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EL PLANO

1. DETERMINACIÓN DE UN PLANO. De todas las formas posibles de

representar o determinar un plano, ellas puede reducirse a

las siguientes formas:

a. Por tres puntos no situados en línea recta:

En este caso se ha representado el plano por los puntos

m, n y s no situados en línea recta.

b. Por dos rectas que se cortan.

En este caso hemos representado un plano por las rectas

ab y cd que se cortan en el punto t.

44

c. Por dos rectas paralelas.

Representamos el plano como por ejemplo: un triángulo,

un paralelogramo, un círculo, etc., puede representar un

plano. Hay que tener en cuenta también que un polígono

cualquiera plano puede representar a un plano, pero

teniendo cuidado, que al darse sus proyecciones, se

pueda comprobar fehacientemente que todos sus elementos

se hallan coplanares.

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d. Por una figura geométrica cualquiera plano:

Cualquier figura plana como por ejemplo: un triangulo,

un paralelogramo, un circulo, etc. Puede representar un

plano, pero teniendo cuidado, que al darse sus

proyecciones, se pueda comprobar fehacientemente que

todos sus elementos se hallan coplanares.

2. DEPURADO CLÁSICO DE UN PLANO

Para efectos de nuestro estudio, representaremos siempre un

plano mediante un triángulo cualquiera.

Considerando que un plano es ilimitado, hay que tener

presente que el triángulo representativo del plano no es

único, pues el mismo plano se podrá representar por

44

infinitos triángulos, según las necesidades de elementos de

estudio.

En la Fig. 5, estamos representando el plano por el

triángulo abc, y que en todos los casos leeremos: El plano

abc.

3. PROBLEMAS FUNDAMENTALES EN EL PLANO

Se puede considerar como problemas fundamentales en el

plano los siguientes:

a. Localización de una recta cualquiera en el plano.

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El objetivo básico de este problema, es que: para

determinar en forma completa una recta de un plano,

primeramente tenemos que darnos una de las proyecciones

de dicha recta y encontrar la otra proyección de la

misma, aplicando las propiedades de rectas que se

cortan.

Aplicación: Se da la proyección horizontal mHnH de una

recta mn contenida en el plano abc. Se pide encontrar la

proyección frontal mFnF de la misma.

Procedimiento:

44

Análisis previo: como la recta mn se encuentra en el

plano abc, quiere decir que deberá cortar a dos rectas

cualquiera de él. En nuestro caso, la recta mn corta a

la recta ab en el punto 1 y a la recta ac en el punto 2.

Las proyecciones horizontales de los puntos 1 y 2,

sabiendo que estos deben encontrarse en las proyecciones

frontales de las rectas ac y ab.

Uniendo las proyecciones frontales de los puntos 1 y 2,

queda determinada la proyección frontal de la recta mn

buscada y cuyos puntos extremos se definen por simples

líneas de referencia.

Depurado:

Donde la proyección mHnH corta a las proyecciones

horizontales aHcH y aHbH de las rectas, se encuentran

1H y 2H respectivamente.

Por la proyección 1H una referencia hasta cortar a

aFcF en un punto que será 1F; en forma semejante, por

2H bajamos una referencia hasta cortar a bFaF en el

punto 2F.

Unimos las proyecciones 1F y 2F que nos va a definir

la proyección que falta de la recta.

Mediante líneas de referencia, determinamos mF y nF.

Nota: En forma análoga se puede resolver el problema

planteado de la siguiente manera: Dado la proyección

frontal de una recta de un plano, determinar su

proyección horizontal.

44

La solución se efectúa bajo las mismas consideraciones

hechas en el caso anterior.

b. Localización de un Punto cualquiera en un Plano:

Aplicación: Se da la proyección horizontal aH de un

punto de un plano mns. Se pide encontrar su proyección

frontal.

Análisis previo: Si un punto se encuentra en un plano,

entonces forzosamente debe encontrarse en alguna recta

de él.

44

Por esta razón, por la proyección horizontal del punto,

hacemos pasar la proyección horizontal de una recta

cualquiera y que pertenezca al plano dado.

Se encuentra la proyección frontal de la recta auxiliar

tomada (con el método del problema 3a).

Finalmente, con una referencia determinamos la

proyección aF buscada que debe encontrarse en la

proyección frontal de la recta auxiliar.

Depurado:

Por aH y mH hacemos pasar la proyección horizontal

de una recta auxiliar y que se encuentre en el plano

mns.

La proyección aHmH tiene que cortar a la recta sHnH

en el punto de proyección horizontal 1H.

Se determina la proyección 1F (que se encuentra en

sFnF).

Determinamos la proyección frontal mF1F de la recta

auxiliar.

Como el punto a se encuentra en la recta auxiliar,

con una simple línea de referencia trazada por aH

hasta que la corte, queda determinada la proyección

buscada aF del punto.

Nota: con un procedimiento semejante, se puede resolver

el problema cuando se da la proyección frontal del

punto, para hallar su proyección horizontal. El alumno

44

puede resolver este ejercicio en base a lo aprendido en

el caso anterior.

VISTAS PARTICULARES DEL PLANO EN EL ESPACIO

Generalmente un plano en el espacio, puede tener una posición

arbitraria o sea que puede presentarse en infinitas formas,

pero referidas a los planos de proyección, pueden adoptar

formas particulares que signifiquen ayuda para su estudio y

que pueden favorecer grandemente a la solución de los

numerosos problemas planteados en todos los casos.

1. Planos Perpendiculares a los planos de proyección: Planos

de Canto.

2. Planos Paralelos a los planos de proyección: Planos de

Verdadera Magnitud.

1. Planos Perpendiculares a los planos de proyección: Planos

de Canto.

A este tipo de planos, en muchos textos se les conoce con

diferentes nombres, tales por ejemplo como: Planos con

vista Lineal, Planos Normales, Planos inclinados, Planos

auxiliares, etc. Es necesario que el alumno se familiarice

con toda la nomenclatura existente para que en cualquier

momento, sepa identificarlos.

Los Planos perpendiculares a los planos de proyección,

pueden ser los siguientes:

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a. PLANO DE CANTO VERTICAL. Es el plano que es

perpendicular al plano horizontal de proyección.

Sus características en el depurado son las siguientes:

Su Proyección Horizontal es una línea.

Cualquier punto, recta o figura que esté contenido en

este plano, tiene su proyección horizontal confundida

con la proyección horizontal del plano de canto

vertical.

Sus proyecciones frontal y lateral son arbitrarias.

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b. PLANO DE CANTO NORMAL. Se llama así al plano que es

perpendicular al plano frontal de proyección.

Sus características en el depurado son:

Su Proyección Frontal es una línea.

Cualquier punto, recta o figura que esté contenido en

este plano, tiene su proyección frontal confundida

con la proyección frontal del plano.

Sus proyecciones horizontal y lateral son

arbitrarias.

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c. PLANO DE CANTO LATERAL (paralelo al eje H-F). Es el

plano que tiene que ser perpendicular al plano lateral

44

de proyección. A este tipo de plano también se le conoce

con el nombre de Plano paralelo al eje H-F.

Sus características en el depurado son:

Su Proyección lateral o de perfil es una línea.

Todas las figuras contenidas en él, tienen su

proyección de perfil confundidas con las del plano.

Sus proyecciones horizontal y frontal son

arbitrarias.

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2. Planos Paralelos a los planos de proyección: Planos de

Verdadera Magnitud.

Algunos textos los conocen con los nombres de: Planos

Normales, Planos de Vista de Canto, etc.

Los planos paralelos a los planos de proyección son:

a. PLANO HORIZONTAL. Son los planos Paralelos al Plano

Horizontal de Proyección.

Sus características en el depurado son:

Su Proyección Frontal es una línea paralela al eje

H-F.

Su Proyección Horizontal se ve en verdadera magnitud.

Toda gran figura contenida en este plano, se proyecta

en verdadera extensión en proyección horizontal.

Su Proyección lateral es una recta paralela al eje

H-F.

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b. PLANO FRONTAL. Es el Plano Paralelo al plano frontal de

proyección.

Sus características en el depurado son:

Su Proyección Horizontal es una línea paralela al eje

H-F.

Su Proyección Frontal se ve en verdadera magnitud.

Toda figura contenida en él, se proyecta en

proyección frontal en su misma extensión.

Su Proyección Lateral es una recta perpendicular al

eje H-F.

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c. PLANO LATERAL O DE PERFIL. Es el Plano Paralelo al plano

lateral de proyección. Fig. 6 y 6a.

Sus características en el depurado son:

Su Proyección Horizontal y Frontal se encuentran en

una misma línea perpendicular al eje H-F.

Su Proyección Lateral se ve en Verdadera magnitud.

Toda figura contenida en este tipo de plano, se

proyecta en su proyección lateral en su verdadera

extensión o magnitud.

44

RECTAS PRINCIPALES O NOTABLES DEL PLANO

Además de poder identificar cualquier tipo de recta, que se

encuentre contenida en un plano, existen varios tipos que a

través de sus características especiales, tienen posiciones

especiales con sus formas propias dentro del depurado.

Estas rectas en cuestión se les llaman Rectas Principales o

Notables de un Plano; y las consideraremos a las siguientes:

1. Horizontales del Plano

2. Frontales del Plano

3. Recta de Perfil del Plano

4. De Máxima Pendiente

1. HORIZONTALES DEL PLANO

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Horizontal del Plano, es la recta que pertenece al plano y

es paralela al plano horizontal de proyección. Un plano

tiene infinidad de rectas horizontales.

Su determinación: Para encontrar una recta horizontal del

plano se procede en la siguiente forma:

a. Primeramente se traza la Proyección Frontal de la

Horizontal, paralela al eje H-F.

b. Ahora, considerando que esta Horizontal pertenece al

plano, determinamos su Proyección horizontal, aplicando

el primer problema fundamental del plano.

Aplicación: Encontrar las proyecciones de una recta

horizontal del plano abc.

44

Procedimiento:

Consideremos que la recta horizontal es mn.

Trazamos mFnF paralela al eje H-F.

Encontramos mHnH aplicando el procedimiento general.

2. FRONTALES DEL PLANO

Frontal del Plano, es la recta que pertenece a él, es

paralela al plano frontal de proyección. De igual manera,

un plano cualquiera tiene infinidad de frontales.

Su determinación: Para encontrar la recta frontal de un

plano, procedemos en la siguiente forma:

a. Trazamos primero la Proyección Horizontal de la recta

Frontal buscada.

b. Como la recta pertenece al plano, encontramos su

proyección frontal, aplicando el primer problema

fundamental del plano.

Aplicación: Determinar las proyecciones de una recta

frontal del proyección mns.

Procedimiento:

Llamemos a la recta frontal buscada vz.

Trazamos vHzH paralela al eje H-F.

44

Encontramos vFzF con ayuda del procedimiento general.

3. RECTA DE PERFIL DEL PLANO

Recta de Perfil de un Plano, es la recta que es paralela al

plano lateral o de perfil de proyección. Un plano dado,

tiene infinidad de rectas de perfil.

Su determinación:

Trazaos las proyecciones horizontal y frontal de la

recta buscada, de modo que sean perpendicular al eje

H-F.

44

Como para que la recta quede definida, se necesitan dos

puntos de ella, los tomamos donde ella corte a las otras

dos rectas cualquiera del plano.

Aplicación: Hallar las proyecciones de una recta de perfil

st del plano abc.

4. RESTAS DE MÁXIMA PENDIENTE

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Generalidades: Si dos planos se cortan, la recta de uno de

ellos forma el ángulo máximo con el otro, es perpendicular

a la intersección de ambos planos.

Tomemos los planos P y Q, cuya intersección es la recta mn.

Tomemos en el plano Q un punto cualquiera tal como a y

trazamos desde éste punto el segmento perpendicular ab a la

intersección mn y que se encuentre en P.

La proyección de ab en el plano P es el segmento bc.

Sabemos que la proyección bc es también perpendicular a la

intersección mn (teorema de las tres perpendiculares).

44

Tomemos ahora un punto cualquiera d en la recta mn y lo

unimos con los puntos a y c. El segmento dc viene a ser la

proyección de ad en el plano P.

Tenemos que demostrar que

Por perpendicularidad y oblícua: cb < cd

Tomemos en el segmento cd una longitud cs = cb

Trazemos el segmento as.

Tenemos que tríangulo abc = triángulo asc por ser

triángulos rectángulos que tienen iguales catetos;

por lo tanto.

Pero el ángulo , como ángulo externo que es del

triángulo asd, será:

Por lo tanto tendremos:

Línea de Máxima Pendiente de un Plano: (Fig. anterior)

Puesto que la recta ab del plano P forma el ángulo máximo

con el plano Q entre todas las rectas que parten del punto

a y cortan a la intersección mn de los dos planos, esta

línea, que es una de las pendientes del plano P, no puede

confundirse en ningún momento con alguna otra, y se le

designa con el nombre de la de Máxima Pendiente del Plano.

44

Por lo tanto, para efecto del Curso definiremos a la recta

de Máxima pendiente de un plano P con respecto a otro plano

Q, a la recta que es perpendicular a la intersección de los

dos.

Para obtener utilidades en el transcurso del estudio de las

propiedades de un plano, referiremos el de las Rectas de

máxima pendiente en cuanto a los tres planos de proyección:

Horizontal, Frontal y Lateral.

Esto significa que existirán las siguientes:

a. De Máxima Pendiente respeto al plano Horizontal

b. De Máxima Pendiente respeto al plano Frontal.

c. De Máxima Pendiente respeto al plano Lateral.

a. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Horizontal

Generalidades:

44

Consideremos el plano P cuya intersección con el

plano horizontal de proyección H es la recta i.

Sea la recta mn la recta de máxima pendiente respecto

al plano horizontal.

Por definición sabemos que Recta mn Recta i.

Pero la recta i tiene que ser paralela a todas las

rectas horizontales del plano P.

Por lo tanto, la recta mn deberá ser entonces,

perpendicular a todas las horizontales del plano P.

Si tomamos una horizontal st del plano y como sabemos

que ella es perpendicular a la recta mn, deberá

cumplirse:

mHnH sHtH

(propiedad de rectas perpendiculares cuando una de

ellas es paralela al plano horizontal de proyección)

En base a esta característica fundamental, es que se

determina las proyecciones de cualquier recta de máxima

pendiente con respecto al plano horizontal de

proyección.

Aplicación: Determinar las proyecciones de una recta de

máxima pendiente mn, con respecto al plano horizontal de

proyección, de un proyección abc.

44

Procedimiento:

Trazamos la recta horizontal del plano abc. Recta at.

Definimos la proyección horizontal de la recta

buscada con la condición de:

mHnH aHtH

Como sabemos que la recta mn pertenece al plano abc,

determinamos su proyección frontal mFnF aplicando el

44

primer problema fundamental del plano (localización

de rectas).

b. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Frontal.

Generalidades: Sea el plano P que interseca al plano

frontal de proyección según la recta i.

Tomemos la recta vz como la de máxima pendiente con

respecto al plano frontal del plano P.

Sabemos por definición que la Recta vz Recta i.

Pero además, la recta i es paralela a todas las

rectas frontales del plano P. De esto podemos deducir

entonces que la recta de máxima pendiente con

respecto al plano frontal vz es perpendicular a todas

las rectas frontales del plano P.

Por lo tanto, si tememos una frontal del plano xy y

ésta es perpendicular a la recta vz, se debe cumplir:

vFzF xFyF

(propiedad de dos rectas perpendiculares, cuando una

de ellas es paralela al plano frontal)

Con esta característica básica, es que se determina las

proyecciones de cualquier recta de máxima pendiente con

respecto al plano frontal de proyección.

44

Aplicación: Se da un plano abc. Determinar las

proyecciones de una recta de máxima pendiente vz con

respecto al plano frontal de proyección.

44

Procedimiento:

Trazamos la recta cw frontal al que pase por el punto

c.

Definimos la proyección frontal de la recta buscada

con la condición básica de:

vFzF cFwF

Perteneciendo la recta vz al plano abc, se determina

la proyección horizontal vFzF aplicando el problema

fundamental del plano (localización de rectas).

c. Rectas De Máxima Pendiente respeto al plano Lateral.

Generalidades: Es una forma análoga a los casos

anteriores se puede establecer, que la recta de máxima

pendiente de un plano P con respecto al plano lateral de

proyección, es perpendicular a todas las rectas de

Perfil del plano.

Consideremos la recta ab como la de máxima pendiente con

relación al plano lateral de proyección del plano mns.

Sea zw una recta de perfil cualquiera de dicho plano.

Fig. 15.

Por definición sabemos que: ab es perpendicular a la

recta zw, pero como la recta zw es paralela al plano de

perfil, se tiene que cumplir que:

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aPbP zPwP

Procedimiento:

Primeramente se determina las proyecciones de perfil

de una recta cualquiera de perfil del plano, o sea en

nuestro caso hallamos zPwP.

En esta proyección trazamos aPbP zPwP. La

determinación de las proyecciones horizontal y

frontal de la recta buscada, se efectúa aplicando las

propiedades de las rectas de un plano.

44

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

A. PARALELISMO

1. Paralelismo entre Rectas. Si dos rectas ab y mn son

paralelas entre sí: sus proyecciones horizontales,

sus proyecciones frontales y sus proyecciones de

perfil deben ser paralelas entre sí, respectivamente.

De modo, que si la recta ab es paralela a la recta mn

debe cumplirse los siguientes postulados:

Condición Nº 1: aHbH // mHnH

Condición Nº 2: aFbF // mFnF

Condición Nº 3: aPbP // mPnP

Estas tres condiciones deben cumplirse simultáneamente.

Si sólo una de ellas no se cumple para que dichas rectas

no sean paralelas.

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2. Paralelismo entre Rectas y Planos: Para que una recta

sea paralela a un plano, es necesario y suficiente que

la recta sea paralela por lo menos a una recta del

plano.

recta ab // st

recta st en el

plano P

Luego recta

ab // P

Determinación y comprobación en el Depurado: Dado la

recta anb en el espacio y el plano mns, verificar si la

recta y el plano son paralelos.

Procedimiento:

a. Nos damos la proyección horizontal de una recta

auxiliar del plano tal como la a’-b’ y que cumpla con

la condición Nº1 de paralelismo entre rectas.

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b. Teniendo en cuenta que a’-b’ pertenece al plano,

determinamos su proyección frontal a’Fb’F (primer

problema fundamental del plano).

c. Si obtenemos a’Fb’F//aFbF (condición Nº 2 de

paralelismo entre 2 rectas), la recta será paralela

al plano. Caso de que esto no se cumpla, la recta ab

no será paralela al plano.

Nota. Así como se empieza trabajando con la proyección

horizontal de la recta, también se puede iniciar la

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comprobación por la proyección frontal a’Fb’F. Todo el

resto del proceso, es semejante al del caso anterior.

3. Paralelismo entre Planos:

Si dos planos son paralelos entre sí, es condición

necesaria y suficiente que tengan por lo menos dos

rectas paralelas entre si y en diferente dirección.

Fig. 4 y 4a con vista espacial y Fig. 4c nos da la

interpretación en el depurado.

44

En los croquis 4 y 4a podemos observar lo siguiente:

Fig. 4 son paralelos los planos.

Fig. 4a son planos no paralelos.

Bastará entonces, que el en depurado se cumpla:

B. PERPENDICULARIDAD

44

1. Perpendicularidad entre Rectas.

Dos rectas son perpendiculares entre si, cuando forman

un ángulo de 90º. Cabe hacer notar que las dos rectas no

necesariamente deben cortarse según un punto común;

pueden ser también dos rectas perpendiculares y que se

cruzan.

Principio fundamental: Si dos rectas cualesquiera no

perpendiculares entre sí, y una de ellas es paralela a

un plano, las proyecciones de dichas rectas en ese plano

son también perpendiculares entre sí.

Esto quiere decir, que si la recta a es perpendicular a

la recta b, y la recta a es paralela al plano P, la

proyección aP de la recta a debe ser perpendicular a la

proyección bP de la recta b.

Colorarios:

44

Colorario 1: Si la recta ab es perpendicular a la recta

cd, y la recta ab es paralela al plano horizontal de

proyección siguiente:

aHbH cHdH

aFbF ≠ cFdF

Colorario 2: Si la recta ab es perpendicular a la recta

cd, y la recta cd es paralela al plano frontal de

proyección, las proyecciones frontales de dichas rectas

son perpendiculares entre sí. Quiere decir que se debe

tener lo siguiente:

aFbF cFdF

aHbH ≠ cHdH

Colorario 3: Si la recta ab es perpendicular a la recta

mn y la recta ab es paralela al plano lateral de

proyección, las proyecciones de perfil de dichas rectas

44

son perpendiculares entre sí. Esto significa que se

tendrá lo siguiente:

aPbP mPnP

aHbH ≠ mHnH

aFbF ≠ mFnF

2. Perpendicularidad entre Rectas y Planos

Sea la recta ab que es perpendicular al plano cualquiera

P. Referiremos sus proyecciones al plano horizontal de

proyección. Según esto, podemos exponer lo siguiente:

a. Como la recta ab es perpendicular al plano, debe

serlo a cualquier recta de él; digamos a la recta ws.

Por esta razón, la recta ab deberá ser perpendicular

a la recta mn (que en este caso es una horizontal del

plano).

b. Como la recta ab es perpendicular a la recta mn y

siendo mn paralela al plano horizontal de proyección,

debe cumplirse que:

aHbH mHnH

(Corolario 1 de perpendicularidad entre rectas)

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c. Si hacemos un análisis análogo con respecto a una

recta frontal del plano, podemos llegar a la

conclusión de que, si la recta ab es perpendicular a

una recta st que es frontal de un plano, y siendo st

paralela al plano frontal, debe cumplirse que:

aFbF sFtF

(Corolario 2 de perpendicularidad entre rectas)

Conclusión

Para que una recta perpendicular a un plano cualquiera

quede completamente determinada, basta que su proyección

horizontal sea perpendicular a la proyección horizontal

de una recta horizontal del plano, y que su proyección

frontal, sea perpendicular a la proyección frontal de

una recta frontal del plano. Ambas condiciones deben

cumplirse simultáneamente.

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Aplicación: Trazar una recta ab que sea perpendicular al

plano P representado por los puntos vxz. Fig. 9.

Procedimiento

Trazamos la horizontal del plano: mn

Trazamos la frontal del plano: st.

Definimos la perpendicular buscada ab de la

siguiente manera:

aHbH mHnH

aFbF sFtF

El alumno deberá ver la Fig. 9a para visualizar todo el

conjunto en el espacio, referido a los planos de

proyección Horizontal y Frontal.

44

3. Perpendicularidad entre Planos:

Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es

condición necesaria y suficiente que, en uno de los

44

planos exista por lo menos una recta que sea

perpendicular al otro plano.

Por lo tanto, si el plano abc es perpendicular al plano

mns debe existir en el plano abc (o en el plano mns) una

recta wd que sea perpendicular al otro plano mns (o al

abc).

De esto podemos deducir un procedimiento para averiguar

si existe perpendicularidad entre dos planos dados:

Se toma un punto v en el plano abc.

Por el punto v trazamos la recta vz perpendicular

al plano mns.

Si la recta vz pertenece al plano abc, quiere decir

que ambos planos dados son perpendiculares.

Si la recta vz no pertenece al plano abc, significa

que los planos dados no son perpendiculares.

Planos abc y mns:

Recta vz pertenece al plano abc

Luego tendremos:

Plano abc plano mns

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Plano abc y msn:

Recta vz plano mns

Recta vz no pertenece al plano abc:

Luego tendremos:

Plano abc no es perpendicular al plano mns.