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La distribucin de chi-cuadrado est relacionada con la varianza. Esta distribucin se usa para hacer intervalos de confianza para la varianza poblacional y pruebas de hiptesis para la varianza poblacional.

Esta estadstica de tambin se usa para hacer pruebas de bondad de ajuste. Esto se hace para ver si los datos provienen de una poblacin que sigue alguna distribucin especificada, como discreta o continua, es decir, comparando los datos tericos con los observados. Finalmente, la chi-cuadrado tambin se usa para hacer pruebas de independencia, etc.

La distribucin de chi-cuadrado est crticamente condicionada a muestreos de poblaciones normales, porque de otra manera puede conducir a errores muy grandes. Adems, un tamao de muestra grande, no garantiza una prueba confiable.

Esta distribucin se obtiene de la distribucin gamma. Tiene forma tipo campana con sesgo positivo. Se puede demostrar que si X es una variable aleatoria con distribucin normal, entonces es una variable aleatoria con distribucin chi-cuadrado. Este hecho explica la importancia de la distribucin chi-cuadrado en problemas de muestreo de poblaciones con distribucin normal. Una aplicacin importante es la estimacin de la varianza poblacional.

Definicin:

Sean y la media y varianza de una muestra aleatoria de tamao n tomada de una poblacin normal con media y varianza , entonces la variable aleatoria

Tiene distribucin chi-cuadrado con grados de libertad

El valor esperado de la variable es E( = n-1

9.1 GRAFICO DE LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADO

La forma de esta distribucin de probabilidad depende del valor de = n-1 y se denomina grados de libertad.es una distribucin de probabilidad continua con dos parmetros y cuya funcin de densidad para valores es

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Fig. 1 Distribucin chi-cuadrado para =2, 4,6 grados de libertad

Algunos valores de la distribucin chi-cuadrado estn tabulados para ciertos valores de y para valores tpicos de con la siguiente definicin.

Definicin

es el valor de , tal que el rea a la derecha es igual a P( =

Fig. 2 Uso de la distribucin chi-cuadrado

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9.2 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADO ()

1. La distribucin de CHI cuadrado no es simtrica, como la distribucin normal o la distribucin de t. Los valores de la chi cuadrado pueden ser de cero o positivos, pero no negativos.2. La distribucin de CHI cuadrada es una familia de curvas y hay una distribucin diferente para cada nmero de grados de libertad, . Pero, a medida que el nmero de grados de libertad aumenta, la distribucin de la CHI cuadrado se aproxima a la distribucin normal.

Fig. 3 Distribucin de chi cuadrada () con varios grados de libertad, en funcin

/

(Dunn et al. 1974)

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Ejemplos para determinar las regiones crticas de la Chi-cuadrada usando los valores porcentuales de y de

EJERCICIO 1. Encontrar los valores crticos de que determinen las regiones crticas que contengan un rea de 0.025 de cada cola. Asumir que n=10, por lo tanto, los grados de libertad son de .

SOLUCION: La siguiente figura muestra una prueba bilateral. Para encontrar el valor crtico izquierdo, se refiere a la tabla de la Chi-cuadrada y se busca = 9 en la columna izquierda de la tabla y se va hasta la columna 0.975, porque el rea total a la derecha de este valor es 0.975 que lo sacamos restando 0.025 de 1 y nos da = 2.700. Similarmente, para la regin crtica derecha, se localiza el valor de = 9 y nos movemos hacia el valor de 0.025 y da = 19.023.

Grfica mostrando los valores crticos de la distribucin, con un rea de 0.025 en cada cola, con n = 10 y = n 1 = 10 1 = 9. Triola (1995)

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Se puede ver que, para obtener el valor crtico o lmite izquierdo de 2.70, hay que localizar 9 en la columna izquierda de grados de libertad y luego localizar 0.975 arriba de la tabla. El rea total a la derecha de este valor crtico es 0.975, el cual se estima de 1 0.025. Similarmente, para obtener el valor crtico de 19.023, localizar 9 en la columna de grados de libertad y luego localizar 0.025 arriba de la tabla.

EJERCICIO 2.

Encontrar los valores crticos de por los cuales el rea del extremo derecho de la distribucin es de 0.05, si:(a) = 15(b) = 21

SOLUCIN:(a) El valor de la cola derecha de la distribucin de Chi-cuadrada se busca en la tabla de esta distribucin y es: = = = 24.996

(b) El valor de la cola derecha es de =32.7

En la tabla encontramos los valores correspondientes:

aa)a

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EJERCICIO 3. Una poblacin con distribucin aproximadamente normal tiene varianza especificada de 0.8. Calcular la probabilidad que una muestra aleatoria de tamao 6 tenga una varianza mayor o igual a 1.2.

Los datos especificados corresponden al uso de la distribucin chi-cuadrado: , con grados de libertad

P(

En la tabla chi-cuadrado se puede observar en la fila

Aqu se ubica

Por lo tanto 0.1

Con lo cual se puede concluir que 0.1

Mediante una interpolacin lineal se puede calcular una aproximacin ms precisa.

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