2.1) y (2.2) se rescriben como:

ML²θ’’1 = −MgLθ1 +kℓ² (θ2− θ1) (2.3)

ML²θ’’2 = −MgLθ2− kℓ² (θ2− θ1) (2.4)

Dado que las anteriores ecuaciones se encuentran acopladas, se sigue el Siguiente procedimiento de desacople:

Al sumar las ecuaciones (2.3) y (2.4) se obtiene:

ML²θ’’1 = −MgL θ1 (2.5)

Y al restarlas: ML²θ’’2 =− (MgL + 2k ²ℓ²) θ2 (2.6)

Donde: θ1 =θ1 +θ2 y θ2 =θ1− θ2

Se obtienen las ecuaciones desacopladas cuyas frecuencias son:

ω1²=g/L (2.7) y ω2²=g/L+ 2ε²k/M (2.7)

3.- Investigue sobre el péndulo muelle. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos? , ¿Cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique.

Este sistema es la combinación de dos modos de oscilación, el péndulo simple y el muelle elástico, estos están acoplados de forma no lineal y tienen su frecuencia característica. Siel péndulo se desplaza un ángulo q de la vertical o se cambia su longitud de equilibrio o sehace cualquiera de estas dos combinaciones, la dinámica del objeto está dada por la fuerza del resorte, la fuerza gravitatoria y su propia masa.

En

primera instancia, el sistema comienza a oscilar de arriba abajo, pero el acoplamiento provoca que la masa m se desvíe de un lado a otro.

En el caso que el péndulo se aparta de la vertical un ángulo theta, la fuerza neta sobre la masa m está dada por: F = -k(r -r0) + mg

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En donde las letras en negrita indican vectores y r es el vector de posición de la masa m y r0es el vector de posición del péndulo con la misma desviación de la vertical que antes, pero con la longitud original del resorte L.

Las componentes escalares de la fuerza están dada por: Fx=-k(x-Lsenq)

Fy = -k (y-y0 +L cosq ) – mg

Donde

De esta forma, las componentes de la aceleración quedan determinadas, por:

4.- Investigue sobre las figuras de Lissajous. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estas figuras?, ¿cómo generaría usted estas figuras a partir del uso de los péndulos estudiados? Explique.

Descritas por el matemático francés Jules Antoine Lissajous, a partir de los trabajos de Nathaniel Bowditch. Básicamente, éstas se producen al representar de forma simultánea en un osciloscopio dos ondas senoidales cuyas frecuencias se encuentren en fase, dando lugar a imágenes bastante atractivas. Las ecuaciones que describen a ambas señales serían:

X (t) = a sen (ωt + δ) Y (t) = b sen (t)

A partir de ahí, y variando los parámetros de las dos ecuaciones paramétricas descrito, pueden obtenerse infinidad de curvas.

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5.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la amplitud?, ¿Qué relación existe entre ellos? Explique.El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie: 

Donde φ 0es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor  obteniéndose una expresión más útil:

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Solución de la ecuación de movimiento 

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitudφ0=0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitudφ0 = 0,25π (gris).

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitud es grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como:

Combinación lineal defunciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud.

  , es la energía potencial. 

Realizando en variable , la solución de las

Ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

Donde:

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Sn (t): es la función elíptica de Jacobi tipo seno

El lagrangiano del sistema es,

Donde θ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento:

6.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la longitud? ¿Qué relación existe entre ellos? Explicar.

Si depende por lo siguiente: Cuando mayor es la longitud mayor será el periodo ya que si la longitud es mayor, mayor será la trayectoria por lo tanto demoraría más en realizar una oscilación.

Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir:

T=2 π √ I 0

mgh=2 π √ λ

g

7.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la masa? Explicar.Esto es análogo a la cuestión de por qué una pluma y un yunque que son lanzados a una misma altura, caen al mismo tiempo (en el vacío por supuesto). Y la razón de esto, es que el tiempo de la caída depende de la aceleración. En el péndulo se encuentra que la aceleración es directamente proporcional al opuesto del desplazamiento, y cuya constante de proporcionalidad es g/L; es decir que la cinemática del péndulo no depende de la masa.

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8.- Determine la aceleración de la gravedad con ayuda del grafico T2vs. I para ambos péndulosSegún la siguiente formula, se puede hallar la gravedad a partir de I, R, T2 y m:

g= 4 π2 ImR T2

9.- ¿Es el péndulo de Foucault es un péndulo simple?, Explique sus características y usos?

Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, es decir, una bola colgada de un hilo largo y puesta a oscilar.

El científico francés J. B. León Foucault , en el año 1850 ,comprobó que el plano de oscilación del péndulo -el plano en donde se encuentra la trayectoria del péndulo- giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj. Esto le llamó la atención porque, en todo caso, debería girar en el sentido que lo hace la tierra que es el antihorario mirando la tierra desde el hemisferio norte, que es en el que se encontraba nuestro científico. La explicación del fenómeno ya se podía dar, entonces, con ayuda dela mecánica newtoniana: el Principio de la Inercia lo explica. Ocurre que, aunque parece que la trayectoria del péndulo cambia, es el suelo, que tiene debajo, el que se mueve y nosotros con él. Porque si sobre el péndulo sólo actúan la fuerza del peso y la tensión de la cuerda atada y ambas se encuentran en el mismo plano de la trayectoria, el péndulo tiene que seguir siempre en ese plano al no haber fuerza alguna que lo saque de él.

 Aunque la velocidad angular es la misma en todos los puntos de lasuperficie de la Tierra, no ocurre lo mismo con su velocidad lineal .Esta velocidad vale w·r , donde w es la velocidad angular y r  la distancia al eje de giro. Es máxima en los puntos del ecuador -que en este caso r es el radio de la Tierra- y vale cero en los polos. 

En el hemisferio norte el aire de las borrascas se desvía hacia la derecha formando un remolino en sentido antihorario y en los anticiclones en sentido horario. En el hemisferio Sur ocurre al contrario. Si Foucaul hubiera hecho su experiencia en una ciudad del hemisferio Sur -en vez de en París, en donde lo llevó a cabo habría observado como su péndulo giraba en sentido antihorario.

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10.- ¿Cuál de las siguientes relaciones entre la aceleración a y el desplazamiento x de la partícula relaciona un movimiento armónico simple ¿(a) a=0.5x, (b)=400x2, (c) a=-20x, (d) a=-3x2?

(c) porque es de la forma a= -w²x

11.- ¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento?

Al momento de contar las oscilaciones (no fueron exactas). La resistencia del aire dificulta el movimiento del péndulo compuesto. El péndulo opone la resistencia al cambio de estado. Al medir el tiempo en las oscilaciones.

12.- ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?

Una aplicación del péndulo en la ingeniería, es en la construcción de edificaciones, veamos un ejemplo de la vida real:

El Taipéi 101 es uno de los edificios más altos de mundo, que cuenta con novedosos adelantos tecnológicos y uno de los más seguros debido a que cuenta con un sencillo pero eficaz amortiguador estabilizador, un amortiguador de masa destinado a contrarrestar los efectos de huracanes y temblores de tierra sobre el edificio .Se trata de un mecanismo simple que consiste básicamente en un enorme bloque bola de acero y hormigón colgando como un péndulo que contrarresta los vaivenes y movimientos laterales habituales en este tipo de edificios, desplazándose en el sentido contrario a estos. La esfera estabilizadora del Taipéi 101 se llama Dámper Baby, pesa 660 toneladas, su actividad prioritaria es columpiarse haciendo tolerables los tifones y los terremotos que asaltan habitualmente a este rascacielos por estar construido en Taiwán, una de las zonas con más temblores del mundo. 

OBSERVACIONES

En los diferentes casos las oscilaciones que se le dio al péndulo compuesto, el ángulo inicial con el que se soltó no es el mismo, tiene una ligera variación.

El tiempo medido para cada caso de oscilación sufre variaciones debido a la precisión del cronometro.

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El momento de inercia obtenido respecto al eje de oscilación es erróneo debido a que no se consideran los agujeros que posee la barra.

Evitar todo tipo de flujo de aire para que el rozamiento sea menor y se pueda lograr mayor precisión en los cálculos.

Para calcular el periodo es necesario promediar más de 3 oscilaciones para

mejorar el desfase generado por la primera oscilación que no es muy precisa.

CONCLUSIONES

Se llega a la conclusión con el laboratorio realizado que el periodo solo depende de la longitud de la cuerda y la gravedad.

Se concluye que existe una analogía entre las fórmulas de conservación de masas, péndulo simple y compuesto.

El análisis y procesamiento de cada uno de los datos tomados con respecto al montaje experimental, los tiempos, y cada una de las longitudes que se marcaron en el procedimiento(en cuanto al péndulo) y que nos permitieron identificar de manera clara el concepto de péndulo.

RECOMENDACIONES

Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.

El alumno que toma la medida del ángulo con el transportador y el que alinea la barra deben ser diferentes para evitar errores humanos en la lectura.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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http://www.monografias.com/cgi- bin/search.cgi?query=experimento%20para%20un%20pendulo%20de%20muelle;of fset=50&bool=AND http://www.monografias.com/trabajos28/ajuste-pendulo/ajuste- pendulo.shtml?monosearch http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/acoplados1/acoplados1.htm  http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia www.monografias.com/trabajos7/teste/teste.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo http://www1.uprh.edu/labfisi/lab1/exps/theory/oscilador.pdf