Asignatura:_____________________________________ Web viewcalculo vectorial y multivariado derivadas...

UNIDAD DE PRODUCCIÓN DE CONOCIMIENTO UDPROCO

Código: FR-DO-001Versión: 01

Proceso:Docencia

Fecha de emisión:24-Jul-2009

Fecha de versión:24-Jul-2009

.

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FABIOLA INÉS HERNÁNDEZ

[email protected]

CARLOS RENE AMÍREZ R.

CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO DERIVADAS PARCIALES. REGLA DE LA CADENA. DERIVADAS DIRECCIONALES. VECTOR GRADIENTE .Docente: Eduardo Zuniga López.

_ Aprenda alistándose y planteándose preguntas_

.

Preguntas que permitan establecer un concepto del tema a estudiar.Cada tema propuesto, presenta una serie ejercicios a resolver y unas lecturas

relacionadas con diferentes aplicaciones

Indicador: Medir Nivel de Avance o Competencia en cada eje temático

Interpreta y aplica las diferentes funciones de múltiples variables y derivadas parciales utilizando los diferentes modelos matemáticos y convenciones , para medir el comportamiento de las variables en las funciones a estudiar.

Aprenda de las fuentes (Proyeccionismo)______________Presentación del tema:Temática a desarrollar:DERIVADAS PARCIALES.Definición, Notación. Manejos de modelos Matemáticos.Funciones de dos o más variables.Relación entre continuidad y la existencia de derivadas parciales.Derivadas de orden superior.Teorema de Clairaut.Ecuaciones diferenciales Parciales .Aplicaciones de los diferentes enunciados y modelos matemáticos.

Fuente : Bibliografía; Sitio Web; Material anexo

Indicadores: Teorías, Datos y hechos que debe conocer el alumno

_____ Aprenda de la práctica (Conductismo)_

NUESTRAS CONVENCIONES



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DERIVADAS PARCIALES..Es el proceso en una función de dos variables, que diferenciamos con respecto a una de esas variables ,dejando la otra como una constante, aplicando la regla de la cadena…

DEFINICION..Así, tenemos si (Xo,Yo) es un punto ,en el dominio de la función f(X,Y),donde el plano vertical Y= Y(0) cortara la superficie Z=f(X,Y), en la curva Z= f(X,Y0).

df/dx/ (xo,yo) = d/dxo. f(xo,yo) / limite {f(xo+h, yo ) – f( xo, yo,)}/ h. h -- 0. En, X = Yo..

siempre que el limite exista.

Su definición respecto a X , en el punto P( xo,yo ).Su notación es .

df/ dx ( xo ,yo ) ; fx ( xo ,yo ) ; ,

_____ Aprenda de la práctica (Conductismo)_ Procedimientos, Ejemplos y Ejercicios: INDICADOR ETAPA DE DESARROLLO.

Interprete y evalué los enunciados propuestos a continuación

Encuentre los valores de las derivadas parciales con respecto a X ; y respecto a Y . en el punto ( -5,-8) de las funciones .

a) f(x,y) =5 x 2 +3 x y 2 + 6 y 2 +8y -2. b) f(x ,y) = 4x 2 +8x y 3 +4y 2 -5y +6. c) F(x, y) – y coseno (x,y).

Indicadores: Realiza los procedimientos y alcanza los resultados en las pruebas

APLICACIÓN.Se sabe que la cantidad de agua qué pasa por un rio, en un periodo de tiempo.es igual, al área encerrada por el eje X y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente, Cual es la cantidad de agua en hectolitros , que pasa por un rio en un ano .Si la función que mide el caudal, es

NUESTRASCONVENCIONES



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Función de los meses de ano, viene dada por.

F( X) = 3 + 2 cosπx/6.

También la aplicación de las derivadas parciales en la física.Tenemos que la ecuación de la difusión del calor , que es una ecuación unidimensional de segundo orden, lineal homogénea y coeficientes constantes así.∂u∂ t

=c2 ∂2u∂ x2 Ecuación de difusión del calor,.

∂2u

∂ t2=c2 ∂2u

∂ x2 ECUACION DE LA ONDA.

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES.Las definiciones de las derivadas parciales, de funciones de dos o más variables, son derivadas ordinarias de dos o más variables , son derivadas ordinarias respecto a una variable, las otras se mantienen constantes. .APLICACIÓN..Sean X,Y,Z. variables independientes y f( x,y,z) = Xsen( y +3z).∂ f∂ z = ∂

∂ z (xsen(y +3z).

= x∂∂ z sen ( y +3z) .

x.cos (y +3z) .3

=3 X cos( y +3z) .

RESISTORES ELECTRICOS EN PARALELOS.

Si consideramos resistores de R1 R2 R 3 conectados en paralelos para formar un resistor de R, omhs, el valor de R ,puede considerarse con la ecuación .1R = 1

R1+ 1R2 + 1

R3 ver figura.

Enunciado.Determine el valor de ..



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+Escriba aquí laecuación .

Escriba aquí laecuación .

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Función de los meses de año, viene dada por.

F( X) = 3 + 2 cosπx/6.

También la aplicación de las derivadas parciales en la física.Tenemos que la ecuación de la difusión del calor , que es una ecuación unidimensional de segundo orden, lineal homogénea y coeficientes constantes así.∂u∂ t

=c2 ∂2u∂ x2 Ecuación de difusión del calor,.

∂2u

∂ t2=c2 ∂2u

∂ x2 ECUACION DE LA ONDA.

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES.Las definiciones de las derivadas parciales, de funciones de dos o más variables, son derivadas ordinarias de dos o más variables , son derivadas ordinarias respecto a una variable, las otras se mantienen constantes. .APLICACIÓN..Sean X,Y,Z. variables independientes y f( x,y,z) = Xsen( y +3z).∂ f∂ z = ∂

∂z (xsen(y +3z).

= x∂∂z sen ( y +3z) .

x.cos (y +3z) .3

=3 X cos( y +3z) .

RESISTORES ELECTRICOS EN PARALELOS.

Si consideramos resistores de R1 R2 R 3 conectados en paralelos para formar un resistor de R, ohmios el valor de R ,puede considerarse con la ecuación .1R = 1

R1+ 1R2 + 1

R3 ver figura.

Enunciado.Determine el valor de ..




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Como vemos, R2, dejamos constantes a R1 R3 y diferenciamos ambos lados de la ecuación.Con respecto a R,2

Tenemos que:

∂∂R2 ( 1

R ) = ∂∂R2 ( 1

R1 + 1R2 + 1

R3 ) = - 1R2 . ∂R∂R2 = 0 -- 1

R2 +0.

= ∂R∂R2 = R2

R2¿2 ¿ = ( R/R2)2 Cuando R1= 30 , R2 =45, R3 = 90

0HMIOS.

Entonces tenemos que,1R = 1

30+ 1

45 + 190 = 6

90 = 115 ohmios.

Por lo que R = 15 ohmios. Ahora tenemos que .

∂R∂R2 = (

1545 ¿2 = 19

De acuerdo a lo propuesto en el desarrollo del tema , determine.

∂R∂R1 y ∂R∂R3 .

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Si consideramos f como una función de dos variables, entonces sus derivadas fx ,fy ,también son funciones de dos variables. Podemos considerar, sus derivadas parciales .(fx )x ,( fx)y, (f y)x ,( fy)y

a). ( fx )x = fxx =f 11 = ∂∂x (

∂ f∂ x

¿ = ∂2 f∂ x2 = ∂

2Z∂x2 .

b). (fx)y = f xy =f 12 = ∂∂ y (

∂ f∂ x ) = ∂

2 f∂ x2 = ∂2Z

∂Y ∂ X.

c). (fy)x = ftx = f21 = ∂∂x (

∂ f∂ y ) = ∂2 f

∂ x ∂ y. =

∂2❑Z∂ X ∂Y .

¿¿ .




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Escriba aquí laecuación .

F

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APLICACION

Calcule las segundas derivadas parciales de las siguiente función..

.SOLUCION .

f . x (X ,Y )=.3 x2+2 x . y3 .

f y . (X ,Y )=¿ 3X2Y 2−4Y .

APLICAMOS EL CONCEPTO DESEGUNDA DERIVADA .❑

Fxx=6 x+2 y3 Fxy. = 6XY 2

.

FYY = 6 X2 Y - 4 Fyx = 6XY 2,

INTERACCION.

DE ACUERDO A LO ENUNCIADO EVALUE CADA EJERCICIO PROPUESTO.. F(x,y) = 5x3+2 x2 y+4 xy3−3 y2 .

F( x,y) = 5x3−6 xy4+4 x2 y5+6 y . Determine en cada caso.. f.xx, fxy , fyy ,fyx …

DADO Las siguientes superficies corresponden a una función (graficas). Identifique cada una fundamente su elección.. Podemos sacar como conclusión que las derivadas parciales de orden superior no existe un límite teórico, respecto al número de veces que se pueda diferenciar, en tercer cuarto ,quinto orden……cuya notación la podríamos dar,

∂3 f∂ x ∂ y2 = fyyx . ∂4 f

∂ x2∂ y2 = fyyxx,.

Se considera que el orden de la diferenciación no es importante , mientras las




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Las derivadas del orden sean continuas.

TEOREMA DE EULER DERIVADAS MIXTAS.

Si f ( x,y,z) y sus derivadas parciales fx, fy, fxy, fyx. Estén definidas en toda una región abierta que contengan un punto ( a ,b) y sean continuasEn ( a,b) entonces .

Fxy( a,b) = = fyx(a,b)..

INTERACCION APLICACION.

SI. F (X ,Y) = X COSY +Y ex.

SOLUCION.

∂ f∂ x

= COSY +Yex

∂ f∂ y

= -XSENY + ex .

Segundas derivadas parciales.

∂2 f∂ y∂ x

= ∂∂ y

( ∂ f∂x

) . = - SenY +ex ..

∂2 f∂ x2 =

∂∂x

( ∂2 f∂ x2 = Ye x

Tambien

∂2 f∂ x ∂ y

. = ∂∂x

( ∂ f∂ y

) = - seny +ex.

.∂2 f∂ y2 =

∂∂ y

( ∂ f∂ y

) = -x cos y .

Podemos observar que las derivadas parciales mixtas son iguales, siempre que f , fx ,f y fxy fyx sean continuas.

INTERACCION PROPUESTA .

EVALUE CADA UNA DE LAS SIGUIENTTES DERIVADAS PARCIALES MIXTAS.

VERIFIQUE. QUE

Wxy =Wyx..




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REGLA DE LA CADENA.PARA UNA FUNCION DE DOS O MAS VARIABLES.

Consideramos el caso donde. Z = f ( x ,y) y cada una de las variab les es función de t, / Z= [g(t)),h(t)] . La regla de la cadena facilita , los modelos matematicos para dar solución, y asi obtener las derivadas de Z.Como función de t, a continuación consideramos los siguientes casos. CASO UNO ,Si Z = f (x,y) , constituye una función diferenciables en x,y , donde X = g (t ) y Y = h (t) , derivables en t ,Lo que implica que Z es diferenciable en t .

dzdt

= ∂ f∂ x

dxdt

+ ∂ f∂ y

dydt

.

DEMOSTRACION.

Un incremento ∆ t en t implica cambios en ∆ x y en ∆ y en ( x ,y),Estos cambios producen cambios en Z.Entonces tenemos .

∆ Z = ∂ F∂ X

∆ X+ ∂ f∂ y

∆ y+∈1∆ x+∈2∆ y donde ∈1→0 , ∈2→0 de acuerdo

(∆ x ,∆ y ¿ →(0,0) .

Si ∈ 1 ,∈2 no están definidos en ( 0,0), podemos definirlos En ( 0, 0) si divido la ecuación por ∆ t .Y nos queda.

∆ z∆ t

=∂ f∂x

∆ x∆ t

+ ∂ f∂ y

∆ y∆ t

+∈1 ∆ x∆ t

+∈2 ∆ y∆ t

Si hacemos∆ t→0 ,=¿∆ x=g (x+∆ t )−g (t )→0.como con .

Secuencia,de que gesderivable por ser continua ,lo quehace que∆ y→0 , por lo tanto∈1→0 , ϵ 2→0. .Demodoque .

dzdt

=limite ∆ z∆ t

=∂ f∂ x

lim ∆x∆ t

+ ∂ f∂ y

lim ∆ y∆ t

+ lim ∈1∈ .limite ∆x∆ t

+limi∆ t→0

. ∆ t →0 ∆ t →0 ∆ t →0∇ t→0∆ t→0 .

INTERACCION.PROBLEMAS OROPUESTOS.EVALUE EN CADA CASO..

.a) Z = x3 y+3 xy 4 . donde X= e tseny ; Y =e−t−tcosx.

.b) Z = 3 X2+5 X Y 2 X = e y sent Y = excost .



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Calcule en cada caso dZdT ,

Aplique la regla de la cadena .

La presión P( en kilogramos Pascal) el volumen ( litros) y la temperatura ( kelvin) de un mol de gas ideal.

Están relacionados mediante la ecuación PV =8,3 17 T.Calcule la tasa en el que la presión cambia cuando .

La temperatura es de 300 k.. y se incrementa a una tasa de 0,1 k/s. y el volumen es de 100 L ,aumenta a. Tasa de 0,2 L//s. .

El radio de un cilindro circular recto decrece en una razón de 1,2 cms /seg., en tanto que la altura aumenta.

A una tasa de 3 cms/seg..A que tasa el volumen del cilindro cambia si el radio es de 80 cms y la altura es .

150 cms.

REGLA DELACADENA PARA FUNCIONES DEDOSOMASVARIABLES INDEPENDIENTES .

PARATRESVARIABLESVIENE DADA POR.

APLICACIÓN.

DETERMINE.

.dWDT

. Si W = XYZ donde X =Cost ; Y = Sent ; Z = t..

Cual es el valor cuando : t =0 ; t =π4

. ; t = π5

..

Solucion dwdt

=∂w∂x

dxdt

+ ∂w∂ y

dydt

+ ∂w∂ z

dzdt

= (y)(-cost) +(x)(cost) +1.( 1) = -sent +cos2t +1. = 1 +cos 2t =.

dwdt

t =0 = 1 +1 =2.

Debe hallar para los otros valores.REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIOINES DEFINIDAS SOBRE SUPERFICIES.

Tenemos el caso para aplicarlo a temperaturas. Sea W = f ( X, Y Z) en un punto ( x,y,z) sobre un globo.En el espacio, consideremos ( x ,y,z ) como funciones r,s.que corresponden a las latitudes , y longitudes.De los puntos X = g( r ,s) y Y = h( r ,s ) , Z = k( r, s). se puede expresar la temperatura como función .



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REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Y TRES VARIABLES INTERMEDIAS.

Partimos de.W = f ( X ,Y, Z) que , X = g(r ,s) , Y = h ( r ,s) Z = k ( r ,s) .Si las funciones se pueden diferenciar , entonces las derivadas parciales con respecto r y s vienen .Dadas por los modelos matematicos.

∂w∂r

= ∂w∂x

dxdr

+ ∂w∂ y

dydr

+ ∂ w∂ z

dzdr .

∂w∂s

=∂w∂x

dxds

+ ∂w∂ y

dyds

+ ∂ w∂ z

dzds .

APLICACIÓN.

Exprese . ∂W∂r

, y ∂W∂S

Dado .W = X +2Y +Z2 , X =rs

, Y = r2+lns . Z = 2r..

Solucion.

Uso de los modelos matemáticos.

.∂w∂r

= ∂w∂x

dxdr

+ ∂w∂ y

dydr

+ ∂ w∂ z

dzdr

. ; ∂w∂ x

=1 , ∂ w∂ y

=2 , ∂w∂ z

=2 z .

dxdr

=−rs2 ;

dydr

=1s;.dzdr

= 2.

= (1)(1s

) +( 2) (2 r) +(2z)( 2) = 1s

+4r +4r(2) =1s

+12r .= 12 sr+1

s.

∂w∂s

= ∂w∂ x

dxdx

+ ∂w∂ y ±

dyds

+ ∂w∂ z

dzdz

; tenemos que . ∂w∂s

=¿(1 ) ( −rs2 ) + 2 (

1s

) +2 Z

(0 ) .

= 2s− rs2

EVALUE EN CADA CASO LO SOLICITADO. REGLA DE LA CADENA DOS Y TRES .VARIABLES INDEPENDIENTES.

Exprese. ∂ z∂ r; ∂ z∂ s

como funciones de de r, θ .

Usando la regla de la cadena exprese Z en términos de r ,s.; ∂ z∂ r, ∂ z∂ s

, en el punto ( r,θ ).

.a) Z = 4ex lny .b) Z = tan−1 xy



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COMPLEMENTO A REALIZAR.Como puede determinar ∂w∂ x cuando las variables en W = f( x,y,z) están restringidas por otra .Ecuación. Encuentre .∂w∂ x . en el punto ( x,y,z) = ( 2,-1,1 si. W = x2+ y2+z2 . ; 1 = z2xy+ yz+ y3. X y son variables independientes Resuelva el ejercicio



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BIBLIOGRAFIA:Calculo de Varias variables THOMAS /FINNEY Novena edicion.Calculo de Varias variables Transcendentes Tempranas JAMES STEWART Sexta edición.Calculo de Purcell Varberg Rigdon Novena edición.Videos Derivadas parciales Academatica.Curso Basico Derivadas Parcialeswww.Unicoos.com.http://bit.ly/ejemplos derivadas parciales.http://sitesgoogle.com/site/calculomultivariable

http://sitesgoogle.com/site/calculomultivariable

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