UNIVERSIDAD DE ORIENTENUCLEO DE BOLIVAR

COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADOPOSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.

VII COHORTE    

MATEMATICA  APLICADA A LA ADMINISTRACIONCODIGO # 806-3120

SECCION U

PROF. HUGAR CAPELLA

• FUNCION EXPONENCIAL

       Sea         un número real positivo.      La función que a cada número real x le hace 

corresponder  la  potencia               se  llama  función exponencial de base a y

exponente x.   PROPIEDADES DE LOS EXPONENCIALES

Sean a y b reales positivos y    x,y  Є    R ,entonces:    

       

.   

          Cuando  a = e  ,donde  e  es  el  número  irracional  cuya 

representación decimal con sus primeras cifras decimales, es 

e  =  2.7182818284….,la  función  exponencial     ,    se  llama: 

función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota 

por Exp( x ) = .  

Tabla  A.3.3 texto

APLICACIÓN: FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

LA POBLACION  DE CIERTA NACION DESARROLLADA SE SABE QUE ESTA DADA (En MILLONES DE HABITANTES) POR LA FÓRMULA

En donde t es el numero de años transcurridos a partir de 1980. Determine la población en el  año 2000 y la población proyectada para  el 2010, suponiendo que la formula tiene validez hasta entonces.

Solución:En  el año 2000  han transcurrido 20 años

La proyectada para el año 2010. 

FUNCION LOGARITMO

Definición de logaritmo :  Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al

que hay que elevar la base para obtener dicho número. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o

también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab

para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

FUNCION LOGARITMO NATURAL

•Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

•Logaritmos Neperianos :

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

APLICACIÓN DE LOGARITMOS

Ejemplo. Construya la grafica de la función logaritmo de base 2

 De acuerdo a la definición:    y = log2 x       entonces   x = 2Y

Y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

X 0,25 0,350 0,5 0,707 1 1,414 2 2,828 4

APLICACIÓN:  INTERÉS COMPUESTO.  INVERSIONES

      La suma de BsF 200 se invierte a un interés compuesto anual de 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.

Sea P una suma invertida a una tasa de interés R por ciento anual. En el primer año

      Segundo  año el interés es

       En n   año                  valor  =  P(1+i)n                   valor  futuro= 200( 1+0,05)10 = 325,78

Aplicación: inversiones

Si la incógnita es n

¿Cuanto tardará la inversión en incrementar a  BsF  250.?

                   200 (1,05)n= 250                      (1,05)n =  250/200

                   log10(1,05)n= log10(1,25)    por propiedades de logaritmo

                   n(log10(1,05)= log10(1,25)                   n =  log10(1,25)/log10(1,05) 

       n = 4,57   es decir   5  años en incrementar  de    BsF 200   a    BsF 250  al 5% de interés anual.

    SEA    Vp    EL VALOR PRESENTE  Y   VF EL VALOR  DEL FUTURO INGRESO

    R tasa de interés

                             VF   =  Vp ( 1+i )n          i= R/100

                             Vp = VF/ ( 1+i )n

Aplicación:   Vp y  Vf      UN HOMBRE DE 45 AÑOS ADQUIERE UNA POLIZA DE RETIRO EN EDAD AVANZADA 

A UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS QUE LE PAGARA UNA SUMA TOTAL DE  BsF 20000 A LA EDAD DE 65 AÑOS. LA COMPAÑÍA DE FIJA LA CANTIDAD DE  BsF 5000 POR LA POLIZA. ¿ DE CUANTO ES LA TASA DE INTERES  QUE ESTAN USANDO?

CAPITALIZACION CONTINUA

En este caso n  tiende a ser muy grande. Si x es  la cantidad de años. 

Vf   =  Vp ( 1+i )x      capitalización anual 

Vf   =  Vp ( 1+i/2)2x  capitalización semestral 

Vf   =  Vp ( 1+i/4)4x   capitalización trimestral 

Vf   =  Vp ( 1+i/k)kx    k periodos iguales de capitalización

Vf   =  Vp ( 1+i/365)365.1    continua

APLICACIÓN: INVERSIONES

            UNA  INVERSION DE  BsF    2000  SE  INVIERTE A UNA  TASA    DE  INTERES NOMINAL  DEL  9%  ANUAL  CAPITALIZABLE MENSUALMENTE.  CALCULE  EL VALOR DE LA INVERSION DESPUES DE 3 AÑOS.

Vf   =  Vp ( 1+i/k)Kx

k= 12 mesesInterés  en cada capitalización es = R/k  = 9/12 % = 0,75% entonces n en cadaCapitalización  se incrementa el valor en un monto de  ( 1+ R/100) = 1,0075

Durante 3 años  x=3 entonces  kx = 3 (12) =36 capitalizaciones el valor será2000(1,0075)36= 2617,29 Bsf

APLICACIÓN: DEPRECIACION

       HACE DOS AÑOS UNA EMPRESA COMPRO UNA MAQUINA EN  BsF  6000. SU PRECIO ACTUAL DE REVENTA ES DE   BsF 4500. SUPONIENDO  QUE LA MAQUINA SE DEPRECIA EN FORMA EXPONENCIAL. CUAL ES SU VALOR DENTRO DE 3 AÑOS.

 Solución : Tasa de crecimiento ekx                                           k=R/100Tasa de decrecimiento   e-kx  Valor  futuro  = Pe-kx      P suma del costo inicial de la maquinaHace  2 años 4500=6000e-2k

Ln0,75=-2k

En tres años masValor =  6000 e-0,145(5)=2905,95