Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en...

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales y direccionales

1 Derivadas parciales

2 Derivadas direccionales

3 Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)

Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R

Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior

de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1

variable:

Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

variable:

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

variable:

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

f1/3(x) = 5− x2 − 3(1/3)2

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

f−2(y) = 5− (−2)2 − 3y2

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

Derivada parcial respecto de x

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0)

es una funcion de una variable (la x). Si fy0 es diferenciable enel punto x0 ∈ (a1, b1), es decir, si existe el

lımh→0

fy0(x0 + h)− fy0(x0)

h= lım

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Primera de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de x de f en(x0, y0), y se representa por D1f (x0, y0) o bien en notacionclasica por ∂f

∂x (x0, y0).

Derivada parcial respecto de x

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y),

que es una funcion real de una variable real (la y ). Si fx0 esdiferenciable en el punto y0 ∈ (a2, b2), es decir, si existe el

lımh→0

fx0(y0 + h)− fx0(y0)

h= lım

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Segunda de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de y de f en(x0, y0) , y se representa por D2f (x0, y0) o bien, en notacionclasica, por ∂f

∂y (x0, y0).

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f∂x

(x , y) = −2x

∂f∂x

(−2, 1/3) = −2(−2) = 4

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f∂y

(x , y) = −6y

∂f∂y

(−2, 1/3) = −6(1/3) = −2

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

∂f∂y

(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y

Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

∂f∂y

(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y

Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Generalizaci on

En general, para funciones con n variables, f (x1, x2, . . . , xn), sedefine su derivada parcial k-esima en el punto (x1, x2, . . . , xn),que denotamos por Dk f (x1, x2, . . . , xn) o bien por∂f∂xk

(x1, x2, . . . , xn) al lımite

lımh→0

f (x1, . . . , xk + h, . . . , xn)− f (x1, x2, . . . , xn)

Derivada direccional

La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es

Dv f (x0, y0) = lımh→0

f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)

o bien

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .

Observacion:

D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x

(x0, y0)

D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y

(x0, y0)

Derivada direccional

La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es

f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)

o bien

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .

Observacion:

D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x

(x0, y0)

D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y

(x0, y0)

Dada una funcion f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0, y0) interiorde su dominio A puede ocurrir,

(a) que no existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones (ejemplo: cono) o

(b) que sı existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones.

En este segundo caso, puede ocurrir,

(b.1) que no esten todas las rectas tangentes en unmismo plano (superficies regladas), o

(b.2) que sı esten todas las rectas tangentes en unmismo plano.

Caso (a)

Caso (b.1): esculturas de Alfaro

Caso (b.2)

Plano tangente

En el ultimo caso (existen las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones y estan todas en un mismo plano), a este plano sele llama plano tangente a f en el punto (x0, y0), y puede verseque su ecuacion es

z = f (x0, y0) + D1f (x0, y0)(x − x0) + D2f (x0, y0)(y − y0)

Derivadas direccionales y continuidad

La existencia de las derivadas parciales en un punto o, masaun, de todas las derivadas direccionales, no implica lacontinuidad de la funcion en ese punto.

Ejemplo: f (x , y) = xy2

x2+y4 si (x , y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0. Existentodas las derivadas direccionales en (0, 0) pero no es continua.

Derivadas parciales de orden superior

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces su derivada parcialprimera en cada (x , y) es

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

que es tambien una funcion de dos variables y tiene derivadasparciales que son derivadas parciales de f de segundo orden:

∂2f∂x2 (x , y) = 12x cos(x2 + y2)− 8x3 sen(x2 + y2)

∂2f∂y∂x

(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)

Del mismo modo, como

∂f∂y

(x , y) = 4xy cos(x2 + y2)2x

sus derivadas parciales son

∂2f∂x∂y

(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)

∂2f∂y2 (x , y) = 4x cos(x2 + y2)− 8xy2 sen(x2 + y2)

En general, se definen las 4 derivadas parciales de f desegundo orden como:

∂2f∂x2

(x , y) =∂

(∂f∂x

)(x , y) o bien D11f (x , y) = D1 (D1f ) (x , y)

∂2f∂y2

(x , y) =∂

(∂f∂y

∂2f∂y∂x

(x , y) =∂

(∂f∂x

∂2f∂x∂y

(x , y) =∂

(∂f∂y

Teorema de Schwarz

Teorema

Si∂2f

∂y∂xes continua en un punto (x , y) y si

∂f∂y

existe en un

entorno de (x , y), entonces existe∂2f

∂x∂y(x , y) =

∂2f∂y∂x

(x , y)

Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de nvariables. Ası, por ejemplo, una funcion f (x1, x2, . . . , xn) tiene nderivadas parciales en cada punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, quedenotamos por

Dk f (x1, x2, . . . , xn) o por∂f∂xk

(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n

y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, quedenotamos por

Dij f (x1, x2, . . . , xn) o por∂2f

∂xj∂xi(x1, x2, . . . , xn), i , j = 1, 2, . . . , n

El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertascondiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden:

Dij f (x1, x2, . . . , xn) = Dji f (x1, x2, . . . , xn)

∂2f∂xj∂xi

(x1, x2, . . . , xn) =∂2f

∂xi∂xj(x1, x2, . . . , xn)

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